اگر قطر 60 میلی متر باشد اندازه دایره چقدر است. چگونه محیط دایره را با استفاده از قطر و شعاع پیدا کنیم. اصطلاحات، فرمول های اساسی و ویژگی های شکل.

بیایید ابتدا تفاوت بین دایره و دایره را درک کنیم. برای مشاهده این تفاوت کافی است که هر دو رقم را در نظر بگیرید. این تعداد بی نهایت نقطه در صفحه است که در فاصله مساوی از یک نقطه مرکزی قرار دارند. اما اگر دایره از فضای داخلی نیز تشکیل شده باشد، به دایره تعلق ندارد. معلوم می شود که یک دایره هم دایره ای است که آن را محدود می کند (o-circle (g)ness)، و هم تعداد غیرقابل شمارش نقاطی که در داخل دایره هستند.

برای هر نقطه L که روی دایره قرار دارد، تساوی OL=R اعمال می شود. (طول قطعه OL برابر با شعاع دایره است).

پاره خطی که دو نقطه روی یک دایره را به هم متصل می کند وتر.

آکوردی که مستقیماً از مرکز دایره عبور می کند قطراین دایره (D) . قطر را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: D=2R

محیطبا فرمول C=2\pi R محاسبه می شود

مساحت یک دایره: S=\pi R^(2)

قوس دایرهآن قسمت از آن را که بین دو نقطه آن قرار دارد نامیده می شود. این دو نقطه دو کمان دایره را مشخص می کنند. سی دی آکورد دارای دو قوس است: CMD و CLD. همان آکوردها همان قوس ها را فرو می برند.

گوشه مرکزیزاویه بین دو شعاع است.

طول کمانرا می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

استفاده از درجه: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
با استفاده از اندازه گیری رادیان: CD = \alpha R

قطری که بر وتر عمود است، وتر و قوس هایی را که در آن قرار می گیرد، نصف می کند.

اگر وترهای AB و CD دایره در نقطه N همدیگر را قطع کنند، حاصل ضرب قطعات وترهایی که با نقطه N از هم جدا شده اند با یکدیگر برابر هستند.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

مماس بر دایره

مماس بر دایرهمرسوم است که خط مستقیمی را که دارای یک نقطه مشترک با دایره است نامیده می شود.

اگر خطی دارای دو نقطه مشترک باشد، آن را می نامند جدا کردن.

اگر شعاع را در نقطه تماس رسم کنید، بر مماس دایره عمود خواهد بود.

بیایید دو مماس از این نقطه به دایره خود رسم کنیم. معلوم می شود که بخش های مماس با یکدیگر برابر خواهند بود و مرکز دایره روی نیمساز زاویه با رأس در این نقطه قرار می گیرد.

AC=CB

حالا از نقطه خود یک مماس و یک سکانس به دایره رسم می کنیم. به این نتیجه می رسیم که مجذور طول قطعه مماس برابر با حاصلضرب کل پاره مقطع خواهد بود. قسمت بیرونی.

AC^(2) = CD \cdot BC

می توان نتیجه گرفت: حاصلضرب یک قطعه صحیح از سکانس اول توسط قسمت بیرونی آن برابر است با حاصلضرب یک قطعه صحیح از سکانس دوم توسط قسمت خارجی آن.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

زوایا در یک دایره

اندازه های درجه زاویه مرکزی و کمانی که بر روی آن قرار دارد برابر است.

\ زاویه COD = \ فنجان سی دی = \ آلفا ^(\circ)

زاویه حکاکی شدهزاویه ای است که راس آن روی دایره و اضلاع آن دارای وتر است.

شما می توانید آن را با دانستن اندازه قوس محاسبه کنید، زیرا برابر با نصف این قوس است.

\ زاویه AOB = 2 \ زاویه ADB

بر اساس قطر، زاویه محاطی، مستقیم.

\ زاویه CBD = \ زاویه CED = \ زاویه CAD = 90^ (\circ)

زوایای محاطی که بر روی یک قوس تکیه دارند یکسان هستند.

زوایای محاط شده بر اساس وتر یکسان یا مجموع آنها برابر با 180^ (\circ) است.

\ زاویه ADB + \ زاویه AKB = 180^ (\circ)

\ زاویه ADB = \ زاویه AEB = \ زاویه AFB

در همان دایره، رئوس مثلث هایی با زاویه های یکسان و قاعده معین قرار دارند.

زاویه ای که راس آن در داخل دایره قرار دارد و بین دو وتر قرار دارد با نصف مجموع قدر زاویه ای کمان های دایره که در داخل زوایای داده شده و عمودی قرار دارند یکسان است.

\ زاویه DMC = \ زاویه ADM + \ زاویه DAM = \frac(1) (2) \ چپ (\cup DmC + \cup AlB \راست)

زاویه ای با راس خارج از دایره و واقع بین دو مقطع با نصف اختلاف قدر زاویه ای کمان های دایره ای که در داخل زاویه قرار دارند یکسان است.

\ زاویه M = \ زاویه CBD - \ زاویه ACB = \frac(1)(2) \ چپ (\cup DmC + \cup AlB \راست)

دایره حکاکی شده

دایره حکاکی شدهدایره ای مماس بر اضلاع چند ضلعی است.

در نقطه ای که نیمسازهای زوایای چندضلعی را قطع می کنند، مرکز آن قرار دارد.

یک دایره ممکن است در هر چند ضلعی حک نشود.

مساحت یک چند ضلعی با دایره محاط شده با فرمول بدست می آید:

S=pr،

p نیم محیط چند ضلعی است،

r شعاع دایره محاطی است.

بنابراین شعاع دایره محاطی برابر است با:

r = \frac(S)(p)

اگر دایره در یک چهارضلعی محدب محاط شود، مجموع طول اضلاع مقابل هم یکسان خواهد بود. و بالعکس: یک دایره در یک چهارضلعی محدب محاط می شود اگر مجموع طول اضلاع مقابل در آن یکسان باشد.

AB+DC=AD+BC

می توان دایره ای را در هر یک از مثلث ها حک کرد. فقط یک تک. در نقطه ای که نیمسازهای زوایای داخلی شکل را قطع می کنند، مرکز این دایره محاطی قرار می گیرد.

شعاع دایره محاطی شده با فرمول محاسبه می شود:

r = \frac(S)(p) ,

جایی که p = \frac(a + b + c)(2)

دایره محصور شده

اگر دایره ای از هر رأس یک چند ضلعی عبور کند، چنین دایره ای نامیده می شود حدود یک چند ضلعی.

مرکز دایره محدود شده در نقطه تقاطع نیمسازهای عمود بر اضلاع این شکل خواهد بود.

شعاع را می توان با محاسبه آن به عنوان شعاع دایره ای که در اطراف مثلثی که توسط هر 3 رأس چند ضلعی تعریف شده است، پیدا کرد.

شرط زیر وجود دارد: یک دایره را می توان به دور یک چهار ضلعی محصور کرد که مجموع زوایای مقابل آن برابر با 180^(\circ) باشد.

\ زاویه A + \ زاویه C = \ زاویه B + \ زاویه D = 180^ (\circ)

در نزدیکی هر مثلثی می توان یک دایره را توصیف کرد و یک و تنها یک. مرکز چنین دایره ای در نقطه ای قرار دارد که نیمسازهای عمود بر اضلاع مثلث را قطع می کنند.

شعاع دایره محدود شده را می توان با فرمول های زیر محاسبه کرد:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a، b، c طول اضلاع مثلث هستند،

S مساحت مثلث است.

قضیه بطلمیوس

در نهایت، قضیه بطلمیوس را در نظر بگیرید.

قضیه بطلمیوس بیان می کند که حاصل ضرب قطرها با مجموع حاصلضرب اضلاع یک چهارضلعی محاطی یکسان است.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

در هر زمینه ای از اقتصاد که فرد کار می کند، خواسته یا ناخواسته، از دانش ریاضی انباشته شده در طول قرن ها استفاده می کند. ما هر روز با دستگاه ها و مکانیسم های حاوی دایره ها مواجه می شویم. شکل گرددارای یک چرخ، پیتزا، بسیاری از سبزیجات و میوه ها در برش دایره، و همچنین بشقاب، فنجان، و بسیاری دیگر. با این حال، همه نمی دانند که چگونه دور را به درستی محاسبه کنند.

برای محاسبه دور یک دایره، ابتدا باید به یاد داشته باشید که دایره چیست. این مجموعه تمام نقاط صفحه در فاصله مساوی از نقطه داده شده است. دایره جایگاهی از نقاط در صفحه ای است که در داخل دایره قرار دارد. از مطالب فوق چنین استنباط می شود که محیط دایره و محیط دایره یکی هستند.

راه های پیدا کردن محیط دایره

علاوه بر روش ریاضی برای یافتن محیط دایره، روش های عملی نیز وجود دارد.

یک طناب یا طناب بردارید و یک بار دور آن بپیچید.
سپس طناب را اندازه بگیرید، عدد به دست آمده، محیط خواهد بود.
یک شی گرد را یکبار بغلتانید و طول مسیر را محاسبه کنید. اگر جسم بسیار کوچک است، می توانید آن را چندین بار با ریسمان بپیچید، سپس نخ را باز کنید، اندازه بگیرید و بر تعداد دورها تقسیم کنید.
مقدار مورد نیاز را با استفاده از فرمول پیدا کنید:

L = 2πr = πD ,

که در آن L طول مورد نظر است.

π ثابت است، تقریباً برابر با 3.14 r شعاع دایره، فاصله از مرکز آن تا هر نقطه است.

D قطر است، برابر با دو شعاع است.

با استفاده از فرمول برای یافتن محیط دایره

مثال 1. تردمیل دور دایره ای به شعاع 47.8 متر می دود. طول این تردمیل را با فرض π = 3.14 پیدا کنید.

L \u003d 2πr \u003d 2 * 3.14 * 47.8 ≈ 300 (m)

جواب: 300 متر

مثال 2. یک چرخ دوچرخه که 10 بار به دور خود می چرخد، 18.85 متر را طی کرد. شعاع چرخ را پیدا کنید.

18.85: 10 = 1.885 (m) محیط چرخ است.

1.885: π \u003d 1.885: 3.1416 ≈ 0.6 (m) - قطر مورد نظر

پاسخ: قطر چرخ 0.6 متر

عدد شگفت انگیز π

با وجود سادگی ظاهری فرمول، به دلایلی به خاطر سپردن آن برای بسیاری دشوار است. ظاهراً این به این دلیل است که فرمول دارای یک عدد غیر منطقی π است که در فرمول های مساحت سایر اشکال وجود ندارد، به عنوان مثال، مربع، مثلث یا لوزی. فقط باید به یاد داشته باشید که این یک ثابت است، یعنی یک ثابت، یعنی نسبت محیط به قطر. حدود 4 هزار سال پیش، مردم متوجه شدند که نسبت محیط یک دایره به شعاع (یا قطر) آن برای هر دایره یکسان است.

یونانیان باستان عدد π را با کسری 22/7 تقریب می‌کردند. برای مدت طولانی، π به عنوان میانگین بین طول چند ضلعی های محاط شده و محدود در یک دایره محاسبه می شد. در قرن سوم پس از میلاد، یک ریاضیدان چینی محاسبه ای را برای 3072 گون انجام داد و مقدار تقریبی π = 3.1416 را به دست آورد. باید به خاطر داشت که π همیشه برای هر دایره ای ثابت است. نامگذاری آن با حرف یونانی π در قرن 18 ظاهر شد. این اولین حرف از کلمات یونانی περιφέρεια - محیط و περίμετρος - محیط است. در قرن هجدهم ثابت شد که این کمیت غیر منطقی است، یعنی نمی توان آن را به صورت m/n نشان داد که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است.

در ریاضیات مدرسه معمولاً به دقت بالایی در محاسبات نیازی نیست و π برابر با 3.14 در نظر گرفته می شود.

دایره یک منحنی بسته است که همه نقاط آن در یک فاصله از مرکز قرار دارند. این رقم صاف است. بنابراین، راه حل مسئله، که سوال آن این است که چگونه محیط یک دایره را پیدا کنیم، بسیار ساده است. تمام روش های موجود را در مقاله امروز در نظر خواهیم گرفت.

توضیحات شکل

علاوه بر یک تعریف توصیفی نسبتاً ساده، سه ویژگی ریاضی دیگر از یک دایره وجود دارد که به خودی خود حاوی پاسخ به این سؤال است که چگونه محیط دایره را پیدا کنیم:

شامل نقاط A و B و سایر نقاطی است که AB از آنها در زاویه قائم دیده می شود. قطر این رقم برابر با طول قطعه مورد نظر است.
فقط شامل نقاط X می شود به طوری که نسبت AX/BX ثابت باشد و برابر با یک نباشد. اگر این شرط برقرار نباشد، دایره نیست.
از نقاطی تشکیل شده است که برای هر یک از آنها تساوی زیر برقرار است: مجموع مجذور فاصله دو نقطه دیگر مقدار معینی است که همیشه از نصف طول قطعه بین آنها بیشتر است.

واژه شناسی

همه در مدرسه معلم ریاضی خوبی نداشتند. بنابراین، پاسخ به این سوال که چگونه می توان محیط یک دایره را پیدا کرد نیز با این واقعیت پیچیده است که همه مفاهیم اولیه هندسی را نمی دانند. شعاع - قطعه ای که مرکز شکل را با یک نقطه روی منحنی متصل می کند. مورد خاصدر مثلثات دایره واحد است. وتر پاره خطی است که دو نقطه روی یک منحنی را به هم متصل می کند. به عنوان مثال، AB قبلاً در نظر گرفته شده تحت این تعریف قرار می گیرد. قطر آکوردی است که از مرکز می گذرد. عدد π برابر است با طول واحد نیم دایره.

فرمول های پایه

فرمول های هندسی مستقیماً از تعاریف پیروی می کنند که به شما امکان می دهد مشخصات اصلی دایره را محاسبه کنید:

طول برابر است با حاصل ضرب عدد π و قطر. فرمول معمولاً به صورت زیر نوشته می شود: C = π*D.
شعاع نصف قطر است. همچنین می توان آن را با محاسبه ضریب تقسیم محیط بر دو برابر عدد π محاسبه کرد. فرمول به این صورت است: R = C/(2* π) = D/2.
قطر برابر است با محیط تقسیم بر π یا دو برابر شعاع. فرمول بسیار ساده است و به این شکل است: D = C/π = 2*R.
مساحت دایره برابر است با حاصل ضرب عدد π و مربع شعاع. به طور مشابه، قطر را می توان در این فرمول استفاده کرد. در این صورت مساحت برابر با ضریب تقسیم حاصل ضرب عدد π و مربع قطر بر چهار خواهد بود. فرمول را می توان به صورت زیر نوشت: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

نحوه پیدا کردن محیط دایره از قطر

برای سهولت توضیح، ویژگی های رقم لازم برای محاسبه را با حروف نشان می دهیم. C طول مورد نظر، D قطر آن و عدد pi تقریباً 3.14 باشد. اگر فقط یک کمیت شناخته شده داشته باشیم، آنگاه می توان مشکل را حل شده در نظر گرفت. چرا در زندگی لازم است؟ فرض کنید تصمیم داریم یک استخر گرد را با حصار محصور کنیم. چگونه تعداد ستون های مورد نیاز را محاسبه کنیم؟ و در اینجا توانایی محاسبه دور یک دایره به کمک می آید. فرمول به شرح زیر است: C = π D. در مثال ما، قطر بر اساس شعاع استخر و فاصله لازم تا نرده تعیین می شود. به عنوان مثال فرض کنید که مخزن مصنوعی خانه ما 20 متر عرض دارد و قرار است پست هایی را در فاصله ده متری از آن قرار دهیم. قطر دایره حاصل 20 + 10 * 2 = 40 متر است طول 3.14 * 40 = 125.6 متر است. اگر فاصله بین آنها حدود 5 متر باشد به 25 ستون نیاز خواهیم داشت.

طول از طریق شعاع

مثل همیشه، بیایید با اختصاص دایره های حروف به ویژگی ها شروع کنیم. در واقع، آنها جهانی هستند، بنابراین ریاضیدانان از کشورهای مختلفنیازی به دانستن زبان یکدیگر نیست. فرض کنید C محیط یک دایره، r شعاع آن و π تقریباً 3.14 است. فرمول در این مورد به این صورت است: C = 2 * π * r. بدیهی است که این یک برابری کاملاً صحیح است. همانطور که قبلاً فهمیدیم، قطر یک دایره برابر با دو برابر شعاع آن است، بنابراین این فرمول به نظر می رسد. در زندگی، این روش نیز اغلب می تواند مفید باشد. به عنوان مثال، ما یک کیک را در قالب کشویی مخصوص می پزمیم. برای اینکه کثیف نشود به یک لفاف تزئینی نیاز داریم. اما نحوه برش دایره به اندازه دلخواه. اینجاست که ریاضیات به کمک می آید. کسانی که می دانند چگونه محیط یک دایره را دریابند، بلافاصله خواهند گفت که باید عدد π را در دو برابر شعاع شکل ضرب کنید. اگر شعاع آن 25 سانتی متر باشد، طول آن 157 سانتی متر خواهد بود.

نمونه کارها

ما قبلاً چندین مورد عملی از دانش کسب شده در مورد چگونگی پیدا کردن محیط دایره را در نظر گرفته ایم. اما اغلب ما نگران آنها نیستیم، بلکه به مسائل ریاضی واقعی که در کتاب درسی آمده است می اندیشیم. بالاخره معلم به آنها امتیاز می دهد! پس بیایید به مشکل نگاه کنیم افزایش پیچیدگی. فرض کنید دور 26 سانتی متر است چگونه شعاع چنین شکلی را پیدا کنیم؟

راه حل مثال

برای شروع، بیایید آنچه را که به ما داده شده است بنویسیم: C \u003d 26 سانتی متر، π \u003d 3.14. همچنین فرمول را به خاطر بسپارید: C = 2* π*R. از آن می توانید شعاع دایره را استخراج کنید. بنابراین، R= C/2/π. حالا بیایید به محاسبه مستقیم برویم. ابتدا طول را بر دو تقسیم کنید. 13 می گیریم. اکنون باید بر مقدار عدد π تقسیم کنیم: 13 / 3.14 \u003d 4.14 سانتی متر. مهم این است که فراموش نکنید که پاسخ را به درستی بنویسید ، یعنی با واحدهای اندازه گیری ، در غیر این صورت کل عملی است. معنای چنین مشکلاتی از بین می رود. علاوه بر این، برای چنین بی توجهی، می توانید یک امتیاز کمتر کسب کنید. و هر چقدر هم که آزاردهنده باشد، باید این وضعیت را تحمل کنید.

هیولا به اندازه نقاشی ترسناک نیست

بنابراین ما در نگاه اول به چنین کار دشواری پی بردیم. همانطور که معلوم شد، شما فقط باید معنای اصطلاحات را درک کنید و چند فرمول آسان را به خاطر بسپارید. ریاضی چندان ترسناک نیست، فقط باید کمی تلاش کنید. بنابراین هندسه در انتظار شماست!

دور با حرف مشخص می شود سیو با فرمول محاسبه می شود:

C = 2πR،
جایی که آر - شعاع دایره

استخراج فرمولی که محیط یک دایره را بیان می کند

مسیر C و C به طول دایره های شعاع R و R هستند. اجازه دهید در هر یک از آنها یک n-ضلعی منظم بنویسیم و با P n و P" n محیط آنها و با n و a" n اضلاع آنها را مشخص کنیم. با استفاده از فرمول محاسبه ضلع n-gon معمولی a n = 2R sin (180°/n) به دست می آوریم:
P n \u003d n a n \u003d n 2R sin (180 ° / n)،
P "n \u003d n a" n \u003d n 2R "sin (180 درجه / n).
از این رو،
P n / P" n \u003d 2R / 2R". (1)
این برابری برای هر مقدار n صادق است. اکنون عدد n را به طور نامحدود افزایش می دهیم. از آنجایی که P n → C، P" n → C، n → ∞، حد رابطه P n / P" n برابر با C / C است. از طرف دیگر، به دلیل برابری (1)، این حد برابر با 2R / 2R است. بنابراین، C / C" = 2R / 2R. از این برابری نتیجه می شود که C / 2R = C" / 2R، یعنی . نسبت محیط دایره به قطر آن برای همه دایره ها یکسان است.این عدد معمولا با حرف یونانی π ("pi") نشان داده می شود.
از برابری C / 2R = π فرمولی برای محاسبه محیط دایره با شعاع R بدست می آوریم:
С = 2πR.

شاید خواندن آن مفید باشد: