Logaritmaları karşılaştırma teknikleri ve yöntemleri. Sayıların karşılaştırılması

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com


Slayt başlıkları:

Bir logaritmanın monotonluğunun özellikleri. Logaritmaların karşılaştırılması. Cebir 11. sınıf. Matematik öğretmeni tarafından tamamlandı: Liliya Anasovna Kinzyabulatova, Noyabrsk, 2014.

y= log a x , burada a>0; a≠1. a) a> 1 ise y= log a x – artan b) 0 ise

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ① Monotonluk özelliği Log a b log a c'yi karşılaştırın bazlar a'dır. Eğer a> 1 ise, o zaman y= log a t artıyor, bu durumda b> c = > log a b > log a c'den; 0 ise c => log a b log 1/3 8;

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ② Grafiksel yöntem Log a b log'u b bazlarıyla karşılaştırın, sayılar b'ye eşittir 1) a> 1 ise; с > 1, bu durumda y=log a t, y=log с t – yaş. a) Eğer a> c, b>1 ise log a b log c b

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ② Grafiksel yöntem Log a b log'u b tabanlarıyla karşılaştırın, sayılar farklıdır, sayılar b'ye eşittir 2) Eğer 0 c, b>1 ise, log a b > log c b b) If a

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ② Grafiksel yöntem Log a b log'u b bazlarıyla karşılaştırın, sayılar farklıdır, sayılar b'ye eşittir Örnekler log 2 3 > log 4 3 2 1 Log 3 1/4 0,25; 3>1 Günlük 0,3 0,6

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ③ Farklı monotonluktaki fonksiyonlar a>1 y=log a x – 0 artar 1 ise log a c > log b d b) Eğer 0 ise 1) Log 0,5 1/3 > log 5 1/2

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ⑤ Değerlendirme yöntemi günlüğü 3 5 günlüğü 4 17 1 > > > >

Logaritmaları karşılaştırma yöntemleri. ⑦ Segmentin ortasıyla karşılaştırma log 2 3 log 5 8 1 3/2 log 5 8 2* 3/2 2*log 5 8 2 log 5 64 log 2 8 log 5 64

Bildiğiniz gibi ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri daima toplanır (a b *a c = a b+c). Bu matematik kanunu Arşimet tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen tamsayı üslerinden oluşan bir tablo oluşturdu. Logaritmanın daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevin kullanımına ilişkin örnekler, zahmetli çarpma işlemlerini basit toplama yoluyla basitleştirmeniz gereken hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumaya 10 dakikanızı ayırırsanız size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir bir dille.

Matematikte tanım

Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani negatif olmayan herhangi bir sayının (yani herhangi bir pozitif) “b”nin “a” tabanına göre logaritması, “c” kuvveti olarak kabul edilir. ” sonuçta "b" değerini elde etmek için "a" tabanının yükseltilmesi gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, diyelim ki log 2 8 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir güç bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli güce 8 ulaşacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru çünkü 2 üssü 3 cevabı 8 olarak veriyor.

Logaritma türleri

Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar da korkutucu değil, asıl önemli olan genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç ayrı logaritmik ifade türü vardır:

  1. Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2,7).
  2. Tabanı 10 olan ondalık a.
  3. Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.

Bunların her biri, logaritmik teoremler kullanılarak basitleştirme, indirgeme ve ardından tek bir logaritmaya indirgeme dahil olmak üzere standart bir şekilde çözülür. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, bunları çözerken özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamanız gerekir.

Kurallar ve bazı kısıtlamalar

Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve gerçek olan birçok kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi negatif sayıların çift kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların da kendi kuralları vardır; bunları takip ederek uzun ve kapsamlı logaritmik ifadelerle bile çalışmayı kolayca öğrenebilirsiniz:

  • "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
  • a > 0 ise a b >0 ise "c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.

Logaritmalar nasıl çözülür?

Örneğin 10 x = 100 denkleminin cevabını bulma görevi veriliyor. Bu çok kolay, on sayısını artırarak 100'e ulaşacağımız bir kuvvet seçmeniz gerekiyor. Bu elbette 10 2 = 100.

Şimdi bu ifadeyi logaritmik formda gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanına girmenin gerekli olduğu gücü bulmak için tüm eylemler pratik olarak birleşir.

Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Şuna benziyor:

Gördüğünüz gibi, eğer teknik bir aklınız ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak daha büyük değerler için güç tablosuna ihtiyacınız olacaktır. Karmaşık matematik konuları hakkında hiçbir şey bilmeyen kişiler tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kesişme noktasında hücreler cevap olan sayı değerlerini içerir (a c =b). Mesela 10 rakamının olduğu ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesişiminde gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlayacaktır!

Denklemler ve eşitsizlikler

Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle herhangi bir matematiksel sayısal ifade logaritmik eşitlik olarak yazılabilir. Örneğin 3 4 =81, 81'in 3 tabanlı logaritması dörde eşit (log 3 81 = 4) olarak yazılabilir. Negatif kuvvetler için kurallar aynıdır: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazarsak log 2 (1/32) = -5 elde ederiz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri “logaritmalar” konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra aşağıdaki denklem örneklerine ve çözümlerine bakacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.

Aşağıdaki ifade verilmiştir: log 2 (x-1) > 3 - bilinmeyen “x” değeri logaritmik işaretin altında olduğundan bu logaritmik bir eşitsizliktir. Ayrıca ifadede iki nicelik karşılaştırılır: İstenilen sayının iki tabanına göre logaritması üç sayısından büyüktür.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örneğin, logaritma 2 x = √9) cevapta bir veya daha fazla spesifik sayısal değeri ima etmesi, bir eşitsizliği çözerken ise her iki kabul edilebilir değer aralığının da belirtilmesidir. değerler ve noktalar bu fonksiyon kırılarak belirlenir. Sonuç olarak cevap, bir denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar dizisi değil, sürekli bir dizi veya sayı dizisidir.

Logaritmalarla ilgili temel teoremler

Logaritmanın değerlerini bulma gibi ilkel görevleri çözerken özellikleri bilinmeyebilir. Ancak konu logaritmik denklemler veya eşitsizlikler olduğunda öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örneklerine bakacağız; önce her özelliğe daha ayrıntılı olarak bakalım.

  1. Ana kimlik şuna benzer: a logaB =B. Bu yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
  2. Çarpımın logaritması şu formülle temsil edilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda zorunlu koşul şudur: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritmik formülün ispatını örneklerle ve çözümle yapabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 olsun, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2 olsun. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 sonucunu elde ederiz (özellikleri derece ) ve ardından tanım gereği: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
  3. Bölümün logaritması şuna benzer: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu formüle “logaritma derecesinin özelliği” denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve bu şaşırtıcı değildir çünkü tüm matematik doğal önermelere dayanmaktadır. Kanıta bakalım.

Log a b = t olsun, a t =b olur. Her iki parçayı da m kuvvetine çıkarırsak: a tn = b n ;

ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlandı.

Sorun ve eşitsizlik örnekleri

Logaritmalarla ilgili en yaygın problem türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Neredeyse tüm problem kitaplarında bulunurlar ve aynı zamanda matematik sınavlarının da zorunlu bir parçasıdırlar. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür görevleri nasıl doğru bir şekilde çözeceğinizi bilmeniz gerekir.

Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Öncelikle ifadenin basitleştirilip sadeleştirilemeyeceğini veya genel bir forma indirgenip indirgenemeyeceğini öğrenmelisiniz. Uzun logaritmik ifadeleri, özelliklerini doğru kullanırsanız basitleştirebilirsiniz. Onları hızlıca tanıyalım.

Logaritmik denklemleri çözerken, ne tür bir logaritmaya sahip olduğumuzu belirlememiz gerekir: örnek bir ifade, doğal bir logaritma veya ondalık bir logaritma içerebilir.

İşte ln100, ln1026 örnekleri. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı gücü belirlemeleri gerektiği gerçeğine dayanıyor. Doğal logaritmaları çözmek için logaritmik kimlikleri veya bunların özelliklerini uygulamanız gerekir. Çeşitli türlerdeki logaritmik problemleri çözme örneklerine bakalım.

Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle

Logaritmalarla ilgili temel teoremlerin kullanımına ilişkin örneklere bakalım.

  1. Bir çarpımın logaritmasının özelliği, b sayısının büyük bir değerini daha basit faktörlere ayırmanın gerekli olduğu görevlerde kullanılabilir. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - gördüğünüz gibi logaritmanın dördüncü özelliğini kullanarak, görünüşte karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Tabanı çarpanlara ayırmanız ve ardından üslü değerleri logaritmanın işaretinden çıkarmanız yeterlidir.

Birleşik Devlet Sınavından Ödevler

Logaritmalara genellikle giriş sınavlarında, özellikle de Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik problemle karşılaşılır. Genellikle bu görevler yalnızca A kısmında (sınavın en kolay test kısmı) değil, aynı zamanda C kısmında da (en karmaşık ve hacimli görevler) mevcuttur. Sınav, “Doğal logaritmalar” konusunda doğru ve mükemmel bilgi gerektirir.

Sorunlara örnekler ve çözümler Birleşik Devlet Sınavının resmi versiyonlarından alınmıştır. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

Log 2 (2x-1) = 4 verildiğinde. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmanın tanımından 2x-1 = 2 4, dolayısıyla 2x = 17 elde ederiz; x = 8,5.

  • Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaların aynı tabana indirilmesi en iyisidir.
  • Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, dolayısıyla logaritmanın işaretinin altında olan bir ifadenin tabanı çarpan olarak üssü çıkarıldığında logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.

Denklemleri ve eşitsizlikleri ve modüllerle ilgili problemleri çözerken, bulunan kökleri sayı doğrusuna yerleştirmeniz gerekir. Bildiğiniz gibi bulunan kökler farklı olabilir. Şu şekilde olabilirler: , veya şu şekilde olabilirler: , .

Buna göre sayılar rasyonel değil de irrasyonel ise (ne olduğunu unuttuysanız konuya bakın) veya karmaşık matematiksel ifadeler ise bunları sayı doğrusuna yerleştirmek oldukça sorunludur. Üstelik sınav sırasında hesap makinesi kullanamazsınız ve yaklaşık hesaplamalar bir sayının diğerinden küçük olduğunu %100 garanti etmez (ya karşılaştırılan sayılar arasında fark varsa?).

Elbette, pozitif sayıların her zaman negatif olanlardan daha büyük olduğunu ve bir sayı ekseni hayal edersek, karşılaştırma yaparken en büyük sayıların en küçük sayılara göre sağda olacağını biliyorsunuz: ; ; vesaire.

Ama her şey her zaman bu kadar kolay mıdır? Sayı doğrusunda işaretlediğimiz yer, .

Örneğin bir sayıyla nasıl karşılaştırılabilirler? Bu sürtüşme...)

Öncelikle nasıl ve neyi karşılaştıracağımızı genel hatlarıyla konuşalım.

Önemli: Eşitsizlik işaretinin değişmeyeceği şekilde dönüşüm yapılması tavsiye edilir! Yani, dönüşümler sırasında negatif bir sayı ile çarpmak istenmez ve yasaktır parçalardan biri negatifse kare.

Kesirlerin karşılaştırılması

Bu yüzden iki kesri karşılaştırmamız gerekiyor: ve.

Bunun nasıl yapılacağına dair birkaç seçenek var.

Seçenek 1. Kesirleri ortak bir paydaya azaltın.

Bunu sıradan bir kesir şeklinde yazalım:

- (gördüğünüz gibi pay ve paydayı da azalttım).

Şimdi kesirleri karşılaştırmamız gerekiyor:

Artık iki şekilde karşılaştırmaya devam edebiliriz. Yapabiliriz:

  1. her iki kesri de uygunsuz olarak sunarak her şeyi ortak bir paydaya getirin (pay, paydadan büyüktür):

    Hangi sayı daha büyük? Doğru, payı daha büyük olan, yani ilki.

  2. “haydi atalım” (her kesirden bir tane çıkardığımızı ve buna göre kesirlerin birbirine oranının değişmediğini düşünün) ve kesirleri karşılaştırın:

    Bunları da ortak bir paydada buluşturuyoruz:

    Önceki durumdakiyle tamamen aynı sonucu elde ettik; ilk sayı ikinciden daha büyük:

    Bir de doğru çıkarmış mıyız diye kontrol edelim mi? Birinci hesaplama ile ikinci hesaplamadaki pay farkını hesaplayalım:
    1)
    2)

Kesirleri nasıl karşılaştıracağımızı ve onları ortak bir paydaya nasıl getireceğimizi düşündük. Başka bir yönteme geçelim - kesirleri karşılaştırmak, onları ortak bir paya getirmek.

Seçenek 2. Kesirleri ortak bir paya indirgeyerek karşılaştırma.

Evet evet. Bu bir yazım hatası değil. Bu yöntem okulda kimseye nadiren öğretilir, ancak çoğu zaman çok uygundur. Özünü hızlı bir şekilde anlamanız için size yalnızca bir soru soracağım - "hangi durumlarda bir kesrin değeri en büyüktür?" Elbette “pay mümkün olduğu kadar büyük, payda mümkün olduğu kadar küçük olduğunda” diyeceksiniz.

Örneğin, bunun kesinlikle doğru olduğunu söyleyebilir misiniz? Aşağıdaki kesirleri karşılaştırmamız gerekirse: ? Ayrıca işareti hemen doğru bir şekilde koyacağınızı düşünüyorum, çünkü ilk durumda parçalara, ikincisinde ise bütünlere bölünürler, bu da ikinci durumda parçaların çok küçük olduğu anlamına gelir ve buna göre: . Gördüğünüz gibi buradaki paydalar farklı ama paylar aynı. Ancak bu iki kesri karşılaştırmak için ortak bir payda aramanıza gerek yok. Yine de... onu bulun ve karşılaştırma işaretinin hâlâ yanlış olup olmadığına bakın?

Ama işaret aynı.

Asıl görevimize dönelim - karşılaştırın ve... Karşılaştıracağız ve... Bu kesirleri ortak paydaya değil ortak paya indirgeyelim. Bunu basitçe yapmak için pay ve payda ilk kesri ile çarpın. Şunu elde ederiz:

Ve. Hangi kesir daha büyük? Doğru, ilki.

Seçenek 3: Çıkarma işlemini kullanarak kesirleri karşılaştırma.

Çıkarma işlemi kullanılarak kesirler nasıl karşılaştırılır? Evet, çok basit. Bir kesirden diğerini çıkarıyoruz. Sonuç pozitifse, ilk kesir (eksi) ikinciden (çıkarılan) daha büyüktür ve eğer negatifse, o zaman tam tersi.

Bizim durumumuzda, ilk kesiri ikinciden çıkarmaya çalışalım: .

Zaten anladığınız gibi, sıradan bir kesire de dönüştürüyoruz ve aynı sonucu elde ediyoruz - . İfademiz şu şekli alır:

Daha sonra yine de ortak bir paydaya indirgemeye başvurmak zorunda kalacağız. Soru şu: ilk olarak kesirleri uygunsuz olanlara dönüştürmek mi, yoksa ikinci şekilde sanki birimi "çıkarmak" gibi mi? Bu arada, bu eylemin tamamen matematiksel bir gerekçesi var. Bakmak:

İkinci seçeneği daha çok seviyorum çünkü ortak bir paydaya indirgendiğinde payı çarpmak çok daha kolay hale geliyor.

Ortak paydada buluşturalım:

Burada asıl önemli olan hangi sayıdan, nereden çıkardığımız konusunda kafanızın karışmamasıdır. Çözümün ilerleyişine dikkatlice bakın ve kazara işaretleri karıştırmayın. Birinci sayıyı ikinci sayıdan çıkardık ve olumsuz cevap aldık yani?.. Doğru, ilk sayı ikinciden büyük.

Anladım? Kesirleri karşılaştırmayı deneyin:

Dur dur. Ortak bir paydaya ulaşmak veya çıkarmak için acele etmeyin. Bakın: bunu kolayca ondalık kesire dönüştürebilirsiniz. Ne kadar sürecek? Sağ. Sonuçta daha ne var?

Bu başka bir seçenektir - kesirleri ondalık sayıya dönüştürerek karşılaştırmak.

Seçenek 4: Bölmeyi kullanarak kesirleri karşılaştırma.

Evet evet. Ve bu da mümkündür. Mantık basittir: Daha büyük bir sayıyı daha küçük bir sayıya böldüğümüzde elde ettiğimiz cevap birden büyük bir sayıdır ve daha küçük bir sayıyı daha büyük bir sayıya böldüğümüzde cevap ile ile arasındaki aralığa düşer.

Bu kuralı hatırlamak için herhangi iki asal sayıyı karşılaştırma amacıyla alın, örneğin ve. Daha ne var biliyor musun? Şimdi ikiye bölelim. Cevabımız şudur. Buna göre teori doğrudur. Eğer bölersek, elde ettiğimiz sonuç birden azdır, bu da aslında daha az olduğunu doğrular.

Bu kuralı sıradan kesirlere uygulamaya çalışalım. Hadi karşılaştıralım:

İlk kesri ikinciye bölün:

Yavaş yavaş kısaltalım.

Elde edilen sonuç daha azdır, yani temettü bölenden daha azdır, yani:

Kesirleri karşılaştırmak için olası tüm seçeneklere baktık. Onları nasıl görüyorsunuz? 5:

  • ortak bir paydaya indirgeme;
  • ortak bir paya indirgeme;
  • ondalık kesir biçimine indirgeme;
  • çıkarma;
  • bölüm.

Eğitilmeye hazır mısınız? Kesirleri en uygun şekilde karşılaştırın:

Cevapları karşılaştıralım:

  1. (- ondalık sayıya dönüştürün)
  2. (bir kesri diğerine bölün ve pay ve paydaya göre azaltın)
  3. (tüm parçayı seçin ve kesirleri aynı pay prensibine göre karşılaştırın)
  4. (bir kesri diğerine bölün ve pay ve paydaya göre azaltın).

2. Derecelerin karşılaştırılması

Şimdi sadece sayıları değil, derecenin () olduğu ifadeleri de karşılaştırmamız gerektiğini hayal edin.

Elbette kolayca bir işaret koyabilirsiniz:

Sonuçta, dereceyi çarpma ile değiştirirsek şunu elde ederiz:

Bu küçük ve ilkel örnekten yola çıkarak kural şöyledir:

Şimdi aşağıdakileri karşılaştırmayı deneyin: . Ayrıca kolayca bir işaret koyabilirsiniz:

Çünkü üssün yerine çarpmayı koyarsak...

Genel olarak her şeyi anlıyorsunuz ve bu hiç de zor değil.

Zorluklar ancak karşılaştırıldığında derecelerin farklı temelleri ve göstergeleri olduğu zaman ortaya çıkar. Bu durumda ortak bir noktaya varmaya çalışmak gerekiyor. Örneğin:

Elbette biliyorsunuz ki buna göre ifade şu şekilde oluyor:

Parantezleri açalım ve elde ettiğimiz sonuçları karşılaştıralım:

Derecenin tabanının () birden küçük olması biraz özel bir durumdur.

Eğer, o zaman iki dereceden büyük olan, indeksi küçük olandır.

Bu kuralı kanıtlamaya çalışalım. İzin vermek.

ile arasındaki fark olarak bazı doğal sayıları tanıtalım.

Mantıklı değil mi?

Şimdi bir kez daha şu duruma dikkat edelim - .

Sırasıyla: . Buradan, .

Örneğin:

Bildiğiniz gibi kuvvet tabanlarının eşit olduğu durumu ele aldık. Şimdi tabanın ile ile arasında olduğunu ancak üslerin eşit olduğunu görelim. Burada her şey çok basit.

Bir örnek kullanarak bunu nasıl karşılaştıracağımızı hatırlayalım:

Tabii ki, matematiği hızlı bir şekilde yaptınız:

Bu nedenle, karşılaştırma için benzer problemlerle karşılaştığınızda, hızlı bir şekilde hesaplayabileceğiniz basit, benzer bir örneği aklınızda bulundurun ve bu örneğe dayanarak, daha karmaşık bir örnekte işaretler koyun.

Dönüşümleri gerçekleştirirken, çarparsanız, eklerseniz, çıkarırsanız veya bölerseniz, tüm eylemlerin hem sol hem de sağ taraflarla yapılması gerektiğini unutmayın (eğer çarparsanız her ikisini de çarpmanız gerekir).

Ek olarak, herhangi bir manipülasyon yapmanın kârsız olduğu durumlar da vardır. Örneğin karşılaştırmanız gerekiyor. Bu durumda güce yükseltmek ve işareti buna göre düzenlemek o kadar da zor değil:

Hadi pratik yapalım. Dereceleri karşılaştırın:

Yanıtları karşılaştırmaya hazır mısınız? İşte elde ettiklerim:

  1. - aynı
  2. - aynı
  3. - aynı
  4. - aynı

3. Sayıları köklerle karşılaştırma

Öncelikle köklerin ne olduğunu hatırlayalım. Bu kaydı hatırlıyor musunuz?

Bir reel sayının kuvvetinin kökü, eşitliğin geçerli olduğu sayıdır.

Kökler Negatif ve pozitif sayılar için tek derece mevcuttur ve eşit kökler- yalnızca olumlu olanlar için.

Kök değeri genellikle sonsuz bir ondalık sayı olduğundan doğru hesaplamayı zorlaştırır, dolayısıyla kökleri karşılaştırabilmek önemlidir.

Ne olduğunu ve neyle yenildiğini unuttuysanız - . Her şeyi hatırlıyorsanız, adım adım kökleri karşılaştırmayı öğrenelim.

Diyelim ki karşılaştırmamız gerekiyor:

Bu iki kökü karşılaştırmak için herhangi bir hesaplama yapmanıza gerek yok, sadece "kök" kavramını analiz etmeniz yeterli. Neden bahsettiğimi anlıyor musun? Evet, bununla ilgili: Aksi takdirde, radikal ifadeye eşit bir sayının üçüncü kuvveti olarak yazılabilir.

Daha ne? veya? Elbette bunu hiçbir zorluk yaşamadan karşılaştırabilirsiniz. Bir kuvvete yükselttiğimiz sayı ne kadar büyük olursa, değer de o kadar büyük olur.

Bu yüzden. Bir kural türetelim.

Köklerin üsleri aynıysa (bizim durumumuzda bu), o zaman radikal ifadeleri (ve) karşılaştırmak gerekir - radikal sayı ne kadar büyükse, kökün değeri eşit üslerle o kadar büyük olur.

Hatırlamak zor mu? O zaman aklınızda bir örnek tutun ve... Daha fazlası mı?

Kök kare olduğundan köklerin üsleri aynıdır. Bir sayının () radikal ifadesi diğerinden () büyüktür, bu da kuralın gerçekten doğru olduğu anlamına gelir.

Ya radikal ifadeler aynıysa ancak köklerin dereceleri farklıysa? Örneğin: .

Daha büyük dereceli bir kök çıkarıldığında daha küçük bir sayının elde edileceği de oldukça açıktır. Örnek olarak şunu ele alalım:

O zaman ilk kökün değerini, ikincinin değerini ise şöyle gösterelim:

Bu denklemlerde daha fazlasının olması gerektiğini kolaylıkla görebilirsiniz, dolayısıyla:

Köklü ifadeler aynı ise(bizim durumumuzda), ve köklerin üsleri farklı(bizim durumumuzda bu ve), o zaman üsleri karşılaştırmak gerekir(Ve) - gösterge ne kadar yüksek olursa bu ifade o kadar küçük olur.

Aşağıdaki kökleri karşılaştırmayı deneyin:

Sonuçları karşılaştıralım mı?

Bunu başarıyla çözdük :). Başka bir soru ortaya çıkıyor: Ya hepimiz farklıysak? Hem derece hem de radikal ifade? Her şey o kadar karmaşık değil, sadece kökten “kurtulmamız” gerekiyor. Evet evet. Sadece ondan kurtul)

Derecelerimiz ve radikal ifadelerimiz farklıysa, köklerin üslerinin en küçük ortak katını bulmamız (hakkındaki bölümü okuyun) ve her iki ifadenin de en küçük ortak katının üssünü yükseltmemiz gerekir.

Hepimiz kelimelerin ve kelimelerin içindeyiz. İşte bir örnek:

  1. Köklerin göstergelerine bakıyoruz - ve. En küçük ortak katları ise .
  2. Her iki ifadeyi de bir kuvvete yükseltelim:
  3. İfadeyi dönüştürelim ve parantezleri açalım (daha fazla ayrıntı bu bölümde):
  4. Yaptıklarımızı sayalım ve bir işaret koyalım:

4. Logaritmaların karşılaştırılması

Böylece yavaş ama emin adımlarla logaritmaları nasıl karşılaştıracağımız sorusuna geliyoruz. Eğer bunun nasıl bir hayvan olduğunu hatırlamıyorsanız öncelikle bölümdeki teoriyi okumanızı tavsiye ederim. Onu okudun mu? Daha sonra birkaç önemli soruyu yanıtlayın:

  1. Logaritmanın argümanı nedir ve tabanı nedir?
  2. Bir fonksiyonun artacağını veya azalacağını ne belirler?

Her şeyi hatırlıyorsanız ve bu konuda mükemmel bir şekilde ustalaştıysanız, başlayalım!

Logaritmaları birbirleriyle karşılaştırmak için yalnızca 3 tekniği bilmeniz gerekir:

  • aynı esasa göre indirim;
  • aynı argümana indirgeme;
  • üçüncü sayıyla karşılaştırma.

Başlangıçta logaritmanın tabanına dikkat edin. Az olursa fonksiyonun azaldığını, fazlaysa arttığını hatırlıyor musunuz? Kararlarımız buna göre olacak.

Halihazırda aynı tabana veya argümana indirgenmiş logaritmaların bir karşılaştırmasını ele alalım.

Başlangıç ​​olarak sorunu basitleştirelim: Karşılaştırılan logaritmaları hesaba katalım eşit gerekçeler. Daha sonra:

  1. for fonksiyonu, tanımı gereği o zaman ("doğrudan karşılaştırma") anlamına gelen aralıkta artar.
  2. Örnek:- gerekçeler aynı, argümanları buna göre karşılaştırıyoruz: , bu nedenle:
  3. at fonksiyonu, tanım gereği, ardından ("ters karşılaştırma") anlamına gelen aralıkta azalır. - tabanlar aynı, argümanları buna göre karşılaştırıyoruz: ancak fonksiyon azalan olduğundan logaritmaların işareti "ters" olacaktır: .

Şimdi nedenlerin farklı olduğu ancak argümanların aynı olduğu durumları düşünün.

  1. Taban daha büyük.
    • . Bu durumda “ters karşılaştırma” yöntemini kullanırız. Örneğin: - argümanlar aynıdır ve. Tabanları karşılaştıralım: Ancak logaritmanın işareti “ters” olacaktır:
  2. A tabanı boşluktadır.
    • . Bu durumda “doğrudan karşılaştırma”yı kullanırız. Örneğin:
    • . Bu durumda “ters karşılaştırma” yöntemini kullanırız. Örneğin:

Her şeyi genel bir tablo biçiminde yazalım:

, burada , burada

Buna göre, zaten anladığınız gibi, logaritmaları karşılaştırırken aynı tabana veya argümana ulaşmamız gerekiyor. Bir tabandan diğerine geçme formülünü kullanarak aynı tabana ulaşıyoruz.

Ayrıca logaritmaları üçüncü sayıyla karşılaştırabilir ve buna dayanarak neyin daha az, neyin daha fazla olduğu hakkında bir sonuca varabilirsiniz. Örneğin, bu iki logaritmayı nasıl karşılaştıracağınızı düşünün.

Küçük bir ipucu - karşılaştırma için, argümanı eşit olacak bir logaritma size çok yardımcı olacaktır.

Düşünce? Birlikte karar verelim.

Bu iki logaritmayı sizinle rahatlıkla karşılaştırabiliriz:

Nasıl olduğunu bilmiyor musun? Yukarıyı görmek. Bunu yeni çözdük. Hangi işaret olacak? Sağ:

Kabul etmek?

Birbirimizle karşılaştıralım:

Aşağıdakileri almalısınız:

Şimdi tüm sonuçlarımızı bir araya getirin. Olmuş?

5. Trigonometrik ifadelerin karşılaştırılması.

Sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant nedir? Neden birim çembere ihtiyacımız var ve bunun üzerindeki trigonometrik fonksiyonların değeri nasıl bulunur? Bu soruların cevaplarını bilmiyorsanız bu konudaki teoriyi okumanızı şiddetle tavsiye ederim. Ve eğer biliyorsanız, trigonometrik ifadeleri birbirleriyle karşılaştırmak sizin için zor değil!

Biraz hafızamızı tazeleyelim. Bir birim trigonometrik daire ve içine yazılı bir üçgen çizelim. Becerebildin mi? Şimdi üçgenin kenarlarını kullanarak kosinüsü hangi tarafa ve sinüsü hangi tarafa çizdiğimizi işaretleyin. (elbette sinüsün karşı tarafın hipotenüse oranı olduğunu ve kosinüsün bitişik kenar olduğunu hatırlıyor musunuz?). Sen mi çizdin? Harika! Son dokunuş, ona nerede sahip olacağımızı, nerede ve benzeri şeyleri koymaktır. Onu yere koydun mu? Phew) Hadi senin ve benim başımıza gelenleri karşılaştıralım.

Vay be! Şimdi karşılaştırmaya başlayalım!

Diyelim ki karşılaştırmamız gerekiyor ve. Bu açıları, kutulardaki komutları kullanarak (nereyi işaretledik) birim çember üzerine noktalar yerleştirerek çizin. Becerebildin mi? İşte elde ettiğim şey.

Şimdi çember üzerinde işaretlediğimiz noktalardan eksene bir dik bırakalım... Hangisi? Hangi eksen sinüslerin değerini gösterir? Sağ, . Almanız gereken şey bu:

Bu resme bakıldığında hangisi daha büyük: yoksa? Tabii çünkü nokta noktanın üstündedir.

Benzer şekilde kosinüslerin değerini karşılaştırıyoruz. Sadece eksene dik olanı indiriyoruz... Aynen öyle. Buna göre hangi noktanın sağda (veya sinüslerde olduğu gibi daha yüksek) olduğuna bakıyoruz, o zaman değer daha büyük.

Muhtemelen teğetleri nasıl karşılaştıracağınızı zaten biliyorsunuzdur, değil mi? Bilmeniz gereken tek şey teğetin ne olduğudur. Peki teğet nedir?) Doğru, sinüsün kosinüse oranı.

Teğetleri karşılaştırmak için önceki durumda olduğu gibi bir açı çizeriz. Diyelim ki karşılaştırmamız gerekiyor:

Sen mi çizdin? Artık sinüs değerlerini de koordinat ekseninde işaretliyoruz. Fark ettin mi? Şimdi kosinüs değerlerini koordinat çizgisi üzerinde belirtin. Olmuş? Hadi karşılaştıralım:

Şimdi yazdıklarınızı analiz edin. - büyük bir segmenti küçük bir segmente bölüyoruz. Cevap kesinlikle birden büyük bir değer içerecektir. Sağ?

Ve küçüğü büyük olana böldüğümüzde. Cevap tam olarak birden küçük bir sayı olacaktır.

Peki hangi trigonometrik ifade daha büyük değere sahiptir?

Sağ:

Artık anladığınız gibi, kotanjantları karşılaştırmak aynı şeydir, yalnızca tersi yönde: kosinüs ve sinüsü tanımlayan bölümlerin birbirleriyle nasıl ilişkili olduğuna bakarız.

Aşağıdaki trigonometrik ifadeleri kendiniz karşılaştırmaya çalışın:

Örnekler.

Yanıtlar.

SAYILARIN KARŞILAŞTIRILMASI. ORTALAMA SEVİYE.

Hangi sayı daha büyük: veya? Cevap açıktır. Ve şimdi: veya? Artık çok açık değil, değil mi? Yani: veya?

Çoğunlukla hangi sayısal ifadenin daha büyük olduğunu bilmeniz gerekir. Örneğin bir eşitsizliği çözerken eksen üzerindeki noktaları doğru sıraya koymak için.

Şimdi size bu sayıları nasıl karşılaştıracağınızı öğreteceğim.

Sayıları karşılaştırmanız gerekiyorsa ve aralarına bir işaret koyarız (Latince Versus kelimesinden türetilmiş veya vs. - Against olarak kısaltılmıştır): . Bu işaret bilinmeyen eşitsizlik işaretinin () yerine geçer. Daha sonra sayıların arasına hangi işaretin yerleştirilmesi gerektiği belli olana kadar aynı dönüşümleri gerçekleştireceğiz.

Sayıları karşılaştırmanın özü şudur: İşarete sanki bir çeşit eşitsizlik işaretiymiş gibi davranırız. Ve bu ifadeyle genellikle eşitsizliklerle yaptığımız her şeyi yapabiliriz:

  • her iki tarafa da herhangi bir sayı ekleyin (ve elbette çıkarma da yapabiliriz)
  • "her şeyi bir tarafa taşıyın", yani karşılaştırılan ifadelerden birini her iki parçadan çıkarın. Çıkarılan ifadenin yerinde kalacak: .
  • aynı sayıyla çarpın veya bölün. Bu sayı negatifse eşitsizlik işareti tersine çevrilir: .
  • her iki tarafı da aynı güce yükseltin. Eğer bu kuvvet çift ise her iki parçanın da aynı işarete sahip olduğundan emin olmanız gerekir; her iki parça da pozitifse, bir kuvvete yükseltildiğinde işaret değişmez, ancak negatifse ters yönde değişir.
  • her iki parçadan da aynı derecenin kökünü çıkarın. Eğer çift dereceli bir kök çıkarıyorsak, öncelikle her iki ifadenin de negatif olmadığından emin olmalıyız.
  • diğer eşdeğer dönüşümler.

Önemli: Eşitsizlik işaretinin değişmeyeceği şekilde dönüşüm yapılması tavsiye edilir! Yani dönüşümler sırasında negatif bir sayı ile çarpmak istenmez ve parçalardan biri negatifse karesi alınamaz.

Birkaç tipik duruma bakalım.

1. Üs alma.

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif olduğundan, kökten kurtulmak için bunun karesini alabiliriz:

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Burada da bunun karesini alabiliriz, ancak bu yalnızca karekökten kurtulmamıza yardımcı olacaktır. Burada her iki kök de yok olacak kadar yükseltmek gerekiyor. Bu, bu derecenin üssünün hem (birinci kökün derecesi) hem de ile bölünebilir olması gerektiği anlamına gelir. Dolayısıyla bu sayının inci kuvvetine yükseltilir:

2. Eşleniğiyle çarpma.

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Her farkı eşlenik toplamla çarpıp bölelim:

Açıkçası, sağ taraftaki payda soldaki paydan daha büyüktür. Bu nedenle sağdaki kesir soldakinden daha küçüktür:

3. Çıkarma

Bunu hatırlayalım.

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Elbette her şeyin karesini alabilir, yeniden gruplayabilir ve tekrar karesini alabiliriz. Ancak daha akıllıca bir şey yapabilirsiniz:

Sol tarafta her terimin sağ taraftaki her terimden daha az olduğu görülebilir.

Buna göre sol taraftaki tüm terimlerin toplamı sağ taraftaki tüm terimlerin toplamından küçüktür.

Ama dikkat et! Daha ne olsun diye sorduk...

Sağ taraf daha büyük.

Örnek.

Rakamları karşılaştırın ve...

Çözüm.

Trigonometri formüllerini hatırlayalım:

Noktaların trigonometrik dairenin hangi çeyreğinde olduğunu ve yalan söylediğini kontrol edelim.

4. Bölüm.

Burada ayrıca basit bir kural kullanıyoruz: .

Veya, yani.

İşaret değiştiğinde: .

Örnek.

Karşılaştırmak: .

Çözüm.

5. Sayıları üçüncü sayıyla karşılaştırın

Eğer ve ise (geçişlilik yasası).

Örnek.

Karşılaştırmak.

Çözüm.

Sayıları birbirleriyle değil bir sayıyla karşılaştıralım.

Bu çok açık.

Diğer tarafta, .

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Her iki sayı da daha büyük, ancak daha küçüktür. Birinden büyük, diğerinden küçük olacak bir sayı seçelim. Örneğin, . Hadi kontrol edelim:

6. Logaritmalarla ne yapmalı?

Özel birşey yok. Logaritmalardan nasıl kurtulacağınız konu içerisinde detaylı olarak anlatılmaktadır. Temel kurallar şunlardır:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \kama y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Logaritmalarla ilgili farklı tabanlara ve aynı argümana sahip bir kural da ekleyebiliriz:

Bu şu şekilde açıklanabilir: Taban ne kadar büyük olursa, aynı şeyi elde etmek için o kadar az yükseltilmesi gerekecektir. Taban daha küçükse, karşılık gelen fonksiyon monoton olarak azalacağından bunun tersi doğrudur.

Örnek.

Sayıları karşılaştırın: ve.

Çözüm.

Yukarıdaki kurallara göre:

Ve şimdi ileri seviyenin formülü.

Logaritmaları karşılaştırma kuralı daha kısaca yazılabilir:

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Örnek.

Hangi sayının daha büyük olduğunu karşılaştırın: .

Çözüm.

SAYILARIN KARŞILAŞTIRILMASI. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

1. Üs alma

Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitifse, kökten kurtulmak için kareleri alınabilir.

2. Eşleniğiyle çarpma

Eşlenik, kareler farkı formülünün ifadesini tamamlayan bir faktördür: - eşlenik için ve tam tersi, çünkü .

3. Çıkarma

4. Bölüm

Ne zaman ya da bu

İşaret değiştiğinde:

5. Üçüncü sayıyla karşılaştırma

Eğer ve sonra

6. Logaritmaların karşılaştırılması

Temel Kurallar:

Farklı tabanlara ve aynı argümana sahip logaritmalar:

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle girmek ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı problemleri çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

  1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
  2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 899 RUR

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

    İle başlayalım bir logaritmasının özellikleri. Formülasyonu şu şekildedir: Birliğin logaritması sıfıra eşittir, yani, 1=0'ı günlüğe kaydet herhangi bir a>0 için a≠1. Kanıt zor değildir: Yukarıdaki a>0 ve a≠1 koşullarını karşılayan herhangi bir a için a 0 = 1 olduğundan, kanıtlanacak log a 1=0 eşitliği logaritmanın tanımından hemen çıkar.

    Dikkate alınan özelliğin uygulamasına örnekler verelim: log 3 1=0, log1=0 ve .

    Bir sonraki özelliğe geçelim: tabanına eşit bir sayının logaritması bire eşittir, yani, log a=1 a>0 için a≠1. Aslında, herhangi bir a için a 1 =a olduğundan, logaritmanın tanımı gereği log a a=1 olur.

    Logaritmaların bu özelliğini kullanma örnekleri log 5 5=1, log 5,6 5,6 ve lne=1 eşitlikleridir.

    Örneğin, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ve .

    İki pozitif sayının çarpımının logaritması x ve y bu sayıların logaritmasının çarpımına eşittir: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Bir çarpımın logaritmasının özelliğini kanıtlayalım. Derecenin özelliklerinden dolayı a log a x+log a y =a log a x ·a log a y ve ana logaritmik özdeşliğe göre a log a x =x ve a log a y =y olduğundan, a log a x ·a log a y =x·y. Böylece, logaritmanın tanımına göre eşitliğin kanıtlandığı log a x+log a y =x·y olur.

    Bir çarpımın logaritması özelliğinin kullanımına ilişkin örnekler gösterelim: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ve .

    Bir çarpımın logaritmasının özelliği, x 1 , x 2 , …, x n pozitif sayılarından oluşan sonlu bir n sayısının çarpımına genelleştirilebilir: log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Bu eşitlik sorunsuz bir şekilde kanıtlanabilir.

    Örneğin, çarpımın doğal logaritması 4, e ve sayılarının üç doğal logaritmasının toplamı ile değiştirilebilir.

    İki pozitif sayının bölümünün logaritması x ve y bu sayıların logaritmaları arasındaki farka eşittir. Bir bölümün logaritmasının özelliği, a>0, a≠1, x ve y'nin bazı pozitif sayılar olduğu formdaki bir formüle karşılık gelir. Bu formülün geçerliliği, bir çarpımın logaritması formülünün yanı sıra kanıtlanmıştır: çünkü , daha sonra logaritmanın tanımı gereği.

    Logaritmanın bu özelliğini kullanmanın bir örneği: .

    Konusuna geçelim kuvvetin logaritmasının özelliği. Bir derecenin logaritması, üssün çarpımına ve bu derecenin tabanının modülünün logaritmasına eşittir. Bir kuvvetin logaritmasının bu özelliğini formül olarak yazalım: log a b p =p·log a |b| burada a>0, a≠1, b ve p, b p derecesi anlamlı ve b p >0 olacak şekilde sayılardır.

    Öncelikle bu özelliği pozitif b için kanıtlayalım. Temel logaritmik özdeşlik, b sayısını a log a b, ardından b p =(a log a b) p olarak temsil etmemize olanak tanır ve ortaya çıkan ifade, kuvvet özelliği nedeniyle a p·log a b'ye eşittir. Böylece b p =a p·log a b eşitliğine ulaşıyoruz ve bundan logaritmanın tanımına göre log a b p =p·log a b sonucunu çıkarıyoruz.

    Geriye bu özelliği negatif b için kanıtlamak kalıyor. Burada negatif b için log a b p ifadesinin yalnızca çift p üsleri için anlamlı olduğunu görüyoruz (çünkü b p derecesinin değeri sıfırdan büyük olmalıdır, aksi takdirde logaritmanın bir anlamı olmayacaktır) ve bu durumda b p =|b| P. Daha sonra bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, buradan log a b p =p·log a |b| .

    Örneğin, ve ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Önceki mülkten kaynaklanmaktadır kökten logaritmanın özelliği: n'inci kökün logaritması, 1/n kesrinin radikal ifadenin logaritması ile çarpımına eşittir, yani, , burada a>0, a≠1, n birden büyük bir doğal sayıdır, b>0.

    Kanıt, herhangi bir pozitif b için geçerli olan eşitliğe (bkz.) ve kuvvetin logaritmasının özelliğine dayanmaktadır: .

    Bu özelliği kullanmanın bir örneğini burada bulabilirsiniz: .

    Şimdi kanıtlayalım yeni bir logaritma tabanına geçme formülü tür . Bunu yapmak için log c b=log a b·log c a eşitliğinin geçerliliğini kanıtlamak yeterlidir. Temel logaritmik kimlik, b sayısını a log a b olarak temsil etmemize ve ardından log c b=log ca log a b olarak göstermemize olanak tanır. Derecenin logaritmasının özelliğini kullanmaya devam ediyor: log c a log a b =log a b log c a. Bu, log c b=log a b·log c a eşitliğini kanıtlar; bu, yeni bir logaritma tabanına geçme formülünün de kanıtlanmış olduğu anlamına gelir.

    Logaritmanın bu özelliğini kullanmaya ilişkin birkaç örnek gösterelim: ve .

    Yeni bir tabana geçme formülü, "uygun" bir tabana sahip logaritmalarla çalışmaya devam etmenize olanak tanır. Örneğin, doğal veya ondalık logaritmalara geçmek için kullanılabilir; böylece bir logaritma tablosundan bir logaritmanın değerini hesaplayabilirsiniz. Yeni bir logaritma tabanına geçme formülü, bazı durumlarda, bazı logaritmaların diğer tabanlarla değerleri bilindiğinde belirli bir logaritmanın değerini bulmayı da sağlar.

    Formun c=b'si için yeni bir logaritma tabanına geçiş için formülün özel bir durumu sıklıkla kullanılır. . Bu, log a b ve log b a – olduğunu gösterir. Örneğin, .

    Formül de sıklıkla kullanılır Logaritma değerlerini bulmak için uygundur. Sözlerimizi doğrulamak için, formun logaritmasının değerini hesaplamak için nasıl kullanılabileceğini göstereceğiz. Sahibiz . Formülü kanıtlamak için logaritmanın yeni bir tabanına geçiş için formülü kullanmak yeterlidir: .

    Logaritmaların karşılaştırılması özelliklerini kanıtlamak için kalır.

    Herhangi bir pozitif sayı için b 1 ve b 2, b 1 olduğunu kanıtlayalım. log a b 2 ve a>1 için – eşitsizlik log a b 1

    Son olarak, logaritmanın listelenen özelliklerinin sonuncusunu kanıtlamak kalıyor. Kendimizi bunun ilk kısmının ispatıyla sınırlayalım, yani a 1 >1, a 2 >1 ve a 1 ise ispatlayacağız. 1 doğrudur log a 1 b>log a 2 b . Logaritmanın bu özelliğinin geri kalan ifadeleri benzer bir prensibe göre kanıtlanmıştır.

    Tam tersi yöntemi kullanalım. 1 >1, 2 >1 ve 1 için olduğunu varsayalım. 1 doğrudur log a 1 b≤log a 2 b . Logaritmanın özelliklerine dayanarak bu eşitsizlikler şu şekilde yeniden yazılabilir: Ve sırasıyla log b a 1 ≤log b a 2 ve log b a 1 ≥log b a 2 olur. O halde aynı tabanlara sahip kuvvetlerin özelliklerine göre b log b a 1 ≥b log b a 2 ve b log b a 1 ≥b log b a 2 eşitlikleri geçerli olmalıdır, yani a 1 ≥a 2 . Böylece a 1 koşuluyla çelişkiye geldik

Kaynakça.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).

ana özellikler.

  1. logax + logay = loga(x y);
  2. logax – logay = loga (x: y).

aynı gerekçeler

Günlük6 4 + günlük6 9.

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım.

Logaritma çözme örnekleri

Ya bir logaritmanın tabanı veya argümanı bir kuvvet ise? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Elbette tüm bu kurallar, logaritmanın ODZ'sine uyulduğu takdirde anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x >

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Yeni bir temele geçiş

Logaritmanın logax'ı verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Ayrıca bakınız:


Logaritmanın temel özellikleri

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.



Üs 2,718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2,7'ye eşittir ve Leo Nikolaevich Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır.

Logaritmanın temel özellikleri

Bu kuralı bildiğinizde hem üssün tam değerini hem de Leo Tolstoy'un doğum tarihini bileceksiniz.


Logaritma örnekleri

Logaritma ifadeleri

Örnek 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 özelliklerini kullanarak hesaplıyoruz

2.

3.

4. Nerede .



Örnek 2. Eğer x'i bulun


Örnek 3. Logaritmanın değeri verilsin

Log(x)'i hesaplayın, eğer




Logaritmanın temel özellikleri

Logaritmalar da diğer sayılar gibi her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar tam olarak sıradan sayılar olmadığından burada kurallar vardır. ana özellikler.

Bu kuralları kesinlikle bilmeniz gerekir - onlar olmadan tek bir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca bunlardan çok azı var - her şeyi bir günde öğrenebilirsiniz. Öyleyse başlayalım.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı düşünün: logax ve logay. Daha sonra bunlar eklenebilir ve çıkarılabilir ve:

  1. logax + logay = loga(x y);
  2. logax – logay = loga (x: y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta aynı gerekçeler. Sebepler farklıysa bu kurallar işe yaramaz!

Bu formüller, tek tek parçaları sayılmasa bile logaritmik bir ifadeyi hesaplamanıza yardımcı olacaktır (“Logaritma nedir” dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve şunu görün:

Logaritmaların tabanları aynı olduğundan toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Görev. İfadenin değerini bulun: log2 48 − log2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Görev. İfadenin değerini bulun: log3 135 − log3 5.

Tabanlar yine aynı olduğundan elimizde:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı olarak hesaplanmayan “kötü” logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra tamamen normal sayılar elde edilir. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, Birleşik Devlet Sınavında test benzeri ifadeler tüm ciddiyetiyle (bazen neredeyse hiç değişiklik yapılmadan) sunulmaktadır.

Üslü logaritmadan çıkarma

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Elbette, logaritmanın ODZ'sine uyulursa tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde uygulamayı öğrenin. , yani Logaritma işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Görev. İfadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formülü kullanarak argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanının tam kuvvetleri olan bir logaritma içerdiğine dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Elimizde:

Son örneğin biraz açıklama gerektirdiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece paydayla çalışıyoruz.

Logaritma formülleri. Logaritma örnek çözümleri.

Orada duran logaritmanın temelini ve argümanını kuvvetler şeklinde sunduk ve üsleri çıkardık - “üç katlı” bir kesir elde ettik.

Şimdi ana kesirlere bakalım. Pay ve payda aynı sayıyı içerir: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dörtlü paya aktarılabilir ki yapılan da budur. Sonuç şuydu: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsederken bunların sadece aynı tabanlarla çalıştığını özellikle vurguladım. Peki ya sebepler farklıysa? Peki ya bunlar aynı sayının tam kuvvetleri değilse?

Yeni bir vakfa geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Bunları bir teorem şeklinde formüle edelim:

Logaritmanın logax'ı verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle c = x değerini ayarlarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanının ve argümanının değiştirilebileceği anlaşılmaktadır, ancak bu durumda ifadenin tamamı "tersine çevrilmiştir", yani. logaritma paydada görünür.

Bu formüllere sıradan sayısal ifadelerde nadiren rastlanır. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklem ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyen sorunlar var. Bunlardan birkaçına bakalım:

Görev. İfadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam güçler içerdiğini unutmayın. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı “tersine çevirelim”:

Faktörleri yeniden düzenlerken çarpım değişmediğinden, sakince dört ve ikiyi çarptık ve ardından logaritmalarla uğraştık.

Görev. İfadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam kuvvetlerdir. Bunu bir kenara yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözüm sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritması olarak gösterilmesi gerekir. Bu durumda aşağıdaki formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı argümandaki üs haline gelir. N sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir çünkü bu yalnızca bir logaritma değeridir.

İkinci formül aslında başka kelimelerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna şöyle denir: .

Aslında b sayısı, b sayısının bu kuvveti a sayısını verecek şekilde yükseltilirse ne olur? Doğru: sonuç aynı a sayısıdır. Bu paragrafı dikkatlice tekrar okuyun; birçok kişi buna takılıp kalıyor.

Yeni bir tabana geçiş formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik de bazen mümkün olan tek çözümdür.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

log25 64 = log5 8 - basitçe tabandan ve logaritmanın argümanından kareyi aldığını unutmayın. Aynı tabanla kuvvetleri çarpma kurallarını hesaba katarsak şunu elde ederiz:

Bilmeyen varsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi :)

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması pek mümkün olmayan iki kimlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli problemlerle karşı karşıya kalırlar ve şaşırtıcı bir şekilde “ileri düzey” öğrenciler için bile problem yaratırlar.

  1. logaa = 1'dir. Bir kere şunu unutmayın: o tabanın herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
  2. loga 1 = 0'dır. A tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir içeriyorsa logaritma sıfıra eşittir! Çünkü a0 = 1 tanımın doğrudan sonucudur.

Tüm özellikler bu kadar. Bunları uygulamaya koymayı unutmayın! Dersin başındaki kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

Ayrıca bakınız:

b'nin a tabanına göre logaritması ifadeyi belirtir. Logaritmayı hesaplamak, eşitliğin sağlandığı x () kuvvetini bulmak anlamına gelir

Logaritmanın temel özellikleri

Logaritmalarla ilgili hemen hemen tüm problemler ve örnekler temel alınarak çözüldüğü için yukarıdaki özellikleri bilmek gerekir. Egzotik özelliklerin geri kalanı bu formüllerle matematiksel manipülasyonlar yoluyla elde edilebilir.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmaların toplamı ve farkı formülünü (3.4) hesaplarken oldukça sık karşılaşırsınız. Geri kalanı biraz karmaşıktır ancak bazı görevlerde karmaşık ifadeleri basitleştirmek ve değerlerini hesaplamak için vazgeçilmezdirler.

Yaygın logaritma durumları

Yaygın logaritmalardan bazıları, tabanın on, üstel veya iki olduğu logaritmalardır.
On tabanına göre logaritmaya genellikle ondalık logaritma denir ve basitçe lg(x) ile gösterilir.

Kayıtta esasların yazılmadığı kayıttan anlaşılıyor. Örneğin

Doğal logaritma, tabanı bir üs olan (ln(x) ile gösterilir) bir logaritmadır.

Üs 2,718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2,7'ye eşittir ve Leo Nikolaevich Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır. Bu kuralı bildiğinizde hem üssün tam değerini hem de Leo Tolstoy'un doğum tarihini bileceksiniz.

Ve ikinci tabanın bir diğer önemli logaritması şu şekilde gösterilir:

Bir fonksiyonun logaritmasının türevi, birin değişkene bölünmesine eşittir

İntegral veya ters türev logaritması ilişkiyle belirlenir.

Verilen materyal, logaritma ve logaritmalarla ilgili çok çeşitli problemleri çözmeniz için yeterlidir. Materyali anlamanıza yardımcı olmak için okul müfredatından ve üniversitelerden yalnızca birkaç yaygın örnek vereceğim.

Logaritma örnekleri

Logaritma ifadeleri

Örnek 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 özelliklerini kullanarak hesaplıyoruz

2.
Logaritma farkının özelliği ile elimizdeki

3.
Bulduğumuz özellikler 3.5'i kullanarak

4. Nerede .

Görünüşte karmaşık bir ifade, bir dizi kural kullanılarak basitleştirilerek oluşturulur

Logaritma değerlerini bulma

Örnek 2. Eğer x'i bulun

Çözüm. Hesaplama için son terim 5 ve 13'ün özelliklerine başvuruyoruz.

Bunu kayda geçirdik ve yas tuttuk

Tabanlar eşit olduğundan ifadeleri eşitliyoruz

Logaritmalar. İlk seviye.

Logaritmanın değeri verilsin

Log(x)'i hesaplayın, eğer

Çözüm: Değişkenin logaritmasını alarak terimlerinin toplamı üzerinden logaritmasını yazalım.


Bu, logaritmalar ve özellikleriyle tanışmamızın sadece başlangıcıdır. Hesaplamalar yapın, pratik becerilerinizi zenginleştirin; yakında logaritmik denklemleri çözmek için edindiğiniz bilgilere ihtiyacınız olacak. Bu tür denklemleri çözmenin temel yöntemlerini inceledikten sonra, bilginizi eşit derecede önemli başka bir konuya, logaritmik eşitsizliklere genişleteceğiz...

Logaritmanın temel özellikleri

Logaritmalar da diğer sayılar gibi her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar tam olarak sıradan sayılar olmadığından burada kurallar vardır. ana özellikler.

Bu kuralları kesinlikle bilmeniz gerekir - onlar olmadan tek bir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca bunlardan çok azı var - her şeyi bir günde öğrenebilirsiniz. Öyleyse başlayalım.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı düşünün: logax ve logay. Daha sonra bunlar eklenebilir ve çıkarılabilir ve:

  1. logax + logay = loga(x y);
  2. logax – logay = loga (x: y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta aynı gerekçeler. Sebepler farklıysa bu kurallar işe yaramaz!

Bu formüller, tek tek parçaları sayılmasa bile logaritmik bir ifadeyi hesaplamanıza yardımcı olacaktır (“Logaritma nedir” dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve şunu görün:

Görev. İfadenin değerini bulun: log6 4 + log6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğundan toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Görev. İfadenin değerini bulun: log2 48 − log2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Görev. İfadenin değerini bulun: log3 135 − log3 5.

Tabanlar yine aynı olduğundan elimizde:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı olarak hesaplanmayan “kötü” logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra tamamen normal sayılar elde edilir. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, Birleşik Devlet Sınavında test benzeri ifadeler tüm ciddiyetiyle (bazen neredeyse hiç değişiklik yapılmadan) sunulmaktadır.

Üslü logaritmadan çıkarma

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya bir logaritmanın tabanı veya argümanı bir kuvvet ise? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Elbette, logaritmanın ODZ'sine uyulursa tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde uygulamayı öğrenin. , yani Logaritma işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz.

Logaritmalar nasıl çözülür?

En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Görev. İfadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formülü kullanarak argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanının tam kuvvetleri olan bir logaritma içerdiğine dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Elimizde:

Son örneğin biraz açıklama gerektirdiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece paydayla çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın temelini ve argümanını kuvvetler şeklinde sunduk ve üsleri çıkardık - “üç katlı” bir kesir elde ettik.

Şimdi ana kesirlere bakalım. Pay ve payda aynı sayıyı içerir: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dörtlü paya aktarılabilir ki yapılan da budur. Sonuç şuydu: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsederken bunların sadece aynı tabanlarla çalıştığını özellikle vurguladım. Peki ya sebepler farklıysa? Peki ya bunlar aynı sayının tam kuvvetleri değilse?

Yeni bir vakfa geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Bunları bir teorem şeklinde formüle edelim:

Logaritmanın logax'ı verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle c = x değerini ayarlarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanının ve argümanının değiştirilebileceği anlaşılmaktadır, ancak bu durumda ifadenin tamamı "tersine çevrilmiştir", yani. logaritma paydada görünür.

Bu formüllere sıradan sayısal ifadelerde nadiren rastlanır. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklem ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyen sorunlar var. Bunlardan birkaçına bakalım:

Görev. İfadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam güçler içerdiğini unutmayın. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı “tersine çevirelim”:

Faktörleri yeniden düzenlerken çarpım değişmediğinden, sakince dört ve ikiyi çarptık ve ardından logaritmalarla uğraştık.

Görev. İfadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam kuvvetlerdir. Bunu bir kenara yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözüm sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritması olarak gösterilmesi gerekir. Bu durumda aşağıdaki formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı argümandaki üs haline gelir. N sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir çünkü bu yalnızca bir logaritma değeridir.

İkinci formül aslında başka kelimelerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna şöyle denir: .

Aslında b sayısı, b sayısının bu kuvveti a sayısını verecek şekilde yükseltilirse ne olur? Doğru: sonuç aynı a sayısıdır. Bu paragrafı dikkatlice tekrar okuyun; birçok kişi buna takılıp kalıyor.

Yeni bir tabana geçiş formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik de bazen mümkün olan tek çözümdür.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

log25 64 = log5 8 - basitçe tabandan ve logaritmanın argümanından kareyi aldığını unutmayın. Aynı tabanla kuvvetleri çarpma kurallarını hesaba katarsak şunu elde ederiz:

Bilmeyen varsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi :)

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması pek mümkün olmayan iki kimlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli problemlerle karşı karşıya kalırlar ve şaşırtıcı bir şekilde “ileri düzey” öğrenciler için bile problem yaratırlar.

  1. logaa = 1'dir. Bir kere şunu unutmayın: o tabanın herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
  2. loga 1 = 0'dır. A tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir içeriyorsa logaritma sıfıra eşittir! Çünkü a0 = 1 tanımın doğrudan sonucudur.

Tüm özellikler bu kadar. Bunları uygulamaya koymayı unutmayın! Dersin başındaki kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.



 

Şunu okumak yararlı olabilir: