Dikdörtgenin hipotenüsü nedir? Bir dik üçgenin kenarları nasıl bulunur? Geometrinin Temelleri

En başta, bir üçgenin 3 açısı olan bir çokyüzlü olduğunu hatırlıyoruz. Üçgenin diğer boyutları biliniyorsa, dik üçgenin hipotenüsü nasıl bulunur?

Talimat

  1. Bacakların uzunlukları bilinmektedir. İÇİNDE bu durum, hipotenüs Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanabilir. Bu teorem kulağa şöyle geliyor: bacakların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Bundan, hipotenüsün uzunluğunu hesaplamak için sırayla her bacağın değerinin karesini almak gerektiği sonucu çıkar. Sonra elde edilen sayıları toplayın ve toplam sonuçtan karekök alın.
  2. Bacak (VC) ve ona bitişik açı biliniyorsa, KFB üçgeninde hipotenüs nasıl bulunur? Bilinen açıyı α ile gösteriyoruz. Bir dik üçgenin özelliklerinden biri de şudur: Bir dik üçgenin kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranı, hipotenüs ile bu bacak arasındaki açının kosinüsüne eşittir. Bu, aşağıdaki gibi yazılabilir: FB=BK*cos(α).
  3. Başka bir bacak (KF) biliniyor ve aynı açı α, Şimdi zıt olacak. Hipotenüs, bir dik üçgenin aynı özelliklerini uygulayarak da bulunabilir. Burada, bir dik üçgenin bacağının uzunluğunun hipotenüsünün uzunluğuna oranı, bacağın karşısındaki açının sinüsüne eşittir. FB=KF*sin(α) yazıyoruz.
  4. Etrafında yarıçapı bilinen bir daire tanımlanmışsa, bir üçgenin hipotenüsü nasıl bulunur? Bir dik üçgenin çevrelediği bir dairenin özelliklerinden, böyle bir dairenin, onu ikiye bölen hipotenüs noktasına denk gelen bir merkezi olduğu bilinmektedir. Başka bir deyişle, yarıçap hipotenüsün yarısına eşittir. Bu da iki yarıçapın hipotenüsü oluşturduğu anlamına gelir: FB=2*R.

Bir dik üçgenin özelliklerini ve Pisagor teoremini bilmek, hipotenüsün uzunluğunu hesaplamak çok kolaydır. Tüm özellikleri hatırlamanız hala zorsa, yerine koymanın çok kolay olduğu hazır formülleri öğrenin. bilinen değerler hipotenüsün uzunluğunu hesaplamak için.

Şuradan çevrildi: Yunan, hipotenüs "gerilmiş" anlamına gelir. Doğru bir anlayış için, esnek bir çubuğun iki ucunu birbirine bağlayan bir yay ipi hayal edin. burada da sağ üçgen, en uzun kenar, karşısında yer alan hipotenüs sağ açı. Bacaklar adı verilen diğer iki tarafın birleştiricisi olarak işlev görür. Bu "dizinin" ne kadar uzun olduğunu bulmak için, bacakların uzunluklarına veya iki keskin açının değerine sahip olmanız gerekir. Bu verileri birleştirerek, formülleri kullanarak istenen değeri hesaplayabilirsiniz.

Bacaklarla hipotenüs nasıl bulunur

İki bacağın değerini biliyorsanız hesaplamanın en kolay yolu (birini A, ikincisini B olarak gösterelim). Pisagor'un kendisi ve dünyaca ünlü teoremi imdada yetişir. Bacakların uzunluğunun karesini alırsak ve hesaplanan değerleri toplarsak, sonuç olarak hipotenüsün uzunluğunun karesinin değerini bulacağımızı söyler. Yukarıdakilerden şu sonuca varıyoruz: hipotenüsün değerini bulmak için, C \u003d √ (A² + B²) bacaklarının karelerinin toplam toplamının karekökünü çıkarmak gerekir. Örnek: bacak A \u003d 10 cm, bacak B \u003d 20 cm Hipotenüs 22,36 cm Hesaplama şu şekildedir: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d √500≈22,36.

Bir açıdan hipotenüs nasıl bulunur

Belirli bir açıdan hipotenüsün uzunluğunu hesaplamak biraz daha zordur. İki ayaktan birinin boyutunu (A ile gösterelim) ve karşısındaki açının boyutunu (α ile gösterelim) biliyorsanız, o zaman hipotenüsün boyutu trigonometri ve özellikle sinüs kullanılarak bulunur. Tek yapmanız gereken bilinen bacağın değerini açının sinüsüne bölmek. C=A/sin(α). Örnek: bacak uzunluğu A=30 cm, karşısındaki açı 45°, hipotenüs 42,25 cm olur Hesaplama şu şekildedir: 30/sin (45°)=30/0,71=42,25.

Başka bir yol da kosinüsü kullanarak hipotenüsün boyutunu bulmaktır. Bacağın boyutunu (B ile gösterelim) ve ona bitişik dar açıyı (α ile gösterelim) biliyorsanız kullanılır. Tek yapmanız gereken bacak değerini açının sinüsüne bölmek. С=В/cos(α). Örnek: Bacağın uzunluğu B=30 cm, karşısındaki açı 45°, hipotenüs 42,25 cm olur Hesaplama şu şekilde: 30/cos (45°)=30/0,71=42,25.

Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü nasıl bulunur?

Kendine saygısı olan her öğrenci, üç kenardan ikisinin birbirine eşit olması koşuluyla, bir üçgenin ikizkenar olduğunu bilir. Bu taraflara yanal denir ve kalan tabandır. Açılardan biri 90 ° ise, o zaman bir ikizkenar dik üçgeniniz olur.

Böyle bir üçgende hipotenüsü bulmak basittir, çünkü yardımcı olacak birkaç özelliği vardır. Tabana bitişik açıların değeri aynıdır, açıların toplamı 180°'dir. Bu, dik açının tabanın karşısında olduğu anlamına gelir, yani taban hipotenüs, bacaklar yanlardır.

Bir örnek ele alalım: bacak A \u003d 2 cm, yani diğer bacak 2 cm'dir Böylece Pisagor teoremini yeniden yazıyoruz: C² \u003d 2 * A². Verileri formülde değiştirerek, 2,83 cm'ye eşit hipotenüs değerini elde ederiz Sonuç: İkizkenar dik üçgenin bir kenarı 2 cm ise, tabanı 2,83 cm olacaktır.

Açılarından biri 90º olan üçgene dik üçgen denir. Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir ve diğer ikisi bacaklardır.

Bir dik üçgende açıyı bulmak için, dik üçgenlerin bazı özelliklerinden yararlanılır, yani: dar açıların toplamının 90° olması ve ayrıca uzunluğu hipotenüsün yarısı olan bacağın karşısında bir açı 30º'ye eşittir.

Hızlı makale gezintisi

İkizkenar üçgen

Bir ikizkenar üçgenin özelliklerinden biri, iki açısının eşit olmasıdır. Dik açılı bir ikizkenar üçgenin açılarının değerlerini hesaplamak için şunu bilmeniz gerekir:

  • Bir dik açı 90º'dir.
  • Dar açıların değerleri şu formülle belirlenir: (180º-90º)/2=45º, yani. α ve β açıları 45º'dir.

Dar açılardan birinin değeri biliniyorsa, ikincisi şu formülle bulunabilir: β=180º-90º-α veya α=180º-90º-β. Çoğu zaman bu oran, açılardan biri 60º veya 30º ise kullanılır.

Anahtar kavramlar

Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180º'dir. Bir açı doğru olduğu için diğer ikisi keskin olacaktır. Onları bulmak için şunları bilmeniz gerekir:


diğer yöntemler

Bir dik üçgenin akut açılarının değerleri, medyanın değeri bilinerek hesaplanabilir - tepe noktasından üçgenin karşı tarafına çizilen bir çizgi ve yükseklik - dik bırakılan düz bir çizgi dik açıdan hipotenüse. Hipotenüsün orta noktasına dik açıdan çizilen medyan s, yükseklik h olsun. Bu durumda ortaya çıkıyor:


  • sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
  • cosα=a/(2*s); çünkü β=b/(2*s).
  • sinα=h/b; sinβ=h/a.

İki taraf

Bir dik üçgende hipotenüsün ve bacaklardan birinin veya iki kenarın uzunlukları biliniyorsa, dar açıların değerlerini bulmak için trigonometrik özdeşlikler kullanılır:

  • α=yaysin(a/c), β=yaysin(b/c).
  • α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
  • α=yay(a/b), β=yay(b/a).
Bu makaleyi paylaş arkadaşlarla sosyal ağlar:

Talimat

Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsü hesaplamanız gerekiyorsa, aşağıdaki algoritmayı kullanın: - Üçgenin hangi taraflarının bacaklar ve hangilerinin hipotenüs olduğunu belirleyin. Doksan derecelik açı oluşturan iki kenar bacaklar, üçgenin kalan üçüncü kenarı hipotenüs. (şekle bakın) - Bu üçgenin her bir ayağını ikinci güce yükseltin, yani değerlerini kendisiyle çarpın. Örnek 1. Üçgenin bir ayağı 12 cm, diğeri 5 cm ise hipotenüsü hesaplamak gerekli olsun.Öncelikle bacakların kareleri: 12*12=144 cm ve 5*5=25 cm. - Ardından, karelerin bacaklarının toplamını belirleyin. Belirli bir sayı bir karedir hipotenüs bulmak için sayının ikinci kuvvetinden kurtulmanız gerekir. uzunluküçgenin bu tarafı. Bunu yapmak için, bacakların karelerinin toplamının değerini karekökün altından çıkarın. Örnek 1. 144+25=169. 169'un karekökü 13 olacaktır. hipotenüs 13 cm'ye eşittir.

Uzunluğu hesaplamanın başka bir yolu hipotenüs bir üçgendeki açıların sinüs ve kosinüs terminolojisinde bulunur. Tanım olarak: alfa açısının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranıdır. Yani şekle bakıldığında sin a \u003d CB / AB. Dolayısıyla, hipotenüs AB \u003d CB / sin a Örnek 2. A açısı 30 derece ve karşısındaki bacak 4 cm olsun, hipotenüsü bulmanız gerekir. Çözüm: AB \u003d 4 cm / sin 30 \u003d 4 cm / 0,5 \u003d 8 cm Cevap: uzunluk hipotenüs 8 cm'ye eşittir.

Bulmak için benzer bir yol hipotenüs bir açının kosinüsünün tanımından. Bir açının kosinüsü, ona bitişik olan bacağın oranıdır ve hipotenüs. Yani, çünkü a \u003d AC / AB, dolayısıyla AB \u003d AC / cos a. Örnek 3. ABC üçgeninde AB hipotenüs, BAC açısı 60 derece, AC bacağı 2 cm, AB'yi bulun.
Çözüm: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0,5 \u003d 4 cm Cevap: hipotenüs 4 cm uzunluğundadır.

İpucu 2: Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğu nasıl bulunur?

Hipotenüs, bir dik üçgendeki en uzun kenar olarak adlandırılır, bu nedenle bu kelimenin Yunancadan "gerilmiş" olarak çevrilmesi şaşırtıcı değildir. Bu kenar her zaman 90°'lik açının karşısında yer alır ve bu açıyı oluşturan kenarlara bacak denir. Bu kenarların uzunluklarını ve bu değerlerin çeşitli kombinasyonlarında dar açıların büyüklüğünü bilmek, hipotenüsün uzunluğunu da hesaplayabilir.

Talimat

Üçgenin (A ve B) her iki ayağının uzunluğu biliniyorsa, hipotenüsün (C) uzunluğunu bulmak için belki de gezegenimizdeki en ünlü matematiksel varsayım olan Pisagor teoremini kullanın. Hipotenüsün uzunluğunun karesinin, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler, buradan bilinen iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamının karekökünü hesaplamanız gerekir: C \u003d √ (A² + B²). Örneğin, bir bacağın uzunluğu 15 santimetre ve diğerinin uzunluğu 10 santimetre ise, √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.0277564 olduğundan, hipotenüsün uzunluğu yaklaşık 18.0277564 santimetre olacaktır. .

Bir dik üçgendeki bacaklardan (A) yalnızca birinin uzunluğu ve bunun karşısındaki açının değeri (α) biliniyorsa, o zaman hipotenüsün (C) uzunluğu aşağıdakilerden biri kullanılarak belirlenebilir. trigonometrik fonksiyonlar- sinüs. Bunu yapmak için, bilinen kenarın uzunluğunu bilinen açının sinüsüne bölün: C=A/sin(α). Örneğin, bacaklardan birinin uzunluğu 15 santimetre ve üçgenin karşı köşesindeki açı 30 ° ise, hipotenüsün uzunluğu 30 santimetre olacaktır, çünkü 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.

Geometri kolay bir bilim değildir. Her ikisi için de yararlı olabilir Okul müfredatı, yanı sıra gerçek hayat. Birçok formül ve teorem bilgisi, geometrik hesaplamaları basitleştirecektir. Geometrideki en basit şekillerden biri üçgendir. Eşkenar üçgen çeşitlerinden biri de kendine has özelliklere sahiptir.

Eşkenar üçgenin özellikleri

Tanım olarak, bir üçgen, üç açısı ve üç kenarı olan bir çokyüzlüdür. Bu düz iki boyutlu bir figür, özellikleri lisede inceleniyor. Açı tipine göre dar açılı, geniş açılı ve dik açılı üçgenler ayırt edilir. Bir dik üçgen geometrik şekil burada açılardan biri 90º'dir. Böyle bir üçgenin iki bacağı (dik açı oluştururlar) ve bir hipotenüsü (dik açının karşısındadır) vardır. Hangi miktarların bilindiğine bağlı olarak, üç tane vardır. basit yollar Bir dik üçgenin hipotenüsünü hesaplayın.

İlk yol, bir dik üçgenin hipotenüsünü bulmaktır. Pisagor teoremi

Pisagor teoremi, bir dik üçgenin herhangi bir kenarını hesaplamanın en eski yoludur. Kulağa şöyle geliyor: "Bir dik üçgende, hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir." Bu nedenle, hipotenüsü hesaplamak için, iki bacağın karesinin toplamının karekökünü türetmek gerekir. Netlik için, formüller ve bir diyagram verilmiştir.


İkinci yol. Bilinen 2 değer kullanılarak hipotenüsün hesaplanması: bacak ve bitişik açı

Bir dik üçgenin özelliklerinden biri, bacağın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranının, bu bacak ile hipotenüs arasındaki açının kosinüsüne eşdeğer olduğunu söyler. Bildiğimiz açıya α diyelim. Şimdi, iyi bilinen tanım sayesinde, hipotenüsü hesaplamak için kolayca bir formül formüle edebiliriz: Hipotenüs = bacak/cos(α)


Üçüncü yol. Bilinen 2 değer kullanılarak hipotenüsün hesaplanması: bacak ve karşı açı

Karşıt açı biliniyorsa, bir dik üçgenin özelliklerini tekrar kullanmak mümkündür. Bacağın uzunluğunun hipotenüse oranı karşı açının sinüsüne eşittir. tekrar arayalım ünlü açı A. Şimdi hesaplamalar için biraz farklı bir formül uyguluyoruz:
Hipotenüs = bacak/günah (α)


Formülleri anlamanıza yardımcı olacak örnekler

Formüllerin her birini daha iyi anlamak için açıklayıcı örnekleri göz önünde bulundurmalısınız. Öyleyse, bu tür verilerin olduğu yerde bir dik üçgen verildiğini varsayalım:

  • Bacak - 8 cm.
  • Bitişik cosα1 açısı 0,8'dir.
  • Zıt açı sinα2 0,8'dir.

Pisagor teoremine göre: Hipotenüs \u003d karekök (36 + 64) \u003d 10 cm.
Bacağın boyutuna ve dahil edilen açıya göre: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.
Bacağın boyutuna ve karşı açıya göre: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.

Formülü anladıktan sonra, hipotenüsü herhangi bir veriyle kolayca hesaplayabilirsiniz.


Video: Pisagor teoremi

 

Şunları okumak faydalı olabilir: