Почему происходит затухание колебаний. Затухающие колебания

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания называются свободными , если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид:

где - колеблющаяся величина, - циклическая частота.

- решение этого уравнения. Здесь - амплитуда , - начальная фаза.

Фаза колебаний.

Амплитуда - максимальное значение колеблющейся величины.

Период колебаний - промежуток времени, через который происходит повторение движения тела. Фаза колебания за период получает приращение . . , - число колебаний.

Частота колебаний - число полных колебаний, совершаемых в единицу времени. . . Измеряется в герцах (Гц).

Циклическая частота - число колебаний, совершаемых за секунд. . Единица измерения .

Фаза колебаний - величина, стоящая под знаком косинуса и характеризующая состояние колебательной системы в любой момент времени.

Начальная фаза - фаза колебаний в начальный момент времени. Фаза и начальная фаза измеряются в радианах ().

Свободные затухающие колебания - колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

- логарифмическим декрементом затухания .

Величина N e - это число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная величина для данной колебательной системы.

Для характеристики колебательной системы используют понятие добротности Q , которая при малых значениях логарифмического декремента равна

.

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА

Теоретическое обоснование методики определения коэффициентатрения

Наклонный маятник представляет собой шар, подвешенный на длинной нити и лежащий на наклонной плоскости.

Если шар отвести из положения равновесия (ось OO 1) на угол a, а затем отпустить, то возникнут колебания маятника. При этом шар будет кататься по наклонной плоскости около положения равновесия (рис. 1, а). Между шаром и наклонной плоскостью будет действовать сила трения качения. В результате колебания маятника будут постепенно затухать, то есть будет наблюдаться уменьшение во времени амплитуды колебаний.

Можно предположить, что по величине затухания колебаний могут быть определены сила трения и коэффициент трения качения.

Выведем формулу, которая связывает уменьшение амплитуды колебаний с коэффициентом трения качения m.При качении шара по плоскости сила трения совершает работу. Эта работа уменьшает полную энергию шара. Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергий. В тех положениях, где маятник максимально отклонен от положения равновесия, его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия равны нулю.

Эти точки называются точками поворота. В них маятник останавливается, поворачивается и движется обратно. В момент поворота энергия маятника равна потенциальной энергии, поэтому уменьшение потенциальной энергии маятника при его движении от одной точки поворота до другой равна работе силы трения на пути между точками поворота.

Пусть А - точка поворота (рис. 1, а). В этом положении нить маятника составляет угол a с осью OO 1 .Если бы трения не было, то через половину периода маятник оказался бы в точке N , а угол отклонения был бы равен a. Но из-за трения шар немного не докатится до точки N и остановится в точке В .Это и будет новая точка поворота. В этой точке угол нити с осью OO 1 будет равен . За половину периода угол поворота маятника уменьшился на . Точка В расположена несколько ниже, чем точка А, и поэтому потенциальная энергия маятника в точке В меньше, чем в точке А. Следовательно, маятник потерял высоту при перемещении из точки А в точку В .

Найдем связь между потерей угла и потерей высоты . Для этого спроецируем точки A и B на ось OO 1 (см. рис. 1, а). Это будут точки A 1 и B 1 соответственно. Очевидно, что длина отрезка А 1 В 1

где - длина нити.

Так как ось OO 1 наклонена под углом к вертикали, проекция отрезка на вертикальную ось и есть потеря высоты (рис. 1, б):

При этом изменение потенциальной энергии маятника при переходе его из положения A в положение В равно:

, (3)

где m - масса шара;

g - ускорение свободного падения.

Вычислим работу силы трения.

Сила трения определяется по формуле:

Путь , пройденный шаром за половину периода колебаний маятника, равен длине дуги AB :

.

Работа силы трения на пути :

Но , поэтому с учетом уравнений (2), (3), (4) получается

. (6)

Выражение (6) существенно упрощается с учетом того, что угол очень мал (порядка 10 -2 радиан). Итак, . Но . Поэтому .

Таким образом, формула (6) приобретает вид:

,

. (7)

Из формулы (7) видно, что потеря угла за половину периода определяется коэффициентом трения m и углом a. Однако можно найти такие условия, при которых от угла a не зависит. Учтем, что коэффициент трения качения мал (порядка 10 -3). Если рассматривать достаточно большие амплитуды колебаний маятника a, такие, при которых , то слагаемым в знаменателе формулы (7) можно пренебречь и тогда:

.

С другой стороны, пусть угол a будет малым настолько, чтобы можно было считать, что . Тогда потеря угла за половину периода колебаний будет определяться формулой:

. (8)

Формула (8) справедлива, если:

. (9)

Из-за того, что m имеет порядок 10 -2 , неравенству (9) удовлетворяют углы a порядка 10 -2 -10 -1 радиан.

Итак, за время одного полного колебания потеря угла составит:

,

а за n колебаний - .

Формула (10) дает удобный способ определения коэффициента трения качения. Необходимо измерить уменьшение угла Da n за 10-15 ко-лебаний, а затем по формуле (10) вычислить m.

В формуле (10) величина Da выражена в радианах. Чтобы использовать значения Da в градусах, формулу (10) необходимо видоизменить:

. (11)

Выясним физический смысл коэффициента трения качения. Рассмотрим сначала более общую задачу. Шар массой m и моментом инерции I c относительно оси, проходящей через центр масс, движется по гладкой поверхности (рис. 2).

Рис. 2

К центру масс C приложена сила , направленная вдоль оси ox и являющаяся функцией координаты x . Со стороны поверхности на тело действует сила трения F ТР. Пусть момент силы трения относительно оси, проходящей через центр C шара, равен M ТР.

Уравнения движения шара в этом случае имеют вид:

; (12)

, (13)

где - скорость центpa масс;

w - угловая скорость.

В уравнениях (12) и (13) четыре неизвестных: , w, F ТР, M ТР. В общем случае задача не определена.

Допустим, что:

1) тело катится без проскальзывания. Тогда:

где R - радиус шара;

2) тело и плоскость являются абсолютно жесткими, т.е. тело не деформируется, а касается плоскости в одной точке О (точечный контакт), тогда между моментом силы трения и силой трения имеется связь:

. (15)

С учетом формул (14) и (15) из уравнений (12) и (13) получаем выражение для силы трения:

. (16)

Выражение (16) не содержит коэффициента трения m, который определяется физическими свойствами соприкасающихся поверхностей шара и плоскости, такими, как шероховатость, или вид материалов, из которых изготовлены шар и плоскость. Этот результат - прямое следствие принятой идеализации, отражаемой связями (14) и (15). Кроме того, легко показать, что в принятой модели сила трения не совершает работы. Действительно, умножим уравнение (12) на , а уравнение (13) — на w. Учитывая, что

и

и складывая выражения (12) и (13), получаем

где W (x ) - потенциальная энергия шара в поле силы F (x ). Следует учесть, что

Если принять во внимание формулы (14) и (15), то правая часть равенства (17) обращается в нуль. В левой части равенства (17) стоит производная по времени от полной энергии системы, которая состоит из кинетической энергии поступательного движения шара , кинетической энергии вращательного движения и потенциальной энергии W (х ). Это значит, что полная энергия системы - постоянная величина, т.е. сила трения не совершает работы.

Очевидно, что и этот несколько странный результат также следствие принятой идеализации. Это свидетельствует о том, что принятая идеализация не отвечает физической реальности. В самом деле, в процессе движении шар взаимодействует с плоскостью, поэтому его механическая энергия должна убывать, а это значит, что связи (14) и (15) могут быть верны лишь настолько, насколько можно пренебречь диссипацией энергии.

Совершенно ясно, что в данном случае нельзя принять такую идеализацию, поскольку наша цель - определить по изменению энергии маятника коэффициент трения. Поэтому будем считать справедливым предположение об абсолютной жесткости шара и поверхности, а значит, и справедливой связи (15). Однако откажемся от предположения, что шар движется без проскальзывания. Мы допустим, что имеет место слабое проскальзывание.

Пусть скорость точек касания (на рис. 2 точка О) шара (скорость проскальзывания):

. (19)

Тогда, подставляя в уравнение (17) и учитывая условия (15) и (20), приходим к уравнению:

, (21)

из которого видно, что скорость диссипации энергии равна мощности силы трения. Результат вполне естественный, т.к. тело скользит по поверхности со скоростью и, нанего действует сила трения, совершающая работу, вследствие чего полная энергия системы уменьшается.

Выполняя в уравнении (21) дифференцирование и учитывая соотношение (18), получаем уравнение движения центра масс шара:

. (22)

Оно аналогично уравнению движения материальной точки массой:

, (23)

под действием внешней силы F и силы трения качения:

.

Причем, F ТР - обычная сила трения скольжения. Следовательно, при качении шара эффективная сила трения, которую называют силой трения качения, есть просто обычная сила трения скольжения, умноженная на отношение скорости проскальзывания к скорости центра масс тела. На практике часто наблюдается случай, когда сила трения качения не зависит от скорости тела.

Видимо, в этом случае скорость проскальзывания и пропорциональна скорости тела:

В реальных колебательных системах кроме квазиупругих сил присутствуют силы сопротивления среды. Наличие сил трения приводит к рассеянию (диссипации) энергии и уменьшению амплитуды колебаний. Замедляя движение, силы трения увеличивают период, т.е. уменьшает частоту колебаний. Такие колебания не будут гармоническими .

Колебания с непрерывно уменьшающейся во времени амплитудой вследствие рассеяния энергии называются затухающими . При достаточно малых скоростях сила трения пропорциональна скорости тела и направлена против движения

где r– коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний при наличии сил трения будет иметь вид:

или
(21)

где
- коэффициент затухания,

- собственная круговая частота свободных колебаний при отсутствии сил трения.

Общим решением уравнения (21) в случае малых затуханий (
) является:

Оно отличается от гармонического (8) тем, что амплитуда колебаний:

(23)

является убывающей функцией времени, а круговая частота связана с собственной частотойи коэффициентом затуханиясоотношением:

. (24)

Период затухающих колебаний равен:

. (25)

Зависимость смещения Х от tзатухающих колебаний представлена на рис.4.

Cтепень убывания амплитуды определяется коэффициентом затухания.

За время
амплитуда (23) уменьшается в е ≈ 2,72 раз. Это времяестественного затухания называютвременем релаксации . Следовательно, коэффициент затухания есть величина, обратная времени релаксации:

.(26)

Скорость уменьшения амплитуды колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания . ПустьА(t) и А(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на один период. Тогда отношение:

(27)

называется декрементом затухания , который показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду. Натуральный логарифм этого отношения:

(28)

называется логарифмическим декрементом затухания. Здесь, N e – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз, т.е. за время релаксации.

Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по прошествии которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Скорость уменьшения энергии колебательной системы характеризуется добротностью Q.Добротность колебательной системы - величина, пропорциональная отношению полной энергии Е(t) колебательной системы к энергии (-Е), теряемой за период Т:

(29)

Полная энергия колебательной системы в произвольный момент времени и при любом значении Х имеет вид:

(30)

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, энергия затухающих колебаний уменьшается пропорционально величине
, можно написать:

. (31)

Тогда, согласно определению, выражение для добротности колебательной системы будет иметь вид:

Здесь учтено, что при малых затуханиях (1): 1-е -2   2.

Следовательно, добротность пропорциональна числу колебаний N e , совершаемых системой за время релаксации.

Добротность колебательных систем может сильно различаться, например, добротность физического маятника Q~ 10 2 , а добротность атома, который тоже является колебательной системой, достигаетQ~ 10 8 .

В заключение отметим, что при коэффициенте затухания β=ω 0 период становится бесконечным Т =∞ (критическое затухание). При дальнейшем увеличении β период Т становится мнимым, а затухание движения происходит без колебаний, как говорят, апериодически. Этот случай движения изображен на рис.5. Критическое затухание (успокоение) происходит за минимальное время и имеет важное значение в измерительных приборах, например, в баллистических гальванометрах.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РЕЗОНАНС

Если на тело с массой m действуют упругая сила F у = -kX, сила трения
и внешняя периодическая сила
, то оно совершает вынужденные колебания. В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид:

где
,
- коэффициент затухания,
- собственная частота свободных незатухающих колебаний тела,F 0 – амплитуда, ω – частота периодической силы.

В начальный момент времени работа внешней силы превосходит энергию, которая расходуется на трение (рис. 6). Энергия и амплитуда колебаний тела будет возрастать до тех пор, пока вся сообщаемая внешней силой энергия не будет целиком расходоваться на преодоление трения, которое пропорционально скорости. Поэтому устанавливается равновесие, при котором сумма кинетической и потенциальной энергии оказывается постоянной. Это условие характеризует стационарное состояние системы.

В таком состоянии движение тела будет гармоническим с частотой, равной частоте внешнего возбуждения, но вследствие инерции тела его колебания будут сдвинуты по фазе по отношению к мгновенному значению внешней периодической силы:

X = AСos(ωt + φ). (34)

В отличие от свободных колебаний амплитуда А и фаза  вынужденных колебаний зависят не от начальных условий движения, а будут определяться только свойствами колеблющейся системы, амплитудой и частотой вынуждающей силы:

, (35)

. (36)

Видно, что амплитуда и сдвиг по фазе зависят от частоты вынуждающей силы (рис.7, 8).

Характерной особенностью вынужденных колебаний является наличие резонанса. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте свободных незатухающих колебаний тела ω 0 носит названиемеханического резонанса . Амплитуда колебаний тела при резонансной частоте
достигает максимального значения:


(37)

По поводу резонансных кривых (см. рис. 7) сделаем следующие замечания. Если ω→ 0, то все кривые (см. также (35)) приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению
, так называемомустатистическому отклонению . Если ω→ ∞, то все кривые асимптотически стремятся к нулю.

При условии малого затухания (β 2 ‹‹ω 0 2) резонансная амплитуда (см.(37))

(37а)

При этом условии возьмем отношение резонансного смещения к статическому отклонению:

из которого видно, что относительное увеличение амплитуды колебаний при резонансе определяется добротностью колебательной системы. Здесь добротность является, по сути, коэффициентом усиления отклика
системы и при малом затухании может достигать больших значений.

Это обстоятельство обусловливает огромное значение явления резонанса в физике и технике. Его используют, если хотят усилить колебания, например, в акустике – для усиления звучания музыкальных инструментов, в радиотехнике – для выделения нужного сигнала из множества других, отличающихся по частоте. Если резонанс можетпривести к нежелательному росту колебаний, пользуются системой с малой добротностью.

СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Источником внешней периодической силы может служить вторая колебательная система, упруго связанная с первой. Обе колебательные системы могут действовать одна на другую. Так, например, случай двух связанных маятников (рис. 9).

Система может совершать как синфазные (рис. 9б), так и противофазные (рис. 9с) колебания. Такие колебания называются нормальным типом или нормальной модой колебаний и характеризуются своей собственной нормальной частотой. При синфазных колебаниях смещения маятников во все моменты времени Х 1 = Х 2 , а частота ω 1 точно такая же, как частота отдельно взятого маятника
. Это объясняется тем, что легкая пружина находится в свободном состоянии и не оказывает никакого влияния на движение. При противофазных колебаниях во все моменты времени – Х 1 = Х 2 . Частота таких колебаний больше и равна
, так как пружина, обладающая жесткостьюk и осуществляющая связь, все время находится то в растянутом, то в сжатом состоянии.

Л
юбое состояние нашей связанной системы, в том числе и начальное смещение Х (рис. 9а), можно представить в виде суперпозиции двух нормальных мод:

Если привести систему в движение из начального состояния Х 1 = 0,
, Х 2 = 2А,
,

то смещения маятников будут описываться выражениями:

На рис. 10 представлено изменение смещения отдельных маятников во времени.

Частота колебаний маятников равна средней частоте двух нормальных мод:

, (39)

а их амплитуда изменяется по закону синуса или конуса с меньшей частотой, равной половине разности частоты нормальных мод:

. (40)

Медленное изменение амплитуды с частотой, равной половине разности частот нормальных мод, называется “ биениями ” двух колебаний с почти одинаковыми частотами. Частота “биений” равна разности ω 1 –ω 2 частот, (а не половине этой разности), поскольку максимум амплитуды 2А достигается дважды за период, соответствующий частоте

Отсюда период биений оказывается равным:

(41)

При биениях между маятниками происходит обмен энергией. Однако полный обмен энергией возможен только тогда, когда обе массы одинаковы и отношение (ω 1 +ω 2 / ω 1 -ω 2) равно целому числу. Необходимо отметить один важный момент: хотя отдельные маятники могут обмениваться энергией, обмен энергией между нормальными модами отсутствует.

Наличие таких колеблющихся систем, которые взаимодействуют между собой и способны передавать друг другу свою энергию, составляют основу волнового движения.

Колеблющееся материальное тело, помещенное в упругую среду, увлекает за собой и приводит в колебательное движение прилегающие к нему частицы среды. Благодаря наличию упругих связей между частицами колебания распространяются с характерной для данной среды скоростью по всей среде.

Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной .

Различают два основных типа волн: продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны, а в поперечных – перпендикулярно к направлению распространения волны. Не во всякой упругой среде возможно распространение поперечной волны. Поперечная упругая волна возможна лишь в таких средах, в которых имеет место упругая деформация сдвига. Например, в газах и жидкостях распространяются только продольные упругие волны (звук).

Геометрическое место точек среды, до которых к данному моменту времени дошло колебание, называется фронтом волны . Фронт волны отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникали. В зависимости от формы фронта различают волны плоские, сферические, цилиндрические и т.д.

Уравнение плоской волны, распространяющейся без потерь в однородной среде, имеет вид:
, (42)

где ξ(Х,t) – смещение частиц среды с координатой Х от положения равновесия в момент времени t, А – амплитуда,
- фаза волны,
- круговая частота колебания частиц среды,v – скорость распространения волны.

Длиной волны λ называется расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз 2π, другими словами, длиной волны называется путь, проходимый любой фазой волны за один период колебаний:

фазовая скорость, т.е. скорость распространения данной фазы:

λ / Т (44)

Волновое число – число длин волн, укладывающихся на длине 2π единиц:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Подставляя эти обозначения в (42), уравнение плоской бегущей монохроматической волны можно представить в виде:

(46)

Отметим, что уравнение волны (46) обнаруживает двойную периодичность по координате и времени. Действительно, фазы колебаний совпадают при изменении координаты на λ и при изменении времени на период Т. Поэтому изобразить графически волну на плоскости нельзя. Часто фиксируют время t и на графике представляют зависимость смещения ξ от координаты Х, т.е. мгновенное распределение смещений частиц среды вдоль направления распространения волны (рис.11). Разность фаз Δφ колебаний точек среды зависит от расстояния ΔХ =Х 2 – Х 1 между этими точками:

(47)

Если волна распространяется противоположно направлению Х, то уравнение обратной волны запишется в виде:

ξ (Х,t) = АСos(ωt + kX). (48)

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ – это результат особого вида интерференции волн. Они образуются при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Х в противоположных направлениях, имеют вид:

ξ 1 =АСos(ωt – kX)

ξ 2 = AСos(ωt + kX). (49)

Складывая эти уравнения по формуле суммы косинусов и учитывая, что k = 2π / λ, получим уравнение стоячей волны:

. (50)

Множитель Сos ωt показывает, что в точках среды возникает колебание той же частоты ω с амплитудой
, зависящей от координаты Х рассматриваемой точки. В точках среды, где:
, (51)

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. Эти точки называются пучностями .

Из выражения (51) можно найти координаты пучностей:
(52)

В точках, где
(53) амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называютсяузлами .

Координаты узлов:
. (54)

Расстояния между соседними пучностями и соседними узлами одинаковы и равны λ/2. Расстояние между узлом и соседней пучностью равно λ / 4. При переходе через узел множитель
меняет знак, поэтому фазы колебаний по разные стороны от узла отличаются на π, т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами.

Распределение узлов и пучностей в стоячей волне зависит от условий, имеющих место на границе раздела двух сред, от которой происходит отражение. Если отражение волны происходит от среды более плотной, то фаза колебаний в месте отражения волны меняется на противоположную или, как говорят, теряется половина волны. Поэтому, в результате сложения колебаний противоположных направлений смещение на границе равно нулю, т.е. имеет место узел (рис. 12).При отражении волны от границы менее плотной среды фаза колебаний в месте отражения остается без изменения и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами – получается пучность.

В стоячей волне нет перемещения фаз, нет распространения волны, нет переноса энергии, с чем и связано название такого типа волн.

1.21. 3АТУХАЮЩИЕ, ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический дек ремент затухания. Добротность колеба тельной системы. Апериодический процесс. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Процесс установления колебаний. Случай резонанса. Автоколебания.

Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.

Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:

    Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.

    Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.

    Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.

    Частота и период зависят от степени затухания колебаний.

    Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.

Механические затухающие колебания.

Механическая система : пружинный маятник с учетом сил трения.

Силы, действующие на маятник :

Упругая сила. , где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия.

Сила сопротивления . Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак “минус” показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела:

Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона:

ma = F упр. + F сопр.

Учитывая, что и , запишем второй закон Ньютона в виде:

. (21.1)

Разделив все члены уравнения на m, перенеся их все в правую часть, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

Обозначим , где β – коэффициент затухания , , где ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе.

В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:

. (21.2)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Это линейное дифференциальное уравнение решается заменой переменных. Представим функцию х, зависящую от времени t, в виде:

.

Найдем первую и вторую производную этой функции от времени, учитывая, что функция z также является функцией времени:

, .

Подставим выражения в дифференциальное уравнение:

Приведем подобные члены в уравнении и сократим каждый член на , получим уравнение:

.

Обозначим величину .

Решением уравнения являются функции , .

Возвращаясь к переменной х, получим формулы уравнений затухающих колебаний:

Таким образом, уравнение затухающих колебаний есть решение дифференциального уравнения (21.2):

Частота затухающих колебаний :

(физический смысл имеет только вещественный корень, поэтому ).

Период затухающих колебаний :

(21.5)

Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее: .

Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.

Для механической системы пружинного маятника имеем:

, .

Амплитуда затухающих колебаний :

Для пружинного маятника .

Амплитуда затухающих колебаний – величина не постоянная, а изменяющаяся со временем тем быстрее, чем больше коэффициент β. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.

При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.

Графики зависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 21.1 и 21.2.

Рисунок 21.1 – Зависимость смещения от времени для затухающих колебаний.

Рисунок 21.2 – Зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний

Характеристики затухающих колебаний.

1. Коэффициент затухания β .

Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:

Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в “e ” раз (“е” – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды А зат. (t) и А зат. (t+τ), имеем . Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда .

Промежуток времени τ , за который амплитуда уменьшается в “е” раз, называется временем релаксации.

Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.

2. Логарифмический декремент затухания δ - физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период.

Если затухание невелико, т.е. величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так:

,

где А зат. (t) и А зат. (t+NT) – амплитуды колебаний в момент времени е и через N периодов, т.е.в момент времени (t + NT).

3. Добротность Q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии W(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний:

.

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то

При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна

,

где N e – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в “е” раз.

Так, добротность пружинного маятника - .Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание, тем дольше будет длиться периодический процесс в такой системе. Добротность колебательной системы - безразмерная величина, которая характеризует диссипацию энергии во времени.

4. При увеличении коэффициента β, частота затухающих колебаний уменьшается, а период увеличивается. При ω 0 = β частота затухающих колебаний становится равной нулю ω зат. = 0, а Т зат. = ∞. При этом колебания теряют периодический характер и называются апериодическими.

При ω 0 = β параметры системы, ответственные за убывание колебательной энергии, принимают значения, называемые критическими . Для пружинного маятника условие ω 0 = β запишется так:, откуда найдем величину критического коэффициента сопротивления:

.

Рис. 21.3. Зависимсть амплитуды апериодических колебаний от времени

Вынужденные колебания.

Все реальные колебания являются затухающими. Чтобы реальные колебания происходили достаточно долго нужно периодически пополнять энергию колебательной системы, действуя на нее внешней периодически изменяющейся силой

Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы. Такие колебания называются вынужденными .

Общие признаки вынужденных механических колебаний.

1. Рассмотрим вынужденные механические колебаний пружинного маятника, на который действует внешняя (вынуждающая ) периодическая сила . Силы, которые действуют на маятник, однажды выведенный из положения равновесия, развиваются в самой колебательной системе. Это сила упругости и сила сопротивления .

Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:

(21.6)

Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

Обозначим (β – коэффициент затухания ), (ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

(21.7)

Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений

.

– общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы:

Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.

Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 21.2), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение .

Решение - это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т.е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части:

где А ампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ 0 –сдвиг фаз , т.е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда А ампл. , и сдвиг фаз φ 0 зависят от параметров системы (β, ω 0) и от частоты вынуждающей силы Ω.

Период вынужденных колебаний равен (21.9)

График вынужденных колебаний на Рисунке 4.1.

Рис.21.3. График вынужденных колебаний

Установившиеся вынужденные колебания являются так же гармоническими.

Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс.

1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид:

, .

Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение.

Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить .

Рисунок 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Учитывая значение , ,, получим формулы для φ 0 и А ампл. механической системы:

,

.

2. Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и величины силы сопротивления в колеблющейся механической системе, по этим данным построим график . Результаты исследования отражены в Рисунке 21.5, по ним видно, что при некоторой частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний резко возрастает. И это возрастание тем больше, чем меньше коэффициент затухания β. При амплитуда колебаний становится бесконечно большой .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной , называется резонансом.

(21.12)

Кривые на Рисунке 21.5 отражают зависимость и называются амплитудными резонансными кривыми .

Рисунок 21.5 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

Амплитуда резогансных колебаний примет вид:

Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными , а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями .

В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента – колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 21.6 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 21.7.). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной.

Рисунок 21.7. Часовой механизм с маятником.

Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод.

Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.

В реальной действительности свободные колебания происходят в условиях действия сил сопротивления. Диссипативные силы ведут к уменьшению амплитуды колебаний. Колебания, амплитуда которых с течением времени становится меньше в результате потерь энергии, называются затухающими.

Затухающие механические колебания

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Физическую величину, которая характеризует скорость затухания колебаний, называют коэффициентом затухания . Коэффициент затухания могут обозначать по-разному: и т.д. При условии пропорциональности сил трения скорости движения тела:

где — является обобщенным коэффициентом трения, коэффициент затухания считают равным:

где — масса тела, совершающего колебания.

Дифференциальное уравнение колебаний при наличии затухания будет иметь вид:

— циклическая частота свободных колебаний системы при отсутствии трения.

Уравнение затухающих колебаний:

где — частота затухающих колебаний, — амплитуда затухающих колебаний. — постоянная величина, которая зависит от выбора начала отсчета времени.

Коэффициент затухания можно определить как величину обратную времени () за которое амплитуд (A) уменьшается в e раз:

где — время релаксации. То есть можно записать:

Период затухающих колебаний равен:

при несущественном сопротивлении среды, если выполняется неравенство: период колебаний можно вычислять при помощи формулы:

При увеличении коэффициента затухания период колебаний растет. Надо заметить, что понятие период затухающих колебаний не совпадает с понятием незатухающих колебаний, так как система при наличии затухания никогда не возвращается в исходное состояние. Период затухающих колебаний — это минимальный промежуток времени в течение которого, система два раза проходит положение равновесия в одном направлении.

С увеличением коэффициента затухания колебаний частота колебаний уменьшается. Если , то частота затухающих колебаний станет равна нулю, при этом период увеличивается до бесконечности. Такие колебания теряют периодичность и называются апериодическими. При равенстве коэффициента затухания собственной частоте колебаний параметры системы называют критическими.

Коэффициент затухания колебаний связан с логарифмическим декрементом затухания () выражением:

Затухающие электрические колебания

Любой электрический контур, существующий в реальной действительности, имеет активное сопротивление, следовательно, энергия, запасённая в нем с течением времени расходуется на этом сопротивлении, так как происходит его нагревание.

При этом коэффициент затухания для электрического контура вычисляют как:

где R — сопротивление, L- индуктивность контура.

Частота в электромагнитном контуре представлена формулой:

Для RLC контура критическим сопротивлением () при котором колебания становятся апериодическими является сопротивление, равное:

находят при

Единицы измерения коэффициента затухания колебаний

Основной единицей измерения коэффициента затухания в системе СИ является:

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Каков коэффициент затухания, если амплитуда колебаний маятника за время t=10 c. уменьшается в 4 раза?
Решение Запишем уравнение затухающих колебаний маятника:

По одному из определений коэффициента затухания:

Проведем вычисления:
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L, конденсатора C и сопротивления R (рис.1). Через какое число полных колебаний (N) амплитуда тока в контуре уменьшится в e -раз?

Решение Введем следующие обозначения: — начальное значение амплитуды силы тока, — амплитуда силы тока через N колебаний, тогда можно записать:

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания называются свободными , если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид

где - колеблющаяся величина, - циклическая частота.

- решение этого уравнения. Здесь - амплитуда, - начальная фаза.

Фаза колебаний.

Амплитуда – максимальное значение колеблющейся величины.

Период колебаний – промежуток времени, через который происходит повторение движения тела. Фаза колебания за период получает приращение . . , - число колебаний.

Частота колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени. . . Измеряется в герцах (Гц).

Циклическая частота – число колебаний, совершаемых за секунд. . Единица измерения .

Фаза колебаний – величина, стоящая под знаком косинуса и характеризующая состояние колебательной системы в любой момент времени.

Начальная фаза – фаза колебаний в начальный момент времени. Фаза и начальная фаза измеряются в радианах ().

Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид

, (1)

Решение уравнения (1) в случае малого затухания (d 2 << ) имеет вид

Промежуток времени , в течение которого амплитуда уменьшается в e раз, называется временем релаксации .

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими. Однако, если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя следующими друг за другом максимумами (или минимумами) колеблющейся величины. Тогда период затухающих колебаний вычисляют по формуле

.

Если A (t ) и A (t+T )– амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания , а его логарифм

– логарифмическим декрементом затухания .

Величина N e – это число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная величина для данной колебательной системы.

Для характеристики колебательной системы используют понятие добротности Q , которая при малых значениях логарифмического декремента равна

.



 

Возможно, будет полезно почитать: