De ce apare amortizarea oscilațiilor? Oscilații amortizate

INFORMAȚII GENERALE

Oscilații se numesc mişcări sau procese care se caracterizează printr-o anumită repetabilitate în timp. Se numesc oscilații gratuit, dacă apar datorită energiei inițial transmise în absența ulterioară a influențelor externe asupra sistemului oscilator. Cel mai simplu tip de oscilații sunt oscilațiile armonice - oscilațiile în care mărimea oscilatoare se modifică în timp conform legii sinusului sau cosinusului.

Ecuația diferențială a oscilațiilor armonice are forma:

unde este mărimea oscilantă și frecvența ciclică.

este soluția acestei ecuații. Aici este amplitudinea și este faza inițială.

Faza de oscilație.

Amplitudinea este valoarea maximă a unei mărimi oscilante.

Perioada de oscilație este perioada de timp prin care se repetă mișcarea corpului. Faza de oscilație crește pe parcursul perioadei. . , - numărul de oscilații.

Frecvența de oscilație este numărul de oscilații complete efectuate pe unitatea de timp. . . Măsurată în Herți (Hz).

Frecvența ciclică este numărul de oscilații efectuate pe secundă. . Unitate .

Faza de oscilație este o mărime sub semnul cosinus și care caracterizează starea sistemului oscilator în orice moment.

Faza inițială - faza oscilațiilor în momentul inițial de timp. Faza și faza inițială sunt măsurate în radiani ().

Oscilații amortizate libere- oscilații, a căror amplitudine scade în timp din cauza pierderilor de energie de către sistemul oscilator real. Cel mai simplu mecanism de reducere a energiei de vibrație este conversia acesteia în căldură datorită frecării în sistemele oscilatorii mecanice, precum și pierderile ohmice și radiația de energie electromagnetică în sistemele oscilatorii electrice.

- scădere logaritmică de amortizare.

Magnitudinea N e este numărul de oscilații efectuate în timpul în care amplitudinea scade în e o singura data. Decrementul de amortizare logaritmică este o valoare constantă pentru un sistem oscilator dat.

Pentru a caracteriza un sistem oscilator se utilizează conceptul de factor de calitate Q, care pentru valori mici ale decrementului logaritmic este egal cu

.

Factorul de calitate este proporțional cu numărul de oscilații efectuate de sistem în timpul de relaxare.

DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE FRICAȚIE FOLOSIND UN PENDUL INTLIED

Fundamentarea teoretică a metodei de determinare a coeficientului de frecare

Un pendul înclinat este o minge suspendată de un fir lung și situată pe un plan înclinat.

Dacă mingea este mutată din poziția sa de echilibru (axa O.O. 1) la unghiul a, apoi eliberați, apoi pendulul va oscila. În acest caz, mingea se va rostogoli de-a lungul unui plan înclinat în apropierea poziţiei de echilibru (Fig. 1, a). Va exista o forță de frecare de rulare între minge și planul înclinat. Ca urmare, oscilațiile pendulului se vor estompa treptat, adică se va observa o scădere a amplitudinii oscilațiilor în timp.

Se poate presupune că forța de frecare și coeficientul de frecare de rulare pot fi determinate din magnitudinea amortizarii vibrațiilor.

Să derivăm o formulă care raportează scăderea amplitudinii oscilației cu coeficientul de frecare de rulare m. Când o bilă se rostogolește de-a lungul unui plan, forța de frecare funcționează. Acest lucru reduce energia totală a mingii. Energia totală este formată din energii cinetice și potențiale. În acele poziții în care pendulul este deviat maxim de la poziția de echilibru, viteza sa și, prin urmare, energia cinetică, este zero.

Aceste puncte se numesc puncte de cotitură. În ele, pendulul se oprește, se întoarce și se întoarce. În momentul rotației, energia pendulului este egală cu energia potențială, prin urmare, scăderea energiei potențiale a pendulului pe măsură ce se deplasează de la un punct de cotitură la altul este egală cu munca forței de frecare pe cale. între punctele de cotitură.

Lăsa A- punctul de cotitură (Fig. 1, a). În această poziție, firul pendulului formează un unghi a cu axa O.O. 1. Dacă nu ar exista frecare, atunci după jumătatea perioadei pendulul ar fi în punct N, iar unghiul de deviere ar fi egal cu a. Dar din cauza frecării, mingea nu va ajunge puțin la punct Nși se oprește într-un punct ÎN Acesta va fi noul punct de cotitură. În acest moment unghiul firului Cu axă O.O. 1 va fi egal cu . Pe jumătate din perioadă, unghiul de rotație al pendulului a scăzut cu . Punct ÎN situată puțin mai jos decât punctul A,şi deci energia potenţială a pendulului în punct ÎN mai puțin decât la un moment dat A.În consecință, pendulul a pierdut înălțime la deplasarea din punct A exact ÎN.

Să găsim legătura dintre pierderea unghiului și pierderea înălțimii. Pentru a face acest lucru, proiectăm punctele AȘi B pe axă O.O. 1 (vezi Fig. 1, a). Acestea vor fi punctele A 1 și B 1 respectiv. Evident, lungimea segmentului A 1 ÎN 1

unde este lungimea firului.

Din moment ce axa O.O. 1 este înclinat la un unghi față de verticală, proiecția segmentului pe axa verticală este pierderea înălțimii (Fig. 1, b):

În acest caz, modificarea energiei potențiale a pendulului atunci când acesta se mișcă din poziție A a pozitiona ÎN este egal cu:

, (3)

Unde m- masa mingii;

g- accelerarea gravitației.

Să calculăm munca efectuată de forța de frecare.

Forța de frecare este determinată de formula:

Calea parcursă de minge în jumătatea perioadei de oscilație a pendulului este egală cu lungimea arcului. AB:

.

Lucru efectuat de forța de frecare pe traseu:

Dar, prin urmare, luând în considerare ecuațiile (2), (3), (4) rezultă

. (6)

Expresia (6) este simplificată semnificativ ținând cont de faptul că unghiul este foarte mic (aproximativ 10 -2 radiani). Asa de, . Dar . De aceea .

Astfel, formula (6) ia forma:

,

. (7)

Din formula (7) este clar că pierderea unghiului pe o jumătate de perioadă este determinată de coeficientul de frecare m și unghiul a. Cu toate acestea, este posibil să găsiți condiții în care a nu depinde de unghi. Să luăm în considerare faptul că coeficientul de frecare la rulare este mic (aproximativ 10 -3). Dacă luăm în considerare amplitudini suficient de mari ale oscilației pendulului a, astfel încât , atunci termenul din numitorul formulei (7) poate fi neglijat și apoi:

.

Pe de altă parte, să fie unghiul a suficient de mic încât să putem presupune că . Apoi, pierderea unghiului pentru jumătate din perioada de oscilație va fi determinată de formula:

. (8)

Formula (8) este valabilă dacă:

. (9)

Datorită faptului că m este de ordinul 10 -2, inegalitatea (9) este satisfăcută prin unghiuri a de ordinul a 10 -2 -10 -1 radiani.

Deci, în timpul unei oscilații complete, pierderea unghiului va fi:

,

si pentru n fluctuatii - .

Formula (10) dă mod convenabil determinarea coeficientului de frecare la rulare. Este necesar să se măsoare scăderea unghiului Da n pentru 10-15 oscilații, apoi calculați m folosind formula (10).

În formula (10), valoarea lui Da este exprimată în radiani. Pentru a utiliza valorile Da în grade, formula (10) trebuie modificată:

. (11)

Să aflăm semnificația fizică a coeficientului de frecare la rulare. Să luăm în considerare mai întâi o problemă mai generală. Masa mingii mși momentul de inerție ICîn raport cu axa care trece prin centrul de masă, se deplasează de-a lungul suprafață netedă(Fig. 2).

Orez. 2

Spre centrul de masă C forța aplicată îndreptată de-a lungul axei bouși care este o funcție a coordonatei X. Forța de frecare acționează asupra corpului de la suprafață F TR. Fie momentul de forță de frecare în jurul axei care trece prin centru C minge, egală M TR.

Ecuațiile de mișcare ale mingii au în acest caz forma:

; (12)

, (13)

Unde - viteza centrului de masă;

w - viteza unghiulara.

Există patru necunoscute în ecuațiile (12) și (13): ,w, F TR, M TR . În general, sarcina nu este definită.

Să presupunem că:

1) corpul se rostogolește fără să alunece. Apoi:

Unde R- raza bilei;

2) corpul și planul sunt absolut rigide, adică corpul nu este deformat, ci atinge planul la un moment dat DESPRE(contact punctual), atunci există o relație între momentul forței de frecare și forța de frecare:

. (15)

Luând în considerare formulele (14) și (15) din ecuațiile (12) și (13), obținem expresia forței de frecare:

. (16)

Expresia (16) nu conține coeficientul de frecare m, care este determinat proprietăți fizice suprafețele de contact ale mingii și planului, cum ar fi rugozitatea sau tipul de materiale din care sunt fabricate bila și planul. Acest rezultat este o consecință directă a idealizării acceptate reflectate de conexiunile (14) și (15). În plus, este ușor de demonstrat că în modelul adoptat forța de frecare nu funcționează. Într-adevăr, să înmulțim ecuația (12) cu , iar ecuația (13) - pe w. Având în vedere că

Și

și adăugând expresiile (12) și (13), obținem

Unde W(X) - energia potenţială a mingii în câmpul de forţă F(X). Trebuie remarcat faptul că

Dacă luăm în considerare formulele (14) și (15), atunci partea dreaptă a egalității (17) devine zero. În partea stângă a egalității (17) se află derivata în timp a energiei totale a sistemului, care constă din energia cinetică a mișcării de translație a mingii. , energia cinetică a mișcării de rotație și energie potențială W(X). Aceasta înseamnă că energia totală a sistemului este o valoare constantă, adică. Forța de frecare nu funcționează.

Evident, acest rezultat oarecum ciudat este și o consecință a idealizării acceptate. Aceasta indică faptul că idealizarea acceptată nu corespunde realității fizice. De fapt, pe măsură ce mingea se mișcă, ea interacționează cu avionul, astfel încât energia sa mecanică trebuie să scadă, ceea ce înseamnă că conexiunile (14) și (15) pot fi adevărate doar în măsura în care disiparea energiei poate fi neglijată.

Este absolut clar că în în acest caz, O astfel de idealizare nu poate fi acceptată, deoarece scopul nostru este de a determina coeficientul de frecare din modificarea energiei pendulului. Prin urmare, vom considera ipoteza rigidității absolute a mingii și a suprafeței ca fiind corectă și, prin urmare, conexiunea (15) ca fiind corectă. Totuși, să renunțăm la presupunerea că mingea se mișcă fără să alunece. Vom presupune că există o ușoară alunecare.

Fie viteza punctelor de contact (punctul O din Fig. 2) ale mingii (viteza de alunecare):

. (19)

Apoi, înlocuind în ecuația (17) și ținând cont de condițiile (15) și (20), ajungem la ecuația:

, (21)

din care rezultă clar că rata de disipare a energiei este egală cu puterea forței de frecare. Rezultatul este destul de natural, deoarece... un corp alunecă de-a lungul unei suprafeţe cu viteză Și, asupra ei acționează o forță de frecare, făcând muncă, în urma căreia energia totală a sistemului scade.

Efectuând diferențierea în ecuația (21) și ținând cont de relația (18), obținem ecuația de mișcare a centrului de masă al bilei:

. (22)

Este similar cu ecuația de mișcare a unui punct material cu masă:

, (23)

sub influența forței externe Fși forțele de frecare de rulare:

.

În plus, F TP este forța obișnuită de frecare de alunecare. În consecință, atunci când o minge se rostogolește, forța efectivă de frecare, care se numește forța de frecare de rulare, este pur și simplu forța obișnuită de frecare de alunecare înmulțită cu raportul dintre viteza de alunecare și viteza centrului de masă al corpului. În practică, se observă adesea un caz când forța de frecare de rulare nu depinde de viteza corpului.

Aparent, în acest caz rata de alunecare Și proporțional cu viteza corpului:

În sistemele oscilatorii reale, pe lângă forțele cvasi-elastice, există și forțe de rezistență ale mediului. Prezența forțelor de frecare duce la disiparea energiei și la scăderea amplitudinii vibrațiilor. Prin încetinirea mișcării, forțele de frecare măresc perioada, adică. reduce frecvența de oscilație. Astfel de oscilații nu vor fi armonice.

Se numesc oscilații cu o amplitudine în continuă scădere în timp datorită disipării energiei decolorare . La viteze suficient de mici, forța de frecare este proporțională cu viteza corpului și este îndreptată împotriva mișcării

unde r este coeficientul de frecare, în funcție de proprietățile mediului, de forma și dimensiunea corpului în mișcare. Ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate în prezența forțelor de frecare va avea forma:

sau
(21)

Unde
- coeficient de atenuare,

- frecventa circulara naturala a vibratiilor libere in absenta fortelor de frecare.

Soluția generală a ecuației (21) în cazul atenuărilor mici (
) este:

Diferă de armonica (8) prin faptul că amplitudinea oscilațiilor este:

(23)

este o funcție descrescătoare a timpului și a frecvenței circulare legate de frecvența naturală și coeficientul de atenuare raport:

. (24)

Perioada oscilațiilor amortizate este egală cu:

. (25)

Dependența deplasării X de oscilațiile amortizate este prezentată în Fig. 4.

C gradul de scădere a amplitudinii este determinat de coeficientul de atenuare .

Pe parcursul
amplitudinea (23) scade cu e ≈ de 2,72 ori. De data asta se numeste atenuare naturala timp de relaxare. Prin urmare, coeficientul de amortizare este reciproca timpului de relaxare:

.(26)

Rata de scădere a amplitudinii oscilațiilor se caracterizează prin scădere logaritmică de amortizare. Fie A(t) și A(t+T) amplitudinile a două oscilații succesive corespunzătoare unor momente de timp care diferă cu o perioadă. Apoi relatia:

(27)

numit scăderea amortizarii, care arată de câte ori scade amplitudinea oscilațiilor într-un timp egal cu perioada. Logaritmul natural al acestui raport este:

(28)

numit decrement de amortizare logaritmică. Aici, N e este numărul de oscilații efectuate în timpul în care amplitudinea scade de e ori, adică. în timpul perioadei de relaxare.

Astfel, decrementul de amortizare logaritmică este inversul numărului de oscilații, după care amplitudinea oscilațiilor scade cu un factor de e.

Rata de scădere a energiei sistemului oscilator este caracterizată de factorul de calitate Q. Factorul de calitate al sistemului oscilator- o valoare proporțională cu raportul dintre energia totală E(t) a sistemului oscilator și energia (- E), pierdut în perioada T:

(29)

Energia totală a sistemului oscilator la un moment arbitrar în timp și pentru orice valoare a lui X are forma:

(30)

Deoarece energia este proporțională cu pătratul amplitudinii, energia oscilațiilor amortizate scade proporțional cu mărimea
, poti sa scrii:

. (31)

Apoi, conform definiției, expresia pentru factorul de calitate al sistemului oscilator va avea forma:

Se are în vedere aici că pentru atenuări mici (1): 1 -2   ​​​​2.

În consecință, factorul de calitate este proporțional cu numărul de oscilații N e efectuate de sistem în timpul de relaxare.

Factorul de calitate al sistemelor oscilatoare poate varia foarte mult, de exemplu, factorul de calitate al unui pendul fizic este Q~ 10 2, iar factorul de calitate al unui atom, care este tot un sistem oscilator, ajunge la Q~ 10 8.

În concluzie, observăm că cu un coeficient de amortizare β = ω 0, perioada devine infinită T = ∞ (amortizare critică). Cu o creștere suplimentară a β, perioada T devine imaginară, iar atenuarea mișcării are loc fără oscilații, după cum se spune, aperiodic. Acest caz de mișcare este prezentat în Fig. 5. Atenuarea critică (calmarea) apare după timp minimși este important în instrumentele de măsurare, cum ar fi galvanometrele balistice .

ÎN FORŢAT OSCILAȚII ȘI REZONAnță

Dacă asupra unui corp cu masa m acţionează o forţă elastică F y = -kX, forţa de frecare
și forța periodică externă
, apoi efectuează oscilații forțate. În acest caz, ecuația diferențială a mișcării are forma:

Unde
,
- coeficient de atenuare,
- frecvența naturală a oscilațiilor libere neamortizate ale corpului, F 0 - amplitudine, ω - frecvența forței periodice.

În momentul inițial de timp, munca forței exterioare depășește energia care este cheltuită la frecare (Fig. 6). Energia și amplitudinea vibrațiilor corpului vor crește până când toată energia transmisă de forța externă este cheltuită în întregime pentru a depăși frecarea, care este proporțională cu viteza. Prin urmare, se stabilește un echilibru în care suma energiei cinetice și potențiale este constantă. Această condiție caracterizează starea staționară a sistemului.

În această stare, mișcarea corpului va fi armonică cu o frecvență egală cu frecvența excitației externe, dar din cauza inerției corpului, oscilațiile acestuia vor fi deplasate în fază față de valoarea instantanee a periodicului extern. forta:

X = ACos(ωt + φ). (34)

Spre deosebire de oscilațiile libere, amplitudinea A și faza  ale oscilațiilor forțate nu depind de condițiile inițiale de mișcare, ci vor fi determinate doar de proprietățile sistemului oscilant, de amplitudinea și frecvența forței motrice:

, (35)

. (36)

Se poate observa că amplitudinea și defazarea depind de frecvența forței motrice (Fig. 7, 8).

O trăsătură caracteristică a oscilațiilor forțate este prezența rezonanței. Fenomen o creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate pe măsură ce frecvența forței motrice se apropie de frecvența naturală a oscilațiilor libere neamortizate ale corpului ω 0 se numește rezonanță mecanică . Amplitudinea oscilațiilor corpului la frecvența de rezonanță
atinge valoarea maximă:


(37)

În ceea ce privește curbele de rezonanță (vezi Fig. 7), facem următoarele comentarii. Dacă ω→ 0, atunci toate curbele (vezi și (35)) ajung la aceeași valoare limită diferită de zero
, asa numitul abatere statistică. Dacă ω→ ∞, atunci toate curbele tind asimptotic spre zero.

În condiția de amortizare scăzută (β 2 ‹‹ω 0 2), amplitudinea rezonantă (vezi (37))

(37a)

În această condiție, luăm raportul dintre deplasarea rezonantă și deviația statică:

din care rezultă clar că creşterea relativă a amplitudinii oscilaţiilor la rezonanţă este determinată de factorul de calitate al sistemului oscilator. Aici, factorul de calitate este, în esență, factorul de câștig al răspunsului
sisteme şi cu atenuare scăzută pot atinge valori mari.

Această împrejurare determină importanța enormă a fenomenului de rezonanță în fizică și tehnologie. Este folosit dacă doresc să amplifice vibrațiile, de exemplu, în acustică - pentru a îmbunătăți sunetul instrumentelor muzicale, în ingineria radio - pentru a izola semnalul dorit de multe altele care diferă ca frecvență. Dacă rezonanța poate duce la o creștere nedorită a oscilațiilor, utilizați un sistem cu un factor de calitate scăzut.

OSCILAȚII CONFERENTE

Sursa forței periodice externe poate fi un al doilea sistem oscilator, legat elastic de primul. Ambele sisteme oscilatorii pot acționa unul asupra celuilalt. Deci, de exemplu, cazul a două pendule conectate (Fig. 9).

Sistemul poate efectua atât oscilații în fază (Fig. 9b) cât și antifază (Fig. 9c). Astfel de oscilații se numesc tip normal sau mod normal de oscilații și sunt caracterizate de propria lor frecvență normală. Cu oscilații în fază, deplasarea pendulelor în orice moment X 1 = X 2, iar frecvența ω 1 este exact aceeași cu frecvența unui singur pendul
. Acest lucru se explică prin faptul că arcul ușor este în stare liberă și nu are niciun efect asupra mișcării. Cu oscilații antifazice în orice moment - X 1 = X 2. Frecvența unor astfel de oscilații este mai mare și egală cu
, întrucât arcul, care are rigiditatea k și realizează legătura, este întotdeauna în stare extinsă sau comprimată.

L
Orice stare a sistemului nostru cuplat, inclusiv deplasarea inițială X (Fig. 9a), poate fi reprezentată ca o suprapunere a două moduri normale:

Dacă puneți sistemul în mișcare din starea inițială X 1 = 0,
, X 2 = 2A,
,

atunci deplasările pendulilor vor fi descrise prin expresiile:

În fig. Figura 10 arată modificarea deplasării pendulelor individuale în timp.

Frecvența oscilațiilor pendulelor este egală cu frecvența medie a două moduri normale:

, (39)

iar amplitudinea lor se modifică conform legii unui sinus sau con cu o frecvență mai mică egală cu jumătate din diferența de frecvență a modurilor normale:

. (40)

Se numește o modificare lentă a amplitudinii cu o frecvență egală cu jumătate din diferența de frecvențe a modurilor normale “ bate ” două oscilaţii cu frecvenţe aproape identice. Frecvența „bătăilor” este egală cu diferența de frecvențe ω 1 – ω 2 (și nu jumătate din această diferență), deoarece amplitudinea maximă 2A este atinsă de două ori în perioada corespunzătoare frecvenței

Prin urmare, perioada de bătaie se dovedește a fi egală cu:

(41)

La bătaie, se face schimb de energie între pendule. Cu toate acestea, un schimb complet de energie este posibil numai atunci când ambele mase sunt aceleași și raportul (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) este egal cu un număr întreg. Un lucru de remarcat punct important: Deși pendulele individuale pot face schimb de energie, nu există schimb de energie între modurile normale.

Prezența unor astfel de sisteme oscilante care interacționează între ele și sunt capabile să-și transfere energia unul altuia formează baza mișcării undei.

Un corp de material oscilant plasat într-un mediu elastic poartă cu el și pune în mișcare oscilativă particulele mediului adiacent acestuia. Datorită prezenței legăturilor elastice între particule, vibrațiile se propagă cu o viteză caracteristică unui mediu dat în tot mediul.

Procesul de propagare a vibrațiilor într-un mediu elastic se numește val .

Există două tipuri principale de unde: longitudinale și transversale. În unde longitudinale particulele de mediu oscilează de-a lungul direcției de propagare a undei și în transversal– perpendicular pe direcția de propagare a undei. Propagarea undelor transversale nu este posibilă în orice mediu elastic. O undă elastică transversală este posibilă numai în mediile în care are loc deformarea elastică prin forfecare. De exemplu, numai undele elastice longitudinale (sunetul) se propagă în gaze și lichide.

Se numește locația geometrică a punctelor din mediu la care a ajuns oscilația la un moment dat în timp frontul de val . Frontul de undă separă partea din spațiu deja implicată în procesul undelor de regiunea în care oscilațiile nu au avut loc încă. În funcție de forma frontului, undele sunt împărțite în plane, sferice, cilindrice etc.

Ecuația unei unde plane care se propagă fără pierderi într-un mediu omogen are forma:
, (42)

unde ξ(X,t) este deplasarea particulelor mediului cu coordonata X de la poziția de echilibru la momentul t, A este amplitudinea,
- faza undei,
- frecvența circulară de oscilație a particulelor mediului, v - viteza de propagare a undelor.

Lungime de undă λ este distanța dintre punctele care oscilează cu o diferență de fază de 2π, cu alte cuvinte, lungimea de undă este calea parcursă de orice fază a undei în timpul unei perioade de oscilație:

viteza de fază, adică viteza de propagare a acestei faze:

λ/T (44)

Numărul valului – numărul de lungimi de undă care se încadrează într-o lungime de 2π unități:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Înlocuind aceste notații în (42), ecuația unui plan care călătorește undei monocromatice poate fi reprezentat ca:

(46)

Rețineți că ecuația de undă (46) prezintă periodicitate dublă în coordonate și timp. Într-adevăr, fazele oscilațiilor coincid atunci când coordonatele se modifică cu λ și când timpul se schimbă cu perioada T. Prin urmare, este imposibil să descrii grafic o undă pe un plan. Adesea se înregistrează timpul t și dependența deplasării ξ de coordonata X este prezentată pe grafic, i.e. distribuția instantanee a deplasărilor particulelor medii de-a lungul direcției de propagare a undei (Fig. 11). Diferența de fază Δφ a oscilațiilor punctelor din mediu depinde de distanța ΔХ = Х 2 – Х 1 dintre aceste puncte:

(47)

Dacă unda se propagă opus direcției X, atunci ecuația undei înapoi se va scrie astfel:

ξ (X,t) = АCos(ωt + kX). (48)

Undele stătătoare sunt rezultatul tip special interferența undelor. Ele sunt formate prin suprapunerea a două unde călătoare care se propagă una spre alta cu aceleași frecvențe și amplitudini.

Ecuațiile a două unde plane care se propagă de-a lungul axei X în direcții opuse sunt:

ξ 1 =ASos(ωt – kX)

ξ 2 = ACos(ωt + kX). (49)

Adunând aceste ecuații folosind formula sumei cosinusurilor și ținând cont de faptul că k = 2π / λ, obținem ecuația undei staționare:

. (50)

Multiplicatorul Cos ωt arată că în puncte din mediu are loc o oscilație de aceeași frecvență ω cu o amplitudine
, în funcție de coordonata X a punctului în cauză. În punctele din mediu în care:
, (51)

amplitudinea oscilaţiilor atinge o valoare maximă de 2A. Aceste puncte sunt numite antinoduri.

Din expresia (51) puteți găsi coordonatele antinodurilor:
(52)

În punctele în care
(53) amplitudinea oscilațiilor devine zero. Aceste puncte sunt numite noduri.

Coordonatele nodului:
. (54)

R Distanțele dintre antinodurile vecine și nodurile vecine sunt aceleași și egale cu λ/2. Distanța dintre un nod și un antinod adiacent este λ / 4. La trecerea printr-un nod, multiplicatorul
își schimbă semnul, astfel încât fazele oscilațiilor pe părțile opuse ale nodului diferă prin π, adică. punctele situate pe laturile opuse ale nodului oscileaza in antifaza. Punctele dintre două noduri adiacente oscilează cu amplitudini diferite, dar cu aceleași faze.

Distribuția nodurilor și antinodurilor într-o undă staționară depinde de condițiile care apar la interfața dintre două medii din care are loc reflexia. Dacă unda este reflectată dintr-un mediu mai dens, atunci faza de oscilații în locul unde este reflectată se schimbă în sens opus sau, după cum se spune, jumătate din undă se pierde. Prin urmare, ca urmare a adunării oscilațiilor în direcții opuse, deplasarea la limită este zero, adică. apare un nod (fig. 12). Când o undă este reflectată de la limita unui mediu mai puțin dens, faza oscilațiilor la locul de reflexie rămâne neschimbată și oscilațiile cu aceleași faze se adună la graniță - se obține un antinod.

Într-o undă staționară nu există mișcare de fază, nici propagare a undelor, nici transfer de energie, motiv pentru care se asociază denumirea acestui tip de undă.

1.21. 3OSCILAȚII MORATE, FORȚATE

Ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate și soluția acesteia. Coeficient de atenuare. Pachetă logaritmicătimpul de dezintegrare.Factorul de calitate a oscilațieisistemul corpului.Proces aperiodic. Ecuația diferențială a oscilațiilor forțate și soluția ei.Amplitudinea și faza oscilațiilor forțate. Procesul de stabilire a oscilaţiilor. Cazul rezonanței.Auto-oscilații.

Amortizarea oscilațiilor este o scădere treptată a amplitudinii oscilațiilor în timp, datorită pierderii de energie de către sistemul oscilator.

Oscilațiile naturale fără amortizare sunt o idealizare. Motivele atenuării pot fi diferite. Într-un sistem mecanic, vibrațiile sunt atenuate de prezența frecării. Când toată energia stocată în sistemul oscilator este epuizată, oscilațiile se vor opri. Prin urmare amplitudinea oscilații amortizate scade până devine egal cu zero.

Oscilațiile amortizate, ca și oscilațiile naturale, în sisteme de natură diferită, pot fi considerate dintr-un singur punct de vedere - caracteristici comune. Cu toate acestea, caracteristici precum amplitudinea și perioada necesită redefinire, iar altele necesită adăugare și clarificare în comparație cu aceleași caracteristici pentru oscilațiile naturale neamortizate. Caracteristicile și conceptele generale ale oscilațiilor amortizate sunt următoarele:

    Ecuația diferențială trebuie obținută ținând cont de scăderea energiei vibraționale în timpul procesului de oscilație.

    Ecuația de oscilație este o soluție a unei ecuații diferențiale.

    Amplitudinea oscilațiilor amortizate depinde de timp.

    Frecvența și perioada depind de gradul de atenuare a oscilațiilor.

    Faza și faza inițială au aceeași semnificație ca și pentru oscilațiile continue.

Oscilații mecanice amortizate.

Sistem mecanic : pendul cu arc luând în considerare forțele de frecare.

Forțe care acționează asupra unui pendul :

Forță elastică., unde k este coeficientul de rigiditate a arcului, x este deplasarea pendulului din poziția de echilibru.

Forța de rezistență. Să considerăm forța de rezistență proporțională cu viteza v de mișcare (această dependență este tipică pentru clasa mare forţe de rezistenţă): . Semnul minus arată că direcția forței de rezistență este opusă direcției vitezei corpului. Coeficientul de rezistență r este numeric egal cu forța de rezistență care apare la o viteză unitară a mișcării corpului:

Legea mișcării pendul cu arc - aceasta este a doua lege a lui Newton:

m A = F ex. + F rezistenţă

Având în vedere că ambele , scriem a doua lege a lui Newton sub forma:

. (21.1)

Împărțirea tuturor termenilor ecuației la m, mutându-i pe toți la partea dreapta, primim ecuație diferențială oscilații amortizate:

Să notăm unde β – coeficient de atenuare , , Unde ω 0 – frecvența oscilațiilor libere neamortizate în absența pierderilor de energie în sistemul oscilator.

În noua notație, ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate are forma:

. (21.2)

Aceasta este o ecuație diferențială liniară de ordinul doi.

Această ecuație diferențială liniară este rezolvată prin schimbarea variabilelor. Să reprezentăm funcția x, în funcție de timpul t, sub forma:

.

Să găsim derivatele prima și a doua ale acestei funcții în raport cu timpul, ținând cont că și funcția z este o funcție a timpului:

, .

Să substituim expresiile în ecuația diferențială:

Să prezentăm termeni similari în ecuație și să reducem fiecare termen cu , obținem ecuația:

.

Să notăm cantitatea .

Rezolvarea ecuației sunt funcțiile , .

Revenind la variabila x, obținem formulele pentru ecuațiile oscilațiilor amortizate:

Prin urmare , ecuația oscilațiilor amortizate este o soluție a ecuației diferențiale (21.2):

Frecvență amortizată :

(numai rădăcina reală are sens fizic, prin urmare).

Perioada de oscilații amortizate :

(21.5)

Sensul care a fost pus în conceptul de perioadă pentru oscilațiile neamortizate nu este potrivit pentru oscilațiile amortizate, deoarece sistemul oscilator nu revine niciodată la starea inițială din cauza pierderilor de energie oscilativă. În prezența frecării, vibrațiile sunt mai lente: .

Perioada de oscilații amortizate este perioada minimă de timp în care sistemul trece de două ori de poziția de echilibru într-o direcție.

Pentru sistemul mecanic al unui pendul cu arc avem:

, .

Amplitudinea oscilațiilor amortizate :

Pentru un pendul cu arc.

Amplitudinea oscilațiilor amortizate nu este o valoare constantă, ci se modifică în timp, cu cât mai rapid, cu atât coeficientul β este mai mare. Prin urmare, definiția pentru amplitudine, dată mai devreme pentru oscilațiile libere neamortizate, trebuie schimbată pentru oscilațiile amortizate.

Pentru mici atenuări amplitudinea oscilaţiilor amortizate se numește cea mai mare abatere de la poziția de echilibru într-o perioadă.

Diagrame Graficele de deplasare în funcție de timp și amplitudine în funcție de timp sunt prezentate în figurile 21.1 și 21.2.

Figura 21.1 – Dependența deplasării în timp pentru oscilațiile amortizate.

Figura 21.2 – Dependența amplitudinii de timp pentru oscilațiile amortizate

Caracteristicile oscilațiilor amortizate.

1. Coeficient de atenuare β .

Amplitudinea oscilațiilor amortizate se modifică conform unei legi exponențiale:

Fie ca amplitudinea oscilației să scadă de „e” ori în timpul τ („e” este baza logaritmului natural, e ≈ 2,718). Apoi, pe de o parte, , iar pe de altă parte, având descris amplitudinile A zat. (t) și A zat. (t+τ), avem . Din aceste relații rezultă βτ = 1, deci .

Interval de timp τ , timp în care amplitudinea scade cu „e” ori, se numește timp de relaxare.

Coeficient de atenuare β – o cantitate invers proporţională cu timpul de relaxare.

2. Scădere logaritmică de amortizare δ - o mărime fizică egală numeric cu logaritmul natural al raportului a două amplitudini succesive separate în timp printr-o perioadă.

Dacă atenuarea este mică, de ex. valoarea lui β este mică, apoi amplitudinea se modifică ușor pe parcursul perioadei, iar scăderea logaritmică poate fi definită după cum urmează:

,

unde este A zat. (t) și A zat. (t+NT) – amplitudini ale oscilațiilor în timpul e și după N perioade, adică în timp (t + NT).

3. Factorul de calitate Q sistem oscilator – o mărime fizică adimensională egală cu produsul dintre mărimea (2π) ν și raportul dintre energia W(t) a sistemului la un moment arbitrar de timp și pierderea de energie într-o perioadă de oscilații amortizate:

.

Deoarece energia este proporțională cu pătratul amplitudinii, atunci

Pentru valori mici ale decrementului logaritmic δ, factorul de calitate al sistemului oscilator este egal cu

,

unde N e este numărul de oscilații în timpul cărora amplitudinea scade de „e” ori.

Astfel, factorul de calitate al unui pendul cu arc este. Cu cât factorul de calitate al sistemului oscilator este mai mare, cu atât mai puțină atenuare, cu atât va dura mai mult procesul periodic într-un astfel de sistem. Factorul de calitate al sistemului oscilator - o mărime adimensională care caracterizează disiparea energiei în timp.

4. Pe măsură ce coeficientul β crește, frecvența oscilațiilor amortizate scade și perioada crește. La ω 0 = β, frecvența oscilațiilor amortizate devine egală cu zero ω zat. = 0, iar T zat. = ∞. În acest caz, oscilațiile își pierd caracterul periodic și sunt numite aperiodic.

La ω 0 = β, parametrii sistemului responsabili pentru scăderea energiei vibraționale iau valori numite critic . Pentru un pendul cu arc, condiția ω 0 = β se va scrie astfel: de unde găsim mărimea coeficient critic de rezistență:

.

Orez. 21.3. Dependența amplitudinii oscilațiilor aperiodice în timp

Vibrații forțate.

Toate oscilațiile reale sunt amortizate. Pentru ca oscilațiile reale să apară suficient de lungi, este necesar să reumplem periodic energia sistemului oscilator acționând asupra acestuia cu o forță externă care se schimbă periodic.

Să luăm în considerare fenomenul de oscilații dacă este extern (forțare) forța se modifică în timp după o lege armonică. În acest caz, în sisteme vor apărea oscilații, a căror natură va repeta, într-o măsură sau alta, natura forței motrice. Astfel de oscilații se numesc forţat .

Semne generale ale vibrațiilor mecanice forțate.

1. Să luăm în considerare oscilațiile mecanice forțate ale unui pendul arc, asupra căruia este acționat un (convingătoare ) forta periodica . Forțele care acționează asupra pendulului, odată îndepărtate din poziția sa de echilibru, se dezvoltă în sistemul oscilator însuși. Acestea sunt forța elastică și forța de rezistență.

Legea mișcării (a doua lege a lui Newton) se va scrie astfel:

(21.6)

Să împărțim ambele părți ale ecuației la m, să luăm în considerare că și să obținem ecuație diferențială oscilații forțate:

Să notăm ( β – coeficient de atenuare ), (ω 0 – frecvența oscilațiilor libere neamortizate), forță care acționează asupra unei unități de masă. În aceste notaţii ecuație diferențială oscilațiile forțate vor lua forma:

(21.7)

Aceasta este o ecuație diferențială de ordinul doi cu o parte dreaptă diferită de zero. Soluția unei astfel de ecuații este suma a două soluții

.

– soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene, i.e. ecuație diferențială fără partea dreaptă când este egală cu zero. Cunoaștem o astfel de soluție - aceasta este ecuația oscilațiilor amortizate, scrisă cu o precizie a unei constante, a cărei valoare este determinată de condițiile inițiale ale sistemului oscilator:

Am discutat mai devreme că soluția poate fi scrisă în termeni de funcții sinus.

Dacă luăm în considerare procesul de oscilații ale pendulului după o perioadă de timp suficient de mare Δt după pornirea forței de antrenare (Figura 21.2), atunci oscilațiile amortizate din sistem se vor opri practic. Și apoi soluția ecuației diferențiale cu partea dreaptă va fi soluția.

Soluția este o soluție particulară a ecuației diferențiale neomogene, adică. ecuații cu partea dreaptă. Din teoria ecuațiilor diferențiale se știe că cu partea dreaptă schimbându-se conform unei legi armonice, soluția va fi o funcție armonică (sin sau cos) cu o frecvență de modificare corespunzătoare frecvenței Ω de schimbare a dreptei. -partea mâinii:

unde A amp. – amplitudinea oscilațiilor forțate, φ 0 – schimbare de fază , acestea. diferența de fază dintre faza forței motrice și faza de oscilație forțată. Și amplitudinea A amp. , iar defazarea φ 0 depind de parametrii sistemului (β, ω 0) și de frecvența forței motrice Ω.

Perioada de oscilații forțate egală (21.9)

Graficul vibrațiilor forțate din Figura 4.1.

Fig.21.3. Graficul de oscilație forțată

Oscilațiile forțate la starea de echilibru sunt și ele armonice.

Dependența amplitudinii oscilațiilor forțate și a defazajului de frecvența influenței externe. Rezonanţă.

1. Să revenim la sistemul mecanic al unui pendul cu arc, asupra căruia acţionează o forţă exterioară care variază după o lege armonică. Pentru un astfel de sistem, ecuația diferențială și respectiv soluția sa au forma:

, .

Să analizăm dependența amplitudinii oscilației și a defazajului de frecvența forței motrice externe; pentru a face acest lucru, vom găsi prima și a doua derivată a lui x și le vom înlocui în ecuația diferențială.

Să folosim metoda diagramei vectoriale. Ecuația arată că suma celor trei vibrații din partea stângă a ecuației (Figura 4.1) trebuie să fie egală cu vibrația din partea dreaptă. Diagrama vectorială este realizată pentru un moment arbitrar de timp t. Din ea puteți determina.

Figura 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Ținând cont de valoarea lui , ,, obținem formule pentru φ 0 și A ampl. sistem mecanic:

,

.

2. Studiem dependența amplitudinii oscilațiilor forțate de frecvența forței motrice și mărimea forței de rezistență într-un sistem mecanic oscilant, folosind aceste date construim un grafic . Rezultatele studiului sunt reflectate în Figura 21.5, care arată că la o anumită frecvență a forței motrice amplitudinea oscilaţiilor creşte brusc. Și această creștere este mai mare, cu cât coeficientul de atenuare β este mai mic. Când amplitudinea oscilațiilor devine infinit de mare.

Fenomenul de creștere bruscă a amplitudinii oscilații forțate la o frecvență a forței motrice egală cu , se numește rezonanță.

(21.12)

Curbele din figura 21.5 reflectă relația și sunt chemați curbe de rezonanță de amplitudine .

Figura 21.5 – Grafice ale dependenței amplitudinii oscilațiilor forțate de frecvența forței motrice.

Amplitudinea oscilațiilor rezonante va lua forma:

Vibrațiile forțate sunt neamortizat fluctuatii. Pierderile de energie inevitabile datorate frecării sunt compensate prin furnizarea de energie dintr-o sursă externă de forță care acționează periodic. Există sisteme în care oscilațiile neamortizate apar nu datorită influențelor externe periodice, ci ca urmare a capacității unor astfel de sisteme de a regla furnizarea de energie dintr-o sursă constantă. Se numesc astfel de sisteme auto-oscilante, iar procesul de oscilații neamortizate în astfel de sisteme este auto-oscilații.

Într-un sistem auto-oscilant, se pot distinge trei elemente caracteristice - un sistem oscilator, o sursă de energie și un dispozitiv de feedback între sistemul oscilator și sursă. Orice sistem mecanic capabil să efectueze propriile oscilații amortizate (de exemplu, pendulul unui ceas de perete) poate fi folosit ca sistem oscilator.

Sursa de energie poate fi energia de deformare a unui arc sau energia potențială a unei sarcini într-un câmp gravitațional. Un dispozitiv de feedback este un mecanism prin care un sistem auto-oscilant reglează fluxul de energie dintr-o sursă. În fig. Figura 21.6 prezintă o diagramă a interacțiunii diferitelor elemente ale unui sistem auto-oscilant.

Un exemplu de sistem mecanic auto-oscilant este un mecanism de ceas cu ancoră progres (Fig. 21.7.). Roata de rulare cu dinți oblici este atașată rigid de un tambur dințat, prin care este aruncat un lanț cu o greutate. La capătul superior al pendulului se află o ancoră (ancoră) cu două plăci de material dur, îndoite de-a lungul unui arc de cerc cu centrul pe axa pendulului. ÎN ceas de mână greutatea este înlocuită cu un arc, iar pendulul este înlocuit cu un balansier - o roată de mână atașată la un arc spiral.

Figura 21.7. Mecanism de ceas cu pendul.

Echilibratorul efectuează vibrații de torsiune în jurul axei sale. Sistemul oscilator dintr-un ceas este un pendul sau echilibrator. Sursa de energie este o greutate ridicată sau un arc înfăşurat. Dispozitivul folosit pentru a furniza feedback este o ancoră, care permite roții de rulare să rotească un dinte într-o jumătate de ciclu.

Feedback-ul este oferit de interacțiunea ancorei cu roata de rulare. La fiecare oscilație a pendulului, un dinte al roții de rulare împinge furca de ancorare în direcția de mișcare a pendulului, transferând acestuia o anumită porțiune de energie, care compensează pierderile de energie datorate frecării. Astfel, energia potențială a greutății (sau a arcului răsucit) este treptat, în porțiuni separate, transferată pendulului.

Sistemele mecanice auto-oscilante sunt larg răspândite în viața din jurul nostru și în tehnologie. Autooscilațiile apar la motoarele cu abur, motoarele cu ardere internă, clopotele electrice, șirurile instrumentelor muzicale arcuite, coloanele de aer în conductele instrumentelor de suflat, corzile vocale când se vorbește sau se cântă etc.

În realitate, vibrațiile libere apar sub acțiunea forțelor de rezistență. Forțele disipative conduc la scăderea amplitudinii oscilațiilor. Oscilațiile a căror amplitudine devine mai mică în timp ca urmare a pierderii de energie se numesc amortizate.

Vibrații mecanice amortizate

DEFINIȚIE

Se numește mărimea fizică care caracterizează rata de atenuare a oscilațiilor coeficient de atenuare. Coeficientul de atenuare poate fi notat în diferite moduri: etc. Cu condiția ca forțele de frecare să fie proporționale cu viteza corpului:

unde este coeficientul de frecare generalizat, coeficientul de amortizare este considerat egal cu:

unde oscilează masa corpului.

Ecuația diferențială a oscilațiilor în prezența amortizării va avea forma:

— frecvența ciclică a vibrațiilor libere ale sistemului în absența frecării.

Ecuația oscilațiilor amortizate:

Unde — frecvența oscilațiilor amortizate; — amplitudinea oscilațiilor amortizate. - o valoare constantă care depinde de alegerea punctului de referință temporală.

Coeficientul de atenuare poate fi definit ca reciproca timpului () în care amplitudinile (A) scad de e ori:

unde este timpul de relaxare. Adică poți scrie:

Perioada oscilațiilor amortizate este egală cu:

cu rezistența nesemnificativă a mediului, dacă inegalitatea este satisfăcută: perioada de oscilație poate fi calculată folosind formula:

Pe măsură ce coeficientul de amortizare crește, perioada de oscilație crește. Trebuie remarcat faptul că conceptul de perioadă a oscilațiilor amortizate nu coincide cu conceptul de oscilații neamortizate, deoarece sistemul, în prezența amortizarii, nu revine niciodată la starea inițială. Perioada de oscilații amortizate este perioada minimă de timp în care sistemul trece de două ori de poziția de echilibru într-o direcție.

Pe măsură ce coeficientul de amortizare a oscilației crește, frecvența oscilației scade. Dacă , atunci frecvența oscilațiilor amortizate va deveni zero, în timp ce perioada crește la infinit. Astfel de oscilații își pierd periodicitatea și se numesc aperiodice. Când coeficientul de amortizare este egal cu frecvența naturală a oscilațiilor, parametrii sistemului sunt numiți critici.

Coeficientul de amortizare a oscilației este legat de decrementul de amortizare logaritmică () prin expresia:

Oscilații electrice amortizate

Orice circuit electric care există în realitate are o rezistență activă, prin urmare, energia stocată în el în timp este cheltuită pe această rezistență, pe măsură ce se încălzește.

În acest caz, coeficientul de atenuare pentru circuitul electric se calculează astfel:

unde R este rezistența, L este inductanța circuitului.

Frecvența în circuitul electromagnetic este reprezentată de formula:

Pentru un circuit RLC, rezistența critică () la care oscilațiile devin aperiodice este o rezistență egală cu:

găsit la

Unități ale coeficientului de amortizare a vibrațiilor

Unitatea de bază SI a coeficientului de atenuare este:

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Exercițiu Care este coeficientul de amortizare dacă amplitudinea oscilațiilor pendulului în timpul t=10 s. scade de 4 ori?
Soluţie Să notăm ecuația oscilațiilor amortizate ale unui pendul:

Conform uneia dintre definițiile coeficientului de atenuare:

Să facem calculele:
Răspuns

EXEMPLUL 2

Exercițiu Circuitul oscilator este format dintr-un inductor L, un condensator C și o rezistență R (Fig. 1). După ce număr de oscilații complete (N) amplitudinea curentului din circuit va scădea cu e-fold?

Soluţie Să introducem următoarea notație: - valoarea inițială a amplitudinii curentului, - amplitudinea curentului prin N oscilații, atunci putem scrie:

INFORMAȚII GENERALE

Oscilații se numesc mişcări sau procese care se caracterizează printr-o anumită repetabilitate în timp. Se numesc oscilații gratuit, dacă apar datorită energiei inițial transmise în absența ulterioară a influențelor externe asupra sistemului oscilator. Cel mai simplu tip de oscilații sunt vibratii armonice– oscilaţii în care mărimea oscilantă se modifică în timp după legea sinusului sau cosinusului.

Ecuația diferențială a oscilațiilor armonice are forma

unde este mărimea oscilantă și frecvența ciclică.

este soluția acestei ecuații. Aici este amplitudinea și este faza inițială.

Faza de oscilație.

Amplitudinea este valoarea maximă a unei mărimi oscilante.

Perioada de oscilație este perioada de timp prin care se repetă mișcarea corpului. Faza de oscilație crește pe parcursul perioadei. . , - numărul de oscilații.

Frecvența de oscilație este numărul de oscilații complete efectuate pe unitatea de timp. . . Măsurată în Herți (Hz).

Frecvența ciclică este numărul de oscilații efectuate pe secundă. . Unitate .

Faza de oscilație este o mărime sub semnul cosinus și care caracterizează starea sistemului oscilator în orice moment.

Faza inițială – faza oscilațiilor în momentul inițial de timp. Faza și faza inițială sunt măsurate în radiani ().

Oscilații amortizate libere– oscilații, a căror amplitudine scade în timp din cauza pierderilor de energie de către sistemul oscilator real. Cel mai simplu mecanism de reducere a energiei de vibrație este conversia acesteia în căldură datorită frecării în sistemele oscilatorii mecanice, precum și pierderile ohmice și radiația de energie electromagnetică în sistemele oscilatorii electrice.

Ecuația diferențială a oscilațiilor libere amortizate are forma

, (1)

Rezolvarea ecuației (1) în cazul unei atenuări mici (d 2<< ) имеет вид

Perioada de timp în care amplitudinea scade în e ori, se numește timp de relaxare.

Amortizarea rupe periodicitatea oscilațiilor, deci oscilațiile amortizate nu sunt periodice. Totuși, dacă atenuarea este mică, atunci putem folosi condiționat conceptul de perioadă ca interval de timp între două maxime (sau minime) succesive ale unei mărimi fluctuante. Apoi perioada oscilațiilor amortizate este calculată folosind formula

.

Dacă A(t) Și A(t+T) sunt amplitudinile a două oscilații succesive corespunzătoare unor momente de timp care diferă de o perioadă, apoi raportul

numit scăderea amortizarii, și logaritmul său

– scădere logaritmică de amortizare.

Magnitudinea N e este numărul de oscilații efectuate în timpul în care amplitudinea scade în e o singura data. Decrementul de amortizare logaritmică este o valoare constantă pentru un sistem oscilator dat.

Pentru a caracteriza un sistem oscilator se folosește conceptul factor de calitate Q, care pentru valori mici ale decrementului logaritmic este egal cu

.



 

Ar putea fi util să citiți: