En basit trigonometrik denklemler. Küresel geometri Sayı çemberinin özellikleri

Bir defasında iki aday arasında geçen bir konuşmaya tanık oldum:

– 2πn’yi ne zaman eklemelisiniz ve πn’yi ne zaman eklemelisiniz? Sadece hatırlayamıyorum!

– Ve bende de aynı sorun var.

Onlara sadece şunu söylemek istedim: “Ezberlemenize gerek yok, anlayın!”

Bu makale öncelikle lise öğrencilerine yöneliktir ve umarım en basit trigonometrik denklemleri "anlayarak" çözmelerine yardımcı olur:

Sayı çemberi

Sayı doğrusu kavramının yanı sıra sayı çemberi kavramı da vardır. Bildiğimiz gibi, V dikdörtgen sistem koordinatlar merkezi olan daire(0;0) noktasındaki ve yarıçapı 1 olan birim denir. Sayı doğrusunu ince bir iplik gibi düşünelim ve bu çemberin etrafına saralım: Orijini (0 noktası) birim çemberin “sağ” noktasına bağlayacağız, pozitif yarı ekseni saat yönünün tersine, negatif yarı ekseni ise saat yönünün tersine saracağız. yönünde eksen (Şekil 1). Böyle bir birim çembere sayısal çember denir.

Sayı çemberinin özellikleri

  • Her gerçek sayı, sayı çemberi üzerinde bir noktada bulunur.
  • Sayı çemberinin her noktasında sonsuz sayıda reel sayı vardır. Birim çemberin uzunluğu 2π olduğundan, çemberin bir noktasındaki herhangi iki sayı arasındaki fark ±2π sayılarından birine eşittir; ±4π ; ±6π ; ...

Sonuç olarak şunu belirtelim: A noktasının sayılarından birini bildiğimizde A noktasının tüm sayılarını bulabiliriz.

Klimanın çapını çizelim (Şekil 2). x_0, A noktasının sayılarından biri olduğundan, x_0±π sayıları; x_0±3π; x_0±5π; ... ve sadece bunlar C noktasının sayıları olacak. Bu sayılardan birini seçelim, diyelim ki x_0+π ve onu C noktasının tüm sayılarını yazmak için kullanalım: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. A ve C noktalarındaki sayıların tek bir formülde birleştirilebileceğine dikkat edin: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (k = 0; ±2; ±4; ... için) sayılarını elde ederiz A noktası ve k için = ±1; ±3; ±5; … – C noktasının sayıları).

Sonuç olarak şunu belirtelim: AC çapının A veya C noktalarından birindeki sayılardan birini bildiğimizde, bu noktalardaki tüm sayıları bulabiliriz.

  • Çemberin apsis eksenine göre simetrik olan noktalarında iki zıt sayı yer almaktadır.

Dikey bir AB akoru çizelim (Şekil 2). A ve B noktaları Ox eksenine göre simetrik olduğundan, -x_0 sayısı B noktasında bulunur ve dolayısıyla B noktasının tüm sayıları şu formülle verilir: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. A ve B noktalarına sayıları tek bir formül kullanarak yazıyoruz: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Şu sonuca varalım: AB dikey kirişinin A veya B noktalarından birindeki sayılardan birini bildiğimizde, bu noktalardaki tüm sayıları bulabiliriz. AD yatay kirişini ele alalım ve D noktasının sayılarını bulalım (Şekil 2). BD bir çap olduğundan ve -x_0 sayısı B noktasına ait olduğundan -x_0 + π, D noktasının sayılarından biridir ve dolayısıyla bu noktanın tüm sayıları x_D=-x_0+π+ formülüyle verilir. 2πk ,k∈Z. A ve D noktalarındaki sayılar tek bir formül kullanılarak yazılabilir: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (k= 0; ±2; ±4; … için A noktasının sayılarını alırız ve k = ±1; ±3; ±5; … – D noktasının sayısını alırız).

Sonuç olarak şunu belirtelim: AD yatay kirişinin A veya D noktalarından birindeki sayılardan birini bildiğimizde, bu noktalardaki tüm sayıları bulabiliriz.

Sayı çemberinin on altı ana noktası

Uygulamada, en basit trigonometrik denklemlerin çoğunun çözümü, bir daire üzerinde on altı noktayı içerir (Şekil 3). Bu noktalar nedir? Kırmızı, mavi ve yeşil noktalar daireyi 12 eşit parçaya bölüyor. Yarım dairenin uzunluğu π olduğundan, A1A2 yayının uzunluğu π/2, A1B1 yayının uzunluğu π/6 ve A1C1 yayının uzunluğu π/3 olur.

Artık her seferinde bir sayıyı belirtebiliriz:

C1'de π/3 ve

Turuncu karenin köşeleri her çeyreğin yaylarının orta noktalarıdır, dolayısıyla A1D1 yayının uzunluğu π/4'e eşittir ve dolayısıyla π/4, D1 noktasının sayılarından biridir. Sayı çemberinin özelliklerini kullanarak, çemberimizin tüm işaretli noktaları üzerindeki tüm sayıları yazmak için formüllerden yararlanabiliriz. Bu noktaların koordinatları da şekilde işaretlenmiştir (onların ediniminin açıklamasını atlayacağız).

Yukarıdakileri öğrendikten sonra artık özel durumları çözmek için yeterli hazırlığa sahibiz (sayıların dokuz değeri için) A) en basit denklemler.

Denklemleri çöz

1)sinx=1⁄(2).

– Bizden ne isteniyor?

– Sinüsü 1/2'ye eşit olan tüm x sayılarını bulun.

Sinüs tanımını hatırlayalım: sinx – sayı çemberinde x sayısının bulunduğu noktanın koordinatı. Çemberin üzerinde koordinatları 1/2 olan iki noktamız var. Bunlar B1B2 yatay akorunun uçlarıdır. Bu, "sinx=1⁄2 denklemini çözme" gereksiniminin "B1 noktasındaki tüm sayıları ve B2 noktasındaki tüm sayıları bulma" gereksinimine eşdeğer olduğu anlamına gelir.

2)sinx=-√3⁄2 .

C4 ve C3 noktalarındaki tüm sayıları bulmamız gerekiyor.

3) sinx=1. Çember üzerinde ordinatı 1 olan tek bir noktamız var - A2 noktası ve bu nedenle yalnızca bu noktanın tüm sayılarını bulmamız gerekiyor.

Cevap: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Yalnızca A_4 noktasının koordinatı -1'dir. Bu noktadaki tüm sayılar denklemin atları olacaktır.

Cevap: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Çember üzerinde ordinatı 0 olan iki noktamız var; A1 ve A3 noktaları. Her bir noktadaki sayıları ayrı ayrı belirtebilirsiniz, ancak bu noktaların taban tabana zıt olduğu göz önüne alındığında, bunları tek bir formülde birleştirmek daha iyidir: x=πk,k∈Z.

Cevap: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Kosinüs tanımını hatırlayalım: cosx, x sayısının bulunduğu sayı çemberi üzerindeki noktanın apsisidir.Çember üzerinde apsis √2⁄2 olan iki noktamız var - D1D4 yatay akorunun uçları. Bu noktalardaki tüm sayıları bulmamız gerekiyor. Bunları tek bir formülde birleştirerek yazalım.

Cevap: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

C_2 ve C_3 noktalarındaki sayıları bulmamız gerekiyor.

Cevap: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Yalnızca A2 ve A4 noktalarının apsisi 0'dır, bu da bu noktaların her birindeki tüm sayıların denklemin çözümü olacağı anlamına gelir.
.

Sistemin denkleminin çözümleri B_3 ve B_4 noktalarındaki sayılardır.Cosx eşitsizliğine<0 удовлетворяют только числа b_3
Cevap: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

X'in kabul edilebilir herhangi bir değeri için ikinci faktörün pozitif olduğunu ve dolayısıyla denklemin sisteme eşdeğer olduğunu unutmayın.

Sistem denkleminin çözümleri D_2 ve D_3 noktalarının sayısıdır. D_2 noktasının sayıları sinx≤0.5 eşitsizliğini sağlamaz, ancak D_3 noktasının sayıları sağlar.


web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Soru: Bir çember üzerinde taban tabana zıt A ve B noktaları ile farklı bir C noktası seçiliyor, çembere A noktasında çizilen teğet ile BC doğrusu D noktasında kesişiyor. Çembere C noktasından çizilen teğetin ikiye bölündüğünü kanıtlayın A.D. segmenti ABC üçgeninin iç çemberi AB ve BC kenarlarına sırasıyla M ve N noktalarında değiyor. AC doğrusunun orta noktasından doğruya paralel bir doğru geçiyor. MN, BA ve BC doğrularını sırasıyla D ve E noktalarında kesiyor. AD=CE olduğunu kanıtlayın.

Çember üzerinde taban tabana zıt A ve B noktaları ile farklı bir C noktası seçilir.A noktasında çembere çizilen teğet ile BC düz çizgisi D noktasında kesişir.C noktasında çembere çizilen teğetin çemberi ikiye böldüğünü kanıtlayın. AD segmenti. ABC üçgeninin iç çemberi AB ve BC kenarlarına sırasıyla M ve N noktalarında değiyor. AC doğrusunun orta noktasından doğruya paralel bir doğru geçiyor. MN, BA ve BC doğrularını sırasıyla D ve E noktalarında kesiyor. AD=CE olduğunu kanıtlayın.

Yanıtlar:

Benzer sorular

  • cümleleri tamamlayın. (genellikle) Landon'a uçuyorum
  • Yükselen ve yalan söyleyen kelimelerin morfolojik analizi
  • Emperyalizmin özelliklerini yazınız
  • 14 ile 24'ün ortak böleni
  • İfadeyi polinoma dönüştürün!! -2(v+1)(v+4) - (v-5)(v+5)
  • Denklemin gerçel köklerinin çarpımını bulun: y^(4) - 2y^(2) - 8 = 0
  • Bitişik oldukları ve biri diğerinden bir buçuk kat daha küçük olduğu sürece BEN ve CEN açılarını bulun.
  • Üç vazoda 6, 21 ve 9 erik vardır.Her vazodaki erik sayısını eşitlemek için Medine bir vazodan diğerine, içinde ne kadar erik varsa aktarmıştır.İki aktarma yoluyla erik sayısını eşitlemiştir. üç vazoda Bunu nasıl yaptı?
  • Bir kimya ders kitabından (çalışılan paragraf), 10 ortak kelimeyi (konuşmanın farklı bölümleri) ve 10 özel kelimeyi (terimler ve terminolojik kombinasyonlar) yazın. Metinden seçilen terimlerle ifadeler oluşturun ve yazın.

+ – 0;2 P; 4 S. - 2 P; -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P P -3 P P -2 P P - P P - P P - P P 2 5 P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P;3 P; S. -5 P;-3 P;- S. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0














0 y X 5 P,14 -P-P ± P 2P 2 ± P P k, k Z (-1) k P 4P 4 + P g, g Z P 3P 3 ± + 2 P n, n Z P 6P 6 + P 3P 3 m , m Z Aşağıdaki sayılara karşılık gelen noktaları bulun


0 y X - P +2 P k, k Z P 3P P n, n Z P m, m Z P (+ m), m Z 2P 32P P n, n Z P 2P 2 P P n, n Z 1 3 P (+2 l ), l Z Aşağıdaki sayılara karşılık gelen noktaları bulun








1. A noktası sayı çemberinin hangi çeyreğine aittir? B. İkinci. V. Üçüncü. G. Dördüncü. 2. A noktası sayı çemberinin hangi çeyreğine aittir? B. İkinci. V. Üçüncü. G. Dördüncü. 3. Aşağıdaki durumda a ve b sayılarının işaretlerini belirleyin: A. a>0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1.Sayı çemberinin hangi çeyreği A noktasını oluşturur. İlk önce. B. İkinci. C. Üçüncü. D. Dördüncü. 2. Sayı çemberinin hangi çeyreği A noktasını gösteriyor? Birinci. B. İkinci. C. Üçüncü. D. Dördüncü neye ait? 3. Aşağıdakilere göre a ve b sayılarının işaretlerini belirleyin. : A.a>0"> title="1. A noktası sayı çemberinin hangi çeyreğine aittir? B. İkinci. V. Üçüncü. G. Dördüncü. 2. A noktası sayı çemberinin hangi çeyreğine aittir? B. İkinci. V. Üçüncü. G. Dördüncü. 3. Aşağıdaki durumlarda a ve b sayılarının işaretlerini belirleyin: A. a>0"> !}





Görünen o ki, insanlığın daha sonra küresel geometri olarak adlandırılacak olan şeye ilk başvurması, Platon Akademisi'nin katılımcılarından biri olan Yunan matematikçi Eudoxus'un (c. 408-355) gezegen teorisiydi. Bu, gezegenlerin Dünya etrafındaki hareketini, her biri özel bir dönme eksenine sahip olan, uçları çevreleyen küreye sabitlenmiş ve yıldızların da bu küreye sabitlendiği, dört adet dönen eşmerkezli kürenin yardımıyla açıklama girişimiydi. "çivilenmiş." Bu şekilde gezegenlerin karmaşık yörüngeleri açıklandı (Yunancadan çevrildiğinde "gezegen" gezinme anlamına gelir). Bu model sayesinde eski Yunan bilim adamları gezegenlerin hareketlerini oldukça doğru bir şekilde tanımlayıp tahmin edebildiler. Bu, örneğin navigasyonda ve Dünya'nın üç balinanın üzerinde duran düz bir gözleme olmadığını hesaba katmanın gerekli olduğu diğer birçok "dünyevi" görevde gerekliydi. Küresel geometriye önemli katkılar İskenderiyeli Menelaus (yaklaşık MS 100) tarafından yapılmıştır. Onun işi Küreler Yunanlıların bu alandaki başarılarının zirvesi haline geldi. İÇİNDE SferikeÖklid'de bulunmayan bir konu olan küresel üçgenler ele alınmaktadır. Menelaus, Öklid düz üçgen teorisini küreye aktardı ve diğer şeylerin yanı sıra, küresel bir üçgenin kenarlarındaki üç noktanın veya bunların uzantılarının aynı düz çizgi üzerinde olduğu bir koşul elde etti. Düzlemin ilgili teoremi o zamanlar zaten yaygın olarak biliniyordu, ancak geometri tarihine tam olarak Menelaus'un teoremi olarak girdi ve eserlerinde birçok hesaplamaya sahip olan Ptolemy'nin (c. 150) aksine, Menelaus'un incelemesi şu şekildedir: geometrik kesinlikle Öklid geleneğinin ruhuna uygundur.

Küresel geometrinin temel prensipleri.

Bir küreyi kesen herhangi bir düzlem kesitte bir daire oluşturur. Düzlem kürenin merkezinden geçerse, o zaman sözde büyük daire. Bir küre üzerinde taban tabana zıt olanlar hariç herhangi iki noktadan tek bir büyük daire çizilebilir. (Dünya üzerinde büyük daireye örnek olarak ekvator ve tüm meridyenler gösterilebilir.) Sonsuz sayıda büyük daire taban tabana zıt noktalardan geçer. Daha az yay AmB Büyük dairenin (Şekil 1), küre üzerindeki belirli noktaları birleştiren tüm çizgilerin en kısasıdır. Bu çizgiye denir jeodezik. Jeodezik çizgiler, planimetride düz çizgilerin oynadığı rolün aynısını küre üzerinde oynar. Düzlemdeki geometrinin birçok hükmü küre üzerinde de geçerlidir, ancak düzlemden farklı olarak iki küresel çizgi taban tabana zıt iki noktada kesişir. Dolayısıyla küresel geometride paralellik kavramı mevcut değildir. Diğer bir fark ise küresel çizginin kapalı olmasıdır. aynı yönde ilerleyerek başlangıç ​​noktasına döneceğiz, nokta çizgiyi iki parçaya bölmez. Planimetri açısından bir başka şaşırtıcı gerçek de, küre üzerindeki bir üçgenin üç dik açıya da sahip olabilmesidir.

Bir küre üzerindeki çizgiler, bölümler, mesafeler ve açılar.

Küre üzerindeki büyük daireler düz çizgiler olarak kabul edilir. İki nokta büyük bir daireye aitse, bu noktaları birleştiren yaylardan küçük olanının uzunluğu şu şekilde tanımlanır: küresel mesafe bu noktalar arasında ve yayın kendisi küresel bir parça gibidir. Taban tabana zıt noktalar, sonsuz sayıda küresel bölümle (büyük yarım daireler) birbirine bağlanır. Küresel bir parçanın uzunluğu, merkezi açı a'nın radyan ölçüsü ve kürenin yarıçapı aracılığıyla belirlenir. R(Şekil 2), yay uzunluğu formülüne göre eşittir R A. Herhangi bir nokta İLE küresel bölüm AB ikiye böler ve planimetride olduğu gibi küresel uzunluklarının toplamı tüm parçanın uzunluğuna eşittir, yani. R AOC+ R BAYKUŞ= P AOB. Herhangi bir nokta için D segmentin dışında AB bir “küresel üçgen eşitsizliği” vardır: küresel uzaklıkların toplamı Dönce A ve itibaren Dönce İÇİNDE Daha AB yani R AOD+ R DOB> R AOB, – küresel ve düz geometriler arasındaki tam yazışma. Üçgen eşitsizliği, küresel geometrideki temel eşitsizliklerden biridir; bundan, planimetride olduğu gibi, küresel bir parçanın herhangi bir küresel kesikli çizgiden ve dolayısıyla küre üzerindeki uçlarını birleştiren herhangi bir eğriden daha kısa olduğu sonucu çıkar.

Aynı şekilde planimetrinin diğer birçok kavramı, özellikle mesafelerle ifade edilebilenler küreye aktarılabilir. Örneğin, küresel daire– küre üzerinde belirli bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesi R. Çemberin kürenin çapına dik bir düzlemde yer aldığını göstermek kolaydır $$` (Şekil 3), yani. bu, çapı merkezi olan sıradan bir düz dairedir $$'. Ancak iki küresel merkezi vardır: R Ve R'. Bu merkezlere genellikle denir direkler. Eğer dünyaya bakarsak bunu görebiliriz. Hakkında konuşuyoruz paraleller gibi çevrelerle ilgilidir ve tüm paralellerin küresel merkezleri Kuzey ve Güney Kutbu. Küresel bir dairenin çapı r p/2'ye eşitse, küresel daire küresel bir düz çizgiye dönüşür. (Dünyada ekvator var). Bu durumda böyle bir daireye denir kutupsal noktaların her biri R Ve P`.

Geometrideki en önemli kavramlardan biri rakamların eşitliğidir. Şekiller, mesafeler korunacak şekilde (döndürme ve öteleme yoluyla) biri diğerinin üzerinde gösterilebiliyorsa eşit kabul edilir. Bu aynı zamanda küresel geometri için de geçerlidir.

Küre üzerindeki açılar aşağıdaki gibi tanımlanır. İki küresel çizgi kesiştiğinde A Ve B Tıpkı bir düzlem üzerinde kesişen iki çizginin onu dört düzlem açısına bölmesi gibi, küre üzerinde dört küresel bigon oluşur (Şekil 4). Köşegenlerin her biri, aşağıdakileri içeren çapsal düzlemlerin oluşturduğu bir dihedral açıya karşılık gelir: A Ve B. Küresel düz çizgiler arasındaki açı ise oluşturdukları köşegenlerin açılarından küçük olanına eşittir.

Ayrıca P açısına da dikkat edelim. ABC Bir küre üzerinde büyük bir dairenin iki yayının oluşturduğu P açısı ile ölçülür. A`M.Ö.` bir noktada karşılık gelen yaylara teğetler arasında İÇİNDE(Şekil 5) veya küresel bölümler içeren çapsal düzlemlerin oluşturduğu bir dihedral açı AB Ve Güneş.

Aynı stereometride olduğu gibi küre üzerindeki her nokta, kürenin merkezinden bu noktaya çekilen bir ışınla ilişkilendirilir ve küre üzerindeki herhangi bir şekil, onu kesen tüm ışınların birleşimiyle ilişkilendirilir. Böylece, küresel bir düz çizgi onu içeren çapsal düzleme karşılık gelir, küresel bir parça bir düzlem açısına karşılık gelir, bir digon bir dihedral açıya karşılık gelir ve küresel bir daire, ekseni dairenin kutuplarından geçen konik bir yüzeye karşılık gelir.

Kürenin merkezinde bir tepe noktasına sahip çokyüzlü bir açı, küreyi küresel bir çokgen boyunca keser (Şekil 6). Bu, küresel parçalardan oluşan kesikli bir çizgiyle sınırlanan bir küre üzerindeki alandır. Kırık çizginin bağlantıları küresel bir çokgenin kenarlarıdır. Uzunlukları, çokyüzlü açının karşılık gelen düzlem açılarının değerlerine ve herhangi bir tepe noktasındaki açının değerine eşittir. A kenardaki dihedral açıya eşit OA.

Küresel üçgen.

Tüm küresel çokgenler arasında küresel üçgen en çok ilgi çekenidir. İki noktada çiftler halinde kesişen üç büyük daire, küre üzerinde sekiz küresel üçgen oluşturur. Birinin elemanlarını (kenarlarını ve açılarını) bildiğimizde, diğerlerinin elemanlarını belirlemek mümkündür, dolayısıyla tüm kenarları büyük olanın yarısından az olan birinin elemanları arasındaki ilişkileri dikkate alırız. daire. Bir üçgenin kenarları, üçgen açının düzlem açılarıyla ölçülür OABC, üçgenin açıları aynı üçgen açının dihedral açılarıdır (Şekil 7).

Küresel bir üçgenin birçok özelliği (ve bunlar aynı zamanda üç yüzlü açıların özellikleridir), sıradan bir üçgenin özelliklerini neredeyse tamamen tekrarlar. Bunların arasında üçgen eşitsizliği vardır; bu, üç yüzlü açılar dilinde, bir üç yüzlü açının herhangi bir düzlem açısının diğer ikisinin toplamından daha küçük olduğunu belirtir. Veya örneğin üçgenlerin eşitliğinin üç işareti. Bahsi geçen teoremlerin tüm planimetrik sonuçları, kanıtlarıyla birlikte küre üzerinde geçerliliğini korur. Böylece, parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki noktalar kümesi aynı zamanda kürenin ortasından geçen düz bir çizgiye dik olan küre üzerinde olacaktır; buradan bisektörlerin küresel bir üçgenin kenarlarına dik olduğu sonucu çıkar. ABC ortak bir noktaya, daha doğrusu taban tabana zıt iki ortak noktaya sahip olmak R Ve R', bunlar onun tek çevrelenmiş çemberinin kutuplarıdır (Şek. 8). Stereometride bu, bir koninin herhangi bir üçgen açı etrafında tanımlanabileceği anlamına gelir. Bir üçgenin açıortaylarının iç çemberin merkezinde kesiştiği teoremini küreye aktarmak kolaydır.

Yüksekliklerin ve kenarortayların kesişimine ilişkin teoremler de doğrudur, ancak planimetrideki olağan kanıtları doğrudan veya dolaylı olarak küre üzerinde bulunmayan paralelliği kullanır ve bu nedenle bunları stereometri dilinde tekrar kanıtlamak daha kolaydır. Pirinç. Şekil 9 küresel medyan teoreminin kanıtını göstermektedir: küresel bir üçgenin medyanlarını içeren düzlemler ABC, normal kenarortayları boyunca aynı köşelere sahip bir düzlem üçgenle kesişir, bu nedenle hepsi düzlem kenarortaylarının kesişme noktasından geçen kürenin yarıçapını içerir. Yarıçapın sonu üç "küresel" medyanın ortak noktası olacaktır.

Küresel üçgenlerin özellikleri, düzlemdeki üçgenlerin özelliklerinden birçok açıdan farklıdır. Böylece, doğrusal üçgenlerin bilinen üç eşitliği durumuna dördüncüsü eklenir: iki üçgen ABC Ve А`В`С Sırasıyla üç P açısı eşitse eşittir A= P A`, R İÇİNDE= P İÇİNDE`, R İLE= P İLE'. Dolayısıyla küre üzerinde benzer üçgenler yoktur; üstelik küresel geometride benzerlik kavramı da yoktur çünkü Tüm mesafeleri aynı sayıda (1'e eşit olmayan) değiştiren dönüşümler yoktur. Bu özellikler Öklid paralel çizgiler aksiyomunun ihlaliyle ilişkilidir ve aynı zamanda Lobaçevski'nin geometrisinin doğasında vardır. Üçgenler gibi eşit elemanlara ve farklı yönlere sahip olan üçgenlere simetrik denir. AC`İLE Ve VSS' (Şek. 10).

Herhangi bir küresel üçgenin açılarının toplamı her zaman 180°'den büyüktür. Fark P A+P İÇİNDE+P İLE - P = d (radyan cinsinden ölçülür) pozitif bir miktardır ve küresel fazlalık olarak adlandırılır Belirli bir küresel üçgenin Küresel bir üçgenin alanı: S = R 2 gün nerede R kürenin yarıçapıdır ve d küresel fazlalıktır. Bu formül ilk kez 1629 yılında Hollandalı A. Girard tarafından yayınlanmış ve onun adını almıştır.

Açısı a olan bir köşegeni düşünürsek, o zaman 226 = 2p/ N (N - tamsayı) küre tam olarak kesilebilir P böyle bir köşegenin kopyaları ve kürenin alanı 4'tür nR2 = saat 4'te R= 1, yani köşegenin alanı 4p/ N= 2a. Bu formül aynı zamanda bir = 2p t/n ve bu nedenle herkes için doğrudur a. Küresel bir üçgenin kenarlarına devam edersek ABC ve ortaya çıkan bigonların alanları aracılığıyla kürenin alanını açılarla ifade edin A,İÇİNDE,İLE ve kendi alanı ise yukarıdaki Girard formülüne ulaşabiliriz.

Küre üzerindeki koordinatlar.

Küre üzerindeki her nokta tamamen iki sayı belirtilerek belirlenir; bu sayılar ( koordinatlar) aşağıdaki gibi belirlenir (Şekil 11). Bazı büyük daireler sabittir QQ` (ekvator), kürenin çapının iki kesişim noktasından biri PP`, ekvator düzlemine dik, örneğin bir kürenin yüzeyi ile R (kutup) ve büyük yarım dairelerden biri PAP` direkten çıkıyor ( ilk meridyen). Büyük yarım daireler çıkıyor P meridyen adı verilen, ekvatora paralel küçük daireler LL`, – paralellikler. Nokta koordinatlarından biri olarak M küre üzerinde q açısı alınır = POM (nokta yüksekliği), ikinci açı j olarak = AON Birinci meridyen ile bu noktadan geçen meridyen arası M (boylam puan, saat yönünün tersine sayılır).

Coğrafyada (dünya üzerinde), Greenwich Gözlemevi'nin ana salonundan geçen (Greenwich bir Londra ilçesidir) ilk meridyen olarak Greenwich meridyenini kullanmak gelenekseldir, Dünya'yı sırasıyla Doğu ve Batı yarımkürelere böler. ve boylam doğu veya batıdır ve Greenwich'ten her iki yönde 0 ila 180° arasında ölçülür. Coğrafyada bir noktanın yüksekliği yerine enlemi kullanmak gelenekseldir. en yani köşe NOM = 90° – q, ekvatordan ölçülür. Çünkü Ekvator Dünya'yı Kuzey ve Kuzey olarak ikiye böler Güney Yarımküre ise enlem ya kuzey ya da güneydir ve 0 ila 90° arasında değişir.

Marina Fedosova



 

Okumak faydalı olabilir: