Warum kommt es zur Dämpfung? gedämpfte Vibrationen

ALLGEMEINE INFORMATIONEN

Schwankungen bezeichnet Bewegungen oder Vorgänge, die durch eine bestimmte zeitliche Wiederholung gekennzeichnet sind. Die Schwankungen werden aufgerufen frei, wenn sie auf Kosten der zunächst übertragenen Energie durchgeführt werden und anschließend keine äußeren Einflüsse auf das Schwingsystem einwirken. Die einfachste Art von Schwingungen sind harmonische Schwingungen – Schwingungen, bei denen sich der Schwingwert zeitlich nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz ändert.

Die Differentialgleichung harmonischer Schwingungen hat die Form:

wo ist der oszillierende Wert, ist die zyklische Frequenz.

ist die Lösung dieser Gleichung. Hier - Amplitude , - Anfangsphase.

Oszillationsphase.

Amplitude – der Maximalwert einer schwankenden Größe.

Die Schwingungsperiode ist der Zeitraum, nach dem sich die Bewegung des Körpers wiederholt. Die Schwingungsphase für die Periode erhält ein Inkrement. . ist die Anzahl der Schwingungen.

Schwingungsfrequenz – die Anzahl der vollständigen Schwingungen pro Zeiteinheit. . . Sie wird in Hertz (Hz) gemessen.

Zyklische Frequenz – die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde. . Maßeinheit .

Die Schwingungsphase ist ein Wert, der im Vorzeichen des Kosinus steht und den Zustand des Schwingungssystems zu jedem Zeitpunkt charakterisiert.

Anfangsphase – die Phase der Schwingungen im Anfangszeitpunkt. Phase und Anfangsphase werden im Bogenmaß () gemessen.

Frei gedämpfte Vibrationen- Schwingungen, deren Amplitude aufgrund von Energieverlusten eines realen Schwingsystems mit der Zeit abnimmt. Der einfachste Mechanismus zur Reduzierung der Energie von Schwingungen ist deren Umwandlung in Wärme aufgrund von Reibung in mechanischen Schwingsystemen sowie ohmscher Verluste und Strahlung elektromagnetischer Energie in elektrischen Schwingsystemen.

- logarithmisches Dämpfungsdekrement.

Wert N e- Dies ist die Anzahl der Schwingungen, die während der Abnahme der Amplitude in gemacht werden e einmal. Das logarithmische Dämpfungsdekrement ist für ein gegebenes Schwingungssystem ein konstanter Wert.

Zur Charakterisierung des Schwingsystems wird das Konzept des Qualitätsfaktors verwendet Q, was für kleine Werte des logarithmischen Dekrements gleich ist

Der Gütefaktor ist proportional zur Anzahl der Schwingungen, die das System während der Relaxationszeit ausführt.

BESTIMMUNG DES REIBUNGSKOEFFIZIENTS MIT EINEM SCHRÄGPENDEL

Theoretische Begründung der Methode zur Bestimmung des Reibungskoeffizienten

Ein geneigtes Pendel ist eine Kugel, die an einem langen Faden hängt und auf einer schiefen Ebene liegt.

Wenn die Kugel aus der Gleichgewichtsposition (Achse) entfernt wird OO 1) auf den Winkel a und dann loslassen, dann schwingt das Pendel. In diesem Fall rollt der Ball entlang einer schiefen Ebene nahe der Gleichgewichtslage (Abb. 1, a). Zwischen der Kugel und der schiefen Ebene wirkt eine Rollreibungskraft. Dadurch klingen die Schwingungen des Pendels allmählich ab, d. h. die Amplitude der Schwingungen nimmt mit der Zeit ab.

Es kann davon ausgegangen werden, dass aus der Dämpfung von Schwingungen die Reibungskraft und der Rollreibungskoeffizient ermittelt werden können.

Lassen Sie uns eine Formel herleiten, die die Abnahme der Schwingungsamplitude mit dem Rollreibungskoeffizienten m in Beziehung setzt. Wenn die Kugel entlang der Ebene rollt, wirkt die Reibungskraft. Diese Arbeit reduziert die Gesamtenergie des Balls. Die Gesamtenergie ist die Summe aus kinetischer und potentieller Energie. In den Positionen, in denen das Pendel maximal von der Gleichgewichtslage abweicht, sind seine Geschwindigkeit und damit die kinetische Energie gleich Null.

Diese Punkte werden Wendepunkte genannt. In ihnen stoppt das Pendel, dreht sich und bewegt sich zurück. Im Moment der Drehung ist die Energie des Pendels gleich der potentiellen Energie, daher ist die Abnahme der potentiellen Energie des Pendels bei seiner Bewegung von einem Wendepunkt zum anderen gleich der Arbeit der Reibungskraft auf dem Weg zwischen den Wendepunkten.

Lassen A- Wendepunkt (Abb. 1, a). In dieser Stellung bildet der Pendelfaden mit der Achse einen Winkel a OO 1. Gäbe es keine Reibung, dann wäre das Pendel nach der Hälfte der Periode am Punkt N, und der Ablenkwinkel wäre gleich a. Aufgrund der Reibung rollt der Ball jedoch nicht ein wenig zur Spitze N und bleiben Sie an der Stelle stehen IN.Dies wird der neue Wendepunkt sein. An diesem Punkt ist der Gewindewinkel Mit Achse OO 1 wird gleich sein. Während der Hälfte der Periode verringerte sich der Drehwinkel des Pendels um . Punkt IN liegt etwas tiefer als der Punkt A, und damit die potentielle Energie des Pendels an diesem Punkt IN weniger als Punkt A. Daher verlor das Pendel an Höhe, wenn es sich vom Punkt weg bewegte A Exakt IN.

Lassen Sie uns den Zusammenhang zwischen dem Winkelverlust und dem Höhenverlust herausfinden. Dazu projizieren wir die Punkte A Und B pro Achse OO 1 (siehe Abb. 1, a). Das werden die Punkte sein A 1 und B 1 bzw. Offensichtlich die Länge des Segments A 1 IN 1

Wo ist die Länge des Fadens?

Da die Achse OO 1 ist schräg zur Vertikalen geneigt, die Projektion des Segments auf die vertikale Achse ist der Höhenverlust (Abb. 1, b):

In diesem Fall die Änderung der potentiellen Energie des Pendels bei seinem Übergang aus der Position A in Position bringen IN entspricht:

, (3)

Wo M- Masse des Balls;

G- Erdbeschleunigung.

Wir berechnen die Arbeit der Reibungskraft.

Die Reibungskraft wird durch die Formel bestimmt:

Der Weg, den die Kugel in der halben Schwingungsdauer des Pendels zurücklegt, ist gleich der Länge des Bogens AB:

Die Arbeit der Reibungskraft auf dem Weg:

Unter Berücksichtigung der Gleichungen (2), (3), (4) ergibt sich jedoch

. (6)

Ausdruck (6) wird unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der Winkel sehr klein ist (in der Größenordnung von 10 -2 Bogenmaß), stark vereinfacht. So, . Aber . Deshalb .

Somit hat Formel (6) die Form:

. (7)

Aus Formel (7) ist ersichtlich, dass der Winkelverlust über die halbe Periode durch den Reibungskoeffizienten m und den Winkel a bestimmt wird. Es können jedoch Bedingungen gefunden werden, unter denen a nicht vom Winkel abhängt. Bedenken wir, dass der Rollreibungskoeffizient klein ist (in der Größenordnung von 10 -3). Wenn wir ausreichend große Schwingungsamplituden des Pendels a berücksichtigen, so dass , dann kann der Term im Nenner der Formel (7) auch dann vernachlässigt werden:

Andererseits sei der Winkel a klein genug, um anzunehmen, dass . Dann wird der Winkelverlust für die halbe Schwingungsperiode durch die Formel bestimmt:

. (8)

Formel (8) ist gültig, wenn:

. (9)

Da m in der Größenordnung von 10 -2 liegt, wird die Ungleichung (9) durch Winkel a in der Größenordnung von 10 -2 -10 -1 im Bogenmaß erfüllt.

Während einer vollständigen Schwingung beträgt der Winkelverlust also:

aber für N Schwankungen - .

Formel (10) bietet eine bequeme Möglichkeit, den Rollreibungskoeffizienten zu bestimmen. Es ist notwendig, die Abnahme des Winkels Da zu messen N für 10-15 Schwingungen, und berechnen Sie dann m mit Formel (10).

In Formel (10) wird der Da-Wert im Bogenmaß ausgedrückt. Um Da-Werte in Grad zu verwenden, muss Formel (10) geändert werden:

. (11)

Lassen Sie uns die physikalische Bedeutung des Rollreibungskoeffizienten herausfinden. Betrachten Sie zunächst ein allgemeineres Problem. Kugelmasse M und Trägheitsmoment Ich c relativ zu der durch den Massenschwerpunkt verlaufenden Achse bewegt es sich entlang einer glatten Oberfläche (Abb. 2).

Reis. 2

Zum Schwerpunkt C entlang der Achse ausgeübte Kraft Ochse und die eine Funktion der Koordinate ist X. Die Reibungskraft wirkt von der Seite der Oberfläche auf den Körper F TR. Sei das Moment der Reibungskraft um die Achse, die durch den Mittelpunkt geht C Ball, ist gleich M TR.

Die Bewegungsgleichungen der Kugel haben in diesem Fall die Form:

; (12)

, (13)

Wo - Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts;

w ist die Winkelgeschwindigkeit.

In den Gleichungen (12) und (13) gibt es vier Unbekannte: , w F TR, M TR . Im Allgemeinen ist die Aufgabe nicht definiert.

Nehmen wir an, dass:

1) Der Körper rollt, ohne zu verrutschen. Dann:

Wo R- Kugelradius;

2) Der Körper und die Ebene sind absolut starr, d.h. Der Körper wird nicht verformt, sondern berührt die Ebene an einem Punkt UM(Punktkontakt), dann besteht ein Zusammenhang zwischen dem Reibungskraftmoment und der Reibungskraft:

. (15)

Unter Berücksichtigung der Formeln (14) und (15) erhalten wir aus den Gleichungen (12) und (13) einen Ausdruck für die Reibungskraft:

. (16)

Ausdruck (16) enthält nicht den Reibungskoeffizienten m, der durch die physikalischen Eigenschaften der Kontaktflächen von Kugel und Hobel bestimmt wird, wie z. B. Rauheit oder die Art der Materialien, aus denen Kugel und Hobel bestehen. Dieses Ergebnis ist eine direkte Folge der übernommenen Idealisierung, die sich in den Beziehungen (14) und (15) widerspiegelt. Darüber hinaus lässt sich leicht zeigen, dass die Reibungskraft im akzeptierten Modell keine Arbeit leistet. Tatsächlich multiplizieren wir Gleichung (12) mit , und Gleichung (13) auf w. Angesichts dessen

Und

und durch Addieren der Ausdrücke (12) und (13) erhalten wir

Wo W(X) ist die potentielle Energie des Balls im Kraftfeld F(X). Das sollte berücksichtigt werden

Berücksichtigt man die Formeln (14) und (15), so verschwindet die rechte Seite der Gleichheit (17). Auf der linken Seite der Gleichung (17) steht die zeitliche Ableitung der Gesamtenergie des Systems, die aus der kinetischen Energie der Translationsbewegung der Kugel besteht , kinetische Energie der Rotationsbewegung und potentielle Energie W(X). Das bedeutet, dass die Gesamtenergie des Systems ein konstanter Wert ist, d.h. Reibungskraft funktioniert nicht.

Offensichtlich ist dieses etwas seltsame Ergebnis auch eine Folge der akzeptierten Idealisierung. Dies weist darauf hin, dass die akzeptierte Idealisierung nicht der physischen Realität entspricht. Tatsächlich interagiert der Ball im Bewegungsprozess mit der Ebene, sodass seine mechanische Energie abnehmen muss, was bedeutet, dass die Beziehungen (14) und (15) nur insoweit wahr sein können, als die Energiedissipation vernachlässigt werden kann.

Es ist ganz klar, dass eine solche Idealisierung in diesem Fall nicht akzeptiert werden kann, da unser Ziel darin besteht, den Reibungskoeffizienten aus der Änderung der Energie des Pendels zu bestimmen. Deshalb halten wir die Annahme über die absolute Steifigkeit von Ball und Oberfläche und damit den fairen Zusammenhang (15) für fair. Lassen wir jedoch die Annahme fallen, dass sich der Ball bewegt, ohne zu rutschen. Wir gehen davon aus, dass ein leichter Schlupf vorliegt.

Die Geschwindigkeit der Berührungspunkte (Punkt O in Abb. 2) des Balls (Schlupfgeschwindigkeit) sei:

. (19)

Dann Einsetzen in Gleichung (17) und unter Berücksichtigung der Bedingungen (15) und (20) kommen wir zu der Gleichung:

, (21)

Daraus ist ersichtlich, dass die Geschwindigkeit der Energiedissipation gleich der Kraft der Reibungskraft ist. Das Ergebnis ist ganz natürlich, denn. Ein Körper gleitet mit einer Geschwindigkeit über eine Oberfläche Und, Auf ihn wirkt die Reibungskraft, die Arbeit verrichtet, wodurch die Gesamtenergie des Systems abnimmt.

Durch Differenzierung in Gleichung (21) und unter Berücksichtigung der Beziehung (18) erhalten wir die Bewegungsgleichung des Massenschwerpunkts der Kugel:

. (22)

Es ähnelt der Bewegungsgleichung eines materiellen Punktes mit einer Masse:

, (23)

unter dem Einfluss einer äußeren Kraft F und Rollreibungskräfte:

Darüber hinaus, F TR ist die übliche Gleitreibungskraft. Wenn die Kugel rollt, ist die wirksame Reibungskraft, die Rollreibungskraft genannt wird, einfach die übliche Gleitreibungskraft multipliziert mit dem Verhältnis der Rutschgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des Körpers. In der Praxis wird häufig der Fall beobachtet, dass die Rollreibungskraft nicht von der Geschwindigkeit des Körpers abhängt.

In diesem Fall offenbar die Schlupfrate Und proportional zur Geschwindigkeit des Körpers:

In realen Schwingungssystemen treten neben quasielastischen Kräften auch Widerstandskräfte des Mediums auf. Das Vorhandensein von Reibungskräften führt zu einer Dissipation (Dissipation) von Energie und einer Verringerung der Schwingungsamplitude. Durch die Verlangsamung der Bewegung erhöhen die Reibungskräfte die Periode, d.h. reduziert die Schwingungsfrequenz. Solche Schwingungen werden nicht harmonisch sein.

Als Schwingungen werden Schwingungen bezeichnet, deren Amplitude aufgrund der Energiedissipation mit der Zeit kontinuierlich abnimmt Fading . Bei ausreichend geringen Geschwindigkeiten ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit des Körpers und entgegen der Bewegung gerichtet

Dabei ist r der Reibungskoeffizient, der von den Eigenschaften des Mediums, der Form und Größe des bewegten Körpers abhängt. Die Differentialgleichung gedämpfter Schwingungen bei Vorhandensein von Reibungskräften hat die Form:

oder
(21)

Wo
- Dämpfungskoeffizient,

- natürliche Kreisfrequenz freier Schwingungen ohne Reibungskräfte.

Die allgemeine Lösung von Gleichung (21) im Fall geringer Dämpfung (
) Ist:

Sie unterscheidet sich von der Harmonischen (8) dadurch, dass die Schwingungsamplitude:

(23)

ist eine abnehmende Funktion der Zeit und der Kreisfrequenz bezogen auf die Eigenfrequenz und Dämpfungsfaktor Verhältnis:

. (24)

Die Periode gedämpfter Schwingungen beträgt:

. (25)

Die Abhängigkeit der Verschiebung X von t gedämpften Schwingungen ist in Abb.4 dargestellt.

C Der Grad der Amplitudenabnahme wird durch den Dämpfungskoeffizienten bestimmt .

Während
Amplitude (23) nimmt um den Faktor e ≈ 2,72 ab. Diesmal natürlichen Verfall nennt man Entspannungs Zeit. Daher ist der Dämpfungsfaktor der Kehrwert der Relaxationszeit:

.(26)

Die Abnahmegeschwindigkeit der Schwingungsamplitude ist gekennzeichnet durch logarithmisches Dämpfungsdekrement. Seien A(t) und A(t+T) die Amplituden zweier aufeinanderfolgender Schwingungen, die Zeitpunkten entsprechen, die sich um eine Periode unterscheiden. Dann gilt die Beziehung:

(27)

genannt Dämpfungsdekrement, die zeigt, wie oft die Amplitude der Schwingungen in einer Zeit abnimmt, die der Periode entspricht. Der natürliche Logarithmus dieses Verhältnisses ist:

(28)

wird logarithmischer Dämpfungsfaktor genannt. Hier ist N e die Anzahl der Schwingungen, die während der Zeit ausgeführt werden, in der die Amplitude um den Faktor e abnimmt, d. h. während der Entspannungszeit.

Das logarithmische Dämpfungsdekrement ist also der Kehrwert der Anzahl der Schwingungen, nach der die Schwingungsamplitude um den Faktor e abnimmt.

Die Abnahmegeschwindigkeit der Energie des Schwingungssystems wird durch den Gütefaktor Q charakterisiert. Gütefaktor des Schwingsystems- ein Wert proportional zum Verhältnis der Gesamtenergie E(t) des Schwingsystems zur Energie (- E) verloren während der Periode T:

(29)

Die Gesamtenergie des Schwingungssystems zu einem beliebigen Zeitpunkt und für jeden Wert von X hat die Form:

(30)

Da die Energie proportional zum Quadrat der Amplitude ist, nimmt die Energie gedämpfter Schwingungen proportional zum Wert ab
, Du kannst schreiben:

. (31)

Dann sieht der Ausdruck für den Gütefaktor des Schwingungssystems laut Definition wie folgt aus:

Dabei wird berücksichtigt, dass bei geringen Dämpfungen (1): 1. -2   2.

Daher ist der Qualitätsfaktor proportional zur Anzahl der Schwingungen Ne, die das System während der Relaxationszeit ausführt.

Der Gütefaktor von schwingungsfähigen Systemen kann stark variieren, zum Beispiel beträgt der Gütefaktor eines physikalischen Pendels Q~ 10 2 , während der Gütefaktor eines Atoms, das ebenfalls ein schwingungsfähiges System ist, Q~ 10 8 erreicht.

Zusammenfassend stellen wir fest, dass bei einem Dämpfungskoeffizienten β=ω 0 die Periode unendlich wird T =∞ (kritische Dämpfung). Mit einer weiteren Zunahme von β wird die Periode T imaginär und die Abschwächung der Bewegung erfolgt ohne Schwingungen, wie man sagt, aperiodisch. Dieser Bewegungsfall ist in Abb.5 dargestellt. Die kritische Dämpfung (Beruhigung) erfolgt in kürzester Zeit und ist in Messgeräten, beispielsweise in ballistischen Galvanometern, wichtig .

IN GEZWUNGEN GEFÄßE UND RESONANZ

Wirkt auf einen Körper mit der Masse m eine elastische Kraft F y = -kX, so entsteht eine Reibungskraft
und äußere periodische Kraft
, dann führt es erzwungene Schwingungen aus. In diesem Fall hat die Differentialgleichung der Bewegung die Form:

Wo
,
- Dämpfungskoeffizient,
- Eigenfrequenz der freien ungedämpften Schwingungen des Körpers, F 0 - Amplitude, ω - Frequenz der periodischen Kraft.

Im Anfangsmoment übersteigt die Arbeit der äußeren Kraft die Energie, die für die Reibung aufgewendet wird (Abb. 6). Energie und Amplitude der Körperschwingungen nehmen zu, bis die gesamte durch die äußere Kraft übertragene Energie vollständig für die Überwindung der Reibung aufgewendet wird, die proportional zur Geschwindigkeit ist. Daher stellt sich ein Gleichgewicht ein, bei dem die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant ist. Dieser Zustand charakterisiert den stationären Zustand des Systems.

In diesem Zustand ist die Bewegung des Körpers harmonisch mit einer Frequenz, die der Frequenz der äußeren Erregung entspricht, aber aufgrund der Trägheit des Körpers werden seine Schwingungen in Bezug auf den Momentanwert der äußeren periodischen Kraft phasenverschoben:

X = ACos(ωt + φ). (34)

Im Gegensatz zu freien Schwingungen hängen die Amplitude A und die Phase  erzwungener Schwingungen nicht von den Anfangsbedingungen der Bewegung ab, sondern werden nur durch die Eigenschaften des Schwingsystems, die Amplitude und die Frequenz der Antriebskraft bestimmt:

, (35)

. (36)

Man erkennt, dass Amplitude und Phasenverschiebung von der Frequenz der Antriebskraft abhängen (Abb. 7, 8).

Ein charakteristisches Merkmal erzwungener Schwingungen ist das Vorhandensein von Resonanz. Phänomen Ein starker Anstieg der Amplitude erzwungener Schwingungen, wenn sich die Frequenz der Antriebskraft der Eigenfrequenz freier ungedämpfter Schwingungen des Körpers nähert, wird als ω 0 bezeichnet mechanische Resonanz . Schwingungsamplitude des Körpers bei Resonanzfrequenz
erreicht den Maximalwert:

(37)

Zu den Resonanzkurven (siehe Abb. 7) machen wir folgende Bemerkungen. Wenn ω → 0, dann erreichen alle Kurven (siehe auch (35)) den gleichen von Null verschiedenen Grenzwert
, die sogenannte statistische Abweichung. Wenn ω→ ∞, dann tendieren alle Kurven asymptotisch gegen Null.

Unter der Bedingung geringer Dämpfung (β 2 ‹‹ω 0 2) ist die Resonanzamplitude (siehe (37))

(37a)

Unter dieser Bedingung nehmen wir das Verhältnis der Resonanzverschiebung zur statischen Abweichung:

Daraus ist ersichtlich, dass die relative Zunahme der Schwingungsamplitude bei Resonanz durch den Gütefaktor des Schwingungssystems bestimmt wird. Hier ist der Qualitätsfaktor tatsächlich der Gewinn der Antwort
System und kann bei geringer Dämpfung große Werte erreichen.

Dieser Umstand bestimmt die große Bedeutung des Resonanzphänomens in Physik und Technik. Es kommt zum Einsatz, wenn Schwingungen verstärkt werden sollen, beispielsweise in der Akustik – um den Klang von Musikinstrumenten zu verstärken, in der Funktechnik – um das gewünschte Signal von vielen anderen Signalen mit unterschiedlicher Frequenz zu isolieren. Kann es durch Resonanz zu einer unerwünschten Erhöhung der Schwingungen kommen, kommt ein System mit geringer Güte zum Einsatz.

VERWANDTE VIBRATIONEN

Das zweite Schwingsystem, elastisch mit dem ersten verbunden, kann als Quelle äußerer periodischer Kraft dienen. Beide Schwingungssysteme können aufeinander einwirken. So zum Beispiel der Fall zweier gekoppelter Pendel (Abb. 9).

Das System kann sowohl gleichphasige (Abb. 9b) als auch gegenphasige (Abb. 9c) Schwingungen ausführen. Solche Schwingungen werden Normaltyp oder Normalschwingungsart genannt und zeichnen sich durch ihre eigene Normalfrequenz aus. Bei gleichphasigen Schwingungen ist die Auslenkung der Pendel zu jedem Zeitpunkt X 1 = X 2 und die Frequenz ω 1 ist genau die gleiche wie die Frequenz eines einzelnen Pendels
. Dies liegt daran, dass sich die Lichtfeder im freien Zustand befindet und keinen Einfluss auf die Bewegung hat. Mit jederzeit gegenphasigen Schwingungen - X 1 \u003d X 2. Die Frequenz solcher Schwingungen ist größer und gleich
, da die Feder, die die Steifigkeit k hat und die Verbindung herstellt, immer in einem gedehnten, dann in einem komprimierten Zustand ist.

L
Jeder Zustand unseres gekoppelten Systems, einschließlich der anfänglichen Verschiebung X (Abb. 9a), kann als Überlagerung zweier Normalmoden dargestellt werden:

Wenn wir das System vom Anfangszustand X 1 = 0 aus in Bewegung setzen,
, X 2 \u003d 2A,
,

dann werden die Auslenkungen der Pendel durch die Ausdrücke beschrieben:

Auf Abb. 10 zeigt die Veränderung der Auslenkung einzelner Pendel über die Zeit.

Die Schwingungsfrequenz der Pendel entspricht der Durchschnittsfrequenz zweier Normalmoden:

, (39)

und ihre Amplitude ändert sich nach dem Sinus- oder Kegelgesetz mit einer niedrigeren Frequenz, die der halben Frequenzdifferenz der Normalmoden entspricht:

. (40)

Man spricht von einer langsamen Amplitudenänderung mit einer Frequenz, die der halben Differenz zwischen den Frequenzen der Normalmoden entspricht “ schlägt ” zwei Schwingungen mit nahezu gleicher Frequenz. Die Frequenz der „Schwingungen“ ist gleich der Differenz der Frequenzen ω 1 – ω 2 (und nicht der Hälfte dieser Differenz), da die maximale Amplitude 2A in einer der Frequenz entsprechenden Periode zweimal erreicht wird

Daher ist die Schwebungsperiode gleich:

(41)

Wenn die Pendel schlagen, wird Energie ausgetauscht. Ein vollständiger Energieaustausch ist jedoch nur möglich, wenn beide Massen gleich sind und das Verhältnis (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) gleich einer ganzen Zahl ist. Ein wichtiger Punkt ist, dass einzelne Pendel zwar Energie austauschen können, es jedoch keinen Energieaustausch zwischen normalen Modi gibt.

Das Vorhandensein solcher schwingender Systeme, die miteinander interagieren und ihre Energie aufeinander übertragen können, bildet die Grundlage der Wellenbewegung.

Ein schwingender Materialkörper, der sich in einem elastischen Medium befindet, nimmt die an ihn angrenzenden Partikel des Mediums mit und versetzt sie in oszillierende Bewegung. Aufgrund der elastischen Bindungen zwischen den Partikeln breiten sich die Schwingungen mit einer für ein bestimmtes Medium charakteristischen Geschwindigkeit im gesamten Medium aus.

Man nennt den Vorgang der Schwingungsausbreitung in einem elastischen Medium Welle .

Es gibt zwei Haupttypen von Wellen: Längs- und Querwellen. In Longitudinalwellen Teilchen des Mediums schwingen entlang der Wellenausbreitungsrichtung und in Querrichtung steht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Nicht jedes elastische Medium kann eine Transversalwelle ausbreiten. Eine transversale elastische Welle ist nur in solchen Medien möglich, in denen eine elastische Scherverformung stattfindet. Beispielsweise breiten sich in Gasen und Flüssigkeiten nur longitudinale elastische Wellen (Schall) aus.

Man nennt den Ort der Punkte des Mediums, zu dem die Schwingung zu einem bestimmten Zeitpunkt gelangt ist Wellenfront . Die Wellenfront trennt den Teil des Raumes, der bereits am Wellenprozess beteiligt ist, von dem Bereich, in dem noch keine Schwingungen aufgetreten sind. Abhängig von der Form der Front sind die Wellen eben, kugelförmig, zylindrisch usw.

