Що таке натуральні числа та нуль. Натуральні числа

Натуральні числа— одне із найстаріших математичних понять.

У далекому минулому люди не знали чисел і, коли їм потрібно було перерахувати предмети (тварини, рибу тощо), вони робили це не так, як ми зараз.

Кількість предметів порівнювали з частинами тіла, наприклад, з пальцями на руці і казали: "У мене стільки ж горіхів, скільки пальців на руці".

Згодом люди зрозуміли, що п'ять горіхів, п'ять кіз і п'ять зайців мають загальну властивість — їх кількість дорівнює п'яти.

Запам'ятайте!

Натуральні числа- Це числа, починаючи з 1, одержувані при рахунку предметів.

1, 2, 3, 4, 5…

Найменше натуральне число — 1 .

Найбільшого натурального числане існує.

При рахунку нуль не використовується. Тому нуль не вважається натуральним числом.

Записувати числа люди навчилися набагато пізніше, ніж рахувати. Раніше вони стали зображати одиницю однією паличкою, потім двома паличками — число 2 , трьома — число 3 .

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Потім з'явилися й спеціальні знаки для позначення чисел — попередники сучасних цифр. Цифри, якими ми користуємося для запису чисел, народилися в Індії приблизно 1500 років тому. До Європи їх привезли араби, тому їх називають арабськими цифрами.

Усього цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . За допомогою цих цифр можна записати будь-яке натуральне число.

Запам'ятайте!

Натуральний ряд- Це послідовність всіх натуральних чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

У натуральному ряду кожне число більше від попереднього на 1 .

Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа в ньому немає.

Систему рахунку (числення), яку ми користуємося, називають десяткової позиційної.

Десяткою тому, що 10 одиниць кожного розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної тому, що значення цифри залежить від її місця у записі числа, тобто від розряду, у якому вона записана.

Важливо!

Наступні за мільярдом класи названі відповідно до латинських найменувань чисел. Кожна наступна одиниця містить тисячу попередніх.

  • 1 000 мільярдів = 1 000 000 000 000 = 1 трильйон («три» - латиною «три»)
  • 1 000 трильйонів = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадрильйон ("квадра" - латиною "чотири")
  • 1 000 квадрильйонів = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квінтильйон («квінта» — латиною «п'ять»)

Однак, фізики знайшли число, яке перевищує кількість всіх атомів ( найдрібніших частинокречовини) у всьому Всесвіті.

Це число отримало спеціальну назву. гугол. Гугол — число, яке має 100 нулів.

«Квадратична функція» - Властивості: -проміжки монотонності при а > 0 при а< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Квадратичные функции используются уже много лет.

«Ступінна функція 9 клас» - Нам знайомі функції. Ступінна функція. У. 0. 9 клас вчитель Ладошкіна І.А. У = х2, у = х4, у = х6, у = х8, … Показник - парне натуральне число (2n). У = х. Парабола. Кубічна парабола. Функція у = х2n парна, т.к. (-х) 2n = х2n.

«8 клас квадратична функція» - 1) Побудувати вершину параболи. -1. Побудувати графік функції. 2) Побудувати вісь симетрії x=-1. y. Алгебра 8 клас Учитель 496 школи Бовіна Т. В. Побудова графіка квадратичної функції. x. -7. План побудови.

Графік функції Y X - Графіком функції y = x2 + п є парабола з вершиною в точці (0; п). Графік функції y=(x - m)2 є параболою з вершиною у точці (m; 0). Щоб побачити графіки, клацніть мишкою. Сторінка відображається клацанням. З вище сказаного випливає, що графік функції y=(x - m)2 + п є парабола з вершиною в точці (m; п).

"Натуральний логарифм" - 0,1. "Логарифмічний дартс". 0,04. 121. Натуральні логарифми. 7. 4.

«Квадратична функція та її графік» - Автор: Гранов Ілля. Розв'язання задач: Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-належить. 4. чи графіку функції y=4x точка: А(0,5:1) В(-1:-4)С(-2:16)D(0,1:0,4)? При а=1 формула у=аx набуває вигляду.

Всього у темі 25 презентацій

Існують два підходи до визначення натуральних чисел:

  • підрахунку (нумерації)предметів ( перший, другий, третій, четвертий, п'ятий…);
  • натуральні числа - числа, що виникають при позначення кількостіпредметів ( 0 предметів, 1 предмет, 2 предмети, 3 предмети, 4 предмети, 5 предметів…).

У першому випадку ряд натуральних чисел починається з одиниці, у другому – з нуля. Не існує єдиної більшості математиків думки про перевагу першого чи другого підходу (тобто вважати нуль натуральним числом чи ні). У переважній більшості російських джерел традиційно прийнято перший підхід. Другий підхід, наприклад, застосовується у працях Ніколя Бурбаки, де натуральні числа визначаються як потужності кінцевих множин.

Принциповим фактом і те, що це аксіоми насправді однозначно визначають натуральні числа (категоричність системи аксіом Пеано). А саме, можна довести (див. , а також короткий доказ), що якщо (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))і (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))))- дві моделі для системи аксіом Пеано, то вони необхідні ізоморфні, тобто існує оборотне відображення ( бієкція) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) )))така, що f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))і f(S(x)) = S~(f(x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde(S))(f(x)))для всіх x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Тому, достатньо зафіксувати як якусь одну конкретну модель безлічі натуральних чисел.

Нуль як натуральне число

Іноді, особливо в іноземній та перекладній літературі, у першій та третій аксіомах Пеано замінюють одиницю на нуль. І тут нуль вважається натуральним числом. При визначенні через класи рівносильних множин нуль є натуральним числом за визначенням. Спеціально відкидати його було б неприродно. Крім того, це значно ускладнило б подальшу побудову та застосування теорії, так як у більшості конструкцій нуль, як і порожня множина, не є чимось відокремленим. Іншою перевагою вважати нуль натуральним числом є те, що при цьому N (\displaystyle \mathbb (N) )утворює моноїд.

У російській літературі зазвичай нуль виключений із числа натуральних чисел ( 0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), а безліч натуральних чисел з нулем позначається як N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)). Якщо визначення натуральних чисел включений нуль, то безліч натуральних чисел записується як N (\displaystyle \mathbb (N) ), а без нуля - як N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*)).

У міжнародній математичній літературі, з урахуванням сказаного вище і щоб уникнути неоднозначностей, безліч ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \))зазвичай називають безліччю позитивних цілих чисел і позначають Z + (\displaystyle \mathbb (Z) _(+)). Безліч ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \))часто називають безліччю невід'ємних цілих чисел і позначають Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(\geqslant 0)).

Таким чином, і натуральні числа вводяться, виходячи з поняття множини, за двома правилами:

Числа, задані таким чином, називаються ординальними.

Опишемо кілька перших ординальних чисел та відповідних їм натуральних чисел:

Величина безлічі натуральних чисел

Величина нескінченної множини характеризується поняттям « потужність множини», яке є узагальненням числа елементів кінцевої множини на нескінченні множини. За величиною (тобто потужності) безліч натуральних чисел більше будь-якої кінцевої множини, але менше будь-якого інтервалу, наприклад, інтервалу (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Безліч натуральних чисел за потужністю така сама, як безліч раціональних чисел. Безліч такої ж потужності, як безліч натуральних чисел, називається зліченим безліччю. Так, безліч членів будь-якої послідовностісчётно. У той же час існує послідовність, в яку кожне натуральне число входить нескінченне число разів, оскільки безліч натуральних чисел можна представити як лічильне об'єднаннянепересічних лічильних множин (наприклад, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

Операції над натуральними числами

До замкнутим операціям(Операціям, що не виводять результат з безлічі натуральних чисел) над натуральними числами відносяться наступні арифметичні операції:

Додатково розглядають ще дві операції (з формальної точки зору не є операціями над натуральними числами, тому що не визначені для всіхпар чисел (іноді існують, іноді немає):

Слід зауважити, що операції складання та множення є основними. Зокрема, кільце цілих чиселвизначається саме через бінарні операціїдодавання та множення.

Основні властивості

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).
  • Комутативність множення:
a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a). (a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).
  • Асоціативність множення:
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)). ( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))).

Алгебраїчна структура

Додавання перетворює безліч натуральних чисел на напівгрупуз одиницею, роль одиниці виконує 0 . Множення також перетворює безліч натуральних чисел на напівгрупу з одиницею, причому одиничним елементом є 1 . За допомогою замиканнящодо операцій складання-віднімання та множення-розподілу виходять групи цілих чисел Z (\displaystyle \mathbb (Z) )та раціональних позитивних чисел Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*))відповідно.

Теоретико-множинні визначення

Скористаємося визначенням натуральних чисел як класів еквівалентностікінцевих множин. Якщо позначити клас еквівалентності множини A, породжений бієкціями, за допомогою квадратних дужок: [A], основні арифметичні операції визначаться так:

Можна показати, що отримані операції на класах введені коректно, тобто не залежать від вибору елементів класів і збігаються з індуктивними визначеннями.

Див. також

Примітки

Література

  • Вигодський М. Я. Довідник з елементарної математики. - М.: Наука, 1978.
    • Перевидання: М: АСТ, 2006,

Математика виділилася із загальної філософії приблизно у шостому столітті до н. е.., і з цього моменту почалася її переможна хода світом. Кожен етап розвитку вносив щось нове - елементарний рахунок еволюціонував, перетворювався на диференціальне та інтегральне числення, змінювалися століття, формули ставали все заплутанішими, і настав той момент, коли «почалася найскладніша математика – з неї зникли всі числа». Але що лежало в основі?

Початок початків

Натуральні числа виникли нарівні з першими математичними операціями. Раз корінець, два корінці, три корінці… З'явилися вони завдяки індійським ученим, які вивели першу позиційну

Слово «позиційність» означає, що розташування кожної цифри серед строго визначено і відповідає своєму розряду. Наприклад, числа 784 і 487 - цифри одні й самі, але числа є рівносильними, оскільки перше включає у собі 7 сотень, тоді як друге - лише 4. Нововведення індійців підхопили араби, які довели числа до того виду, що ми знаємо зараз.

У давнину числам надавалося містичне значення, Піфагор вважав, що число лежить в основі створення світу нарівні з основними стихіями - вогнем, водою, землею, повітрям. Якщо розглядати все лише з математичної сторони, то що таке число? Поле натуральних чисел позначається як N і є нескінченним рядом з чисел, які є цілими та позитивними: 1, 2, 3, … + ∞. Нуль виключається. Використовується в основному для підрахунку предметів та вказівки порядку.

Що таке у математиці? Аксіоми Пеано

Поле N є базовим, яким спирається елементарна математика. З часом виділяли поля цілих, раціональних,

Роботи італійського математика Джузеппе Пеано уможливили подальшу структуризацію арифметики, домоглися її формальності та підготували ґрунт для подальших висновків, які виходили за рамки області поля N.

Що таке натуральне число, було з'ясовано раніше простою мовою, Нижче буде розглянуто математичне визначення на базі аксіом Пеано.

  • Одиниця вважається натуральним числом.
  • Число, що йде за натуральним числом, є натуральним.
  • Перед одиницею немає натурального числа.
  • Якщо число b слід за числом c, і за числом d, то c=d.
  • Аксіома індукції, яка у свою чергу показує, що таке натуральне число: якщо деяке твердження, яке залежить від параметра, правильне для числа 1, то припустимо, що воно працює і для числа n з поля натуральних чисел N. Тоді твердження правильне і для n =1 із поля натуральних чисел N.

Основні операції для поля натуральних чисел

Оскільки поле N стало першим для математичних розрахунків, саме до нього ставляться як області визначення, і області значень низки операцій нижче. Вони бувають замкнутими і немає. Основною відмінністю є те, що замкнуті операції гарантовано залишають результат у рамках множини N незалежно від того, які числа задіяні. Достатньо того, що вони натуральні. Результат інших чисельних взаємодій не настільки однозначний і безпосередньо залежить від цього, що з числа беруть участь у вираженні, оскільки може суперечити основному визначенню. Отже, замкнуті операції:

  • додавання - x + y = z де x, y, z включені в поле N;
  • множення - x * y = z де x, y, z включені в поле N;
  • зведення в ступінь - x y де x, y включені в поле N.

Інші операції, результат яких може існувати у тих визначення "що таке натуральне число", такі:


Властивості чисел, що належать полю N

Всі подальші математичні міркування будуть ґрунтуватися на таких властивостях, найтривіальніших, але від цього не менш важливих.

  • Переміщувальна властивість додавання - x + y = y + x, де числа x, y включені в поле N. Або всім відоме "від зміни місць доданків сума не змінюється".
  • Переміщувальна властивість множення - x * y = y * x, де числа x, y включені до поля N.
  • Сполучна властивість додавання - (x + y) + z = x + (y + z), де x, y, z включені в поле N.
  • Сполучна властивість множення - (x * y) * z = x * (y * z), де числа x, y, z включені до поля N.
  • розподільна властивість - x(y+z) = x*y+x*z, де числа x, y, z включені в поле N.

Таблиця Піфагора

p align="justify"> Одним з перших кроків у пізнанні школярами всієї структури елементарної математики після того, як вони усвідомили для себе, які числа називаються натуральними, є таблиця Піфагора. Її можна розглядати не лише з погляду науки, а й як найцінніший науковий пам'ятник.

Ця таблиця множення зазнала з часом ряд змін: з неї прибрали нуль, а числа від 1 до 10 позначають самі себе, без урахування порядків (сотні, тисячі...). Вона являє собою таблицю, в якій назви рядків і стовпців - числа, а вміст осередків їх перетину дорівнює їхньому ж твору.

У практиці навчання останніх десятиліть спостерігалася необхідність заучування таблиці Піфагора "по порядку", тобто спочатку йшло зазубрювання. Множення на 1 виключалося, так як результат дорівнював 1 або більшому множнику. Тим часом у таблиці неозброєним поглядом можна помітити закономірність: добуток чисел зростає на один крок, який дорівнює заголовку рядка. Таким чином, другий множник показує нам, скільки разів потрібно взяти перший, щоб отримати потрібний твір. Ця система значно зручніша за ту, що практикувалася в середні віки: навіть розуміючи, що таке натуральне число і наскільки воно тривіальне, люди примудрялися ускладнювати собі повсякденний рахунок, користуючись системою, яка базувалася на ступенях двійки.

Підмножина як колиска математики

на Наразіполе натуральних чисел N розглядається лише як одне з підмножин комплексних чисел, але це не робить їх менш цінними в науці. Натуральне число - перше, що пізнає дитина, вивчаючи себе і навколишній світ. Раз пальчик, два пальчики... Завдяки йому у людини формується логічне мислення, а також уміння визначати причину та виводити слідство, готуючи ґрунт для великих відкриттів.



 

Можливо, буде корисно почитати: