यादृच्छिक चर x संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है। "यादृच्छिक चर" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

अभ्यास 1. एक सतत यादृच्छिक चर X के वितरण घनत्व का रूप है:
पाना:
ए) पैरामीटर ए ;
बी) वितरण समारोह एफ(एक्स) ;
ग) अंतराल में एक यादृच्छिक चर X से टकराने की संभावना;
डी) गणितीय अपेक्षा एमएक्स और विचरण डीएक्स।
फ़ंक्शन f(x) और F(x) को प्लॉट करें।

कार्य 2. अभिन्न फलन द्वारा दिए गए यादृच्छिक चर X का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

कार्य 3. एक वितरण फलन दिए गए यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

कार्य 4. कुछ यादृच्छिक चर का संभाव्यता घनत्व इस प्रकार दिया गया है: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
गुणांक A, वितरण फलन F(x), गणितीय अपेक्षा और विचरण, साथ ही संभावना ज्ञात करें कि एक यादृच्छिक चर अंतराल में एक मान लेता है। f(x) और F(x) ग्राफ़ प्लॉट करें।

काम. कुछ सतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन इस प्रकार दिया गया है:

पैरामीटर ए और बी निर्धारित करें, संभाव्यता घनत्व एफ (एक्स) के लिए अभिव्यक्ति ढूंढें, गणितीय अपेक्षा और विचरण, साथ ही संभावना है कि यादृच्छिक चर अंतराल में एक मान लेता है। f(x) और F(x) ग्राफ़ प्लॉट करें।

आइए वितरण घनत्व फ़ंक्शन को वितरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में ढूंढें।
F′=f(x)=a
यह जानते हुए कि हम पैरामीटर a पाएंगे:

या 3a=1, जहां से a = 1/3
हम निम्नलिखित गुणों से पैरामीटर b पाते हैं:
एफ(4) = ए*4 + बी = 1
1/3*4 + बी = 1 जहां से बी = -1/3
इसलिए, वितरण फलन है: F(x) = (x-1)/3

अपेक्षित मूल्य.


फैलाव.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक चर अंतराल में एक मान लेता है
पी(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

उदाहरण 1। एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण घनत्व f(x) दिया गया है। आवश्यक:

1. गुणांक ए निर्धारित करें।
2. वितरण फलन F(x) ज्ञात कीजिए।
3. योजनाबद्ध रूप से F(x) और f(x) को आलेखित करें।
4. X की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
5. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि X अंतराल (2;3) से एक मान लेता है।

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
समाधान:

यादृच्छिक चर X वितरण घनत्व f(x) द्वारा दिया गया है:

शर्त से पैरामीटर A खोजें:



या
14/3*ए-1=0
कहाँ,
ए = 3/14

वितरण फलन सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।

अनियमित परिवर्तनशील वस्तुएक मात्रा को वह कहा जाता है, जो समान परिस्थितियों में किए गए परीक्षणों के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक कारकों के आधार पर अलग-अलग, आम तौर पर बोलने वाले, मान लेती है, जिन्हें ध्यान में नहीं रखा जाता है। यादृच्छिक चर के उदाहरण: एक पासे पर गिराए गए बिंदुओं की संख्या, एक बैच में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या, लक्ष्य से प्रक्षेप्य के प्रभाव बिंदु का विचलन, उपकरण का सक्रिय समय, आदि। असतत और निरंतर के बीच अंतर करें यादृच्छिक चर। अलगएक यादृच्छिक चर को कहा जाता है, जिसके संभावित मान एक गणनीय सेट, परिमित या अनंत बनाते हैं (यानी, एक सेट जिसके तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है)।

निरंतरएक यादृच्छिक चर को कहा जाता है, जिसके संभावित मान संख्यात्मक अक्ष के कुछ परिमित या अनंत अंतराल को लगातार भरते हैं। सतत यादृच्छिक चर के मानों की संख्या सदैव अनंत होती है।

यादृच्छिक चर को लैटिन वर्णमाला के अंत के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाएगा: एक्स, वाई, ...; यादृच्छिक चर के मान - छोटे अक्षरों में: एक्स, वाई... . इस प्रकार, एक्स एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के पूरे सेट को दर्शाता है, और एक्स -कुछ विशेष अर्थ.

वितरण कानूनअसतत यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच किसी भी रूप में दिया गया पत्राचार है।

यादृच्छिक चर के संभावित मान बताइए एक्स हैं । परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर इनमें से एक मान लेगा, अर्थात। जोड़ीवार असंगत घटनाओं के पूरे समूह में से एक घटना घटित होगी।

आइए इन घटनाओं की संभावनाएं भी जानें:

यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक्स इसे एक तालिका के रूप में लिखा जा सकता है जिसे कहा जाता है वितरण के निकटअसतत यादृच्छिक चर:

वितरण श्रृंखला बराबर है (सामान्यीकरण की स्थिति)।

उदाहरण 3.1.असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम ज्ञात कीजिए एक्स - दो सिक्के उछालने पर "ईगल" के घटित होने की संख्या।

वितरण फ़ंक्शन असतत और निरंतर यादृच्छिक चर दोनों के लिए वितरण कानून स्थापित करने का एक सार्वभौमिक रूप है।

एक यादृच्छिक चर का वितरण कार्यएक्स फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है एफ(एक्स), पूर्ण संख्या रेखा पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

एफ(एक्स)= पी(एक्स< х ),

अर्थात। एफ(एक्स) संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्स से कम मूल्य लेता है एक्स.

