Matrici. Definiții de bază și tipuri de matrice
Matrici. Tipuri de matrice. Operații pe matrice și proprietățile acestora.
Determinant al unei matrice de ordin al n-lea. N, Z, Q, R, C,
O matrice de ordinul m*n este un tabel dreptunghiular de numere care conține m-rânduri și n-coloane.
Egalitatea matricei:
Se spune că două matrici sunt egale dacă numărul de rânduri și coloane ale uneia dintre ele este egal cu numărul de rânduri și, respectiv, de coloane ale celeilalte. Elementele acestor matrici sunt egale.
Notă: e-mailurile care au aceiași indexuri sunt corespunzătoare.
Tipuri de matrice:
Matrice pătrată: O matrice se numește pătrată dacă numărul rândurilor sale este egal cu numărul de coloane.
Dreptunghiulară: O matrice se numește dreptunghiulară dacă numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane.
Matrice de rând: o matrice de ordinul 1*n (m=1) are forma a11,a12,a13 și se numește matrice de rând.
Coloana matricei:………….
Diagonala: Diagonala unei matrice pătrate, care merge de la colțul din stânga sus la colțul din dreapta jos, adică formată din elementele a11, a22...... se numește diagonală principală. (definiție: o matrice pătrată ale cărei elemente sunt toate zero, cu excepția celor situate pe diagonala principală, se numește matrice diagonală.
Identitate: O matrice diagonală se numește matrice de identitate dacă toate elementele sunt situate pe diagonala principală și sunt egale cu 1.
Triunghiular superior: A=||aij|| se numește matrice triunghiulară superioară dacă aij=0. Cu conditia i>j.
Triunghiul inferior: aij=0. i Zero: aceasta este o matrice ale cărei valori sunt egale cu 0. Operații pe matrice. 1.Transpunerea. 2. Înmulțirea unei matrice cu un număr. 3. Adunarea matricelor. 4.Înmulțirea matricei. Proprietățile de bază ale acțiunilor pe matrice. 1.A+B=B+A (comutativitate) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (asociativitate) 3.a(A+B)=aA+aB (distributivitate) 4.(a+b)A=aA+bA (distributiv) 5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoc.) 6.AB≠BA (fără comunicație) 7.A(BC)=(AB)C (asociat.) – executat dacă este definit. Produsele Matrix sunt realizate. 8.A(B+C)=AB+AC (distributiv) (B+C)A=BA+CA (distributiv) 9.a(AB)=(aA)B=(aB)A Determinant al unei matrice pătrate – definiție și proprietățile acesteia. Descompunerea determinantului în rânduri și coloane. Metode de calcul al determinanților. Dacă matricea A are ordinul m>1, atunci determinantul acestei matrice este un număr. Complementul algebric Aij al elementului aij al matricei A este Mij minor înmulțit cu numărul TEOREMA 1: Determinantul matricei A este egal cu suma produselor tuturor elementelor unui rând (coloană) arbitrar prin complementele lor algebrice. Proprietățile de bază ale determinanților. 1. Determinantul unei matrice nu se va schimba atunci când este transpusă. 2. La rearanjarea a două rânduri (coloane), determinantul își schimbă semnul, dar valoarea lui absolută nu se modifică. 3. Determinantul unei matrice care are două rânduri (coloane) identice este egal cu 0. 4. Când un rând (coloană) a unei matrice este înmulțit cu un număr, determinantul său este înmulțit cu acest număr. 5. Dacă unul dintre rândurile (coloanele) matricei este format din 0, atunci determinantul acestei matrice este egal cu 0. 6. Dacă toate elementele rândului i (coloanei) unei matrice sunt prezentate ca sumă a doi termeni, atunci determinantul său poate fi reprezentat ca suma determinanților a două matrice. 7. Determinantul nu se va modifica dacă elementele unei coloane (rând) sunt adăugate elementelor unei alte coloane (rând), respectiv, după înmulțire. pentru acelasi numar. 8. Suma elementelor arbitrare ale oricărei coloane (rând) a determinantului prin complementul algebric corespunzător al elementelor unei alte coloane (rând) este egală cu 0. https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27"> Metode de calcul a determinantului: 1. Prin definiție sau teorema 1. 2. Reducere la formă triunghiulară. Definiția și proprietățile unei matrici inverse. Calculul matricei inverse. Ecuații matriceale. Definiție: O matrice pătrată de ordin n se numește inversa matricei A de același ordin și se notează Pentru ca matricea A să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca determinantul matricei A să fie diferit de 0. Proprietățile unei matrici inverse: 1. Unicitatea: pentru o matrice dată A, inversul acesteia este unic. 2. determinant matriceal 3. Operația de preluare a transpunerii și luarea matricei inverse. Ecuații matriceale: Fie A și B două matrici pătrate de același ordin. https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src="> Conceptul de dependență liniară și independență a coloanelor matriceale. Proprietăți de dependență liniară și independență liniară a unui sistem de stâlpi. Coloanele A1, A2...An se numesc dependente liniar dacă există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu coloana 0. Coloanele A1, A2...An se numesc liniar independente dacă există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu coloana 0. O combinație liniară se numește trivială dacă toți coeficienții C(l) sunt egali cu 0 și netriviali în caz contrar. https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24"> 2. Pentru ca coloanele să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca o coloană să fie o combinație liniară a altor coloane. Fie 1 dintre coloanele https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">să fie o combinație liniară a altor coloane. https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> sunt dependente liniar, apoi toate coloanele sunt dependente liniar. 4. Dacă un sistem de coloane este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, liniar independent. (Tot ceea ce se spune despre coloane este valabil și pentru rânduri). Matrice minori. Minori de bază. Rangul matricei. Metoda limitării minorilor pentru calculul rangului unei matrice. Un minor de ordinul k al unei matrice A este un determinant ale cărui elemente sunt situate la intersecția k-rândurilor și k-coloanelor matricei A. Dacă toate minorele de ordinul k al matricei A = 0, atunci orice minor de ordinul k+1 este de asemenea egal cu 0. Minor de bază. Rangul unei matrice A este de ordinul bazei sale minore. Metoda limitării minorilor: - Selectați un element diferit de zero al matricei A (Dacă un astfel de element nu există, atunci rangul A = 0) Limităm minorul anterior de ordinul 1 cu un minor de ordinul 2. (Dacă acest minor nu este egal cu 0, atunci rangul este >=2) Dacă rangul acestui minor este =0, atunci limităm minorul de ordinul 1 selectat cu alți minori de ordinul 2. (Dacă toți minorii de ordinul 2 = 0, atunci rangul matricei = 1). Rangul matricei. Metode de găsire a rangului unei matrice. Rangul unei matrice A este de ordinul bazei sale minore. Metode de calcul: 1) Metoda de margine a minorilor: - Selectați un element diferit de zero al matricei A (dacă nu există un astfel de element, atunci rang = 0) - Mărginiți minorul anterior de ordinul 1 cu un minor de ordinul 2..gif" width="40 " height="22" >r+1 Mr+1=0. 2) Reducerea matricei la o formă în trepte: această metodă se bazează pe transformări elementare. În timpul transformărilor elementare, rangul matricei nu se modifică. Următoarele transformări se numesc transformări elementare: Rearanjarea a două rânduri (coloane). Înmulțirea tuturor elementelor unei anumite coloane (rând) cu un număr nu =0. Adăugarea tuturor elementelor unei anumite coloane (rând) a elementelor unei alte coloane (rând), înmulțite anterior cu același număr. Teorema pe baza minoră. O condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie egal cu zero. Baza minoră a unei matrice A este minora de ordinul k-lea cel mai înalt diferit de 0. Teorema minoră a bazei: Rândurile (coloanele) subiacente sunt liniar independente. Orice rând (coloană) al matricei A este o combinație liniară a rândurilor de bază (coloanelor). Note: Rândurile și coloanele la intersecția cărora există o bază minoră se numesc rânduri de bază și, respectiv, coloane. a11 a12... a1r a1j a21 a22….a2r a2j a31 a32….a3r a3j ar1 ar2….arr arj ak1 ak2…..akr akj Condiții necesare și suficiente pentru ca determinantul să fie egal cu zero: Pentru ca un determinant de ordin al n-lea să fie =0, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) să fie dependente liniar. Sisteme de ecuații liniare, clasificarea și formele de notație ale acestora. regula lui Cramer. Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute: https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!} se numește determinantul sistemului. Să mai compunem trei determinanți astfel: înlocuiți secvențial 1, 2 și 3 coloane din determinantul D cu o coloană de termeni liberi https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!} Dovada. Deci, să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A11 al elementului a11, a doua ecuație cu A21 și a treia cu A31: https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!} Să ne uităm la fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Prin teorema expansiunii determinantului în elementele coloanei I https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!} În mod similar, se poate demonstra că și . În cele din urmă, este ușor de observat asta Astfel, obținem egalitatea: . Prin urmare, . Egalitățile și sunt derivate similar, din care urmează enunțul teoremei. Sisteme de ecuații liniare. Condiție de compatibilitate a ecuațiilor liniare. Teorema Kronecker-Capelli. O soluție a unui sistem de ecuații algebrice este o astfel de mulțime de n numere C1, C2, C3......Cn, care, atunci când sunt înlocuite în sistemul original în locul lui x1, x2, x3.....xn , transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Un sistem de ecuații algebrice liniare se numește consistent dacă are cel puțin o soluție. Un sistem consistent se numește determinat dacă are o soluție unică și nedefinit dacă are infinite de soluții. Condiții de consistență pentru sisteme de ecuații algebrice liniare. a11 a12 ……a1n x1 b1 a21 a22 ……a2n x2 b2 ……………….. .. = .. am1 am2…..amn xn bn TEOREMA: Pentru ca un sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei extinse să fie egal cu rangul matricei A. Notă: Această teoremă oferă doar criterii pentru existența unei soluții, dar nu indică o metodă pentru găsirea unei soluții. 10 intrebare. Sisteme de ecuații liniare. Metoda de bază minoră este o metodă generală pentru găsirea tuturor soluțiilor sistemelor de ecuații liniare. A=a21 a22…..a2n Metoda minoră de bază: Fie sistemul consecvent și RgA=RgA’=r. Fie ca baza minoră să fie scrisă în colțul din stânga sus al matricei A. https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n) … = ………….. Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n) https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src="> Note: Dacă rangul matricei principale și al matricei luate în considerare este egal cu r=n, atunci în acest caz dj=bj și sistemul are o soluție unică. Sisteme omogene de ecuații liniare. Un sistem de ecuații algebrice liniare se numește omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero. AX=0 – sistem omogen. AX =B este un sistem eterogen. Sistemele omogene sunt întotdeauna consistente. X1 =x2 =..=xn =0 Teorema 1. Sistemele omogene au soluții neomogene atunci când rangul matricei sistemului este mai mic decât numărul de necunoscute. Teorema 2. Un sistem omogen de ecuații n-liniare cu n-necunoscute are o soluție diferită de zero atunci când determinantul matricei A este egal cu zero. (detA=0) Proprietăți ale soluțiilor sistemelor omogene. Orice combinație liniară a unei soluții la un sistem omogen este ea însăși o soluție a acestui sistem. a1C1 +a2C2; α1 și α2 sunt niște numere. A(α1C1 +α2C2) = A(α1C1) +A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, adică. k. (A C1) = 0; (AC2) = 0 Pentru un sistem neomogen această proprietate nu este valabilă. Sistem fundamental de soluții. Teorema 3. Dacă rangul unui sistem matriceal al unei ecuații cu n-necunoscute este egal cu r, atunci acest sistem are n-r soluții liniar independente. Lăsați baza minoră să fie în colțul din stânga sus. Dacă r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0) C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы. …………………….. Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1) Un sistem de n-r soluții liniar independente la un sistem omogen de ecuații liniare cu n-necunoscute de rang r se numește sistem fundamental de soluții. Teorema 4. Orice soluție a unui sistem de ecuații liniare este o combinație liniară a unei soluții a sistemului fundamental. С = α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r Dacă r Întrebarea 12. Soluție generală a unui sistem eterogen. Somn (general eterogen) = Coo + Sch (particular) AX=B (sistem eterogen); AX= 0 (ASoo) + ASch = ASch = B, deoarece (ASoo) = 0 Somn= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch metoda Gauss. Aceasta este o metodă de eliminare secvențială a necunoscutelor (variabilelor) - constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul original de ecuații este redus la un sistem echivalent de formă în trepte, din care toate celelalte variabile sunt succesive. găsit, începând cu ultimele variabile. Fie a≠0 (dacă nu este cazul, atunci acest lucru poate fi realizat prin rearanjarea ecuațiilor). 1) excludem variabila x1 din a doua, a treia...a-a ecuație, înmulțind prima ecuație cu numere potrivite și adunând rezultatele obținute la a 2-a, a 3-a...a-a ecuație, apoi obținem: Obținem un sistem echivalent cu cel original. 2) excludeți variabila x2 3) excludeți variabila x3 etc. Continuând procesul de eliminare secvenţială a variabilelor x4;x5...xr-1 obţinem pentru pasul (r-1). Numărul zero al ultimului n-r din ecuații înseamnă că partea stângă a acestora are forma: 0x1 +0x2+..+0xn Dacă cel puțin unul dintre numerele br+1, br+2... nu este egal cu zero, atunci egalitatea corespunzătoare este contradictorie și sistemul (1) nu este consecvent. Astfel, pentru orice sistem consistent acest br+1 ... bm este egal cu zero. Ultima ecuație n-r din sistem (1;r-1) sunt identități și pot fi ignorate. Există două cazuri posibile: a) numărul de ecuații ale sistemului (1;r-1) este egal cu numărul de necunoscute, adică r=n (în acest caz sistemul are formă triunghiulară). b)r Trecerea de la sistemul (1) la sistemul echivalent (1;r-1) se numește mișcare directă a metodei gaussiene. Găsirea unei variabile din sistem (1;r-1) este inversul metodei gaussiene. Este convenabil să se efectueze transformări gaussiene realizându-le nu cu ecuații, ci cu o matrice extinsă a coeficienților lor. Întrebarea 13. Matrici similare. Vom lua în considerare numai matrici pătrate de ordinul n/ Se spune că o matrice A este similară cu matricea B (A~B) dacă există o matrice nesingulară S astfel încât A=S-1BS. Proprietățile matricelor similare. 1) Matricea A este similară cu ea însăși. (A~A) Dacă S=E, atunci EAE=E-1AE=A 2) Dacă A~B, atunci B~A Dacă A=S-1ВS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B 3) Dacă A~B și în același timp B~C, atunci A~C Se da ca A=S1-1BS1, si B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, unde S3 = S2S1 4) Determinanții matricilor similare sunt egali. Având în vedere că A~B, este necesar să se demonstreze că detA=detB. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (redus) = detB. 5) Rândurile matricelor similare coincid. Vectori proprii și valorile proprii ale matricelor. Numărul λ se numește valoare proprie a matricei A dacă există un vector X diferit de zero (coloana matricei) astfel încât AX = λ X, vectorul X se numește vector propriu al matricei A, iar mulțimea tuturor valorilor proprii se numește spectrul matricei A. Proprietăți ale vectorilor proprii. 1) Înmulțind un vector propriu cu un număr, obținem un vector propriu cu aceeași valoare proprie. AX = λ X; X≠0 α X => A(α X) = α (AX) = α(λ X) = = λ (αX) 2) Vectorii proprii cu valori proprii diferite în perechi sunt independenți liniar λ1, λ2,.. λk. Fie ca sistemul să fie format dintr-un vector, să facem un pas inductiv: С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn = 0 (1) – înmulțiți cu A. C1 AX1 +C2 AX2 + .. +Cn AXn = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0 Înmulțiți cu λn+1 și scădeți С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn+ Сn+1 Хn+1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 Este necesar ca C1 = C2 =... = Cn = 0 Сn+1 Хn+1 λn+1 =0 Ecuație caracteristică. A-λE se numește matricea caracteristică pentru matricea A. Pentru ca un vector diferit de zero X să fie un vector propriu al matricei A, corespunzător valorii proprii λ, este necesar ca acesta să fie o soluție la un sistem omogen de ecuații algebrice liniare (A - λE)X = 0 Sistemul are o soluție netrivială când det (A - XE) = 0 - aceasta este ecuația caracteristică. Afirmație! Ecuațiile caracteristice ale unor astfel de matrici coincid. det(S-1AS – λE) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λE)S) = det S-1 det(A – λE) detS= det(A – λE) Polinom caracteristic. det(A – λE) - funcţie relativă la parametrul λ det(A – λE) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Acest polinom se numește polinomul caracteristic al matricei A. Consecinţă: 1) Dacă matricele sunt A~B, atunci suma elementelor lor diagonale coincide. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2) Setul de valori proprii ale matricilor similare coincide. Dacă ecuațiile caracteristice ale matricelor coincid, atunci ele nu sunt neapărat similare. Pentru matricea A Pentru matricea B https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 Pentru ca o matrice A de ordinul n să fie diagonalizabilă, este necesar să existe vectori proprii liniar independenți ai matricei A. Consecinţă. Dacă toate valorile proprii ale unei matrice A sunt diferite, atunci aceasta este diagonalizabilă. Algoritm pentru găsirea vectorilor proprii și a valorilor proprii. 1) alcătuiți o ecuație caracteristică 2) găsiți rădăcinile ecuațiilor 3) compunem un sistem de ecuații pentru a determina vectorul propriu. λi (A-λi E)X = 0 4) găsiți un sistem fundamental de soluții x1,x2..xn-r, unde r este rangul matricei caracteristice. r =Rg(A - λi E) 5) vector propriu, valorile proprii λi sunt scrise ca: X = С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn-r Хn-r, unde С12 +С22 +… С2n ≠0 6) verificați dacă matricea poate fi redusă la formă diagonală. 7) găsiți Ag Ag = S-1AS S= Întrebarea 15. Baza unei linii drepte, plan, spațiu. https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│, ││). Modulul unui vector este zero când acest vector este zero (│ō│=0 ) 4. Orth vector. O ortă a unui vector dat este un vector care are aceeași direcție ca și vectorul dat și are un modul egal cu unu. Vectorii egali au vectori egali. 5.Unghiul dintre doi vectori. Aceasta este o parte mai mică a zonei, limitată de două raze care emană din același punct și direcționate în același mod cu vectorii dați. Adăugarea vectorului. Înmulțirea unui vector cu un număr. 1) Adunarea a doi vectori https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2) Înmulțirea unui vector cu un scalar. Produsul unui vector și al unui scalar este un vector nou care are: a) = produsul modulului vectorului fiind înmulțit cu valoarea absolută a scalarului. b) direcția este aceeași cu vectorul înmulțit dacă scalarul este pozitiv și opus dacă scalarul este negativ. λ а(vector)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Proprietăți ale operațiilor liniare pe vectori. 1. Legea comunicabilității. 2. Legea asociativității. 3. Adunarea cu zero. a(vector)+ō= a(vector) 4. Adăugarea cu opusul. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6;7.Legea distributivității. Exprimarea unui vector în termeni de modul și orth. Numărul maxim de vectori liniar independenți se numește bază. O bază pe o linie este orice vector diferit de zero. O bază pe plan este oricare doi vectori non-calenari. O bază în spațiu este un sistem de oricare trei vectori necoplanari. Coeficientul de expansiune al unui vector pe o anumită bază se numește componente sau coordonate ale vectorului în această bază. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> efectuează acțiunea de adunare și înmulțire cu un scalar, apoi, ca rezultat, orice număr de astfel de acțiuni obținem: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> sunt numite dependente liniar dacă există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu ō. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> sunt numite liniar independente dacă nu există o combinație liniară netrivială a acestora. Proprietățile vectorilor liniar dependenți și independenți: 1) un sistem de vectori care conțin un vector zero este dependent liniar. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> au fost dependente liniar, este necesar ca un vector să fie o combinație liniară a altor vectori. 3) dacă unii dintre vectorii din sistemul a1(vector), a2(vector)... ak(vector) sunt dependenți liniar, atunci toți vectorii sunt dependenți liniar. 4) dacă toți vectorii https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) Operații liniare în coordonate. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src="> Proprietățile produsului punctual: 1. Comutativitate 3. (a;b)=0, dacă și numai dacă vectorii sunt ortoganali sau unii dintre vectori sunt egali cu 0. 4. Distributivitatea (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. Exprimarea produsului scalar al lui a și b în funcție de coordonatele lor https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> Când condiția () este îndeplinită, h, l=1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> și se numește al treilea vector care satisface următoarele ecuații: 3. – drept Proprietățile unui produs vectorial: 4. Produs vectorial al vectorilor unitar de coordonate Baza ortonormala. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Adesea, 3 simboluri sunt folosite pentru a desemna vectori unitari de bază ortonormală https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Dacă este o bază ortonormală, atunci https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- ecuația unei linii drepte paralele cu axa OX 2) - ecuația unei linii drepte paralele cu axa amplificatorului operațional 2. Dispunerea reciprocă a 2 linii drepte. Teorema 1 Fie date ecuațiile dreptelor în raport cu un sistem de coordonate afín A) Atunci condiția necesară și suficientă pentru când se intersectează are forma: B) Atunci condiția necesară și suficientă pentru faptul că dreptele sunt paralele este condiția: B) Atunci, o condiție necesară și suficientă pentru faptul că liniile se îmbină într-una singură este condiția: 3. Distanța de la un punct la o dreaptă. Teorema. Distanța de la un punct la o dreaptă în raport cu sistemul de coordonate carteziene: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. Unghiul dintre două linii drepte. Condiție de perpendicularitate. Fie definite 2 drepte relativ la sistemul de coordonate carteziene prin ecuații generale. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Dacă , atunci liniile sunt perpendiculare. Întrebarea 24. Avion în spațiu. Condiție pentru ca vectorul și planul să fie consecvenți. Distanța de la un punct la un plan. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două plane. 1. Condiția ca vectorul și planul să fie consistente. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Nameless4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Nameless5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. Unghiul dintre 2 planuri. Condiție de perpendicularitate. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Dacă , atunci planurile sunt perpendiculare. Întrebarea 25. Linie dreaptă în spațiu. Diferite tipuri de ecuații ale unei linii drepte în spațiu. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. Ecuația vectorială a unei linii în spațiu. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Ecuația canonică este directă. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Nameless3.jpg" width="56" height="51">!} Probleme de algebră liniară. Conceptul de matrice. Tipuri de matrice. Operatii cu matrici. Rezolvarea problemelor de transformare a matricei. Când rezolvați diverse probleme de matematică, de multe ori trebuie să aveți de-a face cu tabele de numere numite matrice. Folosind matrice, este convenabil să rezolvați sisteme de ecuații liniare, să efectuați multe operații cu vectori, să rezolvați diverse probleme de grafică pe computer și alte probleme de inginerie. Matricea se numește
tabel dreptunghiular al numerelor care conțin o cantitate m linii și un anumit număr P coloane. Numerele TȘi P se numesc ordine de matrice. Dacă T = P, matricea se numește pătrat, iar numărul m = n - ordinul ei. În viitor, se vor folosi fie liniute duble, fie paranteze pentru a scrie matrice: Sau Pentru a desemna pe scurt o matrice, se va folosi adesea fie o singură literă majusculă (de exemplu, A), fie simbolul || a ij ||și uneori cu o explicație: A = || a ij || = (a ij), Unde (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n). Numerele aij, incluse în această matrice se numesc elementele acesteia. În înregistrare a ij primul indice і
înseamnă numărul liniei și al doilea index j- numărul coloanei. În cazul unei matrice pătrate Sunt introduse conceptele de diagonală principală și secundară. Diagonala principală a matricei (1.1) se numește diagonală a 11 la 12 …
Ann mergând din colțul din stânga sus al acestei matrice în colțul din dreapta jos al acesteia. O diagonală laterală a aceleiași matrice se numește diagonală a n 1 a (n -1)2…
a 1 n, mergând din colțul din stânga jos în colțul din dreapta sus. Operații de bază asupra matricelor și proprietăților acestora. Să trecem la definirea operațiilor de bază pe matrice. Adăugarea matricei. Suma a două matrice A = || a ij || , Unde Și B = || b ij || , Unde (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n) aceleași ordine TȘi P numită matrice C = || c ij || (i =1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) aceleași ordine TȘi P, elemente cu ij care sunt determinate de formula ,
Unde (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.2) Pentru a desemna suma a două matrice, se folosește notația C = A + B. Operația de alcătuire a sumei matricelor se numește adunarea lor. Deci, prin definiție: Din definiția sumei matricelor, sau mai precis din formulele (1.2), rezultă imediat că operația de adunare a matricelor are aceleași proprietăți ca și operația de adunare a numerelor reale și anume: 1) proprietate comutativă: A + B = B + A, 2) proprietate asociativă: ( A + B) + C = A + (B + C). Aceste proprietăți fac posibil să nu vă faceți griji cu privire la ordinea termenilor matricei atunci când adăugați două sau mai multe matrice. Înmulțirea unei matrice cu un număr. Produsul matricei A = || a ij || , unde (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) printr-un număr real l, se numește matrice C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), ale căror elemente sunt determinate de formula: ,
Unde (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.3) Pentru a desemna produsul dintre o matrice și un număr, se folosește notația C = l A sau C = A l. Operația de alcătuire a produsului unei matrice cu un număr se numește înmulțirea matricei cu acest număr. Direct din formula (1.3) este clar că înmulțirea unei matrice cu un număr are următoarele proprietăți: 1) proprietate asociativă privind multiplicatorul numeric: (l m) A = l (m A); 2) proprietatea distribuției în raport cu suma matricelor: l (A + B) = l A + l B; 3) proprietatea distributivă privind suma numerelor: (l + m) A = l A + m A Cometariu. Diferența a două matrice AȘi ÎN comenzi identice TȘi P este firesc să numim o astfel de matrice CU aceleași ordine TȘi P, care se însumează cu matricea B dă matricea A. Pentru a desemna diferența dintre două matrici, se folosește notația naturală: C = A - B. Este foarte ușor să verifici că diferența CU două matrice AȘi ÎN poate fi obținută prin regulă C = A + (–1) V. Produsul matricelor sau înmulțirea matriceală. Produs Matrix A = || a ij || , unde (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) având ordine egale corespunzător TȘi n, la matrice B = || b ij || , Unde (i = 1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., p), având ordine egale corespunzător nȘi R, numită matrice C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), având ordine egale în mod corespunzător TȘi R ale căror elemente sunt determinate de formula: Pentru a desemna produsul unei matrice A la matrice ÎN utilizați înregistrarea C = A × B. Operația de alcătuire a unui produs matrice A la matrice ÎN se numește înmulțirea acestor matrici. Din definiţia formulată mai sus rezultă că Matricea A nu poate fi înmulțită cu fiecare matrice B, este necesar ca numărul coloanelor matricei A a fost egal cu numărul de rânduri ale matricei ÎN. Formula (1.4) este o regulă pentru alcătuirea elementelor matricei C, care este produsul matricei A la matrice ÎN. Această regulă poate fi formulată verbal: elementul c i j situat la intersecția rândului i și coloanei j a matricei C = A B este egal cu suma produselor perechi ale elementelor corespondente ale rândului i al matricei A și coloanei j a a matricei B. Ca exemplu de aplicare a acestei reguli, prezentăm formula de înmulțire a matricelor pătrate de ordinul doi. × = Din formula (1.4) urmează următoarele proprietăți ale produsului matricei: A pe matrice ÎN: 1) proprietate asociativă: (A B) C = A (B C); 2) proprietatea distributivă relativă la suma matricelor: (A + B) C = A C + B C sau A (B + C) = A B + A C. Întrebare despre proprietatea comutativă a produsului unei matrice A la matrice ÎN are sens să-l setați numai pentru matrici pătrate A și B aceeasi ordine. Să prezentăm cazuri speciale importante de matrice pentru care proprietatea de permutare este, de asemenea, adevărată. Două matrice al căror produs are proprietatea de comutație se numesc de obicei comutație. Dintre matricele pătrate, evidențiem o clasă de așa-numite matrici diagonale, fiecare având elemente situate în afara diagonalei principale egale cu zero. Fiecare matrice diagonală de ordine P se pare ca D= Unde d 1, d 2,…
,dn- orice numere. Este ușor de observat că dacă toate aceste numere sunt egale între ele, adică. d 1 = d 2 =… =
d n apoi pentru orice matrice pătrată A Ordin P egalitatea este adevărată A D = D A. Dintre toate matricile diagonale (1.5) cu elemente care coincid d 1 = d 2 =… =
dn= = d Două matrice joacă un rol deosebit de important. Prima dintre aceste matrice este obţinută de d = 1, numită matricea identităţii n E. A doua matrice se obține atunci când d = 0, se numește matricea zero n de ordinul --lea și este notat cu simbolul O. Prin urmare, E= Datorită celor dovedite mai sus A E = E AȘi A O = O A.În plus, este ușor să arăți asta A E = E A = A, A O = O A = 0. (1.6) Prima dintre formulele (1.6) caracterizează rolul special al matricei identitare E, similar cu rolul jucat de numărul 1 la înmulțirea numerelor reale. Cât priveşte rolul special al matricei zero DESPRE, atunci este relevat nu numai de a doua dintre formulele (1.7), ci și de egalitatea elementară verificabilă A + 0 = 0 + A = A. În concluzie, observăm că conceptul de matrice zero poate fi introdus și pentru matrici nepătrate (zero se numește orice matrice, toate elementele care sunt egale cu zero). Matrici de bloc Să presupunem că o matrice A = || a ij || folosind linii orizontale și verticale, este împărțit în celule dreptunghiulare separate, fiecare dintre acestea fiind o matrice de dimensiuni mai mici și se numește bloc al matricei originale. În acest caz, devine posibil să se ia în considerare matricea originală A ca o matrice nouă (așa-numita bloc). A = || A a b ||, ale căror elemente sunt blocurile indicate. Notăm aceste elemente cu majuscule pentru a sublinia că sunt, în general, matrici și nu numere și (ca elementele numerice obișnuite) oferim doi indici, primul indicând numărul liniei „bloc”, iar al doilea. - numărul coloanei „bloc” ». De exemplu, o matrice poate fi considerată ca o matrice bloc ale căror elemente sunt următoarele blocuri: Un fapt remarcabil este că principalele operații cu matrici bloc sunt efectuate după aceleași reguli prin care se realizează cu matrice numerice obișnuite, doar blocurile acționând ca elemente. Conceptul de determinant. Luați în considerare o matrice pătrată arbitrară de orice ordin P: A= Cu fiecare astfel de matrice asociem o caracteristica numerica bine definita, numita determinant, corespunzatoare acestei matrice. Dacă comanda n matricea (1.7) este egală cu unu, atunci această matrice este formată dintr-un element și eu j determinant de ordinul întâi corespunzător unei astfel de matrice, vom numi valoarea acestui element. atunci determinantul de ordinul doi corespunzător unei astfel de matrice este numărul egal cu a 11 la 22 - a 12 la 21și notat cu unul dintre simbolurile: Deci, prin definiție Formula (1.9) este o regulă pentru construirea unui determinant de ordinul doi din elementele matricei corespunzătoare. Formularea verbală a acestei reguli este următoarea: determinantul de ordinul doi corespunzător matricei (1.8) este egal cu diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală a acestei matrice și produsul elementelor de pe diagonala ei secundară. Determinanții de ordinul doi și superior sunt utilizați pe scară largă în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Să ne uităm la modul în care sunt efectuate operații cu matrice în sistemul MathCad
. Cele mai simple operații ale algebrei matriceale sunt implementate în MathCad sub formă de operatori. Scrierea operatorilor este cât mai apropiată ca înțeles de acțiunea lor matematică. Fiecare operator este exprimat printr-un simbol corespunzător. Să luăm în considerare operațiile cu matrice și vectori în MathCad 2001. Vectorii sunt un caz special de matrici de dimensiune n x 1, prin urmare, toate aceleași operații ca și pentru matrice sunt valabile pentru ele, cu excepția cazului în care sunt specificate restricții (de exemplu, unele operații sunt aplicabile numai matricelor pătrate n x n). Unele acțiuni sunt valabile numai pentru vectori (de exemplu, produsul scalar), iar unele, în ciuda aceleiași ortografii, acționează diferit asupra vectorilor și matricelor. q După apăsarea butonului OK, se deschide un câmp pentru introducerea elementelor matricei. Pentru a introduce un element de matrice, plasați cursorul în poziția marcată și introduceți un număr sau o expresie de la tastatură. Pentru a efectua orice operație folosind bara de instrumente, trebuie să: q selectați matricea și faceți clic pe butonul de operare din panou, q sau faceți clic pe butonul din panou și introduceți numele matricei în poziția marcată. Meniul „Simboluri” conține trei operații - transpune, inversiune, determinant. Aceasta înseamnă, de exemplu, că puteți calcula determinantul unei matrice rulând comanda Simboluri/Matrice/Determinant. MathCAD stochează numărul primului rând (și primei coloane) a matricei în variabila ORIGIN. În mod implicit, numărarea începe de la zero. În notația matematică, este mai frecvent să se numere de la 1. Pentru ca MathCAD să numere numerele de rând și coloane de la 1, trebuie să setați valoarea variabilei ORIGIN:=1. Funcțiile concepute pentru lucrul cu probleme de algebră liniară sunt colectate în secțiunea „Vectori și matrici” din dialogul „Inserare funcție” (vă reamintim că este apelată de butonul din panoul „Standard”). Principalele funcții vor fi descrise mai târziu. Transpune Informații conexe. Acest subiect va acoperi operații precum adunarea și scăderea matricelor, înmulțirea unei matrice cu un număr, înmulțirea unei matrice cu o matrice și transpunerea unei matrice. Toate simbolurile folosite pe această pagină sunt preluate din subiectul anterior. Suma $A+B$ a matricelor $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se numește matrice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pentru toate $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline( 1,n) $. O definiție similară este introdusă pentru diferența de matrice: Diferența dintre matricele $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times n)=( c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1, n)$. Explicație pentru intrarea $i=\overline(1,m)$: show\hide Notația „$i=\overline(1,m)$” înseamnă că parametrul $i$ variază de la 1 la m. De exemplu, notația $i=\overline(1,5)$ indică faptul că parametrul $i$ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5. Este de remarcat faptul că operațiile de adunare și scădere sunt definite numai pentru matrice de aceeași dimensiune. În general, adunarea și scăderea matricelor sunt operații clare intuitiv, deoarece ele înseamnă în esență doar însumarea sau scăderea elementelor corespunzătoare. Exemplul nr. 1 Sunt date trei matrice: $$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$ Este posibil să găsim matricea $A+F$? Găsiți matrice $C$ și $D$ dacă $C=A+B$ și $D=A-B$. Matricea $A$ conține 2 rânduri și 3 coloane (cu alte cuvinte, dimensiunea matricei $A$ este $2\xtime 3$), iar matricea $F$ conține 2 rânduri și 2 coloane. Dimensiunile matricelor $A$ și $F$ nu se potrivesc, așa că nu le putem adăuga, adică. operația $A+F$ nu este definită pentru aceste matrici. Dimensiunile matricelor $A$ și $B$ sunt aceleași, adică. Datele matricei conțin un număr egal de rânduri și coloane, astfel încât operația de adăugare este aplicabilă acestora. $$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$ Să găsim matricea $D=A-B$: $$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)-\left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$ Răspuns: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$. Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ cu numărul $\alpha$ este matricea $B_(m\times n)=(b_(ij))$, unde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1,n)$. Mai simplu spus, înmulțirea unei matrice cu un anumit număr înseamnă înmulțirea fiecărui element dintr-o matrice dată cu acel număr. Exemplul nr. 2 Matricea este dată: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Găsiți matrice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ și $-A$. $$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matrice) (ccc) 3\cdot(-1) și 3\cdot(-2) și 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 și 3\cdot 9 și 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$ Notația $-A$ este o notație scurtă pentru $-1\cdot A$. Adică, pentru a găsi $-A$ trebuie să înmulțiți toate elementele matricei $A$ cu (-1). În esență, aceasta înseamnă că semnul tuturor elementelor matricei $A$ se va schimba în opus: $$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ stânga(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$ Răspuns: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$. Definiția acestei operațiuni este greoaie și, la prima vedere, neclară. Prin urmare, mai întâi voi indica o definiție generală, apoi vom analiza în detaliu ce înseamnă aceasta și cum să lucrăm cu ea. Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ de la matricea $B_(n\times k)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times k )=(c_( ij))$, pentru care fiecare element $c_(ij)$ este egal cu suma produselor elementelor corespondente ale rândului i al matricei $A$ de elementele j -a coloană a matricei $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$ Să ne uităm la înmulțirea matricei pas cu pas folosind un exemplu. Cu toate acestea, ar trebui să rețineți imediat că nu toate matricele pot fi multiplicate. Dacă dorim să înmulțim matricea $A$ cu matricea $B$, atunci trebuie mai întâi să ne asigurăm că numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $B$ (astfel de matrici sunt adesea numite ne-am înțeles asupra). De exemplu, matricea $A_(5\times 4)$ (matricea conține 5 rânduri și 4 coloane) nu poate fi înmulțită cu matricea $F_(9\times 8)$ (9 rânduri și 8 coloane), deoarece numărul de coloane ale matricei $A $ nu este egal cu numărul de rânduri ale matricei $F$, adică. $4\neq 9$. Dar puteți înmulți matricea $A_(5\times 4)$ cu matricea $B_(4\times 9)$, deoarece numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $ B$. În acest caz, rezultatul înmulțirii matricelor $A_(5\times 4)$ și $B_(4\times 9)$ va fi matricea $C_(5\times 9)$, care conține 5 rânduri și 9 coloane: Exemplul nr. 3 Matrici date: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matrice) \right)$ și $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 și 3 \\ 6 și 20 \\ 7 și 0 \\ 12 și -4 \end (matrice) \right) $. Găsiți matricea $C=A\cdot B$. Mai întâi, să determinăm imediat dimensiunea matricei $C$. Deoarece matricea $A$ are dimensiunea $3\x 4$, iar matricea $B$ are dimensiunea $4\x 2$, atunci dimensiunea matricei $C$ este: $3\x 2$: Deci, ca rezultat al produsului matricelor $A$ și $B$, ar trebui să obținem o matrice $C$, formată din trei rânduri și două coloane: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) și c_( 12) \\ c_(21) și c_(22) \\ c_(31) și c_(32) \end(array) \right)$. Dacă desemnarea elementelor ridică întrebări, atunci puteți privi subiectul anterior: „Matrice. Tipuri de matrice. Termeni de bază”, la începutul căruia este explicată desemnarea elementelor matriceale. Scopul nostru: să găsim valorile tuturor elementelor matricei $C$. Să începem cu elementul $c_(11)$. Pentru a obține elementul $c_(11)$, trebuie să găsiți suma produselor elementelor din primul rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$: Pentru a găsi elementul $c_(11)$ în sine, trebuie să înmulțiți elementele primului rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei $B$, adică. primul element la primul, al doilea la al doilea, al treilea la al treilea, al patrulea la al patrulea. Rezumam rezultatele obtinute: $$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$ Să continuăm soluția și să găsim $c_(12)$. Pentru a face acest lucru, va trebui să înmulțiți elementele primului rând al matricei $A$ și a celei de-a doua coloane a matricei $B$: Similar cu precedenta, avem: $$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$ Toate elementele primului rând al matricei $C$ au fost găsite. Să trecem la a doua linie, care începe cu elementul $c_(21)$. Pentru a-l găsi, va trebui să înmulți elementele celui de-al doilea rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$: $$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$ Găsim următorul element $c_(22)$ înmulțind elementele celui de-al doilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$: $$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$ Pentru a găsi $c_(31)$, înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele primei coloane a matricei $B$: $$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$ Și în sfârșit, pentru a găsi elementul $c_(32)$, va trebui să înmulți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$: $$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$ Toate elementele matricei $C$ au fost găsite, tot ce rămâne este să scrieți că $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( matrice) \right)$ . Sau, pentru a scrie integral: $$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$ Răspuns: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$. Apropo, adesea nu există niciun motiv pentru a descrie în detaliu locația fiecărui element al matricei rezultate. Pentru matricele a căror dimensiune este mică, puteți face acest lucru: $$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 și 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) și 6\cdot(9)+3\cdot(90) ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 și 324 \\ -56 și -333 \end(array) \right) $$ De asemenea, este de remarcat faptul că înmulțirea matricei este necomutativă. Aceasta înseamnă că în cazul general $A\cdot B\neq B\cdot A$. Numai pentru unele tipuri de matrice, care sunt numite permutabil(sau naveta), egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ este adevărată. Pe baza necomutativității înmulțirii, trebuie să indicăm exact cum înmulțim expresia cu o anumită matrice: în dreapta sau în stânga. De exemplu, expresia „înmulțiți ambele părți ale egalității $3E-F=Y$ cu matricea $A$ din dreapta” înseamnă că doriți să obțineți următoarea egalitate: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$. Transpusă față de matricea $A_(m\times n)=(a_(ij))$ este matricea $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pentru elementele care $a_(ij)^(T)=a_(ji)$. Mai simplu spus, pentru a obține o matrice transpusă $A^T$, trebuie să înlocuiți coloanele din matricea originală $A$ cu rândurile corespunzătoare conform acestui principiu: a existat un prim rând - va fi o primă coloană ; a existat un al doilea rând - va fi o a doua coloană; a fost un al treilea rând - va fi o a treia coloană și așa mai departe. De exemplu, să găsim matricea transpusă în matricea $A_(3\times 5)$: În consecință, dacă matricea originală a avut o dimensiune de $3\times 5$, atunci matricea transpusă are o dimensiune de $5\times 3$. Aici se presupune că $\alpha$, $\beta$ sunt niște numere și $A$, $B$, $C$ sunt matrici. Pentru primele patru proprietăți am indicat nume; restul pot fi denumite prin analogie cu primele patru. Curs 1. „Matrici și operații de bază asupra acestora. Determinanți
Definiție.
Matrice mărimea m
n, Unde m- numărul de linii, n- numărul de coloane, numit tabel de numere dispuse într-o anumită ordine. Aceste numere sunt numite elemente de matrice. Locația fiecărui element este determinată în mod unic de numărul rândului și coloanei la intersecția cărora se află. Elementele matricei sunt desemnateA ij, Unde i- numărul rândului și j- numărul coloanei. A = Operații de bază pe matrice.
O matrice poate consta fie dintr-un rând, fie dintr-o coloană. În general, o matrice poate consta chiar și dintr-un singur element. Definiție.
Dacă numărul de coloane ale matricei este egal cu numărul de rânduri (m=n), atunci matricea se numește pătrat.
Definiție.
Vizualizare matrice: numit matrice de identitate.
Definiție.
Dacă A
mn
=
A
nm
, atunci matricea este numită simetric.
Exemplu. Definiție.
Matrice pătrată a formei Adunare si scadere matricele se reduce la operațiile corespunzătoare asupra elementelor lor. Cea mai importantă proprietate a acestor operații este că ele definit numai pentru matrice de aceeași dimensiune. Astfel, este posibil să se definească operații de adunare și scădere a matricei: Definiție.
Suma (diferența) matrices este o matrice ale cărei elemente sunt, respectiv, suma (diferența) elementelor matricelor originale. c ij = a ij
b ij C = A + B = B + A. Operațiune înmulțire (împărțire) matricea de orice dimensiune cu un număr arbitrar se reduce la înmulțirea (împărțirea) fiecărui element al matricei cu acest număr. (A+B) = A B A( ) = A A Exemplu. Date matrice A = 2A = Operația de înmulțire a matricei.
Definiție:
Munca matrices este o matrice ale cărei elemente pot fi calculate folosind următoarele formule: A
B =
C;
Din definiția de mai sus este clar că operația de înmulțire a matricelor este definită numai pentru matrice numărul de coloane al primei dintre care este egal cu numărul de rânduri al celui de-al doilea.
Proprietățile operației de înmulțire a matricei.
1) Înmulțirea matriceinu comutativ
, adică AB VA chiar dacă ambele produse sunt definite. Totuși, dacă pentru orice matrice relația AB = BA este satisfăcută, atunci se numesc astfel de matricipermutabil.
Cel mai tipic exemplu este
o matrice care comută cu orice altă matrice de aceeași dimensiune. Numai matricele pătrate de același ordin pot fi permutabile. Evident, pentru orice matrice este valabilă următoarea proprietate: A
O =
O;
O
A =
O,
unde O – zero matrice. 2) Operația de înmulțire a matricei asociativ, acestea. dacă produsele AB și (AB)C sunt definite, atunci BC și A(BC) sunt definite, iar egalitatea este valabilă: (AB)C=A(BC). 3) Operația de înmulțire a matricei distributivîn raport cu adaos, adică dacă expresiile A(B+C) și (A+B)C au sens, atunci în consecință: (A + B)C = AC + BC. 4) Dacă produsul AB este definit, atunci pentru orice număr
următorul raport este corect: (AB) = (
A)
B =
A(
B).
5) Dacă produsul AB este definit, atunci produsul B T A T este definit și egalitatea este valabilă: (AB) T = B T A T, unde indicele T denotă transpus matrice. 6) De asemenea, rețineți că pentru orice matrice pătrată det (AB) = detA detB. Ce s-a întâmplat det va fi discutat mai jos. Definiție
.
Matricea B se numește transpus matricea A și trecerea de la A la B transpunere, dacă elementele fiecărui rând al matricei A sunt scrise în aceeași ordine în coloanele matricei B. A = cu alte cuvinte, b ji = a ij . Ca o consecință a proprietății anterioare (5), putem scrie că: (ABC ) T = C T B T A T , cu condiția ca produsul matricelor ABC să fie definit. Exemplu.
Date matrice A = A T =
C =
Exemplu. Aflați produsul matricelor A = și B = AB = VA = Exemplu. Aflați produsul matricelor A= AB = Determinanți(determinanți). Definiție.
Determinant matrice pătrată A= det A = M 1 la– determinant al matricei obținute din cea originală prin ștergerea primului rând și a coloanei a k-a. Trebuie remarcat faptul că determinanții au doar matrici pătrate, adică. matrice în care numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane. F det A = În general, determinantul poate fi calculat din orice rând sau coloană a unei matrice, adică formula este corecta: detA = Evident, diferite matrice pot avea aceiași determinanți. Determinantul matricei de identitate este 1. Pentru matricea specificată A se numește numărul M 1k minor suplimentar element de matrice a 1 k . Astfel, putem concluziona că fiecare element al matricei are propriul său minor suplimentar. Minori suplimentari există numai în matrice pătrată. Definiție.
Minor suplimentar a unui element arbitrar al unei matrice pătrate a ij este egal cu determinantul matricei obținut din cel original prin ștergerea rândului i și coloanei j. Proprietatea 1.
O proprietate importantă a determinanților este următoarea relație: det A = det A T ; Proprietate
2.
det (A
B) = det A
det B. Proprietatea 3.
det (AB) =
detA
detB Proprietatea 4.
Dacă schimbați oricare două rânduri (sau coloane) într-o matrice pătrată, determinantul matricei își va schimba semnul fără a schimba valoarea absolută. Proprietatea 5.
Când înmulțiți o coloană (sau un rând) a unei matrice cu un număr, determinantul acesteia este înmulțit cu acel număr. Proprietatea 6.
Dacă în matricea A rândurile sau coloanele sunt dependente liniar, atunci determinantul său este egal cu zero. Definiție:
Se numesc coloanele (rândurile) unei matrice dependent liniar, dacă există o combinație liniară a acestora egală cu zero care are soluții non-triviale (non-zero). Proprietatea 7.
Dacă o matrice conține o coloană zero sau un rând zero, atunci determinantul ei este zero. (Această afirmație este evidentă, deoarece determinantul poate fi calculat precis prin rândul sau coloana zero.) Proprietatea 8.
Determinantul unei matrice nu se va modifica dacă elementele unui alt rând (coloană) sunt adăugate (scăzute) elementelor unuia dintre rândurile (coloanelor) ale acesteia, înmulțite cu orice număr care nu este egal cu zero. Proprietatea 9.
Dacă următoarea relație este adevărată pentru elementele oricărui rând sau coloană a matricei:d
=
d
1
d
2
,
e
=
e
1
e
2
,
f
= det(AB).
Metoda 1: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26. a 2-a metoda: AB =
– 152 = -26.
Matrici, concepte de bază. O matrice este un tabel dreptunghiular A, format din elementele unui anumit set și format din m rânduri și n coloane. Matrice pătrată - unde m=n. Rând (vector rând) - matricea este formată dintr-un rând. Coloană (vector coloană) - matricea este formată dintr-o coloană. Matrice transpusă - O matrice obținută din matricea A prin înlocuirea rândurilor cu coloane. O matrice diagonală este o matrice pătrată în care toate elementele care nu se află pe diagonala principală sunt egale cu zero. Acțiuni asupra matricelor. 1) Înmulțirea și împărțirea unei matrice cu un număr. Produsul matricei A și numărului α se numește Matrice Axα, ale cărei elemente se obțin din elementele matricei A prin înmulțirea cu numărul α. Exemplu: 7xA, , 2) Înmulțirea matricei. Operația de înmulțire a două matrice este introdusă numai în cazul în care numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua matrice. Exemplu: ,, АхВ= Proprietățile înmulțirii matriceale: A*(B*C)=(A*B)*C; A * (B + C) = AB + AC (A+B)*C=AC+BC; a(AB) = (aA)B, (A+B) T =A T +B T (AB) T =B T A T 3) Adunare, scădere. Suma (diferența) matricelor este o matrice ale cărei elemente sunt, respectiv, suma (diferența) elementelor matricelor originale. c ij = a ij b ij C = A + B = B + A. Continuitatea funcțiilor într-un punct, pe un interval, pe un segment. Punctele de întrerupere ale funcțiilor și clasificarea lor. O functie f(x), definita intr-o vecinatate a unui anumit punct x 0, se numeste continua in punctul x 0 daca limita functiei si valoarea ei in acest punct sunt egale, i.e. Funcția f(x) se numește continuă în punctul x 0 dacă pentru orice număr pozitiv e>0 există un număr D>0 astfel încât pentru orice x care îndeplinește condiția inegalitatea adevărată Funcția f(x) se numește continuă în punctul x = x 0 dacă incrementul funcției în punctul x 0 este o valoare infinitezimală. f(x) =f(x 0) +a(x) unde a(x) este infinitezimal la x®x 0. Proprietățile funcțiilor continue. 1) Suma, diferența și produsul funcțiilor continue în punctul x 0 este o funcție continuă în punctul x 0. 2) Coeficientul a două funcții continue este o funcție continuă cu condiția ca g(x) să nu fie egal cu zero în punctul x 0. 3) Suprapunerea funcțiilor continue este o funcție continuă. Această proprietate poate fi scrisă după cum urmează: Dacă u=f(x),v=g(x) sunt funcții continue în punctul x = x 0, atunci funcția v=g(f(x)) este de asemenea o funcție continuă în acest punct. Funcţie f(X) se numește continuu pe interval(A,b), dacă este continuă în fiecare punct al acestui interval. Proprietățile funcțiilor continue pe un interval. O funcție care este continuă pe un interval este mărginită pe acest interval, adică. condiția –M f(x) M este îndeplinită pe segment. Dovada acestei proprietăți se bazează pe faptul că o funcție care este continuă în punctul x 0 este mărginită într-o anumită vecinătate a acesteia, iar dacă împărțiți segmentul într-un număr infinit de segmente care sunt „contractate” la punctul x 0, atunci se formează o anumită vecinătate a punctului x 0. O funcție care este continuă pe segment ia cele mai mari și cele mai mici valori pe ea. Acestea. există valori x 1 și x 2 astfel încât f(x 1) = m, f(x 2) = M și m f(x) M Să notăm aceste valori mai mari și cele mai mici pe care funcția le poate lua pe un segment de mai multe ori (de exemplu, f(x) = sinx). Diferența dintre cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un interval se numește oscilația funcției pe un interval. O funcție care este continuă pe interval ia toate valorile dintre două valori arbitrare pe acest interval. Dacă funcția f(x) este continuă în punctul x = x 0, atunci există o vecinătate a punctului x 0 în care funcția își păstrează semnul. Dacă o funcție f(x) este continuă pe un segment și are valori de semne opuse la capetele segmentului, atunci există un punct în interiorul acestui segment în care f(x) = 0. Ar putea fi util să citiți:
(1.1) + 
= 
Unde (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)
(1.5)
O= 
(1.7)
(1.9)
În dialogul care apare, specificați numărul de rânduri și coloane ale matricei.
Fig.2 Matrice de transpunere
În MathCAD puteți să adăugați matrici și să le scădeți una de la alta. Simbolurile utilizate pentru acești operatori sunt <+>
sau <->
în consecinţă. Matricele trebuie să aibă aceeași dimensiune, altfel va fi generat un mesaj de eroare. Fiecare element al sumei a două matrice este egal cu suma elementelor corespunzătoare comenzilor-matrice (exemplu în Fig. 3).
Pe lângă adăugarea de matrice, MathCAD acceptă operația de adăugare a unei matrice cu o cantitate scalară, de exemplu. număr (exemplu în Fig. 4). Fiecare element al matricei rezultate este egal cu suma elementului corespunzător al matricei originale și o cantitate scalară.
Pentru a introduce un simbol de înmulțire, trebuie să apăsați tasta asterisc<*>sau utilizați bara de instrumente Matrice prin apăsarea unui buton de pe acesta Produs punctual (multiplicare)(Fig. 1). Înmulțirea matricei este notată implicit cu un punct, așa cum se arată în exemplul din Figura 6. Simbolul înmulțirii matricei poate fi ales în același mod ca în expresiile scalare.
În Fig. 7. A doua linie a acestui exemplu arată cum arată formula atunci când selectați să afișați operatorul de înmulțire Fără spațiu (Împreună). Totuși, același operator de multiplicare acționează diferit asupra a doi vectori .
Adunarea și scăderea matricelor.
Înmulțirea unei matrice cu un număr.
Produsul a două matrice.
Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.
= E
,
- matrice simetrică
numit diagonală matrice.
; B= 
, găsiți 2A + B.
, 2A + B = 
.
.
A E = E A = A
A(B + C) = AB + AC
; B = A T = 
;
, B = , C = 
si numarul = 2. Aflați A T B+ C.
;
A T B =
=
=
;
; A T B+ C = +
=
.
.
= 
.
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
, B = 
= 
= 
.
este un număr care poate fi calculat din elementele unei matrice folosind formula:
, unde (1)
formula (1) vă permite să calculați determinantul unei matrice din primul rând; formula pentru calcularea determinantului din prima coloană este, de asemenea, valabilă:
(2)
, i = 1,2,…,n. (3)
,
det (AB) = 7
18 - 8
19 = 126 –
.
.Intrebarea 2.
.