ماتریس ها تعاریف اساسی و انواع ماتریس ها
ماتریس ها انواع ماتریس ها عملیات روی ماتریس ها و خواص آنها
تعیین کننده ماتریس مرتبه n. N، Z، Q، R، C،
یک ماتریس از مرتبه m*n یک جدول مستطیلی از اعداد است که حاوی m ردیف و n ستون است.
برابری ماتریسی:
دو ماتریس برابر نامیده می شوند که تعداد سطرها و ستون های یکی از آنها به ترتیب با تعداد سطرها و ستون های دیگری برابر باشد. عناصر این ماتریس ها برابر هستند.
توجه: عناصر با شاخص های یکسان مطابقت دارند.
انواع ماتریس:
ماتریس مربع: به ماتریسی مربع گفته می شود که تعداد سطرها با تعداد ستون ها برابر باشد.
مستطیل: اگر تعداد سطرها با تعداد ستون ها برابر نباشد، به ماتریسی گفته می شود که مستطیل شکل است.
ماتریس ردیف: ماتریس مرتبه 1*n (m=1) به شکل a11,a12,a13 است و ماتریس ردیف نامیده می شود.
ستون ماتریس:………….
مورب: مورب یک ماتریس مربع که از گوشه سمت چپ بالا به گوشه پایین سمت راست می رود، یعنی متشکل از عناصر a11، a22 ...... - قطر اصلی نامیده می شود. (تعریف: ماتریس مربعی که همه عناصر آن برابر با صفر هستند، به جز مواردی که روی قطر اصلی قرار دارند، ماتریس مورب نامیده می شود.
هویت: ماتریس مورب در صورتی هویت نامیده می شود که همه عناصر روی قطر اصلی قرار گرفته و برابر با 1 باشند.
مثلث بالا: A=||aij|| اگر aij=0 باشد، ماتریس مثلث بالایی نامیده می شود. ارائه شده i>j.
مثلث پایینی: aij=0. من صفر: این ماتریسی است که Els آن 0 است. عملیات روی ماتریس ها 1. جابجایی. 2. ضرب یک ماتریس در یک عدد. 3. اضافه ماتریس. 4. ضرب ماتریس. عمل پایه sv-va بر روی ماتریس ها. 1.A+B=B+A (جابه‌جایی) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (تداعی) 3.a(A+B)=aA+aB (توزیع) 4. (a+b)A=aA+bA (توزیعی) 5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.) 6.AB≠BA (بدون رفت و آمد.) 7.A(BC)=(AB)C (تداعی) - اگر تعریف شود اجرا می شود. محصولات ماتریسی انجام می شود. 8.A(B+C)=AB+AC (توزیعی) (B+C)A=BA+CA (توزیعی) 9.a(AB)=(aA)B=(aB)A تعیین کننده ماتریس مربع - تعریف و خواص آن. تجزیه تعیین کننده در ردیف ها و ستون ها. روش های محاسبه عوامل تعیین کننده اگر ماتریس A دارای مرتبه m>1 باشد، تعیین کننده این ماتریس یک عدد است. مکمل جبری Aij عنصر aij ماتریس A، Mij جزئی ضرب در عدد است. قضیه 1: تعیین کننده ماتریس A برابر است با مجموع حاصلضرب تمام عناصر یک ردیف (ستون) دلخواه و مکمل های جبری آنها. ویژگی های اساسی عوامل تعیین کننده 1. تعیین کننده یک ماتریس با انتقال آن تغییر نخواهد کرد. 2. هنگام جابجایی دو ردیف (ستون)، دترمینان علامت را تغییر می دهد، اما قدر مطلق آن تغییر نمی کند. 3. تعیین کننده ماتریسی که دو ردیف (ستون) یکسان دارد 0 است. 4. هنگام ضرب یک ردیف (ستون) از یک ماتریس در یک عدد، تعیین کننده آن در این عدد ضرب می شود. 5. اگر یکی از سطرها (ستون ها) ماتریس از 0 تشکیل شده باشد، تعیین کننده این ماتریس 0 است. 6. اگر همه عناصر ردیف iام (ستون) یک ماتریس به صورت مجموع دو جمله ارائه شوند، آنگاه تعیین کننده آن را می توان به صورت مجموع عوامل تعیین کننده دو ماتریس نشان داد. 7. اگر به ترتیب عناصر یک ستون (ردیف) با ضرب قبلی به عناصر ستون دیگر (ردیف) اضافه شوند، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد. برای همان تعداد 8. مجموع عناصر دلخواه هر ستون (ردیف) تعیین کننده به مکمل جبری متناظر عناصر ستون دیگر (ردیف) 0 است. https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27"> روش های محاسبه دترمینان: 1. طبق تعریف یا قضیه 1. 2. کاهش به شکل مثلثی. تعریف و خواص ماتریس معکوس محاسبه ماتریس معکوس معادلات ماتریسی تعریف: یک ماتریس مربع از مرتبه n معکوس یک ماتریس A از همان مرتبه نامیده می شود و نشان داده می شود. برای اینکه ماتریس A دارای ماتریس معکوس باشد، لازم و کافی است که تعیین کننده ماتریس A با 0 متفاوت باشد. خواص ماتریس معکوس: 1. منحصر به فرد بودن: برای یک ماتریس معین A، معکوس آن منحصر به فرد است. 2. تعیین کننده ماتریس 3. عملیات گرفتن جابجایی و گرفتن ماتریس معکوس. معادلات ماتریسی: فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی با ترتیب یکسان باشند. https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src="> مفهوم وابستگی خطی و استقلال ستون های ماتریس. ویژگی های وابستگی خطی و استقلال خطی سیستم ستون. اگر یک ترکیب خطی غیر پیش پاافتاده از آنها برابر با ستون 0 باشد، ستون های A1,A2…An وابسته خطی نامیده می شوند. اگر ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده ای از آنها برابر با ستون 0 باشد، ستون های A1,A2…An مستقل خطی نامیده می شوند. اگر همه ضرایب С(l) برابر 0 باشند، یک ترکیب خطی جزئی نامیده می شود و در غیر این صورت غیر پیش پا افتاده است. https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24"> 2. برای اینکه ستون ها به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که برخی از ستون ها ترکیبی خطی از ستون های دیگر باشد. بگذارید 1 ستون https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> ترکیبی خطی از ستون های دیگر باشد. https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> به صورت خطی وابسته هستند، سپس همه ستون ها به صورت خطی وابسته هستند. 4. اگر سیستمی از ستون ها به صورت خطی مستقل باشد، هر یک از زیرسیستم های آن نیز مستقل خطی است. (هر چیزی که در مورد ستون ها گفته می شود برای ردیف ها نیز صادق است). خردسالان ماتریسی. خردسالان پایه رتبه ماتریسی روش حاشیه سازی مینورها برای محاسبه رتبه یک ماتریس. مرتبه جزئی ماتریس A تعیین کننده ای است که عناصر آن در محل تلاقی ردیف های k و k ردیف ماتریس A قرار دارند. اگر همه مینورهای مرتبه k ماتریس A = 0، هر مینور از مرتبه k + 1 نیز برابر با 0 است. جزئی پایه. رتبه یک ماتریس A مرتبه مینور پایه آن است. روش مرزبندی مینورها: - یک عنصر غیر صفر از ماتریس A را انتخاب می کنیم (اگر چنین عنصری وجود نداشته باشد، رتبه A \u003d 0) مینور قبلی مرتبه 1 را با مینور مرتبه 2 مرزبندی می کنیم. (اگر این مینور برابر 0 نباشد، رتبه >=2) اگر رتبه این مینور = 0 باشد، مینور مرتبه 1 انتخابی را با سایر مینورهای مرتبه دوم مرزبندی می کنیم. (اگر همه مینورهای مرتبه دوم = 0، پس رتبه ماتریس = 1). رتبه ماتریسی روش های پیدا کردن رتبه یک ماتریس رتبه یک ماتریس A مرتبه مینور پایه آن است. روش های محاسبه: 1) روش مرزبندی مینورها: -یک عنصر غیر صفر از ماتریس A را انتخاب کنید (اگر چنین عنصری وجود ندارد، رتبه = 0) - مینور مرتبه اول قبلی را با مینور مرتبه 2 حاشیه کنید..gif" width= "40" height="22" >r+1 Mr+1=0. 2) آوردن یک ماتریس به شکل پلکانی: این روش مبتنی بر تبدیل های ابتدایی است. تحت تبدیل های ابتدایی، رتبه ماتریس تغییر نمی کند. تبدیل‌های زیر را تبدیل‌های ابتدایی می‌گویند: جایگشت دو ردیف (ستون). ضرب تمام عناصر یک ستون (ردیف) در عددی که = 0 نباشد. جمع کردن همه عناصر یک ستون خاص (ردیف) از عناصر یک ستون دیگر (ردیف) که قبلاً در همان عدد ضرب شده است. قضیه جزئی پایه. شرط لازم و کافی برای اینکه تعیین کننده برابر با صفر باشد. مینور پایه ماتریس A مینور بزرگترین مرتبه k متفاوت از 0 است. قضیه جزئی پایه: سطرهای اصلی (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند. هر سطر (ستون) ماتریس A ترکیبی خطی از سطرهای اصلی (ستون) است. نکات: سطرها و ستون هایی که در محل تقاطع آنها مینور اصلی وجود دارد به ترتیب سطر و ستون اصلی نامیده می شوند. a11 a12… a1r a1j a21 a22….a2r a2j a31 a32….a3r a3j ar1 ar2 ….arr arj ak1 ak2…..akr akj شرایط لازم و کافی برای مساوی بودن دترمینان: برای اینکه تعیین کننده مرتبه n = 0 باشد، لازم و کافی است که ردیف ها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند. سیستم های معادلات خطی، طبقه بندی و اشکال نمادگذاری آنها. قانون کرامر سیستمی متشکل از 3 معادله خطی با سه مجهول را در نظر بگیرید: https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!} تعیین کننده سیستم نامیده می شود. ما سه تعیین کننده دیگر را به صورت زیر می نویسیم: ستون های 1، 2 و 3 را به صورت متوالی در تعیین کننده D با ستونی از عبارت های آزاد جایگزین می کنیم. https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!} اثبات بنابراین، یک سیستم 3 معادله با سه مجهول را در نظر بگیرید. معادله اول سیستم را در مکمل جبری A11 عنصر a11، معادله دوم را در A21 و معادله سوم را در A31 ضرب می کنیم: https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!} هر یک از براکت ها و سمت راست این معادله را در نظر بگیرید. با قضیه بسط تعیین کننده بر حسب عناصر ستون 1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!} به طور مشابه، می توان نشان داد که و . در نهایت، دیدن آن آسان است بنابراین، برابری را بدست می آوریم: . از این رو، . برابری ها و به طور مشابه به دست می آیند، از آنجایی که ادعای قضیه در زیر آمده است. سیستم های معادلات خطی. شرایط سازگاری برای معادلات خطی. قضیه کرونکر-کاپلی. حل یک سیستم معادلات جبری مجموعه ای از n عدد C1,C2,C3……Cn است که وقتی به جای x1,x2,x3…..xn به سیستم اصلی جایگزین شود، تمام معادلات را تبدیل می کند. سیستم به هویت سیستم معادلات جبری خطی در صورتی ثابت نامیده می شود که حداقل یک جواب داشته باشد. سیستم مشترک اگر راه حل منحصر به فرد داشته باشد معین و اگر بی نهایت راه حل داشته باشد نامعین نامیده می شود. شرایط سازگاری سیستم های معادلات جبری خطی. a11 a12 ……a1n x1 b1 a21 a22 ……a2n x2 b2 ……………….. .. = .. am1 am2…..amn xn bn قضیه: برای اینکه سیستمی از m معادلات خطی با n مجهول سازگار باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس توسعه یافته برابر با رتبه ماتریس A باشد. نکته: این قضیه فقط معیارهایی را برای وجود راه حل می دهد، اما راهی برای یافتن راه حل نشان نمی دهد. 10 سوال سیستم های معادلات خطی. روش مینور پایه یک روش کلی برای یافتن تمام راه حل های سیستم های معادلات خطی است. A=a21 a22…..a2n روش جزئی پایه: اجازه دهید سیستم سازگار باشد و RgA=RgA’=r. اجازه دهید مینور اصلی در گوشه سمت چپ بالای ماتریس A رنگ شود. https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n) … = ………….. دکتر br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n) https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src="> نکات: اگر رتبه ماتریس اصلی و در نظر گرفته شده برابر با r=n باشد، در این حالت dj=bj و سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. سیستم های همگن معادلات خطی. سیستم معادلات جبری خطی را همگن می نامند که تمام عبارات آزاد آن برابر با صفر باشد. AX=0 یک سیستم همگن است. AX = B یک سیستم ناهمگن است. سیستم های همگن همیشه سازگار هستند. X1 =x2 =..=xn =0 قضیه 1. هنگامی که رتبه ماتریس سیستم کمتر از تعداد مجهولات باشد، سیستم های همگن دارای راه حل های غیر همگن هستند. قضیه 2. یک سیستم همگن از معادلات خطی n با n مجهول زمانی که تعیین کننده ماتریس A برابر با صفر باشد راه حل غیر صفر دارد. (detA=0) خواص محلول های سیستم های همگن هر ترکیب خطی از یک راه حل برای یک سیستم همگن، خود راه حلی برای این سیستم است. α1C1 + α2C2 ; α1 و α2 برخی از اعداد هستند. A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0، یعنی. k (A C1) = 0; (AC2) = 0 برای یک سیستم ناهمگن، این ویژگی برقرار نیست. سیستم تصمیم گیری اساسی قضیه 3. اگر رتبه سیستم ماتریسی یک معادله با n مجهول r باشد، این سیستم دارای n-r راه حل مستقل خطی است. بگذارید پایه ماینر در گوشه سمت چپ بالا باشد. اگر ر< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0) C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы. …………………….. Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr، 0، 0..1) سیستمی از n-r راه حل های خطی مستقل از یک سیستم همگن از معادلات خطی با n مجهولات رتبه r سیستم اساسی راه حل نامیده می شود. قضیه 4. هر راه حل برای یک سیستم معادلات خطی، ترکیبی خطی از یک راه حل برای سیستم اساسی است. С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r اگر ر 12 سوال حل کلی یک سیستم ناهمگن خواب (جنسی غیر یکنواخت) \u003d COO + SCH (خصوصی) AX=B (سیستم ناهمگن)؛ AX=0 (ASoo) + ASch = ASch = B، زیرا (ASoo) = 0 خواب \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + اواسط روش گاوس این روشی برای حذف متوالی مجهولات (متغیرها) است - این شامل این واقعیت است که با کمک تبدیل های ابتدایی، سیستم اصلی معادلات به یک سیستم معادل یک شکل گام به گام کاهش می یابد که از آن همه متغیرهای دیگر به ترتیب یافت می شوند. ، از آخرین متغیرها شروع می شود. اجازه دهید a≠0 (اگر اینطور نیست، با تنظیم مجدد معادلات به دست می آید). 1) متغیر x1 را از معادله دوم، سوم ... n-ام حذف می کنیم، معادله اول را در اعداد مناسب ضرب می کنیم و نتایج به دست آمده را به معادله 2، 3 ... n-ام اضافه می کنیم، سپس به دست می آید: ما یک سیستم معادل سیستم اصلی دریافت می کنیم. 2) متغیر x2 را حذف کنید 3) متغیر x3 و غیره را حذف می کنیم. با ادامه روند حذف متوالی متغیرهای x4;x5...xr-1 برای مرحله (r-1) -امین می‌شویم. عدد صفر آخرین n-r در معادلات به این معنی است که سمت چپ آنها به شکل زیر است: 0x1 +0x2+..+0xn اگر حداقل یکی از اعداد вr+1، вr+2… برابر با صفر نباشد، تساوی مربوطه ناسازگار است و سیستم (1) سازگار نیست. بنابراین، برای هر سیستم سازگار، این vr+1 … vm برابر با صفر است. آخرین معادلات n-r در سیستم (1;r-1) هویت هستند و می توان آنها را نادیده گرفت. دو مورد ممکن است: الف) تعداد معادلات سیستم (1؛ r-1) برابر با تعداد مجهولات است، یعنی r \u003d n (در این مورد، سیستم به شکل مثلثی است). ب) r انتقال از سیستم (1) به یک سیستم معادل (1؛ r-1) حرکت مستقیم روش گاوس نامیده می شود. در مورد یافتن یک متغیر از سیستم (1؛ r-1) - با روند معکوس روش گاوس. تبدیل های گاوسی به راحتی با اجرای آنها نه با معادلات، بلکه با ماتریس توسعه یافته ضرایب آنها انجام می شود. 13 سوال ماتریس های مشابه ما فقط ماتریس های مربعی مرتبه n/ را در نظر خواهیم گرفت به ماتریس A گفته می شود که مشابه ماتریس B (A~B) است اگر ماتریس غیر منفرد S وجود داشته باشد به طوری که A=S-1BS. ویژگی های ماتریس های مشابه 1) ماتریس A شبیه خودش است. (A~A) اگر S=E پس EAE=E-1AE=A 2) اگر A~B، سپس B~A اگر A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B 3) اگر A~B و همزمان B~C، آنگاه A~C با توجه به اینکه A=S1-1BS1، و B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3، که در آن S3 = S2S1 4) تعیین کننده های ماتریس های مشابه برابر هستند. با توجه به A~B، اثبات اینکه detA=detB ضروری است. A=S-1 BS، detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (کاهش) = detB. 5) رتبه های ماتریس های مشابه یکسان است. بردارهای ویژه و مقادیر ویژه ماتریس ها. اگر یک بردار غیرصفر X (ستون ماتریس) وجود داشته باشد، عدد λ مقدار ویژه ماتریس A نامیده می شود به طوری که AX = λ X، بردار X را بردار ویژه ماتریس A و مجموعه تمام مقادیر ویژه می نامند. طیف ماتریس A نامیده می شود. ویژگی های بردارهای ویژه 1) وقتی یک بردار ویژه را در یک عدد ضرب می کنیم، بردار ویژه ای با همان مقدار ویژه بدست می آوریم. AX \u003d λ X; Х≠0 α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X) 2) بردارهای ویژه با مقادیر ویژه جفتی متفاوت به صورت خطی مستقل λ1، λ2،.. λk هستند. اجازه دهید سیستم از بردار 1 تشکیل شده باشد، بیایید یک گام استقرایی برداریم: C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - ضرب در A. C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0 С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0 ضرب در λn+1 و تفریق C1 X1 + C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0 С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 لازم است که C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0 Cn+1 Xn+1 λn+1 =0 معادله مشخصه. A-λE ماتریس مشخصه برای ماتریس A نامیده می شود. برای اینکه یک بردار غیرصفر X بردار ویژه ماتریس A مطابق با مقدار ویژه λ باشد، لازم است که راه حلی برای یک سیستم همگن معادلات جبری خطی (A - λE)X = 0 باشد. هنگامی که det (A - XE) = 0 - این یک معادله مشخصه است، سیستم یک راه حل غیر ضروری دارد. بیانیه! معادلات مشخصه ماتریس های مشابه منطبق است. det(S-1AS - λΕ) = det(S-1AS - λ S-1ΕS) = det(S-1 (A - λΕ)S) = det S-1 det(A - λΕ) detS= det(A - λΕ) چند جمله ای مشخصه det(A – λΕ) - تابع با توجه به پارامتر λ det(A – λΕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA این چند جمله ای را چند جمله ای مشخصه ماتریس A می نامند. نتیجه: 1) اگر ماتریس ها A~B باشند، مجموع عناصر مورب آنها یکسان است. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2) مجموعه ای از مقادیر ویژه ماتریس های مشابه منطبق است. اگر معادلات مشخصه ماتریس ها یکسان باشند، لزوما مشابه نیستند. برای ماتریس A برای ماتریس B https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 برای اینکه ماتریس A از مرتبه n قابل قطر باشد، لازم است که بردارهای ویژه مستقل خطی ماتریس A وجود داشته باشد. نتیجه. اگر همه مقادیر ویژه ماتریس A متفاوت باشد، آنگاه قابل قطریابی است. الگوریتم یافتن بردارهای ویژه و مقادیر ویژه. 1) معادله مشخصه را بسازید 2) ریشه معادلات را پیدا کنید 3) سیستمی از معادلات را برای تعیین بردار ویژه بسازید. λi (A-λi E)X = 0 4) سیستم اساسی راه حل ها را پیدا کنید x1,x2..xn-r که r رتبه ماتریس مشخصه است. r = Rg(A - λi E) 5) بردار ویژه، مقادیر ویژه λi به صورت زیر نوشته می شود: X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r، که در آن C12 + C22 + ... C2n ≠0 6) بررسی می کنیم که آیا ماتریس را می توان به شکل مورب کاهش داد یا خیر. 7) Ag Ag = S-1AS S= 15 سوال اساس یک خط، صفحه، فضا. https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│، ││). وقتی این بردار صفر باشد مدول برداری صفر است (│ō│=0) 4.بردار Orth. قائم بردار معین برداری است که هم جهت بردار داده شده و دارای یک مدول برابر با یک است. بردارهای مساوی دارای اورت های مساوی هستند. 5. زاویه بین دو بردار. این قسمت کوچکتر ناحیه است که توسط دو پرتوی که از یک نقطه ساطع می شوند محدود شده و در همان جهت بردارهای داده شده هدایت می شوند. جمع بردارها ضرب بردار در عدد. 1) جمع دو بردار https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2) ضرب یک بردار در یک اسکالر. حاصل ضرب یک بردار و یک اسکالر بردار جدیدی است که دارای: الف) = حاصل ضرب مدول بردار در قدر مطلق اسکالر. ب) در صورت مثبت بودن اسکالر، جهت برابر با بردار ضرب و در صورت منفی بودن بردار مخالف است. λ a(بردار)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ خواص عملیات خطی بردارها. 1. قانون ارتباط. 2. قانون انجمن. 3. جمع با صفر. a(بردار)+ō= a(بردار) 4. جمع با مخالف. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6; 7. قانون توزیع. بیان یک بردار بر حسب مدول و بردار واحد آن. حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی را پایه می گویند. مبنای روی یک خط هر بردار غیر صفر است. یک پایه در هواپیما، هر دو بردار غیر تقویمی است. یک پایه در فضا، سیستمی از هر سه بردار غیرهمسطح است. ضریب انبساط یک بردار در برخی از پایه ها را اجزاء یا مختصات بردار در مبنای داده شده می گویند. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> جمع و ضرب را با یک اسکالر انجام دهید، سپس به صورت یک عدد نتیجه هر تعداد از اقداماتی که دریافت می کنیم: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> به صورت خطی وابسته نامیده می شوند که ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده ای از آنها برابر با ō وجود داشته باشد. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> در صورتی مستقل خطی نامیده می شوند که ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده ای از آنها وجود نداشته باشد. ویژگی های بردارهای مستقل و وابسته خطی: 1) سیستم بردارهای حاوی بردار صفر به صورت خطی وابسته است. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> به صورت خطی وابسته هستند، برخی از بردارها باید ترکیبی خطی از بردارهای دیگر باشد. 3) اگر برخی از بردارهای سیستم a1 (بردار)، a2 (بردار) ... ak (بردار) به صورت خطی وابسته باشند، پس همه بردارها به صورت خطی وابسته هستند. 4)اگر همه بردارها https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) عملیات خطی در مختصات. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src="> ویژگی های محصول نقطه: 1. جابجایی 3. (a;b)=0 اگر و فقط اگر بردارها متعامد باشند یا هر یک از بردارها برابر با 0 باشد. 4. توزیع (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. بیان حاصل ضرب اسکالر a و b بر حسب مختصات آنها https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> وقتی شرط () , h, l=1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> و بردار سوم نامیده می شود که معادلات زیر را برآورده می کند: 3. - درست است ویژگی های محصول برداری: 4. حاصلضرب برداری بردارهای مختصات مبنای متعارف https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> اغلب از 3 نماد برای نشان دادن اورت های یک پایه متعارف استفاده می شود https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> اگر یک مبنای متعارف است، پس https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- معادله محور موازی مستقیم OX 2) - معادله یک خط مستقیم موازی با محور OS 2. آرایش متقابل 2 خط مستقیم. قضیه 1 اجازه دهید معادلات خطوط با توجه به سیستم مختصات وابسته داده شود الف) پس شرط لازم و کافی هنگام تلاقی آنها این است: ب) پس شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط، شرط است: ب) آنگاه شرط لازم و کافی برای ادغام خطوط به یک شرط است: 3. فاصله از یک نقطه تا یک خط. قضیه. فاصله یک نقطه تا یک خط نسبت به سیستم مختصات دکارتی: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. زاویه بین دو خط مستقیم. حالت عمود بر هم. اجازه دهید 2 خط مستقیم با توجه به سیستم مختصات دکارتی توسط معادلات کلی داده شود. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> اگر، پس خطوط عمود هستند. 24 سوال هواپیما در فضا شرایط ترکیبی برای یک بردار و یک صفحه. فاصله از یک نقطه تا یک هواپیما. شرط موازی بودن و عمود بودن دو صفحه. 1. شرایط ترکیبی برای یک بردار و یک صفحه. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Untitled4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Untitled5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. زاویه بین 2 صفحه. حالت عمود بر هم. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> اگر، پس صفحات عمود هستند. 25 سوال خط مستقیم در فضا انواع معادلات یک خط مستقیم در فضا. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. معادله برداری یک خط مستقیم در فضا. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. معادله متعارف مستقیم است. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Untitled3.jpg" width="56" height="51">!} مسائل جبر خطی. مفهوم ماتریس. انواع ماتریس ها عملیات با ماتریس حل مسائل مربوط به تبدیل ماتریس ها. هنگام حل مسائل مختلف ریاضی، اغلب باید با جداول اعدادی به نام ماتریس سر و کار داشت. با کمک ماتریس ها، حل سیستم های معادلات خطی، انجام بسیاری از عملیات با بردارها، حل مسائل مختلف گرافیک کامپیوتری و سایر کارهای مهندسی راحت است. ماتریس نامیده می شود
یک جدول مستطیلی از اعداد حاوی یک عدد مترخطوط و برخی پستون ها. شماره تیو پسفارشات ماتریسی نامیده می شوند. اگر تی = پ،ماتریس مربع نامیده می شود و عدد m = n-سفارش او در ادامه برای نوشتن ماتریس ها از دو خط تیره یا پرانتز استفاده می شود: یا برای تعیین ماتریس کوتاه، از یک حرف لاتین بزرگ (به عنوان مثال، A) یا نماد اغلب استفاده می شود. || یک ij ||و گاهی با توضیح: آ = || یک ij || = (aij)جایی که (i = 1، 2، ...، m، j=1، 2، ...، n). شماره aijکه بخشی از این ماتریس هستند، عناصر آن نامیده می شوند. در ضبط aijشاخص اول і
به معنی شماره خط و شاخص دوم است j- شماره ستون در مورد ماتریس مربع مفاهیم قطرهای اصلی و فرعی معرفی شده است. مورب اصلی ماتریس (1.1) قطر است یک 11 در 12 …
اناز گوشه سمت چپ بالای این ماتریس به گوشه سمت راست پایین آن می رود. مورب کناری همان ماتریس را مورب می گویند a n 1 a (n -1) 2…
a 1 nاز گوشه پایین سمت چپ به گوشه بالا سمت راست بروید. عملیات اساسی بر روی ماتریس ها و خواص آنها. بیایید به تعریف عملیات اساسی روی ماتریس ها برویم. اضافه کردن ماتریسمجموع دو ماتریس A = || یک ij || ،جایی که و B = || b ij || ،جایی که (i = 1، 2، ...، m، j=1، 2، ...، n)همان دستورات تیو پماتریس C = نامیده می شود || ج ij || (i = 1،2، ...، m؛ j = 1، 2، ....، n)همان دستورات تیو پ،عناصر با ijکه با فرمول مشخص می شوند ,
جایی که (i = 1، 2، ...، m، j=1، 2، ...، n)(1.2) برای نشان دادن مجموع دو ماتریس، از علامت گذاری استفاده می کنیم C \u003d A + B.عمل ترکیب ماتریس ها را جمع آنها می گویند. بنابراین، طبق تعریف: از تعریف مجموع ماتریس ها، یا بهتر است بگوییم از فرمول (1.2)، مستقیماً چنین بر می آید که عمل جمع ماتریس دارای همان ویژگی های عمل جمع اعداد حقیقی است، یعنی: 1) ویژگی جابجایی: A + B = B + A، 2) خاصیت ترکیبی: ( A + B) + C = A + (B + C). این ویژگی‌ها باعث میشود که هنگام اضافه کردن دو یا چند ماتریس به ترتیب عبارت‌های ماتریس اهمیتی ندهد. ضرب یک ماتریس در یک عدد حاصل ضرب ماتریس A = || یک ij || ، جایی که (i = 1، 2، ...، m، j=1، 2، ...، n) توسط یک عدد واقعی l، ماتریس نامیده می شود. C = || ج ij || (i = 1،2، ...، m؛ j = 1، 2، ....، n)، که عناصر آن با فرمول تعیین می شود: ,
جایی که (i = 1، 2، ...، m، j=1، 2، ...، n)(1.3) برای نشان دادن حاصل ضرب یک ماتریس با یک عدد، از نماد استفاده می شود C \u003d l Aیا C \u003d A l.عمل کامپایل حاصل ضرب یک ماتریس در یک عدد را ضرب یک ماتریس در این عدد می گویند. از فرمول (1.3) مشخص است که ضرب یک ماتریس در یک عدد دارای ویژگی های زیر است: 1) یک ویژگی انجمنی با توجه به یک عامل عددی: (l m) A = l (m A); 2) ویژگی توزیع با توجه به مجموع ماتریس ها: l (A + B) = l A + l B; 3) دارایی توزیعی با توجه به مجموع اعداد: (l + m) A = l A + m A اظهار نظر.تفاوت دو ماتریس آو که درهمان دستورات تیو پفراخوانی چنین ماتریسی طبیعی است باهمان دستورات تیو پ،که در مجموع با ماتریس بماتریس A را نشان می دهد. نماد طبیعی برای نشان دادن تفاوت دو ماتریس استفاده می شود: C \u003d A - B. بررسی این تفاوت بسیار آسان است بادو ماتریس آو که درطبق قانون می توان به دست آورد C \u003d A + (-1) B. محصول ماتریس هایا ضرب ماتریس محصول ماتریسی A = || یک ij || ، جایی که (i = 1، 2، ...، m، j = 1، 2، ...، n)داشتن دستورات، به ترتیب، برابر تیو nبه ماتریس B = || b ij || ،جایی که (i = 1، 2، ...، n، j=1، 2، ...، p)،داشتن دستورات، به ترتیب، برابر nو R،ماتریس نامیده می شود C = || ج ij || (i = 1،2، ...، m؛ j = 1، 2، ....، p)، که به ترتیب دارای دستورات برابر با تیو آرکه عناصر آن با فرمول تعیین می شود: برای نشان دادن حاصل ضرب یک ماتریس آبه ماتریس که دراستفاده از رکورد C = A × B. عملیات محصول ماتریسی آبه ماتریس که درضرب این ماتریس ها نامیده می شود. از تعریف فوق چنین بر می آید که ماتریس A را نمی توان در هیچ ماتریس B ضرب کرد،لازم است که تعداد ستون های ماتریس آبرابر تعداد ردیف های ماتریس بود که در. فرمول (1.4) قانونی برای کامپایل عناصر ماتریس C است که حاصلضرب ماتریس است. آبه ماتریس که در.این قانون به صورت شفاهی نیز قابل تنظیم است: عنصر c i j که در تقاطع ردیف i و ستون j ماتریس C = A B قرار دارد برابر است با مجموع حاصلضرب های زوجی عناصر مربوط به ردیف iم ماتریس A و j-امین ستون ماتریس B. به عنوان نمونه ای از کاربرد این قانون، فرمول ضرب ماتریس های مربع مرتبه دوم را ارائه می کنیم. × = فرمول (1.4) بر خواص زیر محصول ماتریس دلالت دارد آروی ماتریس که در: 1) دارایی تداعی: (A B) C = A (B C); 2) ویژگی توزیعی با توجه به مجموع ماتریس ها: (A + B) C = A C + B C یا A (B + C) = A B + A C. سوال از خاصیت جایگشتی (تبدیلی) حاصلضرب یک ماتریس آبه ماتریس که درمنطقی است که فقط برای ماتریس های مربعی تنظیم شود الف و بهمان دستور ما موارد خاص مهمی از ماتریس ها را ارائه می کنیم که خاصیت جایگشت نیز برای آنها معتبر است. دو ماتریس برای حاصلضرب که خاصیت جایگشت معتبر است معمولاً رفت و آمد نامیده می شوند. در بین ماتریس های مربع، ما یک کلاس از ماتریس های به اصطلاح مورب را جدا می کنیم که هر کدام دارای عناصری هستند که در خارج از قطر اصلی برابر با صفر قرار دارند. هر ماتریس مورب از ترتیب پفرم را دارد D= جایی که d1، d2،…
dn-هر عددی به راحتی می توان فهمید که اگر همه این اعداد با یکدیگر برابر باشند، i.e. d1=d2=… =
d nسپس برای هر ماتریس مربع آسفارش پبرابری عادلانه A D = D A. در میان همه ماتریس های مورب (1.5) با ورودی های همزمان d1=d2=… =
d n = = ددو ماتریس نقش مهمی دارند. اولین مورد از این ماتریس ها به دست می آید d=1ماتریس هویت نامیده می شود n E.ماتریس دوم با به دست می آید d=0، ماتریس تهی نامیده می شود nمرتبه هفتم و با نماد نشان داده می شود اوهبدین ترتیب، E= بر اساس آنچه در بالا ثابت شد A E = E Aو A O = O A.علاوه بر این، نشان دادن آن آسان است A E \u003d E A \u003d A، A O \u003d O A \u003d 0. (1.6) اولین فرمول (1.6) نقش ویژه ماتریس هویت را مشخص می کند E،مشابه نقشی که عدد 1 در ضرب اعداد واقعی بازی می کند. در مورد نقش ویژه ماتریس صفر در باره،سپس نه تنها با فرمول دوم (1.7)، بلکه با برابری اولیه قابل تأیید نیز آشکار می شود. A + 0 = 0 + A = A. در پایان، ما متذکر می شویم که مفهوم ماتریس صفر را می توان برای ماتریس های غیر مربع نیز معرفی کرد (صفر نامیده می شود هرماتریسی که همه عناصر آن برابر با صفر هستند). ماتریس های بلوک یک ماتریس را فرض کنید A = || یک ij ||با استفاده از خطوط افقی و عمودی به سلول های مستطیلی مجزا تقسیم می شود که هر کدام ماتریسی با اندازه های کوچکتر هستند و بلوکی از ماتریس اصلی نامیده می شوند. در این صورت، در نظر گرفتن ماتریس اصلی امکان پذیر می شود آبه عنوان یک ماتریس جدید (به اصطلاح بلوک). آ = || A a b ||، که عناصر آن بلوک های مشخص شده هستند. ما این عناصر را با حروف بزرگ لاتین مشخص می کنیم تا تأکید کنیم که به طور کلی ماتریس هستند نه اعداد، و (مانند عناصر عددی معمولی) دو شاخص ارائه می دهیم که اولین آنها تعداد ردیف "بلوک" را نشان می دهد، و دوم - شماره ردیف "بلوک". » ستون. به عنوان مثال، ماتریس را می توان به عنوان یک ماتریس بلوک مشاهده کرد که عناصر آن بلوک های زیر هستند: قابل توجه این واقعیت است که عملیات اساسی با ماتریس های بلوکی مطابق با قوانین مشابهی انجام می شود که توسط ماتریس های عددی معمولی انجام می شود، فقط بلوک ها به عنوان عناصر عمل می کنند. مفهوم یک تعیین کننده. یک ماتریس مربع دلخواه با هر ترتیبی را در نظر بگیرید پ: A= با هر یک از این ماتریس‌ها، ما یک مشخصه عددی کاملاً تعریف شده به نام دترمینان مربوط به این ماتریس را مرتبط می‌کنیم. در صورت سفارش nماتریس (1.7) برابر با یک است، سپس این ماتریس از یک عنصر تشکیل شده است یک من j یک تعیین کننده مرتبه اول مربوط به چنین ماتریسی است، ما مقدار این عنصر را می نامیم. سپس تعیین مرتبه دوم مربوط به چنین ماتریسی عددی برابر است با a 11 a 22 - a 12 a 21و با یکی از نمادها مشخص می شود: بنابراین طبق تعریف فرمول (1.9) قانونی برای کامپایل یک تعیین کننده مرتبه دوم از عناصر ماتریس مربوط به آن است. فرمول شفاهی این قانون به این صورت است: تعیین مرتبه دوم مربوط به ماتریس (1.8) برابر است با تفاوت حاصلضرب عناصر روی قطر اصلی این ماتریس و حاصلضرب عناصر روی قطر ثانویه آن. تعیین کننده های مرتبه دوم و بالاتر به طور گسترده ای در حل سیستم های معادلات خطی استفاده می شوند. بیایید ببینیم چگونه کار می کند عملیات با ماتریس در سیستم MathCad
. ساده ترین عملیات جبر ماتریسی در MathCad به عنوان عملگر پیاده سازی می شود. نوشتن عملگرها از نظر معنی تا حد امکان به عمل ریاضی آنها نزدیک است. هر عملگر با نماد مربوطه بیان می شود. عملیات ماتریس و برداری MathCad 2001 را در نظر بگیرید. بردارها حالت خاصی از ماتریس های ابعاد هستند. n x 1،بنابراین، همه عملیات مشابه برای ماتریس ها برای آنها معتبر است، مگر اینکه محدودیت ها به طور خاص مشخص شده باشند (برای مثال، برخی از عملیات فقط برای ماتریس های مربع قابل اعمال هستند. n x n). برخی از اقدامات فقط برای بردارها معتبر هستند (مثلاً حاصل ضرب اسکالر) و برخی با وجود املای یکسان، روی بردارها و ماتریس ها متفاوت عمل می کنند. q پس از فشار دادن دکمه OK، فیلدی برای وارد کردن عناصر ماتریس باز می شود. برای وارد کردن یک عنصر ماتریس، مکان نما را در موقعیت مشخص شده قرار دهید و یک عدد یا عبارت را از صفحه کلید وارد کنید. برای انجام هر عملیاتی با استفاده از نوار ابزار، باید: q ماتریس را انتخاب کنید و روی دکمه عملیات در پنل کلیک کنید. q یا روی دکمه در پنل کلیک کنید و نام ماتریس را در موقعیت مشخص شده وارد کنید. منوی "Symbols" شامل سه عملیات است - جابجا کردن، معکوس کردن، تعیین کننده. این به این معنی است که برای مثال می توانید با اجرای دستور، تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنید نمادها / ماتریس / تعیین کننده. تعداد سطر اول (و ستون اول) ماتریس MathCAD در متغیر ORIGIN ذخیره می شود. به طور پیش فرض، شمارش معکوس از صفر است. در نمادهای ریاضی، شمارش از 1 رایج تر است. برای اینکه MathCAD اعداد سطر و ستون را از 1 شمارش کند، باید متغیر ORIGIN:=1 را تنظیم کنید. توابع در نظر گرفته شده برای کار با مسائل جبر خطی در بخش "بردارها و ماتریس ها" در گفتگوی "درج تابع" جمع آوری می شوند (به شما یادآوری می کنیم که با دکمه روی پانل "استاندارد" فراخوانی می شود). عمده این توابع در ادامه توضیح داده خواهد شد. جابجایی اطلاعات مشابه این مبحث شامل عملیات هایی مانند جمع و تفریق ماتریس ها، ضرب یک ماتریس در عدد، ضرب یک ماتریس در یک ماتریس، جابجایی ماتریس می شود. تمام علائم استفاده شده در این صفحه از مبحث قبلی گرفته شده است. مجموع $A+B$ ماتریس های $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ماتریس $C_(m است. \times n) =(c_(ij))$، که $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ برای همه $i=\overline(1,m)$ و $j=\overline( 1، n) دلار. تعریف مشابهی برای تفاوت ماتریس ها ارائه شده است: تفاوت $A-B$ ماتریس های $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ماتریس $C_(m\times است. n)=(c_(ij))$، که در آن $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ برای همه $i=\overline(1,m)$ و $j=\overline(1، n) $. توضیح برای ورودی $i=\overline(1,m)$: show\hide ورودی "$i=\overline(1,m)$" به این معنی است که پارامتر $i$ از 1 به m تغییر می کند. به عنوان مثال، ورودی $i=\overline(1,5)$ می گوید که پارامتر $i$ مقادیر 1، 2، 3، 4، 5 را می گیرد. شایان ذکر است که عملیات جمع و تفریق فقط برای ماتریس هایی با اندازه یکسان تعریف می شود. به طور کلی، جمع و تفریق ماتریس ها عملیاتی هستند که به طور شهودی واضح هستند، زیرا در واقع به معنای جمع یا تفریق عناصر مربوطه هستند. مثال شماره 1 سه ماتریس داده شده است: $$ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$ آیا می توان ماتریس $A+F$ را پیدا کرد؟ اگر $C=A+B$ و $D=A-B$، ماتریس‌های $C$ و $D$ را پیدا کنید. ماتریس $A$ شامل 2 سطر و 3 ستون است (به عبارت دیگر، اندازه ماتریس $A$ 2 $\ برابر 3$ است) و ماتریس $F$ شامل 2 سطر و 2 ستون است. ابعاد ماتریس $A$ و $F$ مطابقت ندارند، بنابراین ما نمی توانیم آنها را اضافه کنیم. عملیات $A+F$ برای این ماتریس ها تعریف نشده است. اندازه ماتریس های $A$ و $B$ یکسان است، یعنی. داده های ماتریس شامل تعداد مساوی سطر و ستون است، بنابراین عملیات جمع برای آنها قابل اجرا است. $$ C=A+B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (cc -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 و 9 و -22 \end(آرایه) \راست) $$ ماتریس $D=A-B$ را پیدا کنید: $$ D=A-B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 و 9 و 6 \end(آرایه) \راست) $$ پاسخ: $C=\left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (cc) -11 و 23 و -97 \\ 2 و 9 و 6 \end(آرایه) \راست)$. حاصلضرب ماتریس $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و عدد $\alpha$ ماتریس $B_(m\times n)=(b_(ij))$ است که $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ برای همه $i=\overline(1,m)$ و $j=\overline(1,n)$. به عبارت ساده، ضرب یک ماتریس در یک عدد به این معنی است که هر عنصر ماتریس داده شده را در آن عدد ضرب کنیم. مثال شماره 2 یک ماتریس داده می شود: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. ماتریس‌های $3\cdot A$، $-5\cdot A$ و $-A$ را پیدا کنید. $$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( آرایه) (cccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (آرایه) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(آرایه) \راست). $$ علامت $-A$ مخفف $-1\cdot A$ است. یعنی برای پیدا کردن $-A$ باید تمام عناصر ماتریس $A$ را در (-1) ضرب کنید. در واقع، این بدان معنی است که علامت همه عناصر ماتریس $A$ به عکس تغییر خواهد کرد: $$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$ پاسخ: $3\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$. تعریف این عملیات دست و پا گیر و در نگاه اول غیرقابل درک است. بنابراین، ابتدا به یک تعریف کلی اشاره می کنم و سپس به طور مفصل به معنای آن و نحوه کار با آن می پردازیم. حاصلضرب ماتریس $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و ماتریس $B_(n\times k)=(b_(ij))$ ماتریس $C_(m\times k است. )=(c_(ij))$، که هر عنصر $c_(ij)$ برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر مربوط به ردیف iام ماتریس $A$ و عناصر j-امین ستون ماتریس $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m)، j=\overline(1,n).$$ گام به گام ضرب ماتریس ها را با استفاده از یک مثال تجزیه و تحلیل می کنیم. با این حال، بلافاصله باید توجه داشته باشید که همه ماتریس ها را نمی توان ضرب کرد. اگر می‌خواهیم ماتریس $A$ را در ماتریس $B$ ضرب کنیم، ابتدا باید مطمئن شویم که تعداد ستون‌های ماتریس $A$ برابر با تعداد ردیف‌های ماتریس $B$ است (این ماتریس‌ها اغلب نامیده می‌شوند. موافقت کرد). برای مثال، ماتریس $A_(5\ برابر 4)$ (ماتریس حاوی 5 سطر و 4 ستون) را نمی توان در ماتریس $F_(9\ برابر 8)$ (9 سطر و 8 ستون) ضرب کرد، زیرا تعداد ستون های ماتریس $A $ برابر با تعداد ردیف های ماتریس $F$ نیست، یعنی. $4\n معادل 9 $. اما می توان ماتریس $A_(5\times 4)$ را در ماتریس $B_(4\times 9)$ ضرب کرد، زیرا تعداد ستون های ماتریس $A$ برابر با تعداد ردیف های آن است. ماتریس $B$. در این حالت، حاصل ضرب ماتریس‌های $A_(5\times 4)$ و $B_(4\times 9)$ ماتریس $C_(5\times 9)$ است که شامل 5 سطر و 9 ستون است: مثال شماره 3 ماتریس های داده شده: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (آرایه) \راست)$ و $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \راست) $. ماتریس $C=A\cdot B$ را پیدا کنید. برای شروع، ما بلافاصله اندازه ماتریس $C$ را تعیین می کنیم. از آنجایی که ماتریس $A$ دارای اندازه $3 \ برابر 4 $ و ماتریس $B $ دارای اندازه $4 \ برابر 2 $ است ، اندازه ماتریس $C $ 3 \ برابر 2 $ است: بنابراین، در نتیجه حاصل ضرب ماتریس‌های $A$ و $B$، باید ماتریس $C$ را بدست آوریم که از سه ردیف و دو ستون تشکیل شده است: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. اگر نامگذاری عناصر سوال ایجاد می کند، می توانید به مبحث قبلی نگاه کنید: "ماتریس ها. انواع ماتریس ها. اصطلاحات اساسی" که در ابتدای آن تعیین عناصر ماتریس توضیح داده شده است. هدف ما یافتن مقادیر تمام عناصر ماتریس $C$ است. بیایید با عنصر $c_(11)$ شروع کنیم. برای بدست آوردن عنصر $c_(11)$، باید مجموع حاصل ضرب عناصر ردیف اول ماتریس $A$ و ستون اول ماتریس $B$ را پیدا کنید: برای یافتن خود عنصر $c_(11)$، باید عناصر ردیف اول ماتریس $A$ را در عناصر مربوط به ستون اول ماتریس $B$ ضرب کنید. عنصر اول به اول، دوم به دوم، سوم به سوم، چهارم به چهارم. ما نتایج به دست آمده را خلاصه می کنیم: $$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$ بیایید راه حل را ادامه دهیم و $c_(12)$ را پیدا کنیم. برای این کار باید عناصر ردیف اول ماتریس $A$ و ستون دوم ماتریس $B$ را ضرب کنید: مشابه مورد قبلی داریم: $$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$ تمام عناصر ردیف اول ماتریس $C$ یافت می شوند. به خط دوم می رویم که با عنصر $c_(21)$ شروع می شود. برای پیدا کردن آن، باید عناصر ردیف دوم ماتریس $A$ و ستون اول ماتریس $B$ را ضرب کنید: $$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$ عنصر بعدی $c_(22)$ با ضرب عناصر ردیف دوم ماتریس $A$ در عناصر مربوط به ستون دوم ماتریس $B$ بدست می آید: $$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$ برای یافتن $c_(31)$، عناصر ردیف سوم ماتریس $A$ را در عناصر ستون اول ماتریس $B$ ضرب می کنیم: $$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$ و در نهایت، برای یافتن عنصر $c_(32)$، باید عناصر ردیف سوم ماتریس $A$ را در عناصر مربوط به ستون دوم ماتریس $B$ ضرب کنید: $$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$ تمام عناصر ماتریس $C$ یافت می شوند، فقط باید یادداشت کنیم که $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \راست)$ . یا برای نوشتن کامل آن: $$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(آرایه) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \راست) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \راست). $$ پاسخ: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$. به هر حال، اغلب دلیلی برای توصیف دقیق مکان هر عنصر از ماتریس نتیجه وجود ندارد. برای ماتریس هایی که اندازه آنها کوچک است، می توانید کارهای زیر را انجام دهید: $$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 و 90 \end(آرایه) \راست) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(آرایه) \راست) =\چپ (\begin(array) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(array) \right) $$ همچنین شایان ذکر است که ضرب ماتریس غیر تعویضی است. این بدان معنی است که به طور کلی $A\cdot B\neq B\cdot A$. فقط برای برخی از انواع ماتریس ها که نامیده می شوند جایگشتی(یا رفت و آمد)، برابری $A\cdot B=B\cdot A$ درست است. بر اساس غیرقابل تغییر بودن ضرب است که لازم است دقیقاً مشخص شود که چگونه عبارت را در یک یا ماتریس دیگر ضرب می کنیم: در سمت راست یا چپ. به عنوان مثال، عبارت "هر دو طرف برابری $3E-F=Y$ را با ماتریس $A$ در سمت راست ضرب کنید" به این معنی است که می خواهید برابری زیر را بدست آورید: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot دلار استرالیا جابجا شده با توجه به ماتریس $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ماتریس $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$ است، برای عناصری که $a_(ij)^(T)=a_(ji)$. به زبان ساده، برای به دست آوردن ماتریس انتقال یافته $A^T$، باید ستون های موجود در ماتریس اصلی $A$ را با ردیف های مربوطه مطابق این اصل جایگزین کنید: اولین ردیف وجود داشت - ستون اول تبدیل می شود. یک ردیف دوم وجود داشت - ستون دوم تبدیل می شود. یک ردیف سوم وجود داشت - یک ستون سوم و غیره وجود خواهد داشت. برای مثال، اجازه دهید ماتریس انتقال یافته به ماتریس $A_(3\times 5)$ را پیدا کنیم: بر این اساس، اگر ماتریس اصلی دارای اندازه $3\ برابر 5 $ بود، ماتریس جابجا شده دارای اندازه $5 \ برابر 3 $ است. در اینجا فرض می شود که $\alpha$، $\beta$ برخی از اعداد و $A$، $B$، $C$ ماتریس هستند. برای چهار خاصیت اول اسامی را ذکر کردم، بقیه را می توان با قیاس با چهار ویژگی اول نام برد. سخنرانی 1. ماتریس ها و اقدامات اساسی بر روی آنها. عوامل تعیین کننده
تعریف.
ماتریساندازه متر
n، جایی که متر- تعداد خطوط، n- تعداد ستون ها که به آن جدول اعدادی گفته می شود که به ترتیب خاصی مرتب شده اند. به این اعداد عناصر ماتریسی می گویند. مکان هر عنصر به طور منحصر به فرد با تعداد سطر و ستونی که در تقاطع آنها قرار دارد تعیین می شود. عناصر ماتریس مشخص می شوندآ ij، جایی که منشماره خط است و j- شماره ستون A = عملیات اساسی بر روی ماتریس ها
یک ماتریس می تواند یک سطر یا یک ستون داشته باشد. به طور کلی، یک ماتریس حتی می تواند از یک عنصر تشکیل شده باشد. تعریف.
اگر تعداد ستون‌های ماتریس برابر با تعداد سطرها (m=n) باشد، ماتریس نامیده میشود. مربع.
تعریف.
مشاهده ماتریس: تماس گرفت ماتریس هویت.
تعریف.
اگر آ
دقیقه
=
آ
نانومتر
، سپس ماتریس فراخوانی می شود متقارن.
مثال. تعریف.
ماتریس نمای مربعی جمع و تفریقماتریس ها به عملیات مربوطه بر روی عناصر خود کاهش می یابد. مهمترین خاصیت این عملیات این است که آنها فقط برای ماتریس های هم اندازه تعریف شده است. بنابراین، می توان عملیات جمع و تفریق ماتریس ها را تعریف کرد: تعریف.
جمع (تفاوت)ماتریس ها ماتریسی هستند که عناصر آن به ترتیب مجموع (تفاوت) عناصر ماتریس های اصلی هستند. cij = aij
b ij C \u003d A + B \u003d B + A. عمل ضرب (تقسیم)ماتریس هر اندازه با یک عدد دلخواه به ضرب (تقسیم) هر عنصر ماتریس در این عدد کاهش می یابد. (A + B) \u003d A B A ( ) \u003d A A مثال.با توجه به ماتریس A = 2A = عملیات ضرب ماتریس.
تعریف:
کار کردنماتریس ها را ماتریس می گویند که عناصر آن را می توان با فرمول های زیر محاسبه کرد: آ
ب =
سی;
از تعریف فوق می توان دریافت که عملیات ضرب ماتریس فقط برای ماتریس ها تعریف شده است. تعداد ستون های اولی برابر است با تعداد ردیف های دوم.
خواص عملیات ضرب ماتریس.
1) ضرب ماتریستعویضی نیست
، یعنی AB VA حتی اگر هر دو محصول تعریف شده باشند. با این حال، اگر برای هر یک از ماتریس ها رابطه AB = BA ارضا شود، این ماتریس ها نامیده می شوند.قابل تغییر
معمولی ترین مثال این است
ماتریسی که با هر ماتریس دیگری هم اندازه تغییر می کند. فقط ماتریس های مربعی با همان ترتیب می توانند جاودانه باشند. بدیهی است که ویژگی زیر برای هر ماتریس برقرار است: آ
O =
O;
O
آ =
O,
جایی که O - صفرماتریس 2) عملیات ضرب ماتریس انجمنیآن ها اگر محصولات AB و (AB)C تعریف شده باشند، BC و A(BC) تعریف می شوند و برابری برقرار است: (AB)C=A(BC). 3) عملیات ضرب ماتریس توزیعیبا توجه به اضافه، یعنی. اگر عبارات A (B + C) و (A + B) C معنی داشته باشند، به ترتیب: (A + B) C = AC + BC. 4) اگر محصول AB تعریف شده باشد، برای هر عددی
نسبت صحیح: (AB) = (
آ)
ب =
آ(
ب).
5) اگر حاصلضرب AB تعریف شده باشد، حاصلضرب B T A T تعریف شده و برابری برآورده می شود: (AB) T = B T A T، که در آن شاخص T نشان می دهد جابجا شدماتریس 6) همچنین توجه داشته باشید که برای هر ماتریس مربع det (AB) = detA detB. چه اتفاقی افتاده است det در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت. تعریف
.
ماتریس B نامیده می شود جابجا شدماتریس A و انتقال از A به B جابجایی، اگر عناصر هر ردیف از ماتریس A به ترتیب در ستون های ماتریس B نوشته شوند. A = به عبارت دیگر b ji = a ij . در نتیجه ویژگی قبلی (5) می توانیم بنویسیم که: (ABC ) T = C T B T A T , مشروط بر اینکه محصول ماتریسی ABC تعریف شده باشد. مثال.
با توجه به ماتریس A = آ تی =
سی =
مثال.حاصل ضرب ماتریس های A = و B = را پیدا کنید AB = VA = مثال.حاصل ضرب ماتریس های A= را پیدا کنید AB = عوامل تعیین کننده(تعیین کننده ها). تعریف.
تعیین کنندهماتریس مربع A= det A = م 1 بهتعیین کننده ماتریس است که با حذف ردیف اول و ستون k از ماتریس اصلی بدست می آید. لازم به ذکر است که تعیین کننده ها فقط دارای ماتریس مربع هستند، یعنی. ماتریس هایی که دارای تعداد سطرهای برابر با تعداد ستون ها هستند. اف det A = به طور کلی، تعیین کننده را می توان از هر سطر یا ستونی از ماتریس محاسبه کرد، به عنوان مثال. فرمول صحیح این است: detA= بدیهی است که ماتریس های مختلف می توانند تعیین کننده های یکسانی داشته باشند. ماتریس هویت دارای یک تعیین کننده است. برای ماتریس A مشخص شده، عدد M 1k فراخوانی می شود جزئی اضافیعنصر ماتریس a 1 k . بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که هر عنصر ماتریس مینور اضافی خود را دارد. ماینرهای اضافی فقط در ماتریس های مربع وجود دارند. تعریف.
جزئی اضافییک عنصر دلخواه از یک ماتریس مربع a ij برابر است با تعیین کننده ماتریس که با حذف ردیف i و ستون j از ماتریس اصلی بدست می آید. اموال 1.
یکی از ویژگی های مهم تعیین کننده ها رابطه زیر است: det A = det A T ; ویژگی
2.
det(A
ب) = det A
دت بی. ملک 3.
det (AB) =
detA
detB ملک 4.
اگر هر دو سطر (یا ستون) در یک ماتریس مربع مبادله شوند، تعیین کننده ماتریس بدون تغییر در قدر مطلق علامت تغییر می دهد. ملک 5.
هنگامی که یک ستون (یا ردیف) از یک ماتریس در یک عدد ضرب می شود، تعیین کننده آن در آن عدد ضرب می شود. اموال 6.
اگر سطرها یا ستون های ماتریس A به صورت خطی وابسته باشند، دترمینان آن صفر است. تعریف:
ستون ها (ردیف ها) ماتریس نامیده می شوند وابسته خطی، اگر ترکیب خطی از آنها برابر با صفر وجود داشته باشد که دارای راه حل های غیر پیش پا افتاده (نه برابر با صفر) باشد. ملک 7.
اگر ماتریس حاوی یک ستون صفر یا یک ردیف صفر باشد، تعیین کننده آن صفر است. (این عبارت واضح است، زیرا تعیین کننده را می توان دقیقاً با سطر یا ستون صفر محاسبه کرد.) دارایی 8.
اگر عناصر یک ردیف دیگر (ستون) به عناصر یکی از سطرها (ستون‌های) آن ضرب در تعدادی غیر صفر اضافه شوند، تعیین‌کننده ماتریس تغییر نخواهد کرد. اموال 9.
اگر این نسبت برای عناصر هر سطر یا ستون ماتریس درست باشد:د
=
د
1
د
2
,
ه
=
ه
1
ه
2
,
f
= det (AB).
روش اول: det A \u003d 4 - 6 \u003d -2. det B = 15 – 2 = 13; det(AB) = det A det B = -26. راه دوم: AB =
– 152 = -26.
ماتریس ها، مفاهیم اساسی ماتریس یک جدول مستطیل شکل A است که از عناصر مجموعه ای تشکیل شده و از m ردیف و n ستون تشکیل شده است. ماتریس مربع - جایی که m=n. ردیف (ردیف برداری) - ماتریس از یک ردیف تشکیل شده است. ستون (بردار ستون) - ماتریس از یک ستون تشکیل شده است. ماتریس جابجا شده - ماتریسی که از ماتریس A با جایگزینی سطرها با ستون ها به دست می آید. ماتریس مورب یک ماتریس مربع است که در آن تمام ورودی‌هایی که روی قطر اصلی نیستند برابر با صفر هستند. اقدامات روی ماتریس ها 1) ضرب تقسیم یک ماتریس بر یک عدد. حاصل ضرب ماتریس A با عدد α ماتریس Axα نامیده می شود که عناصر آن از ضرب در عدد α از عناصر ماتریس A بدست می آیند. مثال: 7xA، 2) ضرب ماتریس. عملیات ضرب دو ماتریس فقط برای مواردی معرفی می شود که تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد ردیف های ماتریس دوم برابر باشد. مثال: ,, AxB= خواص ضرب ماتریس: A*(B*C)=(A*B)*C; A * (B + C) \u003d AB + AC (A+B)*C=AC+BC; a(AB) = (aA)B، (A+B) T =A T +B T (AB) T = B T A T 3) جمع، تفریق. مجموع (تفاوت) ماتریس ها ماتریسی است که عناصر آن به ترتیب مجموع (تفاوت) عناصر ماتریس های اصلی است. c ij = a ij b ij C \u003d A + B \u003d B + A. تداوم توابع در یک نقطه، در یک بازه، یک قطعه. نقاط شکست توابع و طبقه بندی آنها. تابع f(x) که در مجاورت نقطه x 0 تعریف شده است، در نقطه x 0 پیوسته نامیده می شود اگر حد تابع و مقدار آن در این نقطه برابر باشد، یعنی. تابع f(x) در نقطه x 0 پیوسته نامیده می شود اگر برای هر عدد مثبت e> 0 عدد D> 0 وجود داشته باشد که برای هر x که شرط را برآورده کند. نابرابری واقعی تابع f (x) در نقطه x \u003d x 0 پیوسته نامیده می شود اگر افزایش تابع در نقطه x 0 یک مقدار بی نهایت کوچک باشد. f(x) = f(x 0) +a(x) که در آن a(x) برای x®x 0 بی نهایت کوچک است. خواص توابع پیوسته 1) مجموع، تفاضل و حاصلضرب توابع پیوسته در نقطه x 0 تابعی است پیوسته در نقطه x 0. 2) ضریب دو تابع پیوسته یک تابع پیوسته است به شرطی که g (x) در نقطه x 0 برابر با صفر نباشد. 3) برهم نهی توابع پیوسته یک تابع پیوسته است. این ویژگی را می توان به صورت زیر نوشت: اگر u=f(x),v=g(x) توابع پیوسته در نقطه x = x 0 باشند، تابع v=g(f(x)) نیز در این نقطه یک تابع پیوسته است. تابع f(ایکس) نامیده میشود پیوسته در بازه(آ,ب) اگر در هر نقطه از این بازه پیوسته باشد. خواص توابع پیوسته در یک بازه. تابعی که در یک بازه پیوسته است در این بازه محدود می شود، یعنی. شرط –M f(x) M بر روی قطعه ارضا می شود. اثبات این خاصیت مبتنی بر این واقعیت است که تابعی که در نقطه x 0 پیوسته است در برخی از همسایگی های آن محدود شده است و اگر قطعه را به تعداد نامتناهی قطعه تقسیم کنیم که به نقطه x 0 منقبض می شود. ، سپس مقداری همسایگی از نقطه x 0 تشکیل می شود. تابعی که در بازه پیوسته است، مقادیر حداکثر و حداقل خود را می گیرد. آن ها چنین مقادیری از x 1 و x 2 وجود دارد که f (x 1) = m، f (x 2) = M، و m f(x) M ما این مقادیر حداکثر و حداقل را یادداشت می کنیم که تابع می تواند یک قطعه و چندین بار بگیرد (به عنوان مثال، f (x) = sinx). تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع در یک قطعه، نوسان یک تابع در یک قطعه نامیده می شود. تابعی که روی یک قطعه پیوسته است، تمام مقادیر بین دو مقدار دلخواه را در این بخش می گیرد. اگر تابع f(x) در نقطه x = x 0 پیوسته باشد، آنگاه مقداری همسایگی نقطه x 0 وجود دارد که در آن تابع علامت خود را حفظ می کند. اگر تابع f(x) بر روی یک قطعه پیوسته باشد و دارای مقادیری از علائم متضاد در انتهای قطعه باشد، در این صورت نقطه ای در داخل این قطعه وجود دارد که f(x) = 0 است. شاید خواندن آن مفید باشد:
(1.1) + 
= 
جایی که (i = 1، 2، ...، m، j = 1، 2، ...، p)(1.4)
(1.5)
O= 
(1.7)
(1.9)
در گفتگوی ظاهر شده، تعداد سطرها و ستون های ماتریس را تنظیم کنید.
شکل 2 انتقال ماتریس
در MathCAD، هم می توانید ماتریس ها را اضافه کنید و هم آنها را از یکدیگر کم کنید. این عملگرها از نمادها استفاده می کنند <+>
یا <->
به ترتیب. ماتریس ها باید ابعاد یکسانی داشته باشند، در غیر این صورت یک پیام خطا ایجاد می شود. هر عنصر از مجموع دو ماتریس برابر است با مجموع عناصر متناظر شرایط ماتریس (مثال در شکل 3).
علاوه بر اضافه کردن ماتریس، MathCAD از اضافه کردن یک ماتریس با مقدار اسکالر پشتیبانی می‌کند. عدد (به عنوان مثال در شکل 4). هر عنصر از ماتریس حاصل برابر با مجموع عنصر مربوطه ماتریس اصلی و یک مقدار اسکالر است.
برای وارد کردن نماد ضرب، باید کلید ستاره را فشار دهید<*>یا از نوار ابزار استفاده کنید ماتریس (ماتریس)با فشار دادن دکمه روی آن محصول نقطه ای (ضرب)(عکس. 1). ضرب ماتریس به طور پیش فرض با یک نقطه نشان داده می شود، همانطور که در مثال در شکل 6 نشان داده شده است. نماد ضرب ماتریس را می توان به همان روشی که در عبارات اسکالر انتخاب کرد.
مثال دیگری مربوط به ضرب یک بردار در یک ماتریس سطر و برعکس، یک سطر در یک بردار، در شکل نشان داده شده است. 7. خط دوم این مثال نشان می‌دهد که وقتی عملگر ضرب را نمایش می‌دهید، فرمول چگونه به نظر می‌رسد بدون فضا (با هم).با این حال، عملگر ضرب یکسان روی دو بردار متفاوت عمل می کند. .
جمع و تفریق ماتریس ها.
ضرب یک ماتریس در یک عدد
حاصل ضرب دو ماتریس
برخی از ویژگی های عملیات روی ماتریس ها
= E
,
- ماتریس متقارن
تماس گرفت موربماتریس
; B= 
، 2A + B را پیدا کنید.
، 2A + B = 
.
.
A E = E A = A
A(B + C) = AB + AC
; B = A T = 
;
، B = ، C = 
و شماره = 2. A T B + C را پیدا کنید.
;
آ تی ب =
=
=
;
; A T B+ C = +
=
.
.
= 
.
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
، V = 
= 
= 
.
عددی نامیده می شود که می توان آن را با عناصر ماتریس با فرمول محاسبه کرد:
، جایی که (1)
فرمول (1) به شما امکان می دهد تعیین کننده ماتریس را با ردیف اول محاسبه کنید، فرمول محاسبه تعیین کننده توسط ستون اول نیز معتبر است:
(2)
, i = 1,2,…,n . (3)
,
det (AB) = 7
18 - 8
19 = 126 –
.
.سوال 2.
.