Ableitung einer implizit angegebenen Funktion. Ableitung einer impliziten Funktion Ermitteln Sie den Wert der Ableitung einer impliziten Funktion

Betrachten Sie die Funktion y(x), die implizit in der allgemeinen Form $ F(x,y(x)) = 0 $ geschrieben wird. Die Ableitung einer impliziten Funktion kann auf zwei Arten gefunden werden:

Durch die Differenzierung beider Seiten der Gleichung
Mithilfe der vorgefertigten Formel $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

Wie findet man?

Methode 1

Es ist nicht erforderlich, die Funktion explizit umzuwandeln. Sie müssen sofort damit beginnen, die linke und rechte Seite der Gleichung nach $ x $ zu differenzieren. Es ist erwähnenswert, dass die Ableitung $ y" $ nach der Differenzierungsregel einer komplexen Funktion berechnet wird. Zum Beispiel $ (y^2)"_x = 2yy" $. Nachdem die Ableitung gefunden wurde, muss sie ausgedrückt werden $ y" $ aus der resultierenden Gleichung und platzieren Sie $ y" $ auf der linken Seite.

Methode 2

Sie können eine Formel verwenden, die die partiellen Ableitungen der impliziten Funktion $ F(x,y(x)) = 0 $ im Zähler und Nenner verwendet. Um den Zähler zu finden, nehmen Sie die Ableitung nach $ x $ und für den Nenner die Ableitung nach $ y $.

Die zweite Ableitung der impliziten Funktion kann durch wiederholtes Differenzieren der ersten Ableitung der impliziten Funktion ermittelt werden.

Beispiele für Lösungen

Schauen wir uns praktische Lösungsbeispiele zur Berechnung der Ableitung einer implizit angegebenen Funktion an.

Beispiel 1
Finden Sie die Ableitung der impliziten Funktion $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $
Lösung
Lassen Sie uns Methode Nr. 1 verwenden. Wir unterscheiden nämlich die linke und rechte Seite der Gleichung: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ Vergessen Sie beim Differenzieren nicht, die Formel für die Ableitung eines Funktionsprodukts zu verwenden: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3y" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ Wenn Sie Ihr Problem nicht lösen können, dann senden Sie es an uns. Wir bieten eine detaillierte Lösung. Sie können den Fortschritt der Berechnung einsehen und Informationen erhalten. Dies wird Ihnen helfen, Ihre Note rechtzeitig von Ihrem Lehrer zu erhalten!
Antwort
$$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$

Beispiel 2
Die Funktion ist implizit angegeben. Finden Sie die Ableitung $ 3x^4 y^5 + e^(7x-4y) -4x^5 -2y^4 = 0 $
Lösung
Verwenden wir Methode Nr. 2. Partielle Ableitungen der Funktion $ F(x,y) = 0 $ finden Sei $ y $ konstant und differenziere nach $ x $: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^(7x-4y) \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4 $$ Nun betrachten wir $ x $ als Konstante und differenzieren nach $ y $: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^(7x-4y) \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3 $$ Jetzt setzen wir $ y" = -\frac(F"_y)(F"_x) $ in die Formel ein und erhalten: $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$
Antwort
$$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$

Formel für die Ableitung einer implizit angegebenen Funktion. Beweis und Anwendungsbeispiele dieser Formel. Beispiele für die Berechnung von Ableitungen erster, zweiter und dritter Ordnung.

Inhalt

Ableitung erster Ordnung

Die Funktion sei implizit durch die Gleichung spezifiziert
(1) .
Und lassen Sie diese Gleichung für einen gewissen Wert eine eindeutige Lösung haben. Die Funktion sei im Punkt , und eine differenzierbare Funktion
.
Dann gibt es bei diesem Wert eine Ableitung, die durch die Formel bestimmt wird:
(2) .

Nachweisen

Betrachten Sie zum Beweis die Funktion als komplexe Funktion der Variablen:
.
Wenden wir die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion an und ermitteln wir die Ableitung nach einer Variablen auf der linken und rechten Seite der Gleichung
(3) :
.
Da die Ableitung einer Konstanten Null ist und dann
(4) ;
.

Die Formel ist bewiesen.

Derivate höherer Ordnung

Schreiben wir Gleichung (4) mit anderen Notationen um:
(4) .
Gleichzeitig sind und sind komplexe Funktionen der Variablen:
;
.
Die Abhängigkeit wird durch Gleichung (1) bestimmt:
(1) .

Wir ermitteln die Ableitung nach einer Variablen auf der linken und rechten Seite von Gleichung (4).
Nach der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion gilt:
;
.
Gemäß der Produktableitungsformel:

.
Verwendung der Ableitungssummenformel:

.

Da die Ableitung der rechten Seite von Gleichung (4) gleich Null ist, dann
(5) .
Wenn wir hier die Ableitung einsetzen, erhalten wir den Wert der Ableitung zweiter Ordnung in impliziter Form.

Wenn wir Gleichung (5) auf ähnliche Weise differenzieren, erhalten wir eine Gleichung, die eine Ableitung dritter Ordnung enthält:
.
Wenn wir hier die gefundenen Werte der Ableitungen erster und zweiter Ordnung einsetzen, ermitteln wir den Wert der Ableitung dritter Ordnung.

Wenn man die Differenzierung fortsetzt, kann man eine Ableitung beliebiger Ordnung finden.

Beispiele

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung erster Ordnung der Funktion, die implizit durch die Gleichung gegeben ist:
(P1) .

Lösung nach Formel 2

Wir finden die Ableitung mit Formel (2):
(2) .

Verschieben wir alle Variablen auf die linke Seite, sodass die Gleichung die Form annimmt.
.
Von hier.

Wir finden die Ableitung nach , indem wir sie als konstant betrachten.
;
;
;
.

Wir finden die Ableitung nach der Variablen unter Berücksichtigung der Variablenkonstante.
;
;
;
.

Mit Formel (2) finden wir:
.

Wir können das Ergebnis vereinfachen, wenn wir beachten, dass gemäß der ursprünglichen Gleichung (A.1) . Ersetzen wir:
.
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit:
.

Zweite Lösung

Lassen Sie uns dieses Beispiel auf die zweite Art lösen. Dazu ermitteln wir die Ableitung nach der Variablen auf der linken und rechten Seite der ursprünglichen Gleichung (A1).

Wir bewerben uns:
.
Wir wenden die Ableitungsbruchformel an:
;
.
Wir wenden die Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion an:
.
Differenzieren wir die ursprüngliche Gleichung (A1).
(P1) ;
;
.
Wir multiplizieren mit und gruppieren die Terme.
;
.

Ersetzen wir (aus Gleichung (A1)):
.
Mal:
.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung zweiter Ordnung der implizit gegebenen Funktion mithilfe der Gleichung:
(A2.1) .

Wir differenzieren die ursprüngliche Gleichung nach der Variablen und berücksichtigen, dass sie eine Funktion ist von:
;
.
Wir wenden die Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion an.
.

Differenzieren wir die ursprüngliche Gleichung (A2.1):
;
.
Aus der ursprünglichen Gleichung (A2.1) folgt: Ersetzen wir:
.
Öffnen Sie die Klammern und gruppieren Sie die Mitglieder:
;
(A2.2) .
Wir finden die Ableitung erster Ordnung:
(A2.3) .

Um die Ableitung zweiter Ordnung zu finden, differenzieren wir Gleichung (A2.2).
;
;
;
.
Ersetzen wir die Ableitung erster Ordnung (A2.3) durch den Ausdruck:
.
Mal:

;
.
Von hier aus finden wir die Ableitung zweiter Ordnung.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung dritter Ordnung der implizit gegebenen Funktion mithilfe der Gleichung:
(A3.1) .

Wir differenzieren die ursprüngliche Gleichung nach der Variablen und gehen davon aus, dass sie eine Funktion von ist.
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Differenzieren wir Gleichung (A3.2) nach der Variablen .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Differenzieren wir Gleichung (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Aus den Gleichungen (A3.2), (A3.3) und (A3.4) ermitteln wir die Werte der Ableitungen bei .
;
;
.

Oder kurz gesagt – die Ableitung einer impliziten Funktion. Was ist eine implizite Funktion? Da meine Lektionen praktischer Natur sind, versuche ich, Definitionen und Theoreme zu vermeiden, aber es wäre angebracht, dies hier zu tun. Was ist überhaupt eine Funktion?

Eine Einzelvariablenfunktion ist eine Regel, die besagt, dass es für jeden Wert der unabhängigen Variablen genau einen Wert der Funktion gibt.

Die Variable wird aufgerufen unabhängige Variable oder Streit.
Die Variable wird aufgerufen abhängige Variable oder Funktion.

Grob gesagt ist in diesem Fall der Buchstabe „Y“ die Funktion.

Bisher haben wir uns die in definierten Funktionen angesehen explizit bilden. Was bedeutet das? Lassen Sie uns eine Nachbesprechung anhand konkreter Beispiele durchführen.

Betrachten Sie die Funktion

Wir sehen, dass wir links ein einzelnes „Y“ (Funktion) haben und rechts - nur „X“. Das heißt, die Funktion ausdrücklich ausgedrückt durch die unabhängige Variable.

Schauen wir uns eine andere Funktion an:

Hier werden die Variablen vermischt. Darüber hinaus auf jeden Fall unmöglich drücken Sie „Y“ nur durch „X“ aus. Was sind diese Methoden? Übertragen Sie Begriffe von Teil zu Teil mit Vorzeichenwechsel, verschieben Sie sie aus Klammern, werfen Sie Faktoren nach der Proportionsregel usw. Schreiben Sie die Gleichheit um und versuchen Sie, das „y“ explizit auszudrücken: . Sie können die Gleichung stundenlang drehen und wenden, aber Sie werden keinen Erfolg haben.

Lassen Sie mich Ihnen Folgendes vorstellen: - Beispiel implizite Funktion.

Im Zuge der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass die implizite Funktion existiert(allerdings nicht immer), es hat einen Graphen (genau wie eine „normale“ Funktion). Die implizite Funktion ist genau die gleiche existiert erste Ableitung, zweite Ableitung usw. Wie sie sagen, werden alle Rechte sexueller Minderheiten respektiert.

Und in dieser Lektion lernen wir, wie man die Ableitung einer implizit angegebenen Funktion findet. Es ist nicht so schwierig! Alle Differenzierungsregeln und die Ableitungstabelle der Elementarfunktionen bleiben in Kraft. Der Unterschied liegt in einem besonderen Moment, den wir uns gleich ansehen werden.

Ja, und ich verrate Ihnen die gute Nachricht: Die unten besprochenen Aufgaben werden nach einem ziemlich strengen und klaren Algorithmus ausgeführt, ohne dass ein Stein vor drei Gleisen steht.

Beispiel 1

1) Im ersten Schritt versehen wir beide Teile mit Strichen:

2) Wir verwenden die Regeln der Linearität der Ableitung (die ersten beiden Regeln der Lektion). Wie findet man die Ableitung? Beispiele für Lösungen):

3) Direkte Differenzierung.
Wie man unterscheidet, ist völlig klar. Was tun, wenn es unter den Schlägen „Spiele“ gibt?

Bis zur Schande Die Ableitung einer Funktion ist gleich ihrer Ableitung: .

Wie man unterscheidet

Hier haben wir komplexe Funktion. Warum? Es scheint, dass unter dem Sinus nur ein Buchstabe „Y“ steht. Tatsache ist jedoch, dass es nur einen Buchstaben „y“ gibt – IST SELBST EINE FUNKTION(siehe Definition am Anfang der Lektion). Somit ist der Sinus eine externe Funktion und eine interne Funktion. Wir verwenden die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion:

Wir differenzieren das Produkt nach der üblichen Regel:

Bitte beachten Sie, dass - ebenfalls eine komplexe Funktion ist, Jedes „Spiel mit Schnickschnack“ ist eine komplexe Funktion:

Die Lösung selbst sollte etwa so aussehen:

Wenn Klammern vorhanden sind, erweitern Sie diese:

4) Auf der linken Seite sammeln wir die Terme, die ein „Y“ mit einer Primzahl enthalten. Alles andere auf die rechte Seite verschieben:

5) Auf der linken Seite nehmen wir die Ableitung aus Klammern:

6) Und gemäß der Proportionsregel fügen wir diese Klammern in den Nenner der rechten Seite ein:

Das Derivat wurde gefunden. Bereit.

Es ist interessant festzustellen, dass jede Funktion implizit umgeschrieben werden kann. Die Funktion kann beispielsweise so umgeschrieben werden: . Und differenzieren Sie es mithilfe des gerade besprochenen Algorithmus. Tatsächlich unterscheiden sich die Ausdrücke „implizite Funktion“ und „implizite Funktion“ in einer semantischen Nuance. Der Ausdruck „in impliziter Form angegebene Funktion“ ist allgemeiner und korrekter – diese Funktion wird in impliziter Form angegeben, aber hier können Sie das „Spiel“ ausdrücken und die Funktion explizit darstellen. Der Ausdruck „implizite Funktion“ bezieht sich auf die „klassische“ implizite Funktion, bei der das „y“ nicht ausgedrückt werden kann.

Zweite Lösung

Aufmerksamkeit! Sie können sich mit der zweiten Methode nur vertraut machen, wenn Sie wissen, wie man partielle Ableitungen sicher findet. Anfänger und Anfänger im Studium der mathematischen Analyse, bitte lesen Sie diesen Punkt nicht und überspringen Sie ihn, sonst wird Ihr Kopf völlig durcheinander sein.

Lassen Sie uns die Ableitung der impliziten Funktion mit der zweiten Methode ermitteln.

Wir verschieben alle Begriffe auf die linke Seite:

Und betrachten Sie eine Funktion zweier Variablen:

Dann kann unsere Ableitung mithilfe der Formel gefunden werden

Finden wir die partiellen Ableitungen:

Auf diese Weise:

Mit der zweiten Lösung können Sie eine Überprüfung durchführen. Es ist jedoch nicht ratsam, die endgültige Version der Aufgabe auszuschreiben, da partielle Ableitungen später beherrscht werden und ein Student, der sich mit dem Thema „Ableitung einer Funktion einer Variablen“ befasst, partielle Ableitungen noch nicht kennen sollte.

Schauen wir uns noch ein paar Beispiele an.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Fügen Sie beiden Teilen Striche hinzu:

Wir verwenden Linearitätsregeln:

Derivate finden:

Alle Klammern öffnen:

Wir verschieben alle Begriffe mit auf die linke Seite, den Rest auf die rechte Seite:

Auf der linken Seite setzen wir es aus Klammern:

Endgültige Antwort:

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Vollständige Lösung und Musterdesign am Ende der Lektion.

Es ist nicht ungewöhnlich, dass nach der Differenzierung Brüche entstehen. In solchen Fällen müssen Sie Brüche loswerden. Schauen wir uns zwei weitere Beispiele an: jeden Begriff jedes Teils

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Das Einzige ist, dass Sie, bevor Sie den Bruch loswerden, zunächst die dreistöckige Struktur des Bruchs selbst loswerden müssen. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Ableitung einer implizit angegebenen Funktion.
Ableitung einer parametrisch definierten Funktion

In diesem Artikel betrachten wir zwei weitere typische Aufgaben, die häufig in Tests in der höheren Mathematik vorkommen. Um den Stoff erfolgreich zu beherrschen, müssen Sie zumindest auf mittlerem Niveau Derivate finden können. In zwei Grundlektionen können Sie praktisch von Grund auf lernen, Derivate zu finden Ableitung einer komplexen Funktion. Wenn Ihre Differenzierungsfähigkeiten in Ordnung sind, dann nichts wie los.

Ableitung einer implizit angegebenen Funktion

Oder kurz gesagt, die Ableitung einer impliziten Funktion. Was ist eine implizite Funktion? Erinnern wir uns zunächst an die eigentliche Definition einer Funktion einer Variablen:

Funktion mit einer einzelnen Variablen ist eine Regel, nach der jeder Wert der unabhängigen Variablen genau einem Wert der Funktion entspricht.

Die Variable wird aufgerufen unabhängige Variable oder Streit.
Die Variable wird aufgerufen abhängige Variable oder Funktion .

Bisher haben wir uns die in definierten Funktionen angesehen explizit bilden. Was bedeutet das? Lassen Sie uns eine Nachbesprechung anhand konkreter Beispiele durchführen.

Betrachten Sie die Funktion

Wir sehen, dass wir links einen einzelnen „Spieler“ haben und rechts - nur „X“. Das heißt, die Funktion ausdrücklich ausgedrückt durch die unabhängige Variable.

Schauen wir uns eine andere Funktion an:

Lassen Sie mich Ihnen Folgendes vorstellen: – Beispiel implizite Funktion.

Ja, und ich verrate Ihnen die gute Nachricht: Die unten besprochenen Aufgaben werden nach einem ziemlich strengen und klaren Algorithmus ausgeführt, ohne dass ein Stein vor drei Gleisen steht.

Beispiel 1

1) Im ersten Schritt versehen wir beide Teile mit Strichen:

2) Wir verwenden die Regeln der Linearität der Ableitung (die ersten beiden Regeln der Lektion). Wie findet man die Ableitung? Beispiele für Lösungen):

3) Direkte Differenzierung.
Wie man unterscheidet, ist völlig klar. Was tun, wenn es unter den Schlägen „Spiele“ gibt?

- bis zur Schande, Die Ableitung einer Funktion ist gleich ihrer Ableitung: .

Wie man unterscheidet
Hier haben wir komplexe Funktion. Warum? Es scheint, dass unter dem Sinus nur ein Buchstabe „Y“ steht. Tatsache ist jedoch, dass es nur einen Buchstaben „y“ gibt – IST SELBST EINE FUNKTION(siehe Definition am Anfang der Lektion). Somit ist der Sinus eine externe Funktion und eine interne Funktion. Wir verwenden die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion :

Wir differenzieren das Produkt nach der üblichen Regel :

Bitte beachten Sie, dass – ebenfalls eine komplexe Funktion ist, Jedes „Spiel mit Schnickschnack“ ist eine komplexe Funktion:

Die Lösung selbst sollte etwa so aussehen:

Wenn Klammern vorhanden sind, erweitern Sie diese:

4) Auf der linken Seite sammeln wir die Terme, die ein „Y“ mit einer Primzahl enthalten. Alles andere auf die rechte Seite verschieben:

5) Auf der linken Seite nehmen wir die Ableitung aus Klammern:

6) Und gemäß der Proportionsregel fügen wir diese Klammern in den Nenner der rechten Seite ein:

Das Derivat wurde gefunden. Bereit.

Es ist interessant festzustellen, dass jede Funktion implizit umgeschrieben werden kann. Zum Beispiel die Funktion lässt sich so umschreiben: . Und differenzieren Sie es mithilfe des gerade besprochenen Algorithmus. Tatsächlich unterscheiden sich die Ausdrücke „implizite Funktion“ und „implizite Funktion“ in einer semantischen Nuance. Der Ausdruck „implizit spezifizierte Funktion“ ist allgemeiner und korrekter. – Diese Funktion wird implizit angegeben, aber hier können Sie das „Spiel“ ausdrücken und die Funktion explizit präsentieren. Die Wörter „implizite Funktion“ bedeuten häufiger eine „klassische“ implizite Funktion, wenn das „Spiel“ nicht ausgedrückt werden kann.

Es sollte auch beachtet werden, dass eine „implizite Gleichung“ implizit zwei oder sogar mehr Funktionen gleichzeitig spezifizieren kann. Beispielsweise definiert die Kreisgleichung implizit die Funktionen , , die Halbkreise definieren. Aber im Rahmen dieses Artikels werden wir Ich werde keine besondere Unterscheidung zwischen den Begriffen und Nuancen treffen, es handelte sich lediglich um Informationen zur allgemeinen Entwicklung.

Zweite Lösung

Aufmerksamkeit! Mit der zweiten Methode können Sie sich nur vertraut machen, wenn Sie wissen, wie man sicher findet partielle Ableitungen. Bitte Mathe-Anfänger und Dummies Lesen Sie diesen Punkt nicht und überspringen Sie ihn, sonst ist dein Kopf völlig durcheinander.

Lassen Sie uns die Ableitung der impliziten Funktion mit der zweiten Methode ermitteln.

Wir verschieben alle Begriffe auf die linke Seite:

Und betrachten Sie eine Funktion zweier Variablen:

Dann kann unsere Ableitung mithilfe der Formel gefunden werden
Finden wir die partiellen Ableitungen:

Auf diese Weise:

Schauen wir uns noch ein paar Beispiele an.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Fügen Sie beiden Teilen Striche hinzu:

Wir verwenden Linearitätsregeln:

Derivate finden:

Alle Klammern öffnen:

Wir verschieben alle Begriffe mit auf die linke Seite, den Rest auf die rechte Seite:

Endgültige Antwort:

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Vollständige Lösung und Musterdesign am Ende der Lektion.

Es ist nicht ungewöhnlich, dass nach der Differenzierung Brüche entstehen. In solchen Fällen müssen Sie Brüche loswerden. Schauen wir uns zwei weitere Beispiele an.

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Wir schließen beide Teile mit Strichen ein und verwenden die Linearitätsregel:

Differenzieren Sie mit der Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion und die Regel der Differenzierung von Quotienten :

Klammern erweitern:

Jetzt müssen wir den Bruch loswerden. Dies kann später erfolgen, rationaler ist es jedoch, dies sofort zu tun. Der Nenner des Bruchs enthält . Multiplizieren An . Im Detail wird es so aussehen:

Manchmal erscheinen nach der Differenzierung 2-3 Brüche. Wenn wir beispielsweise einen weiteren Bruch hätten, müsste die Operation wiederholt werden – multiplizieren jedes Glied jedes Teils An

Auf der linken Seite setzen wir es aus Klammern:

Endgültige Antwort:

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Ableitung einer parametrisch definierten Funktion

Machen wir uns keinen Stress, alles in diesem Absatz ist auch ganz einfach. Sie können die allgemeine Formel für eine parametrisch definierte Funktion aufschreiben, aber um es klarer zu machen, werde ich gleich ein konkretes Beispiel aufschreiben. In parametrischer Form wird die Funktion durch zwei Gleichungen gegeben: . Oft werden Gleichungen nicht in geschweiften Klammern geschrieben, sondern der Reihe nach: , .

Die Variable wird Parameter genannt und kann Werte von „minus unendlich“ bis „plus unendlich“ annehmen. Betrachten Sie zum Beispiel den Wert und setzen Sie ihn in beide Gleichungen ein: . Oder menschlich ausgedrückt: „Wenn x gleich vier ist, dann ist y gleich eins.“ Sie können einen Punkt auf der Koordinatenebene markieren, und dieser Punkt entspricht dem Wert des Parameters. Ebenso können Sie für jeden Wert des Parameters „te“ einen Punkt finden. Was eine „reguläre“ Funktion betrifft, so werden auch für die amerikanischen Ureinwohner einer parametrisch definierten Funktion alle Rechte respektiert: Sie können einen Graphen erstellen, Ableitungen finden usw. Übrigens, wenn Sie einen Graphen einer parametrisch definierten Funktion zeichnen müssen, können Sie mein Programm verwenden.

Im einfachsten Fall ist es möglich, die Funktion explizit darzustellen. Drücken wir den Parameter aus: – aus der ersten Gleichung und setzen ihn in die zweite Gleichung ein: . Das Ergebnis ist eine gewöhnliche kubische Funktion.

In „schwerwiegenderen“ Fällen funktioniert dieser Trick nicht. Aber das spielt keine Rolle, denn es gibt eine Formel zum Ermitteln der Ableitung einer parametrischen Funktion:

Wir finden die Ableitung des „Spiels bezüglich der Variablen te“:

Alle Differenzierungsregeln und die Ableitungstabelle gelten natürlich auch für den Buchstaben , also Es gibt keine Neuheit bei der Suche nach Derivaten. Ersetzen Sie einfach im Geiste alle „X“ in der Tabelle durch den Buchstaben „Te“.

Wir finden die Ableitung von „x nach der Variablen te“:

Jetzt müssen wir nur noch die gefundenen Ableitungen in unsere Formel einsetzen:

Bereit. Auch die Ableitung hängt, wie die Funktion selbst, vom Parameter ab.

Was die Notation betrifft, könnte man sie statt in der Formel auch einfach ohne Index schreiben, da es sich um eine „reguläre“ Ableitung „nach X“ handelt. Aber in der Literatur gibt es immer eine Option, daher werde ich nicht vom Standard abweichen.

Beispiel 6

Wir verwenden die Formel

In diesem Fall:

Auf diese Weise:

Eine Besonderheit beim Finden der Ableitung einer parametrischen Funktion ist die Tatsache, dass Bei jedem Schritt ist es von Vorteil, das Ergebnis so weit wie möglich zu vereinfachen. Als ich es im betrachteten Beispiel fand, öffnete ich die Klammern unter der Wurzel (obwohl ich das vielleicht nicht getan hatte). Es besteht eine gute Chance, dass beim Einsetzen in die Formel viele Dinge gut reduziert werden. Obwohl es natürlich Beispiele mit ungeschickten Antworten gibt.

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer parametrisch angegebenen Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.

Im Artikel Die einfachsten typischen Probleme mit Derivaten Wir haben uns Beispiele angesehen, in denen wir die zweite Ableitung einer Funktion finden mussten. Für eine parametrisch definierte Funktion können Sie auch die zweite Ableitung ermitteln, und zwar mithilfe der folgenden Formel: . Es ist ganz offensichtlich, dass man, um die zweite Ableitung zu finden, zuerst die erste Ableitung finden muss.

Beispiel 8

Finden Sie die erste und zweite Ableitung einer parametrisch gegebenen Funktion

Finden wir zunächst die erste Ableitung.
Wir verwenden die Formel

In diesem Fall:

Eine Funktion Z= f(x; y) heißt implizit, wenn sie durch die bezüglich Z ungelöste Gleichung F(x,y,z)=0 gegeben ist. Finden wir die partiellen Ableitungen der implizit gegebenen Funktion Z. Dazu setzen wir die Funktion f(x;y) anstelle von Z in die Gleichung ein und erhalten die Identität F(x,y, f(x,y))=0. Die partiellen Ableitungen einer Funktion, die nach x und y gleich Null sind, sind ebenfalls gleich Null.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (als Konstante betrachtet)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xals Konstante betrachtet)

Wo
Und

Beispiel: Finden Sie die partiellen Ableitungen der durch die Gleichung gegebenen Funktion Z
.

Hier F(x,y,z)=
;
;
;
. Nach den oben angegebenen Formeln gilt:

Und

Richtungsableitung

Gegeben sei eine Funktion zweier Variablen Z= f(x; y) in einer bestimmten Umgebung des Punktes M (x,y). Betrachten Sie eine durch den Einheitsvektor definierte Richtung
, Wo
(siehe Bild).

Auf einer Geraden, die in dieser Richtung durch Punkt M verläuft, nehmen wir Punkt M 1 (
), so dass die Länge
segmentMM 1 ist gleich
. Das Inkrement der Funktion f(M) wird durch die Beziehung bestimmt, wobei
durch Beziehungen verbunden. Verhältnisgrenze bei
wird die Ableitung der Funktion genannt
am Punkt
in Richtung und benannt werden .

Wenn die Funktion Z im Punkt differenzierbar ist
, dann sein Inkrement an dieser Stelle unter Berücksichtigung der Beziehungen für
kann in der folgenden Form geschrieben werden.

dividiere beide Teile durch

und an die Grenze gehen bei
wir erhalten eine Formel für die Ableitung der Funktion Z= f(x; y) in der Richtung:

Gradient

Betrachten Sie eine Funktion von drei Variablen
irgendwann differenzierbar
.

Der Gradient dieser Funktion
am Punkt M ist ein Vektor, dessen Koordinaten jeweils gleich den partiellen Ableitungen sind
an dieser Stelle. Um einen Farbverlauf anzuzeigen, verwenden Sie das Symbol
.
=
.

.Der Gradient gibt die Richtung des schnellsten Wachstums der Funktion an einem bestimmten Punkt an.

Da der Einheitsvektor hat Koordinaten (
), dann wird die Richtungsableitung für den Fall einer Funktion von drei Variablen in der Form geschrieben, d.h. hat die Formel für das Skalarprodukt von Vektoren Und
. Schreiben wir die letzte Formel wie folgt um:

, Wo - Winkel zwischen Vektor Und
. Weil das
, dann folgt daraus, dass die Ableitung der Funktion in Richtung den Maximalwert bei annimmt =0, d.h. wenn die Richtung der Vektoren Und
zusammenpassen. Dabei
Das heißt, der Gradient einer Funktion charakterisiert die Richtung und Größe der maximalen Anstiegsrate dieser Funktion an einem Punkt.

Extremum einer Funktion zweier Variablen

Die Konzepte von Max, Min und Extremum einer Funktion zweier Variablen ähneln den entsprechenden Konzepten einer Funktion einer Variablen. Die Funktion Z= f(x; y) sei in einem Bereich D usw. definiert. M
gehört zu diesem Bereich. Punkt M
heißt der Maximalpunkt der Funktion Z= f(x; y), wenn es eine solche δ-Umgebung des Punktes gibt
, dass für jeden Punkt aus dieser Umgebung die Ungleichung gilt
. Der Punkt min wird auf ähnliche Weise bestimmt, nur das Ungleichheitszeichen ändert sich
. Der Wert der Funktion am Punkt max(min) heißt Maximum (Minimum). Das Maximum und das Minimum einer Funktion werden Extrema genannt.

Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein Extremum

Satz:(Notwendige Bedingungen für ein Extremum). Wenn am Punkt M
die differenzierbare Funktion Z= f(x; y) hat ein Extremum, dann sind seine partiellen Ableitungen an dieser Stelle gleich Null:
,
.

Nachweisen: Nachdem wir eine der Variablen x oder y festgelegt haben, transformieren wir Z = f(x; y) in eine Funktion einer Variablen, für deren Extremum die oben genannten Bedingungen erfüllt sein müssen. Geometrische Gleichheiten
Und
bedeuten, dass am Extrempunkt der Funktion Z= f(x; y) die Tangentialebene zur Oberfläche, die die Funktion f(x,y)=Z darstellt, parallel zur OXY-Ebene ist, weil die Gleichung der Tangentenebene lautet Z = Z 0. Der Punkt, an dem die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion Z = f (x; y) gleich Null sind, d.h.
,
, werden als stationärer Punkt der Funktion bezeichnet. Eine Funktion kann an Punkten ein Extremum haben, an denen mindestens eine der partiellen Ableitungen nicht existiert. Zum BeispielZ=|-
| hat max am Punkt O(0,0), hat aber an diesem Punkt keine Ableitungen.

Man nennt stationäre Punkte und Punkte, an denen mindestens eine partielle Ableitung nicht existiert kritische Punkte. An kritischen Punkten kann die Funktion ein Extremum haben oder auch nicht. Die Gleichheit partieller Ableitungen mit Null ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums. Wenn beispielsweise Z=xy ist, ist Punkt O(0,0) kritisch. Die Funktion Z=xy enthält jedoch kein Extremum. (Weil in den Vierteln I und III Z>0 und in den Vierteln II und IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Satz: (Ausreichende Bedingung für Extrema). Lassen Sie es an einem stationären Punkt
und in einer bestimmten Umgebung hat die Funktion f(x; y) stetige partielle Ableitungen bis einschließlich 2. Ordnung. Rechnen wir mal an der Stelle
Werte
,
Und
. Bezeichnen wir