Yazılı ve çevrelenmiş dairenin merkezi nedir? Bir üçgenin çevrelediği çemberin yarıçapı nasıl bulunur?

Çoğu zaman, geometrik problemleri çözerken, yardımcı figürlerle eylemler gerçekleştirmeniz gerekir. Örneğin, çevrelenmiş veya çevrelenmiş bir dairenin vb. yarıçapını bulun. Bu makale size bir üçgeni çevreleyen bir dairenin yarıçapını nasıl bulacağınızı gösterecek. Veya başka bir deyişle, üçgenin çizildiği dairenin yarıçapı.

Bir üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı nasıl bulunur - genel formül

Genel formül aşağıdaki gibidir: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), burada R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır, p, üçgenin çevresinin 2'ye bölümüdür (yarım çevre). bir, b, c bir üçgenin kenarları.

a = 3, b = 6, c = 7 ise üçgenin çevrel çemberinin yarıçapını bulun.

Böylece, yukarıdaki formüle dayanarak yarı çevreyi hesaplıyoruz:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Formüldeki değerleri değiştirin ve şunu elde edin:
R = 3 x 6 x 7/4√8(8 - 3)(8 - 6)(8 - 7) = 126/4√(8 x 5 x 2 x 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Cevap: R = 126/16√5

Bir eşkenar üçgenin çevrelediği çemberin yarıçapı nasıl bulunur?

Etrafında çevrelenmiş bir çemberin yarıçapını bulmak için eşkenar üçgen, oldukça basit bir formül vardır: R = a/√3, burada a, kenarının değeridir.

Örnek: Bir eşkenar üçgenin kenarı 5'tir. Çevrel çemberin yarıçapını bulunuz.

Bir eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit olduğundan, sorunu çözmek için formüle değerini girmeniz yeterlidir. Şunu elde ederiz: R = 5/√3.

Cevap: R = 5/√3.


Bir dik üçgenin çevrelediği çemberin yarıçapı nasıl bulunur?

Formül şöyle görünür: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, burada a ve b bacaklardır ve c hipotenüstür. Bacakların karelerini katlarsak sağ üçgen, hipotenüsün karesini elde ederiz. Formülden de görülebileceği gibi bu ifade kökün altındadır. Hipotenüsün karesinin kökünü hesaplayarak uzunluğu elde ederiz. Ortaya çıkan ifadeyi 1/2 ile çarpmak sonunda bizi 1/2 × c = c/2 ifadesine götürür.

Örnek: Üçgenin bacakları 3 ve 4 ise, çevrelenmiş dairenin yarıçapını hesaplayın. Değerleri formülde değiştirin. Şunu elde ederiz: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

Bu ifadede 5, hipotenüsün uzunluğudur.

Cevap: R = 2.5.


Bir ikizkenar üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur

Formül şöyle görünür: R = a² / √ (4a² - b²), burada a, üçgenin uyluğunun uzunluğu ve b, tabanın uzunluğudur.

Örnek: Kalçası = 7 ve tabanı = 8 ise dairenin yarıçapını hesaplayın.

Çözüm: Bu değerleri formülde değiştiriyoruz ve şunu elde ediyoruz: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. Cevap doğrudan bu şekilde yazılabilir.

Cevap: R = 49/√132


Çemberin Yarıçapını Hesaplamak İçin Çevrimiçi Kaynaklar

Tüm bu formüllerde kafa karıştırmak çok kolaydır. Bu nedenle, gerekirse kullanabilirsiniz çevrimiçi hesap makineleri, yarıçapı bulma ile ilgili sorunları çözmenize yardımcı olacaktır. Bu tür mini programların çalışma prensibi çok basittir. Tarafın değerini uygun alana yerleştirin ve hazır bir cevap alın. Yanıtı yuvarlamak için birkaç seçenek belirleyebilirsiniz: ondalık sayılara, yüzde birliğe, binde bire vb.


>>Geometri: Bir üçgeni çevreleyen daire. Dersleri Tamamla

DERSİN KONUSU: Bir üçgenin çevrelenmiş çemberi.

Dersin Hedefleri:

  • "Üçgenlerde çevrelenmiş daireler" konusundaki bilgileri derinleştirin


Dersin Hedefleri:

  • Bu konudaki bilgileri sistematikleştirin
  • Karmaşık sorunları çözmeye hazırlanın.

Ders planı:

  1. Giriiş.
  2. Teorik kısım.
  3. Bir üçgen için.
  4. Pratik kısım.

Giriiş.

"Üçgenlerde yazılı ve çevrelenmiş daireler" konusu geometri dersindeki en zor konulardan biridir. Sınıfta çok az zaman harcıyor.

Bu konudaki geometrik problemler, lise dersi için USE sınav kağıdının ikinci bölümünde yer almaktadır.
Bu görevlerin başarılı bir şekilde tamamlanması, temel geometrik gerçekler hakkında sağlam bir bilgi ve geometrik problemlerin çözümünde biraz deneyim gerektirir.

Teorik kısım.

çevrelenmiş çokgen- çokgenin tüm köşelerini içeren bir daire. Merkez, çokgenin kenarlarına dik açıortayların kesişme noktasıdır (genellikle O ile gösterilir).

Özellikler.

Dışbükey bir n-genin çevrelenmiş dairesinin merkezi, kenarlarına dik açıortayların kesiştiği noktada bulunur. Sonuç olarak: eğer bir n-genin yanında bir daire çizilirse, kenarlarına dik olan tüm dik açıortaylar bir noktada (dairenin merkezi) kesişir.
etrafında herhangi düzgün çokgen bir çemberi tanımlayabilir.

Bir üçgen için.

Bir daire, tüm köşelerinden geçiyorsa, bir üçgenin yakınında çevrelendiği söylenir.

Herhangi bir üçgenin çevresine bir daire çizilebilir ve sadece bir. Merkezi, dikey açıortayların kesişme noktası olacaktır.

Akut bir üçgen, çevrelenmiş dairenin merkezine sahiptir içeri, geniş olarak - üçgenin dışında, dikdörtgen için - hipotenüsün ortasında.

Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı aşağıdaki formüllerle bulunabilir:

Nerede:
ABC- bir üçgenin kenarları
α - a kenarının karşısındaki açı,
S- bir üçgenin alanı.


Kanıtlamak:

t.O - medial dikeylerin kenarlara kesişme noktası ΔABC

Kanıt:

  1. ΔAOC - ikizkenar, çünkü OA=OC (yarıçap olarak)
  2. ΔAOC - ikizkenar, dikey OD - medyan ve yükseklik, yani t.O AC kenarına dik açıortay üzerinde yer alır
  3. Benzer şekilde, TO'nun AB ve BC kenarlarına dik açıortaylar üzerinde uzandığı kanıtlanmıştır.

Q.E.D.

Yorum.

Kendisine dik olan bir doğru parçasının orta noktasından geçen bir çizgiye genellikle dikey açıortay denir. Bu bağlamda, bazen bir üçgenin çevrelediği bir dairenin merkezinin, üçgenin kenarlarına dik açıortayların kesiştiği noktada olduğu söylenir.

Konular > Matematik > Matematik 7. Sınıf

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

  • Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

  • Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler hakkında sizinle iletişim kurmamızı sağlar ve Yaklaşan Etkinlikler.
  • Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kullanabiliriz.
  • Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
  • Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

  • Gerekirse - yasaya, yargı düzenine uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, yasa uygulama veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir ifşanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek, sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz.
  • Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.

kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bu bölümde, bir üçgenin etrafındaki (genellikle "yakın" denir) çevrelenmiş daireyi tartışacağız. Öncelikle bir tanım verelim.

1. Sınırlandırılmış dairenin varlığı ve merkezi

Burada soru ortaya çıkıyor: herhangi bir üçgen için böyle bir daire var mı? Herkes için evet olduğu ortaya çıktı. Ayrıca, çevrelenmiş çemberin merkezinin neresi olduğu sorusunu da yanıtlayan bir teorem formüle edeceğiz.

Bunun gibi:

Cesaretimizi toplayalım ve bu teoremi kanıtlayalım. "" konusunu zaten okuduysanız, üç açıortayın neden bir noktada kesiştiğini anladıysanız, o zaman sizin için daha kolay olacaktır, ancak okumadıysanız endişelenmeyin: şimdi hepsini anlayacağız dışarı.

İspatı noktaların yeri (LPT) kavramını kullanarak yapacağız.

Peki, örneğin toplar kümesi, yuvarlak nesnelerden oluşan "geometrik bir yer" midir? Hayır, elbette, çünkü yuvarlak ... karpuzlar var. Ama bir "geometrik yer" olan bir grup insan konuşabilir mi? Hiçbiri, çünkü konuşamayan bebekler var. Hayatta, gerçek bir "noktaların geometrik yeri" örneği bulmak genellikle zordur. Geometri daha kolaydır. Burada, örneğin, tam ihtiyacımız olan şey:

Burada küme orta dikeydir ve "" özelliği "parçanın uçlarından eşit uzaklıkta (nokta) olmaktır."

Hadi kontrol edelim? Bu nedenle, iki şeyden emin olmanız gerekir:

ile ve ile bağlayın. Sonra çizgi medyan ve yükseklik inç olur. Böylece, - ikizkenar - dikey açıortay üzerinde uzanan herhangi bir noktanın ve noktalarından eşit uzaklıkta olduğundan emin olduk.

Ortayı alın ve bağlayın ve. Medyanı aldım. Ancak - koşula göre ikizkenarlar, sadece ortanca değil, aynı zamanda yükseklik, yani ortanca dikey. Bu, noktanın tam olarak dikey açıortay üzerinde olduğu anlamına gelir.

Tüm! Bir parçaya dik açıortayın, parçanın uçlarından eşit uzaklıkta olan noktaların yeri olduğu gerçeğini tam olarak doğruladık.

Bunların hepsi iyi ve güzel, ama sınırlandırılmış çemberi unuttuk mu? Hiç de değil, kendimize "saldırı için bir köprübaşı" hazırladık.

Bir üçgen düşünün. İki medyan dikey çizelim ve diyelim ki segmentlere ve. Adını koyacağımız bir noktada kesişecekler.

Ve şimdi, dikkat!

Nokta dikey açıortay üzerinde yer alır;
nokta dikey açıortay üzerinde yer alır.
Bu da ve demektir.

Bundan birkaç şey çıkar:

İlk önce, nokta segmente üçüncü dikey açıortay üzerinde olmalıdır.

Yani, dikey açıortay da noktadan geçmelidir ve üç dik açıortay da bir noktada kesişir.

ikincisi: Merkezi bir noktada ve bir yarıçapta olan bir daire çizersek, bu daire de noktadan ve noktadan geçer, yani çevrelenmiş daire olur. Bu, herhangi bir üçgen için üç dik açıortayın kesiştiği noktanın çevrelenmiş dairenin merkezi olduğunun zaten var olduğu anlamına gelir.

Ve son şey: benzersizlik hakkında. Noktanın benzersiz bir şekilde elde edilebileceği (neredeyse) açıktır ve bu nedenle daire de benzersizdir. Pekala, "neredeyse" - bunu size bırakacağız. Burada teoremi kanıtladık. "Yaşasın!" Diye bağırabilirsiniz.

Ve sorun "sınırlı dairenin yarıçapını bulun" sorusuysa? Veya tam tersi, yarıçap verilir, ancak başka bir şey mi bulmanız gerekir? Sınırlandırılmış çemberin yarıçapını üçgenin diğer elemanlarıyla ilişkilendiren bir formül var mı?

 

Şunları okumak faydalı olabilir: