مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده است. مشتق تابع ضمنی مقدار مشتق تابع ضمنی را بیابید

تابع y(x) را در نظر بگیرید که به صورت ضمنی به شکل کلی $ F(x,y(x)) = 0 $ نوشته شده است. مشتق تابع ضمنی به دو صورت یافت می شود:

با تفکیک دو طرف معادله
با استفاده از فرمول آماده $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

چطوری پیدا کنم؟

روش 1

نیازی به آوردن تابع به یک فرم صریح نیست. ما باید بلافاصله شروع به تمایز سمت چپ و راست معادله با توجه به $ x $ کنیم. شایان ذکر است که مشتق $ y" $ با قانون تمایز یک تابع مختلط محاسبه می شود. برای مثال $ (y^2)"_x = 2yy" $. پس از یافتن مشتق، باید $ را بیان کنید. y" $ از معادله به دست آمده و $ y" $ را در سمت چپ قرار دهید.

روش 2

می توانید از فرمولی استفاده کنید که از مشتقات جزئی تابع ضمنی $ F(x,y(x)) = 0 $ در صورت و مخرج استفاده می کند. برای یافتن صورت، مشتق را با توجه به $ x $ و برای مخرج، مشتق را با توجه به $ y $ می گیریم.

مشتق دوم یک تابع ضمنی را می توان با تمایز مجدد مشتق اول یک تابع ضمنی یافت.

نمونه های راه حل

مثال های عملی از راه حل ها را برای محاسبه مشتق یک تابع به طور ضمنی در نظر بگیرید.

مثال 1
مشتق تابع ضمنی $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $ را پیدا کنید
راه حل
بیایید از روش شماره 1 استفاده کنیم. یعنی سمت چپ و راست معادله را متمایز می کنیم: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ هنگام تمایز، استفاده از فرمول مشتق حاصلضرب توابع را فراموش نکنید: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3y" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y) $$ اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما یک راه حل دقیق ارائه خواهیم کرد. شما می توانید با پیشرفت محاسبات آشنا شوید و اطلاعات را جمع آوری کنید. این به شما کمک می کند تا به موقع از معلم امتیاز بگیرید!
پاسخ
$$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y) $$

مثال 2
تابع به طور ضمنی داده شده است، مشتق $ 3x^4 y^5 + e^(7x-4y) -4x^5 -2y^4 = 0 $ را پیدا کنید
راه حل
بیایید از روش شماره 2 استفاده کنیم. یافتن مشتقات جزئی تابع $ F(x,y) = 0 $ اجازه دهید $ y $ ثابت باشد و با توجه به $ x $ متمایز شود: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^(7x-4y) \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4 $$ اکنون $ x $ را ثابت در نظر می گیریم و با توجه به $ y $ متمایز می کنیم: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^(7x-4y) \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3 $$ اکنون $ y" = -\frac(F"_y)(F"_x) $ را در فرمول جایگزین می کنیم و دریافت می کنیم: $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$
پاسخ
$$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$

فرمول مشتق یک تابع به طور ضمنی داده شده است. اثبات و نمونه هایی از کاربرد این فرمول. نمونه هایی از محاسبه مشتقات مرتبه اول، دوم و سوم.

محتوا

مشتق مرتبه اول

اجازه دهید تابع به طور ضمنی با استفاده از معادله داده شود
(1) .
و اجازه دهید این معادله، برای مقداری، یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد. اجازه دهید تابع یک تابع متمایز در نقطه، و باشد
.
سپس، برای این مقدار، یک مشتق وجود دارد که با فرمول تعیین می شود:
(2) .

اثبات

برای اثبات، تابع را به عنوان یک تابع مختلط از متغیر در نظر بگیرید:
.
قانون تمایز یک تابع مختلط را اعمال می کنیم و مشتق را با توجه به متغیر سمت چپ و راست معادله می یابیم.
(3) :
.
از آنجایی که مشتق ثابت برابر است با صفر و پس
(4) ;
.

فرمول ثابت شده است.

مشتقات سفارشات بالاتر

اجازه دهید معادله (4) را با استفاده از نمادهای دیگر بازنویسی کنیم:
(4) .
علاوه بر این، و توابع پیچیده متغیر هستند:
;
.
وابستگی معادله (1) را تعریف می کند:
(1) .

مشتق را با توجه به متغیر از سمت چپ و راست معادله (4) پیدا می کنیم.
با توجه به فرمول مشتق یک تابع مختلط، داریم:
;
.
با توجه به فرمول محصول مشتق:

.
طبق فرمول جمع مشتق:

.

از آنجایی که مشتق سمت راست معادله (4) برابر با صفر است، پس
(5) .
با جایگزینی مشتق در اینجا، مقدار مشتق مرتبه دوم را به صورت ضمنی بدست می آوریم.

با تمایز معادله (5) به روشی مشابه، معادله ای حاوی مشتق مرتبه سوم به دست می آوریم:
.
در اینجا با جایگزینی مقادیر یافت شده مشتقات مرتبه اول و دوم، مقدار مشتق مرتبه سوم را پیدا می کنیم.

با ادامه تمایز، می توان مشتقی از هر مرتبه ای را یافت.

مثال ها

مثال 1

اولین مشتق تابعی که به طور ضمنی با معادله داده شده است را بیابید:
(P1) .

محلول فرمول 2

ما مشتق را با فرمول (2) پیدا می کنیم:
(2) .

بیایید همه متغیرها را به سمت چپ منتقل کنیم تا معادله شکل بگیرد.
.
از اینجا.

با فرض ثابت بودن، مشتق را با توجه به .
;
;
;
.

با فرض ثابت بودن متغیر، مشتق را با توجه به متغیر پیدا می کنیم.
;
;
;
.

با فرمول (2) در می یابیم:
.

ما می توانیم نتیجه را ساده کنیم اگر توجه داشته باشیم که با توجه به معادله اصلی (A.1)، . جایگزین :
.
صورت و مخرج را در:
.

راه حل به روش دوم

بیایید این مثال را به روش دوم حل کنیم. برای انجام این کار، مشتق را با توجه به متغیر قسمت های چپ و راست معادله اصلی (P1) پیدا می کنیم.

ما درخواست می کنیم:
.
ما فرمول مشتق کسری را اعمال می کنیم:
;
.
ما فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم:
.
معادله اصلی (P1) را متمایز می کنیم.
(P1) ;
;
.
ضرب در و گروه بندی عبارت ها.
;
.

جایگزین (از معادله (P1)):
.
بیایید ضرب کنیم:
.

مثال 2

مشتق مرتبه دوم تابعی که به طور ضمنی داده شده را با استفاده از معادله بیابید:
(P2.1) .

معادله اصلی را با توجه به متغیر متمایز کنید، با فرض اینکه تابعی از:
;
.
ما فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم.
.

ما معادله اصلی (A2.1) را متمایز می کنیم:
;
.
از معادله اصلی (A2.1) بر می آید که . جایگزین :
.
پرانتزها را باز کنید و اعضا را گروه بندی کنید:
;
(P2.2) .
مشتق مرتبه اول را پیدا می کنیم:
(P2.3) .

برای یافتن مشتق مرتبه دوم، معادله (A2.2) را متمایز می کنیم.
;
;
;
.
عبارت را جایگزین مشتق مرتبه اول می کنیم (A2.3):
.
بیایید ضرب کنیم:

;
.
از اینجا مشتق مرتبه دوم را پیدا می کنیم.

مثال 3

مشتق مرتبه سوم تابعی که به طور ضمنی با استفاده از معادله داده شده است را بیابید:
(P3.1) .

معادله اصلی را با توجه به متغیر متمایز کنید، با فرض اینکه تابعی از .
;
;
;
;
;
;
(P3.2) ;

معادله (A3.2) را با توجه به متغیر متمایز می کنیم.
;
;
;
;
;
(P3.3) .

معادله (A3.3) را متمایز می کنیم.
;
;
;
;
;
(P3.4) .

از معادلات (A3.2)، (A3.3) و (A3.4) مقادیر مشتقات را در .
;
;
.

یا به طور خلاصه - مشتق یک تابع ضمنی. تابع ضمنی چیست؟ از آنجایی که دروس من کاربردی است، سعی می کنم از تعاریف، صورت بندی قضایا اجتناب کنم، اما در اینجا مناسب است که این کار را انجام دهم. به هر حال یک تابع چیست؟

تابع یک متغیر قاعده ای است که هر مقدار از متغیر مستقل با یک و تنها یک مقدار تابع مطابقت دارد.

متغیر نامیده می شود متغیر مستقلیا بحث و جدل.
متغیر نامیده می شود متغیر وابستهیا تابع.

به طور کلی، حرف "y" در این مورد تابع است.

تا اینجا توابع تعریف شده را در نظر گرفته ایم صریحفرم. چه مفهومی داره؟ بیایید در مورد نمونه‌های خاص یک جلسه توضیحی ترتیب دهیم.

تابع را در نظر بگیرید

می بینیم که در سمت چپ یک "y" (عملکرد) تنها داریم و در سمت راست - فقط x ها. یعنی تابع به صراحتبر حسب متغیر مستقل بیان می شود.

بیایید یک تابع دیگر را در نظر بگیریم:

در اینجا متغیرها و "مخلوط" قرار می گیرند. و به هیچ وجه غیر ممکن"Y" را فقط از طریق "X" بیان کنید. این روش ها چیست؟ انتقال اصطلاحات از جزء به جزء با تغییر علامت، پرانتز، عوامل پرتاب بر اساس قاعده تناسب و ... تساوی را بازنویسی کنید و سعی کنید به صراحت «ی» را بیان کنید:. می توانید معادله را ساعت ها بچرخانید و بچرخانید، اما موفق نخواهید شد.

اجازه بدهید معرفی کنم: - یک مثال عملکرد ضمنی.

در جریان تحلیل ریاضی ثابت شد که تابع ضمنی وجود دارد(اما نه همیشه)، یک نمودار دارد (درست مانند یک تابع "عادی"). برای یک تابع ضمنی هم همینطور است. وجود داردمشتق اول، مشتق دوم و غیره همانطور که می گویند، تمام حقوق اقلیت های جنسی رعایت می شود.

و در این درس یاد خواهیم گرفت که چگونه مشتق تابعی را که به طور ضمنی داده شده است پیدا کنیم. آنقدرها هم سخت نیست! تمام قوانین تمایز، جدول مشتقات توابع ابتدایی به قوت خود باقی می مانند. تفاوت در یک نکته عجیب است که ما همین الان به آن خواهیم پرداخت.

بله، و من خبر خوب را به شما می گویم - وظایف مورد بحث در زیر طبق یک الگوریتم نسبتاً سفت و سخت و واضح بدون سنگ در مقابل سه مسیر انجام می شود.

مثال 1

1) در مرحله اول، سکته ها را روی هر دو قسمت آویزان می کنیم:

2) از قواعد خطی بودن مشتق (دو قانون اول درس) استفاده می کنیم چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ نمونه های راه حل):

3) تمایز مستقیم.
نحوه تمایز و کاملا قابل درک. در جایی که "بازی" در زیر سکته مغزی وجود دارد چه باید کرد؟

فقط برای رسوایی مشتق یک تابع با مشتق آن برابر است: .

چگونه متمایز کنیم

اینجا داریم تابع پیچیده. چرا؟ به نظر می رسد که زیر سینوس فقط یک حرف "Y" وجود دارد. اما واقعیت این است که فقط یک حرف "y" وجود دارد - یک تابع به خودی خود است(به تعریف ابتدای درس مراجعه کنید). بنابراین، سینوس یک تابع خارجی است، - یک عملکرد داخلی. ما از قانون تمایز یک تابع پیچیده استفاده می کنیم:

محصول طبق قانون معمول قابل تمایز است:

لطفا توجه داشته باشید که - همچنین یک تابع پیچیده است، هر "بازی با زنگ و سوت" یک عملکرد پیچیده است:

طراحی خود راه حل باید چیزی شبیه به این باشد:

اگر براکت وجود دارد، آنها را باز کنید:

4) در سمت چپ، عباراتی را جمع آوری می کنیم که در آنها یک "y" با سکته مغزی وجود دارد. در سمت راست - ما همه چیز را منتقل می کنیم:

5) در سمت چپ، مشتق را از پرانتز خارج می کنیم:

6) و طبق قاعده تناسب، این براکت ها را در مخرج سمت راست می اندازیم:

مشتق آن پیدا شده است. آماده.

جالب است بدانید که هر تابعی را می توان به طور ضمنی بازنویسی کرد. به عنوان مثال، تابع را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: . و با توجه به الگوریتمی که در نظر گرفته شده است آن را متمایز کنید. در واقع، عبارات "عملکرد ضمنی" و "عملکرد ضمنی" در یک تفاوت معنایی متفاوت هستند. عبارت "عملکرد ضمنی" کلی تر و صحیح تر است - این تابع ضمنی است، اما در اینجا می توانید "y" را بیان کنید و تابع را به طور صریح ارائه دهید. عبارت "عملکرد ضمنی" به معنای یک تابع ضمنی "کلاسیک" است، زمانی که "y" قابل بیان نیست.

راه دوم برای حل

توجه!فقط در صورتی می توانید با روش دوم آشنا شوید که بدانید چگونه مشتقات جزئی را با اطمینان پیدا کنید. مبتدیان برای مطالعه حساب دیفرانسیل و انتگرال و آدمک، لطفا این پاراگراف را نخوانند و از قلم نیندازند، در غیر این صورت کله شما کلافه خواهد شد.

به روش دوم مشتق تابع ضمنی را بیابید.

همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم:

و تابعی از دو متغیر را در نظر بگیرید:

سپس مشتق ما را می توان با فرمول پیدا کرد

بیایید مشتقات جزئی را پیدا کنیم:

بدین ترتیب:

راه حل دوم به شما امکان می دهد یک بررسی انجام دهید. اما تهیه نسخه نهایی کار برای او نامطلوب است ، زیرا مشتقات جزئی بعداً تسلط پیدا می کنند و دانش آموزی که مبحث "مشتق تابع یک متغیر" را مطالعه می کند نباید مشتقات جزئی را بداند.

بیایید به چند نمونه دیگر نگاه کنیم.

مثال 2

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

ما سکته مغزی را در هر دو قسمت آویزان می کنیم:

ما از قوانین خطی استفاده می کنیم:

یافتن مشتقات:

گسترش تمام پرانتزها:

همه اصطلاحات را به سمت چپ منتقل می کنیم، بقیه را به سمت راست منتقل می کنیم:

در سمت چپ، آن را خارج از پرانتز قرار می دهیم:

جواب نهایی:

مثال 3

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

حل کامل و نمونه طراحی در پایان درس.

ظاهر شدن کسرها پس از تمایز غیر معمول نیست. در چنین مواردی، کسری ها باید دور ریخته شوند. دو مثال دیگر را در نظر بگیرید. هر عبارت از هر قسمت

مثال 5

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

این یک مثال برای خودتان است. تنها چیزی که در آن وجود دارد، قبل از خلاص شدن از شر کسری، ابتدا باید از ساختار سه طبقه خود کسر خلاص شوید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده است.
مشتق تابع پارامتریک تعریف شده

در این مقاله، دو کار معمولی دیگر را که اغلب در آزمون‌های ریاضی بالاتر یافت می‌شوند، در نظر خواهیم گرفت. برای تسلط بر مواد، لازم است بتوان مشتقات را حداقل در سطح متوسط پیدا کرد. نحوه یافتن مشتقات را به صورت عملی از ابتدا در دو درس پایه و مشتق تابع مختلط. اگر همه چیز با مهارت های تمایز درست است، پس بیایید برویم.

مشتق تابعی که به طور ضمنی تعریف شده است

یا به طور خلاصه مشتق یک تابع ضمنی. تابع ضمنی چیست؟ بیایید ابتدا تعریف تابع یک متغیر را به یاد بیاوریم:

تابع یک متغیراین قانون است که هر مقدار از متغیر مستقل مربوط به یک و تنها یک مقدار از تابع است.

متغیر نامیده می شود متغیر مستقلیا بحث و جدل.
متغیر نامیده می شود متغیر وابستهیا تابع .

تابع را در نظر بگیرید

می بینیم که در سمت چپ یک "y" تنها داریم و در سمت راست - فقط x ها. یعنی تابع به صراحتبر حسب متغیر مستقل بیان می شود.

بیایید یک تابع دیگر را در نظر بگیریم:

اجازه بدهید معرفی کنم: - یک مثال عملکرد ضمنی.

بله، و من خبر خوب را به شما خواهم گفت - وظایف مورد بحث در زیر طبق یک الگوریتم نسبتاً سفت و سخت و واضح بدون سنگ در مقابل سه مسیر انجام می شود.

مثال 1

1) در مرحله اول، سکته ها را روی هر دو قسمت آویزان می کنیم:

2) از قواعد خطی بودن مشتق (دو قانون اول درس) استفاده می کنیم چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ نمونه های راه حل):

3) تمایز مستقیم.
نحوه تمایز و کاملا قابل درک. در جایی که "بازی" در زیر سکته مغزی وجود دارد چه باید کرد؟

- فقط برای رسوایی مشتق یک تابع با مشتق آن برابر است: .

چگونه متمایز کنیم
اینجا داریم تابع پیچیده. چرا؟ به نظر می رسد که زیر سینوس فقط یک حرف "Y" وجود دارد. اما واقعیت این است که فقط یک حرف "y" - یک تابع به خودی خود است(به تعریف ابتدای درس مراجعه کنید). بنابراین، سینوس یک تابع خارجی است، یک تابع داخلی است. ما از قانون تمایز یک تابع پیچیده استفاده می کنیم :

محصول طبق قانون معمول قابل تمایز است :

توجه داشته باشید که همچنین یک تابع پیچیده است، هر "اسباب بازی پیچشی" یک عملکرد پیچیده است:

طراحی خود راه حل باید چیزی شبیه به این باشد:

اگر براکت وجود دارد، آنها را باز کنید:

5) در سمت چپ، مشتق را از پرانتز خارج می کنیم:

6) و طبق قاعده تناسب، این براکت ها را در مخرج سمت راست می اندازیم:

مشتق آن پیدا شده است. آماده.

جالب است بدانید که هر تابعی را می توان به طور ضمنی بازنویسی کرد. به عنوان مثال، تابع می توان اینگونه بازنویسی کرد: . و با توجه به الگوریتمی که در نظر گرفته شده است آن را متمایز کنید. در واقع، عبارات "عملکرد ضمنی" و "عملکرد ضمنی" در یک تفاوت معنایی متفاوت هستند. عبارت "عملکرد ضمنی تعریف شده" کلی تر و صحیح تر است. - این تابع به طور ضمنی داده شده است، اما در اینجا می توانید "y" را بیان کنید و تابع را به طور صریح ارائه دهید. کلمات "عملکرد ضمنی" اغلب به عنوان یک تابع ضمنی "کلاسیک" درک می شوند، زمانی که "y" نمی تواند بیان شود.

همچنین لازم به ذکر است که "معادله ضمنی" می تواند به طور ضمنی دو یا حتی چند تابع را به طور همزمان تعریف کند، به عنوان مثال، معادله یک دایره به طور ضمنی توابعی را تعریف می کند، که نیم دایره ها را تعریف می کند، اما در چارچوب این مقاله، ما تمایز خاصی بین اصطلاحات و تفاوت های ظریف ایجاد نخواهد کرد، این فقط اطلاعاتی برای توسعه کلی بود.

راه دوم برای حل

توجه!فقط در صورتی می توانید با روش دوم آشنا شوید که بدانید چگونه با اطمینان پیدا کنید مشتقات جزئی. حساب دیفرانسیل و انتگرال مبتدیان و آدمک ها لطفا این پاراگراف را نخوانید و از آن بگذرید، در غیر این صورت سر کاملاً به هم می خورد.

به روش دوم مشتق تابع ضمنی را بیابید.

همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم:

و تابعی از دو متغیر را در نظر بگیرید:

سپس مشتق ما را می توان با فرمول پیدا کرد
بیایید مشتقات جزئی را پیدا کنیم:

بدین ترتیب:

بیایید به چند نمونه دیگر نگاه کنیم.

مثال 2

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

ما سکته مغزی را در هر دو قسمت آویزان می کنیم:

ما از قوانین خطی استفاده می کنیم:

یافتن مشتقات:

گسترش تمام پرانتزها:

همه اصطلاحات را به سمت چپ منتقل می کنیم، بقیه را به سمت راست منتقل می کنیم:

جواب نهایی:

مثال 3

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

حل کامل و نمونه طراحی در پایان درس.

ظاهر شدن کسرها پس از تمایز غیر معمول نیست. در چنین مواردی، کسری ها باید دور ریخته شوند. بیایید به دو مثال دیگر نگاه کنیم.

مثال 4

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

ما هر دو بخش را تحت strokes نتیجه می گیریم و از قانون خطی استفاده می کنیم:

ما با استفاده از قاعده تمایز یک تابع پیچیده، متمایز می کنیم و قاعده تمایز ضریب :

گسترش براکت ها:

اکنون باید از شر کسری خلاص شویم. این را می توان بعدا انجام داد، اما منطقی تر است که آن را بلافاصله انجام دهید. مخرج کسری است. تکثیر کردن بر . در جزئیات، به شکل زیر خواهد بود:

گاهی اوقات پس از تمایز، 2-3 کسر ظاهر می شود. به عنوان مثال، اگر یک کسر بیشتر داشتیم، عملیات باید تکرار می شد - ضرب هر ترم هر قسمتبر

در سمت چپ، آن را خارج از پرانتز قرار می دهیم:

جواب نهایی:

مثال 5

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

مشتق از یک تابع تعریف شده پارامتری

فشار نیاورید، در این پاراگراف نیز همه چیز بسیار ساده است. شما می توانید فرمول کلی یک تابع داده شده به صورت پارامتری را بنویسید، اما برای روشن شدن آن، من بلافاصله یک مثال خاص را می نویسم. در فرم پارامتری، تابع با دو معادله به دست می آید: . غالباً معادلات نه در زیر پرانتزهای فرفری، بلکه به صورت متوالی نوشته می شوند:,.

متغیر را پارامتر می نامندو می تواند مقادیری از "منهای بی نهایت" تا "بعلاوه بی نهایت" بگیرد. به عنوان مثال، مقدار را در نظر بگیرید و آن را در هر دو معادله جایگزین کنید: . یا از نظر انسانی: "اگر x برابر با چهار باشد، پس y برابر با یک است." می توانید یک نقطه را در صفحه مختصات علامت گذاری کنید و این نقطه با مقدار پارامتر مطابقت دارد. به طور مشابه، شما می توانید یک نقطه برای هر مقدار از پارامتر "te" پیدا کنید. در مورد تابع "معمولی"، برای سرخپوستان آمریکایی تابع پارامتری داده شده، همه حقوق نیز رعایت می شود: می توانید یک نمودار را رسم کنید، مشتقات را پیدا کنید، و غیره. به هر حال، اگر نیاز به ساخت یک نمودار از یک تابع داده شده به صورت پارامتری وجود دارد، می توانید از برنامه من استفاده کنید.

در ساده ترین موارد، می توان تابع را به طور صریح نشان داد. پارامتر را از معادله اول بیان می کنیم: - و آن را جایگزین معادله دوم می کنیم: . نتیجه یک تابع مکعب معمولی است.

در موارد "شدید" تر، چنین ترفندی کار نمی کند. اما این مهم نیست، زیرا یک فرمول برای یافتن مشتق یک تابع پارامتری وجود دارد:

ما مشتق "بازیکن با توجه به متغیر te" را پیدا می کنیم:

تمام قواعد تمایز و جدول مشتقات، البته برای حرف معتبر است، بنابراین، هیچ چیز جدیدی در روند یافتن مشتقات وجود ندارد. فقط به صورت ذهنی تمام "x" های جدول را با حرف "te" جایگزین کنید.

مشتق "x با توجه به متغیر te" را پیدا می کنیم:

اکنون تنها باقی مانده است که مشتقات یافت شده را در فرمول خود جایگزین کنیم:

آماده. مشتق، مانند خود تابع، به پارامتر نیز بستگی دارد.

در مورد علامت گذاری، به جای نوشتن در فرمول، می توان به سادگی آن را بدون زیرنویس نوشت، زیرا این مشتق "معمولی" "با x" است. اما همیشه یک نوع در ادبیات وجود دارد، بنابراین من از استاندارد منحرف نخواهم شد.

مثال 6

ما از فرمول استفاده می کنیم

در این مورد:

بدین ترتیب:

یکی از ویژگی های یافتن مشتق تابع پارامتری این واقعیت است که در هر مرحله، ساده کردن نتیجه تا حد امکان مفید است. بنابراین، در مثال در نظر گرفته شده، هنگام یافتن، براکت های زیر ریشه را باز کردم (اگرچه ممکن است این کار را نکرده باشم). شانس زیادی وجود دارد که هنگام تعویض و وارد فرمول، بسیاری از چیزها به خوبی کاهش یابد. اگرچه البته نمونه هایی با پاسخ های ناشیانه وجود دارد.

مثال 7

مشتق تابعی که به صورت پارامتری داده شده را پیدا کنید

این یک مثال برای خودتان است.

در مقاله ساده ترین مسائل معمولی با یک مشتقما نمونه هایی را در نظر گرفتیم که در آنها لازم بود مشتق دوم یک تابع را پیدا کنیم. برای یک تابع داده شده به صورت پارامتری، می توانید مشتق دوم را نیز پیدا کنید و با فرمول زیر پیدا می شود: . کاملاً بدیهی است که برای یافتن مشتق دوم ابتدا باید مشتق اول را پیدا کرد.

مثال 8

مشتق اول و دوم تابعی که به صورت پارامتری داده شده را پیدا کنید

بیایید اول مشتق را پیدا کنیم.
ما از فرمول استفاده می کنیم

در این مورد:

تابع Z= f(x; y) اگر با معادله F(x, y, z)=0 حل نشده نسبت به Z داده شود ضمنی نامیده می شود. اجازه دهید مشتقات جزئی تابع Z را که به طور ضمنی داده شده است، پیدا کنیم. برای انجام این کار، با جایگزین کردن تابع f (x; y) در معادله به جای Z، هویت F (x, y, f (x, y)) \u003d 0 را بدست می آوریم. مشتقات جزئی نسبت به x و y تابع که به طور یکسان برابر با صفر است نیز برابر با صفر هستند.

F(x، y، f(x، y)) =
= 0 (y ثابت در نظر گرفته می شود)

F(x، y، f(x، y)) =
=0 (x ثابت را در نظر بگیرید)

جایی که
و

مثال: مشتقات جزئی تابع Z را با یک معادله بیابید
.

در اینجا F(x,y,z)=
;
;
;
. با توجه به فرمول های بالا داریم:

مشتق جهت دار

اجازه دهید تابعی از دو متغیر Z = f(x; y) در همسایگی m داده شود. M (x, y). جهت تعیین شده توسط بردار واحد را در نظر بگیرید
، جایی که
(شکل را ببینید).

روی خط مستقیمی که در این جهت از نقطه M می گذرد، نقطه M 1 را می گیریم (
) به طوری که طول
قطعه MM 1 برابر است با
. افزایش تابع f(M) با رابطه، که در آن تعیین می شود
با روابط مرتبط است حد نسبت در
مشتق تابع نامیده خواهد شد
در نقطه
به سمت و تعیین شود .

اگر تابع Z در یک نقطه قابل تفکیک باشد
، سپس افزایش آن در این نقطه با در نظر گرفتن روابط برای
را می توان به شکل زیر نوشت.

تقسیم هر دو قسمت بر

و عبور از حد در
فرمولی برای مشتق تابع Z \u003d f (x; y) در جهت بدست می آوریم:

شیب

تابعی از سه متغیر را در نظر بگیرید
قابل تمایز در یک نقطه
.

گرادیان این تابع
در نقطه M برداری نامیده می شود که مختصات آن به ترتیب با مشتقات جزئی برابر است
در این نقطه نماد مورد استفاده برای نشان دادن گرادیان است
.
=
.

گرادیان جهت سریعترین رشد تابع را در یک نقطه مشخص نشان می دهد.

از آنجایی که بردار واحد مختصات دارد (
)، سپس مشتق جهتی برای حالت تابعی از سه متغیر به شکل، i.e. فرمول حاصلضرب نقطه ای بردارها را دارد و
. بیایید آخرین فرمول را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

، جایی که - زاویه بین بردار و
. از آنجا که
، سپس نتیجه می شود که مشتق جهت تابع حداکثر مقدار را در می گیرد = 0، یعنی زمانی که جهت بردارها و
مطابقت دادن که در آن
یعنی در واقع گرادیان تابع جهت و مقدار حداکثر نرخ افزایش این تابع را در یک نقطه مشخص می کند.

حداکثر یک تابع از دو متغیر

مفاهیم max، min، extremum یک تابع از دو متغیر مشابه مفاهیم مربوط به یک تابع از یک متغیر است. اجازه دهید تابع Z = f(x; y) در برخی از دامنه های D و غیره تعریف شود
متعلق به این منطقه است. نقطه M
نقطه max تابع Z= f(x; y) نامیده می شود اگر چنین همسایگی δ از نقطه وجود داشته باشد.
، که برای هر نقطه از این محله نابرابری است
. نقطه min به روشی مشابه تعریف می شود، فقط علامت نابرابری در این حالت تغییر می کند
. مقدار تابع در نقطه max(min) حداکثر (حداقل) نامیده می شود. ماکزیمم و مینیمم یک تابع را Extrema می نامند.

شرایط لازم و کافی برای یک افراط

قضیه:(شرایط افراطی لازم). اگر در نقطه M
تابع قابل تمایز Z= f(x; y) یک انتها دارد، سپس مشتقات جزئی آن در این نقطه برابر با صفر هستند:
,
.

اثبات:با تثبیت یکی از متغیرهای x یا y، Z= f(x; y) را به تابعی از یک متغیر تبدیل می‌کنیم که برای حداکثر آن باید شرایط فوق برقرار باشد. از نظر هندسی برابر است
و
به این معنی که در نقطه منتهی الیه تابع Z= f(x; y)، صفحه مماس به سطح که تابع f(x,y)=Z را نشان می دهد با صفحه OXY موازی است، زیرا معادله صفحه مماس Z=Z 0 است. نقطه ای که در آن مشتقات جزئی مرتبه اول تابع Z= f(x; y) برابر با صفر هستند، یعنی.
,
، نقطه ثابت تابع نامیده می شوند. یک تابع می تواند در نقاطی که حداقل یکی از مشتقات جزئی وجود ندارد، یک اکسترموم داشته باشد. به عنوان مثال Z=|-
| حداکثر در O(0,0) دارد اما هیچ مشتقی در آن نقطه ندارد.

نقاط ثابت و نقاطی که حداقل یک مشتق جزئی در آنها وجود ندارد نامیده می شوند نقاط بحرانی.در نقاط بحرانی، تابع ممکن است اکسترموم داشته باشد یا نداشته باشد. تساوی به صفر مشتقات جزئی شرط لازم اما کافی برای وجود افراط است. به عنوان مثال، زمانی که Z=xy، نقطه O(0,0) بحرانی است. با این حال، تابع Z=xy در آن اکسترومومی ندارد. (زیرا در ربع I و III Z> 0 و در II و IV-Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

قضیه: (شرط کافی برای افراط). اجازه دهید در یک نقطه ثابت
و مقداری همسایگی، تابع f(x; y) مشتقات جزئی پیوسته تا مرتبه 2 را شامل می شود. در یک نقطه محاسبه کنید
ارزش های
,
و
. مشخص کن