Finden Sie Odz-Beispiele. Beginnen Sie in der Wissenschaft

In Gleichungen und Ungleichungen der Form , , , wird der Schnittpunkt der Definitionsbereiche von Funktionen als Bereich akzeptabler Werte (ODV) der Variablen sowie als ODV der Gleichung bzw. Ungleichung bezeichnet.

Wenn man Gleichungen (Ungleichungen) mit einer Variablen löst und sich die Frage stellt, ob man die ODZ findet, hört man oft ein kategorisches „Ja“ und nicht weniger kategorisches „Nein“. „Zuerst müssen Sie die ODZ finden und dann mit der Lösung der Gleichung (Ungleichung) fortfahren“, sagen einige. „Es besteht keine Notwendigkeit, Zeit mit ODZ zu verschwenden. Im Laufe der Lösung werden wir zu einer äquivalenten Gleichung (Ungleichung) oder zu einem äquivalenten System von Gleichungen und Ungleichungen oder nur zu Ungleichungen übergehen. Denn wenn es sich um eine Gleichung handelt, kann man sie überprüfen“, argumentieren andere.

Ist es also möglich, ODZ zu finden?

Natürlich gibt es auf diese Frage keine einheitliche Antwort. Das Finden der ODZ-Gleichung oder -Ungleichung ist kein zwingender Bestandteil der Lösung. In jedem konkreten Beispiel wird dieses Problem individuell gelöst.

In einigen Fällen vereinfacht das Finden der ODZ die Lösung einer Gleichung oder einer Ungleichung (Beispiele 1–5), und in einigen Fällen ist es sogar ein notwendiger Schritt bei der Lösung (Beispiele 1, 2, 4).

In anderen Fällen (Beispiele 6, 7) lohnt es sich, auf die vorläufige Suche nach der ODZ zu verzichten, da dies die Lösung umständlicher macht.

Beispiel 1 Löse die Gleichung.

Das Quadrieren beider Seiten der Gleichung wird sie nicht vereinfachen, sondern komplizierter machen und es Ihnen nicht ermöglichen, Radikale loszuwerden. Wir müssen nach einer anderen Lösung suchen.

Finden wir die ODZ-Gleichung:

Somit enthält die ODZ nur einen Wert und daher kann nur die Zahl 4 als Wurzel der ursprünglichen Gleichung dienen. Durch direkte Substitution stellen wir sicher, dass dies die einzige Wurzel der Gleichung ist.

Beispiel 2 Löse die Gleichung.

Das Vorhandensein von Radikalen unterschiedlichen Grades – des zweiten, dritten und sechsten Grades – in der Gleichung erschwert die Lösung. Daher finden wir zunächst die ODZ-Gleichung:

Durch direkte Substitution stellen wir sicher, dass es sich um die Wurzel der ursprünglichen Gleichung handelt.

Beispiel 3 Lösen Sie die Ungleichung.

Natürlich kann diese Ungleichung gelöst werden, indem man die Fälle betrachtet: , , aber das Finden der ODZ vereinfacht diese Lösung sofort.

ODZ:

Wenn wir diesen einzelnen Wert in die ursprüngliche Ungleichung einsetzen, erhalten wir eine falsche numerische Ungleichung. Daher hat die ursprüngliche Ungleichung keine Lösung.

Antwort: keine Lösung.

Beispiel 4 Löse die Gleichung.

Schreiben wir die Gleichung in der Form .

Eine Gleichung der Form entspricht einem gemischten System diese.

Natürlich ist es überflüssig, die ODZ hier zu finden.

In unserem Fall erhalten wir ein äquivalentes System diese.

Die Gleichung ist äquivalent zur Menge Die Gleichung hat keine rationalen Wurzeln, kann aber irrationale Wurzeln haben, deren Suche den Schülern Schwierigkeiten bereiten wird. Suchen wir also nach einer anderen Lösung.

Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und schreiben sie in der Form .

Finden wir ODZ:.

Für die rechte Seite der Gleichung und die linke Seite . Daher liegt die ursprüngliche Gleichung im Bereich akzeptabler Werte der Variablen X ist äquivalent zum Gleichungssystem das nur eine Lösung hat.

In diesem Beispiel war es also die Entdeckung der ODZ, die es ermöglichte, die ursprüngliche Gleichung zu lösen.

Beispiel 5 Löse die Gleichung.

Da , und , müssen beim Lösen der ursprünglichen Gleichung die Module entfernt (geöffnet) werden.

Daher ist es zunächst sinnvoll, die ODZ-Gleichung zu finden:

Also, ODZ:

Vereinfachen Sie die ursprüngliche Gleichung mithilfe der Eigenschaften von Logarithmen.

Da im Bereich akzeptabler Werte der Variablen X und dann , und , dann erhalten wir eine äquivalente Gleichung:

Unter Berücksichtigung dessen, dass in ODZ , gehen wir zur äquivalenten Gleichung über und löse es, indem du beide Seiten durch 3 dividierst.

Antwort: - 4,75.

Kommentar.

Wenn die ODZ nicht gefunden wird, müssten beim Lösen der Gleichung vier Fälle berücksichtigt werden: , , , . In jedem dieser Konstanzintervalle von Ausdrücken unter dem Modulzeichen wäre es notwendig, die Module zu öffnen und die resultierende Gleichung zu lösen. Führen Sie außerdem eine Überprüfung durch. Wir sehen, dass das Finden der ODZ der ursprünglichen Gleichung ihre Lösung erheblich vereinfacht.

Beispiel 7 Lösen Sie die Ungleichung .

Da die Variable X geht in die Basis des Logarithmus ein, dann müssen bei der Lösung dieser Ungleichung zwei Fälle berücksichtigt werden: und . Daher ist es unpraktisch, ODZ separat zu finden.

Wir stellen also die ursprüngliche Ungleichung in der Form dar und es wird der Kombination zweier Systeme entsprechen:

Antworten: .

Wissenschaftlicher Leiter:

1. Einleitung 3

2. Historischer Hintergrund 4

3. „Ort“ von ODZ beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen 5-6

4. Merkmale und Gefahr von ODZ 7

5. ODZ – es gibt eine Entscheidung 8-9

6. ODZ zu finden ist zusätzliche Arbeit. Äquivalenz der Übergänge 10-14

7. ODZ in der Prüfung 15-16

8. Fazit 17

9. Literatur 18

1. Einleitung

Problem: Die Gleichungen und Ungleichungen, in denen Sie die ODZ finden müssen, haben in der systematischen Darstellung der Algebra keinen Platz gefunden, weshalb meine Kollegen und ich wahrscheinlich oft Fehler bei der Lösung solcher Beispiele machen und viel Zeit für deren Lösung aufwenden , während man die ODZ vergisst.

Ziel: in der Lage sein, die Situation zu analysieren und in Beispielen, in denen die ODD berücksichtigt werden muss, logisch korrekte Schlussfolgerungen zu ziehen.

Aufgaben:

1. Theoretisches Material studieren;

2. Lösen Sie eine Reihe von Gleichungen und Ungleichungen: a) gebrochen rational; b) irrational; c) logarithmisch; d) enthält inverse trigonometrische Funktionen;

3. Wenden Sie die erlernten Materialien in einer Situation an, die vom Standard abweicht.

4. Erstellen Sie eine Arbeit zum Thema „Region akzeptabler Werte: Theorie und Praxis“

Projektarbeit: Ich begann mit der Arbeit an dem Projekt, indem ich die mir bekannten Funktionen wiederholte. Der Umfang vieler davon ist begrenzt.

ODZ tritt auf:

1. Beim Lösen gebrochener rationaler Gleichungen und Ungleichungen

2. Beim Lösen irrationaler Gleichungen und Ungleichungen

3. Beim Lösen logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen

4. Beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, die inverse trigonometrische Funktionen enthalten

Nachdem ich viele Beispiele aus verschiedenen Quellen (USE-Handbücher, Lehrbücher, Nachschlagewerke) gelöst hatte, systematisierte ich die Lösung von Beispielen nach folgenden Prinzipien:

Sie können das Beispiel lösen und die ODZ berücksichtigen (die gebräuchlichste Methode)

Es ist möglich, das Beispiel ohne Berücksichtigung der ODZ zu lösen

Nur unter Berücksichtigung der ODZ ist es möglich, die richtige Entscheidung zu treffen.

In der Arbeit verwendete Methoden: 1) Analyse; 2) statistische Analyse; 3) Abzug; 4) Klassifizierung; 5) Prognose.

Ich habe die Analyse der Ergebnisse des Einheitlichen Staatsexamens in den letzten Jahren studiert. In den Beispielen, in denen das DHS berücksichtigt werden muss, wurden viele Fehler gemacht. Dies unterstreicht noch einmal Relevanz mein Thema.

2. Historischer Abriss

Wie andere Konzepte der Mathematik entwickelte sich auch das Konzept einer Funktion nicht sofort, sondern hat einen langen Entwicklungsweg zurückgelegt. In P. Fermats Werk „Einführung und Studium flacher und fester Orte“ (1636, veröffentlicht 1679) heißt es: „Immer wenn die endgültige Gleichung zwei unbekannte Größen enthält, gibt es einen Ort.“ Im Wesentlichen geht es hier um funktionale Abhängigkeit und ihre grafische Darstellung („Ort“ bedeutet für Fermat eine Linie). Auch die Untersuchung von Geraden anhand ihrer Gleichungen in R. Descartes‘ „Geometrie“ (1637) weist auf ein klares Verständnis der gegenseitigen Abhängigkeit zweier Variablen hin. I. Barrow („Lectures on Geometry“, 1670) stellt in geometrischer Form die gegenseitige Reziprozität der Differenzierungs- und Integrationshandlungen fest (natürlich ohne diese Begriffe selbst zu verwenden). Dies zeugt bereits von einer völlig klaren Beherrschung des Funktionsbegriffs. In geometrischer und mechanischer Form finden wir dieses Konzept auch bei I. Newton. Der Begriff „Funktion“ taucht jedoch erst 1692 bei G. Leibniz auf und zudem nicht ganz im modernen Sinne. G. Leibniz nennt verschiedene mit einer Kurve verbundene Segmente (z. B. die Abszissen ihrer Punkte) eine Funktion. Im ersten gedruckten Kurs „Analyse unendlich kleiner Linien zur Kenntnis gekrümmter Linien“ von Lopital (1696) wird der Begriff „Funktion“ nicht verwendet.

Die erste Definition einer Funktion in einem Sinne, der der modernen nahe kommt, findet sich bei I. Bernoulli (1718): „Eine Funktion ist eine Größe, die aus einer Variablen und einer Konstante besteht.“ Diese nicht ganz eindeutige Definition basiert auf der Idee, eine Funktion durch eine analytische Formel anzugeben. Die gleiche Idee erscheint in der Definition von L. Euler, die er in „Einführung in die Analyse des Unendlichen“ (1748) gegeben hat: „Eine Funktion einer variablen Größe ist ein analytischer Ausdruck, der auf irgendeine Weise aus dieser variablen Größe und Zahlen zusammengesetzt ist.“ oder konstante Mengen.“ Doch auch L. Euler ist dem modernen Funktionsverständnis nicht fremd, das den Funktionsbegriff mit keinem seiner analytischen Ausdrücke verbindet. In seiner „Differentialrechnung“ (1755) heißt es: „Wenn einige Größen von anderen so abhängig sind, dass sie selbst eine Änderung erfahren, wenn sich die letzteren ändern, dann heißen die ersteren Funktionen der letzteren.“

Seit Beginn des 19. Jahrhunderts wird der Begriff einer Funktion immer häufiger definiert, ohne dass ihre analytische Darstellung erwähnt wird. In der „Abhandlung über die Differential- und Integralrechnung“ (1797-1802) sagt S. Lacroix: „Jede Größe, deren Wert von einer oder mehreren anderen Größen abhängt, wird als Funktion dieser letzteren bezeichnet.“ In der „Analytischen Theorie der Wärme“ von J. Fourier (1822) gibt es einen Satz: „Die Funktion.“ f(x) bezeichnet eine völlig beliebige Funktion, das heißt eine Folge gegebener Werte, die einem allgemeinen Gesetz unterliegen oder nicht und allen Werten entsprechen X liegt zwischen 0 und einem bestimmten Wert X". Die Definition von N. I. Lobachevsky kommt der modernen nahe: „... Der allgemeine Begriff einer Funktion erfordert, dass eine Funktion von X Nennen Sie jeweils die angegebene Nummer X und zusammen mit Xändert sich allmählich. Der Wert einer Funktion kann entweder durch einen analytischen Ausdruck oder durch eine Bedingung angegeben werden, die die Möglichkeit bietet, alle Zahlen zu testen und eine davon auszuwählen, oder schließlich kann die Abhängigkeit bestehen und unbekannt bleiben. An derselben Stelle heißt es etwas weiter unten: „Die weite Auffassung der Theorie lässt die Existenz einer Abhängigkeit nur in dem Sinne zu, dass die Zahlen, die miteinander in Verbindung stehen, so verstanden werden, als ob sie zusammen gegeben wären.“ So wurde vor ihm wiederholt die moderne Definition einer Funktion vorgeschlagen, die frei von Bezügen zur analytischen Aufgabe ist und üblicherweise P. Dirichlet (1837) zugeschrieben wird.

Der Definitionsbereich (zulässige Werte) der Funktion y ist die Wertemenge der unabhängigen Variablen x, für die diese Funktion definiert ist, also der Änderungsbereich der unabhängigen Variablen (Argument).

3. „Ort“ des Bereichs zulässiger Werte beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen

1. Beim Lösen gebrochener rationaler Gleichungen und Ungleichungen Der Nenner darf nicht Null sein.

2. Lösung irrationaler Gleichungen und Ungleichungen.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

In diesem Fall ist es nicht erforderlich, die ODZ zu finden: Aus der ersten Gleichung folgt, dass die erhaltenen x-Werte die folgende Ungleichung erfüllen: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif " width="107" height="27 src="> ist das System:

Da die Gleichung gleich ist, können Sie anstelle der Ungleichung auch die Ungleichung einbeziehen https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen.

3.1. Schema zur Lösung der logarithmischen Gleichung

Es reicht jedoch aus, nur eine Bedingung der ODZ zu überprüfen.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Trigonometrische Gleichungen der Form sind äquivalent zum System (anstelle der Ungleichung kann das System auch die Ungleichung enthalten, die https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> entspricht Die gleichung

4. Merkmale und Gefahren des zulässigen Wertebereichs

Im Mathematikunterricht müssen wir in jedem Beispiel die ODZ finden. Gleichzeitig ist das Auffinden der ODZ nach dem mathematischen Kern der Sache keineswegs zwingend, oft unnötig und manchmal unmöglich – und das alles ohne Schaden für die Lösung des Beispiels. Andererseits kommt es häufig vor, dass Studierende nach der Lösung eines Beispiels vergessen, die ODZ zu berücksichtigen, sie als endgültige Antwort aufzuschreiben und nur einige Bedingungen zu berücksichtigen. Dieser Umstand ist bekannt, aber der „Krieg“ geht jedes Jahr weiter und wird anscheinend noch lange andauern.

Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Ungleichung:

Hier wird die ODZ gesucht und die Ungleichung gelöst. Allerdings glauben Schulkinder bei der Lösung dieser Ungleichung manchmal, dass man durchaus auf die Suche nach ODZ verzichten kann, genauer gesagt, auf die Bedingung verzichten kann

Um die richtige Antwort zu erhalten, ist es tatsächlich notwendig, sowohl die Ungleichung als auch zu berücksichtigen.

Und hier ist zum Beispiel die Lösung der Gleichung: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

was der Arbeit mit ODZ entspricht. In diesem Beispiel ist eine solche Arbeit jedoch überflüssig – es reicht aus, die Erfüllung von nur zwei dieser Ungleichungen zu überprüfen, und zwar von zwei beliebigen.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass jede Gleichung (Ungleichung) auf die Form reduziert werden kann. Der DPV ist einfach der Funktionsumfang auf der linken Seite. Dass dieser Bereich überwacht werden muss, ergibt sich bereits aus der Definition der Wurzel als Zahl aus dem Bereich der gegebenen Funktion, also aus der ODZ. Hier ist ein lustiges Beispiel zu diesem Thema..gif" width="20" height="21 src="> hat einen Definitionsbereich einer Menge positiver Zahlen (dies ist natürlich eine Vereinbarung - um die Funktion unter zu betrachten). , aber vernünftig), und dann ist -1 nicht die Wurzel.

5. Bereich akzeptabler Werte – es gibt eine Lösung

Und schließlich ermöglicht Ihnen das Finden der ODZ in der Masse der Beispiele, die Antwort zu erhalten ohne umständliche Layouts, und sogar mündlich.

1. OD3 ist eine leere Menge, was bedeutet, dass das ursprüngliche Beispiel keine Lösungen hat.

1) 2) 3)

2. In ODZ Eine oder mehrere Zahlen werden gefunden, und eine einfache Substitution bestimmt schnell die Wurzeln.

1) , x=3

2)Hier in der ODZ gibt es nur die Zahl 1, und nach der Ersetzung ist klar, dass es sich nicht um eine Wurzel handelt.

3) Es gibt zwei Zahlen in der ODZ: 2 und 3, und beide sind geeignet.

4) > Es gibt zwei Zahlen 0 und 1 in der ODZ, und nur 1 ist geeignet.

DPV kann effektiv in Kombination mit der Analyse des Ausdrucks selbst eingesetzt werden.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) Aus der ODZ folgt, woher wir haben ..gif" width="143" height="24"> Aus der ODZ haben wir: . Aber dann und . Da, dann gibt es keine Lösungen.

Aus der ODZ haben wir: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, was bedeutet. Wenn wir die letzte Ungleichung lösen, erhalten wir x<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ODZ: . Seit damals

Andererseits https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. Betrachten Sie die Gleichung für das Intervall [-1; 0).

Es erfüllt solche Ungleichungen https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src ="> und es gibt keine Lösungen. Mit der Funktion und https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">.ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> Finden wir die ODZ:

Eine ganzzahlige Lösung ist nur für x=3 und x=5 möglich. Durch die Überprüfung stellen wir fest, dass die Wurzel x \u003d 3 nicht passt, was bedeutet, dass die Antwort lautet: x \u003d 5.

6. Das Ermitteln des Bereichs akzeptabler Werte ist zusätzliche Arbeit. Äquivalenz von Übergängen.

Es können Beispiele genannt werden, bei denen die Situation auch ohne Auffinden der ODZ klar ist.

1.

Gleichheit ist unmöglich, denn wenn man einen größeren Ausdruck von einem kleineren subtrahiert, sollte man eine negative Zahl erhalten.

2. .

Die Summe zweier nichtnegativer Funktionen kann nicht negativ sein.

Ich werde auch Beispiele nennen, bei denen es schwierig und manchmal einfach unmöglich ist, die ODZ zu finden.

Und schließlich ist die Suche nach ODZ sehr oft nur unnötige Arbeit, auf die man durchaus verzichten kann, um so Verständnis für das Geschehen zu beweisen. Es gibt hier eine Vielzahl von Beispielen, daher werde ich nur die typischsten auswählen. In diesem Fall besteht die Hauptentscheidungstechnik in äquivalenten Transformationen beim Übergang von einer Gleichung (Ungleichung, System) zu einer anderen.

1.. ODZ wird nicht benötigt, da wir x=0 nicht erhalten können, nachdem wir die Werte von x gefunden haben, für die x2=1 ist.

2. . ODZ wird nicht benötigt, da wir herausfinden, wann der Wurzelausdruck einer positiven Zahl entspricht.

3. . ODZ wird aus den gleichen Gründen wie im vorherigen Beispiel nicht benötigt.

4.

ODZ wird nicht benötigt, da der Wurzelausdruck gleich dem Quadrat einer Funktion ist und daher nicht negativ sein kann.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> Nur eine Einschränkung für den Radikalausdruck reicht für die Lösung aus. Tatsächlich folgt aus dem geschriebenen gemischten System, dass der andere Radikalausdruck ebenfalls nicht negativ ist.

8. ODZ wird aus den gleichen Gründen wie im vorherigen Beispiel nicht benötigt.

9. Der DPV wird nicht benötigt, da es ausreicht, dass zwei der drei Ausdrücke unter den Logarithmuszeichen positiv sind, um sicherzustellen, dass der dritte positiv ist.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ wird aus den gleichen Gründen wie im vorherigen Beispiel nicht benötigt.

Es ist jedoch anzumerken, dass bei der Lösung mit der Methode der äquivalenten Transformationen die Kenntnis der ODZ (und der Eigenschaften von Funktionen) hilfreich ist.

Hier sind einige Beispiele.

1. . OD3, woraus die Positivität des Ausdrucks auf der rechten Seite folgt, und es ist möglich, eine Gleichung zu schreiben, die der angegebenen Gleichung in dieser Form entspricht https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif " width="112" height="27 "> ODZ:. Aber dann und bei der Lösung dieser Ungleichung ist es nicht notwendig, den Fall zu berücksichtigen, wenn die rechte Seite kleiner als 0 ist.

3. . Aus der ODZ geht hervor, dass und daher der Fall, wenn https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Der Übergang im Allgemeinen so aussieht :

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Zwei Fälle sind möglich: 0 >1.

Daher entspricht die ursprüngliche Ungleichung der folgenden Menge von Ungleichungssystemen:

Das erste System hat keine Lösungen und aus dem zweiten erhalten wir: x<-1 – решение неравенства.

Um die Bedingungen der Äquivalenz zu verstehen, müssen einige Feinheiten bekannt sein. Warum sind beispielsweise die folgenden Gleichungen äquivalent:

Oder

Und zum Schluss vielleicht das Wichtigste. Tatsache ist, dass die Äquivalenz die Richtigkeit der Antwort garantiert, wenn einige Transformationen der Gleichung selbst durchgeführt werden, sie wird jedoch nicht für Transformationen nur in einem der Teile verwendet. Reduktion, die Verwendung unterschiedlicher Formeln in einem der Teile, fällt nicht unter die Äquivalenzsätze. Einige Beispiele dieser Art habe ich bereits genannt. Schauen wir uns einige weitere Beispiele an.

1. Eine solche Entscheidung ist natürlich. Kommen wir auf der linken Seite aufgrund der Eigenschaft der logarithmischen Funktion zum Ausdruck ..gif" width="111" height="48">

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir das Ergebnis (-2 und 2), das jedoch nicht die Antwort ist, da die Zahl -2 nicht in der ODZ enthalten ist. Was brauchen wir also, um ODZ zu installieren? Nein, natürlich. Da wir jedoch eine bestimmte Eigenschaft der logarithmischen Funktion in der Lösung verwendet haben, müssen wir sicherstellen, dass die Bedingungen erfüllt sind, unter denen sie erfüllt ist. Eine solche Bedingung ist die Positivität von Ausdrücken unter dem Vorzeichen des Logarithmus..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> Zahlen können auf diese Weise ersetzt werden . Wer möchte schon so mühsame Berechnungen durchführen?.gif" width="12" height="23 src="> Füge eine Bedingung hinzu und es ist sofort klar, dass nur die Zahl diese Bedingung erfüllt https://pandia.ru/text/ 78/083/ images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) wurde von 52 % der Händler demonstriert. Einer der Gründe für diese geringe Leistung ist die Tatsache, dass viele Absolventen nicht die Wurzeln ausgewählt haben, die sich aus der Gleichung nach dem Quadrieren ergeben.

3) Betrachten Sie zum Beispiel die Lösung einer der Aufgaben C1: „Finden Sie alle x-Werte, für die die Punkte des Funktionsgraphen liegen.“ liegen über den entsprechenden Punkten des Graphen der Funktion ". Die Aufgabe reduziert sich auf die Lösung einer gebrochenen Ungleichung, die einen logarithmischen Ausdruck enthält. Wir kennen die Methoden zur Lösung solcher Ungleichungen. Die gebräuchlichste davon ist die Intervallmethode. Allerdings bei der Verwendung Darin machen die Händler verschiedene Fehler. Betrachten wir die häufigsten Fehler am Beispiel der Ungleichheit:

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие X < 10.

8. Fazit

Zusammenfassend können wir sagen, dass es keine universelle Methode zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen gibt. Wenn Sie verstehen möchten, was Sie tun, und nicht mechanisch handeln möchten, entsteht jedes Mal ein Dilemma: Welche Entscheidungsmethode soll gewählt werden, insbesondere um nach ODZ zu suchen oder nicht? Ich denke, dass meine Erfahrung mir helfen wird, dieses Dilemma zu lösen. Ich werde keine Fehler mehr machen, sobald ich gelernt habe, wie man das ODZ richtig nutzt. Ob es mir gelingt, wird die Zeit zeigen, bzw. die Prüfung.

9. Literatur

Und andere. „Algebra und der Beginn der Analysis 10-11“ Problembuch und Lehrbuch, M.: „Aufklärung“, 2002. „Handbuch der Elementarmathematik.“ M.: „Nauka“, 1966. Zeitung „Mathematik“ Nr. 46, Zeitung „Mathematik“ Nr. Zeitung „Mathematik“ Nr. „Geschichte der Mathematik in den Klassen VII-VIII“. M.: „Enlightenment“, 1982. und andere. „Die umfassendste Ausgabe von Optionen für reale Aufgaben des USE: 2009 / FIPI“ – M.: „Astrel“, 2009. und andere. „USE. Mathematik. Universelle Materialien zur Vorbereitung von Studierenden / FIPI“ – M.: „Intellect-Center“, 2009. und andere. „Algebra und der Beginn der Analysis 10-11“. M.: „Prosveshchenie“, 2007. , „Workshop zur Lösung von Problemen der Schulmathematik (Workshop zur Algebra)“. M.: Bildung, 1976. „25000 Lektionen Mathematik.“ M.: „Prosveshchenie“, 1993. „Vorbereitung auf Mathematikolympiaden.“ M.: „Exam“, 2006. „Enzyklopädie für Kinder „MATHEMATIK““ Band 11, M.: Avanta +; 2002. Materialien der Websites www. ***** www. *****.

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Wie ?
Lösungsbeispiele

Wenn irgendwo etwas fehlt, dann ist irgendwo etwas

Wir studieren weiterhin den Abschnitt „Funktionen und Grafiken“ und die nächste Station unserer Reise ist. Eine aktive Diskussion dieses Konzepts begann im Artikel über Mengen und wurde in der ersten Lektion fortgesetzt Funktionsgraphen, wo ich mir elementare Funktionen und insbesondere deren Umfang angesehen habe. Daher empfehle ich Dummies, mit den Grundlagen des Themas zu beginnen, da ich nicht noch einmal auf einige grundlegende Punkte eingehen werde.

Es wird davon ausgegangen, dass der Leser den Definitionsbereich der folgenden Funktionen kennt: lineare, quadratische, kubische Funktion, Polynome, Exponent, Sinus, Cosinus. Sie sind definiert auf (Menge aller reellen Zahlen). Für Tangenten, Arkussinus, sei es so, ich verzeihe dir =) – seltenere Graphen merkt man sich nicht sofort.

Der Bereich der Definition scheint eine einfache Sache zu sein, und es stellt sich natürlich die Frage: Worum wird es in dem Artikel gehen? In dieser Lektion werde ich allgemeine Aufgaben zum Ermitteln des Definitionsbereichs einer Funktion betrachten. Darüber hinaus werden wir wiederholen Ungleichungen mit einer Variablen, die Fähigkeiten zur Lösung, die bei anderen Problemen der höheren Mathematik erforderlich sein werden. Das Material ist übrigens alles Schulmaterial und wird daher nicht nur für Schüler, sondern auch für Schüler nützlich sein. Die Informationen erheben natürlich nicht den Anspruch, enzyklopädisch zu sein, aber andererseits handelt es sich hier nicht um weit hergeholte „tote“ Beispiele, sondern um geröstete Kastanien, die echten Praxisarbeiten entnommen sind.

Beginnen wir mit einem Express-Einschnitt in das Thema. Kurz zur Hauptsache: Es handelt sich um eine Funktion einer Variablen. Sein Definitionsbereich ist Satz von „x“-Werten, wofür existieren die Bedeutung von „Spielen“. Betrachten Sie ein hypothetisches Beispiel:

Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die Vereinigung von Intervallen:
(für diejenigen, die es vergessen haben: - das Gewerkschaftssymbol). Mit anderen Worten, wenn wir einen beliebigen Wert von „x“ aus dem Intervall oder aus oder aus nehmen, dann wird es für jedes dieser „x“ einen Wert von „y“ geben.

Grob gesagt gibt es dort, wo sich der Definitionsbereich befindet, einen Graphen der Funktion. Aber das Halbintervall und der „ce“-Punkt sind nicht im Definitionsbereich enthalten und es gibt dort keine Grafik.

Wie finde ich den Umfang einer Funktion? Viele Menschen erinnern sich an den Kinderreim: „Stein, Schere, Papier“, und in diesem Fall kann man ihn getrost umschreiben: „Wurzel, Bruch und Logarithmus“. Wenn Sie also auf Ihrem Lebensweg auf einen Bruch, eine Wurzel oder einen Logarithmus stoßen, sollten Sie sofort sehr, sehr vorsichtig sein! Tangens, Kotangens, Arkussinus und Arkuskosinus sind viel seltener, und wir werden auch über sie sprechen. Doch zunächst Skizzen aus dem Leben der Ameisen:

Der Umfang einer Funktion, die einen Bruch enthält

Angenommen, eine Funktion enthält einen Bruch. Wie Sie wissen, können Sie nicht durch Null dividieren: , also jene x-Werte, die den Nenner auf Null drehen, sind nicht im Umfang dieser Funktion enthalten.

Ich werde nicht auf die einfachsten Funktionen eingehen und so weiter, da jeder Punkte, die nicht in seinem Definitionsbereich enthalten sind, perfekt erkennen kann. Betrachten Sie sinnvollere Brüche:

Beispiel 1

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Lösung: Der Zähler enthält nichts Besonderes, aber der Nenner muss ungleich Null sein. Setzen wir es mit Null gleich und versuchen wir, die „schlechten“ Punkte zu finden:

Die resultierende Gleichung hat zwei Wurzeln: . Messwert nicht im Funktionsumfang enthalten. Ersetzen Sie tatsächlich oder in der Funktion und Sie werden sehen, dass der Nenner gegen Null geht.

Antworten: Domäne:

Der Eintrag lautet wie folgt: „Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen mit Ausnahme der aus Werten bestehenden Menge.“ ". Ich erinnere Sie daran, dass das Backslash-Symbol in der Mathematik für logische Subtraktion steht und geschweifte Klammern eine Menge bezeichnen. Die Antwort kann äquivalent als Vereinigung von drei Intervallen geschrieben werden:

Wem es gefällt.

An Punkten Funktion bleibt bestehen endlose Pausen und die durch die Gleichungen gegebenen Geraden Sind vertikale Asymptoten für den Graphen dieser Funktion. Dies ist jedoch ein etwas anderes Thema und ich werde mich nicht weiter darauf konzentrieren.

Beispiel 2

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Die Aufgabe ist im Wesentlichen mündlich und viele von Ihnen werden den Definitionsbereich fast sofort finden. Antworten Sie am Ende der Lektion.

Wird ein Bruch immer „schlecht“ sein? Nein. Beispielsweise wird eine Funktion auf der gesamten Zahlenachse definiert. Welchen Wert von „x“ wir auch annehmen, der Nenner wird nicht zu Null, außerdem wird er immer positiv sein:. Somit ist der Umfang dieser Funktion: .

Alle Funktionen wie definiert und kontinuierlich An .

Etwas komplizierter ist die Situation, wenn der Nenner das Quadrattrinom einnimmt:

Beispiel 3

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Lösung: Versuchen wir, die Punkte zu finden, an denen der Nenner gegen Null geht. Dafür werden wir uns entscheiden quadratische Gleichung:

Es stellte sich heraus, dass die Diskriminante negativ war, was bedeutet, dass es keine echten Wurzeln gibt und unsere Funktion auf der gesamten Zahlenachse definiert ist.

Antworten: Domäne:

Beispiel 4

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Ich rate Ihnen, bei einfachen Problemen nicht faul zu sein, da sich bei weiteren Beispielen Missverständnisse häufen.

Funktionsumfang mit Root

Die Quadratwurzelfunktion ist nur für die Werte von „x“ definiert, wenn Der radikale Ausdruck ist nicht negativ: . Liegt die Wurzel im Nenner, dann ist die Bedingung offensichtlich verschärft: . Ähnliche Berechnungen gelten für jede Wurzel mit positivem geradem Grad: Die Wurzel liegt jedoch bereits im 4. Grad Funktionsstudien Ich erinnere mich nicht.

Beispiel 5

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Lösung: radikaler Ausdruck darf nicht negativ sein:

Bevor ich mit der Lösung fortfahre, möchte ich Sie an die seit der Schule bekannten Grundregeln für die Arbeit mit Ungleichheiten erinnern.

Ich achte besonders darauf! Wir betrachten jetzt die Ungleichungen mit einer Variablen- das heißt, für uns gibt es nur eine Dimension entlang der Achse. Bitte nicht verwechseln mit Ungleichungen zweier Variablen, wobei die gesamte Koordinatenebene geometrisch beteiligt ist. Es gibt jedoch auch angenehme Zufälle! Für Ungleichheit sind also die folgenden Transformationen äquivalent:

1) Begriffe können von Teil zu Teil übertragen werden, indem ihre (Begriffe) geändert werden. Zeichen.

2) Beide Seiten der Ungleichung können mit einer positiven Zahl multipliziert werden.

3) Wenn beide Teile der Ungleichung mit multipliziert werden Negativ Nummer, die Sie ändern müssen das Zeichen der Ungleichheit selbst. Wenn es zum Beispiel „mehr“ gab, wird es „weniger“; wenn es „kleiner als oder gleich“ war, dann wird es zu „größer als oder gleich“.

In der Ungleichung verschieben wir die „Drei“ mit Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite (Regel Nr. 1):

Multiplizieren Sie beide Seiten der Ungleichung mit –1 (Regel Nr. 3):

Multiplizieren Sie beide Seiten der Ungleichung mit (Regel Nummer 2):

Antworten: Domäne:

Die Antwort kann auch mit dem entsprechenden Satz geschrieben werden: „Die Funktion ist definiert bei“.
Geometrisch wird der Definitionsbereich durch die Schattierung der entsprechenden Intervalle auf der x-Achse dargestellt. In diesem Fall:

Ich erinnere mich noch einmal an die geometrische Bedeutung des Definitionsbereichs – des Funktionsgraphen existiert nur im schattierten Bereich und fehlt bei .

In den meisten Fällen ist eine rein analytische Feststellung des Definitionsbereichs geeignet, wenn die Funktion jedoch sehr unübersichtlich ist, sollten Sie eine Achse zeichnen und Notizen machen.

Beispiel 6

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Wenn unter der Quadratwurzel ein Quadratbinomial oder -trinom steht, wird die Situation etwas komplizierter, und jetzt analysieren wir die Lösungstechnik im Detail:

Beispiel 7

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Lösung: Der radikale Ausdruck muss streng positiv sein, das heißt, wir müssen die Ungleichung lösen. Im ersten Schritt versuchen wir, das quadratische Trinom zu faktorisieren:

Die Diskriminante ist positiv, wir suchen nach den Wurzeln:

Also die Parabel schneidet die x-Achse an zwei Punkten, was bedeutet, dass ein Teil der Parabel unterhalb der Achse liegt (Ungleichung) und ein Teil der Parabel oberhalb der Achse liegt (die Ungleichung, die wir brauchen).

Da der Koeffizient , dann schauen die Äste der Parabel nach oben. Daraus folgt, dass die Ungleichung in den Intervallen erfüllt ist (die Äste der Parabel reichen bis ins Unendliche) und der Scheitelpunkt der Parabel in dem Intervall unterhalb der Abszissenachse liegt, was der Ungleichung entspricht:

! Notiz: Wenn Sie die Erklärungen nicht vollständig verstehen, zeichnen Sie bitte die zweite Achse und die gesamte Parabel! Es ist ratsam, zum Artikel und zum Handbuch zurückzukehren Heiße Schulmathematikformeln.

Bitte beachten Sie, dass die Punkte selbst punktiert sind (nicht in der Lösung enthalten), da unsere Ungleichung streng ist.

Antworten: Domäne:

Im Allgemeinen werden viele Ungleichungen (einschließlich der betrachteten) durch das Universelle gelöst Intervallmethode, wieder bekannt aus dem Schullehrplan. Aber bei quadratischen Zwei- und Dreitermen ist es meiner Meinung nach viel bequemer und schneller, die Lage der Parabel relativ zur Achse zu analysieren. Und die Hauptmethode – die Intervallmethode – werden wir im Artikel ausführlich analysieren. Funktionsnullen. Konstanzintervalle.

Beispiel 8

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Die Stichprobe kommentierte ausführlich die Logik des Denkens + den zweiten Lösungsweg und eine weitere wichtige Transformation der Ungleichung, ohne zu wissen, was der Schüler auf einem Bein hinken wird ..., ... hmm ... auf Kosten der Fuß, vielleicht war er aufgeregt, eher - an einem Finger. Daumen.

Kann eine Funktion mit einer Quadratwurzel auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert werden? Sicherlich. Alle bekannten Gesichter: . Oder eine ähnliche Summe mit einem Exponenten: . Tatsächlich gilt für alle Werte von „x“ und „ka“: also umso mehr.

Hier ist ein weniger offensichtliches Beispiel: . Hier ist die Diskriminante negativ (die Parabel schneidet die x-Achse nicht), während die Äste der Parabel nach oben gerichtet sind, daher der Definitionsbereich: .

Die Frage ist das Gegenteil: Kann der Umfang einer Funktion sein? leer? Ja, und ein primitives Beispiel drängt sich sofort auf , wobei der Wurzelausdruck für jeden Wert von „x“ negativ ist und der Definitionsbereich ist: (ein leeres Mengensymbol). Eine solche Funktion ist überhaupt nicht definiert (natürlich ist der Graph auch illusorisch).

mit seltsamen Wurzeln usw. Die Dinge sind viel besser - hier Der Wurzelausdruck kann auch negativ sein. Beispielsweise wird eine Funktion auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert. Die Funktion hat jedoch einen einzelnen Punkt, der noch nicht im Definitionsbereich enthalten ist, da der Nenner auf Null gesetzt ist. Aus dem gleichen Grund für die Funktion Punkte sind ausgeschlossen.

Funktionsbereich mit Logarithmus

Die dritte gemeinsame Funktion ist der Logarithmus. Als Beispiel werde ich einen natürlichen Logarithmus zeichnen, der in etwa 99 von 100 Beispielen vorkommt. Wenn eine bestimmte Funktion den Logarithmus enthält, sollte ihr Definitionsbereich nur die x-Werte umfassen, die die Ungleichung erfüllen . Wenn der Logarithmus im Nenner steht: dann zusätzlich Bedingung wird auferlegt (weil ).

Beispiel 9

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Lösung: In Übereinstimmung mit dem oben Gesagten stellen wir das System zusammen und lösen es:

Grafische Lösung für Dummies:

Antworten: Domäne:

Ich werde noch auf einen weiteren technischen Punkt eingehen – schließlich habe ich keine Skala und keine Unterteilungen entlang der Achse. Es stellt sich die Frage: Wie erstellt man solche Zeichnungen in einem Notizbuch auf kariertem Papier? Ist es möglich, den Abstand zwischen Punkten in Zellen streng maßstabsgetreu zu messen? Es ist natürlich kanonischer und strenger im Maßstab, aber auch eine schematische Zeichnung, die grundsätzlich die Situation widerspiegelt, ist durchaus akzeptabel.

Beispiel 10

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Um das Problem zu lösen, können Sie die Methode des vorherigen Absatzes verwenden, um zu analysieren, wie sich die Parabel relativ zur x-Achse befindet. Antworten Sie am Ende der Lektion.

Wie Sie sehen, ist im Bereich der Logarithmen alles sehr ähnlich wie bei einer Quadratwurzel: der Funktion (quadratisches Trinom aus Beispiel Nr. 7) ist auf Intervallen und der Funktion definiert (quadratisches Binomial aus Beispiel Nr. 6) auf dem Intervall . Es ist schon peinlich zu sagen, dass Typfunktionen auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert sind.

Eine nützliche Information : Die Typfunktion ist interessant, sie ist auf der gesamten Zahlenlinie bis auf den Punkt definiert. Gemäß der Eigenschaft des Logarithmus kann „zwei“ durch einen Faktor außerhalb des Logarithmus herausgenommen werden, aber damit sich die Funktion nicht ändert, muss „x“ unter dem Modulzeichen eingeschlossen sein: . Hier haben Sie noch eine „praktische Anwendung“ des Moduls =). Dies müssen Sie in den meisten Fällen beim Abriss tun selbst Abschluss, zum Beispiel: . Wenn die Basis des Grades beispielsweise offensichtlich positiv ist, kann auf das Modulzeichen verzichtet werden und es genügt, mit Klammern auszukommen: .

Um uns nicht zu wiederholen, komplizieren wir die Aufgabe:

Beispiel 11

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Lösung: In dieser Funktion haben wir sowohl die Wurzel als auch den Logarithmus.

Der Wurzelausdruck darf nicht negativ sein: , und der Ausdruck unter dem Logarithmuszeichen muss streng positiv sein: . Daher ist es notwendig, das System zu lösen:

Viele von Ihnen wissen sehr gut oder vermuten intuitiv, dass die Lösung des Systems zufriedenstellend sein muss zu jedem Zustand.

Wenn wir die Lage der Parabel relativ zur Achse untersuchen, kommen wir zu dem Schluss, dass das Intervall die Ungleichung erfüllt (blaue Schattierung):

Ungleichheit entspricht offensichtlich dem „roten“ Halbintervall.

Da beide Bedingungen erfüllt sein müssen gleichzeitig, dann ist die Lösung des Systems der Schnittpunkt dieser Intervalle. Im Halbintervall werden „gemeinsame Interessen“ beachtet.

Antworten: Domäne:

Eine typische Ungleichung, wie sie in Beispiel Nr. 8 gezeigt wird, ist analytisch nicht schwer aufzulösen.

Der gefundene Definitionsbereich ändert sich beispielsweise für „ähnliche Funktionen“ nicht oder . Sie können auch einige kontinuierliche Funktionen hinzufügen, zum Beispiel: oder so: , oder auch so: . Wie man sagt, sind die Wurzel und der Logarithmus hartnäckige Dinge. Das Einzige ist, dass sich der Definitionsbereich ändert, wenn eine der Funktionen auf den Nenner „zurückgesetzt“ wird (obwohl dies im allgemeinen Fall nicht immer zutrifft). Nun, in der Matan-Theorie über dieses verbale ... oh ... gibt es Theoreme.

Beispiel 12

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Die Verwendung eines Bauplans ist durchaus sinnvoll, da die Funktion nicht die einfachste ist.

Noch ein paar Beispiele zur Verstärkung des Materials:

Beispiel 13

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Lösung: Verfassen und lösen Sie das System:

Alle Aktionen wurden im Laufe des Artikels bereits geklärt. Zeichnen Sie auf einer Zahlenlinie das der Ungleichung entsprechende Intervall und schließen Sie gemäß der zweiten Bedingung zwei Punkte aus:

Der Wert erwies sich als völlig irrelevant.

Antworten: Domäne

Ein kleines mathematisches Wortspiel zu einer Variation des 13. Beispiels:

Beispiel 14

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Wer es verpasst hat, der ist im Flug ;-)

Der letzte Abschnitt der Lektion ist selteneren, aber auch „funktionierenden“ Funktionen gewidmet:

Funktionsumfänge
mit Tangenten, Kotangenten, Arkussinus, Arkuskosinus

Wenn eine Funktion enthält, dann aus ihrem Definitionsbereich ausgeschlossen Punkte , Wo Z ist die Menge der ganzen Zahlen. Insbesondere, wie im Artikel erwähnt Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen, die Funktion hat die folgenden Werte:

Das heißt, der Definitionsbereich der Tangente: .

Wir werden nicht viel töten:

Beispiel 15

Finden Sie den Umfang einer Funktion

Lösung: In diesem Fall fallen folgende Punkte nicht in den Definitionsbereich:

Lassen Sie uns die „Zwei“ der linken Seite in den Nenner der rechten Seite fallen lassen:

Ergebend :

Antworten: Domäne: .

Prinzipiell lässt sich die Antwort auch als Vereinigung unendlich vieler Intervalle schreiben, allerdings wird sich die Konstruktion als sehr umständlich erweisen:

Die analytische Lösung stimmt vollständig mit überein geometrische Transformationsgrafiken: Wenn das Funktionsargument mit 2 multipliziert wird, wird sein Diagramm zweimal auf die Achse verkleinert. Beachten Sie, dass sich die Periode der Funktion halbiert hat, und Bruchstellen zweimal erhöht. Tachykardie.

Ähnliche Geschichte mit Kotangens. Wenn eine Funktion enthält, werden Punkte aus ihrem Definitionsbereich ausgeschlossen. Insbesondere schießen wir für die Funktion folgende Werte mit einem Automaten-Burst ab:

Mit anderen Worten:

Jeder Ausdruck mit einer Variablen hat seinen gültigen Wertebereich, sofern er vorhanden ist. Das DHS muss bei der Entscheidung immer berücksichtigt werden. Wenn nicht, erhalten Sie möglicherweise ein falsches Ergebnis.

In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie die ODZ richtig finden und anhand von Beispielen verwenden. Es wird auch die Bedeutung der Angabe der ODZ in der Entscheidung berücksichtigen.

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Gültige und ungültige Variablenwerte

Diese Definition bezieht sich auf die zulässigen Werte der Variablen. Lassen Sie uns bei der Einführung einer Definition sehen, zu welchem ​​Ergebnis sie führt.

Ab der 7. Klasse beginnen wir mit Zahlen und numerischen Ausdrücken zu arbeiten. Anfängliche Definitionen mit Variablen springen zum Wert von Ausdrücken mit ausgewählten Variablen.

Wenn Ausdrücke mit ausgewählten Variablen vorhanden sind, erfüllen einige davon möglicherweise nicht die Anforderungen. Wenn beispielsweise a = 0 ist, ergibt ein Ausdruck wie 1: a keinen Sinn, da eine Division durch Null nicht möglich ist. Das heißt, der Ausdruck sollte solche Werte haben, die auf jeden Fall passen und die Antwort geben. Mit anderen Worten: Sie ergeben mit den verfügbaren Variablen einen Sinn.

Definition 1

Wenn es einen Ausdruck mit Variablen gibt, dann macht er nur dann Sinn, wenn bei deren Ersetzung der Wert berechnet werden kann.

Definition 2

Wenn es einen Ausdruck mit Variablen gibt, dann macht es keinen Sinn, wenn durch deren Ersetzung der Wert nicht berechnet werden kann.

Das heißt, daraus folgt die vollständige Definition

Definition 3

Vorhandene gültige Variablen sind diejenigen Werte, für die der Ausdruck sinnvoll ist. Und wenn es keinen Sinn ergibt, gelten sie als ungültig.

Um das Obige zu verdeutlichen: Wenn mehr als eine Variable vorhanden ist, kann es ein Paar geeigneter Werte geben.

Beispiel 1

Betrachten Sie beispielsweise einen Ausdruck wie 1 x - y + z, bei dem es drei Variablen gibt. Andernfalls können Sie es als x = 0 , y = 1 , z = 2 schreiben, während die andere Notation (0 , 1 , 2) ist. Diese Werte werden als gültig bezeichnet, was bedeutet, dass Sie den Wert des Ausdrucks ermitteln können. Wir erhalten das 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 . Von hier aus sehen wir, dass (1, 1, 2) ungültig sind. Die Substitution führt zu einer Division durch Null, also 1 1 - 2 + 1 = 1 0 .

Was ist ODZ?

Der Bereich gültiger Werte ist ein wichtiges Element bei der Bewertung algebraischer Ausdrücke. Daher lohnt es sich, bei der Berechnung darauf zu achten.

Definition 4

ODZ-Bereich ist die Menge der für den gegebenen Ausdruck zulässigen Werte.

Nehmen wir ein Beispiel für einen Ausdruck.

Beispiel 2

Wenn wir einen Ausdruck der Form 5 z - 3 haben, dann hat die ODZ die Form (− ∞ , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) . Dies ist der Bereich gültiger Werte, der die Variable z für den gegebenen Ausdruck erfüllt.

Wenn es Ausdrücke der Form z x - y gibt, dann ist klar, dass x ≠ y , z nimmt einen beliebigen Wert an. Dies wird als ODZ-Ausdruck bezeichnet. Dies muss berücksichtigt werden, um beim Ersetzen keine Division durch Null zu erhalten.

Der Bereich gültiger Werte und der Definitionsbereich haben die gleiche Bedeutung. Nur die zweite davon wird für Ausdrücke verwendet, und die erste wird für Gleichungen oder Ungleichungen verwendet. Mit Hilfe von DPV ergibt der Ausdruck bzw. die Ungleichung einen Sinn. Der Definitionsbereich der Funktion fällt mit dem Bereich der zulässigen Werte der Variablen x zum Ausdruck f (x) zusammen.

Wie finde ich ODZ? Beispiele, Lösungen

Den DPV zu finden bedeutet, alle gültigen Werte zu finden, die zu einer bestimmten Funktion oder Ungleichung passen. Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, kann es zu einem falschen Ergebnis kommen. Um die ODZ zu finden, ist es oft notwendig, Transformationen in einem bestimmten Ausdruck durchzuführen.

Es gibt Ausdrücke, bei denen sie nicht ausgewertet werden können:

  • wenn es eine Division durch Null gibt;
  • Extrahieren der Wurzel einer negativen Zahl;
  • das Vorhandensein eines negativen Ganzzahlindikators – nur für positive Zahlen;
  • Berechnen des Logarithmus einer negativen Zahl;
  • der Definitionsbereich des Tangens π 2 + π · k , k ∈ Z und des Kotangens π · k , k ∈ Z ;
  • Ermitteln des Werts von Arkussinus und Arkuskosinus einer Zahl mit einem Wert, der nicht zu [-1; 1 ] .

All dies zeigt, wie wichtig es ist, ein DHS zu haben.

Beispiel 3

Finden Sie den ODZ-Ausdruck x 3 + 2 x y − 4 .

Lösung

Jede Zahl kann gewürfelt werden. Dieser Ausdruck hat keinen Bruch, daher können x und y alles sein. Das heißt, ODZ ist eine beliebige Zahl.

Antworten: x und y sind beliebige Werte.

Beispiel 4

Finden Sie den ODZ-Ausdruck 1 3 - x + 1 0 .

Lösung

Man erkennt, dass es einen Bruch gibt, dessen Nenner Null ist. Das bedeutet, dass wir für jeden Wert von x eine Division durch Null erhalten. Daraus können wir schließen, dass dieser Ausdruck als unbestimmt gilt, das heißt, er hat keine ODZ.

Antworten: ∅ .

Beispiel 5

Finden Sie die ODZ des gegebenen Ausdrucks x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Lösung

Das Vorhandensein einer Quadratwurzel zeigt an, dass dieser Ausdruck größer oder gleich Null sein muss. Wenn es negativ ist, hat es keine Bedeutung. Daher ist es notwendig, eine Ungleichung der Form x + 2 · y + 3 ≥ 0 anzugeben. Das heißt, dies ist der gewünschte Bereich akzeptabler Werte.

Antworten: Menge von x und y , wobei x + 2 y + 3 ≥ 0 .

Beispiel 6

Bestimmen Sie den ODZ-Ausdruck der Form 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Lösung

Aufgrund der Bedingung haben wir einen Bruch, daher sollte sein Nenner nicht gleich Null sein. Wir erhalten das x + 1 - 1 ≠ 0 . Der Wurzelausdruck macht immer dann Sinn, wenn er größer oder gleich Null ist, also x + 1 ≥ 0 . Da es einen Logarithmus hat, muss sein Ausdruck streng positiv sein, d. h. x 2 + 3 > 0. Die Basis des Logarithmus muss ebenfalls positiv und von 1 verschieden sein, dann fügen wir die Bedingungen x + 8 > 0 und x + 8 ≠ 1 hinzu. Daraus folgt, dass die gewünschte ODZ die Form annehmen wird:

x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

Mit anderen Worten spricht man von einem System von Ungleichungen mit einer Variablen. Die Lösung führt zu einem solchen Datensatz der ODZ [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) .

Antworten: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Warum ist es wichtig, LHS bei Änderungen zu berücksichtigen?

Für identische Transformationen ist es wichtig, die ODZ zu finden. Es gibt Fälle, in denen die Existenz einer ODZ nicht gegeben ist. Um zu verstehen, ob die Lösung einen bestimmten Ausdruck hat, müssen Sie die ODZ der Variablen des ursprünglichen Ausdrucks und die ODZ des empfangenen Ausdrucks vergleichen.

Identitätstransformationen:

  • darf ODZ nicht beeinflussen;
  • kann zu einer Erweiterung oder Ergänzung des DHS führen;
  • kann die ODZ eingrenzen.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 7

Wenn wir einen Ausdruck der Form x 2 + x + 3 · x haben, dann ist seine ODZ im gesamten Definitionsbereich definiert. Auch durch die Reduzierung ähnlicher Begriffe und die Vereinfachung des Ausdrucks ändert sich an der ODZ nichts.

Beispiel 8

Nehmen wir das Beispiel des Ausdrucks x + 3 x − 3 x , dann liegen die Dinge anders. Wir haben einen gebrochenen Ausdruck. Und wir wissen, dass eine Division durch Null nicht erlaubt ist. Dann hat die ODZ die Form (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . Es ist ersichtlich, dass Null keine Lösung ist, also fügen wir sie mit einer Klammer hinzu.

Betrachten Sie ein Beispiel mit einem radikalen Ausdruck.

Beispiel 9

Wenn es x - 1 · x - 3 gibt, dann sollten Sie auf die ODZ achten, da diese als Ungleichung (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 geschrieben werden muss. Es ist möglich, mit der Intervallmethode zu lösen, dann erhalten wir, dass die ODZ die Form (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) annimmt. Nachdem wir x - 1 · x - 3 transformiert und die Eigenschaften der Wurzeln angewendet haben, können wir die ODZ ergänzen und als Ungleichungssystem der Form x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 aufschreiben. Wenn wir es lösen, erhalten wir das [ 3 , + ∞) . Daher wird die ODZ vollständig wie folgt geschrieben: (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Änderungen, die das DHS einengen, sollten vermieden werden.

Beispiel 10

Betrachten Sie ein Beispiel für den Ausdruck x - 1 · x - 3, wenn x = - 1 . Beim Ersetzen erhalten wir Folgendes: - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Wenn dieser Ausdruck transformiert und in die Form x - 1 x - 3 gebracht wird, dann erhalten wir bei der Berechnung, dass 2 - 1 2 - 3 der Ausdruck keinen Sinn ergibt, da der Wurzelausdruck nicht negativ sein sollte.

Es sollten identische Transformationen befolgt werden, die das DHS nicht ändern.

Wenn es Beispiele gibt, die es erweitern, sollte es dem DPV hinzugefügt werden.

Beispiel 11

Betrachten Sie das Beispiel eines Bruchs der Form x x 3 + x. Wenn wir um x reduzieren, erhalten wir 1 x 2 + 1 . Dann erweitert sich die ODZ und wird zu (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Außerdem arbeiten wir beim Rechnen bereits mit dem zweiten vereinfachten Bruch.

Bei Logarithmen ist die Situation etwas anders.

Beispiel 12

Wenn ein Ausdruck der Form ln x + ln (x + 3) vorhanden ist, wird er basierend auf der Eigenschaft des Logarithmus durch ln (x (x + 3)) ersetzt. Dies zeigt, dass die ODZ von (0 , + ∞) bis (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) ist. Um die ODZ ln (x (x + 3)) zu bestimmen, müssen daher Berechnungen für die ODZ durchgeführt werden, d. h. für (0 , + ∞)-Sätze.

Beim Lösen muss immer auf die Struktur und Form des durch die Bedingung gegebenen Ausdrucks geachtet werden. Wenn der Definitionsbereich korrekt gefunden wird, ist das Ergebnis positiv.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste



 

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