यादृच्छिक चर x वितरण घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है। एक सतत यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ
फैलावनिरंतर यादृच्छिक चर X, जिसके संभावित मान संपूर्ण अक्ष Ox से संबंधित हैं, समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है: 
सेवा असाइनमेंट. ऑनलाइन कैलकुलेटर को उन समस्याओं को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जिनमें या तो वितरण घनत्व f(x) , या वितरण फ़ंक्शन F(x) (उदाहरण देखें)। आमतौर पर ऐसे कार्यों में इसे ढूंढने की आवश्यकता होती है गणितीय अपेक्षा, मानक विचलन, फ़ंक्शन f(x) और F(x) को प्लॉट करें.
अनुदेश. इनपुट डेटा का प्रकार चुनें: वितरण घनत्व f(x) या वितरण फ़ंक्शन F(x) ।
वितरण घनत्व f(x) दिया गया है: 
वितरण फलन F(x) दिया गया है: 
एक सतत यादृच्छिक चर को संभाव्यता घनत्व द्वारा परिभाषित किया गया है 
(रेले वितरण कानून - रेडियो इंजीनियरिंग में प्रयुक्त)। M(x) , D(x) खोजें।
यादृच्छिक चर X कहा जाता है निरंतर
, यदि इसका वितरण फलन F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
एक निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का उपयोग किसी दिए गए अंतराल में आने वाले यादृच्छिक चर की संभावनाओं की गणना करने के लिए किया जाता है:
पी(α< X < β)=F(β) - F(α)
इसके अलावा, एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसकी सीमाएँ इस अंतराल में शामिल हैं या नहीं:
पी(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
वितरण घनत्व
निरंतर यादृच्छिक चर को फ़ंक्शन कहा जाता है
f(x)=F'(x) , वितरण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।
वितरण घनत्व गुण
1. x के सभी मानों के लिए यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व गैर-नकारात्मक (f(x) ≥ 0) है।2. सामान्यीकरण की स्थिति:
सामान्यीकरण स्थिति का ज्यामितीय अर्थ: वितरण घनत्व वक्र के अंतर्गत क्षेत्र एक के बराबर है।
3. α से β के अंतराल में एक यादृच्छिक चर X से टकराने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है
ज्यामितीय रूप से, एक सतत यादृच्छिक चर
4. वितरण फलन को घनत्व के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
बिंदु x पर वितरण घनत्व मान इस मान को लेने की संभावना के बराबर नहीं है; एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, हम केवल दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना के बारे में बात कर सकते हैं। होने देना :
संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर एक्सअंतराल से कोई भी मान लेगा [ ए; बी], की सीमा में इसकी संभाव्यता घनत्व के एक निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है एपहले बी:
.
इस मामले में, फ़ंक्शन का सामान्य सूत्र एफ(एक्स) एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण, जिसका उपयोग घनत्व फ़ंक्शन ज्ञात होने पर किया जा सकता है एफ(एक्स) :
.
एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व के ग्राफ को इसका वितरण वक्र कहा जाता है (नीचे चित्र)।
आकृति का क्षेत्रफल (आकृति में छायांकित), एक वक्र से घिरा हुआ, बिंदुओं से खींची गई सीधी रेखाएँ एऔर बीभुज अक्ष और अक्ष के लंबवत ओह, ग्राफ़िक रूप से संभावना को प्रदर्शित करता है कि एक सतत यादृच्छिक चर का मान एक्सके दायरे में है एपहले बी.
एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के गुण
1. संभावना है कि एक यादृच्छिक चर अंतराल (और आकृति का क्षेत्र, जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा सीमित है) से कोई मान लेगा एफ(एक्स) और अक्ष ओह) एक के बराबर है:
2. संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन नकारात्मक मान नहीं ले सकता:
और वितरण के अस्तित्व के बाहर इसका मूल्य शून्य है
वितरण घनत्व एफ(एक्स), साथ ही वितरण कार्य भी एफ(एक्स), वितरण कानून के रूपों में से एक है, लेकिन वितरण फ़ंक्शन के विपरीत, यह सार्वभौमिक नहीं है: वितरण घनत्व केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मौजूद है।
आइए हम अभ्यास में सतत यादृच्छिक चर के वितरण के दो सबसे महत्वपूर्ण प्रकारों का उल्लेख करें।
यदि वितरण घनत्व कार्य करता है एफ(एक्स) कुछ परिमित अंतराल में एक सतत यादृच्छिक चर [ ए; बी] एक स्थिर मान लेता है सी, और अंतराल के बाहर शून्य के बराबर मान लेता है, तो यह वितरण को एकसमान कहा जाता है .
यदि वितरण घनत्व फ़ंक्शन का ग्राफ़ केंद्र के बारे में सममित है, तो औसत मान केंद्र के पास केंद्रित होते हैं, और केंद्र से दूर जाने पर, औसत से अधिक भिन्न एकत्र किए जाते हैं (फ़ंक्शन का ग्राफ़ कट जैसा दिखता है) एक घंटी), फिर यह वितरण को सामान्य कहा जाता है .
उदाहरण 1एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन ज्ञात है:
एक सुविधा खोजें एफ(एक्स) एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व। दोनों कार्यों के लिए ग्राफ़ बनाएं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक सतत यादृच्छिक चर 4 से 8 तक की सीमा में कोई मान लेगा।
समाधान। हम संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात करके संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं:
फ़ंक्शन ग्राफ़ एफ(एक्स) - परवलय:
फ़ंक्शन ग्राफ़ एफ(एक्स) - सरल रेखा:
आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि एक सतत यादृच्छिक चर 4 से 8 तक की सीमा में कोई भी मान लेगा:
उदाहरण 2एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन इस प्रकार दी गई है:
कारक की गणना करें सी. एक सुविधा खोजें एफ(एक्स) एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण। दोनों कार्यों के लिए ग्राफ़ बनाएं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक सतत यादृच्छिक चर 0 से 5 तक की सीमा में कोई मान लेगा।
समाधान। गुणक सीसंभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की संपत्ति 1 का उपयोग करके हम पाते हैं:
इस प्रकार, एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है:
एकीकृत करते हुए, हम फ़ंक्शन पाते हैं एफ(एक्स) संभाव्यता वितरण। अगर एक्स < 0 , то एफ(एक्स) = 0 . यदि 0< एक्स < 10 , то
.
एक्स> 10 , फिर एफ(एक्स) = 1 .
इस प्रकार, संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का पूरा रिकॉर्ड है:
फ़ंक्शन ग्राफ़ एफ(एक्स) :
फ़ंक्शन ग्राफ़ एफ(एक्स) :
आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि एक सतत यादृच्छिक चर 0 से 5 तक की सीमा में कोई भी मान लेगा:
उदाहरण 3एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व एक्ससमानता द्वारा दिया गया है, जबकि। गुणांक ज्ञात कीजिए ए, संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर एक्सअंतराल ]0, 5[ से कुछ मान लेता है, जो एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन है एक्स.
समाधान। शर्त के अनुसार, हम समानता पर पहुंचते हैं
इसलिए, कहाँ से. इसलिए,
.
अब हम एक सतत यादृच्छिक चर की प्रायिकता ज्ञात करते हैं एक्सअंतराल ]0, 5[ से कोई भी मान लेगा:
अब हमें इस यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन मिलता है:
उदाहरण 4एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व ज्ञात कीजिए एक्स, जो केवल गैर-नकारात्मक मान लेता है, और इसका वितरण कार्य करता है 
.
"यादृच्छिक चर" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण।
काम 1 . लॉटरी में 100 टिकटें जारी की जाती हैं। 50 USD की एक जीत खेली गई। और प्रत्येक $10 की दस जीतें। मूल्य X के वितरण का नियम ज्ञात करें - संभावित लाभ की लागत।
समाधान। X के संभावित मान: x 1 = 0; एक्स 2 = 10 और x 3 = 50. चूंकि 89 "खाली" टिकट हैं, तो पी 1 = 0.89, जीतने की संभावना 10 घन मीटर है। (10 टिकट)-पी 2 = 0.10 और 50 सी.यू. की जीत के लिए। -पी 3 = 0.01. इस प्रकार:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
नियंत्रण में आसान: .
काम 2. इसकी प्रायिकता कि खरीदार ने उत्पाद के विज्ञापन से पहले ही परिचित हो लिया है, 0.6 (पी = 0.6) है। विज्ञापन का चयनात्मक गुणवत्ता नियंत्रण मतदान खरीदारों द्वारा पहले व्यक्ति से पहले किया जाता है जिसने पहले से विज्ञापन का अध्ययन किया है। साक्षात्कार किए गए खरीदारों की संख्या के वितरण की एक श्रृंखला बनाएं।
समाधान। समस्या की स्थिति के अनुसार p = 0.6. से: q=1 -p = 0.4. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:और एक वितरण श्रृंखला बनाएं:
|
अनुकरणीय |
0,24 |
काम 3. एक कंप्यूटर में तीन स्वतंत्र रूप से संचालित होने वाले तत्व होते हैं: एक सिस्टम यूनिट, एक मॉनिटर और एक कीबोर्ड। वोल्टेज में एक बार भी तेज वृद्धि के साथ, प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना 0.1 है। बर्नौली वितरण के आधार पर, नेटवर्क में बिजली वृद्धि के दौरान विफल तत्वों की संख्या के लिए वितरण कानून तैयार करें।
समाधान। विचार करना बर्नौली वितरण(या द्विपद): संभावना है कि मेंएन परीक्षण, घटना ए बिल्कुल दिखाई देगीक एक बार: 
, या:
|
क्यू एन |
पी एन |
में चलिए कार्य पर वापस आते हैं।
X के संभावित मान (विफलताओं की संख्या):
x 0 =0 - कोई भी तत्व विफल नहीं हुआ;
x 1 =1 - एक तत्व की विफलता;
x 2 =2 - दो तत्वों की विफलता;
x 3 =3 - सभी तत्वों की विफलता।
चूँकि, शर्त के अनुसार, p = 0.1, तो q = 1 - p = 0.9। बर्नौली सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
, ,
, .
नियंत्रण: ।
इसलिए, वांछित वितरण कानून:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
कार्य 4. 5000 राउंड का उत्पादन किया। संभावना है कि एक कारतूस ख़राब है 
. इसकी क्या प्रायिकता है कि पूरे बैच में बिल्कुल 3 ख़राब कारतूस होंगे?
समाधान। उपयुक्त पॉसों वितरण: इस वितरण का उपयोग बहुत बड़ी संभावना को निर्धारित करने के लिए किया जाता है
परीक्षणों की संख्या (सामूहिक परीक्षण), जिनमें से प्रत्येक में घटना A की संभावना बहुत कम है, घटना A k बार घटित होगी: 
, कहाँ ।
यहाँ n = 5000, p = 0.0002, k = 3। हम पाते हैं, फिर वांछित संभावना: 
.
कार्य 5. पी से टकराने की संभावना के साथ पहली हिट से पहले फायरिंग करते समय = एक शॉट के लिए 0.6, आपको तीसरे शॉट पर हिट होने की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी।
समाधान। आइए ज्यामितीय वितरण लागू करें: स्वतंत्र परीक्षण किए जाएं, जिनमें से प्रत्येक में घटना ए के घटित होने की संभावना p (और गैर-घटना q = 1 - p) है। घटना A घटित होते ही परीक्षण समाप्त हो जाते हैं।
ऐसी स्थितियों के तहत, kth परीक्षण पर घटना A के घटित होने की संभावना सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:। यहां पी = 0.6; क्यू \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; के \u003d 3. इसलिए,।
कार्य 6. मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर X के वितरण का नियम दिया गया है:
गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।
समाधान। .
ध्यान दें कि गणितीय अपेक्षा का संभाव्य अर्थ एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य है।
कार्य 7. निम्नलिखित वितरण नियम के साथ एक यादृच्छिक चर X का प्रसरण ज्ञात कीजिए:
समाधान। यहाँ .
X के वर्ग के वितरण का नियम 2 :
|
एक्स 2 |
|||
आवश्यक विचरण: .
फैलाव किसी यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा से विचलन (बिखराव) की डिग्री को दर्शाता है।
कार्य 8. मान लें कि वितरण द्वारा यादृच्छिक चर दिया गया है:
|
10मी |
|||
इसकी संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात कीजिए।
समाधान: एम, एम 2 ,
एम 2 , एम।
एक यादृच्छिक चर 2 , या - इसकी गणितीय अपेक्षा मी के विचलन के साथ 6.4 मीटर है। दूसरा सूत्रीकरण स्पष्ट रूप से स्पष्ट है।
काम 9.
यादृच्छिक मूल्यएक्स वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया: 
.
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, मान X अंतराल में निहित मान पर ले लेगा 
.
समाधान। संभावना है कि एक्स किसी दिए गए अंतराल से एक मान लेगा, इस अंतराल में अभिन्न फ़ंक्शन की वृद्धि के बराबर है, यानी। . हमारे मामले में और, इसलिए
.
काम 10. असतत यादृच्छिक चरएक्स वितरण कानून द्वारा दिया गया:
वितरण फलन खोजेंएफ(एक्स ) और इसका ग्राफ बनाएं।
समाधान। वितरण समारोह के बाद से
के लिए 
, वह
पर ;
पर ;
पर ;
पर ;
प्रासंगिक चार्ट:
कार्य 11.निरंतर यादृच्छिक चरएक्स विभेदक वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया: 
.
टकराने की प्रायिकता ज्ञात कीजिएएक्स से अंतराल
समाधान। ध्यान दें कि यह घातीय वितरण कानून का एक विशेष मामला है।
आइए सूत्र का उपयोग करें: 
.
काम 12. वितरण कानून द्वारा दिए गए असतत यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं:
|
–5 |
|||||||||
|
एक्स 2 :
|
लाप्लास फ़ंक्शन है.गणितीय अपेक्षा की अवधारणाएँ एम(एक्स) और फैलाव डी(एक्स) असतत यादृच्छिक चर के लिए पहले पेश किए गए को निरंतर यादृच्छिक चर तक बढ़ाया जा सकता है।
· गणितीय अपेक्षा एम(एक्स) निरंतर यादृच्छिक चर X को समानता द्वारा परिभाषित किया गया है:
बशर्ते कि यह अभिन्न अभिसरण हो।
· फैलाव डी(एक्स) निरंतर यादृच्छिक चर एक्ससमानता द्वारा परिभाषित किया गया है:
· मानक विचलनσ( एक्स) निरंतर यादृच्छिक चर को समानता द्वारा परिभाषित किया गया है:
असतत यादृच्छिक चर के लिए पहले मानी जाने वाली गणितीय अपेक्षा और फैलाव के सभी गुण निरंतर वाले के लिए भी मान्य हैं।
समस्या 5.3.यादृच्छिक मूल्य एक्सविभेदक फ़ंक्शन द्वारा दिया गया एफ(एक्स):
खोजो एम(एक्स), डी(एक्स), σ( एक्स), और पी(1 < एक्स< 5).
समाधान:
एम(एक्स)= =
+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,
डी(एक्स)=
= = /
पी 1 =
कार्य
5.1. एक्स
एफ(एक्स), और
आर(‒1/2 < एक्स< 1/2).
5.2. निरंतर यादृच्छिक चर एक्सवितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया:
विभेदक वितरण फलन ज्ञात कीजिए एफ(एक्स), और
आर(2π /9< एक्स< π /2).
5.3. निरंतर यादृच्छिक चर एक्स
खोजें: ए) संख्या साथ; बी) एम(एक्स), डी(एक्स).
5.4. निरंतर यादृच्छिक चर एक्सवितरण घनत्व द्वारा दिया गया:
खोजें: ए) संख्या साथ; बी) एम(एक्स), डी(एक्स).
5.5. एक्स:
लगता है) एफ(एक्स) और इसका ग्राफ आलेखित करें; बी) एम(एक्स), डी(एक्स), σ( एक्स); ग) संभावना है कि चार स्वतंत्र परीक्षणों में मूल्य एक्सअंतराल (1;4) से संबंधित मान का ठीक 2 गुना लेता है।
5.6. एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण घनत्व को देखते हुए एक्स:
लगता है) एफ(एक्स) और इसका ग्राफ आलेखित करें; बी) एम(एक्स), डी(एक्स), σ( एक्स); ग) संभावना है कि तीन स्वतंत्र परीक्षणों में मूल्य एक्सअंतराल से संबंधित मान का ठीक 2 गुना लेगा।
5.7. समारोह एफ(एक्स) इस प्रकार दिया गया है:
साथ एक्स; बी) वितरण समारोह एफ(एक्स).
5.8. समारोह एफ(एक्स) इस प्रकार दिया गया है:
खोजें: a) स्थिरांक का मान साथ, जिस पर फ़ंक्शन कुछ यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व होगा एक्स; बी) वितरण समारोह एफ(एक्स).
5.9. यादृच्छिक मूल्य एक्स, अंतराल (3;7) पर केंद्रित, वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है एफ(एक्स)= एक्समान लेता है: a) 5 से कम, b) 7 से कम नहीं।
5.10. यादृच्छिक मूल्य एक्स, अंतराल (-1; 4) पर केंद्रित, वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है एफ(एक्स)= . यादृच्छिक चर होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए एक्समान लेता है: a) 2 से कम, b) 4 से कम।
5.11.
खोजें: ए) संख्या साथ; बी) एम(एक्स); ग) संभाव्यता आर(एक्स > एम(एक्स)).
5.12. यादृच्छिक चर अंतर वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है:
लगता है) एम(एक्स); बी) संभाव्यता आर(एक्स ≤ एम(एक्स)).
5.13. समय वितरण संभाव्यता घनत्व द्वारा दिया जाता है:
साबित करें कि एफ(एक्स) वास्तव में एक संभाव्यता घनत्व वितरण है।
5.14. एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण घनत्व को देखते हुए एक्स:
एक संख्या खोजें साथ.
5.15. यादृच्छिक मूल्य एक्ससिम्पसन के नियम (समद्विबाहु त्रिभुज) के अनुसार खंड [-2; 2] पर वितरित (चित्र 5.4)। संभाव्यता घनत्व के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति खोजें एफ(एक्स) पूर्ण संख्या रेखा पर.
चावल। 5.4 चित्र. 5.5
5.16. यादृच्छिक मूल्य एक्सअंतराल (0; 4) में "समकोण त्रिभुज" नियम के अनुसार वितरित (चित्र 5.5)। संभाव्यता घनत्व के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति खोजें एफ(एक्स) पूर्ण संख्या रेखा पर.
जवाब
पी (-1/2<एक्स<1/2)=2/3.
पी(2π /9<एक्स< π /2)=1/2.
5.3. ए) साथ=1/6, बी) एम(एक्स)=3 , सी) डी(एक्स)=26/81.
5.4. ए) साथ=3/2, बी) एम(एक्स)=3/5, सी) डी(एक्स)=12/175.
बी) एम(एक्स)= 3 , डी(एक्स)= 2/9, σ( एक्स)= /3.
बी) एम(एक्स)=2 , डी(एक्स)= 3 , σ( एक्स)= 1,893.
5.7. ए) सी = ; बी)
5.8. ए) साथ=1/2; बी)
5.9. ए) 1/4; बी) 0.
5.10. ए) 3/5; ख) 1.
5.11. ए) साथ= 2; बी) एम(एक्स)= 2; पहले में- एल.एन 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. ए) एम(एक्स)= π /2 ; बी) 1/2
यह पढ़ना उपयोगी हो सकता है:
- ओवन में पोर्क एंट्रेकोटे: व्यंजन और खाना पकाने की विशेषताएं;
- ओवन में चेरी के साथ पनीर पनीर पुलाव की दो स्वादिष्ट रेसिपी चेरी पुलाव;
- सर्दियों के लिए बेल मिर्च से लीचो - सबसे स्वादिष्ट व्यंजनों में से छह, आप अपनी उंगलियां चाटेंगे;
- धीमी कुकर में पत्तागोभी रोल कैसे पकाएं: घरेलू शैली, प्राच्य, आलसी;
- क्विंस जैम: घर पर क्विंस जैम बनाने की सबसे स्वादिष्ट रेसिपी;
- कौन सा ब्राउज़र बेहतर है: स्थिर और मोबाइल उपकरणों पर चलने वाले वेब ब्राउज़र की तुलना;
- सोर्स कोड क्या है - सोर्स कोड क्या है प्रोग्राम कोड के साथ कैसे काम करें;
- आपके स्थापित सिस्टम से एक आईएसओ बनाना;