Fallende Körper unter Berücksichtigung des Luftwiderstands. „Luftwiderstand verringert die Wurfreichweite, aber Dummheitswiderstand erhöht die Lebensdauer. Modellierung als Methode wissenschaftlicher Erkenntnis

Anweisung

Finden Sie die Kraft des Bewegungswiderstands, die auf einen sich gleichmäßig geradlinig bewegenden Körper wirkt. Messen Sie dazu mit einem Dynamometer oder auf andere Weise die Kraft, die auf den Körper ausgeübt werden muss, damit er sich gleichmäßig und geradlinig bewegt. Nach dem dritten Newtonschen Gesetz ist sie numerisch gleich der Widerstandskraft gegen die Bewegung des Körpers.

Um diese Methode in die Praxis umzusetzen, basiert das verwendete Gerät auf nächstes Prinzip. Wir wenden ein wenig auf die Aufhängepunkte der Unterabschnitte aufeinanderfolgender Abschnitte an und lassen aufeinanderfolgende Abschnitte von 20 m zwischen diesen Punkten. Nehmen wir an, dass an den Aufhängepunkten elektrische Kontakte vorhanden sind, die unter dem Einfluss einer sehr geringen Anziehungskraft des Drahtes funktionieren und gemäß einer bekannten Anordnung mit einem Stift verbunden sind, der für einen rotierenden Zylinder geeignet ist.

Platzieren Sie einen schweren Körper auf dem freien Ende des Drahtes. Der Abflugzeitpunkt wird durch den ersten Kontakt auf dem Zylinder fixiert, und sobald der Körper 20 m tief fällt, trägt er den ersten Abschnitt des Drahtes mit sich, der sich vertikal entlang des Körpers entwickelt, der Kontakt wird aktiviert umdrehen usw. Sobald die Bewegung gleichmäßig wird, wird sie in der Grafik sichtbar, da die seriellen Kontakte in gleichen Zeitabständen arbeiten. Diese in Hundertstelsekunden gemessenen Intervalle ergeben aufgrund der Sinusförmigkeit der Stimmgabelkurve sofort eine gleichmäßige Geschwindigkeit des sich bewegenden Körpers.

Bestimmen Sie die Widerstandskraft gegen die Bewegung eines Körpers, der sich entlang einer horizontalen Fläche bewegt. In diesem Fall ist die Reibungskraft direkt proportional zur Reaktionskraft des Trägers, die wiederum gleich der auf den Körper wirkenden Schwerkraft ist. Daher ist die Bewegungswiderstandskraft in diesem Fall bzw. die Reibungskraft Ftr gleich dem Produkt aus der Körpermasse m, die durch Gewichte in Kilogramm gemessen wird, der freien Fallbeschleunigung g≈9,8 m/s² und dem Proportionalitätsfaktor μ, Ftr = μ∙m∙g. Die Zahl μ wird als Reibungskoeffizient bezeichnet und hängt von den Oberflächen ab, die bei der Bewegung in Kontakt kommen. Für die Reibung von Stahl auf Holz beträgt dieser Koeffizient beispielsweise 0,5.

Praktisches Gerätegerät

Hier ist eine Beschreibung eines Fallapparats, beschrieben von Gustave Eiffel selbst. In der Praxis wäre es unmöglich, aufeinanderfolgende Drahtabschnitte im Raum schweben zu lassen, die aufgrund von Luftströmungen miteinander verwickelt würden. Diese Unannehmlichkeit wurde durch die Verwendung der folgenden Mittel vermieden.

Man kann sich vorstellen, dass der Faden, getragen vom Fall eines sich bewegenden Körpers, diesem mit größter Haltung folgt; Aufgrund ihrer konischen Form ermöglichen diese Spulen, obwohl sie unbeweglich sind, ein sozusagen reibungsfreies Abrollen dieses Fadens. Die Verzögerung wurde, wie weiter unten zu sehen sein wird, als direktes Maß für den Widerstand gegen das Abwickeln des Garns geschätzt. Durch diesen Clip fließt ein elektrischer Strom, der den Griff des Rekorders zum Leben erweckt und bricht, wenn zwei Zweige austreten. Wenn sich der Kegel C entfaltet, zerstreut der am beweglichen Körper befestigte Draht kurzzeitig die Klemmarme und öffnet den Strom, der sofort wiederhergestellt wird.

Berechnen Sie die Widerstandskraft gegen die Bewegung eines Körpers, der sich entlang einer schiefen Ebene bewegt. Sie hängt neben dem Reibungskoeffizienten μ, der Körpermasse m und der freien Fallbeschleunigung g vom Neigungswinkel der Ebene zum Horizont α ab. Um in diesem Fall die Kraft des Bewegungswiderstands zu ermitteln, müssen Sie das Produkt aus Reibungskoeffizient, Körpermasse, Beschleunigung des freien Falls und dem Kosinus des Winkels ermitteln, in dem die Ebene zum Horizont geneigt ist Ftr=μ∙m ∙g∙cos(α).

Dabei hinterlässt der Griff des Rekorders eine Spur auf dem rotierenden Zylinder. Dann erfolgt wiederum der Kegel C 2; die zweite Klemme öffnet sich nach einem weiteren Hub von 20 m usw. ). Zur Schätzung des doppelten Widerstands, der durch Drahtabwickeln, Luftreibung und andere passive Widerstände verursacht werden kann, wurden mehrere Methoden verwendet.

Ein zylindrischer Baumpfeil, der an seiner Unterseite mit Ballast versehen ist, wird durch eine Metallmasse abgesenkt, die an einer konischen Spitze endet. Aufgrund seines kleinen Querschnitts und der länglichen Form weist dieser Ausleger selbst einen minimalen Luftwiderstand auf. Daher muss davon ausgegangen werden, dass sich die Fallbewegung nicht wesentlich von der im Vakuum unterscheidet.

Wenn sich ein Körper mit geringer Geschwindigkeit in der Luft bewegt, ist die Bewegungswiderstandskraft Fс direkt proportional zur Geschwindigkeit des Körpers v, Fc=α∙v. Der Koeffizient α hängt von den Eigenschaften des Körpers und der Viskosität des Mediums ab und wird separat berechnet. Bei Bewegungen mit hoher Geschwindigkeit, beispielsweise wenn ein Körper aus großer Höhe fällt oder ein Auto sich bewegt, ist die Widerstandskraft direkt proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit Fc=β∙v². Für hohe Geschwindigkeiten wird zusätzlich der Beiwert β berechnet.

Schema eines Geräts zur Messung des Sturzes von Körpern

Diese letzte Schlussfolgerung gilt auch dann, wenn der mögliche Widerstand aufgrund des eingeklemmten Drahtes vernachlässigbar ist. (2) Die zweite Möglichkeit zur Überprüfung bestand darin, das völlig freie Rad fallen zu lassen und es nicht am Draht zu befestigen. Der Moment seines Abgangs wird mit einem elektrischen Stift festgehalten, dessen Schema durch den Fall des Körpers im Moment seiner Bewegung unterbrochen wird. Beim Erreichen des Bodens trifft dieses Mobile auf eine von Federn getragene Holzplatte, durch die eine Strömung fließt, die den Griff des Rekorders antreibt.

Zur Bestimmung Stärke Widerstand Luft Bedingungen schaffen, unter denen sich der Körper unter dem Einfluss der Schwerkraft gleichmäßig und geradlinig zu bewegen beginnt. Berechnen Sie den Wert der Schwerkraft, er entspricht der Luftwiderstandskraft. Bewegt sich ein Körper in der Luft und nimmt an Geschwindigkeit zu, wird seine Widerstandskraft mithilfe der Newtonschen Gesetze ermittelt. Die Luftwiderstandskraft kann auch anhand des Erhaltungssatzes der mechanischen Energie und spezieller aerodynamischer Formeln ermittelt werden.

Im Moment des Aufpralls gibt die Platte nach und der Strom wird unterbrochen, so dass sowohl der Ankunftszeitpunkt als auch der Abflugzeitpunkt festgelegt sind. Vergleicht man die so erhaltene Gesamtzeit des freien Falls mit derselben mobilen Verbindung, die an den Draht und die Steuerklemmen angeschlossen ist, ergibt sich aus der Differenz dieser Dauern die Summe der Verzögerungen, die dieses Schiff durch passive Widerstände erleidet, da die durch den Drahtwiderstand verursachte Verzögerung geringer ist als 1 %.

Mit dem Gerät konnte nachgewiesen werden, dass der Widerstand, den Luft den Ebenen gleicher Oberfläche entgegensetzt, die sich in einer Richtung senkrecht zu diesen Ebenen bewegen, nicht von deren Form abhängt. Für runde, quadratische, dreieckige Flächen ergeben sich gleiche Fallzeiten, wie in Abb. zu sehen ist. 321, Diagramme 3, und diese Zahl stellt eine Reduzierung auf ein Viertel der tatsächlichen Diagramme dar. Die Darstellung der Schwinggabel erfolgt unter der Annahme, dass sie 25 Schwingungen pro Sekunde ausführt.

Du wirst brauchen

Entfernungsmesser, Waage, Tachometer oder Radar, Lineal, Stoppuhr.

Anweisung

Vor der Messung Widerstand Wenn Sie einen gebrauchten Widerstand verwenden, müssen Sie ihn unbedingt von der alten Platine oder dem alten Block ablöten. Andernfalls kann es zu einer Überbrückung durch andere Teile des Stromkreises kommen und Sie erhalten falsche Messwerte. Widerstand.

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Zwei quadratische Flächen, deren Flächen zwischen 1 und 2 lagen, wurden mit Gewichten gewogen, die im gleichen Verhältnis standen. Die Fallzeiten betrugen ungefähr 6,92 Sekunden bzw. 6,96 Sekunden gleiche Zahlen und wonach Verhältnismäßigkeit anzuerkennen ist.

Die zahlreichsten Experimente wurden durchgeführt, um den Luftwiderstand einer sich bewegenden ebenen Fläche in Kilogramm pro Quadratmeter abzuschätzen und nach dem Gesetz der Änderung dieses Widerstands in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit zu suchen. Es ist bekannt, dass allgemein angenommen wird, dass der Luftwiderstand proportional zur Oberfläche und zum Quadrat der Geschwindigkeit des sich bewegenden Körpers ist, zumindest für Durchschnittsgeschwindigkeiten wie die hier diskutierten.

Um den elektrischen Widerstand eines Leiters zu ermitteln, verwenden Sie die entsprechenden Formeln. Der Widerstand eines Stromkreisabschnitts wird nach dem Ohmschen Gesetz ermittelt. Wenn das Material und die geometrischen Abmessungen des Leiters bekannt sind, kann sein Widerstand mithilfe einer speziellen Formel berechnet werden.

Diese Experimente wurden unter Verwendung eines Rahmens mit einem Radius von 9 m durchgeführt, an dessen Ende ein Balken befestigt war, der mit Hilfe einer Kardanaufhängung in alle Richtungen um seinen Mittelpunkt bewegt werden konnte und Messungen in Richtung des wirkenden Drucks ermöglichte das Flugzeug. Die Ebene selbst könnte in ihrer Längenrichtung parallel oder geneigt zur Bewegungsrichtung liegen.

Gustav Eiffel Windkanal, heute in Auteuil. Leider war dieses Labor nicht effizient genug und die Methoden verbesserten es durch die Entwicklung eines Windkanals, um Materialien unter realitätsnahen Bedingungen zu testen. Dieser Windkanal ermöglichte es ihm, sein Wissen über die Eigenschaften von Materialien zu verbessern, denen der Wind ausgesetzt ist. Dieses neue Labor wurde mit zwei Turbinen ausgestattet.

Du wirst brauchen

- Prüfer;
- Bremssattel;
- Herrscher.

Anweisung

Denken Sie daran, was das Konzept eines Widerstands bedeutet. IN dieser Fall Ein Widerstand ist jeder Leiter oder jedes Element eines Stromkreises, das einen aktiven Widerstand aufweist. Nun ist es wichtig zu fragen, wie sich die Änderung des Widerstandswertes auf den Stromwert auswirkt und wovon dieser abhängt. Das Wesen des Widerstandsphänomens liegt darin, dass die Atome der Widerstandssubstanz eine Art Durchgangsbarriere bilden elektrische Aufladungen. Je höher der Widerstand eines Stoffes ist, desto dichter sind die Atome im Gitter eines widerstandsfähigen Stoffes angeordnet. Dieses Muster erklärt das Ohmsche Gesetz für den Kettenabschnitt. Wie Sie wissen, lautet das Ohmsche Gesetz für einen Stromkreisabschnitt wie folgt: Die Stromstärke in einem Stromkreisabschnitt ist direkt proportional zur Spannung in dem Abschnitt und umgekehrt proportional zum Widerstand des Stromkreisabschnitts selbst.

In Bezug auf herabfallende Körper und Luftwiderstand war der Eiffelturm sehr hilfreich. Im folgenden Link sprechen Sie vollständig über diese Experimente, es wurde damals geschrieben. Die maximale Geschwindigkeit, mit der ein gestürzter Körper aufgrund der Luftreibung fallen kann, hängt auch von der Masse des Körpers ab? Gibt es dafür eine Formel?

Begrenzung der Geschwindigkeit des freien Falls eines Körpers

Bei seiner Bewegung trifft der Körper auf eine Kraft, die ihn verlangsamt: den Luftwiderstand, der mit der freien Geschwindigkeit des Körpers zunimmt. Irgendwann haben Gravitationskraft und Luftwiderstand die gleiche Intensität: Von diesem Moment an nimmt die Geschwindigkeit des Körpers nicht mehr zu, sondern bleibt konstant, da die beiden auf ihn wirkenden Kräfte gleich und entgegengesetzt sind. Auch die durch den Luftwiderstand verursachte Geschwindigkeitsabnahme unterliegt dem genannten zweiten Prinzip der Dynamik.

Zeichnen Sie auf einem Blatt Papier ein Diagramm der Abhängigkeit des Stroms von der Spannung am Widerstand sowie von seinem Widerstand basierend auf dem Ohmschen Gesetz. Im ersten Fall erhalten Sie einen Hyperbelgraphen und im zweiten Fall einen Geradengraphen. Somit ist die Stromstärke umso größer, je größer die Spannung am Widerstand und je kleiner der Widerstand ist. Darüber hinaus ist die Widerstandsabhängigkeit hier stärker ausgeprägt, da sie die Form einer Hyperbel hat.

Dies ist eine qualitative Analyse des Phänomens. Der Übergang zur quantitativen Forschung ist schwieriger, zumal es schwierig ist, die analytische Form der Kraft, die wir „Luftwiderstand“ genannt haben, zu formulieren. Es gibt kein Problem mit der „Schwerkraft“: Gemäß dem betrachteten makroskopischen Fall ist das Gesetz der universellen Schwerkraft verantwortlich. Wir können ziemlich verständliche Anleihen aus der Fluiddynamik zitieren. Sie wird experimentell ermittelt und ist eine Funktion der Geschwindigkeit des Körpers. G spezifisches Gewicht des Mediums, in das der Körper eingetaucht ist.

Beachten Sie, dass sich auch der Widerstandswert eines Widerstands ändert, wenn sich seine Temperatur ändert. Wenn Sie das Widerstandselement erhitzen und die Änderung der Stromstärke beobachten, können Sie sehen, wie die Stromstärke mit steigender Temperatur abnimmt. Dieses Muster erklärt sich aus der Tatsache, dass mit zunehmender Temperatur die Schwingungen der Atome in den Knoten des Kristallgitters des Widerstands zunehmen und dadurch der freie Raum für den Durchgang geladener Teilchen verringert wird. Ein weiterer Grund, der in diesem Fall die Stromstärke verringert, ist die Tatsache, dass mit steigender Temperatur der Substanz die chaotische Bewegung der Teilchen, auch der geladenen, zunimmt. Dadurch wird die Bewegung freier Teilchen im Widerstand chaotischer als gerichtet, was sich auf die Abnahme der Stromstärke auswirkt.

Gegenstände fallen unabhängig von ihrem Gewicht mit der gleichen Geschwindigkeit. Leichter zu sagen, weniger leicht zu verstehen, worin Jungen gut sind. Eines Tages vor ein paar Jahren kam meine Tochter nach Hause Grundschule, sagte mir: „Heute haben wir gelernt, dass schwere Dinge schneller fallen als leichte.“ Als er mein Gesicht sah, fühlte er sich sofort gezwungen hinzuzufügen: Was ist das?

Wiegt es mehr als eine Person mit oder ohne Rucksack?

Natürlich kann man einem leiblichen Vater so etwas nicht sagen und dann hoffen, dass man mit den Puppen spielen kann, als wäre nichts gewesen. Aber wie erklärt man einem Kind, dass die Schwerkraft für alle Körper die gleiche Beschleunigung und damit die gleiche Fallgeschwindigkeit bestimmt?

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Bei realen physikalischen Bewegungen von Körpern in einem gasförmigen oder flüssigen Medium hinterlässt die Reibung einen großen Einfluss auf die Art der Bewegung. Jeder versteht, dass ein Gegenstand heruntergefallen ist Hohe Höhe(zum Beispiel ein Fallschirmspringer, der aus einem Flugzeug gesprungen ist) bewegt sich überhaupt nicht mit gleichmäßiger Beschleunigung, da mit zunehmender Geschwindigkeit die Widerstandskraft des Mediums zunimmt. Sogar dieser. relativ einfach, das Problem kann nicht mit der „Schul“-Physik gelöst werden; Es gibt viele solcher Probleme von praktischem Interesse. Bevor wir die relevanten Modelle diskutieren, erinnern wir uns daran, was über die Widerstandskraft bekannt ist.

Fehler in Physiologie und Schulbüchern

Wenn man an den Fallschirmspringer denkt, wird das klar mehr Gewicht bedeutet nicht zwangsläufig eine größere Fallgeschwindigkeit. Fallschirmspringer wissen das gut, sie sind Menschen, die schnell lernen. Doch warum denken viele spontan, dass schwere Gegenstände schneller fallen als leichte? Sowie klassische Beispiele aus Schulbüchern.

Stift und Stein in Schulbüchern

Das häufigste Beispiel in Lehrbüchern über fallende Gräber ist, dass Steine und Federn im Vakuum mit der gleichen Geschwindigkeit fallen. Während dies ein gutes Beispiel ist, um die Frustrationen zu verstehen, die in der Luft liegen, können die zu Beginn der Erklärung des Einsturzes des Grabes vorgeschlagenen Erklärungen irreführend sein.

Die im Folgenden diskutierten Gesetzmäßigkeiten sind empirischer Natur und keineswegs so streng und klar formuliert wie das zweite Newtonsche Gesetz. Von der Widerstandskraft eines Mediums gegenüber einem bewegten Körper ist bekannt, dass sie im Allgemeinen mit zunehmender Geschwindigkeit zunimmt (obwohl diese Aussage nicht absolut ist). Bei relativ niedrigen Geschwindigkeiten ist der Wert der Widerstandskraft proportional zur Geschwindigkeit und es gilt die Beziehung F copr = k 1 v, Wo k 1 wird durch die Eigenschaften der Umgebung und die Form des Körpers bestimmt. Zum Beispiel für einen Ball k 1 = 6πμr- ist die Stokes-Formel, wobei μ - dynamische Viskosität des Mediums, R- Kugelradius. Also für Luft T= 20°С und Druck 1 atm .μ = 0,0182 N∙s∙m -2, für Wasser 1,002 N∙s∙m -2, für Glycerin 1480 N∙s∙m -2.

Dies ist tatsächlich ein extremes Beispiel, das nur im Vakuum funktioniert, da die Feder in der Luft schwebt und tatsächlich langsamer fällt als ein Stein. Da es auf der Erde Luft gibt, können wir mit Recht annehmen, dass die leichteren Dinge wirklich langsamer sind und die schwersten Dinge wirklich schneller fallen. Die Geschichte des Experiments im Bereich des Vakuums und des Mondes scheint auch dazu gedacht zu sein, die Alten zu rechtfertigen: Nun ja, sie konnten nicht sehen, dass alles mit der gleichen Geschwindigkeit fiel.

Gummi und Karkasse im Unterricht

Sie könnten eine Lücke schaffen; Sie könnten einen Hammer und eine Feder auf den Mond fallen lassen. Um zu bemerken, dass die Fallgeschwindigkeit für verschiedene Massen gleich ist, muss man überhaupt keine Lücke schaffen und man fliegt nie zum Mond. Nehmen Sie einfach zwei verschiedene zufällige Objekte und sehen Sie selbst, dass sie mit der gleichen Geschwindigkeit fallen. Das Etui ist mit Kugelschreibern und Bleistiften gefüllt und wiegt zehnmal mehr als Gummi allein. „Was wird schneller sein?“ Ich frage. „Box“, sagen fast alle. Und hier ist ein Experiment, das noch malerischer sein kann, wenn man auf einen Stuhl klettert, um die Höhe zu erhöhen.

Lassen Sie uns abschätzen, bei welcher Geschwindigkeit bei einem vertikal fallenden Ball die Widerstandskraft gleich der Schwerkraft sein wird (und die Bewegung gleichmäßig wird).

Lassen R= 0,1 m, ρ \u003d 0,8 ∙ 10 3 kg / m 3 (Holz). In die Luft fallen v*≈ 960 m/s, im Wasser v*≈ 17 m/s, in Glycerin v*≈ 0,012 m/s.

Tatsächlich sind die ersten beiden Ergebnisse völlig falsch. Tatsache ist, dass bereits bei viel niedrigeren Geschwindigkeiten die Widerstandskraft proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit wird: F co p p = k 2 v 2 . Natürlich bleibt auch der geschwindigkeitslineare Anteil der Widerstandskraft formal erhalten, aber wenn k 2 v 2>> k 1 v, dann der Beitrag k 1 v kann vernachlässigt werden (dies ist ein spezifisches Beispiel für Ranking-Faktoren). Über den Wert k2 Folgendes ist bekannt: Es ist proportional zur Querschnittsfläche des Körpers S, quer zur Strömung und zur Dichte des Mediums ρ Umwelt und hängt von der Form des Körpers ab. Normalerweise vertreten k2 = 0,5cSρ Umgebungen, in denen Mit - Der Luftwiderstandsbeiwert ist dimensionslos. Einige Bedeutungen Mit(für nicht sehr hohe Geschwindigkeiten) sind in Abb. dargestellt. 7.6.

Bei Erreichen einer ausreichend hohen Geschwindigkeit, wenn die hinter dem stromlinienförmigen Körper gebildeten Gas- oder Flüssigkeitswirbel beginnen, sich intensiv vom Körper zu lösen, nimmt der Wert von c um ein Vielfaches ab; für eine Kugel beträgt sie etwa 0,1. Einzelheiten sind der Fachliteratur zu entnehmen.

Kehren wir zur obigen Schätzung zurück, basierend auf der quadratischen Abhängigkeit der Widerstandskraft von der Geschwindigkeit.

Reis. 7.6. Werte des Widerstandskoeffizienten Für einige Körper, deren Querschnitt die in der Abbildung angegebene Form hat (siehe das Buch von P.A. Strelkov)

für Ball

(7.5)

Akzeptieren R= 0,1 m, ρ \u003d 0,8 ∙ 10 3 kg / m 3 (Holz). Dann gilt für Bewegung in der Luft ( ρ Luft = 1,29 kg / m 3) erhalten wir v*≈ 18 m/s, im Wasser ( ρ Wasser ≈ 1∙10 3 kg / m 3) v*≈ 0,65 m/s, in Glycerin ( ρ Glycerin \u003d 1,26 ∙ 10 3 kg / m 3) v* ≈ 0,58 m/s.

Wenn wir die obigen Schätzungen des linearen Teils der Widerstandskraft vergleichen, sehen wir, dass bei Bewegungen in der Luft und im Wasser der quadratische Teil die Bewegung gleichmäßig macht, lange bevor der lineare Teil dies tun könnte, und bei sehr viskosem Glycerin das Gegenteil ist wahr. In Betracht ziehen freier Fall unter Berücksichtigung des Widerstandes des Mediums. Mathematisches Modell Bewegung – die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes unter Berücksichtigung zweier auf den Körper wirkender Kräfte; Schwerkraft und Widerstandskräfte der Umgebung:

(7.6)

Die Bewegung ist eindimensional; Wenn wir die Vektorgleichung auf eine vertikal nach unten gerichtete Achse projizieren, erhalten wir

(7.7)

Die Frage, die wir im ersten Schritt diskutieren werden, lautet: Wie ist die Geschwindigkeitsänderung mit der Zeit, wenn alle in Gleichung (7.7) enthaltenen Parameter gegeben sind? In dieser Einstellung ist das Modell rein deskriptiv. Aus Überlegungen des gesunden Menschenverstandes ist klar, dass bei Vorhandensein eines mit der Geschwindigkeit wachsenden Widerstands die Widerstandskraft irgendwann der Schwerkraft entspricht und die Geschwindigkeit danach nicht mehr zunimmt. Von jetzt an, dv/dt= 0 und die entsprechende konstante Geschwindigkeit kann aus der Bedingung entnommen werden mg – k 1 v – k 2 v 2= 0 , löst keine Differentialgleichung, sondern eine quadratische Gleichung. Wir haben

(7.8)

(das zweite - negative - die Wurzel wird natürlich verworfen). Die Art der Bewegung ist also qualitativ folgende: Die Geschwindigkeit während des Sturzes nimmt ab v0 Vor ; wie und nach welchem Gesetz – das lässt sich nur durch die Lösung der Differentialgleichung (7.7) herausfinden.

Aber selbst für ein so einfaches Problem haben wir eine Differentialgleichung gefunden, die zu keinem der Standardtypen gehört, die in Lehrbüchern über Differentialgleichungen unterschieden werden und die offensichtlich eine analytische Lösung zulassen. II. Obwohl dies nicht die Unmöglichkeit ihrer analytischen Lösung durch raffinierte Substitutionen beweist, sind sie nicht offensichtlich (einer der besten Helfer bei ihrer Suche ist Kamkes Nachschlagewerk). Nehmen wir jedoch an, dass es uns gelingt, eine solche Lösung zu finden, die durch die Überlagerung mehrerer algebraischer und transzendentaler Funktionen ausgedrückt wird – aber wie findet man das Gesetz der Änderung der Reisezeit? - Die formale Antwort ist einfach:

(7.9)

aber die Chancen, diese Quadratur zu realisieren, sind bereits recht gering. Der Punkt ist, dass die uns bekannte Klasse elementarer Funktionen sehr eng ist und die Situation ziemlich normal ist, wenn das Integral der Überlagerung elementarer Funktionen nicht durch ausgedrückt werden kann elementare Funktionen im Prinzip. Mathematiker haben den Funktionsumfang längst erweitert, mit dem man fast so einfach arbeiten kann wie mit elementaren (also Werte finden, verschiedene Asymptotika anwenden, Graphen erstellen, differenzieren, integrieren). Für diejenigen, die mit den Bessel-, Legendre-, Integralfunktionen und zwei Dutzend weiteren sogenannten Spezialfunktionen vertraut sind, ist es einfacher, analytische Lösungen für Modellierungsprobleme zu finden, die auf dem Apparat der Differentialgleichungen basieren. Aber selbst die Erlangung eines Ergebnisses in Form einer Formel beseitigt nicht das Problem, es in einer für das Verständnis und die Sinneswahrnehmung möglichst zugänglichen Form darzustellen, denn nur wenige Menschen können eine Formel haben, in der Logarithmen, Grade, Wurzeln vorkommen , Sinus und noch mehr Spezialfunktionen Stellen Sie sich den darin beschriebenen Prozess im Detail vor – und genau das ist der Zweck der Modellierung.

Um dieses Ziel zu erreichen, ist der Computer ein unverzichtbarer Helfer. Unabhängig davon, wie das Verfahren zur Erlangung einer Lösung aussehen wird – analytisch oder numerisch – lassen Sie uns darüber nachdenken bequeme Wege Präsentation der Ergebnisse. Natürlich sind die Zahlenkolonnen notwendig, die am einfachsten von einem Computer zu erhalten sind (entweder durch tabellarische Darstellung einer analytisch gefundenen Formel oder als Ergebnis einer numerischen Lösung einer Differentialgleichung); Es muss nur entschieden werden, in welcher Form und Größe sie für die Wahrnehmung geeignet sind. Die Spalte sollte nicht zu viele Zahlen enthalten, da sie sonst schwer zu erkennen sind. Daher ist der Schritt, mit dem die Tabelle ausgefüllt wird, im Allgemeinen groß mehr Schritt, mit dem die Differentialgleichung bei der numerischen Integration gelöst wird, d.h. nicht alle Werte v Und S, Die vom Computer gefundenen Werte sollten in der resultierenden Tabelle aufgezeichnet werden (Tabelle 7.2).

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