Чому відбувається згасання коливань. Затухаючі коливання

ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ

Коливанняминазиваються рухи чи процеси, які характеризуються певною повторюваністю у часі. Коливання називаються вільнимиякщо вони здійснюються за рахунок спочатку повідомленої енергії при подальшій відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему. Найпростішим типом коливань є гармонійні коливання - коливання, при яких величина, що коливається, змінюється в часі за законом синуса або косинуса.

Диференціальне рівняння гармонійних коливань має вигляд:

де - величина, що коливається, - циклічна частота.

- Вирішення цього рівняння. Тут – амплітуда, – початкова фаза.

Фаза коливань.

Амплітуда - максимальне значення коливається величини.

Період коливань – проміжок часу, через який відбувається повторення руху тіла. Фаза коливання за період отримує збільшення. . , - Число коливань.

Частота коливань - кількість повних коливань, що здійснюються за одиницю часу. . . Вимірюється у герцах (Гц).

Циклічна частота - кількість коливань, які відбуваються за секунди. . Одиниця виміру.

Фаза коливань - величина, що стоїть під знаком косинуса і характеризує стан коливальної системи будь-якої миті часу.

Початкова фаза - фаза коливань у початковий час. Фаза та початкова фаза вимірюються в радіанах ().

Вільні загасаючі коливання- коливання, амплітуда яких через втрати енергії реальною коливальною системою з часом зменшується. Найпростішим механізмом зменшення енергії коливань є її перетворення на теплоту внаслідок тертя в механічних коливальних системах, а також омічних втрат та випромінювання електромагнітної енергії в електричних коливальних системах.

- логарифмічним декрементом згасання.

Величина N e- це кількість коливань, що відбуваються за час зменшення амплітуди в еразів. Логарифмічний декремент згасання - постійна величина для цієї коливальної системи.

Для характеристики коливальної системи використовують поняття добротності Q, яка при малих значеннях логарифмічного декременту дорівнює

Добротність пропорційна числу коливань, що здійснюються системою під час релаксації.

ВИЗНАЧЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА ТРЕННЯ З ДОПОМОГЮ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА

Теоретичне обґрунтування методики визначення коефіцієнта тертя

Похилий маятник є куля, підвішена на довгій нитці і лежить на похилій площині.

Якщо кулю відвести з положення рівноваги (вісь OO 1) на кут a, а потім відпустити, то виникнуть коливання маятника. При цьому шар буде кататися по похилій площині біля положення рівноваги (рис. 1, а). Між кулею та похилою площиною діятиме сила тертя кочення. В результаті коливання маятника поступово згасатимуть, тобто спостерігатиметься зменшення в часі амплітуди коливань.

Можна припустити, що за величиною згасання коливань можуть бути визначені сила тертя та коефіцієнт тертя кочення.

Виведемо формулу, яка пов'язує зменшення амплітуди коливань з коефіцієнтом тертя кочення m. Ця робота зменшує повну енергію кулі. Повна енергія складається з кінетичної та потенційної енергій. У тих положеннях, де маятник максимально відхилений від рівноваги, його швидкість, а отже, і кінетична енергія дорівнюють нулю.

Ці точки називаються точками повороту. Вони маятник зупиняється, повертається і рухається назад. У момент повороту енергія маятника дорівнює потенційній енергії, тому зменшення потенційної енергії маятника при його русі від однієї точки повороту до іншої дорівнює роботі сили тертя по дорозі між точками повороту.

Нехай А- Точка повороту (рис. 1, а). У цьому положенні нитка маятника складає кут a з віссю OO 1 .Якби тертя не було, то через половину періоду маятник опинився б у точці N, А кут відхилення дорівнював a. Але через тертя куля трохи не докотиться до крапки. Nі зупиниться у точці У.Це і буде нова точка повороту. У цій точці кут нитки звіссю OO 1 дорівнюватиме . За половину періоду кут повороту маятника зменшився на . Крапка Урозташована трохи нижче, ніж точка А,і тому потенційна енергія маятника у точці Уменше, ніж у точці А.Отже, маятник втратив висоту під час переміщення з точки Ау крапку У.

Знайдемо зв'язок між втратою кута та втратою висоти. Для цього спроектуємо точки Aі Bна вісь OO 1 (див. рис. 1, а). Це будуть точки A 1 та B 1 відповідно. Очевидно, що довжина відрізка А 1 У 1

де - Довжина нитки.

Тому що вісь OO 1 нахилена під кутом до вертикалі, проекція відрізка на вертикальну вісь і є втрата висоти (рис. 1 б):

При цьому зміна потенційної енергії маятника при переході його з положення Aу становище Уодно:

, (3)

де m- Маса кулі;

g- Прискорення вільного падіння.

Обчислимо роботу сили тертя.

Сила тертя визначається за такою формулою:

Шлях, пройдений кулею за половину періоду коливань маятника, дорівнює довжині дуги AB:

Робота сили тертя на шляху:

Але тому з урахуванням рівнянь (2), (3), (4) виходить

. (6)

Вираз (6) значно спрощується з огляду на те, що кут дуже малий (порядку 10 -2 радіан). Отже, . Але. Тому.

Таким чином, формула (6) набуває вигляду:

. (7)

З формули (7) видно, що втрата кута за половину періоду визначається коефіцієнтом тертя m та кутом a. Однак можна знайти такі умови, за яких від кута a не залежить. Врахуємо, що коефіцієнт тертя кочення малий (близько 10 -3). Якщо розглядати досить великі амплітуди коливань маятника a, такі, за яких , то доданком у знаменнику формули (7) можна знехтувати і тоді:

З іншого боку, нехай кут a буде малим настільки, щоб можна було вважати, що . Тоді втрата кута за половину періоду коливань визначатиметься формулою:

. (8)

Формула (8) справедлива, якщо:

. (9)

Через те, що m має порядок 10 -2 нерівності (9) задовольняють кути a порядку 10 -2 -10 -1 радіан.

Отже, за час одного повного коливання втрата кута становитиме:

а за nколивань - .

Формула (10) дає зручний спосібвизначення коефіцієнта тертя кочення Необхідно виміряти зменшення кута Da nза 10-15 коливань, а потім за формулою (10) обчислити m.

У формулі (10) величина Da виражена у радіанах. Щоб використовувати значення Da у градусах, формулу (10) необхідно змінити:

. (11)

З'ясуємо фізичний зміст коефіцієнта тертя кочення. Розглянемо спочатку загальне завдання. Куля масою mта моментом інерції I cщодо осі, що проходить через центр мас, рухається по гладкої поверхні(Рис. 2).

Мал. 2

До центру мас Cприкладена сила, спрямована вздовж осі oxі яка є функцією координати x. З боку поверхні на тіло діє сила тертя. FТР. Нехай момент сили тертя щодо осі, що проходить через центр Cкулі, дорівнює MТР.

Рівняння руху кулі в цьому випадку мають вигляд:

; (12)

, (13)

де - швидкість центру мас;

w – кутова швидкість.

У рівняннях (12) та (13) чотири невідомі: , w, FТР, MТР . У випадку завдання не визначено.

Припустимо, що:

1) тіло котиться без ковзання. Тоді:

де R -радіус кулі;

2) тіло та площину є абсолютно жорсткими, тобто. тіло не деформується, а стосується площини в одній точці Про(точковий контакт), тоді між моментом сили тертя і силою тертя є зв'язок:

. (15)

З урахуванням формул (14) і (15) з рівнянь (12) і (13) отримуємо вираз для сили тертя:

. (16)

Вираз (16) не містить коефіцієнта тертя m, який визначається фізичними властивостямидотичних поверхонь кулі та площини, такими, як шорсткість, або вид матеріалів, з яких виготовлені куля та площина. Цей результат - прямий наслідок прийнятої ідеалізації, що відображається зв'язками (14) та (15). Крім того, легко показати, що в прийнятій моделі сила тертя не виконує роботи. Дійсно, помножимо рівняння (12) на , А рівняння (13) - на w. Враховуючи, що

і складаючи вирази (12) та (13), отримуємо

де W(x) - потенційна енергія кулі у полі сили F(x). Слід врахувати, що

Якщо взяти до уваги формули (14) і (15), то права частина рівності (17) перетворюється на нуль. У лівій частині рівності (17) стоїть похідна часу від повної енергії системи, яка складається з кінетичної енергії поступального руху кулі , кінетичної енергії обертального руху та потенційної енергії W(х). Це означає, повна енергія системи - стала величина, тобто. сила тертя не виконує роботи.

Очевидно, що і цей дещо дивний результат також є наслідком прийнятої ідеалізації. Це свідчить про те, що ухвалена ідеалізація не відповідає фізичній реальності. Справді, в процесі руху куля взаємодіє з площиною, тому її механічна енергія повинна зменшуватися, а це означає, що зв'язки (14) і (15) можуть бути вірними лише настільки, наскільки можна знехтувати диссипацією енергії.

Цілком ясно, що в даному випадкуне можна прийняти таку ідеалізацію, оскільки наша мета – визначити по зміні енергії маятника коефіцієнт тертя. Тому вважатимемо справедливим припущення про абсолютну жорсткість кулі та поверхні, а отже, і справедливий зв'язок (15). Однак відмовимося від припущення, що куля рухається без ковзання. Ми припустимо, що має місце слабке прослизання.

Нехай швидкість точок торкання (на рис. 2 точка О) кулі (швидкість прослизання):

. (19)

Тоді, підставляючи рівняння (17) та враховуючи умови (15) та (20), приходимо до рівняння:

, (21)

з якого видно, що швидкість дисипації енергії дорівнює потужності сили тертя. Результат природний, т.к. тіло ковзає по поверхні зі швидкістю і,на нього діє сила тертя, яка здійснює роботу, внаслідок чого повна енергія системи зменшується.

Виконуючи в рівнянні (21) диференціювання та враховуючи співвідношення (18), отримуємо рівняння руху центру мас кулі:

. (22)

Воно аналогічне до рівняння руху матеріальної точки масою:

, (23)

під дією зовнішньої сили Fта сили тертя кочення:

Причому, FТР – звичайна сила тертя ковзання. Отже, при коченні кулі ефективна сила тертя, яку називають силою тертя кочення, є просто звичайна сила тертя ковзання, помножена на відношення швидкості прослизання до швидкості центру мас тіла. Насправді часто спостерігається випадок, коли сила тертя кочення залежить від швидкості тіла.

Мабуть, у цьому випадку швидкість прослизання іпропорційна швидкості тіла:

У реальних коливальних системах, крім квазіпружних сил, присутні сили опору середовища. Наявність сил тертя призводить до розсіювання (дисипації) енергії та зменшення амплітуди коливань. Уповільнюючи рух, сили тертя підвищують період, тобто. зменшує частоту коливань. Такі коливання не будуть гармонійними.

Коливання з амплітудою, що безперервно зменшується в часі внаслідок розсіювання енергії, називаються загасаючими . При досить малих швидкостях сила тертя пропорційна швидкості тіла та спрямована проти руху

де r-коефіцієнт тертя, що залежить від властивостей середовища, форми і розмірів тіла, що рухається. Диференціальне рівняння загасаючих коливань за наявності сил тертя матиме вигляд:

або
(21)

де
- Коефіцієнт загасання,

- Власна кругова частота вільних коливань за відсутності сил тертя.

Загальним рішенням рівняння (21) у разі малих згасань (
) є:

Воно відрізняється від гармонійного (8) тим, що амплітуда коливань:

(23)

є спадною функцією часу, а кругова частота пов'язана з власною частотою та коефіцієнтом згасання співвідношенням:

. (24)

Період загасаючих коливань дорівнює:

. (25)

Залежність усунення Х від tгасаючих коливань представлена на рис.4.

C Ступінь зменшення амплітуди визначається коефіцієнтом згасання .

За час
амплітуда (23) зменшується в е ≈ 2,72 разів. Цей час природного згасання називають часом релаксації. Отже, коефіцієнт загасання є величина, обернена до часу релаксації:

.(26)

Швидкість зменшення амплітуди коливань характеризується логарифмічним декрементом згасання. Нехай А(t) і А(t+T) – амплітуди двох послідовних коливань, що відповідають моментам часу, що відрізняються на один період. Тоді ставлення:

(27)

називається декрементом згасаннящо показує, у скільки разів зменшується амплітуда коливань за час, що дорівнює періоду. Натуральний логарифм цього відношення:

(28)

називається логарифмічним декрементом згасання. Тут, N e – число коливань, що відбуваються під час зменшення амплітуди в раз, тобто. за час релаксації.

Таким чином, логарифмічний декремент згасання є величина, зворотна числу коливань, після яких амплітуда коливань зменшується в раз.

Швидкість зменшення енергії коливальної системи характеризується добротністю Q. Добротність коливальної системи- величина, пропорційна відношенню повної енергії Е(t) коливальної системи до енергії (- Е), що втрачається за період Т:

(29)

Повна енергія коливальної системи у довільний момент часу і за будь-якого значення Х має вигляд:

(30)

Так як енергія пропорційна квадрату амплітуди, енергія загасаючих коливань зменшується пропорційно величині
, Можна написати:

. (31)

Тоді, згідно з визначенням, вираз для добротності коливальної системи матиме вигляд:

Тут враховано, що при малих згасаннях (1): 1-е -2   2.

Отже, добротність пропорційна числу коливань N e , що здійснюються системою під час релаксації.

Добротність коливальних систем може сильно відрізнятися, наприклад, добротність фізичного маятника Q~ 10 2 а добротність атома, який теж є коливальною системою, досягає Q~ 10 8 .

На закінчення відзначимо, що при коефіцієнті згасання β=ω 0 період стає нескінченним Т = ∞ (критичне згасання). При подальшому збільшенні період Т стає уявним, а згасання руху відбувається без коливань, як кажуть, аперіодично. Цей випадок руху зображено на рис.5. Критичне згасання (заспокоєння) відбувається за мінімальний часі має важливе значення у вимірювальних приладах, наприклад, у балістичних гальванометрах .

У ЗМІШЕНІКОЛИВАННЯ І РЕЗОНАНС

Якщо тіло з масою m діють пружна сила F у = -kX, сила тертя
та зовнішня періодична сила
, то воно здійснює вимушені коливання. У цьому випадку диференціальне рівняння руху має вигляд:

де
,
- Коефіцієнт загасання,
- Власна частота вільних незагасних коливань тіла, F 0 - Амплітуда, ω - Частота періодичної сили.

У початковий час робота зовнішньої сили перевищує енергію, яка витрачається на тертя (рис. 6). Енергія і амплітуда коливань тіла зростатиме до тих пір, поки вся енергія, що повідомляється зовнішньою силою, не буде повністю витрачатися на подолання тертя, яке пропорційне швидкості. Тому встановлюється рівновага, при якому сума кінетичної та потенційної енергії виявляється постійною. Ця умова характеризує стаціонарний стан системи.

У такому стані рух тіла буде гармонійним із частотою, що дорівнює частоті зовнішнього збудження, але внаслідок інерції тіла його коливання будуть зсунуті по фазі по відношенню до миттєвого значення зовнішньої періодичної сили:

X = AСos(ωt + φ). (34)

На відміну від вільних коливань амплітуда А і фаза  вимушених коливань залежать не від початкових умов руху, а будуть визначатися тільки властивостями системи, що коливається, амплітудою і частотою змушує сили:

, (35)

. (36)

Видно, що амплітуда та зсув по фазі залежать від частоти сили, що змушує (рис.7, 8).

Характерною особливістю вимушених коливань є резонанс. Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти вимушальної сили до власної частоти вільних коливань тіла, що незатухають, ω 0 носить назву механічного резонансу . Амплітуда коливань тіла при резонансній частоті
досягає максимального значення:

(37)

Щодо резонансних кривих (див. рис. 7) зробимо такі зауваження. Якщо ω→ 0, то всі криві (див. також (35)) приходять до одного і того ж, відмінного від нуля, граничного значення
, так званому статистичного відхилення. Якщо ω→ ∞, то всі криві асимптотично прагнуть нуля.

За умови малого згасання (β 2 ‹‹ω 0 2) резонансна амплітуда (див.(37))

(37а)

За цієї умови візьмемо ставлення резонансного зміщення до статичного відхилення:

з якого видно, що відносне збільшення амплітуди коливань при резонансі визначається добротністю коливальної системи. Тут добротність є, по суті, коефіцієнтом посилення відгуку
системи і за малому згасанні може досягати великих значень.

Ця обставина зумовлює величезне значення явища резонансу у фізиці та техніці. Його використовують, якщо хочуть посилити коливання, наприклад, в акустиці – для посилення звучання музичних інструментів, у радіотехніці – для виділення потрібного сигналу з багатьох інших, що відрізняються за частотою. Якщо резонанс може призвести до небажаного зростання коливань, користуються системою з малою добротністю.

ЗВ'ЯЗАНІ КОЛИВАННЯ

Джерелом зовнішньої періодичної сили може бути друга коливальна система, пружно пов'язана з першою. Обидві коливальні системи можуть діяти одна на одну. Приміром, випадок двох пов'язаних маятників (рис. 9).

Система може здійснювати як синфазні (рис. 9б), і протифазні (рис. 9с) коливання. Такі коливання називаються нормальним типом чи нормальною модою коливань і характеризуються своєю нормальною частотою. При синфазних коливаннях зміщення маятників у всі моменти часу Х 1 = Х 2 а частота ω 1 точно така ж, як частота окремо взятого маятника
. Це пояснюється тим, що легка пружина знаходиться у вільному стані і не впливає на рух. При протифазних коливаннях у всі часи – Х 1 = Х 2 . Частота таких коливань більша і дорівнює
, Так як пружина, що має жорсткість k і здійснює зв'язок, весь час знаходиться то в розтягнутому, то в стислому стані.

Л
юбий стан нашої пов'язаної системи, у тому числі і початкове усунення Х (рис. 9а), можна уявити у вигляді суперпозиції двох нормальних мод:

Якщо навести систему в рух з початкового стану Х 1 = 0,
, Х 2 = 2А,
,

то усунення маятників будуть описуватися виразами:

На рис. 10 представлено зміну усунення окремих маятників у часі.

Частота коливань маятників дорівнює середній частоті двох нормальних мод:

, (39)

а їх амплітуда змінюється за законом синуса або конуса з меншою частотою, що дорівнює половині різниці частоти нормальних мод:

. (40)

Повільна зміна амплітуди з частотою, що дорівнює половині різниці частот нормальних мод, називається “ биттями ” двох коливань із майже однаковими частотами. Частота "биття" дорівнює різниці ω 1 -ω 2 частот, (а не половині цієї різниці), оскільки максимум амплітуди 2А досягається двічі за період, що відповідає частоті

Звідси період биття виявляється рівним:

(41)

При биттях між маятниками відбувається обмін енергією. Однак повний обмін енергією можливий тільки тоді, коли обидві маси однакові і відношення (? 1 +? 2 /? 1 -? 2) дорівнює цілому числу. Необхідно відзначити один важливий момент: хоча окремі маятники можуть обмінюватися енергією, обмін енергією між нормальними модами немає.

Наявність таких систем, що коливаються, які взаємодіють між собою і здатні передавати один одному свою енергію, складають основу хвильового руху.

Коливання матеріальне тіло, поміщене в пружне середовище, захоплює за собою і приводить в коливальний рух прилеглі до нього частинки середовища. Завдяки наявності пружних зв'язків між частинками коливання поширюються з характерною для цього середовища швидкістю по всьому середовищу.

Процес поширення коливань у пружному середовищі називається хвилею .

Розрізняють два основні типи хвиль: поздовжні та поперечні. У поздовжніх хвиляхчастинки середовища коливаються вздовж напрямку поширення хвилі, а у поперечних– перпендикулярно напряму поширення хвилі. Не у будь-якому пружному середовищі можливе поширення поперечної хвилі. Поперечна пружна хвиля можлива лише таких середовищах, у яких має місце пружна деформація зсуву. Наприклад, у газах та рідинах поширюються лише поздовжні пружні хвилі (звук).

Геометричне місце точок середовища, до яких на даний момент часу дійшло коливання, називається фронтом хвилі . Фронт хвилі відокремлює частину простору, вже залучену до хвильового процесу, від області, в якій коливання ще не виникали. Залежно від форми фронту розрізняють хвилі пласкі, сферичні, циліндричні і т.д.

Рівняння плоскої хвилі, що поширюється без втрат в однорідному середовищі, має вигляд:
, (42)

де ξ(Х,t) – усунення частинок середовища з координатою Х від положення рівноваги в момент часу t, А – амплітуда,
- фаза хвилі,
- Кругова частота коливання частинок середовища, v - Швидкість поширення хвилі.

Довжиною хвилі λ називається відстань між точками, що коливаються з різницею фаз 2π, іншими словами, довжиною хвилі називається шлях, що проходить будь-якою фазою хвилі за один період коливань:

фазова швидкість, тобто. швидкість поширення цієї фази:

λ / Т (44)

Хвильове число - Число довжин хвиль, що укладаються на довжині 2π одиниць:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Підставляючи ці позначення (42), рівняння плоскої монохроматичної хвилі, що біжитьможна уявити у вигляді:

(46)

Зазначимо, що рівняння хвилі (46) виявляє подвійну періодичність за координатою та часом. Дійсно, фази коливань збігаються при зміні координати на і при зміні часу на період Т. Тому зобразити графічно хвилю на площині не можна. Часто фіксують час t і графіку представляють залежність зміщення від координати Х, тобто. миттєвий розподіл зсувів частинок середовища вздовж напряму розповсюдження хвилі (рис.11). Різниця фаз Δφ коливань точок середовища залежить від відстані ΔХ = Х 2 – Х 1 між цими точками:

(47)

Якщо хвиля поширюється протилежно до напрямку Х, то рівняння зворотної хвилі запишеться у вигляді:

ξ (Х, t) = АСos (ωt + kX). (48)

СТОЯЧІ ХВИЛІ – це результат особливого виглядухвилі інтерференції. Вони утворюються при накладенні двох хвиль, що біжать, що поширюються назустріч один одному з однаковими частотами і амплітудами.

Рівняння двох плоских хвиль, що розповсюджуються вздовж осі Х у протилежних напрямках, мають вигляд:

ξ 1 =АСos(ωt – kX)

ξ 2 = AСos(ωt + kX). (49)

Складаючи ці рівняння за формулою суми косінусів і враховуючи, що k = 2π/λ, отримаємо рівняння стоячої хвилі:

. (50)

Множник Сos t показує, що в точках середовища виникає коливання тієї ж частоти з амплітудою
, яка залежить від координати Х розглянутої точки. У точках середовища, де:
, (51)

амплітуда коливань досягає максимального значення, що дорівнює 2А. Ці точки називаються пучностями.

З виразу (51) можна знайти координати пучностей:
(52)

У точках, де
(53) амплітуда коливань перетворюється на нуль. Ці точки називаються вузлами.

Координати вузлів:
. (54)

Р астання між сусідніми пучностями і сусідніми вузлами однакові і дорівнюють λ/2. Відстань між вузлом та сусідньою пучністю дорівнює λ / 4. При переході через вузол множник
змінює знак, тому фази коливань з боку від вузла відрізняються на π, тобто. точки, що лежать по різні боки від вузла, коливаються у протифазі. Крапки, укладені між двома сусідніми вузлами, коливаються із різними амплітудами, але з однаковими фазами.

Розподіл вузлів і пучностей у стоячій хвилі залежить від умов, що мають місце на межі розділу двох середовищ, від якої відбивається. Якщо відображення хвилі походить від середовища більш щільного, то фаза коливань у місці відображення хвилі змінюється на протилежну або, як кажуть, втрачається половина хвилі. Тому, внаслідок складання коливань протилежних напрямів усунення на кордоні дорівнює нулю, тобто. має місце вузол (рис. 12). При відбитті хвилі від межі менш щільного середовища фаза коливань у місці відбиття залишається без зміни і у межі складаються коливання з однаковими фазами – виходить пучність.

У стоячій хвилі немає переміщення фаз, немає поширення хвилі, немає перенесення енергії, з чим і пов'язана назва такого типу хвиль.

1.21. 3АТУХАЮЧІ, ЗМІШЕНІ КОЛИВАННЯ

Диференціальне рівняння загасаючих коливань та його розв'язання. Коефіцієнт згасання. Логарифмічний груденьРемент згасання.Добротність коливанняної системи.Аперіодичний процес. Диференціальне рівняння вимушених коливань та його вирішення.Амплітуда та фаза вимушених коливань. Процес встановлення коливань. Випадок резонансу.Автоколивання.

Згасанням коливань називається поступове зменшення амплітуди коливань з часом, обумовлене втратою енергії коливальною системою.

Власні коливання без загасання – це ідеалізація. Причини згасання можуть бути різні. У механічній системі до загасання коливань наводить наявність тертя. Коли витрачається вся енергія, запасена в коливальній системі, коливання припиняться. Тому амплітуда загасаючих коливань зменшується, доки стане рівної нулю.

Загасні коливання, як і власні, в системах, різних за своєю природою, можна розглядати з єдиної точки зору - загальних ознак. Однак такі характеристики, як амплітуда і період, вимагають перевизначення, а інші – доповнення та уточнення порівняно з такими самими ознаками для власних коливань. Загальні ознаки та поняття загасаючих коливань такі:

Диференціальне рівняння має бути отримане з урахуванням зменшення в процесі коливань коливальної енергії.

Рівняння коливань – розв'язання диференціального рівняння.

Амплітуда загасаючих коливань залежить від часу.

Частота та період залежать від ступеня згасання коливань.

Фаза і початкова фаза мають той самий сенс, що й для невгамовних коливань.

Механічні загасаючі коливання.

Механічна система : пружинний маятник з урахуванням сил тертя.

Сили, що діють на маятник :

Пружна сила., де k - Коефіцієнт жорсткості пружини, х - зсув маятника від положення рівноваги.

Сила опору. Розглянемо силу опору, пропорційну швидкості v руху (така залежність характерна для великого класусил опору): . Знак "мінус" показує, що напрямок сили опору протилежний напрямку швидкості руху тіла. Коефіцієнт опору r чисельно дорівнює силі опору, що виникає при одиничній швидкості руху тіла:

Закон руху пружинного маятника - це другий закон Ньютона:

m a = Fупр. + Fсопр.

Враховуючи, що і , Запишемо другий закон Ньютона у вигляді:

. (21.1)

Розділивши всі члени рівняння на m, перенісши їх усі праву частину, отримаємо диференціальне рівняння загасаючих коливань:

Позначимо, де β – коефіцієнт згасання , , де ω 0 - Частота незатухаючих вільних коливань без втрат енергії в коливальній системі.

У нових позначеннях диференціальне рівняння загасаючих коливань має вигляд:

. (21.2)

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку.

Це лінійне диференціальне рівняння вирішується заміною змінних. Представимо функцію х, яка залежить від часу t, у вигляді:

Знайдемо першу та другу похідну цієї функції від часу, враховуючи, що функція z також є функцією часу:

, .

Підставимо вирази у диференціальне рівняння:

Наведемо такі члени в рівнянні і скоротимо кожен член на , отримаємо рівняння:

Позначимо величину .

Рішенням рівняння є функції , .

Повертаючись до змінної х, отримаємо формули рівнянь загасаючих коливань:

Таким чином рівняння загасаючих коливаньє рішення диференціального рівняння (21.2):

Частота загасаючих коливань :

(Фізичний сенс має тільки речовий корінь, тому).

Період загасаючих коливань :

(21.5)

Сенс, який вкладався в поняття періоду для коливань, що не згасають, не підходить для загасаючих коливань, оскільки коливальна система ніколи не повертається у вихідний стан через втрат коливальної енергії. За наявності тертя коливання йдуть повільніше: .

Періодом загасаючих коливань називається мінімальний проміжок часу, протягом якого система проходить двічі положення рівноваги щодо одного напрямі.

Для механічної системи пружинного маятника маємо:

, .

Амплітуда загасаючих коливань :

Для пружинного маятника.

Амплітуда загасаючих коливань – величина не постійна, а змінюється згодом тим швидше, що більше коефіцієнт β. Тому визначення для амплітуди, дане раніше для вільних коливань, що загасають, для загасаючих коливань треба змінити.

При невеликих згасаннях амплітудою загасаючих коливань називається найбільше відхилення від положення рівноваги у період.

Графіки залежності усунення від часу та амплітуди від часу представлені на Рисунках 21.1 та 21.2.

Рисунок 21.1 – Залежність усунення від часу для загасаючих коливань.

Рисунок 21.2 – Залежність амплітуди від часу для загасаючих коливань

Характеристики загасаючих коливань.

1. Коефіцієнт згасання β .

Зміна амплітуди загасаючих коливань відбувається за експоненційним законом:

Нехай за час амплітуда коливань зменшиться в “e” раз (“е” – основа натурального логарифму, е ≈ 2,718). Тоді, з одного боку, , а з іншого боку, розписавши амплітуди А зат. (t) та А закл. (t+τ), маємо . З цих співвідношень випливає βτ = 1, звідси.

Проміжок часу τ , за який амплітуда зменшується в “е” разів, називається часом релаксації.

Коефіцієнт згасання β – величина, обернено пропорційна часу релаксації.

2. Логарифмічний декремент згасання δ - фізична величина, чисельно рівна натуральному логарифму відношення двох послідовних амплітуд, що віддаляться за часом на період.

Якщо згасання невелике, тобто. величина β мала, то амплітуда трохи змінюється за період, і логарифмічний декремент можна визначити так:

де А зат. (t) та А закл. (t + NT) - амплітуди коливань в момент часу е і через N періодів, тобто в момент часу (t + NT).

3. Добротність Q коливальної системи – безрозмірна фізична величина, що дорівнює добутку величини (2π) νа відношення енергії W(t) системи в довільний момент часу до втрат енергії за один період загасаючих коливань:

Оскільки енергія пропорційна квадрату амплітуди, то

При малих значеннях логарифмічного декременту добротність коливальної системи дорівнює

де N e - Число коливань, за яке амплітуда зменшується в "е" раз.

Так, добротність пружинного маятника -. Чим більша добротність коливальної системи, тим менше загасання, тим довше триватиме періодичний процес у такій системі. Добротність коливальної системи -безрозмірна величина, що характеризує дисипацію енергії у часі.

4. При збільшенні коефіцієнта β частота загасаючих коливань зменшується, а період збільшується. При ω 0 = β частота загасаючих коливань стає рівною нулю запот. = 0, а Т закл. = ∞. При цьому коливання втрачають періодичний характер і називаються аперіодичними.

При ω 0 = β параметри системи, відповідальні за зменшення коливальної енергії, приймають значення, звані критичними . Для пружинного маятника умова ω 0 = β запишеться так: звідки знайдемо величину критичного коефіцієнта опору:

Мал. 21.3. Залежність амплітуди аперіодичних коливань від часу

Вимушені коливання.

Усі реальні коливання є загасаючими. Щоб реальні коливання відбувалися досить довго, потрібно періодично поповнювати енергію коливальної системи, діючи на неї зовнішньою силою, що періодично змінюється.

Розглянемо явище коливань, якщо зовнішня (Вимушуюча) сила змінюється залежно від часу за гармонійним законом. При цьому в системах виникнуть коливання, характер яких тією чи іншою мірою повторить характер сили, що змушує. Такі коливання називаються вимушеними .

Загальні ознаки вимушених механічних вагань.

1. Розглянемо вимушені механічні коливання пружинного маятника, на який діє зовнішня (змушує ) періодична сила . Сили, що діють на маятник, одного разу виведений зі становища рівноваги, розвиваються в самій коливальній системі. Це сила пружності та сила опору.

Закон руху (другий закон Ньютона) запишеться так:

(21.6)

Розділимо обидві частини рівняння на m, врахуємо, що , і отримаємо диференціальне рівняння вимушених коливань:

Позначимо ( β – коефіцієнт згасання ), (ω 0 - Частота незатухають вільних коливань), сила, що діє на одиницю маси. У цих позначеннях диференціальне рівняння вимушених коливань набуде вигляду:

(21.7)

Це диференціальне рівняння другого порядку з правою частиною, відмінною від нуля. Рішення такого рівняння є сумою двох рішень

– загальне рішення однорідного диференціального рівняння, тобто. диференціального рівняння без правої частини, коли вона дорівнює нулю. Таке рішення нам відомо – це рівняння загасаючих коливань, записане з точністю до постійної, значення якої визначається початковими умовами коливальної системи:

Ми раніше обговорювали, що рішення може бути записано через функції синуса.

Якщо розглядати процес коливань маятника через досить великий проміжок часу Δt після включення сили, що змушує (Малюнок 21.2), то загасаючі коливання в системі практично припиняться. І тоді рішенням диференціального рівняння із правою частиною буде рішення.

Рішення - це окреме рішення неоднорідного диференціального рівняння, тобто. рівняння із правою частиною. З теорії диференціальних рівнянь відомо, що при правій частині, що змінюється за гармонічним законом, рішення буде гармонічною функцією (sin або cos) із частотою зміни, що відповідає частоті Ω зміни правої частини:

де А ампл. - Амплітуда вимушених коливань, φ 0 - зрушення фаз , тобто. різницю фаз між фазою змушує сили і фазою вимушених коливань. І амплітуда А ампл. , Зсув фаз φ 0 залежать від параметрів системи (β, ω 0) і від частоти змушує сили Ω.

Період вимушених коливань дорівнює (21.9)

Графік вимушених коливань на малюнку 4.1.

Рис.21.3. Графік вимушених коливань

Вимушені коливання, що встановилися, є так само гармонічними.

Залежність амплітуди вимушених коливань і зсуву фаз від частоти зовнішнього впливу. Резонанс.

1. Повернемося до механічної системи пружинного маятника, на який діє зовнішня сила, що змінюється за гармонійним законом. Для такої системи диференціальне рівняння та його рішення відповідно мають вигляд:

, .

Проаналізуємо залежність амплітуди коливань і зсуву фаз від частоти зовнішньої сили, що примушує, для цього знайдемо першу і другу похідну від х і підставимо в диференціальне рівняння.

Скористаємося методом векторної діаграми. З рівняння видно, що сума трьох коливань у лівій частині рівняння (Малюнок 4.1) повинна дорівнювати коливанню в правій частині. Векторна діаграма виконана довільного моменту часу t. З неї можна визначити.

Малюнок 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Враховуючи значення , ,, отримаємо формули для 0 і А ампл. механічної системи:

2. Досліджуємо залежність амплітуди вимушених коливань від частоти вимушальної сили і величини сили опору в механічній системі, що коливається, за цими даними побудуємо графік . Результати дослідження відображені в Рисунку 21.5, за ними видно, що при певній частоті сили, що змушує. амплітуда коливань різко зростає. І це зростання тим більше, що менше коефіцієнт загасання β. При амплітуда коливань стає нескінченно великою.

Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при частоті сили, що змушує, рівної називається резонансом.

(21.12)

Криві на Малюнку 21.5 відображають залежність і називаються амплітудними резонансними кривими .

Рисунок 21.5 – Графіки залежності амплітуди вимушених коливань від частоти сили, що змушує.

Амплітуда резогансних коливань набуде вигляду:

Вимушені коливання – це незагасаючіколивання. Неминучі втрати енергії на тертя компенсуються підведенням енергії від зовнішнього джерела сили, що періодично діє. Існують системи, в яких незатухаючі коливання виникають не за рахунок періодичного зовнішнього впливу, а в результаті наявної у таких систем здатності регулювати надходження енергії від постійного джерела. Такі системи називаються автоколивальними, а процес незагасаючих коливань у таких системах – автоколиваннями.

В авто коливальній системі можна виділити три характерні елементи – коливальна система, джерело енергії та пристрій зворотного зв'язку між коливальною системою та джерелом. Як коливальної системи може бути використана будь-яка механічна система, здатна здійснювати власні затухаючі коливання (наприклад, маятник настінного годинника).

Джерелом енергії може бути енергія деформація пружини чи потенційна енергія вантажу на полі тяжкості. Пристрій зворотного зв'язку є деяким механізмом, за допомогою якого автоколивальна система регулює надходження енергії від джерела. На рис. 21.6 зображено схему взаємодії різних елементів автоколивальної системи.

Прикладом механічної автоколивальної системи може служити годинниковий механізм анкернимходом (рис. 21.7.). Ходове колесо з косими зубами жорстко скріплене із зубчастим барабаном, через який перекинутий ланцюжок із гирей. На верхньому кінці маятника закріплений анкер (якорек) з двома пластинками з твердого матеріалу, вигнутими по дузі кола з центром на осі маятника. У ручний годинникгиря замінюється пружиною, а маятник – балансиром – маховичком, скріпленим зі спіральною пружиною.

Малюнок 21.7. Часовий механізм із маятником.

Балансир здійснює крутильні коливання довкола своєї осі. Коливальною системою в годиннику є маятник або балансир. Джерелом енергії – піднята вгору гиря чи заведена пружина. Пристроєм, за допомогою якого здійснюється зворотний зв'язок, є анкер, що дозволяє ходовому колесу повернутися на один зубець за півперіод.

Зворотний зв'язок здійснюється взаємодією анкера із ходовим колесом. При кожному коливанні маятника зубець ходового колеса штовхає анкерну вилку у бік руху маятника, передаючи йому деяку порцію енергії, яка компенсує втрати енергії на тертя. Таким чином, потенційна енергія гирі (або закрученої пружини) поступово окремими порціями передається маятнику.

Механічні автоколивальні системи широко поширені в навколишньому житті і в техніці. Автоколивання здійснюють парові машини, двигуни внутрішнього згоряння, електричні дзвінки, струни смичкових музичних інструментів, повітряні стовпи в трубах духових інструментів, голосові зв'язки під час розмови чи співу тощо.

Насправді вільні коливання відбуваються за умов дії сил опору. Дисипативні сили ведуть до зменшення амплітуди коливань. Коливання, амплітуда яких з часом стає меншою внаслідок втрат енергії, називаються загасаючими.

Загасаючі механічні коливання

ВИЗНАЧЕННЯ

Фізичну величину, що характеризує швидкість загасання коливань, називають коефіцієнтом згасання. Коефіцієнт згасання можуть означати по-різному: і т.д. За умови пропорційності сил тертя швидкості руху тіла:

де - є узагальненим коефіцієнтом тертя, коефіцієнт загасання вважають рівним:

де - маса тіла, що здійснює коливання.

Диференціальне рівняння коливань за наявності загасання матиме вигляд:

- циклічна частота вільних коливань системи за відсутності тертя.

Рівняння загасаючих коливань:

де - Частота загасаючих коливань, - Амплітуда загасаючих коливань. - Постійна величина, яка залежить від вибору початку відліку часу.

Коефіцієнт згасання можна визначити як величину обернену часу () за яку амплітуд (A) зменшується в e раз:

де – час релаксації. Тобто можна записати:

Період загасаючих коливань дорівнює:

при несуттєвому опорі середовища, якщо виконується нерівність: період коливань можна обчислювати за допомогою формули:

У разі збільшення коефіцієнта згасання період коливань зростає. Слід зазначити, що поняття період загасаючих коливань не збігається з поняттям коливань, що не згасають, оскільки система за наявності згасання ніколи не повертається у вихідний стан. Період загасаючих коливань - це мінімальний проміжок часу протягом якого система двічі проходить положення рівноваги в одному напрямку.

Зі збільшенням коефіцієнта згасання коливань частота коливань зменшується. Якщо , то частота загасаючих коливань дорівнюватиме нулю, при цьому період збільшується до нескінченності. Такі коливання втрачають періодичність і називаються аперіодичними. За рівності коефіцієнта згасання власної частоти коливань параметри системи називають критичними.

Коефіцієнт згасання коливань пов'язаний з логарифмічним декрементом згасання () виразом:

Затухаючі електричні коливання

Будь-який електричний контур, що існує в реальній дійсності, має активний опір, отже, енергія, запасена в ньому з часом витрачається на цьому опорі, оскільки відбувається його нагрівання.

При цьому коефіцієнт загасання електричного контуру обчислюють як:

де R - опір, L-індуктивність контуру.

Частота в електромагнітному контурі представлена формулою:

Для RLC контуру критичним опором () при якому коливання стають аперіодичними є опір, що дорівнює:

знаходять при

Одиниці виміру коефіцієнта згасання коливань

Основною одиницею вимірювання коефіцієнта згасання в системі СІ є:

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Завдання

Який коефіцієнт загасання, якщо амплітуда коливань маятника за час t = 10 c. зменшується у 4 рази?

Рішення

Запишемо рівняння загасаючих коливань маятника:

За одним із визначень коефіцієнта згасання:

Проведемо обчислення:

Відповідь

ПРИКЛАД 2

Завдання	Коливальний контур складається з котушки індуктивності L, конденсатора C та опору R (рис.1). Через скільки повних коливань (N) амплітуда струму в контурі зменшиться в e -раз?
Рішення	Введемо такі позначення: - Початкове значення амплітуди сили струму, - Амплітуда сили струму через N коливань, тоді можна записати:

ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ

Коливанняминазиваються рухи чи процеси, які характеризуються певною повторюваністю у часі. Коливання називаються вільнимиякщо вони здійснюються за рахунок спочатку повідомленої енергії при подальшій відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему. Найпростішим типом коливань є гармонійні коливання- коливання, при яких величина, що коливається, змінюється в часі за законом синуса або косинуса.

Диференціальне рівняння гармонійних коливань має вигляд

де - величина, що коливається, - циклічна частота.

- Вирішення цього рівняння. Тут – амплітуда, – початкова фаза.

Фаза коливань.

Амплітуда - максимальне значення коливається величини.

Частота коливань – кількість повних коливань, які відбуваються за одиницю часу. . . Вимірюється у герцах (Гц).

Циклічна частота – кількість коливань, які відбуваються протягом секунд. . Одиниця виміру.

Фаза коливань – величина, що стоїть під знаком косинуса і характеризує стан коливальної системи будь-якої миті часу.

Початкова фаза – фаза коливань у початковий час. Фаза та початкова фаза вимірюються в радіанах ().

Вільні загасаючі коливання– коливання, амплітуда яких через втрати енергії реальною коливальною системою з часом зменшується. Найпростішим механізмом зменшення енергії коливань є її перетворення на теплоту внаслідок тертя в механічних коливальних системах, а також омічних втрат та випромінювання електромагнітної енергії в електричних коливальних системах.

Диференціальне рівняння вільних загасаючих коливань має вигляд

, (1)

Рішення рівняння (1) у разі малого згасання (d 2<< ) имеет вид

Проміжок часу , протягом якого амплітуда зменшується в eраз, називається часом релаксації.

Згасання порушує періодичність коливань, тому затухаючі коливання є періодичними. Однак, якщо загасання мало, то можна умовно користуватися поняттям періоду як проміжок часу між двома наступними один за одним максимумами (або мінімумами) величини, що коливається. Тоді період загасаючих коливань обчислюють за формулою

Якщо A(t) та A(t+T)– амплітуди двох послідовних коливань, що відповідають моментам часу, що відрізняються на період, то відношення

називається декрементом згасання, а його логарифм

– логарифмічним декрементом згасання.

Величина N e– це кількість коливань, що відбуваються за час зменшення амплітуди в еразів. Логарифмічний декремент згасання – постійна величина для цієї коливальної системи.

Для характеристики коливальної системи використовують поняття добротності Q, яка при малих значеннях логарифмічного декременту дорівнює

Можливо, буде корисно почитати: