Cum se calculează rădăcina medie pătrată. Calculul abaterii standard în Microsoft Excel

Dispersia este media aritmetică a abaterilor pătrate ale fiecărui atribut de la media generală. Varianta se numește de obicei pătratul mediu al abaterilor. În funcție de datele sursă, varianța poate fi calculată folosind media aritmetică simplă sau ponderată:

Pentru datele negrupate σ 2 =,

Pentru seria de variații σ 2 =
.

Medie pătrată deviere este rădăcina pătrată a varianței:

Pentru datele negrupate σ =
,

Pentru seria de variații σ =
.

Abaterea standard este o caracteristică generală a mărimii absolute a variației unei caracteristici în agregat. Se exprimă în aceleași unități de măsură ca și atributul (în metri, tone, procente, hectare etc.).

Calculul abaterii standard este precedat de calculul varianței.

Determinarea varianței și a abaterii standard de la valorile individuale

Procedura de calcul:

    media aritmetică simplă se calculează pe baza valorilor caracteristice

;


Sarcina 3. Folosind exemplul a două echipe (sarcina 1), determinați dispersia și abaterea standard a productivității muncii.

Metoda de rezolvare:

Determinarea dispersiei și a deviației standard în serii de distribuție discretă și pe intervale

Procedura de calcul:

Sarcina 4. Calculați varianța și abaterea standard de la datele unei probleme tipice. Trage o concluzie.

Produse produse de 1 muncitor, buc. (x optiuni)

Numărul de muncitori

Metoda de rezolvare:

Dacă datele sursă sunt prezentate sub forma unei serii de distribuție pe intervale, atunci trebuie mai întâi să determinați valoarea discretă a atributului și apoi să aplicați aceeași metodă descrisă mai sus.

Sarcina 5. Calculați dispersia și abaterea standard pentru seria de intervale pe baza distribuției suprafeței semănate în fermă în funcție de producția de grâu:

Randamentul grâului, c\ha

Suprafata semanata, ha

Metoda de rezolvare:

Calculul varianței într-un mod simplificat.

Utilizarea formulei de mai sus pentru calcularea dispersiei nu este întotdeauna convenabilă, deși reflectă bine esența indicatorului. Prin urmare, este necesar să se cunoască o altă formulă pentru o metodă de calcul simplificată, rezultată din cele de mai sus:

,

Unde - valoarea medie a pătratelor opțiunilor;

- pătratul mediei aritmetice.

Procedura de calcul (dacă datele nu sunt grupate):

Sarcina 6. Există date despre productivitatea lucrătorilor Calculați variația într-un mod simplificat.

Muncitorul nr.

Produse produse pe schimb, buc.

Metoda de rezolvare:

Procedura de calcul (dacă datele sunt grupate):

Sarcina 7. Există date privind distribuția întreprinderilor agricole în funcție de disponibilitatea mijloacelor fixe. Calculați varianța într-un mod simplificat.

Grupuri de întreprinderi în funcție de disponibilitatea mijloacelor fixe, milioane de ruble.

Numărul de întreprinderi

Tehnica soluției.

Așteptări și variații

Să măsurăm o variabilă aleatoare N de ori, de exemplu, măsurăm viteza vântului de zece ori și dorim să găsim valoarea medie. Cum este valoarea medie legată de funcția de distribuție?

Vom arunca zarurile de un număr mare de ori. Numărul de puncte care vor apărea pe zar la fiecare aruncare este o variabilă aleatorie și poate lua orice valoare naturală de la 1 la 6. Media aritmetică a punctelor pierdute calculată pentru toate aruncările de zaruri este, de asemenea, o variabilă aleatorie, dar pentru mari N tinde spre un număr foarte specific – așteptarea matematică M x. În acest caz M x = 3,5.

Cum ai obținut această valoare? Lăsa să intre N teste, odată ce obțineți 1 punct, odată ce obțineți 2 puncte și așa mai departe. Apoi când N→ ∞ numărul de rezultate în care a fost aruncat un punct, În mod similar, Prin urmare

Modelul 4.5. Zaruri

Să presupunem acum că cunoaștem legea distribuției variabilei aleatoare X, adică știm că variabila aleatoare X poate lua valori X 1 , X 2 , ..., x k cu probabilităţi p 1 , p 2 , ..., p k.

Valorea estimata M x variabilă aleatorie X este egal cu:

Răspuns. 2,8.

Așteptările matematice nu sunt întotdeauna o estimare rezonabilă a unei variabile aleatorii. Astfel, pentru estimarea salariului mediu, este mai rezonabil să folosim conceptul de mediană, adică o astfel de valoare încât numărul de persoane care primesc un salariu mai mic decât mediana și unul mai mare să coincidă.

Median variabila aleatoare se numeste numar X 1/2 este astfel încât p (X < X 1/2) = 1/2.

Cu alte cuvinte, probabilitatea p 1 că variabila aleatoare X va fi mai mic X 1/2, și probabilitate p 2 că variabila aleatoare X va fi mai mare X 1/2 sunt identice și egale cu 1/2. Mediana nu este determinată în mod unic pentru toate distribuțiile.

Să revenim la variabila aleatoare X, care poate lua valori X 1 , X 2 , ..., x k cu probabilităţi p 1 , p 2 , ..., p k.

Varianta variabilă aleatorie X Valoarea medie a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice se numește:

Exemplul 2

În condițiile exemplului anterior, calculați varianța și abaterea standard a variabilei aleatoare X.

Răspuns. 0,16, 0,4.

Modelul 4.6. Trage într-o țintă

Exemplul 3

Aflați distribuția de probabilitate a numărului de puncte care apar pe zaruri la prima aruncare, mediana, așteptarea matematică, varianța și abaterea standard.

Orice margine este la fel de probabil să cadă, deci distribuția va arăta astfel:

Abaterea standard Se poate observa că abaterea valorii de la valoarea medie este foarte mare.

Proprietățile așteptărilor matematice:

  • Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma așteptărilor lor matematice:

Exemplul 4

Aflați așteptările matematice ale sumei și produsului punctelor aruncate pe două zaruri.

În exemplul 3 am găsit că pentru un cub M (X) = 3,5. Deci, pentru două cuburi

Proprietăți de dispersie:

  • Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor:

Dx + y = Dx + Dy.

Lasă pt N aruncări pe zarurile aruncate y puncte. Apoi

Acest rezultat este valabil nu numai pentru aruncările de zaruri. În multe cazuri, determină acuratețea măsurării empirice a așteptărilor matematice. Se poate observa că odată cu creșterea numărului de măsurători N răspândirea valorilor în jurul mediei, adică abaterea standard, scade proporțional

Varianta unei variabile aleatoare este legată de așteptarea matematică a pătratului acestei variabile aleatoare prin următoarea relație:

Să găsim așteptările matematice ale ambelor părți ale acestei egalități. A-priorie,

Așteptarea matematică a părții drepte a egalității, conform proprietății așteptărilor matematice, este egală cu

Deviație standard

Deviație standard egal cu rădăcina pătrată a varianței:
La determinarea abaterii standard pentru un volum suficient de mare al populației studiate (n > 30), se folosesc următoarele formule:

Statisticile descriptive primare sunt cele mai simple caracteristici care pot fi utilizate pentru a descrie datele psihologice care au fost obținute în timpul testării subiecților.

Statisticile descriptive cel mai des folosite în cursuri și disertații în psihologie includ:

  • valoarea medie;
  • deviație standard.

Valoarea medie

Cea mai simplă procedură matematică pe care un student la psihologie trebuie să o stăpânească atunci când scrie o diplomă este calcularea valorii medii.

Valoarea medie sau media aritmetică este un număr obținut ca sumă a mai multor indicatori împărțit la numărul acestor indicatori. De exemplu, în urma testării, s-au obținut indicatori de anxietate la un grup de 10 persoane. Pentru a obține valoarea medie a anxietății pentru grup, trebuie să adunați scorurile tuturor subiecților și apoi să împărțiți suma rezultată la 10.

Valoarea medie caracterizează grupul ca întreg. Cunoscând media, puteți evalua performanța fiecărui subiect în raport cu celelalte. De exemplu, anxietatea măsurată în exemplul de mai sus poate varia de la 1 la 5 puncte. Fie ca anxietatea medie pentru grup să se dovedească a fi de 3,5 puncte. Apoi, scorul de 4 puncte al unui subiect poate fi considerat relativ mare, iar un scor de 2 puncte poate fi considerat relativ scăzut.

Valoarea medie se referă la indicatorii de tendință centrală și reflectă gradul de exprimare a indicatorului în grup. Abaterea standard reflectă gradul de variabilitate a unei trăsături într-un grup, dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Valoarea medie a oricărui indicator caracterizează grupul în ansamblu și îi permite să fie comparat cu alte grupuri. De exemplu, un diagnostic al nivelului de empatie a fost efectuat la un grup de bărbați și femei. Cum să aflați dacă genul vă afectează capacitatea de a empatiza. O modalitate este de a găsi nivelul mediu al acestui indicator în grupuri de bărbați și femei. De exemplu, la grupul de femei nivelul mediu de empatie este de 23,5 puncte, iar la grupul de bărbați - 17,7 puncte. După cum puteți vedea, în medie, femeile au o empatie mai mare decât bărbații.

Este important de menționat că valoarea medie nu este doar un număr, ci una statistică - obținută ca urmare a unei proceduri speciale. Prin urmare, este imposibil să comparați valorile medii ca numere obișnuite. Pentru compararea valorilor medii se folosesc proceduri suplimentare - calculul criteriilor statistice. De exemplu, Testul U Mann-Whitney sau Testul t al elevului .

Media nu este singurul indicator statistic care reflectă severitatea unei variabile dintr-un grup. Modul și mediana îndeplinesc o funcție similară. Cu toate acestea, ele sunt rareori utilizate în diplomele de psihologie.

Valorile medii ale severității indicatorilor psihologici într-un curs sau diplomă în psihologie sunt prezentate sub formă de tabele și diagrame. În tabele, media este notă cu litera „M”.

Deviație standard

Dacă media aritmetică reflectă severitatea indicatorului din grup, atunci abaterea standard (deviația standard) arată dispersarea datelor sau variabilitatea acesteia. Cu cât abaterea standard este mai mare, cu atât este mai mare răspândirea indicatorilor în grupul de subiecți.

De exemplu, un grup de băieți a fost testat folosind o metodă de identificare a nivelului de egocentrism, ai cărui indicatori variază de la 1 la 10. Calculul mediei a arătat M = 6,5, iar abaterea standard σ = 3 (abaterea standard este notat cu litera „sigma”). Aceste date ne permit să spunem că marea majoritate a indicatorilor de egocentrism ai băieților se încadrează în intervalul de la 3,5 la 9,5 (deviația standard medie plus/minus - M ± σ).

Dacă, la testarea unui grup de fete, valoarea medie este M = 5, iar abaterea standard este σ = 1, atunci majoritatea subiecților din acest grup au egocentrism în intervalul de la 4 la 6 (5 ± 1).

Analizând astfel de date într-o diplomă în psihologie, se poate indica faptul că nivelul mediu de egocentrism la băieți este mai mare decât la fete. Totodată, răspândirea indicatorilor de egocentrism la băieți este mai mare decât la fete, adică la grupa băieților există subiecți cu indicatori foarte mici și foarte mari în raport cu media. La fete, indicatorii sunt mai puțin „împrăștiați” față de medie.

Calculul mediei și a abaterii standard

Formula de calcul a mediei este foarte simplă și acest parametru poate fi calculat manual.

Exemplu de calcul mediu

În tabel sunt prezentate indicatorii obținuți în urma testului de diagnosticare a nivelului de singurătate la 64 de subiecți.

Nu. isp.

Nivelul de singurătate

Să găsim nivelul mediu de singurătate din grup.

М=(13 + 14+ 5+ 11+ 17+ 9+ 18+ 6+ 9+ 15+ 14+ 7+ 9+ 8+ 13+ 12+ 14+ 19+ 15+ 11+ 15+ 6+ 8+ 8 + 8+ 5+ 20+ 5+ 9+ 7+ 7+ 11+ 15+ 7+ 7+ 9+ 8+ 11+ 17+ 10+ 18+ 15+ 14+ 15+ 4+8+15+17+14 +4+8+18+14+14+9+1+7+11+4+14+11+6+17) / 64=10,92

După cum putem vedea, dacă există destul de mulți subiecți, atunci calcularea manuală a mediei este o sarcină care necesită multă muncă.

Un proces și mai intensiv în muncă este calcularea abaterii standard. Nu vă voi plictisi cu formule, voi spune doar că calculul acestui indicator se rezumă la însumarea pătratelor diferenței dintre indicatori și valoarea medie. Această sumă este apoi împărțită la numărul de indicatori și rădăcina pătrată este luată din numărul rezultat. Efectuarea manuală a unor astfel de calcule este supărătoare și inutilă.

Cel mai adesea, calculele mediei și ale abaterii standard se pot face în programe statistice STATISTICA, SPSS si foi de calcul Exс el.

Sper că acest articol vă va ajuta să scrieți o lucrare de psihologie pe cont propriu. Dacă aveți nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați (toate tipurile de muncă în psihologie; calcule statistice).

Deviație standard(sinonime: deviație standard, deviație standard, abatere pătrată; termeni conexe: deviație standard, spread standard) - V teoria probabilitățiiȘi statistici cel mai comun indicator al dispersării valorii variabilă aleatorie cu privire la ea așteptări matematice. Pentru rețele limitate de eșantioane de valoare, se utilizează în schimb așteptarea matematică in medie populația de probe.

YouTube enciclopedic

  • 1 / 5

    Abaterea standard este măsurată în unități de măsură variabila cea mai aleatorie si este folosita in calcul eroare standard medie aritmetică, la construirea intervale de încredere, cu statistici testarea ipotezelor, la măsurare relație liniarăîntre variabile aleatoare. Definit ca Rădăcină pătrată din varianța unei variabile aleatoare.

    Deviație standard:

    s = n n − 1 σ 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 ; (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac (n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac (1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right)^(2)));)
    • Notă: Foarte des există discrepanțe în denumirile MSD (Root Mean Square Deviation) și STD (Standard Deviation) cu formulele lor. De exemplu, în modulul numPy al limbajului de programare Python, funcția std() este descrisă ca „abatere standard”, în timp ce formula reflectă abaterea standard (diviziunea după rădăcina eșantionului). În Excel, funcția STANDARDEVAL() este diferită (diviziunea la rădăcina lui n-1).

    Deviație standard(estimarea abaterii standard a unei variabile aleatoare Xîn ceea ce priveşte aşteptarea sa matematică bazată pe estimare imparțială variația sa) s (\displaystyle s):

    σ = 1 n ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 . (\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\stanga(x_(i)-(\bar (x))\dreapta) ^(2))).)

    Unde σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2)) - dispersie ; x i (\displaystyle x_(i)) - i al-lea element al selecției; n (\displaystyle n)- marime de mostra; in medie-

    mostre:

    x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + … + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\ldots +x_(n)).) Trebuie remarcat faptul că ambele estimări sunt părtinitoare. În general estimare imparțială Evaluare consistentă.

    În conformitate cu GOST R 8.736-2011, abaterea standard este calculată folosind a doua formulă a acestei secțiuni. Vă rugăm să verificați rezultatele.

    Regula trei sigma

    Regula trei sigma (3 σ (\displaystyle 3\sigma )) - aproape toate valorile distribuite normal variabile aleatoare se află în interval (x ¯ - 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \right)). Mai strict - aproximativ cu o probabilitate de 0,9973 valoare distribuite normal variabila aleatoare se află în intervalul specificat (cu condiția ca valoarea x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) adevărat și nu obținut ca urmare a prelucrării probei).

    Dacă valoarea adevărată x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) este necunoscut, atunci nu trebuie să utilizați σ (\displaystyle \sigma ), A s. Astfel, regula de trei sigma este transformată în regula de trei s .

    Interpretarea valorii abaterii standard

    O valoare mai mare a deviației standard arată o răspândire mai mare a valorilor în setul prezentat cu valoarea medie a setului; o valoare mai mică, în consecință, arată că valorile din set sunt grupate în jurul valorii medii.

    De exemplu, avem trei seturi de numere: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) și (6, 6, 8, 8). Toate cele trei seturi au valori medii egale cu 7 și, respectiv, abateri standard egale cu 7, 5 și 1. Ultimul set are o abatere standard mică, deoarece valorile din set sunt grupate în jurul valorii medii; primul set are cea mai mare valoare a abaterii standard - valorile din cadrul setului diferă foarte mult de valoarea medie.

    Într-un sens general, abaterea standard poate fi considerată o măsură a incertitudinii. De exemplu, în fizică, abaterea standard este folosită pentru a determina erori o serie de măsurători succesive a oricărei mărimi. Această valoare este foarte importantă pentru determinarea plauzibilității fenomenului studiat în comparație cu valoarea prezisă de teorie: dacă valoarea medie a măsurătorilor diferă mult de valorile prezise de teorie (deviație standard mare), atunci valorile obținute sau metoda de obținere a acestora trebuie reverificate. identificat cu risc portofoliu.

    Climat

    Să presupunem că există două orașe cu aceeași temperatură medie zilnică maximă, dar unul este situat pe coastă, iar celălalt pe câmpie. Se știe că orașele situate pe coastă au multe temperaturi maxime diurne diferite, care sunt mai scăzute decât orașele situate în interior. Prin urmare, abaterea standard a temperaturilor maxime zilnice pentru un oraș de coastă va fi mai mică decât pentru al doilea oraș, în ciuda faptului că valoarea medie a acestei valori este aceeași, ceea ce înseamnă, în practică, că probabilitatea ca temperatura maximă a aerului pe orice zi a anului va fi mai mare, diferită de valoarea medie, mai mare pentru un oraș situat în interior.

    Sport

    Să presupunem că există mai multe echipe de fotbal care sunt evaluate pe un set de parametri, de exemplu, numărul de goluri marcate și primite, șanse de marcare etc. Cel mai probabil, cea mai bună echipă din această grupă va avea valori mai bune pe mai mulți parametri. Cu cât abaterea standard a echipei pentru fiecare dintre parametrii prezentați este mai mică, cu atât rezultatul echipei este mai previzibil; Pe de altă parte, o echipă cu o abatere standard mare este dificil de prezis rezultatul, care la rândul său se explică printr-un dezechilibru, de exemplu, o apărare puternică, dar un atac slab.

    Utilizarea abaterii standard a parametrilor de echipă face posibilă, într-o măsură sau alta, prezicerea rezultatului unui meci între două echipe, evaluând punctele forte și punctele slabe ale echipelor și, prin urmare, metodele alese de luptă.



     

    Ar putea fi util să citiți: