Kar Tanesi Koch inşaatı. Koch kar tanesi nasıl çizilir, fotoğraf diyagramları, Koch kar tanesi neye benzer? Uygulama Oluşturucuda Uygulama Kullanıcı Arayüzü İşaretlemesi

Konu: Fraktallar.

1. Giriş. Fraktalların kısa tarihsel geçmişi. 2. Fraktallar doğadaki geometri unsurlarıdır.

3. Doğada fraktal özelliklere sahip nesneler. 4. “Fraktallar” terminolojisinin tanımı.

5. Fraktalların sınıfları.

6.Fraktal süreçlerin tanımı. 7.Fraktal kümelerin elde edilmesi için prosedürler.

8.1 Kırık Kokha (elde etme prosedürü).

8.2 Koch Kar Tanesi (Koch Fraktal).

8.3 Menger süngerleri.

9. Fraktalların kullanımına örnekler.

Giriiş. Fraktalların kısa tarihsel geçmişi.

Fraktallar ayrık matematiğin genç bir dalıdır.

İÇİNDE 1904'te İsveçli Koch, hiçbir yerde teğeti olmayan sürekli bir eğri olan Koch eğrisini ortaya çıkardı.

İÇİNDE 1918'de Fransız Julia bütün bir fraktal ailesini tanımladı.

İÇİNDE 1938 yılında Pierre Levy “Bütüne benzer parçalardan oluşan düzlemsel ve uzaysal eğriler ve yüzeyler” makalesini yayınladı.

İÇİNDE 1982 Benoit Mandelbrot "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabını yayınladı.

İLE Basit yapılar ve formüller kullanılarak görüntüler elde edilir. “Fraktal resim” ortaya çıktı.

1993 yılından bu yana World Scientific Fractals dergisini yayınlamaktadır.

Fraktallar doğadaki geometri unsurlarıdır.

Fraktallar, dağ sıraları, engebeli kıyı şeritleri, birçok kılcal damar ve damarların dolaşım sistemleri, ağaç taçları, basamaklı şelaleler, cam üzerindeki buzlu desenler gibi nesneleri tanımlamanın bir yoludur.

Veya bunlar: eğrelti otu yaprağı, bulutlar, leke.

Bu tür nesnelerin görüntüleri fraktal grafikler kullanılarak temsil edilebilir.

Doğada fraktal özelliklere sahip nesneler.

MercanlarDenizyıldızı ve KestanelerDeniz Kabukları

Çiçekler ve bitkiler (brokoli, lahana) Meyveler (ananas)

Ağaç taçları ve bitki yaprakları Kan dolaşım sistemi insan ve hayvanların bronşları ve bronşları Cansız doğada:

Coğrafi nesnelerin sınırları (ülkeler, bölgeler, şehirler) Kıyı şeritleri Dağ sıraları Kar taneleri Bulutlar Yıldırım

Cam üzerinde oluşan desenler Kristaller Sarkıtlar, dikitler, helisitler.

"Fraktallar" terminolojisinin tanımı.

Fraktallar aşağıdaki özelliklerden bir veya daha fazlasını karşılayan geometrik şekillerdir:

Herhangi bir büyütmede (tüm ölçeklerde) karmaşık ve önemsiz olmayan bir yapıya sahiptir; (yaklaşık olarak) kendine benzer.

Kesirli bir Hausdorff (fraktal) boyutu vardır veya topolojik boyutu aşar; yinelemeli prosedürlerle oluşturulabilir.

Daire, elips gibi düzgün şekiller için, düzgün bir fonksiyonun grafiğiçok büyük ölçekte küçük bir parça, düz bir çizginin parçası gibi görünür. Bir fraktal için ölçeğin arttırılması yapının basitleştirilmesine yol açmaz; tüm ölçekler için eşit derecede karmaşık resimler göreceğiz.

Fraktal sınıflar

Fraktal, bütüne benzer parçalardan (alt yapılardan) oluşan bir yapıdır.

Doğanın unsurları olan bazı fraktallar geometrik (yapıcı) fraktallar olarak sınıflandırılabilir.

Geri kalanı dinamik fraktallar (cebirsel) olarak sınıflandırılabilir.

Fraktal kümelerin elde edilmesi için prosedürler.

Bu, fraktal eğriler elde etmek için basit bir özyinelemeli prosedürdür: sonlu sayıda bağlantıya sahip rastgele bir kesikli çizgi belirtin - bir üreteç. Daha sonra jeneratörün her bir bölümü onun içinde değiştirilir. Daha sonra içindeki her parçanın yerini yine bir jeneratör alır ve bu böyle sonsuza kadar devam eder.

Gösterilen: Bir birim parçanın 3 parçaya bölünmesi (a), birim kare alanın 9 parçaya (b), bir birim küpün 27 parçaya (c) ve 64 parçaya (d) bölünmesi. Parça sayısı n, ölçeklendirme faktörü k ve uzayın boyutu d'dir. Aşağıdaki ilişkilere sahibiz: n = kd,

n = 3, k = 3 ise d = 1; n = 9, k = 3 ise d = 2; n = 27, k = 3 ise d = 3'tür.

n = 4, k = 4 ise d = 1; n = 16, k = 4 ise d = 2; n = 64, k = 4 ise d = 3'tür. Uzayın boyutu tam sayılarla ifade edilir: d = 1, 2, 3; n = 64 için d'nin değeri

Bir Koch kesikli çizgisi oluşturmanın beş adımı gösterilmektedir: birim uzunlukta bir parça (a), dört parçadan (n = 4) üç parçaya (k = 3) bölünmüş - kesikli bir çizgi (b); her düz parça üç parçaya (k2 = 9) ve 16 parçadan (n2 = 16) - kesikli bir çizgiye (c) bölünmüştür; k3 = 27 ve n3 = 64 – kesik çizgi (g) için prosedür tekrarlanır; k5 = 243 ve n5 = 1024 için – kesik çizgi (d).

Boyut

Bu kesirli veya fraktal bir boyuttur.

Helg von Koch tarafından 1904'te önerilen Koch sürekli çizgisi, kıyı şeridinin sağlamlığını modellemeye uygun bir fraktal görevi görür. Mandelbrot, kıyı şeridi inşaat algoritmasına bir rastlantısallık unsuru kattı; ancak bu, kıyı şeridinin uzunluğuna ilişkin ana sonucu etkilemedi. Çünkü sınır

Kıyının sonsuz engebeli olması nedeniyle kıyı şeridinin uzunluğu sonsuza kadar uzanır.

Daha ayrıntılı bir ölçekten daha az ayrıntılı bir ölçeğe geçerken kıyı şeridini düzleştirme prosedürü;

Koch kar tanesi (Koch fraktal)

İnşaatın temeli olarak, birim uzunluktaki bölümleri değil, her iki tarafına düzensizlikleri çarpma prosedürünü genişletebileceğiniz bir eşkenar üçgeni alabilirsiniz. Bu durumda, bir Koch kar tanesi (Şek.) ve üç tipte elde ederiz: yeni oluşturulan üçgenler yalnızca önceki üçgenden (a) ve (b) dışarıya doğru yönlendirilir; sadece içeride (içeride); rastgele ya dışarıya ya da içeriye doğru (d) ve (e). Koch fraktalı oluşturma prosedürünü nasıl ayarlayabilirsiniz?

Pirinç. Kar Tanesi Koch

İncirde. iki vektör diyagramı gösterilmektedir; Okların üzerindeki sayılar muhtemelen şu soruyu gündeme getirecektir: Ne anlama geliyorlar? Vektör 0, apsis ekseninin pozitif yönü ile çakışır, çünkü l = 0'daki faz faktörü exp (i2πl/6) yönünü korur. L= 1 olduğunda, vektör 1, vektör 0'a göre 2π/6 açıyla döndürülür. Vektör 5'in faz faktörü exp (i2π5/6), l = 5'tir. Son vektör, ilkiyle aynı faz faktörüne sahiptir ( ben = 0). Tamsayılar l birim vektörün faz faktörünün açısını karakterize eder.

İlk adım (Şekil), sonraki tüm adımlar ve özellikle ikinci adım (Şekil) için yinelemeli bir prosedürü belirtir. φ1 = (0 1 5 0) sayı kümesinden φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0) sayısına nasıl geçilir? Cevap: Bir matrisin her elemanı orijinal matrisle çarpıldığında doğrudan matris çarpımı yoluyla. Çünkü bu durumda tek boyutlu bir diziyle karşı karşıyayız. Matrisler vektör olduğundan, bir matris vektörünün her elemanı başka bir matris vektörünün tüm elemanları ile çarpılır. Ek olarak, φ1 matris vektörünün elemanları exp (i2πl/6) üstel fonksiyonlarından oluşur, bu nedenle h sayısını çarparken 10'u mod (6)'ya göre eklemek ve çarpmak gerekli olmayacaktır.

Koch eğrisi

Koch'un kar taneleri

Koch kar tanesi oluşturmak için aşağıdaki işlemleri gerçekleştiriyoruz. Sıfır yineleme olarak eşkenar üçgeni düşünün.


Daha sonra bu üçgenin her bir kenarını üç eşit parçaya bölüyoruz, orta kısmı çıkarıyoruz ve ortada Şekil 2'deki gibi bir eşkenar üçgen tamamlıyoruz. Bir sonraki adımda, yeni şeklin her bir tarafı aynı prosedüre tabi tutulur; üç eşit parçaya bölünür ve bir eşkenar üçgenin oluşturulması tamamlanır ve bu sonsuza kadar devam eder. Sonuç, Koch kar tanesi adı verilen kendine benzer bir küme olan simetrik, kar tanesi benzeri, sonsuzca kırık bir eğridir. Adını, onu ilk kez 1904'te tanımlayan İsveçli matematikçi Helge von Koch'tan almıştır. Ayırt edici özelliği, kapalı olmasına rağmen kendisiyle hiçbir yerde kesişmemesidir, çünkü tamamlanan üçgenler her seferinde yeterince küçüktür ve hiçbir zaman birbirleriyle "çarpışmaz". birbirine göre.

Fraktal boyutunu hesaplayalım. Orijinal üçgenin kenarlarının uzunluğunu alın ben= 1 ise parça her birinin uzunluğu 1/3 olan ve dolayısıyla toplam uzunluğu 4/3 olan dört parçadan oluşacaktır. Bir sonraki adımda, 16 parçadan oluşan ve toplam uzunluğu 16/9 veya vb. olan kesikli bir çizgi elde ediyoruz. Bundan fraktal boyutun şuna eşit olduğu anlaşılmaktadır:

Bu değer birden büyüktür (doğrunun topolojik boyutu), ancak eğrinin bulunduğu düzlemin Öklid boyutundan (d = 2) küçüktür. Herhangi bir sonlu n için n'inci iterasyon sonucunda elde edilen eğriye prefraktal adı verildiğini ve ancak n sonsuza doğru yöneldiğinde Koch eğrisinin fraktal haline geldiğini belirtelim. Dolayısıyla Koch kar tanesi, sonlu bir alanı sınırlayan sonsuz uzunlukta bir çizgidir. Fraktalın tanımını kullanarak bu kümenin bir fraktal olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.

Bu rakam bilim adamlarının incelediği ilk fraktallardan biridir. Üç kopyadan geliyor Koch eğrisiİlk kez 1904'te İsveçli matematikçi Helge von Koch'un bir makalesinde ortaya çıktı. Bu eğri, herhangi bir noktaya teğet olamayacak sürekli bir çizgiye örnek olarak icat edildi. Bu özelliğe sahip çizgiler daha önce biliniyordu (Karl Weierstrass, örneğini 1872'de oluşturdu), ancak Koch eğrisi, tasarımının basitliği nedeniyle dikkat çekicidir. Makalesinin adının “Temel geometriden kaynaklanan, teğetleri olmayan sürekli bir eğri üzerinde” olması tesadüf değildir.

Çizim ve animasyon, Koch eğrisinin adım adım nasıl oluşturulduğunu mükemmel bir şekilde göstermektedir. İlk yineleme yalnızca başlangıç ​​bölümüdür. Daha sonra üç eşit parçaya bölünür, ortadaki parça tamamlanarak düzgün bir üçgen oluşturulur ve sonra dışarı atılır. Sonuç, ikinci yinelemedir - dört bölümden oluşan kesikli bir çizgi. Her birine aynı işlem uygulanarak yapımın dördüncü adımı elde edilir. Aynı ruhla devam ederek giderek daha fazla yeni satır elde edebilirsiniz (hepsi kırık çizgiler olacaktır). Ve limitte meydana gelen şeye (bu zaten hayali bir nesne olacaktır) Koch eğrisi denir.

Koch eğrisinin temel özellikleri

1. Süreklidir ancak hiçbir yerde türevlenemez. Kabaca söylemek gerekirse, bu tür matematiksel "ucubelerin" bir örneği olarak icat edilmesinin nedeni tam olarak budur.

2. Sonsuz uzunluğa sahiptir. Orijinal parçanın uzunluğu 1'e eşit olsun. Her inşaat aşamasında çizgiyi oluşturan parçaların her birini 4/3 kat daha uzun olan kesikli bir çizgiyle değiştiriyoruz. Bu, tüm kesikli çizginin uzunluğunun her adımda 4/3 ile çarpıldığı anlamına gelir: numaralı çizginin uzunluğu N(4/3)'e eşit N-1 . Bu nedenle sınır çizgisinin sonsuz uzunlukta olmaktan başka seçeneği yoktur.

3. Koch'un kar tanesi sonlu alanı sınırlıyor. Ve bu, çevresinin sonsuz olmasına rağmen. Bu özellik paradoksal görünebilir, ancak açıktır - bir kar tanesi tamamen bir daireye sığar, dolayısıyla alanı açıkça sınırlıdır. Alan hesaplanabilir ve bunun için özel bir bilgiye bile ihtiyacınız yoktur - okulda üçgenin alanı ve geometrik ilerlemenin toplamı için formüller öğretilir. İlgilenenler için hesaplama aşağıda ayrıntılı olarak listelenmiştir.

Orijinal normal üçgenin kenarı şuna eşit olsun: A. O zaman onun alanıdır. Öncelikle kenar 1 ve alan: . Yineleme arttıkça ne olur? Küçük eşkenar üçgenlerin mevcut bir çokgene bağlı olduğunu varsayabiliriz. İlk seferinde sadece 3 tane var ve her seferinde bir öncekinden 4 kat daha fazla oluyor. Yani, üzerinde N inci adım tamamlanacak Tn= 3 4 N–1 üçgen. Her birinin kenar uzunluğu, bir önceki adımda tamamlanan üçgenin kenarının üçte biri kadardır. Yani (1/3)'e eşittir N. Alanlar kenarların kareleriyle orantılı olduğundan her üçgenin alanı . Büyük değerler için N Bu arada bu çok az. Bu üçgenlerin kar tanesi alanına toplam katkısı eşittir Tn · Sn= 3/4 · (4/9) N · S 0. Bu nedenle sonra N-adım, şeklin alanı toplama eşit olacaktır S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +Tn S N = . Sonsuz sayıda adımdan sonra bir kar tanesi elde edilir; N→ ∞. Sonuç sonsuz bir toplamdır, ancak bu azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır, bunun için bir formül vardır: . Kar tanesinin alanı.

4. Fraktal boyut eşittir log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Doğru hesaplama önemli ölçüde çaba ve ayrıntılı açıklamalar gerektirecektir, bu nedenle burada daha ziyade fraktal boyutun tanımının bir örneği bulunmaktadır. Güç yasası formülünden N(δ ) ~ (1/δ )D, Nerede N- kesişen karelerin sayısı, δ - boyutları ve D- boyut, bunu anlıyoruz D= günlük 1/ δ N. Bu eşitlik bir sabitin eklenmesine kadar doğrudur (herkes için aynı) δ ). Şekiller Koch eğrisinin oluşturulmasının beşinci yinelemesini göstermektedir; onunla kesişen ızgara kareleri yeşil renkte gölgelendirilmiştir. Orijinal parçanın uzunluğu 1 olduğundan üstteki şekilde karelerin kenar uzunluğu 1/9'dur. 12 kare gölgelidir, log 9 12 ≈ 1,130929... . Henüz 1.261859'a pek benzemiyor... . Daha ileriye bakalım. Ortadaki resimde kareler yarı büyüklükte, boyutları 1/18, gölgeli 30. log 18 30 ≈ 1.176733... . Zaten daha iyi. Aşağıdaki kareler hâlâ yarısı kadar büyüklükte; 72 parçanın üzeri zaten boyanmış durumda. log 72 30 ≈ 1,193426... . Daha da yakın. Daha sonra yineleme sayısını artırmanız ve aynı zamanda kareleri azaltmanız gerekir, o zaman Koch eğrisinin boyutunun "ampirik" değeri sürekli olarak log 3 4'e yaklaşacak ve limitte tamamen çakışacaktır.

Koch eğrisi, 1904'te İsveçli matematikçi Helge von Koch tarafından açıklanan fraktal bir eğridir. Koch eğrisinin eşkenar üçgenin kenarlarına (dışarı dönük) inşa edilen üç kopyası, Koch kar tanesi adı verilen kapalı bir eğri oluşturur.

Bazen bir çeşit küfür istediğimde tuhaflıklar yaşıyorum. sorunu programlayın. Bu sefer fraktallarla uğraşmaya karar verdim. Yani Koch kar tanesiyle.

Kar Tanesi Koch

Bu fraktal bilim insanları tarafından incelenen ilk fraktallardan biridir. İlk olarak 1904'te İsveçli matematikçi Helge von Koch'un bir makalesinde ortaya çıkan Koch eğrisinin üç kopyasından türetilmiştir. Bu eğri, herhangi bir noktaya teğet olamayacak sürekli bir çizgiye örnek olarak icat edildi.

Koch eğrisinin temel özellikleri:

  1. Süreklidir ama hiçbir yerde türevlenemez.
  2. Sonsuz uzunluğa sahiptir. Orijinal parçanın uzunluğu 1 olsun. Her inşaat aşamasında çizgiyi oluşturan parçaların her birini 4/3 kat daha uzun olan kesikli bir çizgiyle değiştiriyoruz. Bu, tüm kesik çizginin uzunluğunun her adımda 4/3 ile çarpıldığı anlamına gelir: n numaralı çizginin uzunluğu (4/3)n-1'e eşittir. Bu nedenle sınır çizgisinin sonsuz uzunlukta olmaktan başka seçeneği yoktur.
  3. Koch kar tanesi sonlu alanı sınırlandırıyor. Ve bu, çevresinin sonsuz olmasına rağmen. Bu özellik paradoksal görünebilir, ancak açıktır - bir kar tanesi tamamen bir daireye sığar, dolayısıyla alanı açıkça sınırlıdır.

Biraz matematik

Bazen en basit küfürleri hatırlamak oldukça ilginçtir. dönüşümler (: Bu durumda vektörler ve düzlemdeki noktaların dönüşümleri hakkındaki bilgilerin tazelenmesi gerekiyordu.

Özellikle, bir noktanın başka bir noktaya göre nasıl döndürüleceği:

Peki, bu mesafeyi ve noktaların koordinatlarını bilerek, noktadan biraz uzakta olan bir parça üzerinde bir noktayı nasıl bulacağınızı bilmeniz gerekir. O kadar çok yöntem var ki. Bu noktaları içeren doğrunun koordinatlarını bulabilir ve bunları denklemde yerine koyabilirsiniz. Vektörleri kullanarak koordinatları hesaplayabilirsiniz.

Buna benzer bir şeye benziyor.



 

Okumak faydalı olabilir: