Găsiți exemple odz. Începe în știință

În ecuațiile și inegalitățile de forma , , , , intersecția domeniilor de definire a funcțiilor și se numește domeniul valorilor acceptabile (ODV) al variabilei, precum și ODV-ul ecuației sau, respectiv, inegalității.

Când se rezolvă ecuații (inegalități) cu o variabilă, când se pune întrebarea dacă să se găsească ODZ, se poate auzi adesea un „da” categoric și nu mai puțin categoric „nu”. „Mai întâi, trebuie să găsiți ODZ și apoi să continuați să rezolvați ecuația (inegalitatea)”, spun unii. „Nu este nevoie să pierdem timpul pe ODZ, în cursul rezolvării vom trece la o ecuație echivalentă (inegalitate) sau la un sistem echivalent de ecuații și inegalități, sau doar inegalități. La urma urmei, dacă aceasta este o ecuație, atunci se poate face o verificare”, argumentează alții.

Deci este posibil să găsiți ODZ?

Desigur, nu există un singur răspuns la această întrebare. Găsirea ecuației ODZ sau a inegalității nu este un element obligatoriu al soluției. În fiecare exemplu specific, această problemă este rezolvată individual.

În unele cazuri, găsirea ODZ simplifică soluția unei ecuații sau a unei inegalități (exemplele 1-5), iar în unele cazuri este chiar un pas necesar în soluție (exemplele 1, 2, 4).

În alte cazuri (exemplele 6, 7), merită să refuzați găsirea preliminară a ODZ, deoarece face soluția mai greoaie.

Exemplul 1 Rezolvați ecuația.

Pătratarea ambelor părți ale ecuației nu va simplifica, dar o va complica și nu vă va permite să scăpați de radicali. Trebuie să căutăm o altă soluție.

Să găsim ecuația ODZ:

Astfel, ODZ conține o singură valoare și, prin urmare, doar numărul 4 poate servi drept rădăcină a ecuației originale.Prin substituție directă, ne asigurăm că este singura rădăcină a ecuației.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația.

Prezența în ecuație a radicalilor de diferite grade - al doilea, al treilea și al șaselea - face soluția dificilă. Prin urmare, în primul rând, găsim ecuația ODZ:

Prin substituție directă, ne asigurăm că aceasta este rădăcina ecuației originale.

Exemplul 3 Rezolvați inegalitatea.

Desigur, această inegalitate poate fi rezolvată luând în considerare cazurile: , , dar găsirea ODZ simplifică imediat această soluție.

ODZ:

Înlocuind această valoare unică în inegalitatea originală, obținem o inegalitate numerică falsă. Prin urmare, inegalitatea originală nu are soluție.

Răspuns: nicio soluție.

Exemplul 4 Rezolvați ecuația.

Să scriem ecuația sub forma .

O ecuație de formă este echivalentă cu un sistem mixt acestea.

Desigur, găsirea ODZ aici este redundantă.

În cazul nostru, obținem un sistem echivalent acestea.

Ecuația este echivalentă cu mulțimea Ecuația nu are rădăcini raționale, dar poate avea rădăcini iraționale, a căror constatare va cauza dificultăți elevilor. Deci haideti sa cautam o alta solutie.

Să revenim la ecuația inițială, să o scriem sub forma .

Să găsim ODZ:.

Pentru partea dreaptă a ecuației și partea stângă . Prin urmare, ecuația originală în intervalul de valori acceptabile ale variabilei X este echivalent cu sistemul de ecuații care are o singură soluție.

Astfel, în acest exemplu, descoperirea ODZ a făcut posibilă rezolvarea ecuației inițiale.

Exemplul 5 Rezolvați ecuația.

Deoarece , și , atunci când rezolvați ecuația inițială, va fi necesar să scăpați de module (deschideți-le).

Prin urmare, mai întâi are sens să găsim ecuația ODZ:

Deci, ODZ:

Simplificați ecuația originală folosind proprietățile logaritmilor.

Deoarece în intervalul de valori acceptabile ale variabilei Xși apoi , și , atunci obținem o ecuație echivalentă:

Ținând cont că în ODZ , trecem la ecuația echivalentă și rezolvați-l împărțind ambele părți la 3.

Raspuns: - 4,75.

Cometariu.

Dacă ODZ nu este găsit, atunci la rezolvarea ecuației, ar fi necesar să luăm în considerare patru cazuri: , , , . Pe fiecare dintre aceste intervale de constanță a expresiilor sub semnul modulului, ar fi necesară deschiderea modulelor și rezolvarea ecuației rezultate. De asemenea, faceți o verificare. Vedem că găsirea ODZ a ecuației originale simplifică foarte mult soluția acesteia.

Exemplul 7 Rezolvați inegalitatea .

Din moment ce variabila X intră în baza logaritmului, apoi la rezolvarea acestei inegalități va fi necesar să se ia în considerare două cazuri: și . Prin urmare, este imposibil să găsiți ODZ separat.

Deci, reprezentăm inegalitatea inițială în formă și va fi echivalent cu combinația a două sisteme:

Răspuns: .

Consilier stiintific:

1. Introducere 3

2. Context istoric 4

3. „Locul” ODZ la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților 5-6

4. Caracteristicile și pericolul ODZ 7

5. ODZ - există o decizie 8-9

6. Găsirea ODZ este o muncă suplimentară. Echivalența tranzițiilor 10-14

7. ODZ la examenul 15-16

8. Concluzie 17

9. Literatură 18

1. Introducere

Problemă: ecuațiile și inegalitățile în care trebuie să găsiți ODZ nu și-au găsit un loc în cursul prezentării sistematice a algebrei, motiv pentru care colegii mei și cu mine greșim adesea atunci când rezolvăm astfel de exemple, dedicând mult timp rezolvării lor. , în timp ce uitând de ODZ.

Ţintă: să poată analiza situația și să tragă concluzii logic corecte în exemple în care este necesar să se țină cont de ODD.

Sarcini:

1. Material teoretic de studiu;

2. Rezolvați o mulțime de ecuații, inegalități: a) fracționat rațional; b) irațional; c) logaritmică; d) conţinând funcţii trigonometrice inverse;

3. Aplica materialele invatate intr-o situatie diferita de standard;

4. Creați o lucrare pe tema „Regiunea valorilor acceptabile: teorie și practică”

Lucrul la proiect: Am început să lucrez la proiect repetând funcțiile cunoscute de mine. Sfera multora dintre ele este limitată.

ODZ apare:

1. La rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale și a inegalităților

2. La rezolvarea ecuaţiilor şi inegalităţilor iraţionale

3. La rezolvarea ecuaţiilor logaritmice şi a inegalităţilor

4. La rezolvarea ecuaţiilor şi inegalităţilor care conţin funcţii trigonometrice inverse

După ce am rezolvat multe exemple din diverse surse (manuale de UTILIZARE, manuale, cărți de referință), am sistematizat soluția exemplelor după următoarele principii:

puteți rezolva exemplul și țineți cont de ODZ (cel mai comun mod)

Este posibil să rezolvați exemplul fără a lua în considerare ODZ

Este posibil doar ținând cont de ODZ să ajungă la decizia corectă.

Metode utilizate în lucrare: 1) analiza; 2) analiza statistica; 3) deducere; 4) clasificare; 5) prognoza.

Am studiat analiza rezultatelor examenului unificat de stat din ultimii ani. S-au făcut multe greșeli în exemplele în care DHS trebuie luat în considerare. Acest lucru subliniază din nou relevanţă tema mea.

2. Contur istoric

Ca și alte concepte ale matematicii, conceptul de funcție nu s-a dezvoltat imediat, ci a parcurs un drum lung. Lucrarea lui P. Fermat „Introducerea și studiul locurilor plate și solide” (1636, publicată în 1679) spune: „De câte ori sunt două mărimi necunoscute în ecuația finală, există un loc”. În esență, aici vorbim despre dependența funcțională și reprezentarea ei grafică („locul” pentru Fermat înseamnă o linie). Studiul liniilor prin ecuațiile lor din „Geometria” (1637) a lui R. Descartes indică, de asemenea, o înțelegere clară a dependenței reciproce a două variabile. I. Barrow („Prelegeri de geometrie”, 1670) stabilește sub formă geometrică reciprocitatea reciprocă a acțiunilor de diferențiere și integrare (desigur, fără a folosi acești termeni înșiși). Aceasta mărturisește deja o stăpânire complet clară a conceptului de funcție. Într-o formă geometrică și mecanică, acest concept îl găsim și la I. Newton. Cu toate acestea, termenul „funcție” apare pentru prima dată abia în 1692 de către G. Leibniz și, în plus, nu chiar în sensul său modern. G. Leibniz numește funcții diverse segmente asociate unei curbe (de exemplu, abscisele punctelor acesteia). În primul curs tipărit „Analysis of Infinitely Small for the Knowledge of Curved Lines” de Lopital (1696), termenul „funcție” nu este folosit.

Prima definiție a unei funcții într-un sens apropiat de cel modern o găsim în I. Bernoulli (1718): „O funcție este o mărime compusă dintr-o variabilă și o constantă”. Această definiție nu tocmai distinctă se bazează pe ideea de a specifica o funcție printr-o formulă analitică. Aceeași idee apare și în definiția lui L. Euler, dată de acesta în „Introduction to the analysis of infinite” (1748): „O funcție a unei mărimi variabile este o expresie analitică, compusă într-un fel din această mărime variabilă și numere. sau cantități constante”. Cu toate acestea, nici L. Euler nu este străin de înțelegerea modernă a unei funcții, care nu leagă conceptul de funcție cu niciuna dintre expresiile sale analitice. În „Calcul diferențial” al său (1755) se spune: „Când unele cantități depind de altele în așa fel încât atunci când acestea din urmă se schimbă, ele însele suferă o schimbare, atunci primele sunt numite funcții ale celei din urmă”.

De la începutul secolului al XIX-lea, conceptul de funcție a fost din ce în ce mai des definit fără a menționa reprezentarea sa analitică. În „Tratat de calcul diferențial și integral” (1797-1802) S. Lacroix spune: „Orice mărime a cărei valoare depinde de una sau de multe alte mărimi se numește funcție a acestora din urmă”. În „Teoria analitică a căldurii” de J. Fourier (1822) există o frază: „Funcția f(x) denotă o funcție complet arbitrară, adică o succesiune de valori date, supuse sau nu unei legi generale și corespunzătoare tuturor valorilor X cuprinsă între 0 și o anumită valoare X". Definiția lui N. I. Lobachevsky este apropiată de cea modernă: „... Conceptul general de funcție cere ca o funcție de X numiți numărul care este dat pentru fiecare X si impreuna cu X se schimba treptat. Valoarea unei funcții poate fi dată fie de o expresie analitică, fie de o condiție care oferă un mijloc de testare a tuturor numerelor și de a alege unul dintre ele sau, în sfârșit, dependența poate exista și rămâne necunoscută. În același loc puțin mai jos se spune: „Viziunea largă a teoriei admite existența dependenței doar în sensul că numerele unul cu celălalt în legătură sunt înțelese ca date împreună”. Astfel, definiția modernă a unei funcții, lipsită de referințe la sarcina analitică, atribuită de obicei lui P. Dirichlet (1837), a fost propusă în repetate rânduri înaintea acestuia.

Domeniul de definire (valori permise) al funcției y este mulțimea de valori ale variabilei independente x pentru care este definită această funcție, adică domeniul de modificare a variabilei independente (argument).

3. „Locul” regiunii valorilor admisibile la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților

1. La rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale și a inegalităților numitorul nu trebuie să fie zero.

2. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților iraționale.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

În acest caz, nu este nevoie să găsiți ODZ: din prima ecuație rezultă că valoarea x obținută satisface inegalitatea: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width= "107" height="27 src="> este sistemul:

Deoarece ecuația și introduceți în mod egal, atunci în loc de inegalitate, puteți include inegalitatea https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților logaritmice.

3.1. Schema de rezolvare a ecuației logaritmice

Dar este suficient să verificați o singură condiție a ODZ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Ecuații trigonometrice de formă sunt echivalente cu sistemul (în loc de inegalitate, sistemul poate include inegalitatea https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> sunt echivalente cu ecuația

4. Caracteristici și pericol ale intervalului de valori admisibile

La lecțiile de matematică, ni se cere să găsim ODZ în fiecare exemplu. În același timp, conform esenței matematice a problemei, găsirea ODZ nu este deloc obligatorie, adesea inutilă și uneori imposibilă - și toate acestea fără nicio prejudiciu la soluția exemplului. Pe de altă parte, se întâmplă adesea ca, după rezolvarea unui exemplu, elevii să uite să ia în considerare ODZ, să îl noteze ca răspuns final, să țină cont doar de unele condiții. Această împrejurare este binecunoscută, dar „războiul” continuă în fiecare an și, se pare, va dura mult timp.

Luați în considerare, de exemplu, următoarea inegalitate:

Aici se caută ODZ, iar inegalitatea este rezolvată. Cu toate acestea, atunci când rezolvă această inegalitate, școlarii cred uneori că este foarte posibil să se facă fără a căuta ODZ, mai precis, se pot descurca fără condiție

Într-adevăr, pentru a obține răspunsul corect, este necesar să se țină cont atât de inegalitatea cât și de .

Și iată, de exemplu, soluția ecuației: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

ceea ce este echivalent cu lucrul cu ODZ. Cu toate acestea, în acest exemplu, o astfel de muncă este redundantă - este suficient să verificați îndeplinirea a doar două dintre aceste inegalități și oricare două.

Permiteți-mi să vă reamintesc că orice ecuație (inegalitate) poate fi redusă la forma . DPV este pur și simplu domeniul de aplicare al funcției din partea stângă. Faptul că această zonă trebuie monitorizată rezultă deja din definiția rădăcinii ca număr din zona funcției date, prin urmare din ODZ. Iată un exemplu amuzant pe această temă..gif" width="20" height="21 src="> are un domeniu de definiție al unui set de numere pozitive (acesta este, desigur, un acord - să luăm în considerare funcția la , , dar rezonabil), și atunci -1 nu este este rădăcina.

5. Gama de valori acceptabile - există o soluție

Și, în sfârșit, în masa de exemple, găsirea ODZ vă permite să obțineți răspunsul fără amenajări greoaie,și chiar pe cale orală.

1. OD3 este un set gol, ceea ce înseamnă că exemplul original nu are soluții.

1) 2) 3)

2. În ODZ se găsesc unul sau mai multe numere, iar o simplă înlocuire determină rapid rădăcinile.

1) , x=3

2)Aici în ODZ există doar numărul 1, iar după înlocuire este clar că nu este o rădăcină.

3) Există două numere în ODZ: 2 și 3 și ambele sunt potrivite.

4) > Există două numere 0 și 1 în ODZ și numai 1 este potrivit.

DPV poate fi utilizat eficient în combinație cu analiza expresiei în sine.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) Din ODZ rezultă că, de unde avem ..gif" width="143" height="24"> Din ODZ avem: . Dar atunci și . De când, atunci nu există soluții.

Din ODZ avem: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, ceea ce înseamnă . Rezolvând ultima inegalitate, obținem x<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ODZ: . De atunci

Pe de altă parte, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. Se consideră ecuația pe intervalul [-1; 0).

Îndeplinește astfel de inegalități https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src ="> și nu există soluții. Cu funcția și https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">.ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> Să găsim ODZ:

O soluție întreagă este posibilă numai pentru x=3 și x=5. Prin verificare, constatăm că rădăcina x \u003d 3 nu se potrivește, ceea ce înseamnă că răspunsul este: x \u003d 5.

6. Găsirea intervalului de valori acceptabile este o muncă suplimentară. Echivalența tranzițiilor.

Pot fi date exemple în care situația este clară chiar și fără a găsi ODZ.

1.

Egalitatea este imposibilă, deoarece la scăderea unei expresii mai mari de la una mai mică, ar trebui să se obțină un număr negativ.

2. .

Suma a două funcții nenegative nu poate fi negativă.

Voi da, de asemenea, exemple în care găsirea ODZ este dificilă și uneori pur și simplu imposibilă.

Și, în sfârșit, căutarea ODZ este de multe ori doar o muncă inutilă, fără de care se poate face perfect, dovedind astfel înțelegerea a ceea ce se întâmplă. Există un număr mare de exemple aici, așa că le voi alege doar pe cele mai tipice. În acest caz, principala tehnică de decizie este transformările echivalente în trecerea de la o ecuație (inegalitate, sistem) la alta.

1.. ODZ nu este necesar, deoarece, după ce am găsit acele valori ale lui x pentru care x2=1, nu putem obține x=0.

2. . ODZ nu este necesar, deoarece aflăm când expresia radicală este egală cu un număr pozitiv.

3. . ODZ nu este necesar din aceleași motive ca în exemplul anterior.

4.

ODZ nu este necesar, deoarece expresia rădăcinii este egală cu pătratul unei anumite funcții și, prin urmare, nu poate fi negativă.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> O singură constrângere pentru expresia radicală este suficientă pentru soluție. Într-adevăr, din sistemul mixt scris rezultă că și cealaltă expresie radicală este nenegativă.

8. ODZ nu este necesar din aceleași motive ca în exemplul anterior.

9. DPV nu este necesar, deoarece este suficient ca două dintre cele trei expresii de sub semnele logaritmului să fie pozitive pentru a se asigura că a treia este pozitivă.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ nu este necesar din aceleași motive ca în exemplul anterior.

Este de remarcat, totuși, că atunci când se rezolvă prin metoda transformărilor echivalente, cunoașterea ODZ (și proprietățile funcțiilor) ajută.

Aici sunt cateva exemple.

1. . OD3, din care rezultă pozitivitatea expresiei din partea dreaptă, și se poate scrie o ecuație echivalentă cu cea dată în această formă https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif " width="112" height="27 "> ODZ:. Dar apoi, și la rezolvarea acestei inegalități, nu este necesar să se ia în considerare cazul când partea dreaptă este mai mică de 0.

3. . Din ODZ rezultă că și, prin urmare, cazul când https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Tranziția în general arată astfel :

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Sunt posibile două cazuri: 0 >1.

Prin urmare, inegalitatea originală este echivalentă cu următorul set de sisteme de inegalități:

Primul sistem nu are soluții, iar din al doilea obținem: x<-1 – решение неравенства.

Înțelegerea condițiilor de echivalență necesită cunoașterea unor subtilități. De exemplu, de ce sunt echivalente următoarele ecuații:

Sau

Și în sfârșit, poate cel mai important. Cert este că echivalența garantează corectitudinea răspunsului dacă sunt efectuate unele transformări ale ecuației în sine, dar nu este folosită pentru transformări doar într-una dintre părți. Reducerea, utilizarea diferitelor formule într-una dintre părți nu se încadrează în teoremele de echivalență. Am dat deja câteva exemple de acest gen. Să ne uităm la câteva exemple.

1. O astfel de decizie este firească. În partea stângă, prin proprietatea funcției logaritmice, să trecem la expresia ..gif" width="111" height="48">

Rezolvând acest sistem, obținem rezultatul (-2 și 2), care, totuși, nu este răspunsul, deoarece numărul -2 nu este inclus în ODZ. Deci de ce avem nevoie pentru a instala ODZ? Desigur că nu. Dar din moment ce am folosit o anumită proprietate a funcției logaritmice în soluție, trebuie să ne asigurăm condițiile în care aceasta este îndeplinită. O astfel de condiție este pozitivitatea expresiilor sub semnul logaritmului..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> numerele pot fi înlocuite în acest fel . Cine vrea să facă astfel de calcule plictisitoare?.gif" width="12" height="23 src="> adăugați o condiție și este imediat clar că numai numărul îndeplinește această condiție https://pandia.ru/text/ 78/083/ images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) a fost demonstrat de 52% dintre dealeri. Unul dintre motivele pentru o astfel de performanță scăzută este faptul că mulți absolvenți nu au selectat rădăcinile obținute din ecuație după pătrarea acesteia.

3) Luați în considerare, de exemplu, soluția uneia dintre sarcinile C1: „Găsiți toate valorile x pentru care punctele graficului funcției se află deasupra punctelor corespunzătoare ale graficului funcției ". Sarcina se reduce la rezolvarea unei inegalități fracționale care conține o expresie logaritmică. Cunoaștem metodele de rezolvare a unor astfel de inegalități. Cea mai comună dintre ele este metoda intervalului. Cu toate acestea, atunci când se utilizează Dealerii fac diverse greșeli. Să luăm în considerare cele mai frecvente greșeli folosind exemplul inegalității:

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие X < 10.

8. Concluzie

În concluzie, putem spune că nu există o metodă universală de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților. De fiecare dată, dacă vrei să înțelegi ce faci, și nu să acționezi mecanic, apare o dilemă: ce metodă de decizie să alegi, în special, să cauți sau nu ODZ? Cred că experiența mea mă va ajuta să rezolv această dilemă. Voi înceta să mai fac greșeli odată ce voi învăța cum să folosesc corect ODZ. Dacă reușesc, timpul va spune, sau mai bine zis examenul.

9. Literatură

Și alții. „Algebra și începutul analizei 10-11” carte de probleme și manual, M .: „Iluminism”, 2002. „Manual de matematică elementară”. M .: „Nauka”, 1966. Ziarul „Matematica” Nr. 46, Ziarul „Matematica” Nr. Ziarul „Matematica” Nr. „Istoria matematicii la clasele VII-VIII”. M .: „Iluminismul”, 1982. și alții. „Cea mai completă ediție de opțiuni pentru sarcini reale ale USE: 2009 / FIPI” - M .: „Astrel”, 2009. și altele. „USE. Matematică. Materiale universale pentru pregătirea elevilor / FIPI „- M .: „Intellect-center”, 2009. şi altele. „Algebra şi începutul analizei 10-11”. M .: „Prosveshchenie”, 2007. , „Atelier de rezolvare a problemelor de matematică școlară (atelier de algebră)”. M .: Educație, 1976. „25000 de lecții de matematică”. M .: „Prosveshchenie”, 1993. „Pregătirea pentru olimpiade de matematică”. M.: „Examen”, 2006. „Enciclopedie pentru copii „MATEMATICĂ”” volumul 11, M.: Avanta +; 2002. Materialele site-urilor www. ***** www. *****.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

  • Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

  • Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
  • Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
  • De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
  • Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

  • În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
  • În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Cum ?
Exemple de soluții

Dacă ceva lipsește undeva, atunci există ceva undeva

Continuăm să studiem secțiunea „Funcții și grafică”, iar următoarea stație a călătoriei noastre este. O discuție activă a acestui concept a început în articolul despre seturi și a continuat în prima lecție despre grafice de funcții, unde m-am uitat la funcțiile elementare și, în special, domeniul lor. Prin urmare, recomand ca manechinele să înceapă cu elementele de bază ale subiectului, deoarece nu mă voi opri din nou asupra unora dintre punctele de bază.

Se presupune că cititorul cunoaște domeniul următoarelor funcții: liniară, pătratică, funcție cubică, polinoame, exponent, sinus, cosinus. Ele sunt definite pe (set de toate numerele reale). Pentru tangente, arcsinus, așa să fie, vă iert =) - graficele mai rare nu sunt amintite imediat.

Domeniul definiției pare a fi un lucru simplu și apare o întrebare firească, despre ce va fi articolul? În această lecție, voi lua în considerare sarcinile comune pentru găsirea domeniului unei funcții. În plus, vom repeta inegalități cu o variabilă, abilitățile de rezolvare care vor fi cerute în alte probleme de matematică superioară. Materialul, apropo, este tot școlar, așa că va fi util nu numai elevilor, ci și elevilor. Informația, desigur, nu se pretinde a fi enciclopedică, dar, pe de altă parte, nu există aici exemple exagerate de „morți”, ci castane prăjite, care sunt preluate din adevărate lucrări practice.

Să începem cu o tăietură expresă a subiectului. Pe scurt despre principalul lucru: vorbim despre o funcție a unei variabile. Domeniul său de definire este set de valori „x”., pentru care exista sensul de „jocuri”. Luați în considerare un exemplu ipotetic:

Domeniul acestei funcții este uniunea intervalelor:
(pentru cei care au uitat: - icoana unirii). Cu alte cuvinte, dacă luăm orice valoare a lui "x" din intervalul , sau din , sau din , atunci pentru fiecare astfel de "x" va exista o valoare a lui "y".

În linii mari, acolo unde este domeniul definiției, există un grafic al funcției. Dar semi-intervalul și punctul „ce” nu sunt incluse în zona de definiție și nu există nici un grafic acolo.

Cum să găsiți domeniul de aplicare al unei funcții? Mulți oameni își amintesc rima pentru copii: „piatră, foarfece, hârtie”, iar în acest caz poate fi parafrazată în siguranță: „rădăcină, fracție și logaritm”. Astfel, dacă dai peste o fracțiune, rădăcină sau logaritm pe calea vieții tale, atunci ar trebui să fii imediat foarte, foarte precaut! Tangenta, cotangente, arcsinus, arccosinus sunt mult mai puțin frecvente și vom vorbi și despre ele. Dar mai întâi, schițe din viața furnicilor:

Domeniul de aplicare al unei funcții care conține o fracție

Să presupunem că este dată o funcție care conține o fracție. După cum știți, nu puteți împărți la zero: , deci acelea valorile x care transformă numitorul la zero nu sunt incluse în domeniul de aplicare al acestei funcții.

Nu mă voi opri asupra celor mai simple funcții precum și așa mai departe, deoarece toată lumea poate vedea perfect punctele care nu sunt incluse în domeniile lor de definiție. Luați în considerare fracții mai semnificative:

Exemplul 1

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Soluţie: nu există nimic special în numărător, dar numitorul trebuie să fie diferit de zero. Să-l echivalăm cu zero și să încercăm să găsim punctele „rele”:

Ecuația rezultată are două rădăcini: . Date valorice nu sunt incluse în sfera funcției. Într-adevăr, înlocuiți sau în funcție și veți vedea că numitorul ajunge la zero.

Răspuns: domeniu:

Intrarea sună după cum urmează: „domeniul de definiție este toate numerele reale, cu excepția mulțimii constând din valori ". Vă reamintesc că pictograma bară oblică inversă în matematică denotă scăderea logică, iar acoladele denotă un set. Răspunsul poate fi scris în mod echivalent ca o uniune a trei intervale:

Cui îi place.

La puncte funcția durează pauze nesfârșite, și dreptele date de ecuații sunt asimptote verticale pentru graficul acestei funcții. Cu toate acestea, acesta este un subiect ușor diferit și, în continuare, nu mă voi concentra în mod special asupra acestui subiect.

Exemplul 2

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Sarcina este în esență orală și mulți dintre voi veți găsi zona de definire aproape imediat. Răspuns la sfârșitul lecției.

Va fi întotdeauna o fracție „rea”? Nu. De exemplu, o funcție este definită pe întreaga axă a numerelor. Indiferent de valoarea lui „x” am lua, numitorul nu se va transforma la zero, mai mult, va fi întotdeauna pozitiv:. Astfel, sfera acestei funcții este: .

Toate funcțiile ca definite şi continuu pe .

Puțin mai complicată este situația când numitorul a ocupat trinomul pătrat:

Exemplul 3

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Soluţie: Să încercăm să găsim punctele în care numitorul ajunge la zero. Pentru asta vom decide ecuație pătratică:

Discriminantul s-a dovedit a fi negativ, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini reale, iar funcția noastră este definită pe întreaga axă a numerelor.

Răspuns: domeniu:

Exemplul 4

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Vă sfătuiesc să nu fi leneș cu problemele simple, pentru că neînțelegerile se vor acumula pentru alte exemple.

Domeniul de aplicare cu rădăcină

Funcția rădăcină pătrată este definită numai pentru acele valori ale lui „x” când expresia radicală este nenegativă: . Dacă rădăcina este situată în numitor, atunci condiția este în mod evident strânsă: . Calcule similare sunt valabile pentru orice rădăcină a unui grad pozitiv par: , totuși, rădăcina este deja gradul 4 în studii functionale Nu-mi amintesc.

Exemplul 5

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Soluţie: expresia radicală trebuie să fie nenegativă:

Înainte de a continua soluția, permiteți-mi să vă reamintesc regulile de bază pentru lucrul cu inegalitățile, cunoscute încă din școală.

Acord o atenție deosebită! Acum luăm în considerare inegalitățile cu o variabilă- adică pentru noi există doar o dimensiune de-a lungul axei. Vă rugăm să nu confundați cu inegalitățile a două variabile, unde întregul plan de coordonate este implicat geometric. Există însă și coincidențe plăcute! Deci, pentru inegalitate, următoarele transformări sunt echivalente:

1) Termenii pot fi transferați dintr-o parte în parte prin modificarea acestora (termenii) semne.

2) Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite cu un număr pozitiv.

3) Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu negativ numărul, trebuie să îl schimbați semnul inegalității în sine. De exemplu, dacă a existat „mai mult”, atunci va deveni „mai puțin”; dacă a fost „mai mic sau egal cu”, atunci va deveni „mai mare sau egal cu”.

În inegalitate, mutam „trei” în partea dreaptă cu o schimbare de semn (regula nr. 1):

Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu –1 (regula #3):

Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu (regula numărul 2):

Răspuns: domeniu:

Răspunsul poate fi scris și în fraza echivalentă: „funcția este definită la”.
Geometric, domeniul definiției este reprezentat prin umbrirea intervalelor corespunzătoare pe axa x. În acest caz:

Încă o dată, îmi amintesc semnificația geometrică a domeniului definiției - graficul funcției există doar în zona umbrită și lipsește la .

În cele mai multe cazuri, o constatare pur analitică a domeniului definiției este potrivită, dar atunci când funcția este foarte confuză, ar trebui să desenați o axă și să faceți note.

Exemplul 6

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Când există un binom pătrat sau un trinom sub rădăcina pătrată, situația devine puțin mai complicată, iar acum vom analiza tehnica soluției în detaliu:

Exemplul 7

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Soluţie: expresia radicală trebuie să fie strict pozitivă, adică trebuie să rezolvăm inegalitatea . La primul pas, încercăm să factorizăm trinomul pătrat:

Discriminantul este pozitiv, căutăm rădăcinile:

Deci parabola intersectează axa x în două puncte, ceea ce înseamnă că o parte a parabolei este situată sub axa (inegalitatea), iar o parte a parabolei este deasupra axei (inegalitatea de care avem nevoie).

Din moment ce coeficientul , atunci ramurile parabolei se uită în sus. Din cele de mai sus rezultă că inegalitatea este satisfăcută pe intervale (ramurile parabolei merg până la infinit), iar vârful parabolei este situat pe intervalul de sub axa absciselor, care corespunde inegalității:

! Notă: daca nu intelegeti pe deplin explicatiile, va rog sa desenati a doua axa si toata parabola! Este indicat să reveniți la articol și manual Formule de matematică la școală fierbinte.

Vă rugăm să rețineți că punctele în sine sunt perforate (nu sunt incluse în soluție), deoarece inegalitatea noastră este strictă.

Răspuns: domeniu:

În general, multe inegalități (inclusiv cea considerată) sunt rezolvate de universal metoda intervalului, cunoscut din nou din programa școlară. Dar în cazul pătratului doi și trei termeni, după părerea mea, este mult mai convenabil și mai rapid să analizăm locația parabolei în raport cu axa. Și metoda principală - metoda intervalelor, o vom analiza în detaliu în articol. Funcția nule. Intervale de constanță.

Exemplul 8

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Eșantionul a comentat în detaliu logica raționamentului + a doua modalitate de rezolvare și o altă transformare importantă a inegalității, fără a ști care elevul va șchiopăta pe un picior ..., ... hmm ... în detrimentul picior, poate s-a entuziasmat, mai degrabă - pe un deget. Deget mare.

Poate fi definită o funcție cu rădăcină pătrată pe întreaga linie numerică? Cu siguranță. Toate fețele cunoscute: . Sau o sumă similară cu un exponent: . Într-adevăr, pentru orice valori ale „x” și „ka”: , prin urmare, cu atât mai mult.

Iată un exemplu mai puțin evident: . Aici discriminantul este negativ (parabola nu traversează axa x), în timp ce ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, de unde și domeniul de definiție: .

Întrebarea este inversă: poate fi domeniul de aplicare al unei funcții gol? Da, și un exemplu primitiv se sugerează imediat , unde expresia radicală este negativă pentru orice valoare a lui „x”, iar domeniul de definiție este: (o pictogramă set goală). O astfel de funcție nu este deloc definită (desigur, graficul este și iluzoriu).

cu rădăcini ciudate etc. lucrurile stau mult mai bine - aici expresia rădăcină poate fi, de asemenea, negativă. De exemplu, o funcție este definită pe întreaga linie numerică. Cu toate acestea, funcția are un singur punct încă neinclus în domeniul definiției, deoarece numitorul este transformat la zero. Din același motiv pentru funcție punctele sunt excluse.

Domeniu de funcții cu logaritm

A treia funcție comună este logaritmul. Ca exemplu, voi desena un logaritm natural, care apare în aproximativ 99 de exemple din 100. Dacă o anumită funcție conține logaritmul , atunci domeniul său de definiție ar trebui să includă doar acele x valori care satisfac inegalitatea . Dacă logaritmul este la numitor: atunci în plus se impune condiția (pentru că ).

Exemplul 9

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Soluţie: în conformitate cu cele de mai sus, compunem și rezolvăm sistemul:

Soluție grafică pentru manechine:

Răspuns: domeniu:

Mă voi opri asupra încă un punct tehnic - la urma urmei, nu am o scară și nicio diviziune de-a lungul axei. Apare întrebarea: cum să faci astfel de desene într-un caiet pe hârtie în carouri? Este posibil să se măsoare distanța dintre punctele din celule strict în funcție de scară? Este mai canonic și mai strict, desigur, la scară, dar un desen schematic care reflectă în mod fundamental situația este, de asemenea, destul de acceptabil.

Exemplul 10

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Pentru a rezolva problema, puteți utiliza metoda din paragraful anterior - pentru a analiza modul în care parabola este situată în raport cu axa x. Răspuns la sfârșitul lecției.

După cum puteți vedea, în domeniul logaritmilor, totul este foarte asemănător cu situația cu rădăcina pătrată: funcția (trinomul pătrat din Exemplul nr. 7) este definit pe intervale , iar funcția (binomul pătrat din Exemplul nr. 6) pe intervalul . Este jenant să spunem chiar că funcțiile de tip sunt definite pe întreaga linie numerică.

Informații utile : funcția de tip este interesantă, este definită pe întreaga linie numerică cu excepția punctului. Conform proprietății logaritmului, „doi” poate fi scos de un factor din afara logaritmului, dar pentru ca funcția să nu se schimbe, „x” trebuie inclus sub semnul modulului: . Aici mai aveți o „aplicație practică” a modulului =). Aceasta este ceea ce trebuie să faceți în majoritatea cazurilor când demolați chiar grad, de exemplu: . Dacă baza gradului este evident pozitivă, de exemplu, atunci nu este nevoie de semnul modulului și este suficient să te descurci cu paranteze: .

Pentru a nu ne repeta, să complicăm sarcina:

Exemplul 11

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Soluţie: în această funcție avem atât rădăcina cât și logaritmul.

Expresia rădăcină trebuie să fie nenegativă: , iar expresia de sub semnul logaritmului trebuie să fie strict pozitivă: . Astfel, este necesar să se rezolve sistemul:

Mulți dintre voi știu foarte bine sau ghiciți intuitiv că soluția sistemului trebuie să satisfacă Pentru fiecare condiție.

Examinând locația parabolei față de axă, ajungem la concluzia că intervalul satisface inegalitatea (umbrire albastră):

Inegalitatea, evident, corespunde semi-intervalului „roșu”.

Deoarece ambele condiții trebuie îndeplinite simultan, atunci soluția sistemului este intersecția acestor intervale. „Interesele comune” sunt observate pe jumătate de interval.

Răspuns: domeniu:

Inegalitatea tipică, așa cum este demonstrată în Exemplul nr. 8, nu este dificil de rezolvat analitic.

Domeniul de definiție găsit nu se va schimba pentru „funcții similare”, de exemplu, pentru sau . De asemenea, puteți adăuga câteva funcții continue, de exemplu: , sau astfel: , sau chiar așa: . După cum se spune, rădăcina și logaritmul sunt lucruri încăpățânate. Singurul lucru este că, dacă una dintre funcții este „resetată” la numitor, atunci domeniul de definiție se va schimba (deși în cazul general acest lucru nu este întotdeauna adevărat). Ei bine, în teoria lui matan despre acest verbal... oh... există teoreme.

Exemplul 12

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Utilizarea unui plan este destul de potrivită, deoarece funcția nu este cea mai ușoară.

Încă câteva exemple pentru a consolida materialul:

Exemplul 13

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Soluţie: alcătuiește și rezolvă sistemul:

Toate acțiunile au fost deja rezolvate în cursul articolului. Desenați pe o linie numerică intervalul corespunzător inegalității și, conform celei de-a doua condiții, excludeți două puncte:

Valoarea s-a dovedit a fi complet irelevantă.

Răspuns: domeniu

Un mic joc de cuvinte matematic pe o variație a celui de-al 13-lea exemplu:

Exemplul 14

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Cine a ratat, e în zbor ;-)

Secțiunea finală a lecției este dedicată funcțiilor mai rare, dar și „de lucru”:

Domenii de aplicare
cu tangente, cotangente, arcsinus, arccosinus

Dacă o funcție include , atunci din domeniul său de definiție exclus puncte , Unde Z este mulţimea numerelor întregi. În special, așa cum se menționează în articol Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare, funcția are următoarele valori:

Adică domeniul de definire al tangentei: .

Nu vom ucide mult:

Exemplul 15

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Soluţie: în acest caz, următoarele puncte nu vor fi incluse în domeniul definiției:

Să aruncăm „doi” din partea stângă în numitorul din partea dreaptă:

Ca urmare :

Răspuns: domeniu: .

În principiu, răspunsul poate fi scris și ca o unire a unui număr infinit de intervale, dar construcția se va dovedi a fi foarte greoaie:

Soluția analitică este în total acord cu grafică de transformare geometrică: dacă argumentul funcției este înmulțit cu 2, atunci graficul său se va micșora la axă de două ori. Observați cum perioada funcției s-a înjumătățit și puncte de pauză crescut de două ori. tahicardie.

Povestea similară cu cotangentă. Dacă o funcție include , atunci punctele sunt excluse din domeniul său de definire. În special, pentru funcție, filmăm următoarele valori cu o explozie automată:

Cu alte cuvinte:

Orice expresie cu o variabilă are intervalul său de valori valide, acolo unde există. DHS trebuie întotdeauna luat în considerare în decizie. Dacă nu, este posibil să obțineți un rezultat incorect.

Acest articol va arăta cum să găsiți corect ODZ, folosiți-l cu exemple. Se va lua în considerare și importanța precizării ODZ în decizie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Valori variabile valide și nevalide

Această definiție este legată de valorile permise ale variabilei. Când introducem o definiție, să vedem la ce rezultat va duce.

Începând cu clasa a 7-a începem să lucrăm cu numere și expresii numerice. Definițiile inițiale cu variabile trec la valoarea expresiilor cu variabilele selectate.

Când există expresii cu variabile selectate, este posibil ca unele dintre ele să nu fie satisfăcute. De exemplu, o expresie ca 1: a, dacă a \u003d 0, atunci nu are sens, deoarece este imposibil de împărțit la zero. Adică, expresia ar trebui să aibă astfel de valori care să se potrivească în orice caz și să dea răspunsul. Cu alte cuvinte, au sens cu variabilele disponibile.

Definiția 1

Dacă există o expresie cu variabile, atunci are sens numai dacă, atunci când sunt înlocuite, valoarea poate fi calculată.

Definiția 2

Dacă există o expresie cu variabile, atunci nu are sens când, prin înlocuirea lor, valoarea nu poate fi calculată.

Adică de aici rezultă definiția completă

Definiția 3

Variabilele valabile existente sunt acele valori pentru care expresia are sens. Și dacă nu are sens, atunci sunt considerate invalide.

Pentru a clarifica cele de mai sus: dacă există mai multe variabile, atunci poate exista o pereche de valori adecvate.

Exemplul 1

De exemplu, luați în considerare o expresie ca 1 x - y + z , unde există trei variabile. În caz contrar, îl puteți scrie ca x = 0 , y = 1 , z = 2 , în timp ce cealaltă notație este (0 , 1 , 2) . Aceste valori sunt numite valide, ceea ce înseamnă că puteți găsi valoarea expresiei. Obținem că 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 . De aici vedem că (1 , 1 , 2) sunt invalide. Înlocuirea are ca rezultat împărțirea la zero, adică 1 1 - 2 + 1 = 1 0 .

Ce este ODZ?

Gama de valori valide este un element important în evaluarea expresiilor algebrice. Prin urmare, merită să acordați atenție acestui lucru atunci când calculați.

Definiția 4

zona ODZ este setul de valori permise pentru expresia dată.

Să luăm un exemplu de expresie.

Exemplul 2

Dacă avem o expresie de forma 5 z - 3 , atunci ODZ are forma (− ∞ , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) . Acesta este intervalul de valori valide care satisface variabila z pentru expresia dată.

Dacă există expresii de forma z x - y , atunci este clar că x ≠ y , z ia orice valoare. Aceasta este ceea ce se numește expresia ODZ. Trebuie luat în considerare pentru a nu obține o împărțire cu zero la înlocuire.

Gama de valori valide și domeniul de definiție au același sens. Doar al doilea dintre ele este folosit pentru expresii, iar primul este folosit pentru ecuații sau inegalități. Cu ajutorul DPV, expresia sau inegalitatea are sens. Domeniul definiției funcției coincide cu domeniul valorilor admisibile ale variabilei x la expresia f (x).

Cum să găsești ODZ? Exemple, soluții

A găsi DPV înseamnă a găsi toate valorile valide care se potrivesc unei anumite funcții sau inegalități. Dacă aceste condiții nu sunt îndeplinite, se poate obține un rezultat incorect. Pentru a găsi ODZ, este adesea necesar să treci prin transformări într-o anumită expresie.

Există expresii în care nu pot fi evaluate:

  • dacă există o împărțire la zero;
  • extragerea rădăcinii unui număr negativ;
  • prezența unui indicator întreg negativ - numai pentru numere pozitive;
  • calcularea logaritmului unui număr negativ;
  • domeniul de definire al tangentei π 2 + π · k , k ∈ Z și al cotangentei π · k , k ∈ Z ;
  • aflarea valorii arcsinusului și arccosinusului unui număr cu o valoare care nu aparține lui [-1; 1 ] .

Toate acestea vorbesc despre importanța de a avea un DHS.

Exemplul 3

Aflați expresia ODZ x 3 + 2 x y − 4 .

Soluţie

Orice număr poate fi cubit. Această expresie nu are o fracție, deci x și y pot fi orice. Adică ODZ este orice număr.

Răspuns: x și y sunt orice valori.

Exemplul 4

Aflați expresia ODZ 1 3 - x + 1 0 .

Soluţie

Se poate observa că există o fracție, unde numitorul este zero. Aceasta înseamnă că pentru orice valoare a lui x, vom obține o împărțire la zero. Aceasta înseamnă că putem concluziona că această expresie este considerată a fi nedefinită, adică nu are ODZ.

Răspuns: ∅ .

Exemplul 5

Aflați ODZ a expresiei date x + 2 · y + 3 - 5 · x .

Soluţie

Prezența unei rădăcini pătrate indică faptul că această expresie trebuie să fie mai mare sau egală cu zero. Dacă este negativ, nu are sens. Prin urmare, este necesar să scrieți o inegalitate de forma x + 2 · y + 3 ≥ 0 . Adică acesta este intervalul dorit de valori acceptabile.

Răspuns: mulţime de x şi y , unde x + 2 y + 3 ≥ 0 .

Exemplul 6

Determinați expresia ODZ de forma 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Soluţie

Prin condiție, avem o fracție, deci numitorul ei nu ar trebui să fie egal cu zero. Obținem că x + 1 - 1 ≠ 0 . Expresia radicală are întotdeauna sens atunci când este mai mare sau egală cu zero, adică x + 1 ≥ 0 . Deoarece are un logaritm, expresia sa trebuie să fie strict pozitivă, adică x 2 + 3 > 0. Baza logaritmului trebuie să fie și ea pozitivă și diferită de 1 , apoi adăugăm condițiile x + 8 > 0 și x + 8 ≠ 1 . Din aceasta rezultă că ODZ dorit va lua forma:

x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

Cu alte cuvinte, se numește un sistem de inegalități cu o variabilă. Soluția va conduce la o astfel de înregistrare a ODZ [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) .

Răspuns: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

De ce este important să luați în considerare LHS atunci când faceți modificări?

Pentru transformări identice, este important să găsiți ODZ. Sunt cazuri când existența ODZ nu are loc. Pentru a înțelege dacă soluția are o expresie dată, trebuie să comparați ODZ a variabilelor expresiei originale și ODZ a expresiei primite.

Transformări de identitate:

  • poate să nu afecteze ODZ;
  • poate duce la o extindere sau adăugare la DHS;
  • poate îngusta ODZ.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 7

Dacă avem o expresie de forma x 2 + x + 3 · x , atunci ODZ ei este definită pe întregul domeniu de definiție. Chiar și cu reducerea termenilor similari și simplificarea expresiei, ODZ nu se modifică.

Exemplul 8

Dacă luăm exemplul expresiei x + 3 x − 3 x , atunci lucrurile stau diferit. Avem o expresie fracțională. Și știm că împărțirea la zero nu este permisă. Atunci ODZ are forma (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . Se vede că zero nu este o soluție, așa că îl adăugăm cu o paranteză.

Luați în considerare un exemplu cu prezența unei expresii radicale.

Exemplul 9

Dacă există x - 1 · x - 3 , atunci ar trebui să acordați atenție ODZ, deoarece trebuie scrisă ca o inegalitate (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 . Este posibil să se rezolve prin metoda intervalului, atunci obținem că ODZ va lua forma (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . După transformarea x - 1 · x - 3 și aplicarea proprietăților rădăcinilor, avem că ODZ poate fi completat și scris ca un sistem de inegalități de forma x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 . Rezolvând-o, obținem că [ 3 , + ∞) . Prin urmare, ODZ se scrie complet după cum urmează: (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Modificările care îngustează DHS ar trebui evitate.

Exemplul 10

Luați în considerare un exemplu de expresie x - 1 · x - 3 când x = - 1 . Când înlocuim, obținem că - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Dacă această expresie este transformată și adusă la forma x - 1 x - 3, atunci când calculăm obținem că 2 - 1 2 - 3 expresia nu are sens, deoarece expresia radicală nu ar trebui să fie negativă.

Trebuie urmate transformări identice, care nu vor schimba DHS.

Dacă există exemple care îl extind, atunci ar trebui adăugat la DPV.

Exemplul 11

Luați în considerare exemplul unei fracții de forma x x 3 + x. Dacă reducem cu x , atunci obținem că 1 x 2 + 1 . Apoi ODZ se extinde și devine (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Mai mult, atunci când calculăm, lucrăm deja cu a doua fracție simplificată.

În prezența logaritmilor, situația este ușor diferită.

Exemplul 12

Dacă există o expresie de forma ln x + ln (x + 3) , aceasta se înlocuiește cu ln (x (x + 3)) , pe baza proprietății logaritmului. Aceasta arată că ODZ de la (0 , + ∞) la (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Prin urmare, pentru a determina ODZ ln (x (x + 3)) este necesar să se efectueze calcule pe ODZ, adică (0 , + ∞) mulțimi.

La rezolvare, este întotdeauna necesar să se acorde atenție structurii și formei expresiei date de condiție. Dacă domeniul de definire este găsit corect, rezultatul va fi pozitiv.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter



 

Ar putea fi util să citiți: