შემთხვევითი ცვლადი x მითითებულია ალბათობის განაწილების ფუნქციით. პრობლემის გადაჭრის მაგალითები თემაზე "შემთხვევითი ცვლადები"

სავარჯიშო 1. უწყვეტი შემთხვევითი X ცვლადის განაწილების სიმკვრივეს აქვს ფორმა:
იპოვე:
ა) პარამეტრი A;
ბ) განაწილების ფუნქცია F(x) ;
გ) X შემთხვევითი ცვლადის ინტერვალში მოხვედრის ალბათობა;
დ) მათემატიკური მოლოდინი MX და დისპერსიული DX.
დახაზეთ f(x) და F(x) ფუნქციების გრაფიკი.

დავალება 2. იპოვნეთ ინტეგრალური ფუნქციით მოცემული X შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია.

დავალება 3. იპოვეთ X შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი განაწილების ფუნქციის გათვალისწინებით.

დავალება 4. ზოგიერთი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივე მოცემულია შემდეგნაირად: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
იპოვნეთ კოეფიციენტი A, განაწილების ფუნქცია F(x), მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია, ასევე ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას ინტერვალში. დახაზეთ გრაფიკები f(x) და F(x).

დავალება. ზოგიერთი უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია მოცემულია შემდეგნაირად:

განსაზღვრეთ a და b პარამეტრები, იპოვნეთ გამოხატულება ალბათობის სიმკვრივისთვის f(x), მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიისთვის, ასევე ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას ინტერვალში. დახაზეთ f(x) და F(x) გრაფიკები.

ვიპოვოთ განაწილების სიმკვრივის ფუნქცია, როგორც განაწილების ფუნქციის წარმოებული.
F′=f(x)=a
იმის ცოდნა, რომ ჩვენ ვიპოვით პარამეტრს a:

ან 3a=1, საიდანაც a = 1/3
b პარამეტრს ვპოულობთ შემდეგი თვისებებიდან:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 საიდანაც b = -1/3
მაშასადამე, განაწილების ფუნქციას აქვს ფორმა: F(x) = (x-1)/3

Მოსალოდნელი ღირებულება.

დისპერსია.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას ინტერვალში
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

მაგალითი No1. მოცემულია უწყვეტი შემთხვევითი X ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივე f(x). საჭირო:

განსაზღვრეთ კოეფიციენტი A.
იპოვეთ განაწილების ფუნქცია F(x) .
F(x) და f(x) გრაფიკების სქემატურად აგება.
იპოვნეთ X-ის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია.
იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ X მიიღებს მნიშვნელობას ინტერვალიდან (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
გამოსავალი:

შემთხვევითი ცვლადი X მითითებულია განაწილების სიმკვრივით f(x):

ვიპოვოთ პარამეტრი A მდგომარეობიდან:

ან
14/3*A-1 = 0
სად,
A = 3/14

განაწილების ფუნქცია შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით.

Შემთხვევითი ცვლადიეწოდება რაოდენობას, რომელიც ერთსა და იმავე პირობებში ჩატარებული ტესტების შედეგად იღებს განსხვავებულ, ზოგადად რომ ვთქვათ, მნიშვნელობებს, შემთხვევითი ფაქტორებიდან გამომდინარე, რომლებიც არ არის გათვალისწინებული. შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები: კამათელზე გაშვებული ქულების რაოდენობა, დეფექტური პროდუქტების რაოდენობა პარტიაში, ჭურვის დარტყმის წერტილის გადახრა სამიზნედან, მოწყობილობის მუშაობის დრო და ა.შ. არის დისკრეტული და უწყვეტი. შემთხვევითი ცვლადები. დისკრეტულიშემთხვევითი ცვლადი ეწოდება, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები ქმნიან თვლადი სიმრავლეს, სასრულ ან უსასრულო (ანუ სიმრავლე, რომლის ელემენტების დანომრვა შესაძლებელია).

უწყვეტიშემთხვევითი ცვლადი ეწოდება, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები მუდმივად ავსებს რიცხვითი წრფის გარკვეულ სასრულ ან უსასრულო ინტერვალს. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების რაოდენობა ყოველთვის უსასრულოა.

შემთხვევით ცვლადებს დიდი ასოებით აღვნიშნავთ ლათინური ანბანის ბოლოდან: X, ი, ...; შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები - მცირე ასოებით: X, y,.... ამრიგად, X აღნიშნავს შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების მთელ კომპლექტს და X -ზოგიერთი მისი კონკრეტული მნიშვნელობა.

განაწილების კანონიდისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი არის ნებისმიერი ფორმით მითითებული შესაბამისობა შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობებს შორის.

დაუშვით შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები X არიან . ტესტის შედეგად შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ერთ-ერთ ამ მნიშვნელობას, ე.ი. მოხდება ერთი მოვლენა წყვილთა შორის შეუთავსებელი მოვლენების სრული ჯგუფიდან.

მოდით, ცნობილი იყოს ამ მოვლენების ალბათობაც:

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი X შეიძლება დაიწეროს ცხრილის სახით ე.წ განაწილებასთან ახლოსდისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი:

განაწილების სერიებისთვის თანასწორობა მოქმედებს (ნორმალიზაციის პირობა).

მაგალითი 3.1.იპოვეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი X – რამდენჯერ გამოჩნდება თავები ორ მონეტის გადაგდებაში.

განაწილების ფუნქცია უნივერსალური ფორმაა როგორც დისკრეტული, ისე უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონის დასაზუსტებლად.

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციაX ფუნქციას ეძახიან ფ(X), განსაზღვრულია მთელ რიცხვთა ხაზზე შემდეგნაირად:

ფ(X)= პ(X< х ),

ანუ ფ(X) არის ალბათობა, რომ შემთხვევითი ცვლადი X მიიღებს იმაზე ნაკლებ მნიშვნელობას X.

განაწილების ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გრაფიკულად. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის, გრაფიკს აქვს საფეხურიანი ფორმა. ავაშენოთ, მაგალითად, შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც მოცემულია შემდეგი სერიებით (ნახ. 3.1):

ბრინჯი. 3.1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციის გრაფიკი

ფუნქციის ნახტომები ხდება შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების შესაბამის წერტილებში და უდრის ამ მნიშვნელობების ალბათობას. შესვენების წერტილებში ფუნქცია ფ(X) რჩება უწყვეტი.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციის გრაფიკი არის უწყვეტი მრუდი.

ბრინჯი. 3.2. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციის გრაფიკი

განაწილების ფუნქციას აქვს შემდეგი აშკარა თვისებები:

1) , 2) , 3) ,

4) ზე.

მოვლენას დავარქმევთ შემთხვევით ცვლადს X იღებს ღირებულებას X,მიეკუთვნება რაღაც ნახევრად დახურულ ინტერვალს ა£ X< ბ, როდესაც შემთხვევითი ცვლადი ეცემა ინტერვალზე [ ა, ბ).

თეორემა 3.1. შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა, რომელიც მოხვდება ინტერვალში [ ა, ბ) უდრის განაწილების ფუნქციის ზრდას ამ ინტერვალზე:

თუ შეამცირებთ ინტერვალს [ ა, ბ), თუ ვივარაუდებთ, რომ, მაშინ ლიმიტის ფორმულაში (3.1) ინტერვალის დარტყმის ალბათობის ნაცვლად იძლევა წერტილის დაჭერის ალბათობას, ანუ ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას. ა:

თუ განაწილების ფუნქციას აქვს უწყვეტობა წერტილში ა, მაშინ ლიმიტი (3.2) უდრის ფუნქციის ნახტომის მნიშვნელობას ფ(X) წერტილში X=ა, ანუ, ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას ა (ნახ. 3.3, ა). თუ შემთხვევითი ცვლადი უწყვეტია, ანუ ფუნქცია უწყვეტია ფ(X), მაშინ ზღვარი (3.2) უდრის ნულს (ნახ. 3.3, ბ)

ამრიგად, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის რაიმე კონკრეტული მნიშვნელობის ალბათობა ნულის ტოლია. თუმცა, ეს არ ნიშნავს, რომ ღონისძიება შეუძლებელია X=ა, ის მხოლოდ ამბობს, რომ ამ მოვლენის ფარდობითი სიხშირე ნულისკენ მიისწრაფვის ტესტების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით.

ა)
ბ)

ბრინჯი. 3.3. განაწილების ფუნქციის ნახტომი

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის, განაწილების ფუნქციასთან ერთად, გამოიყენება განაწილების კანონის დაზუსტების სხვა ფორმა - განაწილების სიმკვრივე.

თუ არის ინტერვალში ჩავარდნის ალბათობა, მაშინ თანაფარდობა ახასიათებს სიმკვრივეს, რომლითაც ალბათობა ნაწილდება წერტილის სიახლოვეს. X. ამ თანაფარდობის ზღვარი ზე, ე.ი. ე.წარმოებული, ე.წ განაწილების სიმკვრივე(ალბათობის განაწილების სიმკვრივე, ალბათობის სიმკვრივე) შემთხვევითი ცვლადის X. მოდით შევთანხმდეთ, რომ აღვნიშნოთ განაწილების სიმკვრივე

ამრიგად, განაწილების სიმკვრივე ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის დაცემის ალბათობას წერტილის სიახლოვეს. X.

განაწილების სიმკვრივის გრაფიკი ე.წ მრუდე რბოლებილიმიტები(ნახ. 3.4).

ბრინჯი. 3.4. განაწილების სიმკვრივის ტიპი

განაწილების ფუნქციის განსაზღვრებასა და თვისებებზე დაყრდნობით ფ(X), ადვილია განაწილების სიმკვრივის შემდეგი თვისებების დადგენა ფ(X):

1) ფ(X)³0

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის, რადგან წერტილის დარტყმის ალბათობა ნულის ტოლია, მოქმედებს შემდეგი ტოლობები:

მაგალითი 3.2.შემთხვევითი მნიშვნელობა X მოცემულია განაწილების სიმკვრივით

საჭირო:

ა) იპოვეთ კოეფიციენტის მნიშვნელობა ა;

ბ) იპოვონ განაწილების ფუნქცია;

გ) იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის დაცემის ალბათობა ინტერვალზე (0, ).

განაწილების ფუნქცია ან განაწილების სიმკვრივე სრულად აღწერს შემთხვევით ცვლადს. თუმცა, ხშირად, პრაქტიკული გადაწყვეტილებების მიღებისას არ არის საჭირო განაწილების კანონის სრული ცოდნა, საკმარისია ვიცოდეთ მხოლოდ მისი დამახასიათებელი ნიშნები. ამ მიზნით, ალბათობის თეორია იყენებს შემთხვევითი ცვლადის რიცხვით მახასიათებლებს, რომლებიც გამოხატავს განაწილების კანონის სხვადასხვა თვისებებს. ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლებია მათემატიკურიმოლოდინი, დისპერსიული და სტანდარტული გადახრა.

Მოსალოდნელი ღირებულებაახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის პოზიციას რიცხვის ღერძზე. ეს არის შემთხვევითი ცვლადის რაღაც საშუალო მნიშვნელობა, რომლის გარშემოც დაჯგუფებულია მისი ყველა შესაძლო მნიშვნელობა.

შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი X მითითებულია სიმბოლოებით მ(X) ან თ. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არის შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის დაწყვილებული პროდუქტების ჯამი და ამ მნიშვნელობების ალბათობა:

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი განისაზღვრება არასწორი ინტეგრალის გამოყენებით:

განმარტებებიდან გამომდინარე, მარტივია მათემატიკური მოლოდინის შემდეგი თვისებების მართებულობის შემოწმება:

1. (არაშემთხვევითი მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი თანყველაზე არა შემთხვევითი მნიშვნელობის ტოლია).

2. თუ ³0, მაშინ ³0.

4. თუ და დამოუკიდებელი, რომ .

მაგალითი 3.3.იპოვეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, რომელიც მოცემულია განაწილების სერიით:

გამოსავალი.

=0×0.2 + 1×0.4 + 2×0.3 + 3×0.1=1.3.

მაგალითი 3.4.იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, რომელიც მოცემულია განაწილების სიმკვრივით:

გამოსავალი.

ვარიაცია და სტანდარტული გადახრაეს არის შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიის მახასიათებლები; ისინი ახასიათებენ მის შესაძლო მნიშვნელობების გავრცელებას მათემატიკური მოლოდინის მიმართ.

ვარიაცია დ(X) Შემთხვევითი ცვლადი X შემთხვევითი ცვლადის კვადრატული გადახრის მათემატიკური მოლოდინი მისი მათემატიკური მოლოდინისაგან ეწოდება, დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის დისკრეტული ცვლადი გამოიხატება ჯამით:

(3.3)

ხოლო უწყვეტისთვის – ინტეგრალის მიხედვით

(3.4)

დისპერსიას აქვს შემთხვევითი ცვლადის კვადრატის განზომილება. დისპერსიის მახასიათებლები Იგივე ზომაSti შემთხვევითი ცვლადით, ემსახურება როგორც სტანდარტული გადახრა.

დისპერსიული თვისებები:

1) – მუდმივი. Კერძოდ,

Კერძოდ,

გაითვალისწინეთ, რომ დისპერსიის გამოთვლა ფორმულით (3.5) ხშირად უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე ფორმულის (3.3) ან (3.4) გამოყენება.

რაოდენობას ე.წ კოვარიანტობაშემთხვევითი ცვლადები.

თუ , შემდეგ ღირებულება

დაურეკა Კორელაციის კოეფიციენტიშემთხვევითი ცვლადები.

შეიძლება აჩვენოს, რომ თუ , მაშინ სიდიდეები წრფივად არის დამოკიდებული: სად

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ისინი დამოუკიდებლები არიან, მაშინ

მაგალითი 3.5.იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია, რომელიც მოცემულია განაწილების სერიით 1-ლი მაგალითიდან.

გამოსავალი. დისპერსიის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ მათემატიკური მოლოდინი. მოცემული შემთხვევითი ცვლადისთვის იგი იპოვეს ზემოთ: მ=1.3. ჩვენ ვიანგარიშებთ დისპერსიას ფორმულის გამოყენებით (3.5):

მაგალითი 3.6.შემთხვევითი ცვლადი მითითებულია განაწილების სიმკვრივით

იპოვეთ განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

გამოსავალი. პირველ რიგში ვპოულობთ მათემატიკურ მოლოდინს:

(როგორც კენტი ფუნქციის ინტეგრალი სიმეტრიულ ინტერვალზე).

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ დისპერსიას და სტანდარტულ გადახრას:

1. ბინომალური განაწილება. შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც ტოლია ბერნულის სქემაში "SUCCESSES"-ის რაოდენობას, აქვს ბინომიური განაწილება: , .

ბინომიალური კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი ტოლია

ამ განაწილების განსხვავება არის .

2. პუასონის განაწილება ,

შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი და დისპერსია პუასონის განაწილებით, .

პუასონის განაწილება ხშირად გამოიყენება, როდესაც საქმე გვაქვს დროის ან სივრცეში მომხდარი მოვლენების რაოდენობასთან, მაგალითად: მანქანის სამრეცხაოზე საათში მისული მანქანების რაოდენობა, მანქანის გაჩერებების რაოდენობა კვირაში, რაოდენობა. საგზაო შემთხვევების შესახებ და ა.შ.

შემთხვევითი ცვლადი აქვს გეომეტრიული განაწილებაპარამეტრით, თუ ის იღებს მნიშვნელობებს ალბათობით . შემთხვევითი ცვლადი ასეთი განაწილებით აზრი აქვს პირველი წარმატებული ტესტის ნომრებიბერნულის სქემაში წარმატების ალბათობით. განაწილების ცხრილი ასე გამოიყურება:

3. Ნორმალური დისტრიბუცია. განაწილების სხვა კანონებს შორის განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს ალბათობის განაწილების ნორმალურ კანონს. ალბათობის თეორიაში დადასტურებულია, რომ ალბათობის სიმკვრივე დამოუკიდებელი ან ოდნავ დამოკიდებული, ერთნაირად მცირე (ანუ, დაახლოებით იგივე როლს თამაშობს) ტერმინები, მათი რიცხვის შეუზღუდავი ზრდით, უახლოვდება ნორმალურ განაწილების კანონს, როგორც სასურველია, მიუხედავად იმისა, თუ რა განაწილების კანონები აქვთ ამ ტერმინებს (ა.მ. ლიაპუნოვის ცენტრალური ლიმიტის თეორემა).

Შემთხვევითი ცვლადი არის ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს გარკვეული მნიშვნელობები სხვადასხვა გარემოებიდან გამომდინარე და შემთხვევით ცვლადს უწყვეტი ეწოდება , თუ მას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა ნებისმიერი შეზღუდული ან შეუზღუდავი ინტერვალიდან. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის შეუძლებელია ყველა შესაძლო მნიშვნელობის მითითება, ამიტომ ჩვენ ვნიშნავთ ამ მნიშვნელობების ინტერვალებს, რომლებიც დაკავშირებულია გარკვეულ ალბათობებთან.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების მაგალითებია: ნაწილის დიამეტრი, რომელიც დაფქვა მოცემულ ზომამდე, პირის სიმაღლე, ჭურვის ფრენის დიაპაზონი და ა.შ.

ვინაიდან უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის ფუნქცია ფ(x), განსხვავებით დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადები, არ აქვს ნახტომები არსად, მაშინ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის რომელიმე ინდივიდუალური მნიშვნელობის ალბათობა ნულის ტოლია.

ეს ნიშნავს, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის აზრი არ აქვს მის მნიშვნელობებს შორის ალბათობის განაწილებაზე ლაპარაკს: თითოეულ მათგანს აქვს ნულოვანი ალბათობა. თუმცა, გარკვეული გაგებით, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობებს შორის არის "უფრო და ნაკლებად სავარაუდო". მაგალითად, ძნელად ვინმეს ეპარება ეჭვი, რომ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა - შემთხვევით შემხვედრი ადამიანის სიმაღლე - 170 სმ - უფრო სავარაუდოა, ვიდრე 220 სმ, თუმცა ორივე მნიშვნელობა შეიძლება მოხდეს პრაქტიკაში.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია და ალბათობის სიმკვრივე

როგორც განაწილების კანონი, რომელსაც აქვს აზრი მხოლოდ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის, შემოღებულია განაწილების სიმკვრივის ან ალბათობის სიმკვრივის ცნება. მოდით მივუდგეთ მას განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობის შედარებით უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის და დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის.

ასე რომ, შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია (როგორც დისკრეტული, ასევე უწყვეტი) ან ინტეგრალური ფუნქციაეწოდება ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრავს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობის ალბათობას Xზღვრულ მნიშვნელობაზე ნაკლები ან ტოლი X.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის მისი მნიშვნელობების წერტილებში x1 , x 2 , ..., xმე,...კონცენტრირებულია ალბათობების მასები გვ1 , გვ 2 , ..., გვმე,...და ყველა მასის ჯამი 1-ის ტოლია. ეს ინტერპრეტაცია გადავიტანოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაზე. წარმოვიდგინოთ, რომ 1-ის ტოლი მასა არ არის კონცენტრირებული ცალკეულ წერტილებში, მაგრამ განუწყვეტლივ „იწითლება“ აბსცისის ღერძის გასწვრივ. ოჰგარკვეული არათანაბარი სიმკვრივით. შემთხვევითი ცვლადის მოხვედრის ალბათობა ნებისმიერ Δ არეალში xინტერპრეტირებული იქნება, როგორც მასა თითო მონაკვეთზე, ხოლო საშუალო სიმკვრივე ამ მონაკვეთზე, როგორც მასის სიგრძის თანაფარდობა. ჩვენ ახლახან შევიტანეთ მნიშვნელოვანი კონცეფცია ალბათობის თეორიაში: განაწილების სიმკვრივე.

ალბათობის სიმკვრივე ვ(x) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის არის მისი განაწილების ფუნქციის წარმოებული:

სიმკვრივის ფუნქციის ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ ალბათობა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა მიეკუთვნება დახურულ ინტერვალს [ ა; ბ]:

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა Xმიიღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას ინტერვალიდან [ ა; ბ], უდრის მისი ალბათობის სიმკვრივის გარკვეულ ინტეგრალს, რომელიც მერყეობს აადრე ბ:

ამ შემთხვევაში, ფუნქციის ზოგადი ფორმულა ფ(x) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას, თუ ცნობილია სიმკვრივის ფუნქცია ვ(x) :

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის გრაფიკს ეწოდება მისი განაწილების მრუდი (სურათი ქვემოთ).

ფიგურის ფართობი (სურათზე დაჩრდილული) შემოსაზღვრული მრუდით, წერტილებიდან გამოყვანილი სწორი ხაზებით ადა ბ x-ღერძის პერპენდიკულარული და ღერძი ოჰ, გრაფიკულად აჩვენებს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობის ალბათობას Xარის ფარგლებში აადრე ბ.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციის თვისებები

1. ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს რაიმე მნიშვნელობას ინტერვალიდან (და ფიგურის ფართობიდან, რომელიც შემოიფარგლება ფუნქციის გრაფიკით ვ(x) და ღერძი ოჰ) უდრის ერთს:

2. ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციას არ შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები:

ხოლო განაწილების არსებობის გარეთ მისი მნიშვნელობა არის ნული

განაწილების სიმკვრივე ვ(x), ასევე განაწილების ფუნქცია ფ(x), განაწილების კანონის ერთ-ერთი ფორმაა, მაგრამ განაწილების ფუნქციისგან განსხვავებით, ის არ არის უნივერსალური: განაწილების სიმკვრივე არსებობს მხოლოდ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის.

მოდით აღვნიშნოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ორი ყველაზე მნიშვნელოვანი ტიპი პრაქტიკაში.

თუ განაწილების სიმკვრივის ფუნქცია ვ(x) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი რაღაც სასრულ ინტერვალში [ ა; ბ] იღებს მუდმივ მნიშვნელობას C, და ინტერვალის გარეთ იღებს ნულის ტოლ მნიშვნელობას, შემდეგ ეს განაწილებას ერთგვაროვანი ეწოდება .

თუ განაწილების სიმკვრივის ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ცენტრის მიმართ, საშუალო მნიშვნელობები კონცენტრირებულია ცენტრთან ახლოს და ცენტრიდან მოშორებით გროვდება საშუალოდან უფრო განსხვავებული მნიშვნელობები (ფუნქციის გრაფიკი წააგავს განყოფილებას. ზარი), შემდეგ ეს განაწილებას ნორმალური ეწოდება .

მაგალითი 1.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების ფუნქცია ცნობილია:

იპოვნეთ ფუნქცია ვ(x) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივე. შექმენით ორივე ფუნქციის გრაფიკები. იპოვეთ ალბათობა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას 4-დან 8-მდე ინტერვალში: .

გამოსავალი. ჩვენ ვიღებთ ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციას ალბათობის განაწილების ფუნქციის წარმოებულის მოძიებით:

ფუნქციის გრაფიკი ფ(x) - პარაბოლა:

ფუნქციის გრაფიკი ვ(x) - სწორი:

მოდით ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას 4-დან 8-მდე დიაპაზონში:

მაგალითი 2.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია მოცემულია შემდეგნაირად:

გამოთვალეთ კოეფიციენტი C. იპოვნეთ ფუნქცია ფ(x) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება. შექმენით ორივე ფუნქციის გრაფიკები. იპოვეთ ალბათობა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას 0-დან 5-მდე დიაპაზონში: .

გამოსავალი. კოეფიციენტი Cჩვენ ვპოულობთ ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციის 1 თვისებას:

ამრიგად, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია არის:

ინტეგრირებით ვპოულობთ ფუნქციას ფ(x) ალბათობის განაწილება. თუ x < 0 , то ფ(x) = 0. თუ 0< x < 10 , то

x> 10, მაშინ ფ(x) = 1 .

ამრიგად, ალბათობის განაწილების ფუნქციის სრული ჩანაწერი არის:

ფუნქციის გრაფიკი ვ(x) :

ფუნქციის გრაფიკი ფ(x) :

მოდით ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას 0-დან 5-მდე დიაპაზონში:

მაგალითი 3.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივე Xმოცემულია თანასწორობით და . იპოვეთ კოეფიციენტი აუწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა Xმიიღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას ]0, 5[ ინტერვალიდან, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია X.

გამოსავალი. პირობით მივდივართ თანასწორობამდე

ამიტომ, საიდან. Ისე,

ახლა ჩვენ ვიპოვით უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობას Xმიიღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას ინტერვალიდან ]0, 5[:

ახლა ჩვენ ვიღებთ ამ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციას:

მაგალითი 4.იპოვეთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივე X, რომელიც იღებს მხოლოდ არაუარყოფით მნიშვნელობებს და მის განაწილების ფუნქციას .

ალბათობის თეორიაში საქმე გვაქვს შემთხვევით ცვლადებთან, რომელთა ყველა მნიშვნელობის ჩამოთვლა შეუძლებელია. მაგალითად, შეუძლებელია შემთხვევითი ცვლადის $X$-ის ყველა მნიშვნელობის აღება და „გამეორება“ - საათის მომსახურების დრო, რადგან დრო შეიძლება გაიზომოს საათებში, წუთებში, წამებში, მილიწამებში და ა.შ. თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ განსაზღვროთ გარკვეული ინტერვალი, რომლის ფარგლებშიც დევს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადიარის შემთხვევითი ცვლადი, რომლის მნიშვნელობები მთლიანად ავსებს გარკვეულ ინტერვალს.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია

ვინაიდან შეუძლებელია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ყველა მნიშვნელობის ჩამოთვლა, მისი დაზუსტება შესაძლებელია განაწილების ფუნქციის გამოყენებით.

განაწილების ფუნქციაშემთხვევით ცვლადს $X$ ეწოდება ფუნქცია $F\left(x\right)$, რომელიც განსაზღვრავს ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი $X$ მიიღებს მნიშვნელობას ნაკლები ფიქსირებული მნიშვნელობის $x$-ზე, ანუ $F\ მარცხენა(x\მარჯვნივ)=P\მარცხნივ(X< x\right)$.

განაწილების ფუნქციის თვისებები:

1 . $0\le F\მარცხნივ(x\მარჯვნივ)\le 1$.

2 . ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი $X$ მიიღებს მნიშვნელობებს $\left(\alpha ;\\beta \right)$ ინტერვალიდან, უდრის სხვაობას განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის ამ ბოლოებში. ინტერვალი: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - არ კლებულობს.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \მარჯვნივ)=1\ )$.

მაგალითი 1
0,\x\le 0\\
x, \ 0< x\le 1\\
1,\ x>1
\end(მატრიცა)\right.$. შემთხვევითი ცვლადის $X$ მოხვედრის ალბათობა $\left(0.3;0.7\right)$ ინტერვალში შეიძლება მოიძებნოს როგორც სხვაობა $F\left(x\right)$ განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის. ამ ინტერვალის ბოლოები, ანუ:

$$P\მარცხნივ(0.3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

ალბათობის განაწილების სიმკვრივე

ფუნქციას $f\left(x\right)=(F)"(x)$ ეწოდება ალბათობის განაწილების სიმკვრივე, ანუ ის არის პირველი რიგის წარმოებული, რომელიც აღებულია განაწილების ფუნქციიდან $F\left(x\right. )$ თავად.

$f\left(x\right)$ ფუნქციის თვისებები.

1 . $f\მარცხნივ(x\მარჯვნივ)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty)(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$.

3 . ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი $X$ მიიღებს მნიშვნელობებს $\left(\alpha ;\\beta \right)$ არის $P\left(\alpha)< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$.

მაგალითი 2 . უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი $X$ განისაზღვრება შემდეგი განაწილების ფუნქციით $F(x)=\left\(\begin(მატრიცა)
0,\x\le 0\\
x, \ 0< x\le 1\\
1,\ x>1
\end(მატრიცა)\right.$. შემდეგ სიმკვრივის ფუნქცია $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(მატრიცა)
0,\x\le 0\\
1,\ 0 < x\le 1\\
0.\x>1
\end(მატრიცა)\right.$

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი

უწყვეტი შემთხვევითი $X$ ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty)_(-\infty)(xf\left(x\right)dx).$$

მაგალითი 3 . მოდი ვიპოვოთ $M\left(X\right)$ შემთხვევითი ცვლადი $X$ მაგალითიდან $2$.

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty)_(-\infty)(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\over (2))\bigg|_0^1=((1)\over (2)).$$

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია

$X$ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია გამოითვლება ფორმულით

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\მარცხნივ)^2.$$

მაგალითი 4 . მოდით ვიპოვოთ $D\left(X\right)$ შემთხვევითი ცვლადისთვის $X$ მაგალითიდან $2$.

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\მარცხნივ)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\ მარცხნივ(((1)\(2))\მარჯვნივ))^2=((x^3)\ზედ (3))\bigg|_0^1-( (1)\over (4))=((1)\over (3))-((1)\over (4))=((1)\over(12)).$$

შემთხვევითი ცვლადები

მაგალითი 2.1.შემთხვევითი მნიშვნელობა Xმოცემული განაწილების ფუნქციით

იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად Xმიიღებს მნიშვნელობებს, რომლებიც შეიცავს ინტერვალს (2.5; 3.6).

გამოსავალი: Xინტერვალში (2.5; 3.6) შეიძლება განისაზღვროს ორი გზით:

მაგალითი 2.2.რა პარამეტრის მნიშვნელობებზე ადა INფუნქცია ფ(x) = A + Be - xშეიძლება იყოს განაწილების ფუნქცია შემთხვევითი ცვლადის არაუარყოფითი მნიშვნელობებისთვის X.

გამოსავალი:ვინაიდან შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა Xმიეკუთვნება ინტერვალს, მაშინ იმისათვის, რომ ფუნქცია იყოს განაწილების ფუნქცია X, ქონება უნდა დაკმაყოფილდეს:

პასუხი: .

მაგალითი 2.3.შემთხვევითი ცვლადი X მითითებულია განაწილების ფუნქციით

იპოვეთ ალბათობა, რომ ოთხი დამოუკიდებელი ტესტის შედეგად, მნიშვნელობა Xზუსტად 3-ჯერ მიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც მიეკუთვნება ინტერვალს (0.25;0.75).

გამოსავალი:მნიშვნელობის დარტყმის ალბათობა Xინტერვალში (0.25; 0.75) ვპოულობთ ფორმულის გამოყენებით:

მაგალითი 2.4.ბურთის ერთი გასროლით კალათში მოხვედრის ალბათობა არის 0,3. შეადგინეთ განაწილების კანონი სამი გასროლით დარტყმების რაოდენობისთვის.

გამოსავალი:შემთხვევითი მნიშვნელობა X– კალათაში დარტყმების რაოდენობა სამი დარტყმით – შეუძლია მიიღოს შემდეგი მნიშვნელობები: 0, 1, 2, 3. ალბათობა, რომელიც X

მაგალითი 2.5.ორი მსროლელი ისვრის თითო სამიზნეს. პირველი მსროლელის მასზე დარტყმის ალბათობა არის 0,5, მეორე - 0,4. შეადგინეთ სამიზნეზე დარტყმების რაოდენობის განაწილების კანონი.

გამოსავალი:ვიპოვოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი X- მიზანზე დარტყმების რაოდენობა. დაე, მოვლენა იყოს პირველი მსროლელი, რომელიც დაარტყა მიზანს, ხოლო მეორე მსროლელი მოხვდეს მიზანში და იყოს მათი გაშვება, შესაბამისად.

შევადგინოთ SV-ის ალბათობის განაწილების კანონი X:

მაგალითი 2.6.შემოწმებულია სამი ელემენტი, რომლებიც მოქმედებენ ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად. ელემენტების უპრობლემოდ მუშაობის დროის ხანგრძლივობას (საათებში) აქვს განაწილების სიმკვრივის ფუნქცია: პირველისთვის: ფ 1 (ტ) =1-ელ. 0,1 ტმეორესთვის: ფ 2 (ტ) = 1-ელ. 0,2 ტმესამესთვის: ფ 3 (ტ) =1-ელ. 0,3 ტ. იპოვეთ ალბათობა, რომ დროის ინტერვალში 0-დან 5 საათამდე: მხოლოდ ერთი ელემენტი ჩაიშლება; მხოლოდ ორი ელემენტი ვერ იქნება; სამივე ელემენტი ვერ იქნება.

გამოსავალი:მოდით გამოვიყენოთ ალბათობის გენერირების ფუნქციის განმარტება:

იმის ალბათობა, რომ დამოუკიდებელ ცდებში, რომელთაგან პირველში მოვლენის დადგომის ალბათობა აუდრის , მეორე და ა.შ. მოვლენას აჩნდება ზუსტად ერთხელ, ტოლია კოეფიციენტის გენერირების ფუნქციის გაფართოების ხარისხში. მოდით ვიპოვოთ პირველი, მეორე და მესამე ელემენტის წარუმატებლობის და წარუმატებლობის ალბათობა 0-დან 5 საათამდე დროის ინტერვალში:

მოდით შევქმნათ გენერირების ფუნქცია:

კოეფიციენტი at უდრის მოვლენის ალბათობას აგამოჩნდება ზუსტად სამჯერ, ანუ სამივე ელემენტის წარუმატებლობის ალბათობა; კოეფიციენტი at უდრის ალბათობას, რომ ზუსტად ორი ელემენტი ჩაიშლება; კოეფიციენტი at უდრის ალბათობას, რომ მხოლოდ ერთი ელემენტი ჩაიშლება.

მაგალითი 2.7.ალბათობის სიმკვრივის გათვალისწინებით ვ(x)შემთხვევითი ცვლადი X:

იპოვეთ განაწილების ფუნქცია F(x).

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

ამრიგად, განაწილების ფუნქცია ასე გამოიყურება:

მაგალითი 2.8.მოწყობილობა შედგება სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტისგან. ერთ ექსპერიმენტში თითოეული ელემენტის წარუმატებლობის ალბათობა არის 0,1. შეადგინეთ განაწილების კანონი ერთ ექსპერიმენტში წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობისთვის.

გამოსავალი:შემთხვევითი მნიშვნელობა X- ელემენტების რაოდენობა, რომლებიც ჩაიშალა ერთ ექსპერიმენტში - შეიძლება მიიღოს შემდეგი მნიშვნელობები: 0, 1, 2, 3. ალბათობა, რომელიც Xიღებს ამ მნიშვნელობებს, ჩვენ ვპოულობთ ბერნულის ფორმულის გამოყენებით:

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების შემდეგ კანონს X:

მაგალითი 2.9. 6 ნაწილიან პარტიაში არის 4 სტანდარტული. შემთხვევითობის პრინციპით შეირჩა 3 ნაწილი. შეადგინეთ განაწილების კანონი შერჩეულთა შორის სტანდარტული ნაწილების რაოდენობისთვის.

გამოსავალი:შემთხვევითი მნიშვნელობა X– სტანდარტული ნაწილების რაოდენობა შერჩეულთა შორის – შეუძლია მიიღოს შემდეგი მნიშვნელობები: 1, 2, 3 და აქვს ჰიპერგეომეტრიული განაწილება. ალბათობა რომ X

სად -- ნაწილების რაოდენობა პარტიაში;

-- სტანდარტული ნაწილების რაოდენობა პარტიაში;

– შერჩეული ნაწილების რაოდენობა;

-- შერჩეულთა შორის სტანდარტული ნაწილების რაოდენობა.

მაგალითი 2.10.შემთხვევით ცვლადს აქვს განაწილების სიმკვრივე

და არ არის ცნობილი, მაგრამ, ა და . იპოვეთ და.

გამოსავალი:ამ შემთხვევაში, შემთხვევითი ცვლადი Xაქვს სამკუთხა განაწილება (სიმპსონის განაწილება) ინტერვალზე [ ა, ბ]. რიცხვითი მახასიათებლები X:

აქედან გამომდინარე, . ამ სისტემის ამოხსნისას ვიღებთ მნიშვნელობის ორ წყვილს: . ვინაიდან პრობლემის პირობების მიხედვით, საბოლოოდ გვაქვს: .

პასუხი: .

მაგალითი 2.11.საშუალოდ, ხელშეკრულებების 10%-მდე სადაზღვევო კომპანია იხდის სადაზღვევო თანხებს სადაზღვევო შემთხვევის დადგომასთან დაკავშირებით. გამოთვალეთ მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია ასეთი კონტრაქტების რაოდენობის ოთხ შემთხვევით შერჩეულს შორის.

გამოსავალი:მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსიის ნახვა შესაძლებელია ფორმულების გამოყენებით:

SV-ის შესაძლო მნიშვნელობები (კონტრაქტების რაოდენობა (ოთხიდან) სადაზღვევო შემთხვევის დადგომით): 0, 1, 2, 3, 4.

ჩვენ ვიყენებთ ბერნულის ფორმულას სხვადასხვა რაოდენობის კონტრაქტების (ოთხიდან) ალბათობის გამოსათვლელად, რომლებზეც გადაიხადეს სადაზღვევო თანხები:

IC განაწილების სერიას (კონტრაქტების რაოდენობა სადაზღვევო შემთხვევის დადგომით) აქვს ფორმა:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

პასუხი: ,.

მაგალითი 2.12.ხუთი ვარდიდან ორი თეთრია. შეადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი, რომელიც გამოხატავს თეთრი ვარდების რაოდენობას ორ ერთდროულად აღებულ ორს შორის.

გამოსავალი:ორი ვარდის არჩევანში შეიძლება ან არ იყოს თეთრი ვარდი, ან შეიძლება იყოს ერთი ან ორი თეთრი ვარდი. ამიტომ, შემთხვევითი ცვლადი Xშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები: 0, 1, 2. ალბათობა რომ Xიღებს ამ მნიშვნელობებს, ჩვენ ვპოულობთ მას ფორმულის გამოყენებით:

სად -- ვარდების რაოდენობა;

-- თეთრი ვარდების რაოდენობა;

– ერთდროულად აღებული ვარდების რაოდენობა;

-- თეთრი ვარდების რაოდენობა აღებულთა შორის.

მაშინ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი იქნება შემდეგი:

მაგალითი 2.13. 15 აწყობილ ერთეულს შორის 6 საჭიროებს დამატებით შეზეთვას. შეადგინეთ განაწილების კანონი იმ ერთეულების რაოდენობისთვის, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით შეზეთვას მთლიანი რიცხვიდან შემთხვევით შერჩეულ ხუთს შორის.

გამოსავალი:შემთხვევითი მნიშვნელობა X– ერთეულების რაოდენობა, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით შეზეთვას შერჩეულ ხუთს შორის – შეიძლება მიიღოს შემდეგი მნიშვნელობები: 0, 1, 2, 3, 4, 5 და აქვს ჰიპერგეომეტრიული განაწილება. ალბათობა რომ Xიღებს ამ მნიშვნელობებს, ჩვენ ვპოულობთ მას ფორმულის გამოყენებით:

სად -- აწყობილი ერთეულების რაოდენობა;

-- ერთეულების რაოდენობა, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით შეზეთვას;

– შერჩეული ერთეულების რაოდენობა;

-- ერთეულების რაოდენობა, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით შეზეთვას შერჩეულთა შორის.

მაშინ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი იქნება შემდეგი:

მაგალითი 2.14.სარემონტოდ მიღებული 10 საათიდან 7 საჭიროებს მექანიზმის ზოგად გაწმენდას. საათები არ არის დალაგებული შეკეთების ტიპის მიხედვით. ოსტატს, რომელსაც სურს იპოვოს საათები, რომლებიც საჭიროებენ გაწმენდას, სათითაოდ ამოწმებს მათ და, როდესაც იპოვა ასეთი საათები, წყვეტს შემდგომ ყურებას. იპოვეთ ნანახი საათების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება.

გამოსავალი:შემთხვევითი მნიშვნელობა X– ერთეულების რაოდენობა, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით შეზეთვას შერჩეულ ხუთს შორის – შეიძლება მიიღოს შემდეგი მნიშვნელობები: 1, 2, 3, 4. ალბათობა, რომელიც Xიღებს ამ მნიშვნელობებს, ჩვენ ვპოულობთ მას ფორმულის გამოყენებით:

მაშინ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი იქნება შემდეგი:

ახლა მოდით გამოვთვალოთ რაოდენობის რიცხობრივი მახასიათებლები:

პასუხი: ,.

მაგალითი 2.15.აბონენტს დაავიწყდა მისთვის საჭირო ტელეფონის ნომრის ბოლო ციფრი, მაგრამ ახსოვს, რომ ის კენტია. იპოვეთ მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსიის რაოდენობა, რამდენჯერ აკრიფა ტელეფონის ნომერი სასურველ რიცხვამდე, თუ ის შემთხვევით აკრიფებს ბოლო ციფრს და არ აკრიფებს აკრეფილ ციფრს.

გამოსავალი:შემთხვევით ცვლადს შეუძლია მიიღოს შემდეგი მნიშვნელობები: . ვინაიდან აბონენტი მომავალში არ აკრიფებს აკრეფილ ციფრს, ამ მნიშვნელობების ალბათობა ტოლია.

მოდით შევადგინოთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია:


	0,2

მოდით გამოვთვალოთ აკრეფის მცდელობების მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება:

პასუხი: ,.

მაგალითი 2.16.სერიის თითოეული მოწყობილობის საიმედოობის ტესტების დროს წარუმატებლობის ალბათობა ტოლია გვ. დაადგინეთ მათემატიკური მოლოდინი იმ მოწყობილობების რაოდენობის შესახებ, რომლებიც ვერ მოხერხდა ტესტირების შემთხვევაში ნმოწყობილობები.

გამოსავალი:დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X არის ჩავარდნილი მოწყობილობების რაოდენობა ნდამოუკიდებელი ტესტები, რომელთაგან თითოეულში მარცხის ალბათობა ტოლია გვ,განაწილებული ბინომალური კანონის მიხედვით. ბინომალური განაწილების მათემატიკური მოლოდინი უდრის ცდების რაოდენობას, გამრავლებული მოვლენის ალბათობაზე ერთ ცდაში:

მაგალითი 2.17.დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xიღებს 3 შესაძლო მნიშვნელობას: ალბათობით ; ალბათობით და ალბათობით. იპოვეთ და იცოდეთ, რომ M( X) = 8.

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ მათემატიკური მოლოდინის განმარტებებს და დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონს:

Ჩვენ ვიპოვეთ: .

მაგალითი 2.18.ტექნიკური კონტროლის დეპარტამენტი ამოწმებს პროდუქტებს სტანდარტულობაზე. ალბათობა იმისა, რომ პროდუქტი სტანდარტულია არის 0.9. თითოეული პარტია შეიცავს 5 პროდუქტს. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი X– პარტიების რაოდენობა, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ზუსტად 4 სტანდარტულ პროდუქტს, თუ 50 პარტია ექვემდებარება შემოწმებას.

გამოსავალი:ამ შემთხვევაში, ყველა ჩატარებული ექსპერიმენტი დამოუკიდებელია და ალბათობა იმისა, რომ თითოეული პარტია შეიცავს ზუსტად 4 სტანდარტულ პროდუქტს, იგივეა, შესაბამისად, მათემატიკური მოლოდინი შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით:

სად არის პარტიების რაოდენობა;

ალბათობა იმისა, რომ პარტია შეიცავს ზუსტად 4 სტანდარტულ პროდუქტს.

ჩვენ ვპოულობთ ალბათობას ბერნულის ფორმულის გამოყენებით:

პასუხი: .

მაგალითი 2.19.იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია X- მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა აორ დამოუკიდებელ ცდაში, თუ ამ ცდებში მოვლენის დადგომის ალბათობა იგივეა და ცნობილია, რომ მ(X) = 0,9.

გამოსავალი:პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია ორი გზით.

1) SV-ის შესაძლო მნიშვნელობები X: 0, 1, 2. ბერნულის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ განვსაზღვრავთ ამ მოვლენების ალბათობას:

, , .

შემდეგ განაწილების კანონი Xაქვს ფორმა:

მათემატიკური მოლოდინის განმარტებიდან ჩვენ განვსაზღვრავთ ალბათობას:

მოდი ვიპოვოთ SV-ის დისპერსია X:

2) შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:

პასუხი: .

მაგალითი 2.20.ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა Xშესაბამისად უდრის 20 და 5. იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად Xმიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც შეიცავს ინტერვალში (15; 25).

გამოსავალი:ნორმალური შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა Xმონაკვეთზე დან მდე გამოიხატება ლაპლასის ფუნქციით:

მაგალითი 2.21.მოცემული ფუნქცია:

რა პარამეტრის მნიშვნელობით Cეს ფუნქცია არის ზოგიერთი უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე X? იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია X.

გამოსავალი:იმისათვის, რომ ფუნქცია იყოს რაიმე შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე, ის უნდა იყოს არაუარყოფითი და უნდა აკმაყოფილებდეს თვისებას:

აქედან გამომდინარე:

გამოვთვალოთ მათემატიკური მოლოდინი ფორმულის გამოყენებით:

მოდით გამოვთვალოთ განსხვავება ფორმულის გამოყენებით:

T ტოლია გვ. აუცილებელია ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის პოვნა.

გამოსავალი:დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის X-ის განაწილების კანონს - დამოუკიდებელ ცდებში მოვლენის შემთხვევების რაოდენობას, რომელთაგან თითოეულში მოვლენის დადგომის ალბათობა ტოლია, ეწოდება ბინომი. ბინომალური განაწილების მათემატიკური მოლოდინი ტოლია ცდების რაოდენობისა და A მოვლენის დადგომის ალბათობის ნამრავლის ერთ ცდაში:

მაგალითი 2.25.სამი დამოუკიდებელი გასროლა ხდება მიზანში. ყოველი გასროლის ალბათობა არის 0,25. განსაზღვრეთ დარტყმების რაოდენობის სტანდარტული გადახრა სამი გასროლით.

გამოსავალი:ვინაიდან ტარდება სამი დამოუკიდებელი ცდა და A მოვლენის (დარტყმის) დადგომის ალბათობა თითოეულ საცდელში იგივეა, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X - მიზანზე დარტყმების რაოდენობა - ნაწილდება მიხედვით. ბინომალური კანონი.

ბინომალური განაწილების ვარიაცია ტოლია ცდების რაოდენობის ნამრავლისა და მოვლენის დადგომისა და არდადგომის ალბათობის ერთ ცდაში:

მაგალითი 2.26.სადაზღვევო კომპანიაში 10 წუთში სტუმრების საშუალო რაოდენობა სამია. იპოვეთ ალბათობა, რომ მინიმუმ ერთი კლიენტი მოვა მომდევნო 5 წუთში.

კლიენტების საშუალო რაოდენობა, რომლებიც ჩამოდიან 5 წუთში: . .

მაგალითი 2.29.განაცხადის მოლოდინის დრო პროცესორის რიგში ემორჩილება ექსპონენციალურ განაწილების კანონს, რომლის საშუალო მნიშვნელობა 20 წამია. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემდეგი (შემთხვევითი) მოთხოვნა პროცესორზე 35 წამზე მეტ ხანს დაელოდება.

გამოსავალი:ამ მაგალითში მათემატიკური მოლოდინი და წარუმატებლობის მაჩვენებელი უდრის .

შემდეგ სასურველი ალბათობა:

მაგალითი 2.30. 15 სტუდენტისგან შემდგარი ჯგუფი ატარებს შეხვედრას დარბაზში 20 რიგად 10 ადგილიანი. თითოეული მოსწავლე შემთხვევით იკავებს ადგილს დარბაზში. რა არის იმის ალბათობა, რომ რიგის მეშვიდე ადგილზე არაუმეტეს სამი ადამიანი იყოს?

გამოსავალი:

მაგალითი 2.31.

შემდეგ, ალბათობის კლასიკური განმარტების მიხედვით:

სად -- ნაწილების რაოდენობა პარტიაში;

-- არასტანდარტული ნაწილების რაოდენობა პარტიაში;

– შერჩეული ნაწილების რაოდენობა;

-- შერჩეულთა შორის არასტანდარტული ნაწილების რაოდენობა.

მაშინ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი იქნება შემდეგი.

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: