Ce forțe acționează asupra pendulului de-a lungul șirului? Pendul matematic: perioadă, accelerație și formule

Pendul matematic numiți un punct material suspendat pe un fir imponderabil și inextensibil atașat suspensiei și situat în câmpul gravitațional (sau altă forță).

Să studiem oscilațiile unui pendul matematic într-un cadru de referință inerțial, față de care punctul suspensiei sale este în repaus sau se mișcă uniform în linie dreaptă. Vom neglija forța de rezistență a aerului (pendul matematic ideal). Inițial, pendulul este în repaus în poziția de echilibru C. În acest caz, forța gravitațională \(\vec F\) care acționează asupra acestuia și forța elastică \(\vec F_(ynp)\) a firului sunt reciproc compensate.

Să scoatem pendulul din poziţia de echilibru (prin deviere, de exemplu, în poziţia A) şi să-l eliberăm fără o viteză iniţială (Fig. 13.11). În acest caz, forțele \(\vec F\) și \(\vec F_(ynp)\) nu se echilibrează între ele. Componenta tangențială a gravitației \(\vec F_\tau\), care acționează asupra pendulului, îi conferă accelerația tangențială \(\vec a_\tau\) (componenta accelerației totale direcționate de-a lungul tangentei la traiectoria pendulului matematic). ), iar pendulul începe să se deplaseze în poziția de echilibru cu o viteză care crește în valoare absolută. Componenta tangențială a gravitației \(\vec F_\tau\) este astfel o forță de restabilire. Componenta normală \(\vec F_n\) a forței gravitaționale este îndreptată de-a lungul filetului împotriva forței elastice \(\vec F_(ynp)\). Rezultanta forțelor \(\vec F_n\) și \(\vec F_(ynp)\) conferă accelerația normală \(~a_n\) pendulului, care schimbă direcția vectorului viteză, iar pendulul se mișcă de-a lungul unui arc ABCD.

Cu cât pendulul se apropie de poziția de echilibru C, cu atât valoarea componentei tangențiale \(~F_\tau = F \sin \alpha\) devine mai mică. În poziția de echilibru, este egală cu zero, iar viteza atinge valoarea maximă, iar pendulul se deplasează mai departe prin inerție, urcându-se într-un arc ascendent. În acest caz, componenta \(\vec F_\tau\) este îndreptată împotriva vitezei. Cu o creștere a unghiului de deviere a, modulul de forță \(\vec F_\tau\) crește, iar modulul de viteză scade, iar în punctul D viteza pendulului devine egală cu zero. Pendulul se oprește pentru un moment și apoi începe să se miște în direcția opusă poziției de echilibru. După ce l-a trecut din nou prin inerție, pendulul, încetinindu-și mișcarea, va ajunge în punctul A (nu există frecare), adică. va finaliza un leagăn complet. După aceasta, mișcarea pendulului se va repeta în secvența deja descrisă.

Să obținem o ecuație care descrie oscilațiile libere ale unui pendul matematic.

Fie pendulul la un moment dat de timp în punctul B. Deplasarea lui S față de poziția de echilibru în acest moment este egală cu lungimea arcului SV (adică S = |SV|). Să notăm lungimea firului de suspensie l, iar masa pendulului este m.

Din figura 13.11 este clar că \(~F_\tau = F \sin \alpha\), unde \(\alpha =\frac(S)(l).\) La unghiuri mici \(~(\alpha\).<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Semnul minus este plasat în această formulă deoarece componenta tangențială a gravitației este îndreptată spre poziția de echilibru, iar deplasarea se numără din poziția de echilibru.

Conform celei de-a doua legi a lui Newton \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Să proiectăm mărimile vectoriale ale acestei ecuații pe direcția tangentei la traiectoria pendulului matematic.

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

Din aceste ecuații obținem

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - ecuația dinamică a mișcării unui pendul matematic. Accelerația tangențială a unui pendul matematic este proporțională cu deplasarea acestuia și este îndreptată spre poziția de echilibru. Această ecuație poate fi scrisă ca\. Comparând-o cu ecuația oscilațiilor armonice \(~a_x + \omega^2x = 0\) (vezi § 13.3), putem concluziona că pendulul matematic realizează oscilații armonice. Și întrucât oscilațiile considerate ale pendulului au avut loc doar sub influența forțelor interne, acestea au fost oscilații libere ale pendulului. Prin urmare, oscilaţiile libere ale unui pendul matematic cu abateri mici sunt armonice.

Să notăm \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) De unde \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) este frecvența ciclică a pendulului.

Perioada de oscilație a pendulului este \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Prin urmare,

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Această expresie se numește Formula lui Huygens. Determină perioada de oscilații libere a unui pendul matematic. Din formula rezultă că la unghiuri mici de abatere de la poziția de echilibru, perioada de oscilație a unui pendul matematic: 1) nu depinde de masa și amplitudinea oscilațiilor acestuia; 2) proporțional cu rădăcina pătrată a lungimii pendulului și invers proporțional cu rădăcina pătrată a accelerației gravitației. Acest lucru este în concordanță cu legile experimentale ale oscilațiilor mici ale unui pendul matematic, care au fost descoperite de G. Galileo.

Subliniem că această formulă poate fi utilizată pentru a calcula perioada dacă sunt îndeplinite simultan două condiții: 1) oscilațiile pendulului trebuie să fie mici; 2) punctul de suspensie al pendulului trebuie să fie în repaus sau să se miște uniform în linie dreaptă față de cadrul de referință inerțial în care se află.

Dacă punctul de suspensie al unui pendul matematic se mișcă cu accelerația \(\vec a\), atunci forța de întindere a firului se modifică, ceea ce duce la o modificare a forței de restabilire și, în consecință, a frecvenței și perioadei oscilațiilor. După cum arată calculele, perioada de oscilație a pendulului în acest caz poate fi calculată folosind formula

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

unde \(~g"\) este accelerația "efectivă" a pendulului într-un cadru de referință neinerțial. Este egală cu suma geometrică a accelerației gravitației \(\vec g\) și vectorul opus față de vectorul \(\vec a\), adică poate fi calculat folosind formula

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Literatură

Aksenovich L. A. Fizica în liceu: Teorie. Sarcini. Teste: manual. alocație pentru instituțiile care oferă învățământ general. mediu, educație / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 374-376.

Pendul matematic numiți un punct material suspendat pe un fir imponderabil și inextensibil atașat suspensiei și situat în câmpul gravitațional (sau altă forță).

Să studiem oscilațiile unui pendul matematic într-un cadru de referință inerțial, față de care punctul suspensiei sale este în repaus sau se mișcă uniform în linie dreaptă. Vom neglija forța de rezistență a aerului (pendul matematic ideal). Iniţial, pendulul se află în repaus în poziţia de echilibru C. În acest caz, forţa gravitaţiei şi forţa elastică F?ynp a firului care acţionează asupra acestuia se compensează reciproc.

Să scoatem pendulul din poziția de echilibru (prin deviere, de exemplu, în poziția A) și să-l eliberăm fără o viteză inițială (Fig. 1). În acest caz, forțele nu se echilibrează între ele. Componenta tangentiala a gravitatiei, actionand asupra pendulului, ii confera acceleratie tangentiala a?? (componentă a accelerației totale îndreptate de-a lungul tangentei la traiectoria pendulului matematic), iar pendulul începe să se deplaseze spre poziția de echilibru cu o viteză care crește în valoare absolută. Componenta tangențială a gravitației este astfel o forță de restabilire. Componenta normală a gravitației este îndreptată de-a lungul firului împotriva forței elastice. Rezultanta forțelor dă pendulului o accelerație normală, care schimbă direcția vectorului viteză, iar pendulul se mișcă de-a lungul arcului ABCD.

Cu cât pendulul se apropie de poziția de echilibru C, cu atât valoarea componentei tangențiale devine mai mică. În poziția de echilibru, este egală cu zero, iar viteza atinge valoarea maximă, iar pendulul se deplasează mai departe prin inerție, urcându-se într-un arc ascendent. În acest caz, componenta este îndreptată împotriva vitezei. Pe măsură ce unghiul de deviere a crește, mărimea forței crește, iar mărimea vitezei scade, iar în punctul D viteza pendulului devine zero. Pendulul se oprește pentru un moment și apoi începe să se miște în direcția opusă poziției de echilibru. După ce l-a trecut din nou prin inerție, pendulul, încetinindu-și mișcarea, va ajunge în punctul A (nu există frecare), adică. va finaliza un leagăn complet. După aceasta, mișcarea pendulului se va repeta în secvența deja descrisă.

Să obținem o ecuație care descrie oscilațiile libere ale unui pendul matematic.

Fie pendulul la un moment dat de timp în punctul B. Deplasarea lui S față de poziția de echilibru în acest moment este egală cu lungimea arcului SV (adică S = |SV|). Să notăm lungimea firului de suspensie cu l, iar masa pendulului cu m.

Din figura 1 este clar că , unde . Prin urmare, la unghiuri mici () pendulul se deviază

Semnul minus este plasat în această formulă deoarece componenta tangențială a gravitației este îndreptată spre poziția de echilibru, iar deplasarea se numără din poziția de echilibru.

Conform celei de-a doua legi a lui Newton. Să proiectăm mărimile vectoriale ale acestei ecuații pe direcția tangentei la traiectoria pendulului matematic

Din aceste ecuații obținem

Ecuația dinamică a mișcării unui pendul matematic. Accelerația tangențială a unui pendul matematic este proporțională cu deplasarea acestuia și este îndreptată spre poziția de echilibru. Această ecuație poate fi scrisă ca

Comparând-o cu ecuația vibrației armonice , putem concluziona că pendulul matematic efectuează oscilații armonice. Și întrucât oscilațiile considerate ale pendulului au avut loc doar sub influența forțelor interne, acestea au fost oscilații libere ale pendulului. În consecință, oscilațiile libere ale unui pendul matematic cu abateri mici sunt armonice.

Să notăm

Frecvența ciclică a oscilațiilor pendulului.

Perioada de oscilație a pendulului. Prin urmare,

Această expresie se numește formula lui Huygens. Determină perioada de oscilații libere a unui pendul matematic. Din formula rezultă că la unghiuri mici de abatere de la poziția de echilibru, perioada de oscilație a unui pendul matematic este:

  1. nu depinde de masa și amplitudinea vibrației sale;
  2. este proporțională cu rădăcina pătrată a lungimii pendulului și invers proporțională cu rădăcina pătrată a accelerației gravitației.

Acest lucru este în concordanță cu legile experimentale ale oscilațiilor mici ale unui pendul matematic, care au fost descoperite de G. Galileo.

Subliniem că această formulă poate fi folosită pentru a calcula perioada dacă sunt îndeplinite simultan două condiții:

  1. oscilațiile pendulului ar trebui să fie mici;
  2. punctul de suspendare al pendulului trebuie să fie în repaus sau să se miște uniform în linie dreaptă față de cadrul de referință inerțial în care se află.

Dacă punctul de suspensie al unui pendul matematic se mișcă cu accelerație, atunci forța de tensiune a firului se modifică, ceea ce duce la o modificare a forței de restabilire și, în consecință, a frecvenței și perioadei oscilațiilor. După cum arată calculele, perioada de oscilație a pendulului în acest caz poate fi calculată folosind formula

unde este accelerația „efectivă” a pendulului într-un cadru de referință neinerțial. Este egal cu suma geometrică a accelerației căderii libere și a vectorului opus vectorului, i.e. se poate calcula folosind formula

Pendul matematic.

Un pendul matematic este un punct material suspendat pe un fir inextensibil fără greutate, care efectuează mișcare oscilatoare într-un plan vertical sub influența gravitației.

Un astfel de pendul poate fi considerat o bilă grea de masă m, suspendată pe un fir subțire, a cărui lungime l este mult mai mare decât dimensiunea bilei. Dacă este deviat cu un unghi α (Fig. 7.3.) față de linia verticală, atunci sub influența forței F, una dintre componentele greutății P, va oscila. Cealaltă componentă, îndreptată de-a lungul firului, nu este luată în considerare, deoarece este echilibrată de tensiunea firului. La unghiuri mici de deplasare și, atunci coordonata x poate fi măsurată în direcția orizontală. Din Fig. 7.3 este clar că componenta de greutate perpendiculară pe filet este egală cu

Momentul de forță față de punctul O: și momentul de inerție:
M=FL .
Moment de inerție Jîn acest caz,
Accelerația unghiulară:

Ținând cont de aceste valori, avem:

(7.8)

Decizia lui
,

unde si (7.9)

După cum putem vedea, perioada de oscilație a unui pendul matematic depinde de lungimea acestuia și de accelerația gravitației și nu depinde de amplitudinea oscilațiilor.

Pendul fizic.

Un pendul fizic este un corp rigid fixat pe o axă orizontală fixă ​​(axa de suspensie) care nu trece prin centrul de greutate și care oscilează în jurul acestei axe sub influența gravitației. Spre deosebire de un pendul matematic, masa unui astfel de corp nu poate fi considerată punctuală.

La unghiuri mici de deformare α (Fig. 7.4), pendulul fizic efectuează și oscilații armonice. Vom presupune că greutatea pendulului fizic este aplicată centrului său de greutate în punctul C. Forța care readuce pendulul în poziția de echilibru, în acest caz, va fi componenta gravitației - forța F.

Semnul minus din partea dreaptă înseamnă că forța F este îndreptată spre unghiul descrescător α. Ținând cont de micimea unghiului α

Pentru a deriva legea mișcării pendulelor matematice și fizice, folosim ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație

Momentul forței: nu poate fi determinat în mod explicit. Luând în considerare toate mărimile incluse în ecuația diferențială inițială a oscilațiilor unui pendul fizic are forma:

Pendulele prezentate în fig. 2, sunt corpuri extinse de diverse forme și dimensiuni care oscilează în jurul unui punct de suspensie sau de sprijin. Asemenea sisteme se numesc pendule fizice. Într-o stare de echilibru, când centrul de greutate se află pe verticală sub punctul de suspensie (sau de sprijin), forța de greutate este echilibrată (prin forțele elastice ale unui pendul deformat) prin reacția suportului. La devierea de la poziția de echilibru, forțele gravitaționale și elastice determină accelerația unghiulară a pendulului în fiecare moment de timp, adică determină natura mișcării sale (oscilația). Ne vom uita acum la dinamica oscilațiilor mai detaliat folosind cel mai simplu exemplu de așa-numit pendul matematic, care este o greutate mică suspendată pe un fir lung și subțire.

Într-un pendul matematic, putem neglija masa firului și deformarea greutății, adică putem presupune că masa pendulului este concentrată în greutate, iar forțele elastice sunt concentrate în fir, care este considerat inextensibil. . Să vedem acum sub ce forțe oscilează pendulul nostru după ce este scos din poziția sa de echilibru într-un fel (împingere, deviere).

Când pendulul este în repaus în poziția de echilibru, forța gravitațională care acționează asupra greutății sale și îndreptată vertical în jos este echilibrată de forța de întindere a firului. În poziţia deviată (Fig. 15), forţa gravitaţiei acţionează în unghi faţă de forţa de tensionare direcţionată de-a lungul firului. Să descompunăm forța gravitației în două componente: în direcția firului () și perpendicular pe acesta (). Când pendulul oscilează, forța de tensiune a firului depășește ușor componenta - cu valoarea forței centripete, care obligă sarcina să se miște într-un arc. Componenta este întotdeauna îndreptată spre poziția de echilibru; pare că se străduiește să restabilească această situație. Prin urmare, este adesea numită forța de restaurare. Cu cât pendulul este deviat mai mult, cu atât valoarea absolută este mai mare.

Orez. 15. Restabilirea forței când pendulul se abate de la poziția de echilibru

Deci, de îndată ce pendulul, în timpul oscilațiilor sale, începe să se abată de la poziția de echilibru, să zicem, spre dreapta, apare o forță, încetinindu-și mișcarea cu atât mai mult, cu atât este deviată mai mult. În cele din urmă, această forță îl va opri și îl va trage înapoi în poziția de echilibru. Cu toate acestea, pe măsură ce ne apropiem de această poziție, forța va deveni din ce în ce mai mică și în poziția de echilibru însăși va deveni zero. Astfel, pendulul trece prin poziția de echilibru prin inerție. De îndată ce începe să devieze spre stânga, o forță va apărea din nou, crescând odată cu creșterea abaterii, dar acum îndreptată spre dreapta. Mișcarea spre stânga va încetini din nou, apoi pendulul se va opri pentru o clipă, după care va începe mișcarea accelerată spre dreapta etc.

Ce se întâmplă cu energia unui pendul când oscilează?

De două ori în timpul perioadei - la cele mai mari abateri la stânga și la dreapta - pendulul se oprește, adică în aceste momente viteza este zero, ceea ce înseamnă că energia cinetică este zero. Dar tocmai în aceste momente centrul de greutate al pendulului este ridicat la cea mai mare înălțime și, prin urmare, energia potențială este cea mai mare. Dimpotrivă, în momentele trecerii prin poziţia de echilibru, energia potenţială este cea mai scăzută, iar viteza şi energia cinetică ating cele mai mari valori.

Vom presupune că forțele de frecare ale pendulului față de aer și frecarea în punctul de suspensie pot fi neglijate. Apoi, conform legii conservării energiei, această energie cinetică maximă este exact egală cu excesul de energie potențială din poziția de cea mai mare abatere față de energia potențială din poziția de echilibru.

Deci, atunci când pendulul oscilează, are loc o tranziție periodică a energiei cinetice în energie potențială și invers, iar perioada acestui proces este jumătate mai lungă decât perioada de oscilație a pendulului însuși. Cu toate acestea, energia totală a pendulului (suma energiilor potențiale și cinetice) este constantă tot timpul. Este egală cu energia care a fost transmisă pendulului la lansare, indiferent dacă este sub formă de energie potențială (deflexie inițială) sau sub formă de energie cinetică (împingere inițială).

Acesta este cazul oricăror oscilații în absența frecării sau a oricăror alte procese care iau energie din sistemul oscilant sau îi transmit energie. De aceea amplitudinea rămâne neschimbată și este determinată de deformarea sau forța inițială a împingerii.

Vom obține aceleași modificări ale forței de restabilire și același transfer de energie dacă, în loc să atârnăm mingea pe un fir, o facem să se rostogolească într-un plan vertical într-o cupă sferică sau într-un șanț curbat de-a lungul circumferinței. În acest caz, rolul tensiunii firului va fi preluat de presiunea pereților cupei sau jgheabului (neglijăm din nou frecarea mingii de pereți și de aer).

Un sistem mecanic care constă dintr-un punct material (corp) atârnat de un fir inextensibil fără greutate (masa sa este neglijabilă în comparație cu greutatea corpului) într-un câmp gravitațional uniform se numește pendul matematic (un alt nume este un oscilator). Există și alte tipuri de acest dispozitiv. În loc de ață, se poate folosi o tijă fără greutate. Un pendul matematic poate dezvălui în mod clar esența multor fenomene interesante. Când amplitudinea vibrației este mică, mișcarea sa se numește armonică.

Prezentare generală a sistemului mecanic

Formula pentru perioada de oscilație a acestui pendul a fost derivată de omul de știință olandez Huygens (1629-1695). Acest contemporan al lui I. Newton era foarte interesat de acest sistem mecanic. În 1656 a creat primul ceas cu mecanism pendul. Ei au măsurat timpul cu o precizie excepțională pentru acele vremuri. Această invenție a devenit o etapă majoră în dezvoltarea experimentelor fizice și a activităților practice.

Dacă pendulul se află în poziția de echilibru (atârnând vertical), acesta va fi echilibrat de forța de întindere a firului. Un pendul plat pe filet inextensibil este un sistem cu două grade de libertate cu cuplare. Când schimbați doar o componentă, caracteristicile tuturor părților sale se schimbă. Deci, dacă firul este înlocuit cu o tijă, atunci acest sistem mecanic va avea doar 1 grad de libertate. Ce proprietăți are un pendul matematic? În acest sistem cel mai simplu, haosul apare sub influența perturbărilor periodice. În cazul în care punctul de suspensie nu se mișcă, ci oscilează, pendulul are o nouă poziție de echilibru. Cu oscilații rapide în sus și în jos, acest sistem mecanic capătă o poziție stabilă „cu susul în jos”. Are și propriul nume. Se numește pendul Kapitsa.

Proprietățile unui pendul

Pendulul matematic are proprietăți foarte interesante. Toate sunt confirmate de legile fizice cunoscute. Perioada de oscilație a oricărui alt pendul depinde de diferite circumstanțe, cum ar fi dimensiunea și forma corpului, distanța dintre punctul de suspensie și centrul de greutate și distribuția masei în raport cu acest punct. De aceea, determinarea perioadei de suspendare a unui corp este o sarcină destul de dificilă. Este mult mai ușor de calculat perioada unui pendul matematic, a cărui formulă va fi dată mai jos. Ca rezultat al observațiilor unor sisteme mecanice similare, pot fi stabilite următoarele modele:

Dacă, menținând aceeași lungime a pendulului, suspendăm greutăți diferite, atunci perioada oscilațiilor lor va fi aceeași, deși masele lor vor varia foarte mult. În consecință, perioada unui astfel de pendul nu depinde de masa încărcăturii.

Dacă, la pornirea sistemului, pendulul este deviat la unghiuri nu prea mari, ci diferite, atunci va începe să oscileze cu aceeași perioadă, dar cu amplitudini diferite. Atâta timp cât abaterile de la centrul de echilibru nu sunt prea mari, vibrațiile în forma lor vor fi destul de apropiate de cele armonice. Perioada unui astfel de pendul nu depinde în niciun fel de amplitudinea oscilatoare. Această proprietate a unui sistem mecanic dat se numește izocronism (tradus din greacă „chronos” - timp, „isos” - egal).

Perioada unui pendul matematic

Acest indicator reprezintă perioada În ciuda formulării complexe, procesul în sine este foarte simplu. Dacă lungimea firului unui pendul matematic este L, iar accelerația căderii libere este g, atunci această valoare este egală cu:

Perioada micilor oscilații naturale nu depinde în niciun fel de masa pendulului și de amplitudinea oscilațiilor. În acest caz, pendulul se mișcă ca unul matematic cu o lungime dată.

Oscilațiile unui pendul matematic

Un pendul matematic oscilează, ceea ce poate fi descris printr-o ecuație diferențială simplă:

x + ω2 sin x = 0,

unde x (t) este o funcție necunoscută (acesta este unghiul de abatere de la poziția inferioară de echilibru în momentul t, exprimat în radiani); ω este o constantă pozitivă, care este determinată din parametrii pendulului (ω = √g/L, unde g este accelerația căderii libere, iar L este lungimea pendulului matematic (suspensia).

Ecuația pentru vibrații mici în apropierea poziției de echilibru (ecuația armonică) arată astfel:

x + ω2 sin x = 0

Mișcări oscilatorii ale unui pendul

Un pendul matematic, care face mici oscilații, se mișcă de-a lungul unei sinusoide. Ecuația diferențială de ordinul doi îndeplinește toate cerințele și parametrii unei astfel de mișcări. Pentru a determina traiectoria, este necesar să se stabilească viteza și coordonatele, din care apoi se determină constante independente:

x = A sin (θ 0 + ωt),

unde θ 0 este faza inițială, A este amplitudinea oscilației, ω este frecvența ciclică determinată din ecuația mișcării.

Pendul matematic (formule pentru amplitudini mari)

Acest sistem mecanic, care oscilează cu o amplitudine semnificativă, este supus unor legi mai complexe ale mișcării. Pentru un astfel de pendul, ele sunt calculate după formula:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

unde sn este sinusul Jacobi, care pentru u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

unde ε = E/mL2 (mL2 este energia pendulului).

Perioada de oscilație a unui pendul neliniar se determină folosind formula:

unde Ω = π/2 * ω/2K(u), K este integrala eliptică, π - 3,14.

Mișcarea unui pendul de-a lungul unei separatrice

O separatoare este traiectoria unui sistem dinamic care are un spațiu de fază bidimensional. Un pendul matematic se mișcă de-a lungul lui neperiodic. Într-un moment infinit de îndepărtat în timp, cade din poziția sa cea mai înaltă pe partea cu viteză zero, apoi o câștigă treptat. În cele din urmă se oprește, revenind la poziția inițială.

Dacă amplitudinea oscilaţiilor pendulului se apropie de numărul π , aceasta indică faptul că mișcarea pe planul de fază se apropie de separatrix. În acest caz, sub influența unei mici forțe periodice motrice, sistemul mecanic prezintă un comportament haotic.

Când un pendul matematic se abate de la poziția de echilibru cu un anumit unghi φ, apare o forță de gravitație tangențială Fτ = -mg sin φ. Semnul minus înseamnă că această componentă tangențială este îndreptată în direcția opusă deformarii pendulului. Când notăm cu x deplasarea pendulului de-a lungul unui arc de cerc cu raza L, deplasarea sa unghiulară este egală cu φ = x/L. A doua lege, destinată proiecțiilor și forței, va da valoarea dorită:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Pe baza acestei relații, este clar că acest pendul este un sistem neliniar, deoarece forța care tinde să-l readucă în poziția de echilibru este întotdeauna proporțională nu cu deplasarea x, ci cu sin x/L.

Numai atunci când un pendul matematic efectuează oscilații mici este un oscilator armonic. Cu alte cuvinte, devine un sistem mecanic capabil să efectueze oscilații armonice. Această aproximare este practic valabilă pentru unghiuri de 15-20°. Oscilațiile unui pendul cu amplitudini mari nu sunt armonice.

Legea lui Newton pentru oscilațiile mici ale unui pendul

Dacă un anumit sistem mecanic efectuează oscilații mici, legea a 2-a a lui Newton va arăta astfel:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Pe baza acestui lucru, putem concluziona că un pendul matematic este proporțional cu deplasarea sa cu semnul minus. Aceasta este condiția datorită căreia sistemul devine un oscilator armonic. Modulul coeficientului de proporționalitate dintre deplasare și accelerație este egal cu pătratul frecvenței circulare:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

Această formulă reflectă frecvența naturală a micilor oscilații ale acestui tip de pendul. Bazat pe acest lucru,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Calcule bazate pe legea conservării energiei

Proprietățile unui pendul pot fi descrise și folosind legea conservării energiei. Trebuie luat în considerare faptul că pendulul în câmpul gravitațional este egal cu:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Total este egal cu potențialul cinetic sau maxim: Epmax = Ekmsx = E

După ce s-a scris legea conservării energiei, luați derivata părților drepte și stângi ale ecuației:

Deoarece derivata cantităților constante este egală cu 0, atunci (Ep + Ek)" = 0. Derivata sumei este egală cu suma derivatelor:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

deci:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Pe baza ultimei formule, găsim: α = - g/L*x.

Aplicarea practică a unui pendul matematic

Accelerația variază în funcție de latitudine, deoarece densitatea scoarței terestre nu este aceeași pe întreaga planetă. Acolo unde apar roci cu densitate mai mare, aceasta va fi puțin mai mare. Accelerația unui pendul matematic este adesea folosită pentru explorarea geologică. Este folosit pentru a căuta diferite minerale. Pur și simplu numărând numărul de oscilații ale unui pendul, se poate detecta cărbunele sau minereul în intestinele Pământului. Acest lucru se datorează faptului că astfel de fosile au o densitate și o masă mai mari decât rocile libere subiacente.

Pendulul matematic a fost folosit de oameni de știință remarcabili precum Socrate, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimede. Mulți dintre ei credeau că acest sistem mecanic ar putea influența soarta și viața unei persoane. Arhimede a folosit un pendul matematic în calculele sale. În zilele noastre, mulți ocultiști și psihici folosesc acest sistem mecanic pentru a-și îndeplini profețiile sau pentru a căuta oameni dispăruți.

Celebrul astronom și naturalist francez K. Flammarion a folosit și el un pendul matematic pentru cercetările sale. El a susținut că, cu ajutorul lui, a putut prezice descoperirea unei noi planete, apariția meteoritului Tunguska și alte evenimente importante. În timpul celui de-al Doilea Război Mondial, în Germania (Berlin) a funcționat un Institut de Pendulă specializat. În prezent, Institutul de Parapsihologie din München este angajat în cercetări similare. Angajații acestei unități își numesc munca cu pendulul „radiestezie”.



 

Ar putea fi util să citiți: