Чому рівні сторони єгипетського трикутника? Єгипетський трикутник та зворотна теорема піфагора

Про єгипетський трикутник і його властивості добре відомо ще з давніх часів. Ця фігура широко застосовувалася у будівництві для розмітки та побудови правильних кутів.

Історія єгипетського трикутника

Творцем цієї геометричної конструкції є один із найбільших математиків давнини Піфагор. Саме завдяки його математичним дослідженням ми можемо повною мірою використовувати всі властивості цієї геометричної побудови у будівництві.

Можна припустити, що математичні навички дозволили Піфагору помітити закономірність у формах будови. Подальший розвиток подій можна легко уявити. Базовий аналіз та побудова висновків створили одну з найбільш значних постатей в історії. Швидше за все, як прообраз була обрана саме піраміда Хеопса через свої практично досконалі пропорції.

Єгипетський трикутник у будівництві

Властивості цієї унікальної геометричної конструкції полягають у тому, що її побудова без застосування будь-яких інструментів дозволяє побудувати будинок з правильними у всіх співвідношеннях кутами.

Важливо! Звичайно, в ідеалі найкращим варіантом буде використання транспортира чи косинця.

Отже, якості єгипетського трикутника дозволяють робити правильні у всіх співвідношеннях кути. Сторони конструкції мають таке співвідношення один до одного:

Щоб перевірити чи фігуру ви накреслили, використовуйте добре відому ще зі шкільної лави Теорему Піфагора.

Увага ! Властивості єгипетського трикутника такі, що квадрат гіпотенузи дорівнює квадратам двох катетів.

Для кращого розуміння візьмемо наведену вище залежність і складемо невеликий приклад. Помножимо п'ять на п'ять. У результаті отримаємо гіпотенузу рівну 25. Обчислимо квадрати двох катетів. Вони становитимуть 16 та 9. Відповідно їх сума буде двадцять п'ять.

Саме тому властивості єгипетського трикутника так часто використовуються у будівництві. Вам достатньо взяти заготівлю та прокреслити пряму лінію. Її довжина завжди повинна бути кратною 5. Потім потрібно намітити один край і відміряти від нього кратну лінію 4, а від другого 3.

Увага ! Довжина кожного відрізка складе 4 та 3 см (при мінімальних значеннях). Перетин цих прямих утворює прямий кут, що дорівнює 90 градусів.

Альтернативні способи збудувати прямий кут на 90 градусів

Як згадувалося вище, найкращим варіантомбуде просто взяти косинець або транспортир. Ці інструменти дозволяють з найменшими витратами часу і сил досягти необхідних пропорцій. Головне ж властивість єгипетського трикутника полягає у його універсальності. Фігуру можна збудувати, не маючи в арсеналі практично нічого.

Сильно у побудові прямого кутадопомагають прості друковані видання. Візьміть будь-який журнал чи книгу. Справа в тому, що в них співвідношення сторін завжди становить 90 градусів. Друкарські верстати працюють дуже точно. В іншому випадку рулон, який заправляється в верстат, різатиметься непропорційними кривими кутами.

Як отримати єгипетський трикутник за допомогою мотузки

Властивості цієї геометричної фігуриважко переоцінити. Не дивно, що інженерами давнини було винайдено безліч способів її освіти з використанням мінімальних ресурсів.

Одним з найпростіших вважається метод утворення єгипетського трикутника з усіма його властивостями, що випливають, за допомогою простої мотузки. Візьміть мотузку і розріжте її на 12 абсолютно рівних частин. З них складіть фігуру з пропорціями 3, 4 та 5.

Як побудувати кут 45, 30 і 60 градусів

Безумовно, єгипетський трикутник та його властивості дуже корисні при будівництві будинку. Але без інших кутів вам все-таки не вдасться. Щоб отримати кут 45 градусів, візьміть матеріал рамки або багета. Після чого розпиляйте його під кутом в сорок п'ять градусів і з'єднайте половинки один з одним.

Важливо! Для отримання потрібного нахилу вирвіть аркуш паперу з журналу та зігніть його. При цьому лінії вигину проходитимуть через кут. Краї мають збігтися.

Як бачите, властивості фігури дозволяють набагато простіше та швидше побудувати геометричний конструкт. Щоб досягти співвідношення сторін у 60 градусів потрібно взяти один трикутник на 30 º і другий такий самий. Зазвичай, подібні пропорції необхідні при створенні певних декоративних елементів.

Увага ! Співвідношення сторін на 30 º потрібно зробити шестикутники. Їхні властивості затребувані в столярних заготовках.

Підсумки

Властивості єгипетського трикутника широко використовувалися в будівництві протягом майже двох з половиною століть. Навіть зараз при нестачі інструментів будівельники застосовують цю відкриту ще Піфагором методику, щоб досягти прямих рівних кутів.

Ка-ж-дий, хто уважно слухав у школі викладача геометрії, дуже добре знайомий з тим, що є єгипетським трикутником. Від інших видів подібних з кутом 90 градусів він відрізняється особливим співвідношенням сторін. Коли людина вперше чує словосполучення «єгипетський трикутник», на думку спадають картини величних пірамід і фараонів. А що ж каже історія?

Як завжди буває, щодо назви «єгипетський трикутник» є кілька теорій. Згідно з однією з них, відома теорема Піфагора побачила світ саме завдяки цій фігурі. У 535 році до н. Піфагор, слідуючи рекомендації Фалеса, вирушив до Єгипту з метою заповнити деякі прогалини у пізнаннях математики та астрономії. Там він звернув увагу на особливості роботи єгипетських землемірів. Вони дуже незвичайним способомвиконували побудову з прямим кутом, сторони якої взаємопов'язані одна з одною співвідношенням 3-4-5. Цей математичний ряд дозволяв відносно легко зв'язати квадрати всіх трьох сторін одним правилом. Саме так виникла знаменита теорема. А єгипетський трикутник якраз і є та сама фігура, яка наштовхнула Піфагора на геніальне рішення. Згідно з іншими історичними даними, фігурі дали назву греки: тоді вони часто гостювали в Єгипті, де могли зацікавитися роботою землемірів. Існує ймовірність, що, як це часто буває з науковими відкриттями, обидві історії сталися одночасно, тому не можна з упевненістю стверджувати, хто ж вигадав першу назву «єгипетський трикутник». Властивості його дивовижні і, зрозуміло, не вичерпуються лише співвідношенням розмірів сторін. Його площа та сторони представлені цілими числами. Завдяки цьому застосування до нього теореми Піфагора дозволяє отримати цілі числа квадратів гіпотенузи та катетів: 9-16-25. Звісно, ​​це може бути простим збігом. Але як у такому разі пояснити те, що єгиптяни вважали «свій» трикутник священним? Вони вірили у його взаємозв'язок із усім Всесвітом.

Після того, як інформація про цю незвичайну геометричну фігуру стала загальнодоступною, у світі почалися пошуки інших подібних трикутників із цілими сторонами. Було очевидно, що вони є. Але важливість питання не в тому, щоб виконати математичні розрахунки, а перевірити «священні» властивості. Єгиптяни, за всієї своєї незвичайності, ніколи не вважалися дурними - вчені досі не можуть пояснити, як саме були зведені піраміди. А тут, раптом, звичайній фігурі приписувався зв'язок із Природою та Всесвітом. І, дійсно, знайдений клинопис містить вказівки про подібний трикутник зі стороною, розмір якої описується 15-значним числом. В даний час єгипетський трикутник, кути якого дорівнюють 90 (прямий), 53 і 37 градусів, знаходять у зовсім несподіваних місцях. Наприклад, щодо поведінки молекул самої звичайної води, з'ясувалося, що зміна супроводжується перебудовою просторової зміни молекул, у якій можна побачити… той самий єгипетський трикутник. Якщо згадати, що складається із трьох атомів, то можна говорити про умовні три сторони. Звичайно, про повний збіг знаменитого співвідношення не йдеться, але отримувані числа дуже близькі до шуканих. Чи не тому єгиптяни визнавали за своїм «3-4-5» трикутником символічний ключ до природним явищамта таємницям Всесвіту? Адже вода, як відомо, є основою життя. Без сумніву, ще зарано ставити крапку у вивченні знаменитої єгипетської фігури. Наука ніколи не поспішає з висновками, прагнучи довести свої припущення. А нам залишається лише чекати і дивуватися знанням

Кожна наука має свій фундамент, на підставі якого і будується весь подальший її розвиток. Це, безумовно, теорема Піфагора. Зі шкільної лави вчать формулюванню: «Піфагорові штани на всі боки рівні». По науковому звучить небагато, менш промовисто. Наочно ця теорема представляється зі сторонами 3-4-5. Це і є чудовий єгипетський трикутник.

Історія

Знаменитий грецький математик та філософ Піфагор Самоський, який дав своє ім'я теоремі, жив 2,5 тис. років тому. Біографія цього видатного вченого мало вивчена, проте до сьогодні все ж таки дійшли деякі .

На прохання Фалеса, з метою вивчення математики та астрономії, в 535 році до нашої ери він вирушив у довгу подорож до Єгипту та Вавилону. У Єгипті серед безкрайнього простору пустелі він побачив величні піраміди, що дивують своїми величезними розмірами та стрункими геометричними формами. Піфагор їх бачив у дещо іншому вигляді, ніж той, у якому бачать туристи сьогодні. Це були неймовірно величезні для того часу споруди з чіткими рівними гранями на тлі менших прилеглих храмів, для дружин, дітей та інших родичів фараона. Крім прямого призначення (усипальниці та хранителя священного тіла фараона) піраміди споруджувалися і як символи величі, багатства та могутності Єгипту.

І ось Піфагор у ході ретельного вивчення цих конструкцій помітив строгу закономірність у співвідношенні розмірів та форм споруд. Розмірам Єгипетського трикутника відповідає піраміда Хеопса, вона вважалася священною і мала особливий магічний сенс.

Піраміда Хеопса є достовірним підтвердженням того, що знання про пропорції єгипетського трикутника використовувалася єгиптянами задовго до відкриття Піфагора.

Застосування

Форма у трикутника найпростіша і гармонійніша, з ним легко працювати, для цього знадобляться лише найпростіші інструменти - циркуль і лінійка.
Без застосування спеціальних інструментів збудувати прямий кут практично неможливо. Але завдання дуже спрощується при використанні знань про єгипетський трикутник. Для цього беруть просту мотузку, поділяють на 12 частин і складають у формі трикутника з пропорціями 3-4-5. Кут між 3 та 4 вийде прямим. У далекому минулому цей трикутник активно використовували архітектори та землеміри.

Не виключено, що термін «Єгипетський трикутник» дав Піфагор, побувавши на вимогу Фалесав Єгипті…

«… у цьому нарисі нас цікавить саме непрактичний, неприкладний аспект математики, ми припускаємо дуже і дуже повчальним включення до «джентльменський набір» математичних уявлень знання того, чому трикутник зі сторонами 3, 4, 5 називається єгипетським.

А вся справа в тому, що давньоєгипетські будівельники пірамід потребували способу побудови прямого кута. Ось потрібний спосіб. Мотузка розбивається на 12 рівних частин, межі між сусідніми частинами позначаються, а кінці мотузки з'єднуються. Потім мотузка натягується трьома людьми так, щоб вона утворила трикутник, а відстані між сусідніми натягувачами становили б відповідно 3 частини, 4 частини і 5 частин. У такому випадку трикутник виявиться прямокутним, у якому сторони 3 і 4 будуть катетами, а сторона 5 - гіпотенузою, тому кут між сторонами 3 і 4 буде прямим.

Боюся, що більшість читачів у відповідь на запитання «Чому трикутник виявиться прямокутним?» пошлеться на теорему Піфагора: адже три в квадраті плюс чотири в квадраті дорівнює п'яти в квадраті. Однак теорема Піфагора стверджує, що якщо трикутник прямокутний, то в цьому випадку сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату третьої.

Тут же використовується теорема, обернена до теореми Піфагора: якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої, то трикутник прямокутний. (Не впевнений, що ця зворотна теорема займає належне місце у шкільній програмі.)».

Успенський В.А. , Апологія математики, або про математику як частини духовної культури, журнал « Новий Світ», 2007 р., N 11, с. 131.

Відомий математик Піфагор зробив безліч різних відкриттів, але більшості людей, яким не доводиться регулярно стикатися з алгеброю та геометрією, він відомий завдяки своїй теоремі. Вчений відкрив її, перебуваючи в Єгипті, де його зачарувала краса та витонченість пірамід, а це, у свою чергу, наштовхнуло його на думку про те, що в їхніх формах простежується певна закономірність.

Історія відкриття

Своєю назвою єгипетський трикутник завдячує еллінам, які часто відвідували Єгипет у VII-V століттях до н. е., серед них був і Піфагор. Основою піраміди Хеопса є прямокутний багатокутник, а

Піраміди Хефрена - так званий єгипетський трикутник, який древні називали священним. Плутарх писав, що жителі Єгипту співвідносили природу з цією геометричною фігурою: вертикальний катет символізував чоловіка, основу – жінку, а гіпотенуза – дитину. Співвідношення сторін у ньому дорівнює 3:4:5, а це призводить до теореми Піфагора, оскільки 3 2 х 4 2 = 5 2 . Отже, той факт, що в основі піраміди Хефрена лежить єгипетський трикутник, дозволяє стверджувати, що знаменита теорема була відома мешканцям стародавнього світуще до того, як її сформулював Піфагор. Особливістю цієї фігури також вважається те, що завдяки такому співвідношенню сторін вона є першим і найпростішим з трикутників Герона, оскільки її сторони і площа цілі.

Застосування

Єгипетський трикутник з давніх-давен користувався популярністю в архітектурі та будівництві.

В основному він використовувався тоді, коли будували прямі кути за допомогою шнура або мотузки, розділеної на 12 частин. За відмітками на такій мотузці можна було дуже точно створити прямокутну фігуру, катети якої будуть направляти для встановлення прямого кута будівлі. Відомо, що такі властивості цієї геометричної фігури використовувалися не тільки в Стародавньому Єгипті, а й задовго до цього в Китаї, Вавилоні та Месопотамії. Для створення пропорційних споруд у Середньовіччі також використовувався єгипетський трикутник.

Кути

Співвідношення сторін цього трикутника 3:4:5 призводить до того, що він є прямокутним, тобто один кут дорівнює 90 градусів, а два інших - 53,13 і 36,87 градусів. Прямим є кут між сторонами, співвідношення яких дорівнює 3:4.

Доведення

За допомогою деяких простих обчислень можна довести, що трикутник прямокутний. Якщо слідувати теоремі зворотній тій, яку створив Піфагор, тобто у разі, якщо сума квадратів двох сторін дорівнюватиме квадрату третьої, то він прямокутний, а оскільки його сторони призводять до рівності 3 2 х 4 2 = 5 2, отже, він є прямокутним.
Підсумовуючи, слід зазначити, що єгипетський трикутник, властивості якого вже багато століть відомі людству, нині продовжує використовуватися в архітектурі. Це зовсім не дивно, адже такий спосіб гарантує точність, яка є дуже важливою при будівництві. Крім цього, він дуже простий у використанні, що також значно полегшує процес. Всі переваги використання цього методу пройшли перевірку століттями та залишаються популярними досі.



 

Можливо, буде корисно почитати: