X tasodifiy o'zgaruvchisi ehtimollik taqsimoti funktsiyasi bilan belgilanadi. "Tasodifiy o'zgaruvchilar" mavzusidagi muammolarni echishga misollar

Vazifa 1. Uzluksiz tasodifiy X ning taqsimlanish zichligi quyidagi shaklga ega:
Toping:
a) parametr A;
b) taqsimot funksiyasi F(x) ;
v) X tasodifiy miqdorning intervalga tushish ehtimoli;
d) matematik kutish MX va dispersiya DX.
f(x) va F(x) funksiyalarning grafigini chizing.

Vazifa 2. Integral funksiya tomonidan berilgan X tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.

Vazifa 3. Tarqatish funksiyasi berilgan X tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.

Vazifa 4. Ayrim tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi quyidagicha berilgan: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
A koeffitsientini, taqsimot funksiyasi F(x), matematik kutilma va dispersiyani, shuningdek, tasodifiy miqdorning intervalda qiymat olishi ehtimolini toping. f(x) va F(x) grafiklarini chizing.

Vazifa. Ba'zi uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimot funksiyasi quyidagicha berilgan:

a va b parametrlarini aniqlang, f(x) ehtimollik zichligi, matematik kutilma va dispersiya, shuningdek, tasodifiy miqdorning intervalda qiymat olishi ehtimolligi ifodasini toping. f(x) va F(x) ning grafiklarini chizing.

Taqsimot funksiyasining hosilasi sifatida taqsimlanish zichligi funksiyasini topamiz.
F′=f(x)=a
a parametrini topishimizni bilib:

yoki 3a=1, bundan a = 1/3
Quyidagi xususiyatlardan b parametrini topamiz:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 buningdan b = -1/3
Shuning uchun taqsimot funksiyasi F(x) = (x-1)/3 ko'rinishga ega

Kutish.

Dispersiya.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Tasodifiy o'zgaruvchining oraliqda qiymat olishi ehtimoli topilsin
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Misol № 1. Uzluksiz X tasodifiy miqdorning f(x) ehtimollik taqsimot zichligi berilgan. Majburiy:

A koeffitsientini aniqlang.
F(x) taqsimot funksiyasini toping.
F(x) va f(x) ning grafiklarini sxematik tuzing.
X ning matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
X ning (2;3) oraliqdan qiymat olishi ehtimolligini toping.

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Yechim:

X tasodifiy o'zgaruvchisi f(x) taqsimot zichligi bilan belgilanadi:

Shartdan A parametrini topamiz:

yoki
14/3*A-1 = 0
Qayerda,
A = 3/14

Tarqatish funksiyasini formula yordamida topish mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchi Bir xil sharoitlarda o'tkazilgan sinovlar natijasida turli xil, umuman olganda, tasodifiy omillarga qarab hisobga olinmagan qiymatlarni qabul qiladigan miqdor deyiladi. Tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar: zarga tashlangan nuqtalar soni, partiyadagi nuqsonli mahsulotlar soni, snaryadning ta'sir qilish nuqtasining nishondan og'ishi, qurilmaning ishlash muddati va boshqalar. Diskret va uzluksiz mavjud. tasodifiy o'zgaruvchilar. Diskret Tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi, uning mumkin bo'lgan qiymatlari sonli yoki cheksiz (ya'ni elementlarini raqamlash mumkin bo'lgan to'plam) tashkil qiladi.

Uzluksiz Tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi, uning mumkin bo'lgan qiymatlari raqamlar qatorining chekli yoki cheksiz oralig'ini doimiy ravishda to'ldiradi. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari soni har doim cheksizdir.

Biz tasodifiy o'zgaruvchilarni lotin alifbosi oxiridan boshlab bosh harflar bilan belgilaymiz: X, Y, ...; tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlari - kichik harflarda: X, y,... . Shunday qilib, X Tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining butun to'plamini bildiradi va X - Uning o'ziga xos ma'nosining ba'zilari.

Tarqatish qonuni Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi har qanday shaklda ko'rsatilgan muvofiqlik.

Tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari bo'lsin X bor . Sinov natijasida tasodifiy o'zgaruvchi ushbu qiymatlardan birini oladi, ya'ni. Bir-biriga mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhidan bitta voqea sodir bo'ladi.

Ushbu hodisalarning ehtimoli ham ma'lum bo'lsin:

Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni X deb nomlangan jadval shaklida yozilishi mumkin Yaqin tarqatish Diskret tasodifiy o'zgaruvchi:

Tarqatish qatorlari uchun tenglik (normalizatsiya sharti) bajariladi.

3.1-misol. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping X – ikkita tanga otishda boshlar paydo bo'lishi soni.

Taqsimot funksiyasi diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonunini belgilash uchun universal shakldir.

Tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasiX Funktsiya chaqiriladi F(X), Butun son qatorida quyidagicha aniqlanadi:

F(X)= P(X< х ),

Ya'ni F(X) tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli bor X dan kichikroq qiymat qabul qiladi X.

Tarqatish funksiyasi grafik ko'rinishda ifodalanishi mumkin. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun grafik bosqichli shaklga ega. Masalan, quyidagi qator bilan berilgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasining grafigini tuzamiz (3.1-rasm):

Guruch. 3.1. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasining grafigi

Funktsiyaning sakrashi tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlariga mos keladigan nuqtalarda sodir bo'ladi va bu qiymatlarning ehtimolliklariga teng. Funktsiya uzilish nuqtalarida F(X) uzluksiz qoldiriladi.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasining grafigi uzluksiz egri chiziqdir.

Guruch. 3.2. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasining grafigi

Tarqatish funktsiyasi quyidagi aniq xususiyatlarga ega:

1) , 2) , 3) ,

4) da.

Biz hodisani tasodifiy o'zgaruvchi deb ataymiz X Qiymatni oladi X, Ba'zi yarim yopiq intervalga tegishli A£ X< B, Tasodifiy o'zgaruvchi oraliqda tushganda [ A, B).

3.1 teorema. Tasodifiy o'zgaruvchining [ intervalgacha tushishi ehtimoli A, B) bu oraliqdagi taqsimot funksiyasining o'sishiga teng:

Agar siz intervalni [ A, B), , deb faraz qilsak, u holda chegara formulasida (3.1) intervalga tegish ehtimoli o'rniga nuqtaga tegish ehtimoli, ya'ni tasodifiy o'zgaruvchining qiymatni olish ehtimoli beradi. A:

Agar taqsimot funksiyasi nuqtada uzilishga ega bo'lsa A, U holda chegara (3.2) funksiya sakrash qiymatiga teng bo'ladi F(X) nuqtada X=A, Ya'ni, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatni olish ehtimoli A (3.3-rasm, A). Agar tasodifiy miqdor uzluksiz bo'lsa, ya'ni funksiya uzluksiz bo'ladi F(X), u holda chegara (3.2) nolga teng (3.3-rasm, B)

Shunday qilib, uzluksiz tasodifiy miqdorning har qanday alohida qiymatining ehtimoli nolga teng. Biroq, bu hodisa mumkin emas degani emas X=A, Bu faqat sinovlar sonining cheksiz ko'payishi bilan ushbu hodisaning nisbiy chastotasi nolga teng bo'lishini aytadi.

A)
B)

Guruch. 3.3. Tarqatish funksiyasi sakrash

Uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun taqsimot funktsiyasi bilan bir qatorda taqsimot qonunini ko'rsatishning yana bir shakli - taqsimot zichligi qo'llaniladi.

Agar intervalga tushish ehtimoli bo'lsa, u holda nisbat nuqta yaqinida ehtimollik taqsimlanadigan zichlikni tavsiflaydi. X. Bu nisbatning chegarasi, ya'ni. e. hosila, deyiladi Tarqatish zichligi(ehtimollik taqsimoti zichligi, ehtimollik zichligi) tasodifiy miqdor X. Tarqatish zichligini belgilashga rozi bo'laylik

Shunday qilib, taqsimot zichligi tasodifiy o'zgaruvchining nuqta yaqiniga tushish ehtimolini tavsiflaydi. X.

Tarqatish zichligi grafigi deyiladi Egri poygalarCheklovlar(3.4-rasm).

Guruch. 3.4. Tarqatish zichligi turi

Taqsimlash funksiyasining ta'rifi va xossalari asosida F(X), tarqatish zichligining quyidagi xususiyatlarini o'rnatish oson F(X):

1) F(X)³0

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun nuqtaga tegish ehtimoli nolga teng bo'lganligi sababli, quyidagi tengliklar amal qiladi:

3.2-misol. Tasodifiy o'zgaruvchi X Tarqatish zichligi bilan berilgan

Majburiy:

A) koeffitsientning qiymatini toping A;

B) taqsimot funksiyasini toping;

C) (0, ) oraliqda tasodifiy miqdorning tushish ehtimolini toping.

Tarqatish funktsiyasi yoki taqsimot zichligi tasodifiy o'zgaruvchini to'liq tavsiflaydi. Biroq, ko'pincha, amaliy qarorlar qabul qilishda taqsimot qonunini to'liq bilishning hojati yo'q, faqat uning ba'zi xarakterli xususiyatlarini bilish kifoya. Shu maqsadda ehtimollar nazariyasi taqsimot qonunining turli xossalarini ifodalovchi tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalaridan foydalanadi. Asosiy raqamli xususiyatlar MatematikKutish, dispersiya va standart og'ish.

Kutish Tasodifiy o'zgaruvchining sonlar o'qidagi o'rnini xarakterlaydi. Bu tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati bo'lib, uning atrofida uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari guruhlangan.

Tasodifiy o'zgaruvchini kutish X Belgilar bilan ko'rsatilgan M(X) yoki T. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklarining juftlangan mahsuloti yig'indisidir:

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi noto'g'ri integral yordamida aniqlanadi:

Ta'riflarga asoslanib, matematik kutishning quyidagi xususiyatlarining haqiqiyligini tekshirish oson:

1. (tasodifiy bo'lmagan qiymatni matematik kutish BILAN Eng tasodifiy bo'lmagan qiymatga teng).

2. Agar ³0 bo'lsa, u holda ³0.

4. Agar va Mustaqil, Bu.

3.3-misol. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qatori bilan berilgan matematik kutilmasini toping:

Yechim.

=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.

3.4-misol. Taqsimot zichligi bilan berilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping:

Yechim.

Dispersiya va standart og'ish Ular tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasining xarakteristikalari bo'lib, ular matematik kutishga nisbatan uning mumkin bo'lgan qiymatlarining tarqalishini tavsiflaydi;

Farqlanish D(X) Tasodifiy o'zgaruvchi X Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilmasidan kvadrat og'ishning matematik kutilishi deyiladi Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun dispersiya yig'indisi bilan ifodalanadi:

(3.3)

Va uzluksiz uchun - integral bo'yicha

(3.4)

Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining o'lchamiga ega. Dispersiya xususiyatlari Xuddi shu o'lchamTasodifiy o'zgaruvchiga ega Sti, standart og'ish bo'lib xizmat qiladi.

Dispersiya xususiyatlari:

1) - doimiy. Ayniqsa,

Ayniqsa,

E'tibor bering, (3.5) formuladan foydalanib dispersiyani hisoblash (3.3) yoki (3.4) formuladan ko'ra ko'pincha qulayroq bo'ladi.

Miqdor deyiladi Kovariatsiya tasodifiy o'zgaruvchilar.

Agar , keyin qiymat

Chaqirildi Korrelyatsiya koeffitsienti tasodifiy o'zgaruvchilar.

Ko'rsatish mumkinki, agar , u holda miqdorlar chiziqli bog'liq bo'ladi: qaerda

E'tibor bering, agar ular mustaqil bo'lsa, unda

3.5-misol. 1-misoldagi taqsimot qatori berilgan tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.

Yechim. Dispersiyani hisoblash uchun siz matematik taxminni bilishingiz kerak. Berilgan tasodifiy o'zgaruvchi uchun u yuqorida topilgan: M=1.3. (3.5) formuladan foydalanib dispersiyani hisoblaymiz:

3.6-misol. Tasodifiy o'zgaruvchi taqsimot zichligi bilan belgilanadi

Dispersiya va standart chetlanishni toping.

Yechim. Birinchidan, biz matematik taxminni topamiz:

(nosimmetrik intervaldagi toq funksiyaning integrali sifatida).

Endi biz dispersiya va standart og'ishni hisoblaymiz:

1. Binomiy taqsimot. Bernoulli sxemasidagi "MUVAFIQLAR" soniga teng tasodifiy o'zgaruvchi binomial taqsimotga ega: , .

Binom qonuni bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi teng

Ushbu taqsimotning o'zgarishi .

2. Puasson taqsimoti ,

Puasson taqsimoti bilan tasodifiy o'zgaruvchining kutilishi va dispersiyasi,.

Puasson taqsimoti ko'pincha biz ma'lum bir vaqt yoki makonda sodir bo'lgan voqealar soni bilan shug'ullanayotganda qo'llaniladi, masalan: bir soat ichida avtoyuvish mashinasiga keladigan mashinalar soni, haftada mashina to'xtash soni, raqam. yo'l-transport hodisalari va boshqalar.

Tasodifiy o'zgaruvchiga ega Geometrik taqsimot parametr bilan, agar u ehtimollik bilan qiymatlarni qabul qilsa . Bunday taqsimotga ega tasodifiy o'zgaruvchi mantiqiy Birinchi muvaffaqiyatli sinovning raqamlari muvaffaqiyat ehtimoli bilan Bernoulli sxemasida. Tarqatish jadvali quyidagicha ko'rinadi:

3. Oddiy taqsimot. Ehtimollar taqsimotining normal qonuni boshqa taqsimot qonunlari orasida alohida o'rin tutadi. Ehtimollar nazariyasida mustaqil yoki yig'indisining ehtimollik zichligi isbotlangan Bir oz bog'liq, bir xilda kichik (ya'ni, taxminan bir xil rol o'ynaydigan) atamalar, ularning sonining cheksiz ko'payishi bilan, bu atamalar qanday taqsimot qonunlariga ega bo'lishidan qat'i nazar, normal taqsimot qonuniga istalgancha yaqinlashadi (A. M. Lyapunovning markaziy chegara teoremasi).

Tasodifiy o'zgaruvchi turli holatlarga qarab ma'lum qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchidir va tasodifiy miqdor uzluksiz deyiladi , agar u har qanday cheklangan yoki cheksiz intervaldan istalgan qiymatni qabul qila olsa. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni ko'rsatish mumkin emas, shuning uchun biz ma'lum ehtimolliklar bilan bog'liq bo'lgan ushbu qiymatlarning intervallarini belgilaymiz.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar quyidagilardan iborat: ma'lum bir o'lchamda maydalangan qismning diametri, odamning balandligi, snaryadning parvoz masofasi va boshqalar.

Chunki uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun funktsiya F(x), farqli o'laroq diskret tasodifiy o'zgaruvchilar, hech bir joyda sakrashga ega emas, u holda uzluksiz tasodifiy miqdorning har qanday individual qiymatining ehtimoli nolga teng.

Bu shuni anglatadiki, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun uning qiymatlari orasidagi ehtimollik taqsimoti haqida gapirishning ma'nosi yo'q: ularning har biri nolga teng ehtimolga ega. Biroq, ma'lum ma'noda, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari orasida "ko'proq va kamroq ehtimol" mavjud. Masalan, tasodifiy o'zgaruvchining qiymati - tasodifiy duch kelgan odamning bo'yi - 170 sm - 220 sm dan yuqori ekanligiga hech kim shubha qilmaydi, garchi ikkala qiymat ham amalda bo'lishi mumkin.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanish funksiyasi va ehtimollik zichligi

Faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mantiqiy bo'lgan taqsimot qonuni sifatida taqsimot zichligi yoki ehtimollik zichligi tushunchasi kiritiladi. Keling, uzluksiz tasodifiy miqdor va diskret tasodifiy miqdor uchun taqsimot funktsiyasining ma'nosini taqqoslash orqali yondashamiz.

Demak, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi (ham diskret, ham uzluksiz) yoki integral funktsiya tasodifiy o'zgaruvchining qiymati bo'lish ehtimolini aniqlaydigan funksiya deyiladi X chegara qiymatidan kam yoki unga teng X.

Uning qiymatlari nuqtalarida diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun x1 , x 2 , ..., x men,... ehtimollar massalari jamlangan p1 , p 2 , ..., p men,..., va barcha massalar yig'indisi 1 ga teng. Keling, bu talqinni uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchiga o'tkazamiz. Tasavvur qilaylik, 1 ga teng massa alohida nuqtalarda to'plangan emas, balki abscissa o'qi bo'ylab doimiy ravishda "yog'langan". Oh bir oz notekis zichlik bilan. Tasodifiy o'zgaruvchining istalgan sohaga tushish ehtimoli D x bo'limdagi massa sifatida va bu qismdagi o'rtacha zichlik massaning uzunlikka nisbati sifatida talqin qilinadi. Biz hozirgina ehtimollar nazariyasiga muhim tushunchani kiritdik: taqsimot zichligi.

Ehtimollik zichligi f(x) uzluksiz tasodifiy miqdor uning taqsimot funksiyasining hosilasidir:

Zichlik funksiyasini bilib, siz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining qiymati yopiq intervalga tegishli bo'lish ehtimolini topishingiz mumkin [ a; b]:

uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X oraliqdan istalgan qiymatni oladi [ a; b], uning ehtimollik zichligining ma'lum bir integraliga teng a uchun b:

Bunda funksiyaning umumiy formulasi F(x) zichlik funksiyasi ma'lum bo'lsa, foydalanish mumkin bo'lgan uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti f(x) :

Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi grafigi uning taqsimot egri chizig'i deb ataladi (quyidagi rasm).

Egri chiziq bilan chegaralangan shaklning maydoni (rasmda soyali), nuqtalardan chizilgan to'g'ri chiziqlar a Va b x o'qiga perpendikulyar va o'q Oh, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining qiymati bo'lish ehtimolini grafik tarzda ko'rsatadi X oralig'ida joylashgan a uchun b.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi funksiyasining xossalari

1. Tasodifiy o'zgaruvchining oraliqdan istalgan qiymatni olish ehtimoli (va funktsiya grafigi bilan chegaralangan rasmning maydoni) f(x) va o'q Oh) birga teng:

2. Ehtimollar zichligi funksiyasi manfiy qiymatlarni qabul qila olmaydi:

va taqsimot mavjudligidan tashqarida uning qiymati nolga teng

Tarqatish zichligi f(x), shuningdek, taqsimlash funktsiyasi F(x), taqsimot qonunining shakllaridan biridir, lekin taqsimot funktsiyasidan farqli o'laroq, u universal emas: taqsimot zichligi faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud.

Amalda uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlashning ikkita eng muhim turini aytib o'tamiz.

Agar taqsimot zichligi funktsiyasi bo'lsa f(x) ba'zi bir chekli oraliqdagi uzluksiz tasodifiy miqdor [ a; b] doimiy qiymatni oladi C, va intervaldan tashqarida nolga teng qiymat qabul qilinadi, keyin bu taqsimot bir xil deb ataladi .

Agar taqsimot zichligi funktsiyasining grafigi markazga nisbatan nosimmetrik bo'lsa, o'rtacha qiymatlar markazga yaqin joyda to'planadi va markazdan uzoqlashganda, o'rtacha qiymatdan farqliroq bo'lganlar yig'iladi (funktsiya grafigi bo'limga o'xshaydi. qo'ng'iroq), keyin bu taqsimot normal deyiladi .

1-misol. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyasi ma'lum:

Funktsiyani toping f(x) uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi. Ikkala funktsiyaning grafiklarini tuzing. Uzluksiz tasodifiy miqdor 4 dan 8 gacha bo'lgan oraliqda istalgan qiymatni olish ehtimolini toping: .

Yechim. Ehtimollar taqsimoti funksiyasining hosilasini topib, ehtimollik zichligi funksiyasini olamiz:

Funksiya grafigi F(x) - parabola:

Funksiya grafigi f(x) - Streyt:

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining 4 dan 8 gacha bo'lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimoli topilsin:

2-misol. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi funksiyasi quyidagicha berilgan:

Koeffitsientni hisoblang C. Funktsiyani toping F(x) uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti. Ikkala funktsiyaning grafiklarini tuzing. Uzluksiz tasodifiy miqdorning 0 dan 5 gacha bo‘lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimolini toping: .

Yechim. Koeffitsient C ehtimollik zichligi funksiyasining 1 xususiyatidan foydalanib topamiz:

Shunday qilib, uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi funksiyasi:

Integratsiyalash orqali biz funktsiyani topamiz F(x) ehtimollik taqsimotlari. Agar x < 0 , то F(x) = 0. Agar 0< x < 10 , то

x> 10, keyin F(x) = 1 .

Shunday qilib, ehtimollikni taqsimlash funktsiyasining to'liq yozuvi:

Funksiya grafigi f(x) :

Funksiya grafigi F(x) :

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining 0 dan 5 gacha bo'lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimoli topilsin:

3-misol. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi X tengligi bilan beriladi va . Koeffitsientni toping A, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi ]0, 5[ intervaldan istalgan qiymatni oladi X.

Yechim. Shart bo'yicha biz tenglikka erishamiz

Shuning uchun, , qayerdan . Shunday qilib,

Endi biz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimolini topamiz X]0, 5[ oralig'idan istalgan qiymatni oladi:

Endi biz ushbu tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlash funktsiyasini olamiz:

4-misol. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligini toping X, bu faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni oladi va uning taqsimot funktsiyasi .

Ehtimollar nazariyasida barcha qiymatlarini sanab bo'lmaydigan tasodifiy o'zgaruvchilar bilan shug'ullanish kerak. Masalan, $X$ tasodifiy o'zgaruvchining barcha qiymatlarini - soatning xizmat ko'rsatish vaqtini olish va "takrorlash" mumkin emas, chunki vaqtni soatlar, daqiqalar, soniyalar, millisekundlar va hokazolarda o'lchash mumkin. Siz faqat tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari yotadigan ma'lum bir intervalni belgilashingiz mumkin.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlari ma'lum bir intervalni to'liq to'ldiradigan tasodifiy o'zgaruvchidir.

Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining barcha qiymatlarini sanab o'tishning iloji bo'lmagani uchun uni taqsimlash funktsiyasi yordamida aniqlash mumkin.

Tarqatish funksiyasi$X$ tasodifiy o'zgaruvchisi $F\left(x\right)$ funksiyasi deb ataladi, bu $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi $x$, ya'ni $F\ dan kichik qiymatni qabul qilish ehtimolini aniqlaydi. chap (x \ o'ng ) = P \ chap (X< x\right)$.

Tarqatish funksiyasining xususiyatlari:

1 . $0\le F\left(x\o'ng)\le 1$.

2 . $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi $\left(\alpha;\ \beta \right)$ oralig'idan qiymatlarni olishi ehtimolligi uning oxiridagi taqsimlash funktsiyasi qiymatlari orasidagi farqga teng. interval: $P\left(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - kamaymaydigan.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

1-misol
0,\ x\le 0\\
x,\ 0< x\le 1\\
1,\ x>1
\end(matritsa)\o'ng.$. $X$ tasodifiy oʻzgaruvchining $\left(0.3;0.7\right)$ oraligʻiga tushish ehtimolini $F\left(x\right)$ taqsimlash funksiyasi qiymatlari orasidagi farq sifatida topish mumkin. bu intervalning oxiri, ya'ni:

$$P\chap(0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Ehtimollarni taqsimlash zichligi

$f\left(x\right)=(F)"(x)$ funksiya ehtimoli taqsimot zichligi deyiladi, ya'ni $F\left(x\right) taqsimot funksiyasidan olingan birinchi tartibli hosiladir. )$ o'zi.

$f\left(x\right)$ funksiyasining xossalari.

1 . $f\left(x\o'ng)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty)(f\left(t\o'ng)dt)=F\left(x\o'ng)$.

3 . $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi $\left(\alpha;\ \beta \right)$ oralig'idan qiymatlarni olish ehtimoli $P\left(\alpha) ga teng.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\o'ng))=1$.

2-misol . $X$ uzluksiz tasodifiy o‘zgaruvchi quyidagi taqsimlash funksiyasi $F(x)=\left\(\begin(matritsa)) bilan aniqlanadi.
0,\ x\le 0\\
x,\ 0< x\le 1\\
1,\ x>1
\end(matritsa)\o'ng.$. Keyin zichlik funksiyasi $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(matritsa)
0,\x\le 0\\
1,\ 0 < x\le 1\\
0.\x>1
\end(matritsa)\o'ng.$

Uzluksiz tasodifiy miqdorni kutish

$X$ uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi formula yordamida hisoblanadi

$$M\chap(X\o'ng)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\o'ng)dx).$$

3-misol . $2$ misolidan $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi uchun $M\left(X\right)$ topamiz.

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\(2))\bigg|_0^1=((1)\(2) ustida).$$

Uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasi

$X$ uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi formula bo'yicha hisoblanadi

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\chap)^2.$$

4-misol . Keling, $2$ misolidan $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi uchun $D\left(X\right)$ topamiz.

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\chap)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\chap(((1)\(2))\o'ng))^2=((x^3)\(3))\bigg|_0^1-( (1)\(4))=((1)\(3))-((1)\(4))=((1)\ortiq(12)).$$

Tasodifiy o'zgaruvchilar

2.1-misol. Tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimlash funksiyasi bilan berilgan

Sinov natijasida yuzaga kelish ehtimolini toping X(2,5; 3,6) oraliqdagi qiymatlarni oladi.

Yechim: X oraliqda (2,5; 3,6) ikki usulda aniqlanishi mumkin:

2.2-misol. Qaysi parametr qiymatlarida A Va IN funktsiyasi F(x) = A + Be - x tasodifiy o'zgaruvchining manfiy bo'lmagan qiymatlari uchun taqsimlash funktsiyasi bo'lishi mumkin X.

Yechim: Tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun X ga tegishli bo'lsa, u holda funksiya uchun taqsimot funksiyasi bo'lishi uchun X, mulk qanoatlantirilishi kerak:

Javob: .

2.3-misol. X tasodifiy o'zgaruvchisi taqsimot funktsiyasi bilan belgilanadi

To'rtta mustaqil test natijasida qiymatni topish ehtimolini toping X aniq 3 marta intervalga tegishli qiymatni oladi (0,25;0,75).

Yechim: Qiymatga erishish ehtimoli X oraliqda (0,25;0,75) formuladan foydalanib topamiz:

2.4-misol. To'pning savatga bir zarbasi bilan tegish ehtimoli 0,3 ga teng. Uchta otish bilan urishlar soni uchun taqsimot qonunini tuzing.

Yechim: Tasodifiy o'zgaruvchi X– savatdagi uchta zarba bilan urishlar soni – quyidagi qiymatlarni olishi mumkin: 0, 1, 2, 3. Ehtimollar X

2.5-misol. Ikkita otuvchining har biri nishonga bittadan o‘q uzadi. Birinchi otishmaning uni urish ehtimoli 0,5, ikkinchisi - 0,4. Nishonga zarbalar soni uchun taqsimot qonunini tuzing.

Yechim: Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni topilsin X- nishonga zarbalar soni. Hodisa nishonga birinchi bo'lib urgan o'qchi bo'lsin va ikkinchi otuvchi nishonga tegsin va mos ravishda ularning o'tkazib yuborilgani bo'lsin.

SV ning ehtimollik taqsimoti qonunini tuzamiz X:

2.6-misol. Bir-biridan mustaqil ravishda ishlaydigan uchta element sinovdan o'tkaziladi. Elementlarning uzluksiz ishlash vaqti (soatlarda) taqsimot zichligi funktsiyasiga ega: birinchisi uchun: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, ikkinchisi uchun: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, uchinchisi uchun: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. 0 dan 5 soatgacha bo'lgan vaqt oralig'ida: faqat bitta elementning ishdan chiqishi ehtimolini toping; faqat ikkita element muvaffaqiyatsiz bo'ladi; barcha uch element muvaffaqiyatsiz bo'ladi.

Yechim: Keling, ehtimollik hosil qiluvchi funktsiyaning ta'rifidan foydalanamiz:

Mustaqil sinovlarda bo'lish ehtimoli, birinchisida voqea sodir bo'lish ehtimoli A ga teng, ikkinchisida va hokazo hodisa A ning vakolatlarida hosil qiluvchi funktsiyani kengaytirishdagi koeffitsientga teng, aynan bir marta paydo bo'ladi. 0 dan 5 soatgacha bo'lgan vaqt oralig'ida mos ravishda birinchi, ikkinchi va uchinchi elementlarning ishdan chiqishi va ishlamay qolish ehtimolini topamiz:

Keling, ishlab chiqaruvchi funktsiyani yarataylik:

at koeffitsienti voqea sodir bo'lish ehtimoliga teng A aniq uch marta paydo bo'ladi, ya'ni barcha uch elementning ishdan chiqishi ehtimoli; at koeffitsienti aynan ikkita elementning ishdan chiqishi ehtimoliga teng; at koeffitsienti faqat bitta elementning ishdan chiqishi ehtimoliga teng.

2.7-misol. Ehtimollik zichligini hisobga olgan holda f(x) tasodifiy o'zgaruvchi X:

F(x) taqsimot funksiyasini toping.

Yechim: Biz formuladan foydalanamiz:

Shunday qilib, tarqatish funktsiyasi quyidagicha ko'rinadi:

2.8-misol. Qurilma uchta mustaqil ishlaydigan elementdan iborat. Har bir elementning bitta tajribada ishdan chiqish ehtimoli 0,1 ga teng. Bitta tajribadagi muvaffaqiyatsiz elementlar sonining taqsimot qonunini tuzing.

Yechim: Tasodifiy o'zgaruvchi X- bitta tajribada muvaffaqiyatsizlikka uchragan elementlar soni - quyidagi qiymatlarni olishi mumkin: 0, 1, 2, 3. Ehtimollar X Ushbu qiymatlarni qabul qilsak, biz Bernulli formulasidan foydalanib topamiz:

Shunday qilib, biz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimotining quyidagi qonunini olamiz X:

2.9-misol. 6 qismdan iborat to'plamda 4 ta standart mavjud. Tasodifiy 3 qism tanlandi. Tanlanganlar orasida standart qismlar soni uchun taqsimlash qonunini tuzing.

Yechim: Tasodifiy o'zgaruvchi X– tanlanganlar orasida standart qismlar soni – quyidagi qiymatlarni qabul qilishi mumkin: 1, 2, 3 va gipergeometrik taqsimotga ega. Ehtimollar X

Qayerda -- partiyadagi qismlar soni;

-- partiyadagi standart qismlar soni;

– tanlangan qismlar soni;

-- tanlanganlar orasida standart qismlar soni.

2.10-misol. Tasodifiy miqdor taqsimot zichligiga ega

va ma'lum emas, lekin , a va . Toping va.

Yechim: Bunday holda, tasodifiy o'zgaruvchi X oraliqda uchburchak taqsimotiga ega (Simpson taqsimoti) [ a, b]. Raqamli xarakteristikalar X:

Demak, . Ushbu tizimni yechish orqali biz ikkita juft qiymatni olamiz: . Chunki, muammoning shartlariga ko'ra, biz nihoyat: .

Javob: .

2.11-misol. O'rtacha 10% shartnoma bo'yicha sug'urta kompaniyasi sug'urta hodisasi yuz berganligi munosabati bilan sug'urta summalarini to'laydi. Tasodifiy tanlangan to'rtta shartnomalar orasida bunday shartnomalar sonining matematik kutilishi va tarqalishini hisoblang.

Yechim: Matematik kutish va dispersiyani quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

SV ning mumkin bo'lgan qiymatlari (sug'urta hodisasi sodir bo'lgan shartnomalar soni (to'rttadan)): 0, 1, 2, 3, 4.

Sug'urta summalari to'langan turli xil shartnomalar sonining (to'rttadan) ehtimolini hisoblash uchun biz Bernoulli formulasidan foydalanamiz:

IC tarqatish seriyasi (sug'urta hodisasi sodir bo'lgan shartnomalar soni) quyidagi shaklga ega:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Javob: , .

2.12-misol. Beshta atirgulning ikkitasi oq rangda. Bir vaqtning o'zida olingan ikkita oq atirgullar sonini ifodalovchi tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzing.

Yechim: Ikki atirgulning tanlovida oq atirgul bo'lmasligi yoki bitta yoki ikkita oq atirgul bo'lishi mumkin. Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchi X qiymatlarni qabul qilishi mumkin: 0, 1, 2. Ehtimollar X bu qiymatlarni qabul qilsak, uni formuladan foydalanib topamiz:

Qayerda -- atirgullar soni;

-- oq atirgullar soni;

– bir vaqtning o'zida olingan atirgullar soni;

-- olinganlar orasida oq atirgullar soni.

U holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo'ladi:

2.13-misol. 15 ta yig'ilgan birlikdan 6 tasi qo'shimcha moylashni talab qiladi. Umumiy sondan tasodifiy tanlangan beshtadan qo'shimcha moylash kerak bo'lgan birliklar soni uchun taqsimlash qonunini tuzing.

Yechim: Tasodifiy o'zgaruvchi X- tanlangan beshta orasida qo'shimcha moylashni talab qiladigan birliklar soni - quyidagi qiymatlarni olishi mumkin: 0, 1, 2, 3, 4, 5 va gipergeometrik taqsimotga ega. Ehtimollar X bu qiymatlarni qabul qilsak, uni formuladan foydalanib topamiz:

Qayerda -- yig'ilgan birliklar soni;

-- qo'shimcha moylashni talab qiladigan birliklar soni;

– tanlangan birliklar soni;

-- tanlanganlar orasida qo'shimcha moylashni talab qiladigan birliklar soni.

U holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo'ladi:

2.14-misol. Ta'mirlash uchun olingan 10 ta soatdan 7 tasi mexanizmni umumiy tozalashni talab qiladi. Soatlar ta'mirlash turi bo'yicha tartiblanmagan. Tozalash kerak bo'lgan soatlarni topmoqchi bo'lgan usta ularni birma-bir tekshiradi va bunday soatlarni topib, keyingi ko'rishni to'xtatadi. Tomosha qilingan soatlar sonining matematik kutilishi va dispersiyasini toping.

Yechim: Tasodifiy o'zgaruvchi X– tanlangan beshtadan qo‘shimcha moylash kerak bo‘lgan birliklar soni – quyidagi qiymatlarni olishi mumkin: 1, 2, 3, 4. Ehtimollar X bu qiymatlarni qabul qilsak, uni formuladan foydalanib topamiz:

U holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo'ladi:

Endi miqdorning raqamli xarakteristikalarini hisoblaymiz:

Javob: , .

2.15-misol. Abonent o'ziga kerak bo'lgan telefon raqamining oxirgi raqamini unutgan, lekin u g'alati ekanligini eslaydi. Agar u oxirgi raqamni tasodifiy tersa va keyinchalik terilgan raqamni termasa, kerakli raqamga yetguncha telefon raqamini necha marta terganligining matematik taxmini va farqini toping.

Yechim: Tasodifiy o'zgaruvchi quyidagi qiymatlarni qabul qilishi mumkin: . Abonent kelajakda terilgan raqamni termaganligi sababli, bu qiymatlarning ehtimoli teng.

Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatorini tuzamiz:


	0,2

Terishga urinishlar sonining matematik kutilishi va farqini hisoblaylik:

Javob: , .

2.16-misol. Seriyadagi har bir qurilma uchun ishonchlilik sinovi paytida nosozlik ehtimoli teng p. Agar sinovdan o'tgan bo'lsa, muvaffaqiyatsiz bo'lgan qurilmalar sonining matematik taxminini aniqlang N qurilmalar.

Yechim: Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X - bu ishlamay qolgan qurilmalar soni N mustaqil testlar, ularning har birida muvaffaqiyatsizlik ehtimoli teng p, binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi. Binom taqsimotining matematik kutilishi sinovlar sonining bitta sinovda sodir bo'lish ehtimoliga ko'paytirilganiga teng:

2.17-misol. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X 3 ta mumkin bo'lgan qiymatni oladi: ehtimollik bilan ; ehtimollik bilan va ehtimollik bilan. va ni toping, M( X) = 8.

Yechim: Biz matematik kutishning ta'riflaridan va diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonunidan foydalanamiz:

Biz topamiz: .

2.18-misol. Texnik nazorat bo'limi mahsulotlarning standartligini tekshiradi. Mahsulotning standart bo'lish ehtimoli 0,9 ga teng. Har bir partiyada 5 ta mahsulot mavjud. Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping X– har birida to‘liq 4 ta standart mahsulot bo‘lgan partiyalar soni, agar 50 ta partiya tekshirilishi kerak bo‘lsa.

Yechim: Bunday holda, o'tkazilgan barcha tajribalar mustaqildir va har bir partiyada to'liq 4 ta standart mahsulot bo'lishi ehtimoli bir xil, shuning uchun matematik taxminni quyidagi formula bilan aniqlash mumkin:

partiyalar soni qayerda;

To'plamda aniq 4 ta standart mahsulot mavjudligi ehtimoli.

Bernulli formulasidan foydalanib, ehtimollikni topamiz:

Javob: .

2.19-misol. Tasodifiy kattalikning dispersiyasini toping X- voqea sodir bo'lgan holatlar soni A ikkita mustaqil sudda, agar ushbu sinovlarda hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bir xil bo'lsa va ma'lum bo'lsa, M(X) = 0,9.

Yechim: Muammoni ikki yo'l bilan hal qilish mumkin.

1) SV ning mumkin bo'lgan qiymatlari X: 0, 1, 2. Bernulli formulasidan foydalanib, bu hodisalarning ehtimolini aniqlaymiz:

, , .

Keyin tarqatish qonuni X shaklga ega:

Matematik kutishning ta'rifidan biz ehtimollikni aniqlaymiz:

SV ning dispersiyasini topamiz X:

2) Siz formuladan foydalanishingiz mumkin:

Javob: .

2.20-misol. Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorni kutish va standart og'ish X mos ravishda 20 va 5 ga teng. Sinov natijasida yuzaga kelish ehtimolini toping X(15; 25) oraliqdagi qiymatni oladi.

Yechim: Oddiy tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoli X dan to kesimida Laplas funksiyasi orqali ifodalanadi:

2.21-misol. Berilgan funksiya:

Qaysi parametr qiymatida C bu funksiya ba'zi uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimlanish zichligi X? Tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini toping X.

Yechim: Funktsiya ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimlanish zichligi bo'lishi uchun u manfiy bo'lmasligi va u xususiyatni qondirishi kerak:

Demak:

Keling, quyidagi formula yordamida matematik kutilmani hisoblaylik:

Dispersiyani formuladan foydalanib hisoblaymiz:

T teng p. Ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini topish kerak.

Yechim: Diskret tasodifiy miqdor X ning taqsimot qonuni - mustaqil sinovlarda hodisaning sodir bo'lish soni, ularning har birida sodir bo'lish ehtimoli ga teng, binomial deyiladi. Binomiy taqsimotning matematik kutilishi sinovlar soni va bitta sinovda A hodisasining paydo bo'lish ehtimoli ko'paytmasiga teng:

2.25-misol. Nishonga uchta mustaqil o'q uziladi. Har bir zarbani urish ehtimoli 0,25 ga teng. Uchta zarba bilan urishlar sonining standart og'ishini aniqlang.

Yechim: Uchta mustaqil sinov o'tkazilganligi sababli va har bir sinovda A hodisasining (urilish) yuzaga kelish ehtimoli bir xil bo'lganligi sababli, biz X diskret tasodifiy o'zgaruvchisi - nishonga urishlar soni bo'yicha taqsimlanadi deb faraz qilamiz. binom qonuni.

Binomiya taqsimotining dispersiyasi sinovlar soni va bitta sinovda hodisaning yuzaga kelishi va sodir bo'lmasligi ehtimoli ko'paytmasiga teng:

2.26-misol. Sug'urta kompaniyasiga 10 daqiqada tashrif buyuradigan mijozlar soni o'rtacha uchta. Keyingi 5 daqiqada kamida bitta mijoz kelishi ehtimolini toping.

5 daqiqada kelgan mijozlarning o'rtacha soni: . .

2.29-misol. Protsessor navbatdagi ilovani kutish vaqti o'rtacha qiymati 20 soniya bo'lgan eksponensial taqsimot qonuniga bo'ysunadi. Keyingi (tasodifiy) so'rov protsessorda 35 soniyadan ko'proq kutish ehtimolini toping.

Yechim: Ushbu misolda, matematik kutish , va muvaffaqiyatsizlik darajasi ga teng.

Keyin kerakli ehtimollik:

2.30-misol. Har biri 10 o'rinli 20 qatordan iborat zalda 15 nafar talabalar guruhi yig'ilish o'tkazadi. Har bir talaba zalda tasodifiy joy oladi. Qatorning yettinchi o‘rinda uch kishidan ko‘p bo‘lmasligi ehtimoli qanday?

Yechim:

2.31-misol.

Keyin, ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra:

Qayerda -- partiyadagi qismlar soni;

-- partiyadagi nostandart qismlar soni;

– tanlangan qismlar soni;

-- tanlanganlar orasida nostandart qismlar soni.

U holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo'ladi.

O'qish foydali bo'lishi mumkin: