Matritsalar. Matritsalarning asosiy ta'riflari va turlari
Matritsalar. Matritsalar turlari. Matritsalar ustida amallar va ularning xossalari.
n-tartibli matritsaning aniqlovchisi. N, Z, Q, R, C,
m*n tartibli matritsa m-satr va n-ustunlardan iborat toʻrtburchaklar shaklidagi raqamlar jadvalidir.
Matritsa tengligi:
Ikki matritsa teng deyiladi, agar ulardan birining satrlari va ustunlari soni mos ravishda ikkinchisining satrlari va ustunlari soniga teng bo'lsa. Bu matritsalarning elementlari teng.
Eslatma: bir xil indekslarga ega bo'lgan elektron xatlar mos keladi.
Matritsalar turlari:
Kvadrat matritsa: Agar uning satrlari soni ustunlar soniga teng bo'lsa, matritsa kvadrat deb ataladi.
To'rtburchaklar: Agar qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lmasa, matritsa to'rtburchaklar deb ataladi.
Qator matritsasi: 1*n (m=1) tartibli matritsa a11,a12,a13 ko‘rinishga ega bo‘lib, qator matritsasi deyiladi.
Matritsa ustuni:………….
Diagonal: Kvadrat matritsaning yuqori chap burchagidan pastki o'ng burchagiga o'tadigan, ya'ni a11, a22...... elementlardan tashkil topgan diagonali bosh diagonal deyiladi. (ta'rif: asosiy diagonalda joylashganlardan tashqari barcha elementlari nolga teng bo'lgan kvadrat matritsa diagonal matritsa deyiladi.
Identifikatsiya: Agar barcha elementlar asosiy diagonalda joylashgan bo'lsa va 1 ga teng bo'lsa, diagonal matritsa identifikatsiya matritsasi deb ataladi.
Yuqori uchburchak: A=||aij|| aij=0 bo'lsa, yuqori uchburchak matritsa deyiladi. i>j bilan ta'minlangan.
Pastki uchburchak: aij=0. i Nol: bu qiymatlari 0 ga teng bo'lgan matritsa. Matritsalar ustida amallar. 1.Transpozitsiya. 2.Matritsani songa ko‘paytirish. 3. Matritsalarni qo‘shish. 4.Matritsani ko'paytirish. Matritsalardagi amallarning asosiy xossalari. 1.A+B=B+A (kommutativlik) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (assotsiativlik) 3.a(A+B)=aA+aB (taqsimlanish) 4.(a+b)A=aA+bA (tarqatuvchi) 5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asosiy) 6.AB≠BA (muloqotsiz) 7.A(BC)=(AB)C (assosiat.) – belgilangan bo'lsa bajariladi. Matritsali mahsulotlar bajariladi. 8.A(B+C)=AB+AC (tarqatuvchi) (B+C)A=BA+CA (distributiv) 9.a(AB)=(aA)B=(aB)A Kvadrat matritsaning aniqlovchisi - ta'rifi va uning xususiyatlari. Aniqlovchining satr va ustunlarga parchalanishi. Determinantlarni hisoblash usullari. Agar A matritsasi m>1 tartibli bo'lsa, bu matritsaning determinanti sondir. A matritsaning aij elementining Aij algebraik to‘ldiruvchisi kichik Mij songa ko‘paytiriladi. 1-TEOREMA: A matritsaning determinanti ixtiyoriy qatorning (ustunning) barcha elementlarining algebraik toʻldiruvchilari koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng. Determinantlarning asosiy xossalari. 1. Matritsaning determinanti ko‘chirilganda o‘zgarmaydi. 2. Ikki qatorni (ustunlarni) qayta tartiblashda determinant belgini o'zgartiradi, lekin uning mutlaq qiymati o'zgarmaydi. 3. Ikkita bir xil satr (ustun)ga ega matritsaning determinanti 0 ga teng. 4. Matritsaning qatori (ustunlari) songa ko‘paytirilganda uning aniqlovchisi shu songa ko‘paytiriladi. 5. Agar matritsaning satrlaridan (ustunlaridan) biri 0 dan iborat bo'lsa, bu matritsaning determinanti 0 ga teng bo'ladi. 6. Agar matritsaning i-qatorining (ustunining) barcha elementlari ikki hadning yig’indisi sifatida taqdim etilsa, uning aniqlovchisini ikkita matritsaning determinantlari yig’indisi sifatida ko’rsatish mumkin. 7. Bir ustun (satr) elementlari ko‘paytirilgandan keyin mos ravishda boshqa ustun (satr) elementlariga qo‘shilsa, aniqlovchi o‘zgarmaydi. bir xil raqam uchun. 8. Determinantning har qanday ustuni (qatori) ixtiyoriy elementlarining boshqa ustun (satr) elementlarining tegishli algebraik to‘ldiruvchisi bo‘yicha yig‘indisi 0 ga teng. https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27"> Determinantni hisoblash usullari: 1. Ta'rif yoki teorema 1 bo'yicha. 2. Uchburchak shaklga keltirish. Teskari matritsaning ta’rifi va xossalari. Teskari matritsani hisoblash. Matritsali tenglamalar. Ta'rif: n tartibli kvadrat matritsa bir xil tartibli A matritsaga teskari deyiladi va belgilanadi. A matritsa teskari matritsaga ega bo‘lishi uchun A matritsaning determinanti 0 dan farq qilishi zarur va yetarli. Teskari matritsaning xossalari: 1. Yagonalik: berilgan A matritsa uchun uning teskarisi yagonadir. 2. matritsa aniqlovchi 3. Transpozitsiyani olish va teskari matritsani olish amali. Matritsa tenglamalari: A va B bir xil tartibli ikkita kvadrat matritsa bo'lsin. https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src="> Matritsa ustunlarining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi tushunchasi. Ustunli sistemaning chiziqli bog`liqligi va chiziqli mustaqilligi xossalari. A1, A2...An ustunlari, agar ularning 0-ustuniga teng trivial bo'lmagan chiziqli birikmasi mavjud bo'lsa, chiziqli bog'liq deyiladi. A1, A2...An ustunlari, agar ularning 0-ustuniga teng trivial bo'lmagan chiziqli birikmasi bo'lsa, chiziqli mustaqil deyiladi. Agar barcha koeffitsientlar C(l) 0 ga teng bo'lsa, chiziqli birikma trivial deb ataladi, aks holda trivial bo'lmaydi. https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24"> 2. Ustunlar chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ba'zi ustunlar boshqa ustunlarning chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli. Ustunlarning 1 tasi https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">boshqa ustunlarning chiziqli birikmasi bo'lsin. https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> chiziqli bog'liq, keyin barcha ustunlar chiziqli bog'liq. 4. Agar ustunlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari ham chiziqli mustaqildir. (Ustunlar haqida aytilganlarning barchasi qatorlar uchun ham to'g'ri). Voyaga etmagan matritsalar. Asosiy voyaga etmaganlar. Matritsa darajasi. Matritsaning darajasini hisoblash uchun voyaga etmaganlarni chegaralash usuli. A matritsaning k tartibli minori - elementlari A matritsaning k-satrlari va k-ustunlari kesishmasida joylashgan aniqlovchi. Agar A matritsaning k-tartibdagi barcha minorlari = 0 bo'lsa, u holda k+1 tartibli har qanday minor ham 0 ga teng bo'ladi. Asosiy kichik. A matritsaning darajasi uning bazis minorining tartibidir. Voyaga etmaganlarni chegaralash usuli: - A matritsasining nolga teng bo'lmagan elementini tanlang (Agar bunday element mavjud bo'lmasa, A = 0 darajasi) Biz avvalgi 1-darajali minorni 2-darajali minor bilan chegaralaymiz. (Agar bu minor 0 ga teng bo'lmasa, daraja >=2 bo'ladi) Agar bu minorning darajasi =0 bo'lsa, u holda tanlangan 1-tartibli minorni boshqa 2-tartibli kichiklar bilan chegaralaymiz. (Agar 2-tartibdagi barcha kichiklar = 0 bo'lsa, u holda matritsaning darajasi = 1). Matritsa darajasi. Matritsaning darajasini topish usullari. A matritsaning darajasi uning bazis minorining tartibidir. Hisoblash usullari: 1) Voyaga etmaganlarni chegaralash usuli: - A matritsaning nolga teng bo'lmagan elementini tanlang (agar bunday element bo'lmasa, unda daraja = 0) - Oldingi 1-tartibli minorni 2-tartibli minor bilan chegaralang..gif" width="40" "balandlik="22" >r+1 Mr+1=0. 2) Matritsani bosqichma-bosqich shaklga keltirish: bu usul elementar transformatsiyalarga asoslangan. Elementar transformatsiyalar paytida matritsaning darajasi o'zgarmaydi. Quyidagi o'zgarishlar elementar transformatsiyalar deb ataladi: Ikki qatorni (ustunlarni) qayta tartiblash. Muayyan ustunning (qatorning) barcha elementlarini =0 bo'lmagan raqamga ko'paytirish. Muayyan ustunning (qatorning) barcha elementlariga boshqa ustunning (qatorning) elementlarini qo'shish, ilgari bir xil songa ko'paytiriladi. Minor asosidagi teorema. Aniqlovchi nolga teng bo'lishi uchun zarur va etarli shart. A matritsaning bazis minori 0 dan farq qiladigan eng yuqori k-tartibning minoridir. Asosiy minor teorema: Pastki qatorlar (ustunlar) chiziqli mustaqildir. A matritsaning har qanday satri (ustunlari) asosiy satrlarning (ustunlarning) chiziqli birikmasidir. Izohlar: kesishmasida minor asosi joylashgan satrlar va ustunlar mos ravishda asosiy satrlar va ustunlar deb ataladi. a11 a12… a1r a1j a21 a22….a2r a2j a31 a32….a3r a3j ar1 ar2….arr arj ak1 ak2…..akr akj Determinant nolga teng bo'lishi uchun zarur va etarli shartlar: n-tartibli determinant =0 boʻlishi uchun uning satrlari (ustunlari) chiziqli bogʻliq boʻlishi zarur va yetarli. Chiziqli tenglamalar tizimlari, ularning tasnifi va yozuv shakllari. Kramer qoidasi. Uchta noma'lumli 3 ta chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing: https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!} sistemaning determinanti deyiladi. Yana uchta aniqlovchini quyidagicha tuzamiz: D determinantidagi ketma-ket 1, 2 va 3 ustunlarni erkin shartlar ustuni bilan almashtiring. https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!} Isbot. Shunday qilib, uchta noma'lumli 3 ta tenglama tizimini ko'rib chiqamiz. Tizimning 1- tenglamasini a11 elementning A11 algebraik to‘ldiruvchisiga, 2- tenglamani A21 ga va 3- tenglamasini A31 ga ko‘paytiramiz: https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!} Keling, qavslarning har birini va bu tenglamaning o'ng tomonini ko'rib chiqaylik. 1-ustun elementlarida determinantning kengayishi haqidagi teorema bo'yicha https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!} Xuddi shunday, buni va ko'rsatish mumkin. Nihoyat, buni sezish oson Shunday qilib, biz tenglikni olamiz: . Demak, . Teorema bayoni kelib chiqadigan va tengliklari o'xshash tarzda olingan. Chiziqli tenglamalar sistemalari. Chiziqli tenglamalarning moslik sharti. Kroneker-Kapelli teoremasi. Algebraik tenglamalar sistemasining yechimi shunday n sonli C1, C2, C3......Cn sonlar to‘plami bo‘lib, ular dastlabki sistemaga x1, x2, x3.....xn o‘rniga almashtirilganda. , tizimning barcha tenglamalarini identifikatsiyaga aylantiradi. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi, agar kamida bitta yechimga ega bo'lsa, izchil deyiladi. Izchil sistema, agar yagona yechimga ega bo'lsa, determinant, cheksiz ko'p yechimga ega bo'lsa, noaniq deb ataladi. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalari uchun izchillik shartlari. a11 a12 ……a1n x1 b1 a21 a22 ……a2n x2 b2 ……………….. .. = .. am1 am2…..amn xn bn TEOREMA: n ta nomaʼlumli m chiziqli tenglamalar sistemasi izchil boʻlishi uchun kengaytirilgan matritsaning darajasi A matritsaning darajasiga teng boʻlishi zarur va yetarli. Eslatma: Bu teorema faqat yechim mavjudligi mezonlarini beradi, lekin yechim topish usulini bildirmaydi. 10 savol. Chiziqli tenglamalar sistemalari. Bazis minor usuli chiziqli tenglamalar sistemalarining barcha yechimlarini topishning umumiy usulidir. A=a21 a22…..a2n Asosiy kichik usul: Tizim izchil bo'lsin va RgA=RgA’=r. A matritsaning yuqori chap burchagiga bazis minor yozilsin. https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="23" height="23" src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n) … = ………….. Doktor br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n) https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src="> Izohlar: Agar asosiy matritsa va ko'rib chiqilayotgan matritsaning darajasi r=n ga teng bo'lsa, bu holda dj=bj bo'ladi va sistema yagona yechimga ega bo'ladi. Chiziqli tenglamalarning bir jinsli sistemalari. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi, agar uning barcha erkin hadlari nolga teng bo'lsa, bir jinsli deyiladi. AX=0 – bir hil sistema. AX =B geterogen sistemadir. Bir hil tizimlar har doim izchil bo'ladi. X1 =x2 =..=xn =0 Teorema 1. Bir hil tizimlar, agar tizim matritsasi darajasi noma'lumlar sonidan kamroq bo'lsa, bir hil bo'lmagan echimlarga ega. Teorema 2. n-noma'lumli n-chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi A matritsaning determinanti nolga teng bo'lganda nolga teng bo'lmagan yechimga ega. (detA=0) Gomogen sistemalar eritmalarining xossalari. Bir jinsli sistemaga yechimning har qanday chiziqli birikmasi o‘zi ham shu sistemaning yechimi hisoblanadi. a1C1 +a2C2; a1 va a2 ba'zi raqamlardir. A(a1C1 +a2C2) = A(a1C1) +A(a2C2) = a1(A C1) + a2(AC2) = 0, ya'ni. k.(A C1) = 0; (AC2) = 0 Bir jinsli bo'lmagan tizim uchun bu xususiyat mavjud emas. Yechimlarning asosiy tizimi. Teorema 3. Agar n-noma'lumli tenglamaning matritsali sistemasining darajasi r ga teng bo'lsa, bu sistema n-r chiziqli mustaqil yechimlarga ega. Baza minor yuqori chap burchakda bo'lsin. Agar r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0) C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы. …………………….. Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1) r-darajali n-noma’lumli bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasiga n-r chiziqli mustaqil yechimlar sistemasi fundamental yechimlar sistemasi deyiladi. Teorema 4. Chiziqli tenglamalar sistemasining har qanday yechimi asosiy tizim yechimining chiziqli birikmasidir. S = a1C1 +a2C2 +.. + an-r Cn-r Agar r 12-savol. Geterogen sistemaning umumiy yechimi. Kutish (umumiy heterojen) = Coo + Sch (ayniqsa) AX=B (geterogen tizim); AX= 0 (ASoo) + ASch = ASch = B, chunki (ASoo) = 0 Kutish= a1C1 +a2C2 +.. + an-r Cn-r + Sch Gauss usuli. Bu noma'lumlarni (o'zgaruvchilarni) ketma-ket yo'q qilish usuli - bu elementar o'zgartirishlar yordamida dastlabki tenglamalar tizimi bosqichma-bosqich shakldagi ekvivalent tizimga tushirilishidan iborat bo'lib, undan boshqa barcha o'zgaruvchilar topiladi. ketma-ket, oxirgi o'zgaruvchilardan boshlab. a≠0 bo'lsin (agar bunday bo'lmasa, tenglamalarni qayta tartibga solish orqali bunga erishish mumkin). 1) x1 o‘zgaruvchisini ikkinchi, uchinchi...nchi tenglamadan chiqarib tashlaymiz, birinchi tenglamani mos sonlarga ko‘paytiramiz va olingan natijalarni 2, 3...n tenglamaga qo‘shsak, shunday bo‘ladi: Biz asl tizimga o'xshash tizimni olamiz. 2) x2 o'zgaruvchisini chiqarib tashlang 3) x3 o'zgaruvchisini chiqarib tashlash va hokazo. x4;x5...xr-1 o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish jarayonini davom ettirib, (r-1)-bosqich uchun olamiz. Tenglamalardagi oxirgi n-r ning nol soni ularning chap tomoni quyidagi ko‘rinishga ega ekanligini bildiradi: 0x1 +0x2+..+0xn Agar br+1, br+2... sonlarning hech bo‘lmaganda bittasi nolga teng bo‘lmasa, mos keladigan tenglik qarama-qarshi bo‘lib, (1) sistema izchil emas. Shunday qilib, har qanday izchil tizim uchun bu br+1 ... bm nolga teng. Tizimdagi oxirgi n-r tenglama (1;r-1) identifikatsiyadir va ularni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Ikkita mumkin bo'lgan holatlar mavjud: a) sistemaning tenglamalari soni (1;r-1) noma’lumlar soniga teng, ya’ni r=n (bu holda sistema uchburchak ko‘rinishga ega). b) r (1) sistemadan ekvivalent sistemaga (1;r-1) o'tish Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri harakati deyiladi. (1;r-1) sistemadan o'zgaruvchini topish Gauss usulining teskarisidir. Gauss o'zgarishlarini tenglamalar bilan emas, balki ularning koeffitsientlarining kengaytirilgan matritsasi bilan bajarish orqali amalga oshirish qulay. 13-savol. O'xshash matritsalar. Biz faqat n/tartibli kvadrat matritsalarni ko'rib chiqamiz. A matritsa B (A~B) matritsasiga o'xshash deyiladi, agar A=S-1BS bo'lgan yagona bo'lmagan S matritsa mavjud bo'lsa. O'xshash matritsalarning xossalari. 1) A matritsa o'ziga o'xshash. (A~A) Agar S=E bo'lsa, EAE=E-1AE=A bo'ladi 2) Agar A~B boʻlsa, B~A boʻlsa Agar A=S-1VS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B 3) A~B va bir vaqtning o'zida B~C bo'lsa, A~C A=S1-1BS1, va B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3 berilgan. S3 = S2S1 4) O'xshash matritsalarning aniqlovchilari teng. A~B ekanligini hisobga olsak, detA=detB ekanligini isbotlash kerak. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (kamaytirilgan) = detB. 5) O'xshash matritsalarning darajalari mos keladi. Matritsalarning xos vektorlari va xos qiymatlari. l soni nolga teng bo'lmagan X vektori (matritsa ustuni) bo'lsa, AX = l X bo'lsa, X vektor A matritsaning xos vektori deb ataladi va barcha xos qiymatlar to'plami deyiladi. A matritsasining spektri. Xususiy vektorlarning xossalari. 1) Xususiy vektorni songa ko'paytirishda bir xil xos qiymatga ega bo'lgan xos vektorni olamiz. AX = l X; X≠0 a X => A(a X) = a (AX) = a(l X) = = l (aX) 2) Xususiy qiymatlari ikki xil boʻlgan xos vektorlar chiziqli mustaqil l1, l2,.. lk. Tizim 1 vektordan iborat bo'lsin, induktiv qadamni olaylik: S1 X1 +S2 X2 + .. +Sn Xn = 0 (1) – A ga ko‘paytiriladi. C1 AX1 +C2 AX2 + .. +Cn AXn = 0 S1 l1 X1 +S2 l2 X2 + .. +Sn ln Xn = 0 ln+1 ga ko'paytiring va ayiring S1 X1 +S2 X2 + .. +Sn Xn+ Sn+1 Xn+1 = 0 S1 l1 X1 +S2 l2 X2 + .. +Sn ln Xn+ Sn+1 ln+1 Xn+1 = 0 C1 (l1 –ln+1)X1 + C2 (l2 –ln+1)X2 +.. + Cn (ln –ln+1)Xn + Cn+1 (ln+1 –ln+1)Xn+1 = 0 C1 (l1 –ln+1)X1 + C2 (l2 –ln+1)X2 +.. + Cn (ln –ln+1)Xn = 0 C1 = C2 =... = Cn = 0 bo'lishi kerak Sn+1 Xn+1 ln+1 =0 Xarakteristik tenglama. A-lE matritsa A uchun xarakteristik matritsa deyiladi. Nolga teng bo'lmagan X vektor l xos qiymatga mos keladigan A matritsaning xos vektori bo'lishi uchun u bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar (A - lE)X = 0 tizimining yechimi bo'lishi kerak. det (A - XE) = 0 bo'lganda tizim noan'anaviy yechimga ega - bu xarakterli tenglama. Bayonot! Bunday matritsalarning xarakteristik tenglamalari mos keladi. det(S-1AS – lE) = det(S-1AS – l S-1ES) =det(S-1 (A – lE)S) = det S-1 det(A – lE) detS= det(A –) lE) Xarakteristik polinom. det(A – lE) - l parametriga nisbatan funksiya det(A – lE) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)ln-1+..+detA Bu ko'phad A matritsaning xarakteristik ko'phadlari deyiladi. Natija: 1) Agar matritsalar A~B bo'lsa, ularning diagonal elementlarining yig'indisi mos keladi. a11+a22+..+ann = v11+v22+..+vnn 2) o'xshash matritsalarning xos qiymatlari to'plami mos keladi. Agar matritsalarning xarakteristik tenglamalari mos kelsa, ular o'xshash bo'lishi shart emas. A matritsasi uchun B matritsasi uchun https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-lE) = (l11 – l)(l22 – l)…(lnn – l)= 0 n tartibli A matritsani diagonallash mumkin bo'lishi uchun A matritsaning chiziqli mustaqil xos vektorlari mavjud bo'lishi kerak. Natija. Agar A matritsasining barcha xos qiymatlari boshqacha bo'lsa, u diagonallashtiriladi. Xususiy vektorlar va xos qiymatlarni topish algoritmi. 1) xarakteristik tenglama tuzing 2) tenglamalarning ildizlarini toping 3) xos vektorni aniqlash uchun tenglamalar sistemasini tuzamiz. li (A-li E)X = 0 4) yechimlarning fundamental tizimini toping x1,x2..xn-r, bu yerda r - xarakteristik matritsaning darajasi. r =Rg(A - li E) 5) xos vektor, xos qiymatlar li quyidagicha yoziladi: X = S1 X1 +S2 X2 + .. +Sn-r Xn-r, bu erda S12 +S22 +… S2n ≠0 6) matritsani diagonal shaklga keltirish mumkinligini tekshiring. 7) Ag ni toping Ag = S-1AS S= 15-savol. To'g'ri chiziq, tekislik, fazo asosi. https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│, ││). Bu vektor nolga teng bo'lganda vektor moduli nolga teng (│ō│=0) ) 4. Orth vektor. Berilgan vektorning orti - bu berilgan vektor bilan bir xil yo'nalishga ega bo'lgan va moduli birga teng bo'lgan vektor. Teng vektorlar teng vektorlarga ega. 5.Ikki vektor orasidagi burchak. Bu bir xil nuqtadan chiqadigan ikkita nur bilan chegaralangan va berilgan vektorlar bilan bir xil yo'naltirilgan maydonning kichikroq qismidir. Vektor qo'shilishi. Vektorni raqamga ko'paytirish. 1) Ikki vektorni qo'shish https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2)Vektorni skalerga ko'paytirish. Vektor va skalerning mahsuloti yangi vektor bo'lib, unda quyidagilar mavjud: a) = vektor modulining skalerning absolyut qiymatiga ko‘paytmasi. b) skalyar musbat bo'lsa, yo'nalish ko'paytirilayotgan vektor bilan bir xil, manfiy bo'lsa qarama-qarshi. l a(vektor)=>│ l │= │ l │=│ l ││ │ Vektorlar ustida chiziqli amallarning xossalari. 1. Kommunikativlik qonuni. 2. Assotsiativlik qonuni. 3. Nol bilan qo‘shish. a(vektor)+ō= a(vektor) 4. Qarama-qarshi qo‘shilish. 5. (ab) = a(b) = b(a) 6;7.Taqsimot qonuni. Vektorni uning moduli va orti bilan ifodalash. Chiziqli mustaqil vektorlarning maksimal soni bazis deb ataladi. Chiziqdagi asos har qanday nolga teng bo'lmagan vektor hisoblanadi. Tekislikdagi asos har qanday ikkita kalenar bo'lmagan vektor hisoblanadi. Kosmosdagi bazis har qanday uchta tekis bo'lmagan vektorlar tizimidir. Vektorning ma'lum asos bo'yicha kengayish koeffitsienti bu asosdagi vektorning komponentlari yoki koordinatalari deb ataladi. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> skaler bilan qo'shish va ko'paytirish amalini bajarish, natijada biz bunday harakatlarning istalgan sonini olamiz: l1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11" src="> ō ga teng ularning notrivial chiziqli birikmasi mavjud bo'lsa, chiziqli bog'liq deb ataladi. l1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11" src=">, agar ularning notrivial chiziqli birikmasi bo'lmasa, chiziqli mustaqil deyiladi. Chiziqli bog'liq va mustaqil vektorlarning xossalari: 1) nol vektorni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir. l1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11" src="> chiziqli bog'liq edi, ba'zi vektorlar boshqa vektorlarning chiziqli birikmasi bo'lishi kerak. 3) a1(vektor), a2(vektor)... ak(vektor) sistemasidagi ba'zi vektorlar chiziqli bog'liq bo'lsa, barcha vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi. 4) agar barcha vektorlar https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) Koordinatalarda chiziqli amallar. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src="> Nuqta mahsulotining xususiyatlari: 1. Kommutativlik 3. (a;b)=0, agar vektorlar ortoganal bo'lsa yoki vektorlarning ba'zilari 0 ga teng bo'lsa. 4. Taqsimlanish (aa+bb;c)=a(a;c)+b(b;c) 5. a va b ning skalyar ko‘paytmasini ularning koordinatalari bo‘yicha ifodalash https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> () shart bajarilganda h, l=1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> va quyidagi tenglamalarni qanoatlantiradigan uchinchi vektor deyiladi: 3. - to'g'ri Vektorli mahsulotning xususiyatlari: 4. Koordinata birlik vektorlarining vektor ko'paytmasi Ortonormal asos. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Ko'pincha ortonormal bazisning birlik vektorlarini belgilash uchun 3 ta belgidan foydalaniladi https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Agar ortonormal asos bo'lsa, u holda https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- OX o'qiga parallel to'g'ri chiziq tenglamasi 2) - op-amp o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi 2. 2 ta to'g'ri chiziqning o'zaro joylashishi. 1-teorema To'g'ri chiziqlar tenglamalari afin koordinatalar sistemasiga nisbatan berilgan bo'lsin A) U holda ular kesishganda zaruriy va yetarli shart ko‘rinishga ega bo‘ladi: B) U holda chiziqlar parallel bo'lishining zarur va etarli sharti shart: B) U holda satrlarning bittaga birlashishi uchun zarur va yetarli shart bu shart: 3. Nuqtadan chiziqgacha bo‘lgan masofa. Teorema. Dekart koordinata tizimiga nisbatan nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak. Perpendikulyarlik holati. Dekart koordinata tizimiga nisbatan 2 ta to’g’ri chiziq umumiy tenglamalar orqali aniqlansin. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Agar bo'lsa, unda chiziqlar perpendikulyar bo'ladi. 24-savol. Kosmosdagi samolyot. Vektor va tekislikning izchil bo'lishi sharti. Bir nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa. Ikki tekislikning parallellik va perpendikulyarlik sharti. 1. Vektor va tekislikning izchil bo'lish sharti. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Nameless4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Nameless5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. 2 tekislik orasidagi burchak. Perpendikulyarlik holati. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Agar bo'lsa, tekisliklar perpendikulyar. 25-savol. Kosmosda to'g'ri chiziq. Fazodagi to'g'ri chiziq tenglamalarining har xil turlari. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. Fazodagi chiziqning vektor tenglamasi. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Kanonik tenglama to'g'ridan-to'g'ri. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Nameless3.jpg" width="56" height="51">!} Chiziqli algebra masalalari. Matritsa tushunchasi. Matritsalar turlari. Matritsalar bilan amallar. Matritsalarni o'zgartirish masalalarini yechish. Matematikadan turli masalalarni yechishda siz ko'pincha matritsalar deb ataladigan raqamlar jadvallari bilan shug'ullanishingiz kerak. Matritsalardan foydalanib, chiziqli tenglamalar tizimini yechish, vektorlar bilan ko'p operatsiyalarni bajarish, turli xil kompyuter grafikasi masalalarini va boshqa muhandislik masalalarini echish qulay. Matritsa deyiladi
miqdorni o'z ichiga olgan to'rtburchak raqamlar jadvali m chiziqlar va ma'lum bir raqam P ustunlar. Raqamlar T Va P matritsa tartiblari deyiladi. Agar T = P, matritsa kvadrat va raqam deb ataladi m = n - uning buyrug'i. Kelajakda matritsalarni yozish uchun ikkita chiziq yoki qavs ishlatiladi: Yoki Matritsani qisqacha belgilash uchun ko'pincha bitta bosh harf (masalan, A) yoki belgi ishlatiladi. || a ij ||, va ba'zan tushuntirish bilan: A = || a ij || = (a ij), Qayerda (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n). Raqamlar aij, Ushbu matritsaga kiritilganlar uning elementlari deb ataladi. Yozib olishda a ij birinchi indeks і
satr raqami va ikkinchi indeksni bildiradi j- ustun raqami. Kvadrat matritsa holatida Asosiy va ikkilamchi diagonallar tushunchalari kiritiladi. (1.1) matritsaning asosiy diagonali diagonal deyiladi 11 dan 12 gacha …
ann bu matritsaning yuqori chap burchagidan pastki o'ng burchagiga o'tish. Xuddi shu matritsaning yon diagonali diagonal deb ataladi a n 1 a (n -1)2…
a 1 n, pastki chap burchakdan yuqori o'ng burchakka o'tish. Matritsalar ustidagi asosiy amallar va ularning xossalari. Keling, matritsalar ustidagi asosiy amallarni aniqlashga o'tamiz. Matritsa qo'shish. Ikki matritsaning yig'indisi A = || a ij || , Qayerda Va B = || b ij || , Qayerda (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n) bir xil buyruqlar T Va P C = matritsasi deb ataladi || c ij || (i =1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) bir xil buyruqlar T Va P, elementlar ij bilan formula bilan aniqlanadi ,
Qayerda (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.2) Ikki matritsaning yig'indisini belgilash uchun yozuv ishlatiladi C = A + B. Matritsalar yig'indisini tuzish amali ularni qo'shish deyiladi. Shunday qilib, ta'rifga ko'ra: Matritsalar yig'indisining ta'rifidan yoki aniqrog'i (1.2) formulalardan darhol ma'lum bo'ladiki, matritsalarni qo'shish amali haqiqiy sonlarni qo'shish bilan bir xil xususiyatlarga ega, xususan: 1) kommutativ xususiyat: A + B = B + A, 2) assotsiativ mulk: ( A + B) + C = A + (B + C). Ushbu xususiyatlar ikki yoki undan ortiq matritsalarni qo'shganda matritsa atamalarining tartibi haqida tashvishlanmaslik imkonini beradi. Matritsani songa ko'paytirish. A matritsaning ko'paytmasi = || a ij || , bu yerda (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) haqiqiy l soniga ko‘ra, matritsa deyiladi. C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), uning elementlari quyidagi formula bilan aniqlanadi: ,
Qayerda (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.3) Matritsa va sonning mahsulotini belgilash uchun yozuvdan foydalaniladi C = l A yoki C = A l. Matritsaning ko‘paytmasini songa yasash amali matritsani shu songa ko‘paytirish deyiladi. To'g'ridan-to'g'ri (1.3) formuladan ma'lum bo'ladiki, matritsani songa ko'paytirish quyidagi xususiyatlarga ega: 1) son ko'paytiruvchining assotsiativ xususiyati: (l m) A = l (m A); 2) matritsalar yig'indisiga nisbatan taqsimlash xususiyati: l (A + B) = l A + l B; 3) raqamlar yig'indisi bo'yicha taqsimlovchi xususiyat: (l + m) A = l A + m A Izoh. Ikki matritsaning farqi A Va IN bir xil buyurtmalar T Va P bunday matritsani chaqirish tabiiydir BILAN bir xil buyruqlar T Va P, bu matritsa bilan yig'iladi B A matritsani beradi. Ikki matritsaning ayirmasini belgilash uchun natural yozuvdan foydalaniladi: C = A - B. Farq borligini tekshirish juda oson BILAN ikkita matritsa A Va IN qoida bo'yicha olinishi mumkin C = A + (–1) V. Matritsalar mahsuloti yoki matritsalarni ko'paytirish. Matritsa mahsuloti A = || a ij || , bu erda (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) mos ravishda teng buyurtmalarga ega bo'lish T Va n, matritsaga B = || b ij || , Qayerda (i = 1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., p), mos ravishda teng buyurtmalarga ega bo'lish n Va R, matritsa deb ataladi C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), mos ravishda teng buyurtmalarga ega T Va R uning elementlari quyidagi formula bilan aniqlanadi: Matritsaning mahsulotini belgilash uchun A matritsaga IN yozib olishdan foydalaning C = A × B. Matritsa mahsulotini tuzish operatsiyasi A matritsaga IN bu matritsalarni ko'paytirish deyiladi. Yuqorida keltirilgan ta'rifdan kelib chiqadiki A matritsasini har bir B matritsasiga ko'paytirib bo'lmaydi, matritsa ustunlari soni bo'lishi kerak A matritsa qatorlari soniga teng edi IN. Formula (1.4) - matritsaning mahsuloti bo'lgan C matritsasining elementlarini tuzish qoidasi A matritsaga IN. Ushbu qoida og'zaki shaklda tuzilishi mumkin: C = A B matritsaning i-qatori va j-ustunining kesishmasida turgan c i j elementi A va j-chi matritsaning i-qatorining mos keladigan elementlarining juft koʻpaytmalari yigʻindisiga teng. B matritsasining ustuni. Ushbu qoidani qo'llashga misol sifatida biz ikkinchi tartibli kvadrat matritsalarni ko'paytirish formulasini keltiramiz. × = (1.4) formuladan matritsa mahsulotining quyidagi xossalari kelib chiqadi: A matritsada IN: 1) assotsiativ mulk: (A B) C = A (B C); 2) matritsalar yig'indisiga nisbatan taqsimlovchi xususiyat: (A + B) C = A C + B C yoki A (B + C) = A B + A C. Matritsa mahsulotining kommutativ xususiyati haqida savol A matritsaga IN uni faqat kvadrat matritsalar uchun belgilash mantiqan A va B bir xil tartib. O'rin almashish xususiyati ham to'g'ri bo'lgan matritsalarning muhim maxsus holatlarini keltiraylik. Mahsuloti almashtirish xususiyatiga ega bo'lgan ikkita matritsa odatda kommutatsiya deb ataladi. Kvadrat matritsalar orasida biz diagonal matritsalar deb ataladigan sinfni ajratib ko'rsatamiz, ularning har biri nolga teng asosiy diagonaldan tashqarida joylashgan elementlarga ega. Tartibning har bir diagonal matritsasi P kabi ko'rinadi D= Qayerda d 1, d 2,…
,dn- har qanday raqamlar. Ko'rish oson, agar bu raqamlarning barchasi bir-biriga teng bo'lsa, ya'ni. d 1 = d 2 =… =
d n keyin har qanday kvadrat matritsa uchun A buyurtma P tenglik haqiqatdir A D = D A. Barcha diagonal matritsalar orasida (1.5) mos keladigan elementlar bilan d 1 = d 2 =… =
dn= = d Ikki matritsa ayniqsa muhim rol o'ynaydi. Bu matritsalarning birinchisi tomonidan olinadi d = 1, identifikatsiya matritsasi deb ataladi n E. Ikkinchi matritsa qachon olinadi d = 0, nol matritsa deb ataladi n-chi tartib va belgi bilan belgilanadi O. Shunday qilib, E= Yuqorida isbotlangan narsalar tufayli A E = E A Va A O = O A. Bundan tashqari, buni ko'rsatish oson A E = E A = A, A O = O A = 0. (1.6) Formulalarning birinchisi (1.6) identifikatsiya matritsasining alohida rolini tavsiflaydi E, haqiqiy sonlarni ko'paytirishda 1 raqamining roliga o'xshash. Nolinchi matritsaning alohida roliga kelsak HAQIDA, u holda u (1.7) formulalarning ikkinchisi bilan emas, balki elementar tekshiriladigan tenglik orqali ham aniqlanadi. A + 0 = 0 + A = A. Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, nol matritsa tushunchasi kvadrat bo'lmagan matritsalar uchun ham kiritilishi mumkin (nol deyiladi. har qanday matritsa, uning barcha elementlari nolga teng). Blok matritsalari Aytaylik, qandaydir matritsa A = || a ij || gorizontal va vertikal chiziqlar yordamida u alohida to'rtburchaklar hujayralarga bo'linadi, ularning har biri kichikroq o'lchamdagi matritsa bo'lib, asl matritsaning bloki deb ataladi. Bunday holda, asl matritsani ko'rib chiqish mumkin bo'ladi A ba'zi yangi (blok deb ataladigan) matritsa sifatida A = || a a b ||, uning elementlari ko'rsatilgan bloklardir. Biz bu elementlarni katta harf bilan belgilaymiz, ular, umuman olganda, raqamlar emas, balki matritsalar va (oddiy raqamli elementlar kabi) biz ikkita indeks beramiz, birinchisi "blok" qatorining sonini, ikkinchisi esa - "blok" » ustunining raqami. Masalan, matritsa blok matritsasi sifatida qaralishi mumkin Elementlari quyidagi bloklardan iborat: Ajablanarlisi shundaki, blok matritsalari bilan asosiy operatsiyalar oddiy raqamli matritsalar bilan bajariladigan bir xil qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi, faqat bloklar element sifatida ishlaydi. Determinant tushunchasi. Har qanday tartibli ixtiyoriy kvadrat matritsani ko'rib chiqing P: A= Har bir bunday matritsa bilan biz ushbu matritsaga mos keladigan aniqlangan, aniqlovchi deb ataladigan raqamli xarakteristikani bog'laymiz. Buyurtma bo'lsa n(1.7) matritsa bittaga teng bo'lsa, bu matritsa bitta elementdan iborat va men j bunday matritsaga mos keladigan birinchi tartibli determinant, biz ushbu elementning qiymatini chaqiramiz. u holda bunday matritsaga mos keladigan ikkinchi tartibli determinant ga teng sondir a 11 dan 22 gacha - 12 dan 21 gacha va belgilardan biri bilan belgilanadi: Shunday qilib, ta'rifga ko'ra Formula (1.9) mos matritsaning elementlaridan ikkinchi tartibli determinantni qurish qoidasidir. Ushbu qoidaning og'zaki formulasi quyidagicha: (1.8) matritsaga mos keladigan ikkinchi tartibli determinant ushbu matritsaning asosiy diagonalidagi elementlarning ko'paytmasi bilan uning ikkilamchi diagonalidagi elementlarning mahsuloti o'rtasidagi farqga teng. Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishda ikkinchi va undan yuqori darajali aniqlovchilardan keng foydalaniladi. Keling, ular qanday bajarilishini ko'rib chiqaylik MathCad tizimida matritsalar bilan operatsiyalar
. Matritsa algebrasining eng oddiy amallari MathCad dasturida operatorlar shaklida amalga oshiriladi. Operatorlarning yozilishi ma'no jihatidan ularning matematik harakatlariga imkon qadar yaqin. Har bir operator tegishli belgi bilan ifodalanadi. MathCad 2001 da matritsa va vektor amallarini ko'rib chiqamiz. Vektorlar o'lchamli matritsalarning maxsus holatidir. n x 1, shuning uchun matritsalar bilan bir xil amallar ular uchun amal qiladi, agar cheklovlar aniq ko'rsatilmagan bo'lsa (masalan, ba'zi amallar faqat kvadrat matritsalar uchun amal qiladi) n x n). Ba'zi harakatlar faqat vektorlar uchun amal qiladi (masalan, skalyar ko'paytma), ba'zilari esa bir xil yozilishiga qaramay, vektorlar va matritsalarda boshqacha ishlaydi. q OK tugmasini bosgandan so'ng matritsa elementlarini kiritish maydoni ochiladi. Matritsa elementini kiritish uchun kursorni belgilangan joyga qo'ying va klaviaturadan raqam yoki ifodani kiriting. Asboblar paneli yordamida har qanday operatsiyani bajarish uchun sizga kerak: q matritsani tanlang va paneldagi operatsiya tugmasini bosing, q yoki paneldagi tugmani bosing va belgilangan joyga matritsa nomini kiriting. "Rimzlar" menyusi uchta operatsiyani o'z ichiga oladi - ko‘chirish, inversiya, aniqlovchi. Bu, masalan, buyruqni bajarish orqali matritsaning determinantini hisoblashingiz mumkinligini anglatadi Belgilar/matritsalar/aniqlovchi. MathCAD matritsaning birinchi qatori (va birinchi ustuni) raqamini ORIGIN o‘zgaruvchisida saqlaydi. Odatiy bo'lib, hisoblash noldan boshlanadi. Matematik yozuvda 1 dan sanash keng tarqalgan. MathCAD qator va ustun raqamlarini 1 dan sanash uchun ORIGIN:=1 o‘zgaruvchining qiymatini belgilash kerak. Chiziqli algebra masalalari bilan ishlash uchun mo'ljallangan funksiyalar "Vektorlar va matritsalar" bo'limida "Funktsiyani qo'shish" dialog oynasida to'plangan (u "Standart" panelidagi tugma orqali chaqirilishini eslatib o'tamiz). Ushbu funktsiyalarning asosiylari keyinroq tavsiflanadi. Transpoze qilish Tegishli ma'lumotlar. Ushbu mavzu matritsalarni qo'shish va ayirish, matritsani songa ko'paytirish, matritsani matritsaga ko'paytirish va matritsani ko'chirish kabi amallarni o'z ichiga oladi. Ushbu sahifada foydalanilgan barcha belgilar oldingi mavzudan olingan. $A_(m\times n)=(a_(ij))$ va $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matritsalarining $A+B$ yigʻindisi $C_(m) matritsasi deyiladi. \times n) =(c_(ij))$, bunda $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ hamma uchun $i=\overline(1,m)$ va $j=\overline( 1, n) $. Xuddi shunday ta'rif matritsalar farqi uchun ham kiritilgan: $A-B$ matritsalari $A_(m\times n)=(a_(ij))$ va $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matritsalari oʻrtasidagi farq $C_(m\times) matritsasi hisoblanadi. n)=( c_(ij))$, bu yerda $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ barcha $i=\overline(1,m)$ va $j=\overline(1, n) $. $i=\overline(1,m)$ yozuvi uchun tushuntirish: ko'rsatish\yashirish “$i=\overline(1,m)$” yozuvi $i$ parametrining 1 dan m gacha oʻzgarishini bildiradi. Masalan, $i=\overline(1,5)$ belgisi $i$ parametri 1, 2, 3, 4, 5 qiymatlarini olishini bildiradi. Shuni ta'kidlash kerakki, qo'shish va ayirish amallari faqat bir xil o'lchamdagi matritsalar uchun aniqlanadi. Umuman olganda, matritsalarni qo'shish va ayirish intuitiv ravishda tushunarli bo'lgan operatsiyalardir, chunki ular mohiyatan faqat mos keladigan elementlarni yig'ish yoki ayirishni anglatadi. Misol № 1 Uchta matritsa berilgan: $$ A=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(massiv) \o'ng)\;\; B=\left(\begin(massiv) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(massiv) \o'ng); \;\; F=\left(\begin(massiv) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(massiv) \o'ng). $$ $A+F$ matritsasini topish mumkinmi? $C=A+B$ va $D=A-B$ boʻlsa, $C$ va $D$ matritsalarini toping. $A$ matritsasi 2 satr va 3 ustundan iborat (boshqacha aytganda, $A$ matritsasining oʻlchami $2\kart 3$), $F$ matritsasi esa 2 satr va 2 ustundan iborat. $A$ va $F$ matritsalarining oʻlchamlari mos kelmaydi, shuning uchun biz ularni qoʻsha olmaymiz, yaʼni. $A+F$ operatsiyasi bu matritsalar uchun aniqlanmagan. $A$ va $B$ matritsalarining oʻlchamlari bir xil, yaʼni. Matritsa ma'lumotlari teng miqdordagi satr va ustunlarni o'z ichiga oladi, shuning uchun qo'shish operatsiyasi ularga nisbatan qo'llaniladi. $$ C=A+B=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(massiv) \o'ng)+ \left(\begin(massiv) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(massiv) \o'ng)=\\= \left(\begin(massiv) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(massiv) \o'ng)= \left(\begin(massiv) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(massiv) \o'ng) $$ $D=A-B$ matritsasini topamiz: $$ D=A-B=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(massiv) \o'ng)- \left(\begin(massiv) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(massiv) \o'ng)=\\= \left(\begin(massiv) (ccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(massiv) \oʻng)= \left(\begin(massiv) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(massiv) \o'ng) $$ Javob: $C=\left(\begin(massiv) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(massiv) \o'ng)$, $D=\left(\begin(massiv) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(massiv) \o'ng)$. $A_(m\times n)=(a_(ij))$ matritsaning $\alpha$ soniga koʻpaytmasi $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matritsasidir, bunda $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ hamma uchun $i=\overline(1,m)$ va $j=\overline(1,n)$. Oddiy qilib aytganda, matritsani ma'lum songa ko'paytirish berilgan matritsaning har bir elementini shu raqamga ko'paytirishni anglatadi. Misol № 2 Matritsa berilgan: $ A=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(massiv) \right)$. $3\cdot A$, $-5\cdot A$ va $-A$ matritsalarini toping. $$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(massiv) \o'ng) =\left(\begin( massiv) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(massiv) \oʻng)= \left(\begin(massiv) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(massiv) \o'ng).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin) (massiv) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(massiv) \o'ng) =\left(\begin(massiv) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(massiv) \o'ng)= \left(\begin(massiv)) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(massiv) \o'ng). $$ $-A$ yozuvi $-1\cdot A$ ning qisqartmasi hisoblanadi. Ya'ni $-A$ ni topish uchun $A$ matritsasining barcha elementlarini (-1) ga ko'paytirish kerak. Aslida, bu $A$ matritsasining barcha elementlarining belgisi teskari tomonga o'zgarishini anglatadi: $$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(massiv) \o'ng)= \ chap (\begin(massiv) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(massiv) \o'ng) $$ Javob: $3\cdot A=\left(\begin(massiv) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(massiv) \o'ng);\; -5\cdot A=\left(\begin(massiv) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(massiv) \o'ng);\; -A=\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(massiv) \o'ng)$. Ushbu operatsiyaning ta'rifi og'ir va birinchi qarashda noaniq. Shuning uchun, birinchi navbatda, men umumiy ta'rifni ko'rsataman, keyin bu nimani anglatishini va u bilan qanday ishlashni batafsil tahlil qilamiz. $A_(m\times n)=(a_(ij))$ matritsasining $B_(n\times k)=(b_(ij))$ matritsasiga koʻpaytmasi $C_(m\times k) matritsadir. )=(c_( ij))$, buning uchun har bir $c_(ij)$ elementi $A$ matritsasining i-qatorining mos elementlarining j elementlari boʻyicha koʻpaytmalari yigʻindisiga teng. $B$ matritsasining -ustun: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$ Keling, misol yordamida matritsalarni bosqichma-bosqich ko'paytirishni ko'rib chiqaylik. Biroq, darhol ta'kidlash kerakki, barcha matritsalarni ko'paytirish mumkin emas. Agar $A$ matritsasini $B$ matritsasiga koʻpaytirmoqchi boʻlsak, unda birinchi navbatda $A$ matritsasining ustunlari soni $B$ matritsasining satrlari soniga teng ekanligiga ishonch hosil qilishimiz kerak (bunday matritsalar koʻpincha deyiladi. kelishilgan). Masalan, $A_(5\times 4)$ matritsasini (matritsa 5 qator va 4 ustundan iborat) $F_(9\times 8)$ (9 qator va 8 ustun) matritsasiga koʻpaytirib boʻlmaydi, chunki bu raqam $A $ matritsasining ustunlari soni $F$ matritsasi satrlari soniga teng emas, yaʼni. $4\neq 9$. Lekin siz $A_(5\kart 4)$ matritsasini $B_(4\kart 9)$ matritsasiga koʻpaytirishingiz mumkin, chunki $A$ matritsasining ustunlari soni $ matritsasining satrlari soniga teng. B$. Bunda $A_(5\qat 4)$ va $B_(4\kart 9)$ matritsalarini koʻpaytirish natijasi 5 qator va 9 ustundan iborat $C_(5\kart 9)$ matritsasi boʻladi: Misol № 3 Berilgan matritsalar: $ A=\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (massiv) \o'ng)$ va $ B=\left(\begin(massiv) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(massiv) \o'ng) $. $C=A\cdot B$ matritsasini toping. Birinchidan, darhol $C$ matritsasining hajmini aniqlaymiz. $A$ matritsasi $3\qat 4$ va $B$ matritsasi $4\kart 2$ oʻlchamiga ega ekan, $C$ matritsasining oʻlchami: $3\kart 2$: Demak, $A$ va $B$ matritsalarining koʻpaytmasi natijasida uchta satr va ikkita ustundan iborat $C$ matritsasini olishimiz kerak: $ C=\left(\begin(massiv) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(massiv) \o'ng)$. Agar elementlarning belgilanishi savollar tug'dirsa, u holda siz avvalgi mavzuni ko'rishingiz mumkin: "Matritsalar. Matritsalar turlari. Asosiy atamalar", boshida matritsa elementlarining belgilanishi tushuntiriladi. Bizning maqsadimiz: $C$ matritsasining barcha elementlarining qiymatlarini topish. $c_(11)$ elementidan boshlaylik. $c_(11)$ elementini olish uchun $A$ matritsasining birinchi qatori va $B$ matritsasining birinchi ustuni elementlari ko‘paytmalari yig‘indisini topish kerak: $c_(11)$ elementining o'zini topish uchun $A$ matritsasining birinchi qatori elementlarini $B$ matritsasining birinchi ustunining mos keladigan elementlariga ko'paytirish kerak, ya'ni. birinchi element birinchi, ikkinchi ikkinchi, uchinchi uchinchi, to'rtinchi to'rtinchi. Olingan natijalarni umumlashtiramiz: $$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$ Keling, yechimni davom ettiramiz va $c_(12)$ topamiz. Buning uchun $A$ matritsasining birinchi qatori va $B$ matritsasining ikkinchi ustuni elementlarini koʻpaytirish kerak boʻladi: Avvalgisiga o'xshash, bizda: $$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$ $C$ matritsasining birinchi qatorining barcha elementlari topildi. $c_(21)$ elementi bilan boshlanadigan ikkinchi qatorga o'tamiz. Uni topish uchun $A$ matritsasining ikkinchi qatori va $B$ matritsasining birinchi ustunining elementlarini koʻpaytirish kerak boʻladi: $$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$ Keyingi $c_(22)$ elementini $A$ matritsasining ikkinchi qatori elementlarini $B$ matritsasining ikkinchi ustunining mos keladigan elementlariga koʻpaytirish orqali topamiz: $$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$ $c_(31)$ ni topish uchun $A$ matritsasining uchinchi qatori elementlarini $B$ matritsasining birinchi ustuni elementlariga ko‘paytiring: $$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$ Va nihoyat, $c_(32)$ elementini topish uchun $A$ matritsasining uchinchi qatori elementlarini $B$ matritsasining ikkinchi ustunining mos keladigan elementlariga koʻpaytirish kerak boʻladi: $$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$ $C$ matritsasining barcha elementlari topildi, faqat $C=\left(\begin(massiv) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end() ni yozish qoldi. massiv) \right)$ . Yoki to'liq yozish uchun: $$ C=A\cdot B =\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(massiv) \o'ng)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(massiv) \o'ng) =\left(\begin(massiv) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(massiv) \o'ng). $$ Javob: $C=\left(\begin(massiv) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(massiv) \o'ng)$. Aytgancha, ko'pincha natija matritsasining har bir elementining joylashishini batafsil tavsiflash uchun hech qanday sabab yo'q. Hajmi kichik bo'lgan matritsalar uchun buni qilishingiz mumkin: $$ \left(\begin(massiv) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(massiv)\right)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) 4 va 9 \\ - 6 va 90 \end(massiv) \o'ng) =\left(\begin(massiv) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90) ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(massiv) \o'ng) =\chap (\begin(massiv) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(massiv) \o'ng) $$ Shuni ham ta'kidlash kerakki, matritsalarni ko'paytirish kommutativ emas. Bu umumiy holatda $A\cdot B\neq B\cdot A$ ekanligini bildiradi. Faqat matritsalarning ayrim turlari uchun, ular deyiladi almashtiriladigan(yoki qatnovda), $A\cdot B=B\cdot A$ tengligi toʻgʻri. Aynan ko'paytirishning kommutativ emasligiga asoslanib, biz ifodani ma'lum bir matritsaga qanday ko'paytirishimizni aniq ko'rsatishimiz kerak: o'ngda yoki chapda. Masalan, “$3E-F=Y$ tenglikning ikkala tomonini o‘ngdagi $A$ matritsasiga ko‘paytiring” iborasi quyidagi tenglikni olishni xohlayotganingizni bildiradi: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$. $A_(m\times n)=(a_(ij))$ matritsasiga nisbatan koʻchirilgan $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$ matritsasi, $a_(ij)^(T)=a_(ji)$ boʻlgan elementlar uchun. Oddiy qilib aytganda, $A^T$ koʻchirilgan matritsani olish uchun siz asl $A$ matritsasidagi ustunlarni ushbu tamoyilga muvofiq mos keladigan qatorlar bilan almashtirishingiz kerak: birinchi qator bor edi - birinchi ustun boʻladi. ; ikkinchi qator bor edi - ikkinchi ustun bo'ladi; uchinchi qator bor edi - uchinchi ustun bo'ladi va hokazo. Masalan, $A_(3\times 5)$ matritsasiga koʻchirilgan matritsani topamiz: Shunga ko'ra, agar dastlabki matritsaning o'lchami $3\kart 5$ bo'lsa, u holda ko'chirilgan matritsaning o'lchami $5\kart 3$ bo'ladi. Bu erda $\alpha$, $\beta$ ba'zi raqamlar, $A$, $B$, $C$ matritsalar deb taxmin qilinadi. Birinchi to'rtta xususiyat uchun men nomlarni ko'rsatdim, qolganlarini birinchi to'rttasiga o'xshash tarzda nomlash mumkin. Ma’ruza 1. “Matritsalar va ular ustidagi asosiy amallar. Aniqlovchilar
Ta'rif.
Matritsa hajmi m
n, Qayerda m- qatorlar soni, n- ustunlar soni, ma'lum bir tartibda joylashtirilgan raqamlar jadvali deb ataladi. Bu raqamlar matritsa elementlari deb ataladi. Har bir elementning joylashuvi o'ziga xos tarzda u joylashgan kesishgan satr va ustunning soni bilan belgilanadi. Matritsaning elementlari belgilangana ij, Qayerda i- qator raqami va j- ustun raqami. A = Matritsalar ustidagi asosiy amallar.
Matritsa bitta satr yoki bitta ustundan iborat bo'lishi mumkin. Umuman olganda, matritsa hatto bitta elementdan iborat bo'lishi mumkin. Ta'rif.
Agar matritsa ustunlari soni qatorlar soniga teng bo'lsa (m = n), u holda matritsa deyiladi. kvadrat.
Ta'rif.
Matritsani ko'rish: chaqirdi identifikatsiya matritsasi.
Ta'rif.
Agar a
mn
=
a
nm
, keyin matritsa chaqiriladi simmetrik.
Misol. Ta'rif.
Shaklning kvadrat matritsasi Qo‘shish va ayirish matritsalar ularning elementlari ustidagi tegishli amallarga qisqartiriladi. Bu operatsiyalarning eng muhim xususiyati shundaki, ular faqat bir xil o'lchamdagi matritsalar uchun aniqlanadi. Shunday qilib, matritsalarni qo'shish va ayirish operatsiyalarini aniqlash mumkin: Ta'rif.
Sum (farq) matritsalar - bu matritsa bo'lib, uning elementlari mos ravishda dastlabki matritsalar elementlarining yig'indisi (farqi). c ij = a ij
b ij C = A + B = B + A. Operatsiya ko'paytirish (bo'lish) ixtiyoriy son bilan har qanday o'lchamdagi matritsa matritsaning har bir elementini shu raqamga ko'paytirish (bo'lish) uchun qisqartiriladi. (A+B) = A B A( ) = A A Misol. Berilgan matritsalar A = 2A = Matritsalarni ko‘paytirish amali.
Ta'rif:
Ish matritsalar - elementlarini quyidagi formulalar yordamida hisoblash mumkin bo'lgan matritsa: A
B =
C;
Yuqoridagi ta'rifdan ma'lum bo'ladiki, matritsalarni ko'paytirish amali faqat matritsalar uchun aniqlanadi birinchisining ustunlari soni ikkinchisining satrlari soniga teng.
Matritsani ko'paytirish amalining xossalari.
1) Matritsalarni ko'paytirishkommutativ emas
, ya'ni. AB Ikkala mahsulot ham aniqlangan bo'lsa ham VA. Lekin har qanday matritsalar uchun AB = BA munosabati qanoatlansa, bunday matritsalar deyiladi.almashtiriladigan.
Eng tipik misol
bir xil o'lchamdagi har qanday boshqa matritsa bilan almashinadigan matritsa. Faqat bir xil tartibdagi kvadrat matritsalar almashtirilishi mumkin. Shubhasiz, har qanday matritsalar uchun quyidagi xususiyat mavjud: A
O =
O;
O
A =
O,
qaerda O - nol matritsa. 2) Matritsani ko‘paytirish amali assotsiativ, bular. agar AB va (AB)C ko'paytmalari aniqlangan bo'lsa, u holda BC va A (BC) aniqlanadi va tenglik bajariladi: (AB)C=A(BC). 3) Matritsani ko‘paytirish amali tarqatuvchi qo'shishga nisbatan, ya'ni. agar A(B+C) va (A+B)C iboralari ma’noli bo‘lsa, mos ravishda: (A + B)C = AC + BC. 4) Agar AB mahsuloti aniqlangan bo'lsa, u holda istalgan son uchun
quyidagi nisbat to'g'ri: (AB) = (
A)
B =
A(
B).
5) Agar AB mahsuloti aniqlansa, B T A T mahsuloti aniqlanadi va tenglik bajariladi: (AB) T = B T A T, bu erda T indeksini bildiradi ko'chirilgan matritsa. 6) Shuni ham yodda tutingki, har qanday kvadrat matritsalar uchun det (AB) = detA detB. Nima bo'ldi det quyida muhokama qilinadi. Ta'rif
.
B matritsasi deyiladi ko'chirilgan A matritsasi va A dan B ga o'tish transpozitsiya, agar A matritsaning har bir satrining elementlari B matritsa ustunlarida bir xil tartibda yozilsa. A = boshqacha qilib aytganda, b ji = a ij . Oldingi xususiyat (5) natijasida biz quyidagilarni yozishimiz mumkin: (ABC ) T = C T B T A T , ABC matritsalarining mahsuloti aniqlangan holda. Misol.
Berilgan matritsalar A = A T =
C =
Misol. A = va B = matritsalarining mahsulotini toping AB = VA = Misol. A= matritsalarining mahsulotini toping AB = Aniqlovchilar(determinantlar). Ta'rif.
Aniqlovchi kvadrat matritsasi A= det A = M 1 gacha– birinchi qatorni va k-ustunni o‘chirish orqali asl nusxadan olingan matritsaning determinanti. Shuni ta'kidlash kerakki, determinantlar faqat kvadrat matritsalarga ega, ya'ni. qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lgan matritsalar. F det A = Umuman olganda, determinant matritsaning istalgan satri yoki ustunidan hisoblanishi mumkin, ya'ni. formula to'g'ri: detA = Shubhasiz, turli matritsalar bir xil determinantlarga ega bo'lishi mumkin. Identifikatsiya matritsasining determinanti 1 ga teng. Belgilangan A matritsa uchun M 1k soni chaqiriladi qo'shimcha kichik matritsa elementi a 1 k. Shunday qilib, matritsaning har bir elementi o'ziga xos qo'shimcha minorga ega degan xulosaga kelishimiz mumkin. Qo'shimcha kichiklar faqat kvadrat matritsalarda mavjud. Ta'rif.
Qo'shimcha kichik kvadrat matritsaning ixtiyoriy elementi a ij i-satr va j-ustunni o‘chirish orqali asl nusxadan olingan matritsaning determinantiga teng. Mulk 1.
Determinantlarning muhim xususiyati quyidagi munosabatlardir: det A = det A T; Mulk
2.
det (A
B) = det A
det B. Mulk 3.
det (AB) =
detA
detB Mulk 4.
Agar kvadrat matritsadagi har qanday ikkita satr (yoki ustun) almashtirilsa, matritsaning determinanti mutlaq qiymatni o'zgartirmasdan belgini o'zgartiradi. Mulk 5.
Matritsaning ustunini (yoki qatorini) raqamga ko'paytirganda, uning determinanti shu raqamga ko'paytiriladi. Mulk 6.
Agar A matritsada satrlar yoki ustunlar chiziqli bog'liq bo'lsa, uning determinanti nolga teng. Ta'rif:
Matritsaning ustunlari (satrlari) deyiladi chiziqli bog'liq, agar ularning nolga teng chiziqli birikmasi mavjud bo'lsa, u nol bo'lmagan (nol bo'lmagan) echimlarga ega. Mulk 7.
Agar matritsada nol ustun yoki nol qator bo'lsa, uning determinanti nolga teng. (Bu bayonot aniq, chunki determinantni nol qator yoki ustun bilan aniq hisoblash mumkin.) Mulk 8.
Agar matritsaning determinanti uning satrlaridan (ustunlaridan) birining elementlariga boshqa satr (ustun) elementlari qo‘shilsa (ayirilsa), nolga teng bo‘lmagan istalgan songa ko‘paytirilsa, uning determinanti o‘zgarmaydi. Mulk 9.
Agar matritsaning istalgan satri yoki ustuni elementlari uchun quyidagi munosabat to'g'ri bo'lsa:d
=
d
1
d
2
,
e
=
e
1
e
2
,
f
= det (AB).
1-usul: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26. 2-usul: AB =
– 152 = -26.
Matritsalar, asosiy tushunchalar. Matritsa - bu ma'lum bir to'plamning elementlaridan tuzilgan va m satr va n ta ustundan iborat to'rtburchaklar jadval A. Kvadrat matritsa - bu erda m=n. Qator (qator vektor) - matritsa bir qatordan iborat. Ustun (ustun vektori) - matritsa bitta ustundan iborat. Transpozitsiyalangan matritsa - A matritsasidan satrlarni ustunlar bilan almashtirish orqali olingan matritsa. Diagonal matritsa - bu asosiy diagonalda bo'lmagan barcha elementlar nolga teng bo'lgan kvadrat matritsa. Matritsalar ustida amallar. 1) Matritsani songa ko‘paytirish va bo‘lish. A matritsa va a sonining ko'paytmasi Axa matritsa deb ataladi, uning elementlari A matritsa elementlaridan a soniga ko'paytirish yo'li bilan olinadi. Misol: 7xA, , 2) Matritsalarni ko‘paytirish. Ikki matritsani ko'paytirish operatsiyasi faqat birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchi matritsaning satrlari soniga teng bo'lgan holatda joriy etiladi. Misol: ,, AxV= Matritsalarni ko‘paytirish xossalari: A*(B*C)=(A*B)*C; A * (B + C) = AB + AC (A+B)*C=AC+BC; a(AB) = (aA)B, (A+B) T =A T +B T (AB) T =B T A T 3) qo‘shish, ayirish. Matritsalarning yig'indisi (farqi) - bu matritsa bo'lib, uning elementlari mos ravishda dastlabki matritsalar elementlarining yig'indisi (farq) bo'ladi. c ij = a ij b ij C = A + B = B + A. Funksiyalarning nuqtadagi, intervaldagi, segmentdagi uzluksizligi. Funksiyalarning uzilish nuqtalari va ularning tasnifi. Muayyan x 0 nuqtaning qo'shnisida aniqlangan f(x) funksiya x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agar funktsiya chegarasi va uning bu nuqtadagi qiymati teng bo'lsa, ya'ni. f(x) funksiya x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agar har qanday musbat e>0 son uchun D>0 son bo'lsa, har qanday x uchun shartni qanoatlantiradi. tengsizlik haqiqatdir Agar funktsiyaning x 0 nuqtadagi o'sishi cheksiz kichik qiymat bo'lsa, f(x) funksiya x = x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi. f(x) =f(x 0) +a(x) bu yerda a(x) x®x 0 da cheksiz kichikdir. Uzluksiz funksiyalarning xossalari. 1) x 0 nuqtada uzluksiz funksiyalarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi x 0 nuqtada uzluksiz funksiyadir. 2) Ikki uzluksiz funktsiyaning qismi x 0 nuqtada g(x) nolga teng bo'lmasa, uzluksiz funksiya hisoblanadi. 3) Uzluksiz funksiyalarning superpozitsiyasi uzluksiz funksiyadir. Bu xususiyatni quyidagicha yozish mumkin: Agar x = x 0 nuqtada u=f(x),v=g(x) uzluksiz funksiyalar bo'lsa, v=g(f(x)) funksiya ham shu nuqtada uzluksiz funksiya hisoblanadi. Funktsiya f(x) deyiladi intervalda uzluksiz(a,b), agar bu intervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa. Intervalda uzluksiz funksiyalarning xossalari. Intervalda uzluksiz bo'lgan funksiya bu oraliqda chegaralangan, ya'ni. -M f(x) M sharti segmentda bajariladi. Bu xususiyatning isboti x 0 nuqtasida uzluksiz bo'lgan funksiya uning ma'lum bir qo'shnisida chegaralanganligiga asoslanadi va agar siz segmentni nuqtaga "qisqartirilgan" cheksiz sonli segmentlarga ajratsangiz. x 0 bo'lsa, u holda x 0 nuqtasining ma'lum bir qo'shnisi hosil bo'ladi. Segmentda uzluksiz bo'lgan funksiya undagi eng katta va eng kichik qiymatlarni oladi. Bular. f(x 1) = m, f(x 2) = M, va x 1 va x 2 qiymatlari mavjud. m f(x) M Funktsiya segmentni bir necha marta olishi mumkin bo'lgan eng katta va eng kichik qiymatlarga e'tibor bering (masalan, f(x) = sinx). Funksiyaning intervaldagi eng katta va eng kichik qiymatlari orasidagi farq funksiyaning intervaldagi tebranishi deb ataladi. Intervalda uzluksiz bo'lgan funksiya bu oraliqda ikkita ixtiyoriy qiymat orasidagi barcha qiymatlarni oladi. Agar f(x) funksiya x = x 0 nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda x 0 nuqtaning qandaydir qo'shnisi mavjud bo'lib, unda funktsiya o'z belgisini saqlab qoladi. Agar f(x) funksiya segmentda uzluksiz bo'lsa va segmentning uchlarida qarama-qarshi belgilar qiymatlariga ega bo'lsa, u holda bu segment ichida f(x) = 0 bo'lgan nuqta mavjud. O'qish foydali bo'lishi mumkin:
(1.1) + 
= 
Qayerda (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)
(1.5)
O= 
(1.7)
(1.9)
Ko'rsatilgan dialog oynasida matritsaning qatorlari va ustunlari sonini belgilang.
2-rasm Matritsalarni ko'chirish
MathCAD-da siz ikkala matritsalarni qo'shishingiz va ularni bir-biridan ayirishingiz mumkin. Ushbu operatorlar uchun ishlatiladigan belgilar <+>
yoki <->
mos ravishda. Matritsalar bir xil o'lchamga ega bo'lishi kerak, aks holda xato xabari hosil bo'ladi. Ikki matritsa yig'indisining har bir elementi matritsa-buyruqlarning mos keladigan elementlari yig'indisiga teng (3-rasmdagi misol).
Matritsalarni qo'shishdan tashqari, MathCAD skalyar miqdorga ega matritsani qo'shish operatsiyasini qo'llab-quvvatlaydi, ya'ni. raqam (4-rasmdagi misol). Olingan matritsaning har bir elementi asl matritsaning mos keladigan elementi va skalyar miqdor yig'indisiga teng.
Ko'paytirish belgisini kiritish uchun yulduzcha tugmachasini bosishingiz kerak<*>yoki asboblar panelidan foydalaning Matritsa undagi tugmani bosish orqali Nuqta mahsuloti (ko‘paytirish)(1-rasm). Matritsani ko'paytirish sukut bo'yicha 6-rasmdagi misolda ko'rsatilganidek, nuqta bilan belgilanadi. Matritsani ko'paytirish belgisini skaler ifodalardagi kabi tanlash mumkin.
Vektorni qator matritsaga va aksincha, qatorni vektorga ko'paytirish bilan bog'liq yana bir misol rasmda ko'rsatilgan. 7. Ushbu misolning ikkinchi qatori ko'paytirish operatorini ko'rsatishni tanlaganingizda formula qanday ko'rinishini ko'rsatadi Bo'sh joy yo'q (Birgalikda). Biroq, bir xil ko'paytirish operatori ikkita vektorda boshqacha ishlaydi .
Matritsalarni qo'shish va ayirish.
Matritsani songa ko'paytirish.
Ikki matritsaning mahsuloti.
Matritsalar ustida amallarning ayrim xossalari.
= E
,
- simmetrik matritsa
chaqirdi diagonal matritsa.
; B= 
, 2A + B ni toping.
, 2A + B = 
.
.
A E = E A = A
A(B + C) = AB + AC
; B = A T = 
;
, B =, C = 
va raqam = 2. A T B+ C ni toping.
;
A T B =
=
=
;
; A T B+ C = +
=
.
.
= 
.
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
, B = 
= 
= 
.
matritsa elementlaridan quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin bo'lgan raqam:
, bu erda (1)
formula (1) matritsaning determinantini birinchi qatordan hisoblash imkonini beradi; birinchi ustundan determinantni hisoblash formulasi ham amal qiladi:
(2)
, i = 1,2,…,n. (3)
,
det (AB) = 7
18 - 8
19 = 126 –
.
.2-savol.
.