Генетична символіка оформлення завдань. Кут між прямими, що схрещуються - визначення, приклади знаходження Як позначити прямі, що схрещуються

У цій статті спочатку дамо визначення кута між прямими, що схрещуються, і наведемо графічну ілюстрацію. Далі відповімо на запитання: «Як знайти кут між прямими схрещуються, якщо відомі координати напрямних векторів цих прямих у прямокутній системі координат»? У висновку попрактикуємося у знаходженні кута між прямими, що схрещуються, при вирішенні прикладів і завдань.

Навігація на сторінці.

Кут між прямими схрещуються - визначення.

До визначення кута між прямими, що схрещуються, будемо підходити поступово.

Спочатку нагадаємо визначення прямих, що схрещуються: дві прямі в тривимірному просторі називаються схрещуютьсяякщо вони не лежать в одній площині. З цього визначення випливає, що прямі, що схрещуються, не перетинаються, не паралельні, і, тим більше, не збігаються, інакше вони обидві лежали б в деякій площині.

Наведемо ще допоміжні міркування.

Нехай у тривимірному просторі задані дві прямі, що схрещуються, a і b . Побудуємо прямі a 1 і b 1 так, щоб вони були паралельні прямим a і b, що схрещуються, відповідно і проходили через деяку точку простору M 1 . Таким чином, ми отримаємо дві прямі, що перетинаються, a 1 і b 1 . Нехай кут між прямими, що перетинаються, a 1 і b 1 дорівнює куту . Тепер побудуємо прямі a 2 і b 2 паралельні схрещується прямим a і b відповідно, що проходять через точку М 2 відмінну від точки М 1 . Кут між прямими, що перетинаються, a 2 і b 2 також буде дорівнює куту . Це твердження справедливе, оскільки прямі a 1 і b 1 збігатимуться з прямими a 2 і b 2 відповідно, якщо виконати паралельне перенесення, при якому точка М 1 перейде в точку М 2 . Таким чином, міра кута між двома перетинаються в точці М прямими, відповідно паралельними заданим прямим, що схрещується, не залежить від вибору точки М .

Тепер ми готові до того, щоб дати визначення кута між прямими, що схрещуються.

Визначення.

Кут між схрещувальними прямими– це кут між двома перетинаючими прямими, які відповідно паралельні заданим прямим, що схрещується.

З визначення випливає, що кут між прямими схрещуються також не залежатиме від вибору точки M . Тому в якості точки М можна взяти будь-яку точку, що належить одній з прямих, що схрещуються.

Наведемо ілюстрацію визначення кута між прямими, що схрещуються.

Знаходження кута між прямими, що схрещуються.

Так як кут між схрещуються прямими визначається через кут між прямими, що перетинаються, то перебування кута між схрещуються прямими зводиться до знаходження кута між відповідними перетинаються прямими в тривимірному просторі.

Безсумнівно, знаходження кута між схрещуються прямими підходять методи, вивчені під час уроків геометрії середній школі. Тобто, виконавши необхідні побудови, можна пов'язати шуканий кут з будь-яким відомим з умови кутом, ґрунтуючись на рівності чи подобі фігур, у деяких випадках допоможе теорема косінусів, а іноді до результату призводить визначення синуса, косинуса та тангенсу кутапрямокутний трикутник.

Однак дуже зручно вирішувати задачу знаходження кута між прямими методом координат, що схрещуються. Саме його й розглянемо.

Нехай у тривимірному просторі запроваджено Oxyz (щоправда, у багатьох завданнях її доводиться вводити самостійно).

Поставимо собі завдання: знайти кут між схрещуються прямими a і b , яким відповідають у прямокутної системі координат Oxyz деякі рівняння прямий у просторі .

Вирішимо її.

Візьмемо довільну точку тривимірного простору М і вважатимемо, що через неї проходять прямі a 1 і b 1 паралельні схрещується прямим a і b відповідно. Тоді шуканий кут між схрещуючими прямими a і b дорівнює куту між прямими, що перетинаються, a 1 і b 1 за визначенням.

Таким чином, нам залишилося знайти кут між прямими, що перетинаються, a 1 і b 1 . Щоб застосувати формулу для знаходження кута між двома прямими, що перетинаються, в просторі нам потрібно знати координати напрямних векторів прямих a 1 і b 1 .

Як ми їх можемо отримати? А дуже просто. Визначення напрямного вектора прямої дозволяє стверджувати, що безлічі напрямних векторів паралельних прямих збігаються. Отже, як напрямні вектори прямих a 1 і b 1 можна прийняти напрямні вектори і прямих a та b відповідно.

Отже, кут між двома схрещуючими прямими a і b обчислюється за формулою
, де і - Спрямовують вектори прямих a і b відповідно.

Формула для знаходження косинуса кута між прямими, що схрещуються. a і b має вигляд .

Дозволяє знайти синус кута між прямими схрещуються, якщо відомий косинус: .

Залишилося розібрати приклади.

приклад.

Знайдіть кут між схрещувальними прямими a і b , які визначені у прямокутній системі координат Oxyz рівняннями і .

Рішення.

Канонічні рівняння прямої у просторі дозволяють відразу визначити координати напрямного вектор цієї прямої – їх дають числа у знаменниках дробів, тобто, . Параметричні рівняння прямої у просторі також дають можливість відразу записати координати напрямного вектора – вони рівні коефіцієнтам перед параметром, тобто, - напрямний вектор прямий . Таким чином, ми маємо всі необхідні дані для застосування формули, за якою обчислюється кут між схрещуються прямими:

Відповідь:

Кут між заданими схрещуються прямими дорівнює.

приклад.

Знайдіть синус і косинус кута між прямими, що схрещуються, на яких лежать ребра AD і BC піраміди АВСD , якщо відомі координати її вершин: .

Рішення.

Напрямними векторами прямих AD і BC, що схрещуються, є вектори і . Обчислимо їх координати як різницю відповідних координат точок кінця та початку вектора:

За формулою ми можемо обчислити косинус кута між зазначеними прямими, що схрещуються:

Тепер обчислимо синус кута між прямими, що схрещуються:

Генетична символіка

Символіка — перелік і пояснення умовних назв і термінів, які у будь-якій галузі науки.

Основи генетичної символіки були закладені Грегором Менделем, який застосував літерну символіку для позначення ознак. Домінантні ознаки були позначені великими літерами латинського алфавіту А, В, С і т.д., рецесивні - малими літерами - а, в, с і т.д. Буквена символіка, запропонована Менделем, насправді, алгебраїчна форма вираження законів успадкування ознак.

Для позначення схрещування прийнято таку символіку.

Батьки позначаються латинською літерою Р (Parents - батьки), потім поруч записують їх генотипи. Жіночу стать позначають символом ♂ (дзеркало Венери), чоловіча — ♀ (щит і спис Марса). Між батьками ставлять знак «х», що означає схрещування. Генотип жіночої особи пишуть на першому місці, а чоловічий – на другому.

Перше покоління позначається F 1 (Filli – діти), друге покоління – F 2 і т.д. Поруч наводять позначення генотипів нащадків.

Словник основних термінів та понять

Алелі (алельні гени)- Різні форми одного гена, що виникли в результаті мутацій і розташовані в однакових точках (локусах) парних гомологічних хромосом.

Альтернативні ознаки- Взаємовиключні, контрастні ознаки.

Гамети (від грец. » - чоловік) - статева клітина рослинного або тваринного організму, що несе один ген з алельної пари. Гамети завжди несуть гени у «чистому» вигляді, т.к. утворюються шляхом мейотичного поділу клітин та містять одну з пари гомологічних хромосом.

Ген (від грец. » – народження) – ділянка молекули ДНК, яка несе інформацію про первинну структуру одного конкретного білка.

Гени алельні - парні гени, розташовані в ідентичних ділянках гомологічних хромосом.

Генотип - Сукупність спадкових задатків (генів) організму.

Гетерозигота (від грец. «Гетерос» » – інший і зигота) – зигота, що має два різні алелі по даному гену (Аа, Вb).

Гетерозиготниминазивають особин, які отримали від батьківських особин різні гени. Гетерозиготна особина у потомстві дає розщеплення за даною ознакою.

Гомозигота (від грец. «Гомос » – однаковий і зигота) – зигота, що має однакові алелі даного гена (обидва домінантні або обидва рецесивні).

Гомозиготними називають особин, які отримали від батьківських особин однакові спадкові задатки (гени) за якоюсь конкретною ознакою. Гомозиготна особина у потомстві не дає розщеплення.

Гомологічні хромосоми(Від грец. «Гомос » – однаковий) – парні хромосоми, однакові за формою, розмірами, набором генів. У диплоїдній клітині набір хромосом завжди парний: одна хромосома із пари материнського походження, друга – батьківська.

Гетерозиготниминазивають особин, які отримали від батьківських особин різні гени. Таким чином, за генотипом особини можуть бути гомозиготними (АА або аа) або гетерозиготними (Аа).

Домінантна ознака (ген) – переважаючий, проявляється – позначається великими літерами латинського алфавіту:А, В, С і т.д.

Рецесивна ознака (ген) – пригнічувана ознака – позначається відповідною малою літерою латинського алфавіту:а, b с і т. д

Схрещування, що аналізує- схрещування випробуваного організму з іншим, що є за даною ознакою рецесивною гомозиготою, що дозволяє встановити генотип випробуваного.

Схрещування дигібридне– схрещування форм, що відрізняються один від одного за двома парами альтернативних ознак.

Схрещування моногібридне- схрещування форм, що відрізняються один від одного по одній парі альтернативних ознак.

Чисті лінії – організми, гомозиготні за однією або декількома ознаками і не дають у потомстві прояви альтернативної ознаки.

Фен – ознака.

Фенотип - Сукупність всіх зовнішніх ознак і властивостей організму, доступних спостереженню та аналізу.

Алгоритм розв'язання генетичних завдань

Уважно прочитайте рівень завдання.
Зробіть короткий запис умови завдання.
Запишіть генотипи і фенотипи особин, що схрещуються.
Визначте і запишіть типи гамет, які утворюють особи, що схрещуються.
Визначте та запишіть генотипи та фенотипи одержаного від схрещування потомства.
Проаналізуйте результати схрещування. Для цього визначте кількість класів потомства за фенотипом та генотипом і запишіть їх у вигляді числового співвідношення.
Запишіть відповідь на запитання задачі.

(При вирішенні завдань з певних тем послідовність етапів може змінюватися, які зміст модифікуватися.)

Оформлення завдань

Першим прийнято записувати генотип жіночої особини, а потім – чоловічий (вірний запис - ♀ААВВ х ♂аавв; неправильний запис- ♂ аавв х ♀ААВВ).
Гени однієї алельної пари завжди пишуться поряд(правильний запис – ♀ААВВ; неправильний запис ♀АВАВ).
При записі генотипу, літери, що позначають ознаки, завжди пишуться в алфавітному порядку, незалежно від того, яка ознака – домінантна або рецесивна – вони позначають (вірний запис - ♀ааВВ;неправильний запис -♀ВВА).
Якщо відомий лише фенотип особини, то при записі її генотипу пишуть ті гени, наявність яких безперечно.Ген, який неможливо визначити за фенотипом, позначають позначкою «_»(наприклад, якщо жовте забарвлення (А) і гладка форма (В) насіння гороху – домінантні ознаки, а зелене забарвлення (а) та зморшкувата форма (в) – рецесивні, то генотип особини з жовтим зморшкуватим насінням записують наступним чином:А_вв).
Під генотипом завжди пишуть фенотип.
Гамети записують, обводячи їх кружком(А).
У особин визначають та записують типи гамет, а не їх кількість

Для позначення геометричних фігур та їх проекцій, для відображення відносини між ними, а також для стислості записів геометричних речень, алгоритмів розв'язання задач та доказу теорем в курсі використовується геометрична мова, Складений з позначень і символів, прийнятих в курсі математики (зокрема, в новому курсі геометрії в середній школі).

Все різноманіття позначень та символів, а також зв'язки між ними можуть бути поділені на дві групи:

група I - позначення геометричних фігур та відносин між ними;

група II позначення логічних операцій, що становлять синтаксичну основу геометричної мови.

Нижче наведено повний список математичних символів, що використовуються у цьому курсі. Особлива увага приділяється символам, які використовуються для позначення проекцій геометричних фігур.

Група I

СИМВОЛИ, ЩО ПОЗНАЧАЮТЬ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВІДНОСИНИ МІЖ НИМИ

А. Позначення геометричних фігур

1. Геометрична фігура позначається – Ф.

2. Крапки позначаються великими літерами латинського алфавіту або арабськими цифрами:

А, В, С, D, ..., L, М, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Лінії, довільно розташовані стосовно площин проекцій, позначаються малими літерами латинського алфавіту:

а, b, с, d, ..., l, m, n, ...

Лінії рівня позначаються: h – горизонталь; f-фронталь.

Для прямих використовуються також такі позначення:

(АВ) - пряма, що проходить через точки А АВ;

[АВ) - промінь із початком у точці А;

[АВ] – відрізок прямий, обмежений точками А та В.

4. Поверхні позначаються малими літерами грецького алфавіту:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Щоб підкреслити спосіб завдання поверхні, слід вказувати геометричні елементи, якими визначається, наприклад:

α(а || b) - площина визначається паралельними прямими а і b;

β(d 1 d 2 gα) - поверхня β визначається напрямними d 1 і d 2 утворює g і площиною паралелізму α.

5. Кути позначаються:

∠ABC - кут з вершиною в точці В, а також ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Кутова: величина (градусна міра) позначається знаком, який ставиться над кутом:

Розмір кута АВС;

Розмір кута φ.

Прямий кут відзначається квадратом з точкою всередині

7. Відстань між геометричними фігурами позначаються двома вертикальними відрізками - ||.

Наприклад:

|АВ| - відстань між точками А та В (довжина відрізка АВ);

|Аа| - Відстань від точки А до лінії a;

|А?| - Відстань від точки А до поверхні α;

|ab| - відстань між лініями а та b;

|αβ| відстань між поверхнями α та β.

8. Для площин проекцій прийняті позначення: 1 і 2, де 1 - горизонтальна площина проекцій;

π 2 -фрюнтальна площина проекцій.

При заміні площин проекцій або запровадження нових площин останні позначають π 3 , π 4 і т.д.

9. Осі проекцій позначаються: х, у, z, де х – вісь абсцис; у - вісь ординат; z – вісь аплікат.

Постійну пряму епюру Монжа позначають k.

10. Проекції точок, ліній, поверхонь будь-якої геометричної фігури позначаються тими ж літерами (або цифрами), що й оригінал, з додаванням верхнього індексу, що відповідає площині проекції, на якій вони отримані:

А", В", С", D", ..., L", М", N", горизонтальні проекції точок; А", В", С", D", ..., L", М" , N", ... фронтальні проекції точок; a", b", c", d", ..., l", m", n", - горизонтальні проекції ліній; а", b", с", d", ..., l", m ", n", ... фронтальні проекції ліній; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... горизонтальні проекції поверхонь; α", β", γ", δ",...,ζ" ,η",ν",... фронтальні проекції поверхонь.

11. Сліди площин (поверхень) позначаються тими самими літерами, що і горизонталь або фронталь, з додаванням підрядкового індексу 0α, що підкреслює, що ці лінії лежать у площині проекції та належать площині (поверхні) α.

Так: h 0α – горизонтальний слід площини (поверхні) α;

f 0α – фронтальний слід площини (поверхні) α.

12. Сліди прямих (ліній) позначаються великими літерами, з яких починаються слова, що визначають назву (латинської транскрипції) площині проекції, яку перетинає лінія, з підрядковим індексом, що вказує на приналежність до лінії.

Наприклад: Ha - горизонтальний слід прямої (лінії) а;

F a – фронтальний слід прямої (лінії) a.

13. Послідовність точок, ліній (будь-якої фігури) відзначається підрядковими індексами 1,2,3,..., n:

А 1, А 2, А 3, ..., А n;

a 1, a 2, a 3, ..., a n;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

Ф 1, Ф 2, Ф 3, ..., Ф n і т. д.

Допоміжна проекція точки, отримана в результаті перетворення для отримання дійсної величини геометричної фігури, позначається тією ж літерою з підрядковим індексом 0:

A 0, B 0, З 0, D 0, ...

Аксонометричні проекції

14. Аксонометричні проекції точок, ліній, поверхонь позначаються тими самими літерами, що й натура з додаванням верхнього індексу 0:

А 0, В 0, З 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0, b 0, c 0, d 0, ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Вторинні проекції позначаються шляхом додавання верхнього індексу 1:

А 1 0, В 1 0, З 1 0, D 1 0, ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Для полегшення читання креслень у підручнику під час оформлення ілюстративного матеріалу використано кілька кольорів, кожен із яких має певне смислове значення: лініями (точками) чорного кольору позначені вихідні дані; зелений колір використаний для допоміжних ліній графічних побудов; червоними лініями (точками) показані результати побудов чи ті геометричні елементи, куди слід звернути особливу увагу.

Б. Символи, що позначають відносини між геометричними фігурами

№ по пір.	Позначення	Зміст	Приклад символічного запису
1	≡	Збігаються	(АВ)≡(CD) - пряма, що проходить через точки А і В, збігається з прямою, що проходить через точки С та D
2	≅	Конгруентні	∠ABC≅∠MNK - кут АВС конгруентний куту MNK
3	∼	Подібні	ΔАВС~ΔMNK - трикутники АВС і MNK подібні
4	\|\|	Паралельні	α\|\|β - площина α паралельна площині β
5	⊥	Перпендикулярні	а⊥b - прямі а та b перпендикулярні
6		Схрещуються	з d - прямі з і d схрещуються
7		Дотичні	t l - Пряма t є дотичною до лінії l. βα - площина β, що стосується поверхні α
8	→	Відображаються	Ф 1 →Ф 2 - фігура Ф 1 відображається на фігуру Ф 2
9	S	Центр проектування. Якщо центр проектування невласна точка, то його положення позначається стрілкою, вказує напрямок проектування	-
10	s	Напрямок проектування	-
11	P	Паралельне проектування	р s α Паралельне проектування - паралельне проектування на площину α у напрямку s

В. Позначення теоретико-множинні

№ по пір.	Позначення	Зміст	Приклад символічного запису	Приклад символічного запису у геометрії
1	M,N	Безліч	-	-
2	A,B,C,...	Елементи множини	-	-
3	{ ... }	Складається з...	Ф(A, B, C,...)	Ф(A, B, C,... ) - фігура Ф складається з точок А, В,С, ...
4	∅	Порожня безліч	L - ∅ - множина L порожня (не містить елементів)	-
5	∈	Належить, є елементом	2∈N (де N - безліч натуральних чисел) - число 2 належить множині N	А ∈ а - точка А належить прямий а (Точка А лежить на прямій а)
6	⊂	Включає, містить	N⊂М - множина N є частиною (підмножиною) множини всіх раціональних чисел	а⊂α - пряма а належить площині α (розуміється в значенні: безліч точок прямої а є підмножиною точок площини α)
7	∪	Об'єднання	С = A U В - безліч С є об'єднання множин A та В; (1, 2. 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5)	ABCD = ∪ [ВС] ∪ - ламана лінія, ABCD є об'єднання відрізків [АВ], [ВС],
8	∩	Перетин множин	М=К∩L - множина М є перетин множин К і L (містить в собі елементи, що належать як множині До, так і множині L). М ∩ N = ∅- перетин множин М і N є порожня множина (Большості М і N не мають спільних елементів)	а = α ∩ β - пряма а є перетин площин α та β а ∩ b = ∅ - прямі а та b не перетинаються (Не мають спільних точок)

Група II СИМВОЛИ, ЩО ПОЗНАЧУЮТЬ ЛОГІЧНІ ОПЕРАЦІЇ

№ по пір.	Позначення	Зміст	Приклад символічного запису
1	∧	Кон'юнкція речень; відповідає союзу "і". Пропозиція (р∧q) істинна тоді і тільки тоді, коли р і q обидва істинні	α∩β = ( К:K∈α∧K∈β) Перетин поверхонь α і β є безліч точок (лінія), що складається з усіх тих і лише тих точок К, які належать як поверхні α, так і β
2	∨	диз'юнкція пропозицій; відповідає союзу "чи". Пропозиція (p∨q) істинно, коли істинно хоча б одне із пропозицій р або q (тобто або р, або q, або обидва).	-
3	⇒	Імплікація – логічне слідство. Пропозиція р⇒q означає: "якщо р, то q"	(а\|\|с∧b\|\|с)⇒a\|\|b. Якщо дві прямі паралельні третій, то вони паралельні між собою
4	⇔	Пропозиція (р⇔q) розуміється в сенсі: "якщо р, то q; якщо q, то і р"	А∈α⇔А∈l⊂α. Точка належить площині, якщо вона належить до певної лінії, що належить цій площині. Справедливим є також і зворотне твердження: якщо точка належить певній лінії, що належить площині, вона належить і самої площині
5	∀	Квантор спільності читається: для кожного, для всіх, для будь-кого. Вираз ∀(x)P(x) означає: "для кожного x: має місце властивість Р(х)"	∀(ΔАВС)( = 180°) Для кожного (для будь-якого) трикутника сума величин його кутів при вершинах дорівнює 180 °
6	∃	Квантор існування читається: існує. Вираз ∃(х)P(х) означає: "існує х, що має властивість Р(х)"	(∀α)(∃a). Для будь-якої площини α існує пряма а, яка не належить площині α та паралельна площині α
7	∃1	Квантор єдиності існування, читається: існує єдине (-я, -й)... Вираз ∃1(x)(Рх) означає: "є єдине (тільки одне) х, що володіє властивістю Рх"	(∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для будь-яких двох різних точок А та В існує єдина пряма a, що проходить через ці точки.
8	(Px)	Заперечення висловлювання P(x)	аb(∃α )(α⊃а, Ь). Якщо прямі а і b схрещуються, то не існує площини а, яка містить їх
9	\	Заперечення знаку	≠ -відрізок [АВ] не дорівнює відрізку .а?b - лінія а не паралельна лінії b

Можливо, буде корисно почитати: