Случайная величина x задана функцией распределения вероятностей. Примеры решения задач на тему «Случайные величины

Задание 1 . Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
Найти:
а) параметр A ;
б) функцию распределения F(x) ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал ;
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX .
Построить график функций f(x) и F(x) .

Задание 2 . Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией.

Задание 3 . Найти математическое ожидание случайной величины Х заданной функцией распределения.

Задание 4 . Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Найти коэффициент A , функцию распределения F(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x) .

Задача . Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:

Определить параметры a и b , найти выражение для плотности вероятности f(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x).

Найдем функцию плотности распределения, как производную от функции распределения.
F′=f(x)=a
Зная, что найдем параметр a:

или 3a=1, откуда a = 1/3
Параметр b найдем из следующих свойств:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 откуда b = -1/3
Следовательно, функция распределения имеет вид: F(x) = (x-1)/3

Математическое ожидание .

Дисперсия .

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
P(2 < x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Пример №1 . Задана плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины X . Требуется:

Определить коэффициент A .
найти функцию распределения F(x) .
схематично построить графики F(x) и f(x) .
найти математическое ожидание и дисперсию X .
найти вероятность того, что X примет значение из интервала (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Решение :

Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):

Найдем параметр A из условия:

или
14/3*A-1 = 0
Откуда,
A = 3 / 14

Функцию распределения можно найти по формуле.

Случайной величиной Называется величина, которая в результате испытаний, проводимых в одних и тех же условиях, принимает различные, вообще говоря, значения, зависящие от не учитываемых случайных факторов. Примеры случайных величин: число выпавших очков на игральной кости, число дефектных изделий в партии, отклонение точки падения снаряда от цели, время безотказной работы устройства и т. п. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной Называется случайная величина, возможные значения которой образуют счетное множество, конечное или бесконечное (т. е. такое множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Непрерывной Называется случайная величина, возможные значения которой непрерывным образом заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал числовой оси. Число значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно.

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами конца латинского алфавита: X , Y , ...; значения случайной величины – строчными буквами: Х, у, ... . Таким образом, X Обозначает всю совокупность возможных значений случайной величины, а Х – Некоторое ее конкретное значение.

Законом распределения дискретной случайной величины называется задаваемое в любой форме соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Пусть возможными значениями случайной величины X Являются . В результате испытания случайная величина примет одно из этих значений, т. е. Произойдет одно событие из полной группы попарно несовместных событий.

Пусть также известны вероятности этих событий:

Закон распределения случайной величины X Может быть записан в виде таблицы, которую называют Рядом распределения Дискретной случайной величины:

Для ряда распределения имеет место равенство (условие нормировки).

Пример 3.1. Найти закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений «орла» при двух бросаниях монеты.

Функция распределения является универсальной формой задания закона распределения как дискретных, так и непрерывных случайных величин.

Функцией распределения случайной величины X Называется функция F (X ), Определенная на всей числовой оси следующим образом:

F (X )= Р (Х < х ),

Т. е. F (X ) есть вероятность того, что случайная величина X Примет значение меньшее, чем X .

Функцию распределения можно представить графически. Для дискретной случайной величины график имеет ступенчатый вид. Построим, например, график функции распределения случайной величины, заданной следующим рядом (рис. 3.1):

Рис. 3.1. График функции распределения дискретной случайной величины

Скачки функции происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. В точках разрыва функция F (X ) непрерывна слева.

График функции распределения непрерывной случайной величины представляет собой непрерывную кривую.

Рис. 3.2. График функции распределения непрерывной случайной величины

Функция распределения обладает следующими очевидными свойствами:

1) , 2) , 3) ,

4) при .

Будем называть событие, состоящее в том, что случайная величина X Принимает значение Х, Принадлежащее некоторому полузамкнутому интервалу A £ х < B , Попаданием случайной величины на интервал [A , B ).

Теорема 3.1 . Вероятность попадания случайной величины на интервал [A , B ) равна приращению функции распределения на этом интервале:

Если уменьшать интервал [A , B ), Полагая, что , то в пределе формула (3.1) вместо вероятности попадания на интервал дает вероятность попадания в точку, т. е. вероятность того, что случайная величина примет значение A :

Если функция распределения имеет разрыв в точке A , То предел (3.2) равен значению скачка функции F (X ) в точке Х =A , Т. е. вероятности того, что случайная величина примет значение A (рис. 3.3, А ). Если же случайная величина непрерывна, т. е. непрерывна функция F (X ), то предел (3.2) равен нулю (рис. 3.3, Б )

Таким образом, вероятность любого конкретного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Однако это не означает невозможности события Х= A , А лишь говорит о том, что относительная частота этого события будет стремиться к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний.

А )
Б )

Рис. 3.3. Скачок функции распределения

Для непрерывных случайных величин наряду с функцией распределения используется еще одна форма задания закона распределения – плотность распределения.

Если – вероятность попадания на интервал , то отношение характеризует плотность, с которой вероятность распределена в окрестности точки X . Предел этого отношения при ,т. е. производная , называется Плотностью распределения (плотностью распределения вероятностей, плотностью вероятности) случайной величины X . Условимся плотность распределения обозначить

Таким образом, плотность распределения характеризует вероятность попадания случайной величины в окрестность точки Х.

График плотности распределения называют Кривой рас Пределения (Рис. 3.4).

Рис. 3.4. Вид плотности распределения

Исходя из определения и свойств функции распределения F (X ), нетрудно установить следующие свойства плотности распределения F (X ):

1) F (X )³0

Для непрерывной случайной величины в силу того, что вероятность попадания в точку равна нулю, имеют место следующие равенства:

Пример 3.2. Случайная величина X Задана плотностью распределения

Требуется:

А) найти значение коэффициента А;

Б) найти функцию распределения;

В) найти вероятность попадания случайной величины на интервал (0, ).

Функция распределения или плотность распределения полностью описывают случайную величину. Часто, однако, при решении практических нет необходимости в полном знании закона распределения, достаточно знать лишь некоторые его характерные черты. Для этого в теории вероятностей используются числовые характеристики случайной величины, выражающие различные свойства закона распределения. Основными числовыми характеристиками являются Математическое Ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение .

Математическое ожидание Характеризует положение случайной величины на числовой оси. Это некоторое среднее значение случайной величины, около которого группируются все ее возможные значения.

Математическое ожидание случайной величины X Обозначают символами М (Х ) или Т . Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется с помощью несобственного интеграла:

Исходя из определений, нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств математического ожидания:

1. (математическое ожидание неслучайной величины С Равно самой неслучайной величине).

2. Если ³0, то ³0.

4. Если и Независимы , то .

Пример 3.3. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной рядом распределения:

Решение .

=0×0.2 + 1×0.4 + 2×0.3 + 3×0.1=1.3.

Пример 3.4. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной плотностью распределения:

Решение .

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение Являются характеристиками рассеивания случайной величины, они характеризуют разброс ее возможных значений относительно математического ожидания.

Дисперсией D (X ) Случайной величины X Называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания Для дискретной случайной величины дисперсия выражается суммой:

(3.3)

А для непрерывной – интегралом

(3.4)

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Характеристикой рассеивания, Совпадающей по размерно Сти со случайной величиной , служит среднее квадратическое отклонение.

Свойства дисперсии:

1) – постоянные. В частности,

В частности,

Заметим, что вычисление дисперсии по формуле (3.5) часто оказывается более удобным, чем по формуле (3.3) или (3.4).

Величина называется Ковариацией случайных величин .

Если , то величина

Называется Коэффициентом корреляции случайных величин .

Можно показать, что если , то величины линейно зависимы: где

Отметим, что если независимы, то

Пример 3.5. Найти дисперсию случайной величины, заданной рядом распределения из примера 1.

Решение . Чтобы вычислить дисперсию, необходимо знать математическое ожидание. Для данной случайной величины выше было найдено: M =1.3. Вычисляем дисперсию по формуле (3.5):

Пример 3.6. Случайная величина задана плотностью распределения

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение . Находим сначала математическое ожидание:

(как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку).

Теперь вычисляем дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

1. Биномиальное распределение . Случайная величина , равная числу «УСПЕХОВ» в схеме Бернулли, имеет биномиальное распределение: , .

Математическое ожидание случайной величины, распределённой по биноминальному закону, равно

Дисперсия этого распределения равна .

2. Распределение Пуассона ,

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины с распределением Пуассона , .

Распределение Пуассона часто используется, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени или пространства, например: число машин, прибывших на автомойку в течении часа, число остановок станков в неделю, число дорожных происшествий и т. д.

Случайная величина имеет Геометрическое распределение с параметром , если принимает значения с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл Номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха . Таблица распределения имеет вид:

3. Нормальное распределение . Нормальный закон распределения вероятностей занимает особое место среди других законов распределения. В теории вероятности доказывается, что плотность вероятности суммы независимых или Слабо зависимых , равномерно малых (т. е. играющих примерно одинаковую роль) слагаемых при неограниченном увеличении их числа как угодно близко приближается к нормальному закону распределению независимо от того, какие законы распределения имеют эти слагаемые (центральная предельная теорема А. М. Ляпунова).

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной , если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.

Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.

Так как для непрерывных случайных величин функция F (x ), в отличие от дискретных случайных величин , нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике.

Функция распределения непрерывной случайной величины и плотность вероятности

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины.

Итак, функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х .

Для дискретной случайной величины в точках её значений x 1 , x 2 , ..., x i ,... сосредоточены массы вероятностей p 1 , p 2 , ..., p i ,... , причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана" по оси абсцисс Оx с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины на любой участок Δx будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.

Плотностью вероятности f (x ) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:

Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a ; b ]:

вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [a ; b ], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b :

При этом общая формула функции F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f (x ) :

График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).

Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох , графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b .

Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины

1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции f (x ) и ось Ох ) равна единице:

2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:

а за пределами существования распределения её значение равно нулю

Плотность распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.

Если функция плотности распределения f (x ) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [a ; b ] принимает постоянное значение C , а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным .

Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным .

Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти функцию f (x ) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .

Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:

График функции F (x ) - парабола:

График функции f (x ) - прямая:

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:

Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:

Вычислить коэффициент C . Найти функцию F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .

Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:

Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:

Интегрируя, найдём функцию F (x ) распределения вероятностей. Если x < 0 , то F (x ) = 0 . Если 0 < x < 10 , то

x > 10 , то F (x ) = 1 .

Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:

График функции f (x ) :

График функции F (x ) :

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:

Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А , вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X .

Решение. По условию приходим к равенству

Следовательно, , откуда . Итак,

Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:

Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:

Пример 4. Найти плотность вероятности непрерывной случайной величины X , которая принимает только неотрицательные значения, а её функция распределения .

В теории вероятностей приходится иметь дело со случайными величинами, все значения которых нельзя перебрать. Например, нельзя взять и «перебрать» все значения случайной величины $X$ - время службы часов, поскольку время может измеряться в часах, минутах, секундах, миллисекундах, и т.д. Можно лишь указать некоторый интервал, в пределах которого находятся значения случайной величины.

Непрерывная случайная величина - это случайная величина, значения которой целиком заполняют некоторый интервал.

Функция распределения непрерывной случайной величины

Поскольку перебрать все значения непрерывной случайной величины не представляется возможным, то задать ее можно с помощью функции распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$.

Свойства функции распределения:

1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - неубывающая.

4 . ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 1
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(0,3;0,7\right)$ можем найти как разность значений функции распределения $F\left(x\right)$ на концах этого интервала, то есть:

$$P\left(0,3 < X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Плотность распределения вероятностей

Функция $f\left(x\right)={F}"(x)$ называется плотностью распределения вероятностей, то есть это производная первого порядка, взятая от самой функции распределения $F\left(x\right)$.

Свойства функции $f\left(x\right)$.

1 . $f\left(x\right)\ge 0$.

2 . $\int^x_{-\infty }{f\left(t\right)dt}=F\left(x\right)$.

3 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ - это $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^{+\infty }_{-\infty }{f\left(x\right)}=1$.

Пример 2 . Непрерывная случайная величина $X$ задана следующей функцией распределения $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Тогда функция плотности $f\left(x\right)={F}"(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\ x>1
\end{matrix}\right.$

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле

$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)dx}.$$

Пример 3 . Найдем $M\left(X\right)$ для случайной величины $X$ из примера $2$.

$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)\ dx}=\int^1_0{x\ dx}={{x^2}\over {2}}\bigg|_0^1={{1}\over {2}}.$$

Дисперсия непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле

$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2.$$

Пример 4 . Найдем $D\left(X\right)$для случайной величины $X$ из примера $2$.

$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2=\int^1_0{x^2\ dx}-{\left({{1}\over {2}}\right)}^2={{x^3}\over {3}}\bigg|_0^1-{{1}\over {4}}={{1}\over {3}}-{{1}\over {4}}={{1}\over{12}}.$$

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пример 2.1. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значения, заключенные в промежутке (2,5; 3,6).

Решение: Х в промежуток (2,5; 3,6) можно определить двумя способами:

Пример 2.2. При каких значениях параметров А и В функция F (x ) = A + Be - x может быть функцией распределения для неотрицательных значений случайной величины Х .

Решение: Так как все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу , то для того, чтобы функция была функцией распределения для Х , должно выполняться свойство:

Ответ: .

Пример 2.3. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25;0,75).

Решение: Вероятность попадания величины Х в промежуток (0,25;0,75) найдем по формуле:

Пример 2.4. Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,3. Составить закон распределения числа попаданий при трех бросках.

Решение: Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трех бросках – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х

Х :

Пример 2.5. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.

Решение: Найдем закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий в мишень. Пусть событие – попадание в мишень первым стрелком, а – попадание вторым стрелком, и - соответственно их промахи.

Составим закон распределения вероятностей СВ Х :

Пример 2.6. Испытываются 3 элемента, работающих независимо друг от друга. Длительности времени (в часах) безотказной работы элементов имеют функции плотности распределения: для первого: F 1 (t ) =1-e - 0,1 t , для второго: F 2 (t ) = 1-e - 0,2 t , для третьего: F 3 (t ) =1-e - 0,3 t . Найти вероятность того, что в интервале времени от 0 до 5 часов: откажет только один элемент; откажут только два элемента; откажут все три элемента.

Решение: Воспользуемся определением производящей функции вероятностей :

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна , во втором и т. д., событие А появится ровно раз, равна коэффициенту при в разложении производящей функции по степеням . Найдем вероятности отказа и неотказа соответственно первого, второго и третьего элемента в интервале времени от 0 до 5 часов:

Составим производящую функцию:

Коэффициент при равен вероятности того, что событие А появится ровно три раза, то есть вероятности отказа всех трех элементов; коэффициент при равен вероятности того, что откажут ровно два элемента; коэффициент при равен вероятности того, что откажет только один элемент.

Пример 2.7. Дана плотность вероятности f (x )случайной величины X :

Найти функцию распределения F(x).

Решение: Используем формулу:

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Пример 2.8. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение: Случайная величина Х – число элементов, отказавших в одном опыте – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле Бернулли:

Таким образом, получаем следующий закон распределения вероятностей случайной величины Х :

Пример 2.9. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение: Случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных – может принимать значения: 1, 2, 3 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х

где -- число деталей в партии;

-- число стандартных деталей в партии;

– число отобранных деталей;

-- число стандартных деталей среди отобранных.

Пример 2.10. Случайная величина имеет плотность распределения

причем и не известны, но , а и . Найдите и .

Решение: В данном случае случайная величина X имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке [a, b ]. Числовые характеристики X :

Следовательно, . Решая данную систему, получим две пары значений: . Так как по условию задачи , то окончательно имеем: .

Ответ: .

Пример 2.11. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех.

Решение: Математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам:

Возможные значения СВ (число договоров (из четырех) с наступлением страхового случая): 0, 1, 2, 3, 4.

Используем формулу Бернулли, чтобы вычислить вероятности различного числа договоров (из четырех), по которым были выплачены страховые суммы:

Ряд распределения СВ (число договоров с наступлением страхового случая) имеет вид:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Ответ: , .

Пример 2.12. Из пяти роз две белые. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых роз среди двух одновременно взятых.

Решение: В выборке из двух роз может либо не оказаться белой розы, либо может быть одна или две белые розы. Следовательно, случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число роз;

-- число белых роз;

– число одновременно взятых роз;

-- число белых роз среди взятых.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.13. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу выбранных из общего числа.

Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число собранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке;

– число выбранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди выбранных.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.14. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Найти математическое ожидание и дисперсию числа просмотренных часов.

Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 1, 2, 3, 4. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Теперь вычислим числовые характеристики величины :

Ответ: , .

Пример 2.15. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает.

Решение: Случайная величина может принимать значения: . Так как набранную цифру абонент в дальнейшем не набирает, то вероятности этих значений равны .

Составим ряд распределения случайной величины:


	0,2

Вычислим математическое ожидание и дисперсию числа попыток набора номера:

Ответ: , .

Пример 2.16. Вероятность отказа за время испытаний на надежность для каждого прибора серии равна p . Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ, если испытанию подверглись N приборов.

Решение: Дискретная случайная величина X - число отказавших приборов в N независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления отказа равна p, распределена по биномиальному закону. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

Пример 2.17. Дискретная случайная величина X принимает 3 возможных значения: с вероятностью ; с вероятностью и с вероятностью . Найти и , зная, что M(X ) = 8.

Решение: Используем определения математического ожидания и закона распределения дискретной случайной величины:

Находим: .

Пример 2.18. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание случайной величины X – числа партий, в каждой из которых содержится ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий.

Решение: В данном случае все проводимые опыты независимы, а вероятности того, что в каждой партии содержится ровно 4 стандартных изделия, одинаковы, следовательно, математическое ожидание можно определить по формуле:

где - число партий;

Вероятность того, что в партии содержится ровно 4 стандартных изделия.

Вероятность найдем по формуле Бернулли:

Ответ: .

Пример 2.19. Найти дисперсию случайной величины X – числа появлений события A в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M (X ) = 0,9.

Решение: Задачу можно решить двумя способами.

1) Возможные значения СВ X : 0, 1, 2. По формуле Бернулли определим вероятности этих событий:

, , .

Тогда закон распределения X имеет вид:

Из определения математического ожидания определим вероятность :

Найдем дисперсию СВ X :

2) Можно использовать формулу:

Ответ: .

Пример 2.20. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25).

Решение: Вероятность попадания нормальной случайной величины Х на участок от до выражается через функцию Лапласа:

Пример 2.21. Дана функция:

При каком значении параметра C эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X ? Найти математическое ожиданий и дисперсию случайной величины X .

Решение: Для того, чтобы функция была плотностью распределения некоторой случайной величины , она должна быть неотрицательна, и она должна удовлетворять свойству:

Следовательно:

Вычислим математическое ожидание по формуле:

Вычислим дисперсию по формуле:

T равна p . Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение: Закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , называют биномиальным. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А одном испытании:

Пример 2.25. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.25. Определить среднее квадратическое отклонение числа попаданий при трех выстрелах.

Решение: Так как производится три независимых испытания, и вероятность появления события А (попадания) в каждом испытании одинакова, то будем считать, что дискретная случайная величина X - число попаданий в мишень – распределена по биномиальному закону.

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Пример 2.26. Среднее число клиентов, посещающих страховую компанию за 10 мин., равно трем. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 минут придет хотя бы один клиент.

Среднее число клиентов, пришедших за 5 минут: . .

Пример 2.29. Время ожидания заявки в очереди на процессор подчиняется показательному закону распределения со средним значением 20 секунд. Найти вероятность того, что очередная (произвольная) заявка будет ожидать процессор более 35 секунд.

Решение: В этом примере математическое ожидание , а интенсивность отказов равна .

Тогда искомая вероятность:

Пример 2.30. Группа студентов в количестве 15 человек проводит собрание в зале, в котором 20 рядов по 10 мест в каждом. Каждый студент занимает место в зале случайным образом. Какова вероятность того, что не более трех человек будут находиться на седьмом месте ряда?

Решение:

Пример 2.31.

Тогда согласно классическому определению вероятности:

где -- число деталей в партии;

-- число нестандартных деталей в партии;

– число отобранных деталей;

-- число нестандартных деталей среди отобранных.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой.

Возможно, будет полезно почитать: