نحوه محاسبه ریشه میانگین مربع محاسبه انحراف استاندارد در مایکروسافت اکسل

پراکندگیمیانگین حسابی مجذور انحرافات هر ویژگی از میانگین کلی است. واریانس معمولاً به عنوان مجذور میانگین انحرافات نامیده می شود. بسته به داده های اولیه، واریانس را می توان از میانگین حسابی، ساده یا وزنی محاسبه کرد:

برای داده های گروه بندی نشده σ 2 =،

برای سری متغیر σ 2 =
.

ریشه میانگین مربع انحرافجذر واریانس است:

برای داده های گروه بندی نشده σ =
,

برای سری متغیر σ =
.

انحراف معیار یک مشخصه تعمیم دهنده اندازه مطلق تغییرات یک صفت در کل است. در واحدهای مشابه علامت (به متر، تن، درصد، هکتار و غیره) بیان می شود.

قبل از محاسبه انحراف معیار محاسبه واریانس انجام می شود.

تعیین واریانس و انحراف معیار از مقادیر فردی

روش محاسبه:

    میانگین حسابی بر اساس مقادیر مشخصه محاسبه می شود

;


وظیفه 3.به دنبال مثال دو تیم (وظیفه 1)، واریانس و انحراف معیار بهره وری نیروی کار را تعیین کنید.

روش حل:

تعیین واریانس و انحراف معیار در سری های توزیع گسسته و بازه ای

روش محاسبه:

وظیفه 4.واریانس و انحراف معیار از داده های نمونه را محاسبه کنید. نتیجه گیری کنید

محصولات تولید شده توسط 1 کارگر، عدد. (گزینه های x)

تعداد کارگران

روش حل:

اگر داده های اولیه به شکل یک سری فاصله توزیع ارائه شود، ابتدا لازم است مقدار گسسته مشخصه تعیین شود و سپس همان روشی که در بالا توضیح داده شد اعمال شود.

وظیفه 5.محاسبه واریانس و انحراف معیار برای سری فاصله با توجه به توزیع سطح زیر کشت مزرعه بر اساس عملکرد گندم:

عملکرد گندم، سنتر در هکتار

سطح زیر کشت، هکتار

روش حل:

محاسبه واریانس به روشی ساده

استفاده از فرمول بالا برای محاسبه واریانس همیشه راحت نیست، اگرچه به خوبی ماهیت شاخص را منعکس می کند. بنابراین لازم است فرمول دیگری را برای یک روش محاسبه ساده دانست که از موارد فوق نتیجه می گیرد:

,

جایی که - میانگین مقدار مربع گزینه ها؛

مربع میانگین حسابی است.

روش محاسبه (اگر داده ها گروه بندی نشده باشند):

وظیفه 6.داده های بهره وری کارگران در دسترس است. واریانس را به روشی ساده محاسبه کنید.

شماره کارگر

تولید در هر شیفت، عدد.

روش حل:

روش محاسبه (در صورت گروه بندی داده ها):

وظیفه 7.داده ها در مورد توزیع شرکت های کشاورزی بر اساس در دسترس بودن دارایی های ثابت موجود است. واریانس را به روشی ساده محاسبه کنید.

گروه های شرکت با حضور دارایی های ثابت، میلیون روبل

تعداد شرکت ها

تکنیک حل.

انتظارات و واریانس ریاضی

بیایید یک متغیر تصادفی را اندازه گیری کنیم نبرای مثال سرعت باد را ده بار اندازه می گیریم و می خواهیم مقدار متوسط ​​را پیدا کنیم. مقدار متوسط ​​چگونه با تابع توزیع مرتبط است؟

تاس ها را چند بار می اندازیم. تعداد نقاطی که در طول هر پرتاب بر روی قالب می افتد یک متغیر تصادفی است و می تواند هر مقدار طبیعی را از 1 تا 6 بگیرد. نبه یک عدد بسیار خاص تمایل دارد - انتظار ریاضی Mx. در این مورد Mx = 3,5.

این ارزش چگونه به وجود آمد؟ بگذار وارد شود نتست ها یک بار 1 امتیاز حذف شدند، یک بار - 2 امتیاز و غیره. سپس ن∞ تعداد نتایجی که در آن یک امتیاز کاهش یافته است، به طور مشابه، از اینجا

مدل 4.5. تاس

اجازه دهید فرض کنیم که قانون توزیع متغیر تصادفی را می دانیم ایکس، یعنی می دانیم که متغیر تصادفی است ایکسمی تواند ارزش ها را بگیرد ایکس 1 , ایکس 2 , ..., x kبا احتمالات پ 1 , پ 2 , ..., p k.

ارزش مورد انتظار Mxمتغیر تصادفی ایکسبرابر است با:

پاسخ. 2,8.

انتظارات ریاضی همیشه تخمین معقولی از برخی متغیرهای تصادفی نیست. بنابراین، برای تخمین میانگین دستمزد، منطقی تر است که از مفهوم میانه استفاده کنیم، یعنی مقداری که تعداد افرادی که کمتر از میانه حقوق دریافت می کنند و بیشتر، یکسان باشد.

میانهیک متغیر تصادفی عدد نامیده می شود ایکس 1/2 طوری که پ (ایکس < ایکس 1/2) = 1/2.

به عبارت دیگر، احتمال پ 1 که متغیر تصادفی است ایکسکمتر خواهد بود ایکس 1/2 و احتمال پ 2 که یک متغیر تصادفی است ایکسبزرگتر خواهد بود ایکس 1/2 یکسان و برابر با 1/2 است. میانه برای همه توزیع ها به طور یکتا تعیین نمی شود.

بازگشت به متغیر تصادفی ایکس، که می تواند مقادیر را بگیرد ایکس 1 , ایکس 2 , ..., x kبا احتمالات پ 1 , پ 2 , ..., p k.

پراکندگیمتغیر تصادفی ایکسمقدار میانگین مجذور انحراف یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی آن است:

مثال 2

تحت شرایط مثال قبلی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید ایکس.

پاسخ. 0,16, 0,4.

مدل 4.6. تیراندازی به هدف

مثال 3

توزیع احتمال تعداد نقاطی که از اولین پرتاب روی قالب چرخانده شده است، میانه، انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار را بیابید.

افتادن هر صورت به همان اندازه محتمل است، بنابراین توزیع به این صورت خواهد بود:

انحراف معیار مشاهده می شود که انحراف مقدار از مقدار میانگین بسیار زیاد است.

ویژگی های انتظار ریاضی:

  • انتظارات ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با مجموع انتظارات ریاضی آنها:

مثال 4

انتظارات ریاضی حاصل جمع و حاصل ضرب امتیازهایی که روی دو تاس ریخته شده را پیدا کنید.

در مثال 3 متوجه شدیم که برای یک مکعب م (ایکس) = 3.5. بنابراین برای دو مکعب

خواص پراکندگی:

  • واریانس مجموع متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس‌ها:

D x + y = D x + دی.

اجازه دهید برای نتاس می ریزد yنکته ها. سپس

این نتیجه فقط برای تاس انداختن صادق نیست. در بسیاری از موارد، دقت اندازه گیری انتظارات ریاضی را به صورت تجربی تعیین می کند. مشاهده می شود که با افزایش تعداد اندازه گیری ها نگسترش مقادیر حول میانگین، یعنی انحراف معیار، به نسبت کاهش می یابد

واریانس یک متغیر تصادفی با رابطه زیر با انتظارات ریاضی مربع این متغیر تصادفی مرتبط است:

اجازه دهید انتظارات ریاضی هر دو بخش این برابری را پیدا کنیم. الف مقدماتی،

انتظار ریاضی سمت راست برابری، با توجه به ویژگی انتظارات ریاضی، برابر است با

انحراف معیار

انحراف معیاربرابر است با جذر واریانس:
هنگام تعیین انحراف معیار برای حجم به اندازه کافی بزرگ از جمعیت مورد مطالعه (n>30)، از فرمول های زیر استفاده می شود:

آمار توصیفی اولیه ساده‌ترین ویژگی‌هایی است که می‌توان برای توصیف داده‌های روان‌شناختی به‌دست‌آمده در آزمون هاج آزمودنی‌ها استفاده کرد.

رایج ترین آمار توصیفی مورد استفاده در مقالات ترم و دیپلم روانشناسی عبارتند از:

  • مقدار متوسط؛
  • انحراف معیار.

مقدار متوسط

ساده ترین روش ریاضی که یک دانشجو-روانشناس باید در هنگام نوشتن دیپلم به آن مسلط شود، محاسبه مقدار میانگین است.

مقدار متوسط ​​یا میانگین حسابی عددی است که به عنوان مجموع چندین شاخص به دست می آید که از تعداد این شاخص ها ساخته می شود. به عنوان مثال، در نتیجه آزمایش، شاخص های اضطراب در یک گروه 10 نفره به دست آمد. برای به دست آوردن میانگین ارزش اضطراب برای گروه، باید شاخص های همه موضوعات را جمع کنید و سپس مجموع حاصل را بر 10 تقسیم کنید.

مقدار متوسط ​​گروه را به عنوان یک کل مشخص می کند. با دانستن میانگین، می توانید عملکرد هر موضوع را نسبت به بقیه ارزیابی کنید. به عنوان مثال، اضطراب اندازه گیری شده در مثال بالا می تواند از 1 تا 5 امتیاز باشد. بگذارید میانگین اضطراب برای گروه 3.5 امتیاز باشد. سپس، نمره آزمون 4 امتیاز را می توان نسبتاً بالا و 2 امتیاز را - نسبتاً پایین در نظر گرفت.

مقدار میانگین به شاخص‌های گرایش مرکزی اشاره دارد و شدت شاخص را در گروه نشان می‌دهد. انحراف معیار میزان تغییرپذیری صفت را در گروه نشان می دهد، اما ما در آینده در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

میانگین مقدار هر شاخص، گروه را به عنوان یک کل مشخص می کند و به شما امکان می دهد آن را با گروه های دیگر مقایسه کنید. به عنوان مثال، تشخیص میزان همدلی در گروهی از مردان و زنان انجام شد. چگونه بفهمیم جنسیت بر توانایی همدلی تأثیر می گذارد یا خیر. یکی از راه ها یافتن میانگین سطح این شاخص در گروه های زن و مرد است. به عنوان مثال، در گروه زنان، میانگین سطح همدلی 23.5 امتیاز و در گروه مردان - 17.7 امتیاز است. همانطور که می بینید، به طور متوسط، همدلی زنان بیشتر از مردان است.

توجه به این نکته مهم است که مقدار متوسط ​​فقط یک عدد نیست، بلکه - یک عدد آماری - در نتیجه یک روش خاص به دست می آید. بنابراین، مقایسه مقادیر متوسط ​​مانند اعداد معمولی غیرممکن است. برای مقایسه مقادیر متوسط، از روش های اضافی استفاده می شود - محاسبه معیارهای آماری. مثلا، تست U Mann-Whitneyیا آزمون تی دانشجویی .

میانگین تنها آماری نیست که شدت یک متغیر را در یک گروه منعکس می کند. یک عملکرد مشابه توسط حالت و میانه انجام می شود. با این حال، آنها به ندرت در دیپلم روانشناسی استفاده می شوند.

مقادیر متوسط ​​شدت شاخص های روانشناختی در دوره یا دیپلم روانشناسی در قالب جداول و نمودار ارائه شده است. در جداول، میانگین با حرف "M" نشان داده شده است.

انحراف معیار

اگر میانگین حسابی شدت شاخص را در گروه منعکس کند، انحراف معیار (انحراف استاندارد) گستردگی یا تغییرپذیری داده های آن را نشان می دهد. هر چه انحراف معیار بیشتر باشد، گسترش شاخص ها در گروه آزمودنی ها بیشتر است.

به عنوان مثال، گروهی از پسران با روشی برای شناسایی سطح خود محوری مورد آزمایش قرار گرفتند که شاخص های آن از 1 تا 10 متغیر است. محاسبه میانگین M=6.5 و انحراف معیار σ=3 (انحراف معیار) را نشان داد. با حرف "سیگما" نشان داده می شود). این داده ها به ما اجازه می دهد بگوییم که اکثریت قریب به اتفاق شاخص های خود محوری پسران در محدوده 3.5 تا 9.5 قرار می گیرند (میانگین انحراف معیار مثبت/منهای - M ± σ).

اگر هنگام آزمایش گروهی از دختران، میانگین مقدار M=5 و انحراف معیار σ=1 باشد، در این صورت اکثر آزمودنی‌های این گروه دارای خودمحوری در محدوده 4 تا 6 (1±5) هستند.

با تجزیه و تحلیل چنین داده هایی در یک دیپلم روانشناسی، می توان نشان داد که میانگین سطح خودمحوری در پسران بیشتر از دختران است. در عین حال، گسترش شاخص های خود محوری در پسران نیز بیشتر از دختران است، یعنی در گروه پسران، آزمودنی هایی با شاخص های بسیار پایین و بسیار بالا نسبت به میانگین وجود دارد. در دختران، شاخص ها نسبت به میانگین کمتر "پراکنده" هستند.

محاسبه میانگین و انحراف معیار

فرمول محاسبه میانگین بسیار ساده است و این پارامتر به صورت دستی قابل محاسبه است.

مثال محاسبه میانگین

جدول، شاخص های بدست آمده توسط آزمون تشخیص میزان تنهایی را در 64 آزمودنی نشان می دهد.

شماره اسپانیایی

سطح تنهایی

میانگین سطح تجربه تنهایی در گروه را بیابید.

M=(13+14+ 5+ 11+ 17+ 9+ 18+ 6+ 9+ 15+ 14+ 7+ 9+ 8+ 13+ 12+ 14+ 19+ 15+ 11+ 15+ 6+ 8+ 8 + 8+ 5+ 20+ 5+ 9+ 7+ 7+ 11+ 15+ 7+ 7+ 9+ 8+ 11+ 17+ 10+ 18+ 15+ 14+ 15+ 4+8+15+17+14 +4+8+18+14+14+9+1+7+11+4+14+11+6+17) / 64=10.92

همانطور که می بینید، اگر موضوعات زیادی وجود دارد، محاسبه دستی میانگین یک کار پر زحمت است.

حتی یک فرآیند زمان‌برتر، محاسبه انحراف استاندارد است. من شما را با فرمول خسته نمی کنم، فقط می گویم که محاسبه این شاخص به جمع بندی مربع های تفاوت شاخص ها با مقدار متوسط ​​خلاصه می شود. سپس این مقدار بر تعداد شاخص ها تقسیم می شود و از عدد حاصل جذر می شود. انجام چنین محاسباتی به صورت دستی مشکل است و ضروری نیست.

اغلب، محاسبات میانگین و انحراف معیار را می توان در برنامه های آماری انجام داد. آمار، SPSS و صفحات گستردهبرتری داشتن.

امیدوارم این مقاله به شما در نوشتن مقاله روانشناسی به تنهایی کمک کند. در صورت نیاز به کمک لطفا تماس بگیرید (انواع کار در روانشناسی، محاسبات آماری).

انحراف معیار(مترادف: انحراف معیار, انحراف معیار, انحراف معیار; اصطلاحات مرتبط: انحراف معیار, گسترش استاندارد) - V نظریه احتمالاتو آماررایج ترین شاخص پراکندگی مقادیر مقدار تصادفیدر مورد او انتظارات ریاضی. با آرایه های محدودی از نمونه های ارزش، به جای انتظارات ریاضی، میانگینمجموعه ای از نمونه ها

یوتیوب دایره المعارفی

  • 1 / 5

    انحراف معیار در اندازه گیری می شود واحدهای اندازه گیریتصادفی ترین متغیر است و در محاسبات استفاده می شود خطای استاندارد میانگین حسابی، هنگام ساخت فاصله اطمینان، با آمار تایید فرضیه ها، هنگام اندازه گیری رابطه خطیبین متغیرهای تصادفی که تعریف میشود ریشه دوماز جانب مقدار پراکندگی تصادفی.

    انحراف معیار:

    s = n n - 1 σ 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n (x i - x ¯) 2 ; (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac (n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac (1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\راست)^(2)));)
    • توجه: اغلب اوقات اختلافاتی در نام RMS (انحراف استاندارد) و SRT (انحراف استاندارد) با فرمول آنها وجود دارد. به عنوان مثال، در ماژول numPy زبان برنامه نویسی پایتون، تابع std() به عنوان "انحراف استاندارد" توصیف می شود، در حالی که فرمول انحراف استاندارد را منعکس می کند (تقسیم بر ریشه نمونه). در اکسل، تابع STDEV() متفاوت است (تقسیم بر جذر n-1).

    انحراف معیار(تخمین انحراف معیار یک متغیر تصادفی ایکسبا توجه به انتظارات ریاضی آن بر اساس برآورد بی طرفانهپراکندگی آن) s (\displaystyle s):

    σ = 1 n ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 . (\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\راست) ^(2))))

    جایی که σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2)) - پراکندگی ; x i (\displaystyle x_(i)) - منعنصر نمونه -ام n (\displaystyle n)- اندازهی نمونه؛ - میانگیننمونه ها:

    x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + … + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\ldots +x_(n)).)

    لازم به ذکر است که هر دو برآورد مغرضانه هستند. به طور کلی برآورد بی طرفانهساختن غیر ممکن با این حال، یک برآورد مبتنی بر یک برآورد واریانس بی طرفانه است ثروتمند.

    مطابق با GOST R 8.736-2011، انحراف استاندارد طبق فرمول دوم این بخش محاسبه می شود. لطفا نتایج خود را بررسی کنید.

    قانون سه سیگما

    قانون سه سیگما (3 σ (\displaystyle 3\sigma)) - تقریباً همه مقادیر بطور نرمال پخش شدهمتغیر تصادفی در بازه قرار دارد (x ¯ − 3 σ ؛ x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \راست)). دقیق تر - تقریباً با احتمال 0.9973 مقدار بطور نرمال پخش شدهمتغیر تصادفی در بازه مشخص شده قرار دارد (به شرطی که مقدار x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))درست است، و در نتیجه پردازش نمونه به دست نیامده است).

    اگر ارزش واقعی x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))ناشناخته، پس باید استفاده کنید σ (\displaystyle \sigma)، آ س. بنابراین، قانون سه سیگما به قانون سه تبدیل می شود س .

    تفسیر مقدار انحراف معیار

    مقدار بزرگتر انحراف استاندارد نشان دهنده گسترش بیشتر مقادیر در مجموعه ارائه شده با میانگین مجموعه است. یک مقدار کوچکتر، به ترتیب، نشان می دهد که مقادیر موجود در مجموعه حول مقدار متوسط ​​گروه بندی می شوند.

    به عنوان مثال، ما سه مجموعه اعداد داریم: (0، 0، 14، 14)، (0، 6، 8، 14) و (6، 6، 8، 8). هر سه مجموعه دارای مقادیر میانگین 7 و انحراف استاندارد به ترتیب 7، 5 و 1 هستند. مجموعه اول بیشترین مقدار انحراف استاندارد را دارد - مقادیر درون مجموعه به شدت از مقدار متوسط ​​متفاوت است.

    در یک مفهوم کلی، انحراف معیار را می توان معیار عدم قطعیت در نظر گرفت. برای مثال در فیزیک از انحراف معیار برای تعیین استفاده می شود خطاهامجموعه ای از اندازه گیری های پی در پی از مقداری. این مقدار برای تعیین معقول بودن پدیده مورد مطالعه در مقایسه با مقدار پیش بینی شده توسط تئوری بسیار مهم است: اگر مقدار میانگین اندازه گیری ها با مقادیر پیش بینی شده توسط تئوری بسیار متفاوت باشد (انحراف معیار بزرگ)، پس مقادیر به دست آمده یا روش به دست آوردن آنها باید دوباره بررسی شود. شناسایی شده با خطرنمونه کارها.

    اقلیم

    فرض کنید دو شهر با میانگین حداکثر دمای روزانه یکسان هستند، اما یکی در ساحل و دیگری در دشت واقع شده است. شهرهای ساحلی به داشتن حداکثر دمای روزانه متفاوت و کمتر از شهرهای داخلی شهرت دارند. بنابراین، انحراف معیار حداکثر دمای روزانه در شهر ساحلی کمتر از شهر دوم خواهد بود، علیرغم اینکه مقدار میانگین یکسانی از این مقدار را دارند، که در عمل به این معنی است که احتمال حداکثر دمای هوای هر روز خاص از سال قوی تر خواهد بود متفاوت از مقدار متوسط، بالاتر برای شهری واقع در داخل قاره.

    ورزش

    فرض کنید چندین تیم فوتبال وجود دارند که بر اساس برخی از پارامترها رتبه بندی می شوند، مثلا تعداد گل های زده و دریافت شده، موقعیت های گلزنی و غیره. به احتمال زیاد بهترین تیم این گروه بهترین ارزش ها را داشته باشد. در پارامترهای بیشتر هر چه انحراف معیار تیم برای هر یک از پارامترهای ارائه شده کمتر باشد، نتیجه تیم قابل پیش بینی تر است، چنین تیم هایی متعادل هستند. از سوی دیگر، تیمی با انحراف معیار زیاد کار دشواری برای پیش‌بینی نتیجه دارد که به نوبه خود با عدم تعادل توضیح داده می‌شود، مثلاً دفاع قوی اما حمله ضعیف.

    استفاده از انحراف معیار پارامترهای تیم به فرد اجازه می دهد تا حدی نتیجه مسابقه بین دو تیم را پیش بینی کند، نقاط قوت و ضعف تیم ها و از این رو روش های مبارزه انتخاب شده را ارزیابی کند.



     

    شاید خواندن آن مفید باشد: