छोटे शंकु का आयतन। शंकु मात्रा
शंकु का आयतन ज्ञात करने के लिए, अतिरिक्त निर्माण करना आवश्यक है।
हम एक शंकु में खुदे हुए एक नियमित एन-गोनल पिरामिड का निर्माण करते हैं और इस शंकु के चारों ओर एक नियमित एन-गोनल पिरामिड का वर्णन करते हैं।
एक खुदा हुआ पिरामिड एक शंकु में समाहित है। इससे यह पता चलता है कि इसका आयतन शंकु के आयतन से अधिक नहीं है।
वर्णित पिरामिड में एक शंकु है, जिसका अर्थ है कि इसका आयतन शंकु के आयतन से कम नहीं है।
आइए हम उत्कीर्ण पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित करें।
यदि खुदा हुआ नियमित एन-गॉन का त्रिज्या आर के बराबर है, तो इसमें अंकित सर्कल का त्रिज्या बराबर होगा: 
उत्कीर्ण पिरामिड की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
जहाँ S पिरामिड का आधार है।
उत्कीर्ण पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल उसमें निहित वृत्त के क्षेत्रफल से कम नहीं है
इसलिए, यह कथन कि एक शंकु में अंकित पिरामिड का आयतन कम से कम है सही।
इसलिए, हम यह दावा कर सकते हैं कि इस पिरामिड वाले शंकु का आयतन इससे अधिक या इसके बराबर होगा
वी≥ 
अब हम शंकु के चारों ओर वर्णित पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करते हैं।
इस वृत्त की त्रिज्या होगी : 
इस वृत्त के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: 
वर्णित पिरामिड का आधार इसके चारों ओर परिचालित एक चक्र के भीतर समाहित है। अतः पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल से अधिक नहीं होता है
इसलिए, यह कथन कि परिबद्ध पिरामिड का आयतन अधिक सत्य नहीं है।
इसलिए, हम यह दावा कर सकते हैं कि इस पिरामिड वाले शंकु का आयतन इससे कम या इसके बराबर होगा 
दो परिणामी असमानताएँ किसी भी n के लिए समान हैं। तो अगर
फिर यह पहली असमानता से अनुसरण करता है कि V≥
दूसरी असमानता से
यदि एक समकोण त्रिभुज को उसके एक पाद के चारों ओर घुमाया जाए, तो एक ज्यामितीय पिंड प्राप्त होता है, जिसे परिक्रमण का शंकु या समवृत्ताकार शंकु माना जाता है। शंकु आधार और पार्श्व सतह से घिरा है। शंकु के आधार पर एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या दूसरी भुजा के मान के बराबर है। शंकु के शीर्ष से आधार तक लंबवत खींची गई एक सीधी रेखा इसकी ऊंचाई है। एक शंकु के आयतन की गणना कई सूत्रों का उपयोग करके की जाती है। पहली विधि में एक शंकु का आयतन निर्धारित करना शामिल है जब उसके आधार की ऊँचाई और क्षेत्रफल ज्ञात हो, सूत्र के अनुसार:
आधार का क्षेत्र एस द्वारा निरूपित किया जाएगा;
H से होकर शंकु की ऊँचाई।
एक शंकु के आयतन की गणना शंकु की ऊँचाई के उत्पाद के रूप में की जाती है, इसके आधार के क्षेत्रफल को 3 से विभाजित किया जाता है।
का उपयोग करके ऑनलाइन कैलकुलेटरआप ऊपर दी गई किसी भी विधि से शंकु के आयतन की शीघ्रता और सही गणना कर सकते हैं।
आधार के क्षेत्र के माध्यम से एक शंकु के आयतन की गणना
दूसरी विधि एक शंकु के आयतन की गणना सूत्र के अनुसार उसकी त्रिज्या के मान से करती है:
r शंकु की त्रिज्या है;
एच ऊंचाई है।
एक शंकु के आयतन के मान की गणना आधार की त्रिज्या के वर्ग के उत्पाद के एक तिहाई और ऊँचाई और संख्या पाई के बराबर की जाती है, जो 3.1415 के बराबर है ...
हम शंकु और सिलेंडरों के पास गए। उनके अलावा जो पहले ही प्रकाशित हो चुके हैं, लगभग नौ लेख होंगे, हम सभी प्रकार के कार्यों पर विचार करेंगे। यदि वर्ष के दौरान खुला बैंकनए कार्य जोड़े जाएंगे, बेशक, उन्हें ब्लॉग पर भी पोस्ट किया जाएगा। यह आलेख वॉल्यूम गणना से संबंधित कई उदाहरण प्रदान करता है। शंकु के आयतन के सूत्र को जानना पर्याप्त नहीं है, वैसे, यहाँ यह है:
हम लिख सकते हैं:
आपको यह भी समझने की आवश्यकता है कि समान निकायों के आयतन कैसे संबंधित हैं। यह समझने के लिए है, न कि केवल सूत्र को सीखने के लिए। ये रही वो:
यही है, अगर हम शरीर के रैखिक आयामों को k गुना बढ़ाते हैं (कम करते हैं), तो परिणामी शरीर के आयतन का अनुपात मूल के आयतन के बराबर होगा k 3 ।
टिप्पणी! इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप वॉल्यूम को कैसे परिभाषित करते हैं:
तथ्य यह है कि ऐसे निकायों पर विचार करते समय समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, कुछ गुणांक k के साथ भ्रमित हो सकते हैं। प्रश्न उठ सकता है - यह किसके बराबर है?
(शर्त में निर्दिष्ट मूल्य के आधार पर)
यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस तरफ देखते हैं। इसे समझना जरूरी है! एक उदाहरण पर विचार करें - एक घन दिया गया है, दूसरे घन का किनारा तीन गुना बड़ा है:
में इस मामले में, समानता गुणांक तीन के बराबर है (किनारे को तीन गुना बढ़ा दिया गया है), जिसका अर्थ है कि अनुपात इस तरह दिखेगा:
अर्थात्, परिणामी (बड़ा) घन का आयतन 27 गुना अधिक होगा।
आप दूसरी तरफ से देख सकते हैं।
एक घन दिया गया है, दूसरे घन का किनारा तीन गुना छोटा है:
समानता गुणांक एक तिहाई के बराबर है (किनारे को तीन के कारक से कम करना), जिसका अर्थ है कि अनुपात इस तरह दिखेगा:
यानी, परिणामी घन का आयतन 27 गुना छोटा होगा।
निष्कर्ष! वॉल्यूम निर्दिष्ट करते समय सूचकांक महत्वपूर्ण नहीं होते हैं, यह समझना महत्वपूर्ण है कि निकायों को एक दूसरे के सापेक्ष कैसे माना जाता है।
यह स्पष्ट है कि:
- यदि मूल निकाय बढ़ता है, तो गुणांक एक से अधिक होगा।
- यदि मूल निकाय घटता है, तो गुणांक एक से कम होगा।
वॉल्यूम के अनुपात के बारे में, हम निम्नलिखित कह सकते हैं:
- यदि समस्या में हम एक बड़े शरीर के आयतन को एक छोटे से विभाजित करते हैं, तो हमें समानता गुणांक का घन मिलता है, और गुणांक स्वयं एक से अधिक हो जाएगा।
- यदि हम एक छोटे शरीर के आयतन को एक बड़े से विभाजित करते हैं, तो हमें समानता गुणांक का घन मिलता है, और गुणांक स्वयं एक से कम हो जाएगा।
याद रखने वाली सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब समान निकायों के आयतन की बात आती है, तो समानता गुणांक की तीसरी डिग्री होती है, न कि दूसरी, जैसा कि क्षेत्रों के मामले में होता है।
के संबंध में एक और बिंदु।
स्थिति में शंकु के जेनरेट्रिक्स जैसी कोई चीज़ होती है। यह शंकु के शीर्ष को आधार की परिधि के बिंदुओं से जोड़ने वाला एक खंड है (चित्र में L अक्षर द्वारा दर्शाया गया है)।
यहां यह ध्यान देने योग्य है कि हम केवल सीधे शंकु (बाद में केवल शंकु) के साथ समस्याओं का विश्लेषण करेंगे। एक सही शंकु के जनरेटर बराबर होते हैं।
कार्यों पर विचार करें:
72353. एक शंकु का आयतन 10 है। शंकु के आधार के समानांतर ऊंचाई के मध्य से एक खंड खींचा जाता है, जो समान शीर्ष वाले एक छोटे शंकु का आधार है। छोटे शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
हम तुरंत ध्यान देते हैं कि मूल और काटे गए शंकु समान हैं, और यदि हम मूल के सापेक्ष काटे गए शंकु पर विचार करते हैं, तो हम यह कह सकते हैं: छोटा शंकु एक दूसरे या 0.5 के गुणांक के साथ बड़े के समान है। हम लिख सकते हैं:
यह लिखा जा सकता है:
आप ऐसा सोच सकते हैं!
कटे हुए शंकु के संबंध में मूल शंकु पर विचार करें। हम कह सकते हैं कि एक बड़ा शंकु दो के कारक के साथ एक कट के समान है, हम लिखते हैं:
अब समानता गुणों का उपयोग किए बिना समाधान देखें।
एक शंकु का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और उसकी ऊँचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है:
निर्दिष्ट खंड के साथ एक साइड प्रोजेक्शन (साइड व्यू) पर विचार करें:
बड़े शंकु की त्रिज्या R होने दें, ऊँचाई H है। खंड (छोटे शंकु का आधार) ऊँचाई के मध्य से होकर गुजरता है, इसलिए इसकी ऊँचाई H / 2 के बराबर होगी। और आधार की त्रिज्या R / 2 है, यह त्रिभुजों की समानता से इस प्रकार है।
आइए मूल शंकु का आयतन लिखें:
कटे हुए शंकु का आयतन इसके बराबर होगा:
इसलिए विस्तृत समाधानप्रस्तुत किया ताकि आप देख सकें कि आप तर्क कैसे बना सकते हैं। किसी भी तरह से कार्य करें - मुख्य बात यह है कि आप निर्णय के सार को समझते हैं। आपके द्वारा चुने गए मार्ग को तर्कसंगत न होने दें, परिणाम महत्वपूर्ण है (सही परिणाम)।
उत्तर: 1.25
318145. एक शंकु के आकार के बर्तन में, तरल स्तर आधी ऊंचाई तक पहुँच जाता है। तरल की मात्रा 70 मिली है। बर्तन को पूरी तरह से भरने के लिए कितने मिलीलीटर तरल मिलाया जाना चाहिए?
यह कार्य पिछले वाले के समान है। हालाँकि हम यहाँ एक तरल के बारे में बात कर रहे हैं, समाधान का सिद्धांत समान है।
हमारे पास दो शंकु हैं - यह पोत ही है और "छोटा" शंकु (तरल से भरा हुआ), वे समान हैं। यह ज्ञात है कि समान पिंडों के आयतन निम्न प्रकार से संबंधित हैं:
मूल शंकु (बर्तन) 2 के बराबर गुणांक वाले तरल से भरे शंकु के समान है, क्योंकि ऐसा कहा जाता है कि तरल स्तर आधी ऊंचाई तक पहुंच जाता है। आप और अधिक विस्तार से लिख सकते हैं:
हम गणना करते हैं:
इस प्रकार, आपको जोड़ने की आवश्यकता है:
उत्तर: 490
अन्य द्रव समस्याएं।
74257. एक शंकु का आयतन V ज्ञात करें जिसका जेनरेट्रिक्स 44 है और 30 0 के कोण पर आधार के तल पर झुका हुआ है। अपना उत्तर V/Pi दें।
शंकु मात्रा:
समकोण त्रिभुज के गुण से हम शंकु की ऊँचाई ज्ञात करते हैं।
30° के कोण के विपरीत वाला पैर कर्ण के आधे के बराबर होता है। कर्ण, इस मामले में, शंकु का जनक है। अत: शंकु की ऊँचाई 22 है।
हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आधार की त्रिज्या का वर्ग ज्ञात करते हैं:
*हमें त्रिज्या के वर्ग की आवश्यकता है, स्वयं त्रिज्या की नहीं।
तब आयतन होगा:
एक गोला जिसका आयतन 8π है एक घन के अंदर अंकित है। घन का आयतन ज्ञात कीजिए।
समाधान
माना a घन की भुजा है। तब घन का आयतन V = a 3 है।
चूँकि गेंद एक घन में खुदी हुई है, गेंद की त्रिज्या घन के आधे किनारे के बराबर है, यानी R = a/2 (चित्र देखें)।
गेंद का आयतन V w \u003d (4/3)πR 3 है और यह 8π के बराबर है, इसलिए
(4/3)πR 3 = 8π,
और घन का आयतन V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48 है।
टास्क B9 (केस स्टडी 2015)
शंकु का आयतन 32 है। ऊंचाई के मध्य से, शंकु के आधार के समानांतर एक खंड खींचा जाता है, जो समान शीर्ष वाले एक छोटे शंकु का आधार होता है। छोटे शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
समाधान
बड़े शंकु का आयतन V k1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 32 है।
छोटे शंकु का आयतन है V k2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π (ओबी) 2 * एओ * 1/8 = 32/8 = 4।
इसका मतलब है कि छोटे शंकु का आयतन 8 गुना छोटा है और 4 के बराबर है।
टास्क B9 (केस स्टडी 2015)
शंकु का आयतन 40 है। ऊँचाई के मध्य से होते हुए, शंकु के आधार के समानांतर एक खंड खींचा जाता है, जो समान शीर्ष वाले एक छोटे शंकु का आधार होता है। छोटे शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
समाधान
चूंकि अनुभाग शंकु की ऊंचाई के बीच से खींचा गया है, तो AP = 1/2 AO और PK = 1/2 OB है। अर्थात्, छोटे शंकु की ऊँचाई और त्रिज्या क्रमशः बड़े शंकु की ऊँचाई और त्रिज्या से 2 गुना कम है।
बड़े शंकु का आयतन V k1 \u003d (1/3) π (OB) 2 * AO \u003d 40 के बराबर है।
छोटे शंकु का आयतन है V k2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π (ओबी) 2 * एओ * 1/8 = 40/8 = 5।
विभिन्न प्रकार के ज्यामितीय निकायों में, सबसे दिलचस्प में से एक शंकु है। यह अपने एक पैर के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज को घुमाकर बनाया जाता है।
शंकु का आयतन कैसे ज्ञात करें - मूल अवधारणाएँ
शंकु के आयतन की गणना शुरू करने से पहले, आपको बुनियादी अवधारणाओं से परिचित होना चाहिए।
- वृत्ताकार शंकु - ऐसे शंकु का आधार एक वृत्त होता है। यदि आधार एक दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय है, तो आंकड़े अण्डाकार, परवलयिक या अतिपरवलयिक शंकु कहलाते हैं। यह याद रखने योग्य है कि पिछले दो प्रकार के शंकुओं में अनंत मात्रा होती है।
- एक छोटा शंकु आधार के बीच स्थित शंकु का एक हिस्सा है और इस आधार के समानांतर एक विमान है, जो शीर्ष और आधार के बीच स्थित है।
- ऊँचाई - आधार के लंबवत एक खंड, ऊपर से छोड़ा गया।
- एक शंकु का जेनरेट्रिक्स एक खंड है जो आधार और शीर्ष की सीमा को जोड़ता है।
शंकु मात्रा
एक शंकु के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र V=1/3*S*H का उपयोग किया जाता है, जहाँ S आधार क्षेत्र है, H ऊँचाई है। चूँकि शंकु का आधार एक वृत्त है, इसका क्षेत्रफल सूत्र S=nR^2 द्वारा ज्ञात किया जाता है, जहाँ n = 3.14, R वृत्त की त्रिज्या है।
ऐसी स्थिति होती है जब कुछ पैरामीटर अज्ञात होते हैं: ऊंचाई, त्रिज्या या जेनरेट्रिक्स। इस मामले में, पायथागॉरियन प्रमेय का सहारा लेना उचित है। शंकु का अक्षीय खंड एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें दो होते हैं सही त्रिकोण, जहाँ l कर्ण है और H और R पैर हैं। फिर एल=(एच^2+आर^2)^1/2।
काटे गए शंकु की मात्रा
एक कटा हुआ शंकु एक कटा हुआ शीर्ष वाला शंकु है।
ऐसे शंकु का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको सूत्र की आवश्यकता है:
वी=1/3*एन*एच*(आर^2+आरआर+आर^2),
जहाँ n = 3.14, r खंड वृत्त की त्रिज्या है, R बड़े आधार की त्रिज्या है, H ऊँचाई है।
काटे गए शंकु का अक्षीय खंड होगा समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड. इसलिए, यदि शंकु के जेनरेट्रिक्स की लंबाई या मंडलियों में से किसी एक के त्रिज्या को खोजने के लिए आवश्यक है, तो ट्रैपेज़ॉयड के पक्षों और आधारों को खोजने के लिए सूत्रों का उपयोग करना उचित है।
एक शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए यदि उसकी ऊँचाई 8 सेमी और आधार की त्रिज्या 3 सेमी है।
दिया है: H=8 सेमी, R=3 सेमी.
सर्वप्रथम सूत्र S=nR^2 का प्रयोग कर आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
एस=3.14*3^2=28.26सेमी^2
अब, सूत्र V=1/3*S*H का उपयोग करके, हम शंकु का आयतन ज्ञात करते हैं।
वी=1/3*28.26*8=75.36सेमी^3
शंकु के आकार की आकृतियाँ हर जगह पाई जाती हैं: पार्किंग कोन, बिल्डिंग टावर, लैंप शेड। इसलिए, शंकु का आयतन ज्ञात करना कभी-कभी पेशेवर और रोजमर्रा की जिंदगी दोनों में काम आ सकता है।
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