वितरण फ़ंक्शन को ग्राफ़िक रूप से दर्शाया जा सकता है। असतत यादृच्छिक चर के लिए, ग्राफ़ का एक चरणबद्ध रूप होता है। आइए, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित श्रृंखला द्वारा दिए गए एक यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं (चित्र 3.1):

चावल। 3.1. असतत यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का ग्राफ़

फ़ंक्शन की छलांग यादृच्छिक चर के संभावित मानों के अनुरूप बिंदुओं पर होती है, और इन मानों की संभावनाओं के बराबर होती है। ब्रेक प्वाइंट पर, फ़ंक्शन एफ(एक्स) बाईं ओर निरंतर है।

एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण फलन का आलेख एक सतत वक्र है।

एक्स

चावल। 3.2. एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का ग्राफ़

वितरण फ़ंक्शन में निम्नलिखित स्पष्ट गुण हैं:

1) , 2) , 3) ,

4) पर ।

हम इस तथ्य से युक्त एक घटना को एक यादृच्छिक चर कहेंगे एक्स एक मूल्य लेता है एक्स,किसी अर्ध-बंद अंतराल से संबंधित ए£ एक्स< बी, अंतराल पर एक यादृच्छिक चर मारकर [ ए, बी).

प्रमेय 3.1. अंतराल में एक यादृच्छिक चर के गिरने की संभावना [ ए, बी) इस अंतराल पर वितरण फ़ंक्शन की वृद्धि के बराबर है:

यदि हम अंतराल कम करते हैं [ ए, बी), यह मानते हुए कि, सीमा में, सूत्र (3.1) अंतराल से टकराने की संभावना के बजाय बिंदु से टकराने की संभावना देता है, यानी, संभावना है कि यादृच्छिक चर मान लेता है ए:

यदि वितरण फलन के बिंदु पर असंततता है ए, तब सीमा (3.2) फ़ंक्शन के जंप मान के बराबर है एफ(एक्स) बिंदु पर एक्स=ए, अर्थात्, संभावनाएँ कि यादृच्छिक चर मान लेगा ए (चित्र 3.3, ए). यदि यादृच्छिक चर निरंतर है, अर्थात, फ़ंक्शन निरंतर है एफ(एक्स), तो सीमा (3.2) शून्य के बराबर है (चित्र 3.3, बी)

इस प्रकार, सतत यादृच्छिक चर के किसी विशेष मान की संभावना शून्य है। हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है कि यह घटना असंभव है। एक्स=ए, यह केवल यह कहता है कि परीक्षणों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ इस घटना की सापेक्ष आवृत्ति शून्य हो जाएगी।

ए) बी)

चावल। 3.3. वितरण फ़ंक्शन जंप

निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, वितरण फ़ंक्शन के साथ, वितरण कानून को निर्दिष्ट करने का एक और रूप उपयोग किया जाता है - वितरण घनत्व।

यदि अंतराल से टकराने की संभावना है, तो अनुपात उस घनत्व को दर्शाता है जिसके साथ संभावना बिंदु के आसपास वितरित की जाती है एक्स. इस संबंध की सीमा, अर्थात्। ई. व्युत्पन्न, कहा जाता है वितरण घनत्व(संभावना वितरण का घनत्व, संभाव्यता घनत्व) एक यादृच्छिक चर का एक्स. हम वितरण घनत्व को निरूपित करने के लिए सहमत हैं

.

इस प्रकार, वितरण घनत्व इस संभावना को दर्शाता है कि एक यादृच्छिक चर बिंदु के आसपास के क्षेत्र में गिर जाएगा एक्स।

वितरण घनत्व का आलेख कहलाता है कुटिल दौड़परिभाषाएं(चित्र 3.4)।

चावल। 3.4. वितरण घनत्व प्रकार

वितरण फ़ंक्शन की परिभाषा और गुणों के आधार पर एफ(एक्स), वितरण घनत्व के निम्नलिखित गुणों को स्थापित करना आसान है एफ(एक्स):

1) एफ(एक्स)³0

2)

3)

4)

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, इस तथ्य के कारण कि किसी बिंदु से टकराने की संभावना शून्य है, निम्नलिखित समानताएं हैं:

उदाहरण 3.2.यादृच्छिक मूल्य एक्स वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट

आवश्यक:

ए) गुणांक का मान ज्ञात करें ए;

बी) वितरण फ़ंक्शन ढूंढें;

सी) एक यादृच्छिक चर के अंतराल (0, ) में गिरने की संभावना ज्ञात करें।

वितरण फ़ंक्शन या वितरण घनत्व पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर का वर्णन करता है। हालाँकि, अक्सर व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय वितरण के नियम के पूर्ण ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है, केवल इसकी कुछ विशिष्ट विशेषताओं को जानना ही पर्याप्त होता है। ऐसा करने के लिए, संभाव्यता के सिद्धांत में, वितरण कानून के विभिन्न गुणों को व्यक्त करते हुए, एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग किया जाता है। मुख्य संख्यात्मक विशेषताएं हैं गणितीयअपेक्षा, विचरण और मानक विचलन.

अपेक्षित मूल्यसंख्या अक्ष पर एक यादृच्छिक चर की स्थिति को दर्शाता है। यह एक यादृच्छिक चर का कुछ औसत मान है जिसके चारों ओर इसके सभी संभावित मान समूहीकृत हैं।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स प्रतीकात्मक एम(एक्स) या टी. असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के युग्मित उत्पादों का योग है:

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक अनुचित अभिन्न अंग का उपयोग करके निर्धारित की जाती है:

परिभाषाओं के आधार पर, गणितीय अपेक्षा के निम्नलिखित गुणों की वैधता को सत्यापित करना आसान है:

1. (गैर-यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा साथसबसे गैर-यादृच्छिक मान के बराबर)।

2. यदि ³0 है, तो ³0.

