Wie entstand das Prinzip der geringsten Wirkung? Prinzip der kleinsten Wirkung

Als ich in der Schule war, rief mich unser Physiklehrer namens Bader einmal nach dem Unterricht zu sich und sagte: „Du siehst aus, als hättest du schrecklich genug von allem; Hören Sie sich etwas Interessantes an. Und er erzählte mir etwas, das ich wirklich faszinierend fand. Auch heute noch fasziniert es mich, auch wenn seitdem viel Zeit vergangen ist. Und jedes Mal, wenn ich mich daran erinnere, was gesagt wurde, mache ich mich wieder an die Arbeit. Und dieses Mal, als ich mich auf die Vorlesung vorbereitete, analysierte ich erneut die gleichen Dinge. Und anstatt mich auf die Vorlesung vorzubereiten, traf ich die Entscheidung neue Aufgabe. Das Thema, über das ich spreche, ist Prinzip der geringsten Wirkung.


- Das hat mir mein Lehrer Bader damals gesagt: „Angenommen, Sie haben ein Teilchen im Gravitationsfeld; Dieses Teilchen bewegt sich, wenn es von irgendwo weggeht, frei irgendwohin zu einem anderen Punkt. Du hast sie, sagen wir, hochgeworfen, und sie ist abgeflogen und dann gefallen.

Vom Startpunkt bis zum Endpunkt hat es einige Zeit gedauert. Probieren Sie jetzt eine andere Bewegung aus. Nehmen wir an, dass sie sich, um „von hier nach hier“ zu ziehen, nicht wie zuvor, sondern wie folgt bewegt hat:

Aber trotzdem bin ich im selben Moment wie zuvor am richtigen Ort gelandet.

„Und so“, fuhr der Lehrer fort, „wenn Sie die kinetische Energie zu jedem Zeitpunkt entlang der Bahn des Teilchens berechnen, die potentielle Energie davon abziehen und die Differenz über die gesamte Zeit, in der die Bewegung stattfand, integrieren, werden Sie das tun.“ Sehen Sie, dass die Nummer, die Sie erhalten, so sein wird mehr, als in der wahren Bewegung des Teilchens.

Mit anderen Worten, Newtons Gesetze können nicht als F = ma formuliert werden, sondern wie folgt: Die durchschnittliche kinetische Energie minus der durchschnittlichen potentiellen Energie erreicht ihren Wert der kleinste Wert auf der Flugbahn, entlang der sich ein Objekt tatsächlich von einem Ort zum anderen bewegt.

Ich werde versuchen, es dir etwas klarer zu erklären.
Nehmen wir das Gravitationsfeld und bezeichnen die Flugbahn des Teilchens X(T), Wo X ist die Höhe über dem Boden (wir kommen vorerst mit einer Messung aus; die Flugbahn soll nur auf und ab verlaufen, nicht zur Seite), dann ist die kinetische Energie j 2 M(dx/ dt) 2 , a Die potentielle Energie zu einem beliebigen Zeitpunkt wird gleich sein mgx.


Nun nehme ich für einen Moment der Bewegung entlang der Flugbahn die Differenz zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie und integriere sie über die gesamte Zeit vom Anfang bis zum Ende. Lassen Sie es zum ersten Mal t x Die Bewegung begann in einer bestimmten Höhe und endete in einem bestimmten Moment T 2 auf einer anderen Höhe.

Dann ist das Integral ∫ t2 t1 dt

Die wahre Bewegung erfolgt entlang einer Kurve (als Funktion der Zeit ist es eine Parabel) und führt zu einem bestimmten Wert des Integrals. Doch kannst du Vorsetzen eine andere Bewegung: zuerst ein steiler Anstieg und dann einige bizarre Schwankungen.

Sie können die Differenz zwischen potenzieller und kinetischer Energie auf diesem oder jedem anderen Weg berechnen. Und das Auffälligste ist, dass der wirkliche Weg derjenige ist, auf dem dieses Integral am kleinsten ist.
Schauen wir es uns an. Zunächst analysieren wir den folgenden Fall: Ein freies Teilchen hat überhaupt keine potentielle Energie. Dann besagt die Regel, dass bei der Bewegung von einem Punkt zu einem anderen in einer bestimmten Zeit das Integral der kinetischen Energie am kleinsten sein sollte. Und das bedeutet, dass sich das Teilchen gleichmäßig bewegen muss. (Und das zu Recht, Sie und ich wissen, dass die Geschwindigkeit bei einer solchen Bewegung konstant ist.) Und warum gleichmäßig? Lass es uns herausfinden. Wenn es anders wäre, dann würde die Geschwindigkeit des Teilchens zeitweise über dem Durchschnitt liegen, manchmal würde sie darunter liegen, und die Durchschnittsgeschwindigkeit wäre gleich, weil das Teilchen „von hier nach hier“ gelangen müsste die vereinbarte Zeit. Wenn Sie beispielsweise innerhalb einer bestimmten Zeit mit dem Auto von zu Hause zur Schule fahren müssen, können Sie dies auf unterschiedliche Weise tun: Sie können zuerst wie verrückt fahren und am Ende langsamer fahren oder mit der gleichen Geschwindigkeit fahren. oder man kann sogar nach hinten gehen und sich erst dann der Schule zuwenden usw. In allen Fällen muss die Durchschnittsgeschwindigkeit natürlich gleich sein – der Quotient aus der Entfernung vom Wohnort zur Schule dividiert durch die Zeit. Aber selbst bei dieser Durchschnittsgeschwindigkeit bewegte man sich manchmal zu schnell und manchmal zu langsam. Ein Medium Quadrat Etwas, das vom Mittelwert abweicht, ist bekanntlich immer größer als das Quadrat des Mittelwerts; Dies bedeutet, dass das Integral der kinetischen Energie bei Schwankungen der Bewegungsgeschwindigkeit immer größer ist als bei einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. Sie sehen, dass das Integral bei konstanter Geschwindigkeit (ohne Kräfte) ein Minimum erreicht. Das ist der richtige Weg.

Ein im Schwerkraftfeld hochgeschleuderter Gegenstand steigt zunächst schnell und dann immer langsamer auf. Dies geschieht, weil es auch potenzielle Energie hat und den kleinsten Wert erreichen sollte einmalNess zwischen kinetischer und potentieller Energie. Da die potentielle Energie mit steigender Energie zunimmt, ist sie umso kleiner Unterschied Es wird sich herausstellen, wenn Sie so schnell wie möglich die Höhen erreichen, in denen die potentielle Energie hoch ist. Wenn wir dann dieses hohe Potenzial von der kinetischen Energie abziehen, erreichen wir eine Verringerung des Durchschnitts. Daher ist es rentabler, nach oben zu gehen und auf Kosten der potenziellen Energie ein gutes negatives Stück zu liefern.

Das ist alles, was mir mein Lehrer gesagt hat, weil er ein sehr guter Lehrer war und wusste, wann er aufhören musste. Leider bin ich nicht so. Es fällt mir schwer, rechtzeitig anzuhalten. Anstatt einfach nur Ihr Interesse mit meiner Geschichte zu wecken, möchte ich Sie einschüchtern, ich möchte, dass Sie die Komplexität des Lebens satt bekommen – ich werde versuchen zu beweisen, was ich gesagt habe. Das mathematische Problem, das wir lösen werden, ist sehr schwierig und eigenartig. Es gibt einen gewissen Wert S, genannt Aktion. Sie ist gleich der kinetischen Energie minus der über die Zeit integrierten potentiellen Energie:

Andererseits darf man sich aber weder zu schnell fortbewegen noch zu hoch klettern, da dies zu viel kinetische Energie erfordert. Sie müssen sich schnell genug bewegen, um innerhalb der Ihnen zur Verfügung stehenden Zeit auf und ab zu gehen. Sie sollten also nicht versuchen, zu hoch zu fliegen, sondern nur ein vernünftiges Niveau erreichen. Als Ergebnis stellt sich heraus, dass die Lösung eine Art Gleichgewicht zwischen dem Wunsch ist, so viel potenzielle Energie wie möglich zu erhalten, und dem Wunsch, die Menge an kinetischer Energie so weit wie möglich zu reduzieren – das ist der Wunsch, die maximale Reduzierung zu erreichen im Unterschied zwischen kinetischer und potentieller Energie.

Vergessen Sie nicht, dass p.e. und c.e. sind beide Funktionen der Zeit. Für jeden neuen denkbaren Weg erhält diese Aktion ihre eindeutige Bedeutung. Das mathematische Problem besteht darin, zu bestimmen, bei welcher Kurve diese Zahl kleiner ist als bei anderen.

Sie sagen: „Oh, das ist nur ein typisches Beispiel für hohe und niedrige Werte. Wir müssen die Aktion zählen, differenzieren und das Minimum finden.

Aber warte. Normalerweise haben wir eine Funktion einer Variablen und müssen den Wert finden Variable, bei dem die Funktion am kleinsten oder größten wird. Nehmen wir an, in der Mitte befindet sich ein erhitzter Stab. Die Wärme breitet sich entlang des Stabes aus und an jeder Stelle des Stabes wird eine Temperatur eingestellt. Sie müssen den Punkt finden, an dem es am höchsten ist. Aber wir reden hier über etwas ganz anderes – jeder Weg im Raum antwortet auf seine Nummer und soll diese finden Weg, für die diese Zahl minimal ist. Das ist ein völlig anderer Bereich der Mathematik. Dies ist keine gewöhnliche Rechnung, aber Variation(so nennen sie es).

In diesem Bereich der Mathematik gibt es viele Probleme. Beispielsweise wird ein Kreis normalerweise als Ortskurve von Punkten definiert, deren Abstände von einem bestimmten Punkt gleich sind. Ein Kreis kann jedoch auch auf andere Weise definiert werden: Er ist eine der Kurven gegebene Länge, Das ist die größte Fläche. Jede andere Kurve mit demselben Umfang umschließt eine Fläche, die kleiner als ein Kreis ist. Wenn wir uns also die Aufgabe stellen: eine Kurve mit einem gegebenen Umfang zu finden, die die größte Fläche begrenzt, dann haben wir eine Aufgabe aus der Variationsrechnung und nicht aus der Analysis, an die Sie gewöhnt sind.

Wir wollen also das Integral entlang des vom Körper zurückgelegten Weges bilden. Machen wir es so. Der springende Punkt ist, sich vorzustellen, dass es einen wahren Pfad gibt und dass jede andere Kurve, die wir zeichnen, kein wahrer Pfad ist, so dass wir, wenn wir die Aktion dafür berechnen, eine größere Zahl erhalten als die, die wir für die entsprechende Aktion erhalten echter Weg.

Die Aufgabe besteht also darin, den wahren Weg zu finden. Wo rennt er? Eine Möglichkeit wäre natürlich, die Aktion für Millionen und Abermillionen von Pfaden zu berechnen und dann zu sehen, welcher Pfad die kleinste Aktion hat. Auf diese Weise ist die Aktion minimal und wird real sein.

Dieser Weg ist durchaus möglich. Es kann jedoch einfacher gemacht werden. Wenn es eine Größe gibt, die ein Minimum hat (der üblichen Funktionen, sagen wir die Temperatur), dann ist eine der Eigenschaften des Minimums die, wenn man sich in einiger Entfernung von ihm entfernt Erste In der Größenordnung der Kleinheit weicht die Funktion nur um den Betrag von ihrem Minimalwert ab zweite Befehl. Und an jeder anderen Stelle der Kurve ändert eine Verschiebung um einen kleinen Abstand den Wert der Funktion ebenfalls um einen Wert erster Kleinheitsordnung. Zumindest jedoch führen geringfügige Abweichungen zur Seite in erster Näherung nicht zu einer Änderung der Funktion.

Dies ist die Eigenschaft, die wir zur Berechnung des tatsächlichen Pfads verwenden werden.

Wenn der Pfad korrekt ist, führt eine geringfügig davon abweichende Kurve in erster Näherung nicht zu einer Änderung der Größe der Aktion. Alle Änderungen, wenn es sich wirklich um ein Minimum handelte, werden nur in zweiter Näherung auftreten.

Dies ist leicht zu beweisen. Wenn es bei einer Abweichung von der Kurve zu Änderungen erster Ordnung kommt, dann sind diese Änderungen in der Wirkung proportional Abweichung. Sie erhöhen wahrscheinlich die Wirkung; sonst wäre es nicht das Minimum. Aber die Zeiten ändern sich proportional Abweichung, dann führt eine Änderung des Vorzeichens der Abweichung zu einer Reduzierung der Aktion. Es stellt sich heraus, dass bei einer Abweichung nach einer Seite die Wirkung zunimmt und bei einer Abweichung in die entgegengesetzte Richtung abnimmt. Die einzige Möglichkeit, dass dies tatsächlich ein Minimum ist, besteht darin, dass in erster Näherung keine Änderung auftritt und die Änderung proportional zum Quadrat der Abweichung vom wahren Pfad ist.

Wir gehen also den folgenden Weg: bezeichnen durch X(T) (mit einer Zeile darunter) Der wahre Weg ist der, den wir finden wollen. Machen wir einen Probelauf X(T), um einen kleinen Betrag vom gewünschten abweichen, den wir bezeichnen η (T).

Die Idee ist, dass wir die Aktion zählen S auf einem Weg X(T), dann der Unterschied zwischen diesem S und die Aktion, die wir für den Pfad berechnet haben X(T) (Der Einfachheit halber wird es bezeichnet S), oder Unterschied zwischen S_ Und S, sollte in erster Näherung liegen η null. In der zweiten Ordnung können sie unterschiedlich sein, in der ersten Ordnung muss die Differenz jedoch Null sein.

Und dies muss bei jedem beachtet werden η . Allerdings nicht ganz jedermanns Sache. Bei der Methode müssen nur die Pfade berücksichtigt werden, die alle am selben Punktpaar beginnen und enden, d. h. jeder Pfad muss zu diesem Zeitpunkt an einem bestimmten Punkt beginnen T 1 und im Moment an einem anderen bestimmten Punkt enden T 2 . Diese Punkte und Momente sind festgelegt. Unsere Funktion d) (Abweichung) muss also an beiden Enden Null sein: η (T 1 )= 0 Und η (t2)=0. Unter dieser Bedingung wird unser mathematisches Problem vollständig definiert.

Wenn Sie die Differentialrechnung nicht kennen, könnten Sie dasselbe tun, um das Minimum einer gewöhnlichen Funktion zu finden F(X). Würden Sie darüber nachdenken, was passieren würde, wenn Sie es nehmen würden? F(X) und hinzufügen X geringe Menge H, und würde argumentieren, dass die Änderung zu F(X) in erster Ordnung von H sollte mindestens Null sein. Würden Sie einrahmen? x+H anstatt X und entwickle j(x+h) bis zur ersten Potenz H. . ., mit einem Wort, würde alles wiederholen, was wir vorhaben η .

Wenn wir uns das nun genauer ansehen, werden wir sehen, dass die ersten beiden hier geschriebenen Begriffe dieser Aktion entsprechen S, was ich für den gewünschten wahren Weg schreiben würde X. Ich möchte Ihre Aufmerksamkeit auf Veränderungen lenken S, d.h. auf den Unterschied zwischen S und Themen S_, was man für den wahren Weg erhalten würde. Wir werden diesen Unterschied als schreiben bS und nenne es Variation S. Unter Vernachlässigung der „zweiten und höheren Ordnungen“ erhalten wir für σS

Nun sieht die Aufgabe so aus. Hier liegt ein Integral vor mir. Ich weiß noch nicht, wie es ist, aber ich weiß genau, was, was η Ich nehme es nicht, dieses Integral muss gleich Null sein. „Nun“, denken Sie vielleicht, die einzige Möglichkeit dafür liegt der Multiplikator bei η war gleich Null. Aber was ist mit der ersten Amtszeit, wo es gibt D η / dt? Sie sagen: „Wenn η sich in Nichts verwandelt, dann ist seine Ableitung dasselbe Nichts; also der Koeffizient dv\/ dt muss ebenfalls Null sein. Nun, das stimmt nicht ganz. Dies ist nicht ganz richtig, da zwischen den Abweichungen η und seine Ableitung gibt es einen Zusammenhang; Sie sind nicht völlig unabhängig, weil η (T) muss Null sein und t1 und bei T 2 .


Bei der Lösung aller Probleme der Variationsrechnung wird immer ein und dasselbe allgemeine Prinzip verwendet. Sie verschieben leicht, was Sie variieren möchten (genau wie wir es durch Hinzufügen getan haben). η ), Blick auf die Bedingungen erster Ordnung, Dann Ordnen Sie alles so an, dass Sie ein Integral in dieser Form erhalten: „Verschiebung (η ), multipliziert mit dem, was sich herausstellt, „aber es gibt keine Ableitungen davon.“ η (NEIN D η / dt). Es ist unbedingt notwendig, alles so umzuwandeln, dass „etwas“ multipliziert mit bleibt η . Jetzt werden Sie verstehen, warum das so wichtig ist. (Es gibt Formeln, die Ihnen sagen, wie Sie dies in manchen Fällen ohne Berechnungen tun können. Sie sind jedoch nicht so allgemein, dass es sich lohnt, sie zu lernen. Am besten führen Sie die Berechnungen so durch, wie wir es tun.)

Wie kann ich einen Schwanz neu machen? D η / dt, darin erscheinen η ? Ich kann dies erreichen, indem ich nach Teilen integriere. Es stellt sich heraus, dass in der Variationsrechnung der ganze Trick darin besteht, die Variation aufzuschreiben S und dann partiell integrieren, so dass die Ableitungen von η verschwunden. Bei allen Problemen, in denen Ableitungen vorkommen, wird derselbe Trick angewendet.

Abrufen allgemeines Prinzip Integration in Teilstücken. Wenn Sie eine beliebige Funktion haben, multipliziert mit D η / dt und integriert über T, dann schreibst du die Ableitung von η /T

Die Integrationsgrenzen müssen in den ersten Term eingesetzt werden t1 Und T 2 . Dann erhalte ich unter dem Integral einen Term aus der partiellen Integration und den letzten Term, der bei der Transformation unverändert geblieben ist.
Und jetzt passiert das, was immer passiert: Der integrierte Teil verschwindet. (Und wenn es nicht verschwindet, muss das Prinzip umformuliert und Bedingungen hinzugefügt werden, die ein solches Verschwinden gewährleisten!) Das haben wir bereits gesagt η an den Enden des Pfades muss gleich Null sein. Was ist schließlich unser Prinzip? Dabei ist die Wirkung minimal, vorausgesetzt, dass die Variablenkurve an ausgewählten Punkten beginnt und endet. Das bedeutet es η (t 1)=0 und η (t2)=0. Daher stellt sich heraus, dass der integrierte Term gleich Null ist. Wir versammeln die restlichen Mitglieder und schreiben

Variation S hat nun die Form angenommen, die wir ihm geben wollten: Etwas steht in Klammern (bezeichnen wir es). F), und das alles wird multipliziert mit η (T) und integriert von t t Vor T 2 .
Es stellte sich heraus, dass das Integral eines Ausdrucks multipliziert mit η ist (T), ist immer Null:

Eine gewisse Funktion lohnt sich T; multipliziere es mit η (T) und integrieren Sie es von Anfang bis Ende. Und was auch immer es ist η, Ich bekomme null. Dies bedeutet, dass die Funktion F(T) gleich Null. Im Allgemeinen ist dies offensichtlich, aber für alle Fälle zeige ich Ihnen eine Möglichkeit, dies zu beweisen.

Sei η (T) Ich werde etwas wählen, das überall und für alle Null ist T, bis auf einen voreingestellten Wert T. Es bleibt Null, bis ich dort ankomme. T, H dann zuckt es kurz zusammen und zieht sich sofort zurück. Wenn Sie das Integral dieses m) mit einer Funktion multiplizieren F, Der einzige Ort, an dem man etwas ungleich Null erhält, ist wo η (T) sprang; und Sie werden den Wert erhalten F an dieser Stelle auf dem Integral über den Sprung. Für sich genommen ist das Sprungintegral nicht gleich Null, sondern nach Multiplikation mit F es sollte Null ergeben. Das bedeutet, dass die Funktion an der Stelle, an der ein Sprung stattgefunden hat, Null sein muss. Aber der Sprung hätte überall gemacht werden können; Bedeutet, F muss überall Null sein.

Wir sehen das, wenn unser Integral für irgendjemanden gleich Null ist η , dann der Koeffizient bei η sollte auf Null gehen. Das Wirkungsintegral erreicht auf dem Weg ein Minimum, das eine so komplexe Differentialgleichung erfüllt:

Eigentlich ist es gar nicht so schwer; Du hast ihn schon einmal getroffen. Es ist nur F=ma. Der erste Term ist Masse mal Beschleunigung; die zweite ist die Ableitung der potentiellen Energie, also der Kraft.

Wir haben also (zumindest für ein konservatives System) gezeigt, dass das Prinzip der geringsten Aktion zur richtigen Antwort führt; Er behauptet, dass der Weg mit einem Minimum an Wirkung der Weg ist, der Newtons Gesetz erfüllt.

Es muss noch eine Bemerkung gemacht werden. Das habe ich nicht bewiesen Minimum. Vielleicht ist das das Maximum. Tatsächlich muss dies nicht das Minimum sein. Hier ist alles wie beim „Prinzip der kürzesten Zeit“, das wir im Studium der Optik besprochen haben. Auch dort haben wir zunächst über die „kürzeste“ Zeit gesprochen. Allerdings stellte sich heraus, dass es Situationen gibt, in denen diese Zeit nicht unbedingt die „kürzeste“ ist. Das Grundprinzip ist das für jeden Abweichungen erster Ordnung aus dem Strahlengang Änderungen mit der Zeit wäre gleich Null; die gleiche Geschichte hier. Mit „Minimum“ meinen wir eigentlich die erste Größenordnung der Kleinheit der Mengenänderung S für Abweichungen vom Pfad sollte gleich Null sein. Und es muss nicht „Minimum“ sein.

Nun möchte ich zu einigen Verallgemeinerungen übergehen. Erstens könnte die ganze Geschichte dreidimensional umgesetzt werden. Anstelle eines einfachen X Das hätte ich dann getan x, y Und z als eine Funktion T, und die Aktion würde komplizierter aussehen. Bei 3D-Bewegungen muss die gesamte kinetische Energie genutzt werden): (t/2), multipliziert mit dem Quadrat der Gesamtgeschwindigkeit. Mit anderen Worten

Auch die potentielle Energie ist nun eine Funktion x, y Und z. Was lässt sich über den Weg sagen? Ein Weg ist eine bestimmte allgemeine Kurve im Raum; Es ist nicht so einfach zu zeichnen, aber die Idee bleibt dieselbe. Und was ist mit η? Nun, η hat auch drei Komponenten. Der Pfad kann sowohl in x als auch in verschoben werden ja, und von z, oder in alle drei Richtungen gleichzeitig. So η jetzt ein Vektor. Dadurch treten keine schwerwiegenden Komplikationen auf. Da nur die Variationen gleich Null sein sollten erste Bestellung, dann ist es möglich, die Berechnung sequentiell mit drei Schichten durchzuführen. Zuerst können Sie umziehen C nur in die Richtung X und sagen Sie, dass der Koeffizient auf Null gehen muss. Sie erhalten eine Gleichung. Dann werden wir umziehen C in die Richtung bei und hol dir den zweiten. Dann bewegen wir uns in die Richtung z und hol dir den dritten. Sie können alles, wenn Sie möchten, auch in einer anderen Reihenfolge erledigen. Wie dem auch sei, es entsteht ein Gleichungstripel. Aber auch das Newtonsche Gesetz besteht aus drei Gleichungen in drei Dimensionen, eine für jede Komponente. Sie müssen selbst sehen, dass das alles in drei Dimensionen funktioniert (hier gibt es nicht viel Arbeit). Übrigens können Sie jedes beliebige Koordinatensystem nehmen, egal ob polar oder beliebig, und sofort die Newtonschen Gesetze in Bezug auf dieses System erhalten, wenn Sie berücksichtigen, was passiert, wenn eine Verschiebung auftritt η entlang eines Radius oder entlang eines Winkels usw.

Die Methode kann auch auf eine beliebige Anzahl von Teilchen verallgemeinert werden. Wenn Sie beispielsweise zwei Teilchen haben und einige Kräfte zwischen ihnen wirken und es eine gegenseitige potentielle Energie gibt, dann addieren Sie einfach ihre kinetischen Energien und subtrahieren die potentielle Wechselwirkungsenergie von der Summe. Was variieren Sie? Wege beide Partikel. Dann ergeben sich für zwei Teilchen, die sich in drei Dimensionen bewegen, sechs Gleichungen. Sie können die Position von Partikel 1 in der Richtung variieren X, in die Richtung bei und in die Richtung z, und machen Sie dasselbe mit Teilchen 2, also gibt es sechs Gleichungen. Und so sollte es auch sein. Drei Gleichungen bestimmen die Beschleunigung von Teilchen 1 aufgrund der auf es wirkenden Kraft, und drei weitere bestimmen die Beschleunigung von Teilchen 2 aufgrund der auf es wirkenden Kraft. Befolgen Sie immer die gleichen Spielregeln und Sie erhalten das Newtonsche Gesetz für eine beliebige Anzahl von Teilchen.

Ich sagte, dass wir das Newtonsche Gesetz bekommen werden. Das stimmt nicht ganz, denn das Newtonsche Gesetz berücksichtigt auch nichtkonservative Kräfte, wie zum Beispiel die Reibung. Newton behauptete das Das ist gleich jedem F. Das Prinzip der kleinsten Wirkung gilt nur für konservativ Systeme, so dass alle Kräfte aus einer potentiellen Funktion abgeleitet werden können. Aber Sie wissen das auf der mikroskopischen Ebene, also im tiefsten Inneren körperliche Ebene, es gibt keine nichtkonservativen Kräfte. Nichtkonservative Kräfte (wie Reibung) entstehen nur dadurch, dass wir mikroskopisch komplexe Effekte vernachlässigen: Es gibt einfach zu viele Teilchen, um sie zu analysieren. Grundlegend gleiche Gesetze dürfen als Prinzip der geringsten Wirkung ausgedrückt werden.

Lassen Sie mich zu weiteren Verallgemeinerungen übergehen. Angenommen, wir interessieren uns dafür, was passiert, wenn sich das Teilchen relativistisch bewegt. Bis wir die richtige relativistische Bewegungsgleichung erhalten; F=ma gilt nur in nichtrelativistischen Bewegungen. Es stellt sich die Frage: Gibt es im relativistischen Fall ein entsprechendes Prinzip der geringsten Wirkung? Ja da ist. Die Formel im relativistischen Fall lautet:

Der erste Teil des Wirkungsintegrals ist das Produkt der Ruhemasse t 0 An seit 2 und über das Integral der Geschwindigkeitsfunktion √ (1-v2/c 2 ). Dann subtrahieren wir nicht die potentielle Energie, sondern multiplizieren die Integrale des Skalarpotentials φ und des Vektorpotentials A mit v. Dabei werden natürlich nur elektromagnetische Kräfte berücksichtigt. Alle elektrischen und magnetischen Felder werden durch φ und A ausgedrückt. Eine solche Wirkungsfunktion liefert eine vollständige Theorie der relativistischen Bewegung eines einzelnen Teilchens in einem elektromagnetischen Feld.

Natürlich müssen Sie verstehen, dass Sie überall dort, wo ich v geschrieben habe, ersetzen sollten, bevor Sie Berechnungen durchführen dx/ dt anstatt v x usw. Außerdem, wo ich einfach geschrieben habe x, y, z, Man muss sich die Punkte im Moment vorstellen T: X(T), j(T), z(T). Tatsächlich erhält man erst nach solchen Substitutionen und Ersetzungen von v eine Formel für die Wirkung eines relativistischen Teilchens. Lassen Sie die erfahrensten unter Ihnen versuchen zu beweisen, dass diese Wirkungsformel tatsächlich die richtigen Bewegungsgleichungen für die Relativitätstheorie liefert. Lassen Sie mich Ihnen nur raten, zunächst A zu verwerfen, also vorerst auf Magnetfelder zu verzichten. Dann müssen Sie die Komponenten der Bewegungsgleichung ermitteln dp/dt=—qVφ, wobei, wie Sie sich wahrscheinlich erinnern, p=mv√(1-v 2 /c 2).

Wesentlich schwieriger ist es, das Vektorpotential A zu berücksichtigen. Variationen werden dann ungleich komplexer. Aber am Ende stellt sich heraus, dass die Kraft gleich dem ist, was folgt: g(E+v × B). Aber viel Spaß selbst damit.

Ich möchte betonen, dass im allgemeinen Fall (z. B. in der relativistischen Formel) die Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie nicht mehr unter dem Integral in der Wirkung liegt. Dies galt nur in der nichtrelativistischen Näherung. Zum Beispiel ein Mitglied m o c 2√(1-v2/c2) ist nicht das, was man kinetische Energie nennt. Die Frage, wie die Maßnahme in einem willkürlichen Einzelfall aussehen soll, kann nach einigem Ausprobieren entschieden werden. Dies ist ein Problem von der gleichen Art wie die Bestimmung der Bewegungsgleichungen. Sie müssen nur mit den Ihnen bekannten Gleichungen herumspielen und sehen, ob sie als Prinzip der geringsten Wirkung geschrieben werden können.

Noch eine Anmerkung zur Terminologie. Die Funktion, die im Laufe der Zeit integriert wird, um die Aktion zu erhalten S, genannt LagrangeΛ. Dies ist eine Funktion, die nur von den Geschwindigkeiten und Positionen der Teilchen abhängt. Das Prinzip der geringsten Wirkung kann also auch als geschrieben werden

wo unter X ich Und v ich Alle Komponenten von Koordinaten und Geschwindigkeiten sind impliziert. Wenn Sie jemals jemanden über den „Lagrange“ sprechen hören, wissen Sie, dass es sich um eine Funktion handelt, die zum Abrufen verwendet wird S. Für relativistische Bewegung in einem elektromagnetischen Feld

Darüber hinaus sollte ich anmerken, dass die akribischsten und pedantischsten Menschen keine Namen nennen S Aktion. Es wurde als „Hamiltons erste große Funktion“ bezeichnet. Aber einen Vortrag über „Hamiltons Prinzip der kleinsten Hauptfunktion“ zu halten, überstieg meine Kräfte. Ich habe es „Aktion“ genannt. Und außerdem immer mehr mehr Leute Nennen Sie es „Aktion“. Historisch gesehen wurde Aktion als etwas anderes bezeichnet, das für die Wissenschaft nicht so nützlich war, aber ich denke, dass es sinnvoller ist, die Definition zu ändern. Jetzt beginnen Sie damit, die neue Funktion als Aktion zu bezeichnen, und bald wird jeder sie mit diesem einfachen Namen nennen.

Jetzt möchte ich Ihnen zu unserem Thema etwas Ähnliches erzählen wie die Überlegungen, die ich zum Prinzip der kürzesten Zeit geführt habe. Es gibt einen Unterschied im Wesen des Gesetzes, das besagt, dass ein Integral, das von einem Punkt zu einem anderen genommen wird, ein Minimum hat – das Gesetz, das uns auf einmal etwas über den gesamten Weg sagt, und das Gesetz, das besagt, wann man sich bewegt Das bedeutet, dass es eine Kraft gibt, die zur Beschleunigung führt. Der zweite Ansatz informiert Sie über jeden Ihrer Schritte, er zeichnet Ihren Weg Zoll für Zoll nach, und der erste gibt sofort eine allgemeine Aussage über den gesamten zurückgelegten Weg. Als wir über Licht sprachen, sprachen wir über den Zusammenhang zwischen diesen beiden Ansätzen. Nun möchte ich Ihnen erklären, warum es Differentialgesetze geben sollte, wenn es ein solches Prinzip gibt – das Prinzip der geringsten Wirkung. Der Grund ist folgender: Betrachten Sie den tatsächlich zurückgelegten Weg in Raum und Zeit. Nach wie vor kommen wir mit einer Dimension aus, so dass wir einen Abhängigkeitsgraphen zeichnen können X aus T. Auf dem wahren Weg S erreicht ein Minimum. Angenommen, wir haben diesen Weg und er führt durch einen bestimmten Punkt A Raum und Zeit und durch einen anderen benachbarten Punkt B.

Nun, wenn das ganze Integral aus t1 Vor T 2 Erreicht ein Minimum, ist es notwendig, dass das Integral entlang einer kleinen Fläche von a bis verläuft B war auch minimal. Kann nicht dabei sein A Vor B zumindest leicht über dem Minimum. Andernfalls könnte man die Kurve auf diesem Abschnitt hin und her verschieben und so den Wert des gesamten Integrals etwas verringern.

Dies bedeutet, dass jeder Teil des Pfades auch ein Minimum ergeben muss. Und das gilt für alle kleinen Abschnitte des Weges. Daher lässt sich das Prinzip, dass der gesamte Weg ein Minimum ergeben muss, so formulieren, dass ein unendlich kleiner Abschnitt des Weges auch eine solche Kurve ist, auf der die Wirkung minimal ist. Und wenn wir einen ausreichend kurzen Abschnitt des Weges nehmen – zwischen Punkten, die sehr nahe beieinander liegen A Und B,- Es spielt keine Rolle, wie sich das Potenzial von Punkt zu Punkt entfernt von diesem Ort ändert, denn wenn Sie Ihren gesamten kurzen Abschnitt durchlaufen, verlassen Sie den Ort fast nie. Das Einzige, was Sie berücksichtigen müssen, ist die Änderung erster Ordnung der Kleinheit des Potenzials. Die Antwort hängt möglicherweise nur von der Ableitung des Potenzials ab und nicht vom Potenzial anderswo. So wird aus einer Aussage über die Eigenschaft des gesamten Weges eine Aussage darüber, was auf einem kurzen Wegabschnitt geschieht, also zu einer Differentialaussage. Und diese Differentialformulierung umfasst die Ableitungen des Potentials, also der Kraft an einem bestimmten Punkt. Dies ist eine qualitative Erklärung des Zusammenhangs zwischen dem Gesetz im Allgemeinen und dem Differentialgesetz.

Als wir über Licht sprachen, diskutierten wir auch über die Frage: Wie findet ein Teilchen überhaupt den richtigen Weg? Aus differenzieller Sicht ist dies leicht zu verstehen. In jedem Moment erfährt das Teilchen eine Beschleunigung und weiß nur, was es in diesem Moment tun soll. Aber alle Ihre Instinkte für Ursache und Wirkung kommen zum Tragen, wenn Sie hören, dass ein Teilchen „entscheidet“, welchen Weg es einschlagen soll, und sich auf ein Minimum an Aktion konzentriert. „Schnüffelt“ es bereits an benachbarten Wegen und fragt sich, wohin sie führen werden – zu mehr oder weniger Taten? Als wir einen Schirm im Weg des Lichts platzierten, damit die Photonen nicht alle Wege ausprobieren konnten, stellten wir fest, dass sie sich nicht entscheiden konnten, welchen Weg sie einschlagen sollten, und wir bekamen das Phänomen der Beugung.

Aber gilt das auch für die Mechanik? Stimmt es, dass das Teilchen nicht einfach „den richtigen Weg geht“, sondern alle anderen denkbaren Flugbahnen überdenkt? Und was wäre, wenn wir ihm Hindernisse in den Weg legen und ihm nicht erlauben, nach vorne zu schauen, dann erhalten wir ein Analogon des Phänomens der Beugung? Das Wunderbare an all dem ist, dass es wirklich so ist. Das sagen die Gesetze der Quantenmechanik. Unser Prinzip der geringsten Wirkung ist also noch nicht vollständig formuliert. Es besteht nicht darin, dass das Teilchen den Weg der geringsten Wirkung wählt, sondern darin, dass es alle benachbarten Wege „riecht“ und denjenigen wählt, auf dem die Wirkung minimal ist, und die Methode dieser Wahl ist ähnlich das, wodurch Licht die kürzeste Zeit wählt. Sie erinnern sich, dass Licht die kürzeste Zeit benötigt: Wenn das Licht einen Weg nimmt, der eine andere Zeit benötigt, dann wird es eine andere Phase haben. Und die Gesamtamplitude an einem bestimmten Punkt ist die Summe der Beiträge der Amplituden für alle Wege, die das Licht nehmen kann, um es zu erreichen. Alle Wege, bei denen sich die Phasen stark unterscheiden, ergeben nach der Addition nichts. Wenn es Ihnen jedoch gelingt, die gesamte Abfolge von Pfaden zu finden, deren Phasen nahezu gleich sind, dann summieren sich die kleinen Beiträge und am Ankunftspunkt erhält die volle Amplitude einen spürbaren Wert. Der wichtigste Weg wird derjenige, in dessen Nähe es viele nahegelegene Wege gibt, die die gleiche Phase ergeben.

Genau das Gleiche passiert in der Quantenmechanik. Die vollständige Quantenmechanik (nicht relativistisch und unter Vernachlässigung des Spins eines Elektrons) funktioniert folgendermaßen: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen einen Punkt verlässt 1 In dem Moment t1, kommt auf den Punkt 2 In dem Moment T 2 , ist gleich dem Quadrat der Wahrscheinlichkeitsamplitude. Die Gesamtamplitude kann als Summe der Amplituden für alle geschrieben werden mögliche Wege— für jede Anreiseart. Für jeden X(T), was für jede denkbare imaginäre Flugbahn auftreten könnte, muss man die Amplitude berechnen. Dann müssen sie alle gefaltet werden. Was sollen wir als Amplitude der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfades annehmen? Unser Aktionsintegral sagt uns, wie groß die Amplitude eines einzelnen Pfades sein muss. Amplitude proportional zu e tS/h, Wo S – Action auf dem Weg. Das heißt, wenn wir die Phase der Amplitude als komplexe Zahl darstellen, ist der Phasenwinkel gleich S/ H. Aktion S hat die Dimension der Energie über der Zeit, und das Plancksche Wirkungsquantum hat die gleiche Dimension. Es ist eine Konstante, die bestimmt, wann Quantenmechanik benötigt wird.

Und so funktioniert alles. Lassen Sie für alle Wege die Aktion S wird im Vergleich zur Anzahl sehr groß sein H. Lassen Sie einen Weg zu einer bestimmten Größe der Amplitude führen. Die Phase des nächsten angelegten Weges wird völlig anders ausfallen, denn mit einem riesigen S sogar kleinere Änderungen S die Phase abrupt ändern H extrem wenige). Dies bedeutet, dass die angrenzenden Pfade normalerweise ihre Beiträge löschen, wenn sie hinzugefügt werden. Und nur in einem Bereich ist dies nicht der Fall – in dem Bereich, in dem sowohl der Pfad als auch sein Nachbar in erster Näherung die gleiche Phase haben (oder genauer gesagt, fast die gleiche Wirkung, die sich im Inneren ändert). H). Es werden nur solche Pfade berücksichtigt. Und im Grenzfall, wenn die Planck-Konstante gilt H gegen Null tendiert, lassen sich die korrekten quantenmechanischen Gesetze wie folgt zusammenfassen: „Vergessen Sie all diese Wahrscheinlichkeitsamplituden.“ Das Teilchen bewegt sich wirklich auf einem besonderen Weg – genau auf dem, auf dem S ändert sich in erster Näherung nicht. Dies ist die Verbindung zwischen dem Prinzip der kleinsten Wirkung und der Quantenmechanik. Dass die Quantenmechanik auf diese Weise formuliert werden kann, wurde 1942 von einem Schüler desselben Lehrers, Herrn Bader, entdeckt, von dem ich Ihnen erzählt habe. [Die Quantenmechanik wurde ursprünglich unter Verwendung einer Differentialgleichung für die Amplitude (Schrödinger) und auch unter Verwendung einiger Matrixmathematik (Heisenberg) formuliert.]

Jetzt möchte ich über andere Prinzipien des Minimums in der Physik sprechen. Es gibt viele interessante Prinzipien dieser Art. Ich werde sie nicht alle aufzählen, sondern nur eine weitere nennen. Später, wenn wir bei eins sind physikalisches Phänomen, für die es ein hervorragendes Mindestprinzip gibt, ich werde Ihnen davon erzählen. Und nun möchte ich zeigen, dass es nicht notwendig ist, die Elektrostatik durch eine Differentialgleichung für das Feld zu beschreiben; man kann stattdessen verlangen, dass ein Integral ein Maximum oder Minimum hat. Nehmen wir zunächst den Fall, dass die Ladungsdichte überall bekannt ist, wir aber das Potential φ an jedem Punkt im Raum ermitteln müssen. Sie wissen bereits, dass die Antwort lauten sollte:

Anders ausgedrückt: Man muss das Integral berechnen U*

ist das Volumenintegral. Es wird im gesamten Raum aufgenommen. Bei korrekter Verteilung des Potentials φ (X, y,z) dieser Ausdruck erreicht ein Minimum.

Wir können zeigen, dass diese beiden Aussagen zur Elektrostatik gleichwertig sind. Angenommen, wir haben eine beliebige Funktion φ gewählt. Wir wollen das zeigen, wenn wir für φ nehmen korrekter Wert Potenzial _φ plus einer kleinen Abweichung f, dann in der ersten Kleinheitsordnung die Änderung in U* wird Null sein. Also schreiben wir

hier ist φ das, wonach wir suchen; aber wir werden φ variieren, um zu sehen, wie es sein muss, damit die Variation erfolgt U* erwies sich als äußerst klein. Im ersten Mitglied U* wir müssen schreiben

Dies muss überintegriert werden x, y und von z. Und hier bietet sich der gleiche Trick an: loswerden df/ dx, wir werden uns integrieren X in Teilen. Dies führt zu einer zusätzlichen Differenzierung von φ nach X. Dies ist die gleiche Grundidee, mit der wir die Derivate in Bezug auf abgeschafft haben T. Wir nutzen Gleichheit

Der integrierte Term ist Null, da wir davon ausgehen, dass f im Unendlichen Null ist. (Dies entspricht dem Verschwinden von η, wenn T 1 Und T 2 . Unser Prinzip lässt sich also wie folgt genauer formulieren: U* für das Recht φ weniger als für alle anderen φ(x, y,z), mit den gleichen Werten im Unendlichen.) Dann machen wir dasselbe mit bei und mit z. Unser Integral ΔU* wird

Damit diese Variation für jedes beliebige f Null ist, muss der Koeffizient von f Null sein. Bedeutet,

Wir sind wieder bei unserer alten Gleichung. Unser „Minimal“-Vorschlag ist also richtig. Es kann verallgemeinert werden, indem die Berechnungen geringfügig geändert werden. Gehen wir zurück und integrieren nach Teilen, ohne alles Komponente für Komponente zu beschreiben. Beginnen wir damit, die folgende Gleichung zu schreiben:

Indem ich die linke Seite differenziere, kann ich zeigen, dass sie genau gleich der rechten Seite ist. Diese Gleichung ist für die partielle Integration geeignet. In unserem Integral ΔU* wir ersetzen Vφ*Vf n und fV 2 φ+V*(fVφ) und integrieren Sie dies dann über das Volumen. Der Divergenzterm nach Volumenintegration wird durch das Oberflächenintegral ersetzt:

Und da wir über den gesamten Raum integrieren, liegt die Oberfläche in diesem Integral im Unendlichen. Daher ist f=0 und wir erhalten das vorherige Ergebnis.

Erst jetzt beginnen wir zu verstehen, wie wir Probleme lösen können, in denen wir uns befinden wir wissen es nicht wo sich alle Ladungen befinden. Angenommen, wir haben Leiter, auf denen Ladungen irgendwie verteilt sind. Wenn die Potenziale auf allen Leitern festgelegt sind, darf weiterhin unser Minimalprinzip gelten. Integration in U* Wir beziehen uns nur auf den Bereich, der außerhalb aller Leiter liegt. Da wir aber (φ) auf Leitern nicht ändern können, gilt f = 0 auf ihrer Oberfläche und das Oberflächenintegral

müssen nur in den Lücken zwischen den Leitern durchgeführt werden. Und natürlich bekommen wir wieder die Poisson-Gleichung

Wir haben daher gezeigt, dass unser Anfangsintegral U* erreicht ein Minimum, selbst wenn es im Raum zwischen den Leitern berechnet wird, von denen jeder auf einem festen Potential liegt [das bedeutet, dass jede Testfunktion φ(x, ja,z) muss gleich dem gegebenen Potential des Leiters sein, wenn (x, y,z) - Punkte der Oberfläche des Leiters]. Einen interessanten Sonderfall gibt es, wenn sich die Ladungen nur auf den Leitern befinden. Dann

Und unser Minimalprinzip sagt uns, dass in dem Fall, in dem jeder Leiter sein eigenes vorbestimmtes Potenzial hat, die Potenziale dazwischen so zusammenpassen, dass das Integral entsteht U* fällt so klein wie möglich aus. Was ist dieses Integral? Der Vφ-Term ist das elektrische Feld. Das Integral ist also die elektrostatische Energie. Das richtige Feld ist das einzige, das von allen Feldern, die man als Potentialgradient erhält, die kleinste Gesamtenergie hat.

Ich möchte dieses Ergebnis nutzen, um ein bestimmtes Problem zu lösen und Ihnen zu zeigen, dass all diese Dinge von wirklicher praktischer Bedeutung sind. Angenommen, ich habe zwei Leiter in Form eines zylindrischen Kondensators genommen.

Das Potential des Innenleiters beträgt beispielsweise V, und der äußere ist Null. Der Radius des Innenleiters sei gleich A, und extern - B. Nun können wir davon ausgehen, dass die Potenzialverteilung zwischen ihnen gleich ist beliebig. Aber wenn wir nehmen richtig Wert von φ und berechnen
(ε 0 /2) ∫ (Vφ) 2 dV dann sollte die Energie des Systems 1/2CV 2 betragen.

Mit Hilfe unseres Prinzips können wir also auch die Kapazität berechnen MIT. Wenn wir eine falsche Potentialverteilung annehmen und versuchen, die Kapazität eines Kondensators mit dieser Methode abzuschätzen, dann kommen wir zu einem Ergebnis sehr wichtig Kapazität bei einem festen V. Jedes angenommene Potenzial φ, das nicht genau seinem wahren Wert entspricht, führt auch zu einem falschen Wert von C, der größer als nötig ist. Aber wenn das falsch gewählte Potenzial cp immer noch eine grobe Näherung ist, dann ist die Kapazität MIT es wird bereits mit guter Genauigkeit ausfallen, da der Fehler in C im Vergleich zum Fehler in φ ein Wert zweiter Ordnung ist.

Angenommen, ich kenne die Kapazität eines Zylinderkondensators nicht. Um sie dann kennenzulernen, kann ich dieses Prinzip anwenden. Ich werde einfach verschiedene Funktionen von φ als Potential ausprobieren, bis ich den niedrigsten Wert erreiche MIT. Nehmen wir zum Beispiel an, dass ich ein Potential gewählt habe, das einem konstanten Feld entspricht. (Sie wissen natürlich, dass das Feld hier nicht wirklich konstant ist; es ändert sich wie 1/r) Wenn das Feld konstant ist, bedeutet dies, dass das Potential linear vom Abstand abhängt. Damit die Spannung an den Leitern den erforderlichen Werten entspricht, muss die Funktion φ die Form haben

Diese Funktion ist gleich V bei r=a, Null für r =b, und zwischen ihnen gibt es eine konstante Steigung gleich - V/(B—A). Also um das Integral zu definieren U*, Es ist lediglich erforderlich, das Quadrat dieses Gradienten mit ε o /2 zu multiplizieren und über das gesamte Volumen zu integrieren. Führen wir diese Berechnung für einen Zylinder mit einer Längeneinheit durch. Volumenelement mit Radius R entspricht 2prdr. Durch die Integration stelle ich fest, dass mein erster Versuch die folgende Kapazität ergibt:

So erhalte ich die Formel für die Kapazität, die zwar falsch ist, aber eine Art Näherung darstellt:

Natürlich unterscheidet es sich von der richtigen Antwort. C \u003d 2πε 0 / ln (b / a), aber im Großen und Ganzen ist es nicht so schlimm. Versuchen wir, es mit der richtigen Antwort für mehrere Werte zu vergleichen. b/a. Die von mir berechneten Zahlen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Sogar wenn b/a=2(und das führt schon zu recht großen Unterschieden zwischen konstanten und linearen Feldern), erhalte ich immer noch eine einigermaßen erträgliche Näherung. Die Antwort ist natürlich erwartungsgemäß etwas übertrieben. Wenn aber ein dünner Draht in einen großen Zylinder gelegt wird, sieht alles noch viel schlimmer aus. Dann ändert sich das Feld sehr stark und das Ersetzen durch ein konstantes Feld führt zu nichts Gutem. Mit b/a=100 verdoppeln wir die Antwort fast. Für kleine b/a Die Position sieht viel besser aus. Im entgegengesetzten Grenzfall, wenn der Spalt zwischen den Leitern nicht sehr groß ist (z. B. bei b/a=1,1), ist das konstante Feld eine sehr gute Näherung, es gibt den Wert an MIT auf Zehntelprozent genau.

Und jetzt erzähle ich Ihnen, wie Sie diese Berechnung verbessern können. (Die Antwort für den Zylinder lautet natürlich: berühmt, aber die gleiche Methode funktioniert für einige andere ungewöhnliche Formen(Kondensatoren, für die Sie möglicherweise nicht die richtige Antwort kennen.) Der nächste Schritt besteht darin, eine bessere Näherung für das wahre Potenzial φ zu finden, das wir nicht kennen. Nehmen wir an, Sie können eine Konstante plus einen Exponenten von φ testen usw. Aber woher wissen Sie, dass Sie die beste Näherung haben, wenn Sie den wahren φ nicht kennen? Antworten: Zusammenzählen MIT; je niedriger er ist, desto näher kommt er der Wahrheit. Testen wir diese Idee. Das Potential sei nicht linear, sondern beispielsweise quadratisch in r und das elektrische Feld nicht konstant, sondern linear. Am meisten allgemein quadratische Form, die zu φ=O wird, wenn R=b und in φ=F bei r=a, Ist:

wobei α eine konstante Zahl ist. Diese Formel ist etwas komplizierter als die vorherige. Es umfasst sowohl einen quadratischen Term als auch einen linearen Term. Es ist sehr einfach, daraus ein Feld zu erhalten. Es ist gleich einfach

Dies muss nun quadriert und über das Volumen integriert werden. Aber warte mal. Was soll ich für α nehmen? Für f kann ich eine Parabel nehmen, aber was? Folgendes werde ich tun: die Kapazität berechnen beliebiges α. ich werde bekommen

Es sieht etwas verwirrend aus, aber so sieht es aus, nachdem man das Quadrat des Feldes integriert hat. Jetzt kann ich selbst entscheiden. Ich weiß, dass die Wahrheit tiefer liegt als alles, was ich gleich herausfinden werde. Was auch immer ich anstelle von a einsetze, die Antwort ist immer noch zu groß. Aber wenn ich mein Spiel mit α fortsetze und versuche, den niedrigstmöglichen Wert zu bekommen MIT, dann wird dieser niedrigste Wert der Wahrheit näher sein als jeder andere Wert. Daher muss ich jetzt den Wert α wählen MIT sein Minimum erreicht. Wenn ich mich der üblichen Differentialrechnung zuwende, sehe ich das Minimum MIT wird sein, wenn α =— 2 B/(b+A). Wenn ich diesen Wert in die Formel einsetze, erhalte ich die kleinste Kapazität

Ich habe herausgefunden, was diese Formel bewirkt MIT bei unterschiedlichen Werten b/a. Diese Nummern habe ich angerufen MIT(quadratisch). Hier ist eine Vergleichstabelle MIT(quadratisch) mit MIT(WAHR).

Wenn das Radiusverhältnis beispielsweise 2:1 beträgt, erhalte ich 1,444. Dies ist eine sehr gute Annäherung an die richtige Antwort, 1,4423. Auch bei großen Ja Die Annäherung bleibt recht gut – es ist viel besser als der erste Annäherungen. Selbst bei b/a=10:1 bleibt es erträglich (nur 10 % überschätzt). Die große Diskrepanz kommt erst bei einem Verhältnis von 100:1. Ich verstehe MIT gleich 0,346 statt 0,267. Andererseits ist die Übereinstimmung für ein Radiusverhältnis von 1,5 ausgezeichnet, aber für b/a=1,1 Die Antwort lautet 10,492065 statt 10,492070. Wo eine gute Antwort zu erwarten ist, erweist sich diese als sehr, sehr gut.

Ich habe alle diese Beispiele gegeben, erstens, um den theoretischen Wert des Prinzips der minimalen Wirkung und aller Prinzipien des Minimums im Allgemeinen zu demonstrieren, und zweitens, um Ihnen ihre praktische Nützlichkeit zu zeigen, und keineswegs, um die Kapazität zu berechnen, was wir bereits sehr gut kennen. Für jede andere Form können Sie ein Näherungsfeld mit einigen unbekannten Parametern (wie α) ausprobieren und diese an ein Minimum anpassen. Sie erhalten hervorragende numerische Ergebnisse bei Problemen, die anders nicht gelöst werden können.

Das erstmals von Jacobi explizit formulierte Prinzip der geringsten Wirkung ähnelt dem Hamilton-Prinzip, ist jedoch weniger allgemein und schwieriger zu beweisen. Dieses Prinzip gilt nur für den Fall, dass die Zusammenhänge und die Kraftfunktion nicht von der Zeit abhängen und daher ein Integral der Lebenskraft vorliegt.

Dieses Integral sieht so aus:

Das oben genannte Hamilton-Prinzip besagt, dass die Variation des Integrals

ist beim Übergang der realen Bewegung zu jeder anderen unendlich nahen Bewegung, die das System von derselben überträgt, gleich Null Ausgangsposition in der gleichen Zeit an die gleiche Endposition fahren.

Das Jacobi-Prinzip hingegen drückt eine Eigenschaft, Bewegung, aus, die nicht von der Zeit abhängt. Jacobi betrachtet das Integral

Handlung definieren. Das von ihm aufgestellte Prinzip besagt, dass die Variation dieses Integrals Null ist, wenn wir die tatsächliche Bewegung des Systems mit jeder anderen unendlich nahen Bewegung vergleichen, die das System von derselben Anfangsposition in dieselbe Endposition bringt. In diesem Fall achten wir nicht auf das aufgewendete Zeitintervall, sondern beobachten die Gleichung (1), d. h. die Gleichung der Arbeitskraft mit dem gleichen Wert der Konstante h wie bei der tatsächlichen Bewegung.

Das notwendige Bedingung Extremum führt im Allgemeinen zum Minimum des Integrals (2), woher der Name des Prinzips der geringsten Wirkung stammt. Die Minimalbedingung scheint die natürlichste zu sein, da der Wert von T im Wesentlichen positiv ist und daher das Integral (2) notwendigerweise ein Minimum haben muss. Die Existenz eines Minimums kann nur dann schlüssig nachgewiesen werden, wenn das Zeitintervall ausreichend klein ist. Der Beweis dieses Satzes findet sich in Darboux‘ bekannter Vorlesung über die Theorie der Oberflächen. Wir werden es hier jedoch nicht darstellen und uns auf die Ableitung der Bedingung beschränken

432. Beweis des Prinzips der geringsten Wirkung.

Bei der tatsächlichen Berechnung stoßen wir auf eine Schwierigkeit, die beim Beweis des Satzes von Hamilton nicht vorhanden ist. Die Variable t bleibt nicht mehr unabhängig von Variation; also die Variationen von q i und q. hängen mit der Variation von t durch eine komplexe Beziehung zusammen, die sich aus Gleichung (1) ergibt. Der einfachste Weg, diese Schwierigkeit zu umgehen, besteht darin, die unabhängige Variable in eine Variable zu ändern, deren Werte zwischen konstanten zeitunabhängigen Grenzen liegen. Sei k eine neue unabhängige Variable, deren Grenzen als unabhängig von t angenommen werden. Beim Verschieben des Systems sind die Parameter und t Funktionen dieser Variablen

Die gestrichenen Buchstaben q bezeichnen die Ableitungen der q-Parameter nach der Zeit.

Da angenommen wird, dass die Verknüpfungen zeitunabhängig sind, sind die kartesischen Koordinaten x, y, z Funktionen von q, die keine Zeit enthalten. Daher werden ihre Ableitungen lineare homogene Funktionen von q sein und 7 wird eine homogene quadratische Form von q sein, deren Koeffizienten Funktionen von q sind. Wir haben

Um die zeitlichen Ableitungen von q zu unterscheiden, bezeichnen wir mit Klammern (q) die Ableitungen von q, die in Bezug darauf genommen und in Übereinstimmung damit gesetzt werden

dann werden wir es haben

und das Integral (2), ausgedrückt durch die neue unabhängige Variable A, wird die Form annehmen;

Die Ableitung kann mit dem Living-Force-Theorem eliminiert werden. Tatsächlich wird das Integral der lebendigen Kraft sein

Indem wir diesen Ausdruck in die Formel für einsetzen, bringen wir das Integral (2) in die Form

Das die Wirkung definierende Integral nahm somit die endgültige Form an (3). Der Integrand ist die Quadratwurzel der quadratischen Form der Größen

Zeigen wir, dass die Differentialgleichungen der Extremale des Integrals (3) genau die Lagrange-Gleichungen sind. Die Extremalgleichungen, basierend auf den allgemeinen Formeln der Variationsrechnung, lauten:

Wir multiplizieren die Gleichungen mit 2 und führen partielle Differentiationen durch, wobei wir berücksichtigen, dass nicht enthalten ist, dann erhalten wir, wenn wir den Index nicht schreiben,

Dies sind die Extremalgleichungen, ausgedrückt durch die unabhängige Variable. Die Aufgabe besteht nun darin, zur unabhängigen Variablen zurückzukehren

Da Г eine homogene Funktion zweiten Grades und eine homogene Funktion ersten Grades ist, gilt

Andererseits kann man auf die Ableitungsfaktoren in den Extremalgleichungen den Satz der lebendigen Kraft anwenden, der, wie wir oben gesehen haben, zur Substitution führt

Als Ergebnis aller Substitutionen werden die Extremalgleichungen auf die Form reduziert

Damit sind wir bei den Lagrange-Gleichungen angekommen.

433. Der Fall, wenn es keine treibenden Kräfte gibt.

Für den Fall, dass Antriebskräfte Nein, es gibt eine Gleichung für Arbeitskräfte, und das haben wir

Die Bedingung, dass das Integral ein Minimum ist, ist dieser Fall, dass der entsprechende Wert von -10 der kleinste sein sollte. Wenn also keine treibenden Kräfte vorhanden sind, dann ist unter allen Bewegungen, bei denen die lebendige Kraft denselben gegebenen Wert beibehält, die eigentliche Bewegung diejenige, die das System in kürzester Zeit von seiner Ausgangsposition in seine Endposition bringt.

Wenn das System auf einen einzigen Punkt reduziert wird, der sich entlang einer festen Oberfläche bewegt, dann ist die tatsächliche Bewegung unter allen Bewegungen entlang der Oberfläche, die mit derselben Geschwindigkeit ausgeführt werden, eine solche Bewegung, bei der der Punkt von seiner Anfangsposition zur Endposition gelangt auf die kürzeste

Zeitintervall. Mit anderen Worten: Ein Punkt beschreibt auf der Oberfläche die kürzeste Linie zwischen seinen beiden Positionen, also eine geodätische Linie.

434. Bemerkung.

Das Prinzip der geringsten Wirkung geht davon aus, dass das System mehrere Freiheitsgrade hat, denn wenn es nur einen Freiheitsgrad gäbe, würde eine Gleichung ausreichen, um die Bewegung zu bestimmen. Da die Bewegung in diesem Fall vollständig durch die Lebenskraftgleichung bestimmt werden kann, wird die tatsächliche Bewegung die einzige sein, die diese Gleichung erfüllt, und kann daher nicht mit einer anderen Bewegung verglichen werden.


LAST-ACTION-PRINZIP

Eines der Variationsprinzipien der Mechanik, nach Krom für den Vergleich einer gegebenen Klasse mechanischer Uhrwerke untereinander. System gilt für welches physikalische System. Wert, genannt Aktion, hat den kleinsten (genauer gesagt stationären) Wert. Normalerweise wird N. d. p. in einer von zwei Formen angewendet.

a) N.d.p. in Form von Hamilton – Ostrogradsky stellt fest, dass unter allen kinematisch möglichen Verschiebungen des Systems von einer Konfiguration in eine andere (nahe der ersten), die im gleichen Zeitintervall durchgeführt werden, die tatsächliche diejenige ist, für die die Hamilton-Aktion S gilt der Kleinste sein. Matte. in diesem Fall hat der Ausdruck von N.d.p. die Form: dS = 0, wobei d das Symbol der unvollständigen (isochronen) Variation ist (d. h. im Gegensatz zur vollständigen Variation variiert die Zeit darin nicht).

b) N.D.P. in der Form von Maupertuis - Lagrange stellt fest, dass unter allen kinematisch möglichen Verschiebungen eines Systems von einer Konfiguration in eine andere in seiner Nähe, die unter Beibehaltung des gleichen Wertes der Gesamtenergie des Systems durchgeführt werden, gilt, dass für k- Die größte Lagrange-Aktion W wird die kleinste sein. Matte. Der Ausdruck von N.d.p. hat in diesem Fall die Form DW=0, wobei D das Symbol der totalen Variation ist (im Gegensatz zum Hamilton-Ostrogradsky-Prinzip variieren hier nicht nur die Koordinaten und Geschwindigkeiten, sondern auch die Zeit, die das System benötigt von einer Konfiguration zu einer anderen wechseln). N. d. p. In diesem Fall gilt es nur für konservative und darüber hinaus holonome Systeme, während im ersten Fall das NDP allgemeiner ist und insbesondere auf nichtkonservative Systeme ausgedehnt werden kann. N. d. p. werden verwendet, um Ur-tionen der mechanischen Bewegung zusammenzustellen. Systeme und für das Studium des gemeinsamen St. in diesen Bewegungen. Bei entsprechender Verallgemeinerung der Konzepte von N. D. P. findet es Anwendungen in der Mechanik eines kontinuierlichen Mediums, in der Elektrodynamik und in der Quantentheorie. Mechanik usw.

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    Groß Enzyklopädisches Wörterbuch

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P. Maupertuis) im Jahr 1744, wies sofort auf seine universelle Natur hin und hielt es für anwendbar auf Optik und Mechanik. Aus diesem Prinzip leitete er die Gesetze der Reflexion und Brechung des Lichts ab.

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    Die mathematische Forschung und Entwicklung des Fermat-Prinzips wurde von Christian Huygens durchgeführt, woraufhin das Thema von den größten Wissenschaftlern des 17. Jahrhunderts aktiv diskutiert wurde. Leibniz führte 1669 den grundlegenden Aktionsbegriff in die Physik ein: „Die formalen Aktionen der Bewegung sind proportional zu ... dem Produkt aus der Menge der Materie, den von ihnen zurückgelegten Entfernungen und der Geschwindigkeit.“

    Parallel zur Analyse der Grundlagen der Mechanik wurden Methoden zur Lösung von Variationsproblemen entwickelt. Isaac Newton hat in seinen „Mathematischen Prinzipien der Naturphilosophie“ (1687) das erste Variationsproblem aufgestellt und gelöst: eine solche Form eines Rotationskörpers zu finden, der sich in einem Widerstandsmedium entlang seiner Achse bewegt, bei der der erlebte Widerstand am geringsten wäre . Fast gleichzeitig tauchten weitere Variationsprobleme auf: das Brachistochrone-Problem (1696), die Form einer Kettenlinie usw.

    Die entscheidenden Ereignisse ereigneten sich im Jahr 1744. Leonhard-Euler veröffentlichte das erste allgemeine Werk zur Variationsrechnung („Eine Methode zum Auffinden von Kurven mit den Eigenschaften eines Maximums oder Minimums“), und Pierre-Louis de Maupertuis in seiner Abhandlung „Die Versöhnung verschiedener Naturgesetze“. „Der Weg, dem das Licht folgt, ist der Weg, auf dem die Menge an Aktion am kleinsten sein wird.“ Er demonstrierte die Erfüllung dieses Gesetzes sowohl für die Reflexion als auch für die Lichtbrechung. Als Reaktion auf einen Artikel von Maupertuis veröffentlichte Euler (im selben Jahr 1744) die Arbeit „Über die Bestimmung der Bewegung geworfener Körper in einem widerstandslosen Medium nach der Methode der Maxima und Minima“ und gab in dieser Arbeit Das Maupertuis-Prinzip hat einen allgemeinen mechanischen Charakter: „Da alle Naturphänomene einem beliebigen Gesetz des Maximums oder Minimums folgen, besteht kein Zweifel daran, dass bei gekrümmten Linien, die geworfene Körper beschreiben, bei Einwirkung von Kräften auf sie eine Eigenschaft des Maximums oder Minimums auftritt.“ . Euler formulierte dieses Gesetz weiter: Die Flugbahn eines Körpers bildet ein Minimum ∫ m v d s (\displaystyle \int mv\ ds). Anschließend wandte er es an und leitete die Bewegungsgesetze in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld und in mehreren anderen Fällen ab.

    Im Jahr 1746 Maupertuis neue Arbeit stimmte Eulers Meinung zu und verkündete die allgemeinste Version seines Prinzips: „Wenn sich in der Natur eine Veränderung ereignet, ist der für diese Veränderung erforderliche Handlungsaufwand so gering wie möglich.“ Das Ausmaß der Wirkung ist das Produkt aus der Masse der Körper, ihrer Geschwindigkeit und der von ihnen zurückgelegten Distanz. In der anschließenden breiten Diskussion unterstützte Euler die Priorität von Maupertuis und argumentierte für die universelle Natur des neuen Gesetzes: „Die gesamte Dynamik und Hydrodynamik kann mit überraschender Leichtigkeit allein durch die Methode der Maxima und Minima offenbart werden.“

    Eine neue Phase begann in den Jahren 1760–1761, als Joseph Louis Lagrange ein strenges Konzept der Variation einer Funktion einführte, der Variationsrechnung ein modernes Aussehen verlieh und das Prinzip der kleinsten Wirkung auf ein beliebiges mechanisches System ausdehnte (d. h. nicht nur auf kostenlose Materialpunkte). Dies war der Beginn der analytischen Mechanik. Carl Gustav Jakob Jacobi führte 1837 eine weitere Verallgemeinerung des Prinzips durch – er betrachtete das Problem geometrisch als das Finden der Extremale eines Variationsproblems in einem Konfigurationsraum mit einer nichteuklidischen Metrik. Jacobi wies insbesondere darauf hin, dass die Flugbahn des Systems ohne äußere Kräfte eine geodätische Linie im Konfigurationsraum ist.

    Hamiltons Ansatz erwies sich in mathematischen Modellen der Physik, insbesondere der Quantenmechanik, als universell und äußerst effektiv. Ihre heuristische Stärke wurde bei der Erstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie bestätigt, als David Hilbert das Hamilton-Prinzip anwendete, um die endgültigen Gleichungen des Gravitationsfelds abzuleiten (1915).

    In der klassischen Mechanik

    Das Prinzip der geringsten Wirkung dient als grundlegende und standardmäßige Grundlage für die Lagrange- und Hamilton-Formulierungen der Mechanik.

    Betrachten wir zunächst die Konstruktion auf diese Weise Lagrange-Mechanik. Am Beispiel eines physikalischen Systems mit einem Freiheitsgrad erinnern wir uns daran, dass eine Aktion eine Funktion in Bezug auf (verallgemeinerte) Koordinaten (im Fall eines Freiheitsgrades - eine Koordinate) ist, das heißt, sie wird durch ausgedrückt q (t) (\displaystyle q(t)) damit jede erdenkliche Version der Funktion q (t) (\displaystyle q(t)) eine bestimmte Zahl wird verglichen - eine Aktion (in diesem Sinne können wir sagen, dass eine Aktion als Funktion eine Regel ist, die alles zulässt gegebene Funktion q (t) (\displaystyle q(t)) eine wohldefinierte Zahl berechnen – auch Aktion genannt). Die Aktion sieht so aus:

    S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L))(q(t),(\dot ( q))(t),t)dt,)

    Wo L (q (t) , q ˙ (t) , t) (\displaystyle (\mathcal (L))(q(t),(\dot (q))(t),t)) ist der Lagrange des Systems abhängig von der verallgemeinerten Koordinate q (\displaystyle q), seine erste Ableitung q ˙ (\displaystyle (\dot (q))) und möglicherweise auch explizit aus der Zeit t (\displaystyle t). Wenn das System mehr Freiheitsgrade hat n (\displaystyle n), dann hängt die Lagrangefunktion davon ab mehr verallgemeinerte Koordinaten q i (t) , i = 1 , 2 , … , n (\displaystyle q_(i)(t),\ i=1,2,\dots ,n) und ihre ersten Ableitungen. Somit ist die Aktion eine Skalarfunktion, die von der Flugbahn des Körpers abhängt.

    Die Tatsache, dass die Aktion ein Skalar ist, macht es einfach, sie in beliebigen verallgemeinerten Koordinaten zu schreiben. Hauptsache, die Position (Konfiguration) des Systems wird durch sie eindeutig charakterisiert (anstelle kartesischer Koordinaten können diese beispielsweise auch Polarkoordinaten sein). Koordinaten, Abstände zwischen Punkten des Systems, Winkel oder deren Funktionen usw. d.).

    Die Aktion kann für eine völlig beliebige Flugbahn berechnet werden q (t) (\displaystyle q(t)), egal wie „wild“ und „unnatürlich“ es auch sein mag. In der klassischen Mechanik gibt es jedoch unter allen möglichen Flugbahnen nur eine, entlang derer sich der Körper tatsächlich bewegen wird. Das Prinzip der Stationarität der Wirkung gibt lediglich die Antwort auf die Frage, wie sich der Körper tatsächlich bewegen wird:

    Das heißt, wenn die Lagrangefunktion des Systems gegeben ist, können wir mithilfe der Variationsrechnung genau bestimmen, wie sich der Körper bewegen wird, indem wir zunächst die Bewegungsgleichungen – die Euler -Lagrange-Gleichungen – ermitteln und diese dann lösen. Dies ermöglicht nicht nur eine ernsthafte Verallgemeinerung der Mechanikformulierung, sondern auch die Auswahl der bequemsten Koordinaten für jedes spezifische Problem, nicht nur auf kartesische, was sehr nützlich sein kann, um die einfachsten und am leichtesten lösbaren Gleichungen zu erhalten.

    S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i − H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i − H (q , p , t)) d t , (\displaystyle S=\int (\ big ()\sum _(i)p_(i)dq_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)dt(\big))=\int (\big ()\sum _( i)p_(i)(\dot (q))_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)(\big))dt,)

    Wo H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) (\displaystyle (\mathcal (H))(q,p, t)\equiv (\mathcal(H))(q_(1),q_(2),\dots ,q_(N),p_(1),p_(2),\dots ,p_(N),t) ) ist die Hamilton-Funktion des gegebenen Systems; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N (\displaystyle q\equiv q_(1),q_(2),\dots ,q_(N))- (verallgemeinerte) Koordinaten, p ≡ p 1 , p 2 , … , p N (\displaystyle p\equiv p_(1),p_(2),\dots ,p_(N))- konjugierte (verallgemeinerte) Impulse, die zusammen zu jedem gegebenen Zeitpunkt den dynamischen Zustand des Systems charakterisieren und jeweils eine Funktion der Zeit sind und somit die Entwicklung (Bewegung) des Systems charakterisieren. Um in diesem Fall die Bewegungsgleichungen des Systems in Form kanonischer „Hamilton“-Gleichungen zu erhalten, ist es notwendig, die so geschriebene Aktion unabhängig über alles zu variieren q ich (\displaystyle q_(i)) Und p ich (\displaystyle p_(i)).

    Es ist zu beachten, dass, wenn es prinzipiell möglich ist, aus den Bedingungen des Problems das Bewegungsgesetz zu finden, dies automatisch der Fall ist Nicht bedeutet, dass es möglich ist, eine Funktion zu konstruieren, die während der wahren Bewegung einen stationären Wert annimmt. Ein Beispiel ist die Gelenkbewegung elektrische Aufladungen und Monopole – magnetische Ladungen – in einem elektromagnetischen Feld. Ihre Bewegungsgleichungen lassen sich nicht aus dem Prinzip der Stationarität der Wirkung ableiten. In ähnlicher Weise haben einige Hamilton-Systeme Bewegungsgleichungen, die nicht aus diesem Prinzip folgen.

    Beispiele

    Triviale Beispiele helfen dabei, die Verwendung des Funktionsprinzips durch die Euler-Lagrange-Gleichungen zu bewerten. Freies Teilchen (Masse M und Geschwindigkeit v) bewegt sich geradlinig im euklidischen Raum. Mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen lässt sich dies wie folgt in Polarkoordinaten darstellen. Ohne Potenzial ist die Lagrange-Funktion einfach gleich der kinetischen Energie

    1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) (\displaystyle (\frac (1)(2))mv^(2)=(\frac (1)(2))m\left( (\dot (x))^(2)+(\dot (y))^(2)\right)) ψ = ∫ [ D x ] e (i S [ x ] / ℏ) . (\displaystyle \psi =\int e^(((iS[x])/(\hbar )))\,.)

    Hier ∫ [ D x ] (\displaystyle \int ) ist eine bedingte Notation der unendlichfachen funktionalen Integration über alle Trajektorien x(t) und ℏ (\displaystyle \hbar )- Plancksche Konstante. Wir betonen, dass im Prinzip die Wirkung im Exponentialprinzip selbst auftritt (oder auftreten kann), wenn man den Evolutionsoperator in der Quantenmechanik untersucht. Für Systeme, die ein exaktes klassisches (Nicht-Quanten-)Analogon haben, ist sie jedoch genau gleich die übliche klassische Aktion.

    Mathematische Analyse dieses Ausdrucks im klassischen Grenzwert – für ausreichend groß S / ℏ (\displaystyle S/\hbar ), also mit sehr schnellen Schwingungen des imaginären Exponenten – zeigt, dass sich die überwiegende Mehrheit aller möglichen Trajektorien in diesem Integral im Grenzfall gegenseitig aufhebt (formal, wenn S / ℏ → ∞ (\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty )). Für fast jeden Pfad gibt es einen Pfad, auf dem der Phaseneinbruch genau entgegengesetzt ist und der in der Summe einen Beitrag von Null ergibt. Nur die Trajektorien, bei denen die Wirkung nahe am Extremwert liegt (bei den meisten Systemen am Minimum), werden nicht reduziert. Dies ist eine rein mathematische Tatsache

  • 3.1 Wissenschaftliche Revolutionen in der Geschichte der Naturwissenschaften
  • 3.2. Die erste wissenschaftliche Revolution. Heliozentrisches System der Welt. Die Lehre von der Pluralität der Welten
  • 3.3. Die zweite wissenschaftliche Revolution. Entstehung der klassischen Mechanik und der experimentellen Naturwissenschaft. Mechanisches Weltbild
  • 3.4. Chemie in einer mechanischen Welt
  • 3.5. Naturwissenschaft der Neuzeit und das Problem der philosophischen Methode
  • 3.6. Dritte wissenschaftliche Revolution. Dialektisierung der Naturwissenschaften
  • 3.7. Reinigende Naturwissenschaft
  • 3.8. Forschungen auf dem Gebiet des elektromagnetischen Feldes und Beginn des Zusammenbruchs des mechanistischen Weltbildes
  • I Naturwissenschaft des 20. Jahrhunderts
  • 4.1. Die vierte wissenschaftliche Revolution. Eindringen in die Tiefen der Materie. Relativitätstheorie und Quantenmechanik. Der endgültige Zusammenbruch des mechanistischen Weltbildes
  • 4.2. Wissenschaftliche und technologische Revolution, ihre naturwissenschaftliche Komponente und historische Etappen
  • 4.3. Panorama der modernen Naturwissenschaft 4.3.1. Merkmale der Entwicklung der Wissenschaft im 20. Jahrhundert
  • 4.3.2. Physik des Mikrokosmos und der Megawelt. Atomphysik
  • 4.3.3. Errungenschaften in den Hauptrichtungen der modernen Chemie
  • 4.3.4. Biologie des 20. Jahrhunderts: Wissen über die molekulare Ebene des Lebens. Hintergrund der modernen Biologie.
  • 4.3.5. Kybernetik und Synergetik
  • Abschnitt III
  • I Raum und Zeit
  • 1.1. Entwicklung von Vorstellungen über Raum und Zeit in der vornewtonschen Zeit
  • 1. 2. Raum und Zeit
  • 1.3. Fern- und Nahbereich. Die Entwicklung des Begriffs „Feld“
  • 2.1 Galileisches Relativitätsprinzip
  • 2.2. Prinzip der geringsten Wirkung
  • 2.3. Spezielle Relativitätstheorie a. Einstein
  • 1. Das Relativitätsprinzip: Alle Naturgesetze sind in allen Inertialsystemen gleich.
  • 2.4. Elemente der Allgemeinen Relativitätstheorie
  • 3. Der Energieerhaltungssatz in makroskopischen Prozessen
  • 3.1. „Lebendige Kraft“
  • 3.2. Arbeite in der Mechanik. Das Gesetz der Energieerhaltung und -umwandlung in der Mechanik
  • 3.3. Innere Energie
  • 3.4. Umwandlung verschiedener Energiearten ineinander
  • 4. Das Prinzip der zunehmenden Entropie
  • 4.1. Idealer Carnot-Zyklus
  • 4.2. Das Konzept der Entropie
  • 4.3. Entropie und Wahrscheinlichkeit
  • 4.4. Ordnung und Chaos. Pfeil der Zeit
  • 4.5. „Maxwells Dämon“
  • 4.6. Das Problem des Hitzetodes des Universums. Boltzmann-Fluktuationshypothese
  • 4.7. Synergetik. Aus dem Chaos entsteht Ordnung
  • I Elemente der Quantenphysik
  • 5.1. Entwicklung von Ansichten über die Natur des Lichts. Planck-Formel
  • 5.2. Energie, Masse und Impuls eines Photons
  • 5.3. De Broglies Hypothese. Welleneigenschaften der Materie
  • 5.4. Heisenbergsche Unschärferelation
  • 5.5. Bohrsches Komplementaritätsprinzip
  • 5.6. Das Konzept der Integrität in der Quantenphysik. Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon
  • 5.7. Wahrscheinlichkeitswellen. Schrödinger-Gleichung. Kausalitätsprinzip in der Quantenmechanik
  • 5.8. Zustände des physikalischen Systems. Dynamische und statistische Muster in der Natur
  • 5.9. Relativistische Quantenphysik. Die Welt der Antiteilchen. Quantenfeldtheorie
  • I Auf dem Weg zur Konstruktion einer einheitlichen Feldtheorie 6.1. Noether-Theorem und Erhaltungssätze
  • 6.2. Das Konzept der Symmetrie
  • 6.3. Eichsymmetrien
  • 6.4. Interaktionen. Klassifizierung von Elementarteilchen
  • 6.5. Auf dem Weg zu einer einheitlichen Feldtheorie. Die Idee des spontanen Brechens der Vakuumsymmetrie
  • 6.6. Synergetische Vision der Entwicklung des Universums. Historismus physischer Objekte. Physikalisches Vakuum als erste Abstraktion in der Physik
  • 6.7. Anthropisches Prinzip. „Feinabstimmung“ des Universums
  • Abschnitt IV
  • 1. Chemie im System „Gesellschaft-Natur“.
  • I Chemische Bezeichnungen
  • Abschnitt V
  • I Theorien über den Ursprung des Lebens
  • 1.1. Kreationismus
  • 1.2. Spontane (spontane) Generation
  • 1.3. Steady-State-Theorie
  • 1.4. Panspermie-Theorie
  • 1.5. Biochemische Evolution
  • 2.1. Lamarcks Evolutionstheorie
  • 2.2. Darwin, Wallace und die Entstehung der Arten durch natürliche Selektion
  • 2.3. Modernes Konzept der Evolution
  • 3.1. Paläontologie
  • 3.2. Geografische Verteilung
  • 3.3. Einstufung
  • 3.4. Pflanzen- und Tierzucht
  • 3.5. Vergleichende anatomie
  • 3.6. Adaptive Strahlung
  • 3.7. Vergleichende Embryologie
  • 3.8. Vergleichende Biochemie
  • 3.9. Evolution und Genetik
  • Abschnitt VI. Menschlich
  • I Der Ursprung des Menschen und der Zivilisation
  • 1.1. Die Entstehung des Menschen
  • 1.2. Das Problem der Ethnogenese
  • 1.3. kulturelle Genese
  • 1.4. Die Entstehung der Zivilisation
  • I Der Mensch und die Biosphäre
  • 7.1. Das Konzept von V.I. Wernadski über die Biosphäre und das Phänomen Mensch
  • 7.2. Weltraumzyklen
  • 7.3. Der Kreislauf der Evolution. Der Mensch als kosmisches Wesen
  • I Inhaltsverzeichnis
  • Abschnitt I. Wissenschaftliche Methode 7
  • Abschnitt II. Geschichte der Naturwissenschaften 42
  • Abschnitt III. Elemente der modernen Physik 120
  • Abschnitt IV. Grundbegriffe und Darstellungen der Chemie246
  • Abschnitt V.. Ursprung und Entwicklung des Lebens 266
  • Abschnitt VI. Mann 307
  • 344007, Rostow am Don,
  • 344019, Rostow am Don, st. Sovetskaya, 57. Die Druckqualität entspricht den bereitgestellten Folien.

    • 2.2. Prinzip der geringsten Wirkung

    Im 18. Jahrhundert kam es zu einer weiteren Anhäufung und Systematisierung wissenschaftlicher Ergebnisse, die durch die Tendenz gekennzeichnet war, einzelne wissenschaftliche Errungenschaften durch die systematische Anwendung mathematischer Analysemethoden auf die Untersuchung physikalischer Phänomene zu einem streng geordneten, zusammenhängenden Weltbild zusammenzufassen. Die Arbeit vieler brillanter Köpfe in dieser Richtung hat zur Schaffung der Grundtheorie des mechanistischen Forschungsprogramms geführt – der analytischen Mechanik, auf deren Grundlage verschiedene grundlegende Theorien erstellt wurden, die eine bestimmte Klasse von Konjunkturen beschreiben.

    Phänomene: Hydrodynamik, Elastizitätstheorie, Aerodynamik usw. Eines der wichtigsten Ergebnisse der analytischen Mechanik ist das Prinzip der geringsten Wirkung (Variationsprinzip), das für das Verständnis der in der Physik am Ende des 20. Jahrhunderts ablaufenden Prozesse wichtig ist.

    Die Wurzeln der Entstehung von Variationsprinzipien in der Wissenschaft reichen bis ins antike Griechenland zurück und sind mit dem Namen Heron aus Alexandria verbunden. Die Idee jedes Variationsprinzips besteht darin, einen Wert zu variieren (zu ändern), der einen bestimmten Prozess charakterisiert, und aus allen möglichen Prozessen denjenigen auszuwählen, für den dieser Wert einen extremen (maximalen oder minimalen) Wert annimmt. Heron versuchte, die Gesetze der Lichtreflexion zu erklären, indem er den Wert variierte, der die Länge des Weges charakterisiert, den ein Lichtstrahl von einer Quelle zu einem Beobachter zurücklegt, wenn er von einem Spiegel reflektiert wird. Er kam zu dem Schluss, dass ein Lichtstrahl von allen möglichen Wegen den kürzesten (von allen geometrisch möglichen) wählt.

    Im 17. Jahrhundert, zweitausend Jahre später, machte der französische Mathematiker Fermat auf das Heronsche Prinzip aufmerksam, erweiterte es auf Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes und formulierte es daher zeitlich um. Das Prinzip von Fermat besagt, dass in einem brechenden Medium, dessen Eigenschaften nicht von der Zeit abhängen, ein Lichtstrahl, der durch zwei Punkte geht, einen Weg für sich selbst wählt, sodass die Zeit, die er benötigt, um vom ersten Punkt zum zweiten zu gelangen, minimal ist. Das Heron-Prinzip erweist sich als Sonderfall des Fermat-Prinzips für Medien mit konstantem Brechungsindex.

    Fermats Prinzip erregte die große Aufmerksamkeit der Zeitgenossen. Einerseits bezeugte er bestmöglich das „Prinzip der Ökonomie“ in der Natur, den rationalen göttlichen Plan, der im Aufbau der Welt verwirklicht wurde, andererseits widersprach er Newtons Korpuskulartheorie des Lichts. Laut Newton stellte sich heraus, dass in dichteren Medien die Lichtgeschwindigkeit größer sein sollte, während aus Fermats Prinzip folgte, dass in solchen Medien die Lichtgeschwindigkeit kleiner wird.

    Im Jahr 1740 analysierte der Mathematiker Pierre Louis Moreau de Maupertuis kritisch Fermats Prinzip und folgte dem Theologischen

    logische Motive über die Vollkommenheit und die wirtschaftlichste Anordnung des Universums, verkündete im Werk „Über die verschiedenen Naturgesetze, die unvereinbar schienen“ das Prinzip der geringsten Wirkung. Maupertuis gab Fermats kürzeste Zeit auf und führte ein neues Konzept ein – die Aktion. Die Wirkung ist gleich dem Produkt aus dem Impuls des Körpers (Impuls Р = mV) und dem vom Körper zurückgelegten Weg. Zeit hat keinen Vorteil gegenüber Raum und umgekehrt. Daher wählt das Licht nicht den kürzesten Weg und nicht die kürzeste Zeit, um es zurückzulegen, sondern wählt laut Maupertuis „den Weg, der eine realere Wirtschaft ermöglicht: Der Weg, dem es folgt, ist der Weg, auf dem sich die Größe der Wirkung auswirkt.“ ist minimal.“ Das Prinzip der geringsten Wirkung wurde in den Werken von Euler und Lagrange weiterentwickelt; Er war die Grundlage, auf der Lagrange ein neues Gebiet der mathematischen Analyse entwickelte – die Variationsrechnung. Dieses Prinzip wurde in den Werken von Hamilton weiter verallgemeinert und vervollständigt. In einer verallgemeinerten Form verwendet das Prinzip der geringsten Wirkung das Konzept der Wirkung, ausgedrückt nicht durch den Impuls, sondern durch die Lagrange-Funktion. Für den Fall, dass sich ein Teilchen in einem Potentialfeld bewegt, kann die Lagrange-Funktion als Differenz der Kinetik dargestellt werden und potentielle Energie:

    (Der Begriff „Energie“ wird in Kapitel 3 dieses Abschnitts ausführlich besprochen.)

    Das Produkt wird als Elementaraktion bezeichnet. Die Gesamtwirkung ist die Summe aller Werte über das gesamte betrachtete Zeitintervall, also die Gesamtwirkung A:

    Die Bewegungsgleichungen eines Teilchens lassen sich mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung erhalten, wonach die reale Bewegung so abläuft, dass die Wirkung extrem ausfällt, das heißt, ihre Variation geht gegen 0:

    Das Lagrange-Hamilton-Variationsprinzip ermöglicht problemlos eine Erweiterung auf Systeme, die aus Nicht-

    wie viele (viele) Teilchen. Die Bewegung solcher Systeme wird normalerweise in einem abstrakten Raum (eine praktische mathematische Technik) mit einer großen Anzahl von Dimensionen betrachtet. Angenommen, für N Punkte wird ein abstrakter Raum mit 3N Koordinaten von N Teilchen eingeführt, der ein System namens Konfigurationsraum bildet. Die Abfolge verschiedener Zustände des Systems wird in diesem Konfigurationsraum durch eine Kurve dargestellt – eine Trajektorie. Betrachtet man alle möglichen Pfade, die zwei gegebene Punkte dieses 3N-dimensionalen Raums verbinden, kann man sicherstellen, dass die tatsächliche Bewegung des Systems nach dem Prinzip der geringsten Aktion erfolgt: Unter allen möglichen Trajektorien ist diejenige, für die die Aktion am extremsten ist das gesamte Zeitintervall der Bewegung wird realisiert.

    Bei der Minimierung der Wirkung in der klassischen Mechanik erhält man die Euler-Lagrange-Gleichungen, deren Zusammenhang mit den Newtonschen Gesetzen bekannt ist. Die Euler-Lagrange-Gleichungen für die Lagrangefunktion des klassischen elektromagnetischen Feldes erweisen sich als Maxwell-Gleichungen. Wir sehen also, dass die Verwendung des Lagrange-Operators und des Prinzips der geringsten Wirkung es ermöglicht, die Teilchendynamik festzulegen. Der Lagrange-Formalismus weist jedoch noch ein weiteres wichtiges Merkmal auf, das den Lagrange-Formalismus zum wichtigsten bei der Lösung fast aller Probleme der modernen Physik machte. Tatsache ist, dass zusammen mit der Newtonschen Mechanik in der Physik bereits im 19. Jahrhundert Erhaltungssätze für einige physikalische Größen formuliert wurden: das Energieerhaltungsgesetz, das Impulserhaltungsgesetz, das Drehimpulserhaltungsgesetz, das Gesetz der Erhaltung der elektrischen Ladung. Die Zahl der Erhaltungssätze im Zusammenhang mit der Entwicklung der Quantenphysik und Elementarteilchenphysik in unserem Jahrhundert ist noch größer geworden. Es stellt sich die Frage, wie man eine gemeinsame Grundlage für die Formulierung sowohl der Bewegungsgleichungen (z. B. der Newtonschen Gesetze oder der Maxwellschen Gleichungen) als auch der zeitlichen Erhaltungsgrößen finden kann. Es stellte sich heraus, dass eine solche Grundlage die Verwendung des Lagrange-Formalismus ist, da sich die Lagrange-Funktion einer bestimmten Theorie als invariant (unverändert) in Bezug auf Transformationen erweist, die dem in dieser Theorie betrachteten spezifischen abstrakten Raum entsprechen, was zur Erhaltung führt Gesetze. Diese Merkmale des Lagrange

    führte nicht dazu, dass es sinnvoll war, physikalische Theorien in der Sprache der Lagrangeschen zu formulieren. Die Erkenntnis dieses Umstandes erlangte die Physik durch die Entstehung von Einsteins Relativitätstheorie.

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