На дошці написано 100 різних цілих чисел.

Posted on 14.03.2018

5 (100%) 1 голос

На дошці написано 100 різних натуральних чисел, причому відомо, що сума цих чисел дорівнює 5120.

а) Чи може бути написане число 230 на дошці?

б) Чи може бути таке, що на дошці не написано 14?

в) Яка найменша кількість чисел, кратних 14, написана на дошці?

Як вирішити? Бажано під усіма літерами.

математика,

освіта

відповісти

коментувати

у вибране

Sadne-ss

2 хвилини тому

а)Порахуємо варіант, при якому сума буде найменшою. Звичайно, це просто сума перших ста чисел, тобто 1+2+3…+100 . Можна вважати перебираючи, а можна через формулу " суми арифметичної прогресії ".

Тепер розраховуємо суму. S100=((1+100)/2)*1-00=5050;

Нам треба спробувати якось замінити будь-яке число в нашому ряду на 230 . Дізнаємося, якої суми нам не дістає до заданої умови: 5120-5050=70 , ага, а яке найбільше число було в нашому ряду? Правильно, 100 . Виходить, найбільше число, на яке ми зможемо замінити будь-яке число з нашого ряду, це 170 . Отже, числа 230 у ряді ніяк бути не може.

Відповідь: а) Ні;

б)Візьмемо, той самий ряд, від 1 до 100, але приберемо звідти число 14 та спробуємо замінити його іншим. Наприклад, спробуємо взяти найменше число після 100 , а саме 101 та проведемо заміну. Суму перших ста чиселми знайшли, а значить, для заміни, нам треба відняти від неї 14і додати нове значення 101: 5050-14+101=5137 -. На жаль, в умові сказано, що сума дорівнює 5120 , Тому на жаль, не можна виключати число 14 з нашого списку.

Відповідь: б) Ні;

в)Знайдемо всі числа кратні 14 з нашого ряду ( від 1 до 100). Існує безліч способів знаходження кратних значень, але в нашому випадку число не таке велике, їх можна перебрати в ручну, отримуємо ряд, за допомогою додавання: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98 . Усього 7 чисел кратних 14. Тепер спробуємо замінити їх на більш великі значенняне кратні 14, оскільки на даний момент, наша сума складає 5050. Замінимо найбільше кратне число на найменше з невикористаних: 98 на 101;

Наша сума стане: (101-98)+5050=5053- ;

Сума: (102-84) +5053 = 5071-;

Місце ще є, продовжуємо. Замінимо 70 на 103;

Сума: (103-70) +5071 = 5104-;

5104 , як і раніше менше 5120, Отже йдемо далі. Замінимо 56 на 104;

Сума: (104-56) +5104 = 5152-;

Вийшло більше, ніж требаа отже, потрібно

На дошці написано 100 різних натуральних чисел із сумою 5120.

а) Чи може бути записано число 230?

б) Чи можна обійтися без числа 14?

в) Яка найменша кількість чисел, кратних 14, може бути на дошці?

Рішення.

а) Нехай на дошці написано число 230 та 99 інших різних натуральних чисел. Мінімально можлива сума чисел на дошці досягається за умови, що сума 99 різних натуральних чисел мінімальна. А це, у свою чергу, можливо, якщо 99 різних натуральних числа - арифметична прогресія з першим членом та різницею. Сума цих чисел, за формулою суми арифметичної прогресії, складе:

Сума всіх чисел на дошці Sдорівнюватиме:

Неважко помітити, що отримана сума більша, ніж 5120, а це означає, що і будь-яка сума 100 різних натуральних чисел, серед яких є 230, більше 5120, отже, числа 230 на дошці бути не може.

б) Нехай на дошці не записано число 14. У такому разі мінімально можлива сума Sчисел на дошці складатиметься з двох сум арифметичних прогресій: суми перших 13 членів прогресії з першим членом, різницею (тобто ряду 1,2,3,..13) та суми перших 87 членів прогресії з першим членом, різницею (тобто ряду 15,16,17,..101). Знайдемо цю суму:

Неважко помітити, що отримана сума більша, ніж 5120, а це означає, що і будь-яка сума 100 різних натуральних чисел, серед яких немає 14, більше 5120, отже, без числа 14 на дошці обійтися не можна.

в) Припустимо, що на дошці виписані всі числа від 1 до 100. Тоді виходить, що отриманий ряд становить арифметичну прогресію з першим членом, різницею. За формулою для суми арифметичної прогресії знайдемо суму всіх чисел на дошці:

Отримана сума не задовольняє умову завдання. Тепер, щоб збільшити суму всіх чисел, написаних на дошці до зазначеної в умові, спробуємо замінити числа, кратні 14 на інші числа, наступні за сотнею: 70 замінимо на 110, 84 – на 104, а 98 – на 108. Отримана сума Sдорівнюватиме:

При подальшій заміні чисел, кратних 14 числа, більші 100, сума буде збільшуватися і не відповідати умові завдання. Таким чином, найменша кількість чисел, кратних 14, дорівнює 4.

Наведемо інше рішення пункту в).

Наведемо приклад, коли на дошці написано чотири числа, кратних 14 (14, 28, 42, 56):

1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.

Доведемо, що не може бути трьох чисел, кратних 14. Щоб усунути максимальну кількість чисел, кратних 14, необхідно, щоб різниці між новими і старими числами були мінімальними. Тобто замінювати треба найбільші числа, кратні 14, найменші можливі, великі ста числа. Нехай кількість чисел, кратних 14, дорівнює 3. Тоді мінімальна сума записаних на дошці чисел дорівнює:

Отримана сума більша, ніж 5120. При подальшій заміні чисел, кратних 14, на числа, більші за 100, сума буде збільшуватися, отже, на дошці не може бути менше чотирьох чисел, кратних 14.

А) Ні б) Ні в) 4.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІз математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Джерело завдання: Рішення 3754. ЄДІ 2016. Математика, І. В. Ященко. 30 варіантів типових тестових завдань.

Завдання 19.На дошці було написано 20 натуральних чисел (необов'язково різних), кожне з яких не перевищує 40. Замість деяких із чисел (можливо, одного) на дошці написали числа, менші за початкові на одиницю. Числа, які після цього виявилися рівними 0, з дошки стерли.

а) Чи могло виявитися так, що середнє арифметичне чисел на дошці збільшилося?

б) Середнє арифметичне спочатку написаних чисел дорівнювало 27. Чи могло середнє арифметичне чисел, що залишилися на дошці, виявитися рівним 34?

в) Середнє арифметичне спочатку написаних чисел дорівнювало 27. Знайдіть найбільше можливе значення середнього арифметичного чисел, що залишилися на дошці.

Рішення.

а)Так, може, наприклад, якщо взяти 19 чисел, рівних 10, а 20 рівне 1, то після зменшення 20-го числа на 1, воно стає рівним 0 і виходить середнє значення вже не 20 чисел, а 19-ти, то є маємо:

Початкове середнє значення: ;

Середнє значення після зміни: .

Як бачимо, друге середнє значення побільшало вихідного.

б)Припустимо, що з виконання цієї умови потрібно взяти одиниць, потім взяти чисел і одне число , всього 20 чисел. Їхнє середнє арифметичне дорівнюватиме

,

а після стирання одиниць мають отримати

,

тобто маємо систему рівнянь:

Віднімемо з першого рівняння друге, отримаємо:

Таким чином, для виконання умови даного пункту потрібно взяти дрібну кількість чисел, що неможливо в рамках даного завдання.

Відповідь:ні.

в)Щоб отримати максимальне середнє чисел, що залишилися на дошці, спочатку потрібно записати набір чисел, що складаються з найбільшого числаодиниць (які, потім, будуть стерті з дошки), а інші числа мають бути максимальними. Запишемо цю умову у вигляді

,

де – число одиниць; - 20-те число (воно вибирається те щоб забезпечити середнє рівним 27). Звідси маємо:

З отриманого виразу видно, що мінімальне значення , у якому отримаємо максимальне значення . Таким чином, маємо послідовність чисел, сума яких дорівнює

 

Можливо, буде корисно почитати:

• Талісмани китайської культури, що помилково приписуються Фен-шуй;
• Сонник Лоффа - колишній чоловік;
• Артиклі в англійській мові;
• Великий енциклопедичний словник У вас нижчий ризик розвитку діабету;
• Молитва за людину, яка хворіє на рак;
• План дослідницької роботи та проекту;
• Бухгалтер з розрахунку заробітної плати (розширений курс) Курси з розрахунку заробітної плати в 1с;
• НТГ – порушення толерантності до глюкози: причини прояву, симптоми та методи корекції;