Grundlegende Elementarfunktionen, ihre Eigenschaften und Graphen. Untersuchung des Graphen der Funktion Funktion ur

Wählen wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem in der Ebene und zeichnen wir die Werte des Arguments auf der Abszissenachse auf X, und auf der Ordinate - die Werte der Funktion y = f(x).

Funktionsgraph y = f(x) ist die Menge aller Punkte, deren Abszissen zum Definitionsbereich der Funktion gehören und deren Ordinaten gleich den entsprechenden Werten der Funktion sind.

Mit anderen Worten, der Graph der Funktion y = f (x) ist die Menge aller Punkte der Ebene, Koordinaten X, bei die die Relation erfüllen y = f(x).

In Abb. 45 und 46 zeigen Funktionsgraphen y = 2x + 1 Und y = x 2 - 2x.

Streng genommen sollte man zwischen einem Graphen einer Funktion (deren genaue mathematische Definition oben gegeben wurde) und einer gezeichneten Kurve unterscheiden, die immer nur eine mehr oder weniger genaue Skizze des Graphen liefert (und selbst dann in der Regel nicht der gesamte Graph, sondern nur sein Teil, der sich in den letzten Teilen der Ebene befindet). Im Folgenden werden wir jedoch generell von „Grafik“ und nicht von „Grafikskizze“ sprechen.

Mithilfe eines Diagramms können Sie den Wert einer Funktion an einem Punkt ermitteln. Nämlich, wenn der Punkt x = a gehört zum Definitionsbereich der Funktion y = f(x), dann um die Nummer zu finden Fa)(also die Funktionswerte am Punkt x = a) du solltest das tun. Es ist notwendig, durch den Abszissenpunkt zu gehen x = a Zeichnen Sie eine gerade Linie parallel zur Ordinatenachse. Diese Linie schneidet den Graphen der Funktion y = f(x) an einer Stelle; Die Ordinate dieses Punktes ist aufgrund der Definition des Diagramms gleich Fa)(Abb. 47).

Zum Beispiel für die Funktion f(x) = x 2 - 2x Mithilfe des Diagramms (Abb. 46) finden wir f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 usw.

Ein Funktionsgraph veranschaulicht anschaulich das Verhalten und die Eigenschaften einer Funktion. Aus der Betrachtung von Abb. 46 Es ist klar, dass die Funktion y = x 2 - 2x nimmt positive Werte an, wenn X< 0 und bei x > 2, negativ - bei 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x akzeptiert bei x = 1.

Eine Funktion grafisch darstellen f(x) Sie müssen alle Punkte der Ebene und Koordinaten finden X,bei die die Gleichung erfüllen y = f(x). In den meisten Fällen ist dies nicht möglich, da es unendlich viele solcher Punkte gibt. Daher wird der Graph der Funktion näherungsweise dargestellt – mit mehr oder weniger Genauigkeit. Am einfachsten ist es, einen Graphen anhand mehrerer Punkte zu zeichnen. Es besteht darin, dass das Argument X Geben Sie eine endliche Anzahl von Werten an – sagen wir x 1, x 2, x 3,..., x k und erstellen Sie eine Tabelle, die die ausgewählten Funktionswerte enthält.

Die Tabelle sieht so aus:

Nachdem wir eine solche Tabelle zusammengestellt haben, können wir mehrere Punkte im Funktionsgraphen skizzieren y = f(x). Wenn wir diese Punkte dann mit einer glatten Linie verbinden, erhalten wir eine ungefähre Ansicht des Funktionsgraphen y = f(x).

Es ist jedoch zu beachten, dass die Mehrpunkt-Plotmethode sehr unzuverlässig ist. Tatsächlich bleibt das Verhalten des Diagramms zwischen den beabsichtigten Punkten und sein Verhalten außerhalb des Segments zwischen den aufgenommenen Extrempunkten unbekannt.

Beispiel 1. Eine Funktion grafisch darstellen y = f(x) jemand hat eine Tabelle mit Argument- und Funktionswerten zusammengestellt:

Die entsprechenden fünf Punkte sind in Abb. dargestellt. 48.

Aufgrund der Lage dieser Punkte kam er zu dem Schluss, dass der Graph der Funktion eine gerade Linie ist (in Abb. 48 durch die gepunktete Linie dargestellt). Kann diese Schlussfolgerung als zuverlässig angesehen werden? Sofern es keine zusätzlichen Überlegungen gibt, die diese Schlussfolgerung stützen, kann sie kaum als zuverlässig angesehen werden. zuverlässig.

Um unsere Aussage zu untermauern, betrachten wir die Funktion

Berechnungen zeigen, dass die Werte dieser Funktion an den Punkten -2, -1, 0, 1, 2 durch die obige Tabelle genau beschrieben werden. Der Graph dieser Funktion ist jedoch überhaupt keine Gerade (er ist in Abb. 49 dargestellt). Ein anderes Beispiel wäre die Funktion y = x + l + sinπx; Seine Bedeutung ist ebenfalls in der obigen Tabelle beschrieben.

Diese Beispiele zeigen, dass die Methode, einen Graphen anhand mehrerer Punkte zu zeichnen, in ihrer „reinen“ Form unzuverlässig ist. Um einen Graphen einer gegebenen Funktion zu zeichnen, geht man daher normalerweise wie folgt vor. Zunächst untersuchen wir die Eigenschaften dieser Funktion, mit deren Hilfe wir eine Skizze des Diagramms erstellen können. Durch Berechnen der Werte der Funktion an mehreren Punkten (deren Wahl von den festgelegten Eigenschaften der Funktion abhängt) werden dann die entsprechenden Punkte des Diagramms gefunden. Und schließlich wird mithilfe der Eigenschaften dieser Funktion eine Kurve durch die konstruierten Punkte gezeichnet.

Wir werden uns später einige (die einfachsten und am häufigsten verwendeten) Eigenschaften von Funktionen ansehen, die zum Auffinden einer Diagrammskizze verwendet werden, aber jetzt werden wir uns einige häufig verwendete Methoden zum Erstellen von Diagrammen ansehen.

Graph der Funktion y = |f(x)|.

Oft ist es notwendig, eine Funktion darzustellen y = |f(x)|, wo f(x) - gegebene Funktion. Wir erinnern Sie daran, wie das geht. Indem wir den absoluten Wert einer Zahl definieren, können wir schreiben

Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion y =|f(x)| kann aus dem Graphen, der Funktion, erhalten werden y = f(x) wie folgt: alle Punkte im Graphen der Funktion y = f(x), deren Ordinaten nicht negativ sind, sollte unverändert bleiben; weiter, anstelle der Punkte des Graphen der Funktion y = f(x) Wenn Sie negative Koordinaten haben, sollten Sie die entsprechenden Punkte im Funktionsgraphen konstruieren y = -f(x)(d. h. Teil des Graphen der Funktion
y = f(x), die unterhalb der Achse liegt X, sollte symmetrisch um die Achse gespiegelt werden X).

Beispiel 2. Stellen Sie die Funktion grafisch dar y = |x|.

Nehmen wir den Graphen der Funktion y = x(Abb. 50, a) und Teil dieser Grafik bei X< 0 (unter der Achse liegend X) symmetrisch zur Achse reflektiert X. Als Ergebnis erhalten wir einen Graphen der Funktion y = |x|(Abb. 50, b).

Beispiel 3. Stellen Sie die Funktion grafisch dar y = |x 2 - 2x|.

Lassen Sie uns zunächst die Funktion grafisch darstellen y = x 2 - 2x. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind, der Scheitelpunkt der Parabel hat die Koordinaten (1; -1), ihr Graph schneidet die x-Achse in den Punkten 0 und 2. Im Intervall (0; 2) Die Funktion nimmt negative Werte an, daher ist dieser Teil des Diagramms relativ zur Abszissenachse symmetrisch gespiegelt. Abbildung 51 zeigt den Graphen der Funktion y = |x 2 -2x|, basierend auf dem Graphen der Funktion y = x 2 - 2x

Graph der Funktion y = f(x) + g(x)

Betrachten Sie das Problem der Konstruktion eines Funktionsgraphen y = f(x) + g(x). wenn Funktionsgraphen gegeben sind y = f(x) Und y = g(x).

Beachten Sie, dass der Definitionsbereich der Funktion y = |f(x) + g(x)| ist die Menge aller Werte von x, für die beide Funktionen y = f(x) und y = g(x) definiert sind, d.h. dieser Definitionsbereich ist der Schnittpunkt der Definitionsbereiche, Funktionen f(x) und g(x).

Lassen Sie die Punkte (x 0 , y 1) Und (x 0, y 2) gehören jeweils zu den Funktionsgraphen y = f(x) Und y = g(x), d.h. y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Dann gehört der Punkt (x0;. y1 + y2) zum Graphen der Funktion y = f(x) + g(x)(für f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. und jeder Punkt im Graphen der Funktion y = f(x) + g(x) können auf diese Weise erhalten werden. Daher der Graph der Funktion y = f(x) + g(x) kann aus Funktionsgraphen gewonnen werden y = f(x). Und y = g(x) Ersetzen Sie jeden Punkt ( x n, y 1) Funktionsgrafiken y = f(x) Punkt (x n, y 1 + y 2), Wo y 2 = g(x n), d. h. durch Verschieben jedes Punktes ( x n, y 1) Funktionsgraph y = f(x) entlang der Achse bei um den Betrag y 1 = g(x n). In diesem Fall werden nur solche Punkte berücksichtigt X n, für die beide Funktionen definiert sind y = f(x) Und y = g(x).

Diese Methode zum Zeichnen einer Funktion y = f(x) + g(x) heißt Addition von Funktionsgraphen y = f(x) Und y = g(x)

Beispiel 4. In der Abbildung wurde ein Diagramm der Funktion mithilfe der Methode zum Hinzufügen von Diagrammen erstellt
y = x + sinx.

Beim Zeichnen einer Funktion y = x + sinx das dachten wir f(x) = x, A g(x) = sinx. Um den Funktionsgraphen darzustellen, wählen wir Punkte mit den Abszissen -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5, 1,5, 2 aus. Werte f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Berechnen wir an den ausgewählten Punkten und tragen die Ergebnisse in die Tabelle ein.

Dieses Lehrmaterial dient nur als Referenz und bezieht sich auf ein breites Themenspektrum. Der Artikel bietet einen Überblick über Diagramme grundlegender Elementarfunktionen und befasst sich mit dem wichtigsten Thema: wie man ein Diagramm richtig und SCHNELL erstellt. Im Laufe des Studiums der höheren Mathematik ohne Kenntnis der Graphen grundlegender Elementarfunktionen wird es schwierig sein, daher ist es sehr wichtig, sich daran zu erinnern, wie die Graphen einer Parabel, Hyperbel, Sinus, Cosinus usw. aussehen, und sich einige davon zu merken der Bedeutung der Funktionen. Wir werden auch über einige Eigenschaften der Hauptfunktionen sprechen.

Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit und wissenschaftliche Gründlichkeit der Materialien; der Schwerpunkt liegt in erster Linie auf der Praxis – den Dingen, mit denen Man begegnet buchstäblich auf Schritt und Tritt, in jedem Thema der höheren Mathematik. Diagramme für Dummies? Man könnte es so sagen.

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Und fangen wir gleich an:

Wie konstruiert man Koordinatenachsen richtig?

In der Praxis werden Tests fast immer von den Schülern in separaten, quadratisch linierten Notizbüchern ausgefüllt. Warum braucht man karierte Markierungen? Schließlich kann die Arbeit grundsätzlich auf A4-Blättern erledigt werden. Und der Käfig ist gerade für die hochwertige und genaue Gestaltung von Zeichnungen notwendig.

Jede Zeichnung eines Funktionsgraphen beginnt mit Koordinatenachsen.

Zeichnungen können zweidimensional oder dreidimensional sein.

Betrachten wir zunächst den zweidimensionalen Fall Kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem:

1) Koordinatenachsen zeichnen. Die Achse heißt x-Achse , und die Achse ist y-Achse . Wir versuchen immer, sie zu zeichnen ordentlich und nicht schief. Die Pfeile sollten auch nicht dem Bart von Papa Carlo ähneln.

2) Wir signieren die Achsen mit großen Buchstaben „X“ und „Y“. Vergessen Sie nicht, die Achsen zu beschriften.

3) Stellen Sie den Maßstab entlang der Achsen ein: Zeichne eine Null und zwei Einsen. Beim Erstellen einer Zeichnung ist der praktischste und am häufigsten verwendete Maßstab: 1 Einheit = 2 Zellen (Zeichnung links) – wenn möglich, bleiben Sie dabei. Allerdings kommt es hin und wieder vor, dass die Zeichnung nicht auf das Notizbuchblatt passt – dann verkleinern wir den Maßstab: 1 Einheit = 1 Zelle (Zeichnung rechts). Es kommt selten vor, aber es kommt vor, dass der Maßstab der Zeichnung noch weiter verkleinert (oder vergrößert) werden muss

Es besteht KEINE NOTWENDIGKEIT, „Maschinengewehr“ zu verwenden … -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Denn die Koordinatenebene ist kein Denkmal für Descartes, und der Student ist keine Taube. Wir stellen null Und zwei Einheiten entlang der Achsen. Manchmal anstatt Einheiten ist es praktisch, andere Werte zu „markieren“, zum Beispiel „zwei“ auf der Abszissenachse und „drei“ auf der Ordinatenachse – und dieses System (0, 2 und 3) definiert auch das Koordinatengitter eindeutig.

Es ist besser, die geschätzten Abmessungen der Zeichnung abzuschätzen, BEVOR Sie die Zeichnung erstellen. Wenn die Aufgabe beispielsweise das Zeichnen eines Dreiecks mit den Eckpunkten , , erfordert, dann ist es völlig klar, dass der beliebte Maßstab 1 Einheit = 2 Zellen nicht funktioniert. Warum? Schauen wir uns den Punkt an – hier müssen Sie fünfzehn Zentimeter nach unten messen, und offensichtlich passt die Zeichnung nicht (oder kaum) auf ein Notizbuchblatt. Daher wählen wir sofort einen kleineren Maßstab: 1 Einheit = 1 Zelle.

Übrigens etwa Zentimeter und Notebookzellen. Stimmt es, dass 30 Notebook-Zellen 15 Zentimeter enthalten? Messen Sie zum Spaß mit einem Lineal 15 Zentimeter in Ihrem Notizbuch. In der UdSSR mag das wahr gewesen sein ... Es ist interessant festzustellen, dass die Ergebnisse (in den Zellen) unterschiedlich ausfallen, wenn man dieselben Zentimeter horizontal und vertikal misst! Streng genommen sind moderne Notizbücher nicht kariert, sondern rechteckig. Das mag vielleicht Unsinn erscheinen, aber in solchen Situationen ist es sehr umständlich, beispielsweise einen Kreis mit einem Zirkel zu zeichnen. Um ehrlich zu sein, fängt man in solchen Momenten an, über die Richtigkeit des Genossen Stalin nachzudenken, der wegen Hackarbeit in der Produktion in Lager geschickt wurde, ganz zu schweigen von der heimischen Automobilindustrie, abstürzenden Flugzeugen oder explodierenden Kraftwerken.

Apropos Qualität, oder eine kurze Empfehlung zum Thema Briefpapier. Heutzutage sind die meisten Notebooks, die es zu kaufen gibt, gelinde gesagt völliger Schrott. Aus dem Grund, dass sie nass werden, und zwar nicht nur von Gelstiften, sondern auch von Kugelschreibern! Sie sparen Papiergeld. Zum Abschließen der Tests empfehle ich die Verwendung von Notizbüchern der Zellstoff- und Papierfabrik Arkhangelsk (18 Blatt, quadratisch) oder „Pyaterochka“, obwohl diese teurer sind. Es empfiehlt sich, einen Gelschreiber zu wählen; selbst die billigste chinesische Gelmine ist viel besser als ein Kugelschreiber, der das Papier entweder verschmiert oder zerreißt. Der einzige „konkurrenzfähige“ Kugelschreiber, an den ich mich erinnern kann, ist der Erich Krause. Sie schreibt klar, schön und konsequent – ob mit vollem Kern oder mit fast leerem Kern.

Zusätzlich: Die Vision eines rechteckigen Koordinatensystems durch die Augen der analytischen Geometrie wird in dem Artikel behandelt Lineare (Nicht-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren Detaillierte Informationen zu Koordinatenquartieren finden Sie im zweiten Absatz der Lektion Lineare Ungleichungen.

3D-Hülle

Hier ist es fast das Gleiche.

1) Koordinatenachsen zeichnen. Standard: Achse anwenden – nach oben gerichtet, Achse – nach rechts gerichtet, Achse – nach links unten gerichtet streng in einem Winkel von 45 Grad.

2) Beschriften Sie die Achsen.

3) Stellen Sie den Maßstab entlang der Achsen ein. Der Maßstab entlang der Achse ist doppelt so groß wie der Maßstab entlang der anderen Achsen. Beachten Sie auch, dass ich in der rechten Zeichnung eine nicht standardmäßige „Kerbe“ entlang der Achse verwendet habe (Diese Möglichkeit wurde oben bereits erwähnt). Aus meiner Sicht ist dies genauer, schneller und ästhetisch ansprechender – es ist nicht nötig, unter dem Mikroskop nach der Mitte der Zelle zu suchen und eine Einheit nahe dem Koordinatenursprung zu „formen“.

Auch beim Erstellen einer 3D-Zeichnung sollten Sie der Skalierung Priorität einräumen
1 Einheit = 2 Zellen (Zeichnung links).

Wozu dienen all diese Regeln? Regeln sind gemacht um gebrochen zu werden. Das werde ich jetzt tun. Tatsache ist, dass nachfolgende Zeichnungen des Artikels von mir in Excel erstellt werden und die Koordinatenachsen im Hinblick auf die korrekte Gestaltung falsch aussehen. Ich könnte alle Diagramme von Hand zeichnen, aber es ist wirklich beängstigend, sie zu zeichnen, da Excel sie nur ungern viel genauer zeichnen möchte.

Graphen und grundlegende Eigenschaften elementarer Funktionen

Durch die Gleichung ist eine lineare Funktion gegeben. Der Graph linearer Funktionen ist Direkte. Um eine Gerade zu konstruieren, reicht es aus, zwei Punkte zu kennen.

Beispiel 1

Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion. Lassen Sie uns zwei Punkte finden. Es ist vorteilhaft, als einen der Punkte Null zu wählen.

Wenn, dann

Nehmen wir einen anderen Punkt, zum Beispiel 1.

Wenn, dann

Beim Erledigen von Aufgaben werden die Koordinaten der Punkte üblicherweise in einer Tabelle zusammengefasst:

Und die Werte selbst werden mündlich oder auf einem Entwurf, einem Taschenrechner, berechnet.

Zwei Punkte wurden gefunden, machen wir die Zeichnung:

Bei der Zeichnungserstellung signieren wir immer die Grafiken.

Es wäre nützlich, sich an Sonderfälle einer linearen Funktion zu erinnern:

Beachten Sie, wie ich die Unterschriften platziert habe. Unterschriften sollten beim Studium der Zeichnung keine Unstimmigkeiten zulassen. In diesem Fall war es äußerst unerwünscht, eine Signatur neben dem Schnittpunkt der Linien oder unten rechts zwischen den Diagrammen anzubringen.

1) Eine lineare Funktion der Form () heißt direkte Proportionalität. Zum Beispiel, . Ein direkter Proportionalitätsgraph verläuft immer durch den Ursprung. Dadurch wird die Konstruktion einer Geraden vereinfacht – es reicht aus, nur einen Punkt zu finden.

2) Eine Gleichung der Form gibt eine Gerade parallel zur Achse an, insbesondere ist die Achse selbst durch die Gleichung gegeben. Der Graph der Funktion wird sofort gezeichnet, ohne dass Punkte gefunden werden. Das heißt, der Eintrag ist wie folgt zu verstehen: „Das y ist immer gleich –4, für jeden Wert von x.“

3) Eine Gleichung der Form gibt eine Gerade parallel zur Achse an, insbesondere ist die Achse selbst durch die Gleichung gegeben. Auch der Graph der Funktion wird sofort geplottet. Der Eintrag ist wie folgt zu verstehen: „x ist für jeden Wert von y immer gleich 1.“

Manche werden fragen: Warum sollte man sich an die 6. Klasse erinnern?! So ist es, vielleicht ist es so, aber im Laufe der Jahre der Praxis habe ich ein gutes Dutzend Studenten getroffen, die vor der Aufgabe, einen Graphen wie oder zu konstruieren, nicht standhalten konnten.

Das Konstruieren einer geraden Linie ist die häufigste Aktion beim Zeichnen.

Die Gerade wird im Rahmen der analytischen Geometrie ausführlich besprochen, Interessierte können auf den Artikel verweisen Gleichung einer Geraden in einer Ebene.

Graph einer quadratischen, kubischen Funktion, Graph eines Polynoms

Parabel. Graph einer quadratischen Funktion () stellt eine Parabel dar. Betrachten Sie den berühmten Fall:

Erinnern wir uns an einige Eigenschaften der Funktion.

Die Lösung unserer Gleichung lautet also: – An diesem Punkt befindet sich der Scheitelpunkt der Parabel. Warum das so ist, erfahren Sie im theoretischen Artikel zur Ableitung und in der Lektion zu Extrema der Funktion. Berechnen wir in der Zwischenzeit den entsprechenden „Y“-Wert:

Somit liegt der Scheitelpunkt am Punkt

Jetzt finden wir andere Punkte und nutzen dabei dreist die Symmetrie der Parabel. Es ist zu beachten, dass die Funktion – ist nicht einmal, aber dennoch hat niemand die Symmetrie der Parabel aufgehoben.

In welcher Reihenfolge die verbleibenden Punkte zu finden sind, wird meiner Meinung nach anhand der Abschlusstabelle klar sein:

Dieser Konstruktionsalgorithmus kann im übertragenen Sinne als „Shuttle“ oder als „Hin- und Her“-Prinzip bei Anfisa Tschechowa bezeichnet werden.

Machen wir die Zeichnung:

Aus den untersuchten Diagrammen fällt mir eine weitere nützliche Funktion ein:

Für eine quadratische Funktion () Folgendes ist wahr:

Wenn , dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet.

Wenn , dann sind die Äste der Parabel nach unten gerichtet.

Vertiefende Kenntnisse über die Kurve erhalten Sie in der Lektion Hyperbel und Parabel.

Durch die Funktion ist eine kubische Parabel gegeben. Hier ist eine aus der Schule bekannte Zeichnung:

Lassen Sie uns die Haupteigenschaften der Funktion auflisten

Graph einer Funktion

Es stellt einen der Äste einer Parabel dar. Machen wir die Zeichnung:

Haupteigenschaften der Funktion:

In diesem Fall ist die Achse vertikale Asymptote für den Graphen einer Hyperbel bei .

Es wäre ein GROßER Fehler, wenn Sie beim Erstellen einer Zeichnung unachtsam zulassen würden, dass sich der Graph mit einer Asymptote schneidet.

Auch einseitige Grenzen sagen uns, dass die Hyperbel nicht von oben begrenzt Und nicht von unten begrenzt.

Untersuchen wir die Funktion im Unendlichen: Das heißt, wenn wir beginnen, uns entlang der Achse nach links (oder rechts) ins Unendliche zu bewegen, verlaufen die „Spiele“ in einem geordneten Schritt unendlich nah nähern sich Null und dementsprechend die Zweige der Hyperbel unendlich nah Annäherung an die Achse.

So ist die Achse horizontale Asymptote für den Graphen einer Funktion, wenn „x“ gegen plus oder minus unendlich tendiert.

Die Funktion ist seltsam, und daher ist die Hyperbel symmetrisch zum Ursprung. Diese Tatsache ist aus der Zeichnung ersichtlich, außerdem lässt sie sich leicht analytisch überprüfen: .

Der Graph einer Funktion der Form () stellt zwei Zweige einer Hyperbel dar.

Wenn , dann liegt die Hyperbel im ersten und dritten Koordinatenviertel(siehe Bild oben).

Wenn , dann liegt die Hyperbel im zweiten und vierten Koordinatenviertel.

Das angegebene Muster der Hyperbelresidenz ist aus der Sicht geometrischer Transformationen von Graphen leicht zu analysieren.

Beispiel 3

Konstruieren Sie den rechten Zweig der Hyperbel

Wir verwenden die punktweise Konstruktionsmethode, wobei es vorteilhaft ist, die Werte so zu wählen, dass sie durch ein Ganzes teilbar sind:

Machen wir die Zeichnung:

Es wird nicht schwierig sein, den linken Zweig der Hyperbel zu konstruieren; die Seltsamkeit der Funktion wird hier helfen. Grob gesagt addieren wir in der Tabelle der punktweisen Konstruktion gedanklich zu jeder Zahl ein Minus, setzen die entsprechenden Punkte ein und zeichnen den zweiten Zweig.

Detaillierte geometrische Informationen zur betrachteten Linie finden Sie im Artikel Hyperbel und Parabel.

Graph einer Exponentialfunktion

In diesem Abschnitt werde ich gleich auf die Exponentialfunktion eingehen, da bei Problemen der höheren Mathematik in 95 % der Fälle die Exponentialfunktion auftritt.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es sich hierbei um eine irrationale Zahl handelt: Sie wird bei der Erstellung eines Diagramms benötigt, das ich tatsächlich ohne Umschweife erstellen werde. Drei Punkte reichen wahrscheinlich aus:

Lassen wir den Graphen der Funktion vorerst in Ruhe, dazu später mehr.

Haupteigenschaften der Funktion:

Funktionsgraphen usw. sehen grundsätzlich gleich aus.

Ich muss sagen, dass der zweite Fall in der Praxis seltener vorkommt, aber er kommt vor, daher hielt ich es für notwendig, ihn in diesen Artikel aufzunehmen.

Graph einer logarithmischen Funktion

Betrachten Sie eine Funktion mit einem natürlichen Logarithmus.
Machen wir eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung:

Wenn Sie vergessen haben, was ein Logarithmus ist, schauen Sie bitte in Ihren Schulbüchern nach.

Haupteigenschaften der Funktion:

Domain:

Wertebereich: .

Die Funktion ist von oben her nicht eingeschränkt: , wenn auch langsam, aber der Zweig des Logarithmus geht bis ins Unendliche.
Untersuchen wir das Verhalten der Funktion nahe Null auf der rechten Seite: . So ist die Achse vertikale Asymptote für den Graphen einer Funktion, da „x“ von rechts gegen Null geht.

Es ist unbedingt erforderlich, den typischen Wert des Logarithmus zu kennen und sich daran zu erinnern: .

Im Prinzip sieht der Graph des Logarithmus zur Basis gleich aus: , , (dezimaler Logarithmus zur Basis 10) usw. Darüber hinaus ist die Grafik umso flacher, je größer die Basis ist.

Wir werden den Fall nicht berücksichtigen; ich kann mich nicht erinnern, wann ich das letzte Mal ein Diagramm auf einer solchen Grundlage erstellt habe. Und der Logarithmus scheint in Problemen der höheren Mathematik ein sehr seltener Gast zu sein.

Am Ende dieses Absatzes möchte ich noch eine Tatsache sagen: Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion– das sind zwei zueinander inverse Funktionen. Wenn man sich den Graphen des Logarithmus genau anschaut, sieht man, dass es sich um denselben Exponenten handelt, er liegt nur etwas anders.

Diagramme trigonometrischer Funktionen

Wo beginnt trigonometrische Qual in der Schule? Rechts. Vom Sinus

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen

Diese Zeile heißt Sinusoid.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass „pi“ eine irrationale Zahl ist und in der Trigonometrie Ihre Augen zum Leuchten bringt.

Haupteigenschaften der Funktion:

Diese Funktion ist periodisch mit Punkt. Was bedeutet das? Schauen wir uns das Segment an. Links und rechts davon wiederholt sich endlos genau derselbe Teil des Diagramms.

Domain: , das heißt, für jeden Wert von „x“ gibt es einen Sinuswert.

Wertebereich: . Die Funktion ist begrenzt: , das heißt, alle „Spiele“ sitzen streng im Segment .
Das passiert nicht, oder genauer gesagt, es passiert, aber diese Gleichungen haben keine Lösung.

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form y=kx+b, wobei x die unabhängige Variable ist, k und b beliebige Zahlen sind.
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

1. Um einen Funktionsgraphen zu zeichnen, Wir benötigen die Koordinaten zweier Punkte, die zum Graphen der Funktion gehören. Um sie zu finden, müssen Sie zwei x-Werte nehmen, sie in die Funktionsgleichung einsetzen und daraus die entsprechenden y-Werte berechnen.

Um beispielsweise die Funktion y= x+2 darzustellen, ist es praktisch, x=0 und x=3 zu nehmen, dann sind die Ordinaten dieser Punkte gleich y=2 und y=3. Wir erhalten die Punkte A(0;2) und B(3;3). Verbinden wir sie und erhalten einen Graphen der Funktion y= x+2:

2. In der Formel y=kx+b wird die Zahl k als Proportionalitätskoeffizient bezeichnet:
wenn k>0, dann nimmt die Funktion y=kx+b zu
wenn k
Koeffizient b zeigt die Verschiebung des Funktionsgraphen entlang der OY-Achse:
Wenn b>0, dann wird der Graph der Funktion y=kx+b aus dem Graphen der Funktion y=kx erhalten, indem b Einheiten entlang der OY-Achse nach oben verschoben werden
wenn b
Die folgende Abbildung zeigt die Diagramme der Funktionen y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Beachten Sie, dass in allen diesen Funktionen der Koeffizient k Über Null, und die Funktionen sind zunehmend. Darüber hinaus ist der Neigungswinkel der Geraden zur positiven Richtung der OX-Achse umso größer, je größer der Wert von k ist.

In allen Funktionen ist b=3 – und wir sehen, dass alle Graphen die OY-Achse im Punkt (0;3) schneiden.

Betrachten Sie nun die Graphen der Funktionen y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Diesmal gilt in allen Funktionen der Koeffizient k weniger als Null und Funktionen nehmen ab. Koeffizient b=3, und die Diagramme schneiden wie im vorherigen Fall die OY-Achse im Punkt (0;3)

Betrachten Sie die Graphen der Funktionen y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Nun sind in allen Funktionsgleichungen die Koeffizienten k gleich 2. Und wir haben drei parallele Geraden.

Aber die Koeffizienten b sind unterschiedlich und diese Diagramme schneiden die OY-Achse an verschiedenen Punkten:
Der Graph der Funktion y=2x+3 (b=3) schneidet die OY-Achse im Punkt (0;3)
Der Graph der Funktion y=2x (b=0) schneidet die OY-Achse im Punkt (0;0) – dem Ursprung.
Der Graph der Funktion y=2x-3 (b=-3) schneidet die OY-Achse im Punkt (0;-3)

Wenn wir also die Vorzeichen der Koeffizienten k und b kennen, können wir uns sofort vorstellen, wie der Graph der Funktion y=kx+b aussieht.
Wenn k 0

Wenn k>0 und b>0, dann sieht der Graph der Funktion y=kx+b so aus:

Wenn k>0 und b, dann sieht der Graph der Funktion y=kx+b so aus:

Wenn k, dann sieht der Graph der Funktion y=kx+b so aus:

Wenn k=0, dann verwandelt sich die Funktion y=kx+b in die Funktion y=b und ihr Graph sieht so aus:

Die Ordinaten aller Punkte im Diagramm der Funktion y=b sind gleich b If b=0, dann verläuft der Graph der Funktion y=kx (direkte Proportionalität) durch den Ursprung:

3. Beachten wir separat den Graphen der Gleichung x=a. Der Graph dieser Gleichung ist eine Gerade parallel zur OY-Achse, deren Abszisse alle Punkte x=a haben.

Der Graph der Gleichung x=3 sieht beispielsweise so aus:
Aufmerksamkeit! Die Gleichung x=a ist keine Funktion, daher entspricht ein Wert des Arguments verschiedenen Werten der Funktion, was nicht der Definition einer Funktion entspricht.

4. Bedingung für die Parallelität zweier Geraden:

Der Graph der Funktion y=k 1 x+b 1 ist parallel zum Graphen der Funktion y=k 2 x+b 2, wenn k 1 =k 2

5. Die Bedingung dafür, dass zwei Geraden senkrecht zueinander stehen:

Der Graph der Funktion y=k 1 x+b 1 steht senkrecht zum Graphen der Funktion y=k 2 x+b 2, wenn k 1 *k 2 =-1 oder k 1 =-1/k 2

6. Schnittpunkte des Graphen der Funktion y=kx+b mit den Koordinatenachsen.

Mit OY-Achse. Die Abszisse jedes Punktes, der zur OY-Achse gehört, ist gleich Null. Um den Schnittpunkt mit der OY-Achse zu finden, müssen Sie daher in der Funktionsgleichung Null anstelle von x einsetzen. Wir erhalten y=b. Das heißt, der Schnittpunkt mit der OY-Achse hat die Koordinaten (0; b).

Mit OX-Achse: Die Ordinate eines beliebigen Punktes, der zur OX-Achse gehört, ist Null. Um den Schnittpunkt mit der OX-Achse zu finden, müssen Sie daher in der Funktionsgleichung Null anstelle von y einsetzen. Wir erhalten 0=kx+b. Daher ist x=-b/k. Das heißt, der Schnittpunkt mit der OX-Achse hat die Koordinaten (-b/k;0):

Build-Funktion

Wir bieten Ihnen einen Service zur Online-Erstellung von Funktionsgraphen an, an dem alle Rechte dem Unternehmen gehören Desmos. Verwenden Sie die linke Spalte, um Funktionen einzugeben. Sie können die Eingabe manuell oder über die virtuelle Tastatur am unteren Rand des Fensters vornehmen. Um das Fenster mit der Grafik zu vergrößern, können Sie sowohl die linke Spalte als auch die virtuelle Tastatur ausblenden.

Vorteile von Online-Charting

Visuelle Anzeige der eingegebenen Funktionen
Erstellen sehr komplexer Diagramme
Konstruktion von implizit angegebenen Graphen (z. B. Ellipse x^2/9+y^2/16=1)
Die Möglichkeit, Diagramme zu speichern und einen Link zu ihnen zu erhalten, der allen im Internet zur Verfügung steht
Kontrolle von Maßstab und Linienfarbe
Möglichkeit, Diagramme nach Punkten unter Verwendung von Konstanten zu zeichnen
Mehrere Funktionsgraphen gleichzeitig zeichnen
Darstellung in Polarkoordinaten (verwenden Sie r und θ(\theta))

Mit uns ist es einfach, Diagramme unterschiedlicher Komplexität online zu erstellen. Der Bau ist sofort erledigt. Der Dienst ist gefragt, um Schnittpunkte von Funktionen zu finden, Diagramme darzustellen, um sie als Illustrationen bei der Lösung von Problemen weiter in ein Word-Dokument zu verschieben, und um die Verhaltensmerkmale von Funktionsdiagrammen zu analysieren. Der optimale Browser für die Arbeit mit Diagrammen auf dieser Website-Seite ist Google Chrome. Bei Verwendung anderer Browser kann die korrekte Funktion nicht gewährleistet werden.

Schulkinder stehen gleich zu Beginn des Algebrastudiums vor der Aufgabe, einen Funktionsgraphen zu konstruieren, und bauen ihn Jahr für Jahr weiter auf. Angefangen beim Graphen einer linearen Funktion, für den man nur zwei Punkte kennen muss, bis hin zu einer Parabel, die bereits 6 Punkte erfordert, einer Hyperbel und einer Sinuswelle. Von Jahr zu Jahr werden die Funktionen immer komplexer und es ist nicht mehr möglich, ihre Diagramme anhand einer Vorlage zu erstellen; es müssen komplexere Studien mit Ableitungen und Grenzwerten durchgeführt werden.

Lassen Sie uns herausfinden, wie man den Graphen einer Funktion findet. Beginnen wir dazu mit den einfachsten Funktionen, deren Diagramme Punkt für Punkt dargestellt werden, und überlegen wir uns dann einen Plan zum Aufbau komplexerer Funktionen.

Eine lineare Funktion grafisch darstellen

Um die einfachsten Diagramme zu erstellen, verwenden Sie eine Tabelle mit Funktionswerten. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Versuchen wir, die Punkte im Diagramm der Funktion y=4x+5 zu finden.

Dazu nehmen wir zwei beliebige Werte der Variablen x, setzen sie nacheinander in die Funktion ein, ermitteln den Wert der Variablen y und tragen alles in die Tabelle ein.
Nehmen Sie den Wert x=0 und setzen Sie ihn anstelle von x - 0 in die Funktion ein. Wir erhalten: y=4*0+5, also y=5, schreiben Sie diesen Wert in die Tabelle unter 0. Nehmen Sie auf ähnliche Weise x= 0, wir erhalten y=4*1+5 , y=9.
Um nun einen Graphen der Funktion zu erstellen, müssen Sie diese Punkte auf der Koordinatenebene darstellen. Dann müssen Sie eine gerade Linie zeichnen.

Eine quadratische Funktion grafisch darstellen

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form y=ax 2 +bx +c, wobei x eine Variable ist, a,b,c Zahlen sind (a ist ungleich 0). Zum Beispiel: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.

Um die einfachste quadratische Funktion y=x 2 zu konstruieren, werden normalerweise 5-7 Punkte genommen. Nehmen wir die Werte für die Variable x: -2, -1, 0, 1, 2 und ermitteln wir die Werte von y auf die gleiche Weise wie beim Erstellen des ersten Diagramms.

Der Graph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt. Nach der Erstellung von Funktionsgraphen stehen den Schülern neue Aufgaben im Zusammenhang mit dem Graphen bevor.

Beispiel 1: Finden Sie die Abszisse des Diagrammpunkts der Funktion y=x 2, wenn die Ordinate 9 ist. Um das Problem zu lösen, müssen Sie den Wert 9 anstelle von y in die Funktion einsetzen. Wir erhalten 9=x 2 und lösen diese Gleichung. x=3 und x=-3. Dies ist auch im Diagramm der Funktion zu erkennen.

Eine Funktion erforschen und grafisch darstellen

Um Diagramme komplexerer Funktionen zu zeichnen, müssen Sie mehrere Schritte ausführen, um sie zu untersuchen. Dazu benötigen Sie:

Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion. Der Definitionsbereich umfasst alle Werte, die die Variable x annehmen kann. Die Punkte, an denen der Nenner 0 wird oder der Wurzelausdruck negativ wird, sollten aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.
Legen Sie fest, ob die Funktion gerade oder ungerade ist. Denken Sie daran, dass eine gerade Funktion die Bedingung f(-x)=f(x) erfüllt. Sein Graph ist symmetrisch bezüglich Oy. Eine Funktion ist ungerade, wenn sie die Bedingung f(-x)=-f(x) erfüllt. In diesem Fall ist der Graph symmetrisch zum Ursprung.
Finden Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Um die Abszisse des Schnittpunkts mit der Ox-Achse zu finden, muss die Gleichung f(x) = 0 gelöst werden (die Ordinate ist gleich 0). Um die Ordinate des Schnittpunkts mit der Oy-Achse zu ermitteln, muss in der Funktion anstelle der Variablen x 0 eingesetzt werden (die Abszisse ist 0).
Finden Sie die Asymptoten der Funktion. Eine Asyptote ist eine gerade Linie, der sich der Graph auf unbestimmte Zeit nähert, die sie jedoch nie kreuzt. Lassen Sie uns herausfinden, wie man die Asymptoten des Graphen einer Funktion findet.
- Vertikale Asymptote der Geraden x=a
- Horizontale Asymptote - Gerade y=a
- Schräge Asymptote – Gerade der Form y=kx+b
Finden Sie die Extrempunkte der Funktion, die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion. Finden wir die Extrempunkte der Funktion. Dazu müssen Sie die erste Ableitung finden und sie mit 0 gleichsetzen. An diesen Punkten kann die Funktion von steigend zu fallend wechseln. Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung für jedes Intervall. Ist die Ableitung positiv, dann nimmt der Graph der Funktion zu, ist sie negativ, nimmt er ab.
Finden Sie die Wendepunkte des Funktionsgraphen, die Aufwärts- und Abwärtskonvexitätsintervalle.

Wendepunkte zu finden ist jetzt einfacher denn je. Sie müssen nur die zweite Ableitung finden und sie dann mit Null gleichsetzen. Als nächstes ermitteln wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung für jedes Intervall. Ist er positiv, dann ist der Graph der Funktion nach unten konvex, ist er negativ, ist er nach oben konvex.

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