4. यदि और स्वतंत्र, वह ।

उदाहरण 3.3.वितरणों की एक श्रृंखला द्वारा दिए गए असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें:

समाधान.

=0×0.2 + 1×0.4 + 2×0.3 + 3×0.1=1.3.

उदाहरण 3.4.वितरण घनत्व द्वारा दिए गए यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें:

.

समाधान.

फैलाव और मानक विचलनवे एक यादृच्छिक चर के फैलाव की विशेषताएं हैं, वे गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष इसके संभावित मूल्यों के प्रसार की विशेषता रखते हैं।

फैलाव डी(एक्स) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स किसी यादृच्छिक चर के गणितीय अपेक्षा से वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा को कहा जाता है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, विचरण को योग द्वारा व्यक्त किया जाता है:

(3.3)

और निरंतर के लिए - अभिन्न

(3.4)

विचरण में एक यादृच्छिक चर के वर्ग का आयाम होता है। प्रकीर्णन विशेषता, आकार में मिलानयादृच्छिक चर के साथ स्टी, मानक विचलन है.

फैलाव गुण:

1) स्थिर हैं. विशेष रूप से,

3)

विशेष रूप से,

ध्यान दें कि सूत्र (3.5) द्वारा विचरण की गणना अक्सर सूत्र (3.3) या (3.4) की तुलना में अधिक सुविधाजनक होती है।

मान कहा जाता है सहप्रसरणयादृच्छिक चर।

अगर , फिर मूल्य

बुलाया सहसंबंध गुणांकयादृच्छिक चर।

यह दिखाया जा सकता है कि यदि , तो मात्राएँ रैखिक रूप से निर्भर होती हैं: कहाँ

ध्यान दें कि यदि वे स्वतंत्र हैं, तो

उदाहरण 3.5.उदाहरण 1 से वितरण श्रृंखला द्वारा दिए गए यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. विचरण की गणना करने के लिए, आपको गणितीय अपेक्षा जानने की आवश्यकता है। उपरोक्त दिए गए यादृच्छिक चर के लिए, यह पाया गया: एम=1.3. हम सूत्र (3.5) का उपयोग करके विचरण की गणना करते हैं:

उदाहरण 3.6.यादृच्छिक चर वितरण घनत्व द्वारा दिया जाता है

विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम सबसे पहले गणितीय अपेक्षा पाते हैं:

(एक सममित अंतराल पर एक विषम फ़ंक्शन के अभिन्न अंग के रूप में)।

अब हम विचरण और मानक विचलन की गणना करते हैं:

1. द्विपद वितरण. बर्नौली योजना में "सफलताओं" की संख्या के बराबर यादृच्छिक चर का द्विपद वितरण होता है: , .

द्विपद नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है

.

इस वितरण का विचरण है।

2. पॉसों वितरण ,

पॉइसन वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण।

पॉइसन वितरण का उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब हम समय या स्थान की अवधि में होने वाली घटनाओं की संख्या से निपट रहे होते हैं, जैसे कि एक घंटे में कार धोने के लिए आने वाली कारों की संख्या, प्रति सप्ताह मशीन रुकने की संख्या, संख्या यातायात दुर्घटनाओं आदि के

यादृच्छिक चर है ज्यामितीय वितरणपैरामीटर के साथ यदि संभावनाओं के साथ मान लेता है . ऐसे वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर समझ में आता है पहले सफल परीक्षण के नंबरबर्नौली योजना में सफलता की संभावना के साथ। वितरण तालिका इस प्रकार दिखती है:

3. सामान्य वितरण. संभाव्यता वितरण का सामान्य नियम अन्य वितरण कानूनों के बीच एक विशेष स्थान रखता है। संभाव्यता सिद्धांत में, यह सिद्ध होता है कि स्वतंत्र या के योग की संभाव्यता घनत्व कमजोर रूप से निर्भर, समान रूप से छोटे (यानी, लगभग समान भूमिका निभाते हुए) शब्द अपनी संख्या में असीमित वृद्धि के साथ सामान्य वितरण कानून को वांछित के करीब लाते हैं, भले ही इन शब्दों में वितरण कानून क्या हों (ए. एम. ल्यपुनोव का केंद्रीय सीमा प्रमेय)।

अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक चर है जो विभिन्न परिस्थितियों के आधार पर कुछ निश्चित मान ले सकता है, और यादृच्छिक चर को सतत कहा जाता है , यदि यह किसी परिबद्ध या असंबद्ध अंतराल से कोई मान ले सकता है। एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, सभी संभावित मानों को निर्दिष्ट करना असंभव है, इसलिए, इन मानों के अंतराल जो कुछ संभावनाओं से जुड़े होते हैं, दर्शाए जाते हैं।

निरंतर यादृच्छिक चर के उदाहरण हैं: किसी दिए गए आकार में बदले गए हिस्से का व्यास, किसी व्यक्ति की ऊंचाई, प्रक्षेप्य की सीमा, आदि।

चूंकि निरंतर यादृच्छिक चर के लिए फ़ंक्शन एफ(एक्स), विपरीत असतत यादृच्छिक चर, कहीं कोई छलांग नहीं है, तो सतत यादृच्छिक चर के किसी एक मान की संभावना शून्य के बराबर है।

इसका मतलब यह है कि एक सतत यादृच्छिक चर के लिए उसके मूल्यों के बीच संभाव्यता वितरण के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है: उनमें से प्रत्येक की संभावना शून्य है। हालाँकि, एक निश्चित अर्थ में, एक सतत यादृच्छिक चर के मूल्यों के बीच "अधिक और कम संभावित" होते हैं। उदाहरण के लिए, यह संभावना नहीं है कि किसी को संदेह होगा कि एक यादृच्छिक चर का मान - एक यादृच्छिक रूप से सामने आए व्यक्ति की ऊंचाई - 170 सेमी - 220 सेमी से अधिक होने की संभावना है, हालांकि व्यवहार में एक और दूसरा मान हो सकता है।

सतत यादृच्छिक चर और संभाव्यता घनत्व का वितरण कार्य

एक वितरण कानून के रूप में, जो केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए समझ में आता है, वितरण घनत्व या संभाव्यता घनत्व की अवधारणा पेश की गई है। आइए एक सतत यादृच्छिक चर और एक असतत यादृच्छिक चर के लिए वितरण फ़ंक्शन के अर्थ की तुलना करके इस तक पहुंचें।

तो, एक यादृच्छिक चर का वितरण कार्य (असतत और निरंतर दोनों) या अभिन्न कार्यएक फ़ंक्शन कहा जाता है जो एक यादृच्छिक चर के मान की संभावना निर्धारित करता है एक्ससीमा मूल्य से कम या उसके बराबर एक्स.

एक असतत यादृच्छिक चर के लिए उसके मानों के बिंदुओं पर एक्स1 , एक्स 2 , ..., एक्समैं ,...संभावनाओं का संकेंद्रित समूह पी1 , पी 2 , ..., पीमैं ,..., और सभी द्रव्यमानों का योग 1 के बराबर है। आइए इस व्याख्या को एक सतत यादृच्छिक चर के मामले में स्थानांतरित करें। कल्पना कीजिए कि 1 के बराबर द्रव्यमान अलग-अलग बिंदुओं पर केंद्रित नहीं है, बल्कि x-अक्ष के अनुदिश लगातार "स्मियर" होता है बैलकुछ असमान घनत्व के साथ. किसी भी साइट पर एक यादृच्छिक चर से टकराने की संभावना Δ एक्सइस खंड के लिए जिम्मेदार द्रव्यमान के रूप में व्याख्या की जाएगी, और इस खंड में औसत घनत्व - द्रव्यमान और लंबाई के अनुपात के रूप में। हमने संभाव्यता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण अवधारणा पेश की है: वितरण घनत्व।

संभावित गहराई एफ(एक्स) एक सतत यादृच्छिक चर का इसके वितरण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है:

.

घनत्व फ़ंक्शन को जानने के बाद, हम संभावना पा सकते हैं कि निरंतर यादृच्छिक चर का मान बंद अंतराल से संबंधित है [ ए; बी]:

संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर एक्सअंतराल से कोई भी मान लेगा [ ए; बी], की सीमा में इसकी संभाव्यता घनत्व के एक निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है एपहले बी:

.

इस मामले में, फ़ंक्शन का सामान्य सूत्र एफ(एक्स) एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण, जिसका उपयोग घनत्व फ़ंक्शन ज्ञात होने पर किया जा सकता है एफ(एक्स) :

.

एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व के ग्राफ को इसका वितरण वक्र कहा जाता है (नीचे चित्र)।

आकृति का क्षेत्रफल (आकृति में छायांकित), एक वक्र से घिरा हुआ, बिंदुओं से खींची गई सीधी रेखाएँ एऔर बीभुज अक्ष और अक्ष के लंबवत ओह, ग्राफ़िक रूप से संभावना को प्रदर्शित करता है कि एक सतत यादृच्छिक चर का मान एक्सके दायरे में है एपहले बी.

एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के गुण

1. संभावना है कि एक यादृच्छिक चर अंतराल (और आकृति का क्षेत्र, जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा सीमित है) से कोई मान लेगा एफ(एक्स) और अक्ष ओह) एक के बराबर है:

2. संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन नकारात्मक मान नहीं ले सकता:

और वितरण के अस्तित्व के बाहर इसका मूल्य शून्य है

वितरण घनत्व एफ(एक्स), साथ ही वितरण कार्य भी एफ(एक्स), वितरण कानून के रूपों में से एक है, लेकिन वितरण फ़ंक्शन के विपरीत, यह सार्वभौमिक नहीं है: वितरण घनत्व केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मौजूद है।

आइए हम अभ्यास में सतत यादृच्छिक चर के वितरण के दो सबसे महत्वपूर्ण प्रकारों का उल्लेख करें।

यदि वितरण घनत्व कार्य करता है एफ(एक्स) कुछ परिमित अंतराल में एक सतत यादृच्छिक चर [ ए; बी] एक स्थिर मान लेता है सी, और अंतराल के बाहर शून्य के बराबर मान लेता है, तो यह वितरण को एकसमान कहा जाता है .

यदि वितरण घनत्व फ़ंक्शन का ग्राफ़ केंद्र के बारे में सममित है, तो औसत मान केंद्र के पास केंद्रित होते हैं, और केंद्र से दूर जाने पर, औसत से अधिक भिन्न एकत्र किए जाते हैं (फ़ंक्शन का ग्राफ़ कट जैसा दिखता है) एक घंटी), फिर यह वितरण को सामान्य कहा जाता है .

उदाहरण 1एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन ज्ञात है:

एक सुविधा खोजें एफ(एक्स) एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व। दोनों कार्यों के लिए ग्राफ़ बनाएं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक सतत यादृच्छिक चर 4 से 8 तक की सीमा में कोई मान लेगा।

समाधान। हम संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात करके संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं:

फ़ंक्शन ग्राफ़ एफ(एक्स) - परवलय:

फ़ंक्शन ग्राफ़ एफ(एक्स) - सरल रेखा:

आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि एक सतत यादृच्छिक चर 4 से 8 तक की सीमा में कोई भी मान लेगा:

उदाहरण 2एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन इस प्रकार दी गई है:

कारक की गणना करें सी. एक सुविधा खोजें एफ(एक्स) एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण। दोनों कार्यों के लिए ग्राफ़ बनाएं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक सतत यादृच्छिक चर 0 से 5 तक की सीमा में कोई मान लेगा।

समाधान। गुणक सीसंभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की संपत्ति 1 का उपयोग करके हम पाते हैं:

इस प्रकार, एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है:

एकीकृत करते हुए, हम फ़ंक्शन पाते हैं एफ(एक्स) संभाव्यता वितरण। अगर एक्स < 0 , то एफ(एक्स) = 0 . यदि 0< एक्स < 10 , то

.

एक्स> 10 , फिर एफ(एक्स) = 1 .

इस प्रकार, संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का पूरा रिकॉर्ड है:

फ़ंक्शन ग्राफ़ एफ(एक्स) :

फ़ंक्शन ग्राफ़ एफ(एक्स) :

आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि एक सतत यादृच्छिक चर 0 से 5 तक की सीमा में कोई भी मान लेगा:

उदाहरण 3एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व एक्ससमानता द्वारा दिया गया है, जबकि। गुणांक ज्ञात कीजिए ए, संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर एक्सअंतराल ]0, 5[ से कुछ मान लेता है, जो एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन है एक्स.

समाधान। शर्त के अनुसार, हम समानता पर पहुंचते हैं

इसलिए, कहाँ से. इसलिए,

.

अब हम एक सतत यादृच्छिक चर की प्रायिकता ज्ञात करते हैं एक्सअंतराल ]0, 5[ से कोई भी मान लेगा:

अब हमें इस यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन मिलता है:

उदाहरण 4एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व ज्ञात कीजिए एक्स, जो केवल गैर-नकारात्मक मान लेता है, और इसका वितरण कार्य करता है .

संभाव्यता सिद्धांत में, किसी को यादृच्छिक चर से निपटना पड़ता है, जिनके सभी मानों को क्रमबद्ध नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यादृच्छिक चर $X$ के सभी मानों को लेना और "क्रमबद्ध करना" असंभव है - घड़ी का सेवा समय, क्योंकि समय को घंटों, मिनट, सेकंड, मिलीसेकंड आदि में मापा जा सकता है। आप केवल एक निश्चित अंतराल निर्दिष्ट कर सकते हैं जिसके भीतर यादृच्छिक चर के मान स्थित होते हैं।

निरंतर यादृच्छिक चरएक यादृच्छिक चर है जिसके मान एक निश्चित अंतराल को पूरी तरह भरते हैं।

एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्य

चूँकि एक सतत यादृच्छिक चर के सभी मानों को क्रमबद्ध करना संभव नहीं है, इसलिए इसे वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।

वितरण समारोहयादृच्छिक चर $X$ एक फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ है, जो इस संभावना को निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर $X$ कुछ निश्चित मान $x$ से कम मान लेता है, अर्थात $F\left(x\ दाएं)$ )=पी\बाएं(एक्स< x\right)$.

वितरण फ़ंक्शन गुण:

1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2 . संभावना है कि यादृच्छिक चर $X$ अंतराल $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ से मान लेता है, इस अंतराल के अंत में वितरण फ़ंक्शन के मानों के बीच अंतर के बराबर है : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - न घटने वाला।

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \दाएं)=1\ )$.

उदाहरण 1
0,\ x\le 0\\
एक्स,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(मैट्रिक्स)\right.$. एक यादृच्छिक चर $X$ के अंतराल $\left(0.3;0.7\right)$ में आने की संभावना को वितरण फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ के मानों के बीच अंतर के रूप में पाया जा सकता है इस अंतराल के अंत, यानी:

$$P\left(0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

संभावित गहराई

फ़ंक्शन $f\left(x\right)=(F)"(x)$ को संभाव्यता वितरण घनत्व कहा जाता है, यानी, यह वितरण फ़ंक्शन $F\left(x\right) से लिया गया पहला ऑर्डर व्युत्पन्न है $स्वयं.

फ़ंक्शन के गुण $f\left(x\right)$.

1 . $f\left(x\right)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$.

3 . संभावना है कि एक यादृच्छिक चर $X$ अंतराल $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ से मान लेता है $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$.

उदाहरण 2 . एक सतत यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ x\le 0\\
एक्स,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(मैट्रिक्स)\right.$. फिर घनत्व फलन $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\x>1
\end(मैट्रिक्स)\right.$

सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

सतत यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)dx).$$

उदाहरण 3 . उदाहरण $2$ से यादृच्छिक चर $X$ के लिए $M\left(X\right)$ खोजें।

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\over (2))\bigg|_0^1=((1)\over (2)).$$

एक सतत यादृच्छिक चर का फैलाव

एक सतत यादृच्छिक चर $X$ के विचरण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2.$$

उदाहरण 4 . आइए उदाहरण $2$ से यादृच्छिक चर $X$ के लिए $D\left(X\right)$ खोजें।

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\left(((1)\over (2))\right))^2=((x^3)\over (3))\bigg|_0^1-( (1)\ओवर (4))=((1)\ओवर (3))-((1)\ओवर (4))=((1)\ओवर(12)).$$

यादृच्छिक मूल्य

उदाहरण 2.1.यादृच्छिक मूल्य एक्सवितरण समारोह द्वारा दिया गया

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणाम के रूप में एक्स(2.5; 3.6) के बीच मान लेगा।

समाधान: एक्सअंतराल में (2.5; 3.6) दो तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है:

उदाहरण 2.2.पैरामीटर के किस मान पर एऔर मेंसमारोह एफ(एक्स) = ए + बीई - एक्सयादृच्छिक चर के गैर-नकारात्मक मानों के लिए एक वितरण फ़ंक्शन हो सकता है एक्स.

समाधान:चूँकि यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान एक्सअंतराल से संबंधित हैं, तो फ़ंक्शन के लिए वितरण फ़ंक्शन होने के लिए एक्स, संपत्ति धारण करनी चाहिए:

.

उत्तर: .

उदाहरण 2.3.यादृच्छिक चर X वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, चार स्वतंत्र परीक्षणों के परिणामस्वरूप, मान एक्सठीक 3 बार अंतराल (0.25; 0.75) से संबंधित मान लिया जाएगा।

समाधान:किसी मान तक पहुंचने की संभावना एक्सअंतराल (0.25; 0.75) में हम सूत्र द्वारा पाते हैं:

उदाहरण 2.4.एक बार में गेंद के टोकरी से टकराने की प्रायिकता 0.3 है। तीन थ्रो में हिट की संख्या के वितरण का नियम बनाएं।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- तीन थ्रो के साथ टोकरी में हिट की संख्या - मान ले सकते हैं: 0, 1, 2, 3. संभावनाएं जो एक्स

एक्स:

उदाहरण 2.5.दो निशानेबाज लक्ष्य पर एक शॉट लगाते हैं। पहले निशानेबाज द्वारा इसे मारने की संभावना 0.5 है, दूसरे द्वारा - 0.4। लक्ष्य पर प्रहारों की संख्या के वितरण का नियम लिखिए।

समाधान:असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम ज्ञात कीजिए एक्स- लक्ष्य पर हिट की संख्या. घटना को पहले निशानेबाज द्वारा लक्ष्य पर हिट करने, और - दूसरे निशानेबाज द्वारा हिट करने, और - क्रमशः, उनकी चूक होने दें।

आइए हम एसवी के संभाव्यता वितरण का नियम बनाएं एक्स:

उदाहरण 2.6. 3 तत्वों का परीक्षण किया जाता है, एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करते हुए। तत्वों के विफलता-मुक्त संचालन के समय की अवधि (घंटों में) में वितरण घनत्व कार्य होते हैं: पहले के लिए: एफ 1 (टी) =1-इ- 0,1 टी, दूसरे के लिए: एफ 2 (टी) = 1-इ- 0,2 टी, तीसरे के लिए: एफ 3 (टी) =1-इ- 0,3 टी. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 0 से 5 घंटे के समय अंतराल में: केवल एक तत्व विफल हो जाएगा; केवल दो तत्व विफल होंगे; सभी तीन तत्व विफल हो जाते हैं।

समाधान:आइए संभावनाओं के जनक फलन की परिभाषा का उपयोग करें:

संभावना यह है कि स्वतंत्र परीक्षणों में, जिनमें से पहले में किसी घटना के घटित होने की संभावना होती है एबराबर, दूसरे में, आदि, घटना एबिल्कुल एक बार प्रकट होता है, की शक्तियों में उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के विस्तार में गुणांक के बराबर है। आइए 0 से 5 घंटे के समय अंतराल में क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे तत्व की विफलता और गैर-विफलता की संभावनाएं खोजें:

आइए एक जनरेटिंग फ़ंक्शन बनाएं:

पर गुणांक उस घटना की प्रायिकता के बराबर है एठीक तीन बार दिखाई देगा, यानी तीनों तत्वों की विफलता की संभावना; गुणांक इस संभावना के बराबर है कि ठीक दो तत्व विफल हो जाएंगे; गुणांक at इस संभावना के बराबर है कि केवल एक तत्व विफल हो जाएगा।

उदाहरण 2.7.संभाव्यता घनत्व दिया गया है एफ(एक्स) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स:

वितरण फलन F(x) ज्ञात कीजिए।

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

.

इस प्रकार, वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

उदाहरण 2.8.डिवाइस में तीन स्वतंत्र रूप से संचालित होने वाले तत्व होते हैं। एक प्रयोग में प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना 0.1 है। एक प्रयोग में असफल तत्वों की संख्या के वितरण का नियम संकलित करें।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- एक प्रयोग में असफल होने वाले तत्वों की संख्या - मान ले सकते हैं: 0, 1, 2, 3. संभावनाएँ कि एक्सइन मानों को लेते हुए, हम बर्नौली सूत्र द्वारा पाते हैं:

इस प्रकार, हमें यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है एक्स:

उदाहरण 2.9. 6 भागों के लॉट में 4 मानक भाग होते हैं। 3 आइटम यादृच्छिक रूप से चुने गए। चयनित भागों के बीच मानक भागों की संख्या के वितरण का नियम बनाएं।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित भागों के बीच मानक भागों की संख्या - मान ले सकते हैं: 1, 2, 3 और इसमें हाइपरज्यामितीय वितरण होता है। संभावनाएँ कि एक्स

कहाँ -- लॉट में भागों की संख्या;

-- लॉट में मानक भागों की संख्या;

– चयनित भागों की संख्या;

-- चयनित लोगों में मानक भागों की संख्या।

.

.

.

उदाहरण 2.10.यादृच्छिक चर में वितरण घनत्व होता है

कहाँ और ज्ञात नहीं हैं, लेकिन , ए और . लगता है और ।

समाधान:इस मामले में, यादृच्छिक चर एक्सअंतराल पर एक त्रिकोणीय वितरण (सिम्पसन वितरण) है [ ए, बी]. संख्यात्मक विशेषताएँ एक्स:

इस तरह, . इस प्रणाली को हल करने पर, हमें मूल्यों के दो जोड़े मिलते हैं:। चूँकि, समस्या की स्थिति के अनुसार, अंततः हमारे पास है: .

उत्तर: .

उदाहरण 2.11.औसतन, 10% अनुबंधों के लिए, बीमा कंपनी किसी बीमित घटना के घटित होने के संबंध में बीमा राशि का भुगतान करती है। यादृच्छिक रूप से चुने गए चार अनुबंधों के बीच ऐसे अनुबंधों की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता की गणना करें।

समाधान:गणितीय अपेक्षा और विचरण को सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

.

एसवी के संभावित मान (बीमाकृत घटना के घटित होने के साथ अनुबंधों की संख्या (चार में से): 0, 1, 2, 3, 4।

हम अलग-अलग संख्या में अनुबंधों (चार में से) की संभावनाओं की गणना करने के लिए बर्नौली सूत्र का उपयोग करते हैं, जिसके लिए बीमा राशि का भुगतान किया गया था:

.

सीवी की वितरण श्रृंखला (बीमाकृत घटना के घटित होने के साथ अनुबंधों की संख्या) का रूप है:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

उत्तर: , ।

उदाहरण 2.12.पांच गुलाबों में से दो सफेद हैं। एक ही समय में लिए गए दो गुलाबों के बीच सफेद गुलाबों की संख्या को व्यक्त करने वाले एक यादृच्छिक चर के लिए एक वितरण कानून लिखें।

समाधान:दो गुलाबों के नमूने में, या तो सफेद गुलाब नहीं हो सकता है, या एक या दो सफेद गुलाब हो सकते हैं। इसलिए, यादृच्छिक चर एक्समान ले सकते हैं: 0, 1, 2. संभावनाएँ कि एक्सये मान लेते हैं, हम सूत्र द्वारा पाते हैं:

कहाँ -- गुलाबों की संख्या;

-- सफेद गुलाब की संख्या;

– एक साथ लिए गए गुलाबों की संख्या;

-- लिए गए फूलों में सफ़ेद गुलाबों की संख्या।

.

.

.

तब यादृच्छिक चर के वितरण का नियम इस प्रकार होगा:

उदाहरण 2.13. 15 एकत्रित इकाइयों में से 6 को अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता है। कुल संख्या में से यादृच्छिक रूप से चयनित पांच इकाइयों के बीच, अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या के वितरण का नियम बनाएं।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित पाँचों में से अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या - मान ले सकते हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5 और इसमें हाइपरज्यामितीय वितरण होता है। संभावनाएँ कि एक्सये मान लेते हैं, हम सूत्र द्वारा पाते हैं:

कहाँ -- एकत्रित इकाइयों की संख्या;

-- अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या;

– चयनित समुच्चय की संख्या;

-- चयनित इकाइयों में से उन इकाइयों की संख्या जिन्हें अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता है।

.

.

.

.

.

.

तब यादृच्छिक चर के वितरण का नियम इस प्रकार होगा:

उदाहरण 2.14.मरम्मत के लिए प्राप्त 10 घड़ियों में से 7 को तंत्र की सामान्य सफाई की आवश्यकता है। घड़ियों को मरम्मत के प्रकार के अनुसार क्रमबद्ध नहीं किया जाता है। मास्टर, एक ऐसी घड़ी ढूंढना चाहता है जिसे सफाई की आवश्यकता हो, वह एक-एक करके उनकी जांच करता है और ऐसी घड़ी मिलने पर, आगे देखना बंद कर देता है। देखे गए घंटों की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता ज्ञात कीजिए।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित पाँचों में से अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या - निम्नलिखित मान ले सकती है: 1, 2, 3, 4। संभावनाएँ कि एक्सये मान लेते हैं, हम सूत्र द्वारा पाते हैं:

.

.

.

.

तब यादृच्छिक चर के वितरण का नियम इस प्रकार होगा:

आइए अब मात्रा की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

उत्तर: , ।

उदाहरण 2.15.ग्राहक उस फ़ोन नंबर का अंतिम अंक भूल गया है जिसकी उसे आवश्यकता है, लेकिन उसे याद है कि यह अजीब है। यदि वह अंतिम अंक को यादृच्छिक रूप से डायल करता है और भविष्य में डायल किए गए अंक को डायल नहीं करता है, तो वांछित संख्या तक पहुंचने से पहले उसके द्वारा किए गए डायल की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता का पता लगाएं।

समाधान:यादृच्छिक चर मान ले सकते हैं: . चूंकि ग्राहक भविष्य में डायल किए गए अंक को डायल नहीं करता है, इसलिए इन मूल्यों की संभावनाएं बराबर हैं।

आइए एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला बनाएं:

	0,2

आइए डायलिंग प्रयासों की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता की गणना करें:

उत्तर: , ।

उदाहरण 2.16.श्रृंखला के प्रत्येक उपकरण के लिए विश्वसनीयता परीक्षण के दौरान विफलता की संभावना बराबर है पी. यदि परीक्षण किया गया तो विफल होने वाले उपकरणों की संख्या की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एनउपकरण।

समाधान:असतत यादृच्छिक चर X विफल उपकरणों की संख्या है एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में विफलता की संभावना बराबर है पी,द्विपद नियम के अनुसार वितरित। द्विपद वितरण की गणितीय अपेक्षा परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में होने वाली घटना की संभावना के उत्पाद के बराबर है:

उदाहरण 2.17.असतत यादृच्छिक चर एक्स 3 संभावित मान लेता है: संभाव्यता के साथ; संभावना के साथ और संभावना के साथ. खोजें और जानें कि एम( एक्स) = 8.

समाधान:हम गणितीय अपेक्षा की परिभाषाओं और असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम का उपयोग करते हैं:

हम देखतें है: ।

उदाहरण 2.18.तकनीकी नियंत्रण विभाग मानकता के लिए उत्पादों की जाँच करता है। वस्तु के मानक होने की प्रायिकता 0.9 है। प्रत्येक बैच में 5 आइटम हैं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एक्स- बैचों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक में बिल्कुल 4 मानक उत्पाद हैं, यदि 50 बैच सत्यापन के अधीन हैं।

समाधान:इस मामले में, किए गए सभी प्रयोग स्वतंत्र हैं, और प्रत्येक बैच में बिल्कुल 4 मानक उत्पाद होने की संभावनाएं समान हैं, इसलिए, गणितीय अपेक्षा सूत्र द्वारा निर्धारित की जा सकती है:

,

पार्टियों की संख्या कहाँ है;

प्रायिकता कि एक बैच में ठीक 4 मानक वस्तुएँ हों।

हम बर्नौली सूत्र का उपयोग करके संभाव्यता ज्ञात करते हैं:

उत्तर: .

उदाहरण 2.19.एक यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए एक्स- घटना की घटनाओं की संख्या एदो स्वतंत्र परीक्षणों में, यदि इन परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संभावनाएँ समान हैं और यह ज्ञात है कि एम(एक्स) = 0,9.

समाधान:समस्या को दो तरीकों से हल किया जा सकता है।

1) संभावित सीबी मान एक्स: 0, 1, 2. बर्नौली सूत्र का उपयोग करके, हम इन घटनाओं की संभावनाएं निर्धारित करते हैं:

, , .

फिर वितरण कानून एक्सकी तरह लगता है:

गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से, हम संभाव्यता निर्धारित करते हैं:

आइए SW का प्रसरण ज्ञात करें एक्स:

.

2) आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

.

उत्तर: .

उदाहरण 2.20.सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन एक्सक्रमशः 20 और 5 हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणाम के रूप में एक्सअंतराल (15; 25) में निहित मान लेगा।

समाधान:एक सामान्य यादृच्छिक चर से टकराने की संभावना एक्ससे अनुभाग पर लाप्लास फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया गया है:

उदाहरण 2.21.एक फ़ंक्शन दिया गया:

पैरामीटर के किस मान पर सीयह फ़ंक्शन कुछ सतत यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व है एक्स? एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए एक्स.

समाधान:किसी फ़ंक्शन के लिए कुछ यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व होना चाहिए, यह गैर-नकारात्मक होना चाहिए, और इसे संपत्ति को संतुष्ट करना होगा:

.

इस तरह:

सूत्र का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

.

सूत्र का उपयोग करके विचरण की गणना करें:

टी है पी. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान:असतत यादृच्छिक चर द्विपद वितरण की गणितीय अपेक्षा परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में घटना ए के घटित होने की संभावना के उत्पाद के बराबर है:

.

उदाहरण 2.25.लक्ष्य पर तीन स्वतंत्र गोलियाँ चलाई गईं। प्रत्येक शॉट मारने की संभावना 0.25 है। तीन शॉट्स के साथ हिट की संख्या का मानक विचलन निर्धारित करें।

समाधान:चूंकि तीन स्वतंत्र परीक्षण किए गए हैं, और प्रत्येक परीक्षण में घटना ए (हिट) की घटना की संभावना समान है, हम मान लेंगे कि असतत यादृच्छिक चर एक्स - लक्ष्य पर हिट की संख्या - द्विपद के अनुसार वितरित की जाती है कानून।

द्विपद वितरण का विचरण परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने और न होने की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है:

उदाहरण 2.26. 10 मिनट में बीमा कंपनी में आने वाले ग्राहकों की औसत संख्या तीन है। अगले 5 मिनट में कम से कम एक ग्राहक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

5 मिनट में आने वाले ग्राहकों की औसत संख्या: . .

उदाहरण 2.29.प्रोसेसर कतार में किसी एप्लिकेशन के लिए प्रतीक्षा समय 20 सेकंड के औसत मूल्य के साथ एक घातीय वितरण कानून का पालन करता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगला (मनमाना) अनुरोध प्रोसेसर के लिए 35 सेकंड से अधिक समय तक प्रतीक्षा करेगा।

समाधान:इस उदाहरण में, अपेक्षा , और विफलता दर है .

तब वांछित संभावना है:

उदाहरण 2.30. 15 छात्रों का एक समूह 10 सीटों वाली 20 पंक्तियों वाले एक हॉल में बैठक करता है। प्रत्येक छात्र यादृच्छिक रूप से हॉल में एक सीट लेता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि पंक्ति में सातवें स्थान पर तीन से अधिक व्यक्ति नहीं होंगे?

समाधान:

उदाहरण 2.31.

फिर संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:

कहाँ -- लॉट में भागों की संख्या;

-- लॉट में गैर-मानक भागों की संख्या;

– चयनित भागों की संख्या;

-- चयनित भागों में गैर-मानक भागों की संख्या।

तब यादृच्छिक चर का वितरण नियम इस प्रकार होगा।

 

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