Die Gleichung für eine verlustfreie Ausbreitung einer ebenen Welle in einem homogenen Medium lautet:
, (42)

wobei ξ(X,t) die Verschiebung der Teilchen des Mediums mit der Koordinate X aus der Gleichgewichtslage zum Zeitpunkt t ist, A die Amplitude ist,
- Wellenphase,
- Kreisschwingungsfrequenz der Partikel des Mediums, v - Geschwindigkeit der Wellenausbreitung.

Wellenlänge λ Der Abstand zwischen Punkten, die mit einer Phasendifferenz von 2π schwingen, heißt, mit anderen Worten, die Wellenlänge ist der Weg, den eine beliebige Phase der Welle in einer Schwingungsperiode zurücklegt:

Phasengeschwindigkeit, d.h. Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Phase:

λ / T (44)

Wellenzahl ist die Anzahl der Wellenlängen, die auf eine Länge von 2π-Einheiten passen:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Ersetzt man diese Notationen in (42), Ebene reisende monochromatische Wellengleichung kann dargestellt werden als:

(46)

Beachten Sie, dass die Wellengleichung (46) eine doppelte Periodizität in Koordinaten und Zeit aufweist. Tatsächlich fallen die Phasen der Schwingungen zusammen, wenn sich die Koordinate um λ ändert und wenn sich die Zeit um eine Periode T ändert. Daher ist es unmöglich, eine Welle in einer Ebene grafisch darzustellen. Die Zeit t ist oft festgelegt und die Abhängigkeit der Verschiebung ξ von der X-Koordinate wird im Diagramm dargestellt, d. h. momentane Verteilung der Verschiebungen von Partikeln des Mediums entlang der Wellenausbreitungsrichtung (Abb. 11). Die Phasendifferenz Δφ der Schwingungen der Punkte des Mediums hängt vom Abstand ΔX \u003d X 2 - X 1 zwischen diesen Punkten ab:

(47)

Wenn sich die Welle entgegen der X-Richtung ausbreitet, wird die Rückwärtswellengleichung wie folgt geschrieben:

ξ (X,t) = ACos(ωt + kX). (48)

STEHENDE WELLEN sind das Ergebnis einer besonderen Art von Welleninterferenz. Sie entstehen, wenn sich zwei Wanderwellen mit gleichen Frequenzen und Amplituden aufeinander zu ausbreiten.

Die Gleichungen zweier ebener Wellen, die sich entlang der X-Achse in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten, lauten:

ξ 1 \u003d ACos (ωt - kX)

ξ 2 = ACos(ωt + kX). (49)

Durch Addition dieser Gleichungen unter Verwendung der Formel der Kosinussumme und unter Berücksichtigung von k = 2π / λ erhalten wir die Stehwellengleichung:

. (50)

Der Cos ωt-Multiplikator zeigt, dass an den Punkten des Mediums mit Amplitude Schwingungen der gleichen Frequenz ω auftreten
, abhängig von der X-Koordinate des betrachteten Punktes. An Punkten in der Umgebung, wo:
, (51)

die Schwingungsamplitude erreicht einen Maximalwert von 2A. Diese Punkte werden aufgerufen Bäuche.

Aus Ausdruck (51) kann man die Schwingungsbäuchekoordinaten ermitteln:
(52)

An den Stellen wo
(53) Die Schwingungsamplitude verschwindet. Diese Punkte werden aufgerufen Knoten.

Knotenkoordinaten:
. (54)

R die Abstände zwischen benachbarten Schwingungsbäuchen und benachbarten Knoten sind gleich und gleich λ/2. Der Abstand zwischen dem Knoten und dem benachbarten Schwingungsbauch beträgt λ/4. Beim Durchgang durch den Knoten beträgt der Multiplikator
ändert das Vorzeichen, sodass sich die Phasen der Schwingungen auf gegenüberliegenden Seiten des Knotens um π unterscheiden, d. h. Punkte, die auf gegenüberliegenden Seiten des Knotens liegen, schwingen gegenphasig. Zwischen zwei benachbarten Knoten eingeschlossene Punkte schwingen mit unterschiedlichen Amplituden, aber mit den gleichen Phasen.

Die Verteilung von Knoten und Bäuchen in einer stehenden Welle hängt von den Bedingungen ab, die an der Grenzfläche zwischen zwei Medien herrschen, an denen die Reflexion erfolgt. Wird die Welle von einem dichteren Medium reflektiert, dann ändert sich die Phase der Schwingungen an der Stelle, an der die Welle reflektiert wird, ins Gegenteil, oder wie man sagt, die Hälfte der Welle geht verloren. Aufgrund der Addition von Schwingungen entgegengesetzter Richtung ist die Verschiebung an der Grenze daher Null, d.h. Es gibt einen Knoten (Abb. 12). Wenn eine Welle von der Grenze eines weniger dichten Mediums reflektiert wird, bleibt die Phase der Schwingungen am Ort der Reflexion unverändert, und Schwingungen mit den gleichen Phasen werden in der Nähe der Grenze hinzugefügt – es entsteht ein Schwingungsbauch.

Bei einer stehenden Welle gibt es keine Phasenbewegung, keine Wellenausbreitung, keine Energieübertragung, weshalb dieser Wellentyp auch seinen Namen trägt.

1.21. Abklingende, erzwungene Schwingungen

Die Differentialgleichung gedämpfter Schwingungen und ihre Lösung. Dämpfungskoeffizient. logarithmische DezDämpfungsband.Q-FaktorKörper System.aperiodischer Prozess. Die Differentialgleichung erzwungener Schwingungen und ihre Lösung.Amplitude und Phase erzwungener Schwingungen. Der Prozess der Herstellung von Schwingungen. Resonanzkoffer.Selbstschwingungen.

Unter Schwingungsdämpfung versteht man die allmähliche Abnahme der Schwingungsamplitude im Laufe der Zeit aufgrund des Energieverlusts des Schwingungssystems.

Eigenschwingungen ohne Dämpfung sind eine Idealisierung. Die Gründe für das Verblassen können unterschiedlich sein. In einem mechanischen System werden Vibrationen durch Reibung gedämpft. Wenn die gesamte im Schwingsystem gespeicherte Energie aufgebraucht ist, hören die Schwingungen auf. Daher die Amplitude gedämpfte Schwingungen nimmt ab, bis es Null wird.

Gedämpfte Schwingungen sowie natürliche Schwingungen in Systemen unterschiedlicher Natur können aus einem einzigen Blickwinkel betrachtet werden – gemeinsamen Merkmalen. Allerdings müssen Eigenschaften wie Amplitude und Periode neu definiert werden, während andere im Vergleich zu denselben Eigenschaften für natürliche ungedämpfte Schwingungen Ergänzungen und Klarstellungen erfordern. Die allgemeinen Vorzeichen und Konzepte gedämpfter Schwingungen sind wie folgt:

Die Differentialgleichung muss unter Berücksichtigung der Abnahme der Schwingungsenergie im Schwingungsprozess ermittelt werden.

Die Schwingungsgleichung ist die Lösung einer Differentialgleichung.

Die Amplitude gedämpfter Schwingungen hängt von der Zeit ab.

Frequenz und Periode hängen vom Grad der Dämpfung der Schwingungen ab.

Phase und Anfangsphase haben die gleiche Bedeutung wie bei ungedämpften Schwingungen.

Mechanisch gedämpfte Schwingungen.

Mechanisches System : Federpendel, das Reibungskräften ausgesetzt ist.

Auf das Pendel wirkende Kräfte :

Elastische Kraft., wobei k der Federsteifigkeitskoeffizient und х die Verschiebung des Pendels aus der Gleichgewichtsposition ist.

Widerstandskraft. Betrachten Sie die Widerstandskraft proportional zur Bewegungsgeschwindigkeit v (diese Abhängigkeit ist typisch für eine große Klasse von Widerstandskräften): . Das Minuszeichen zeigt an, dass die Richtung der Widerstandskraft der Richtung der Körpergeschwindigkeit entgegengesetzt ist. Der Widerstandsbeiwert r ist numerisch gleich der Widerstandskraft, die bei einer Einheitsgeschwindigkeit des Körpers auftritt:

Bewegungsgesetz Federpendel ist Newtons zweites Gesetz:

M A = F ex. + F widerstehen.

In Anbetracht dessen und , schreiben wir Newtons zweites Gesetz in der Form:

. (21.1)

Wenn wir alle Terme der Gleichung durch m dividieren und sie alle auf die rechte Seite verschieben, erhalten wir Differentialgleichung gedämpfte Schwingungen:

Bezeichnen wir , wo β – Dämpfungsfaktor , , Wo ω 0 ist die Frequenz ungedämpfter freier Schwingungen ohne Energieverluste im Schwingsystem.

In der neuen Schreibweise hat die Differentialgleichung gedämpfter Schwingungen die Form:

. (21.2)

Dies ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Diese lineare Differentialgleichung wird durch eine Variablenänderung gelöst. Wir stellen die Funktion x, abhängig von der Zeit t, in der Form dar:

Lassen Sie uns die erste und zweite Zeitableitung dieser Funktion ermitteln, vorausgesetzt, die Funktion z ist auch eine Funktion der Zeit:

, .

Ersetzen Sie die Ausdrücke in der Differentialgleichung:

Wir bringen gleiche Terme in die Gleichung ein und reduzieren jeden Term um , wir erhalten die Gleichung:

Bezeichnen wir die Menge .

Gleichungslösung sind die Funktionen , .

Zurück zur Variablen x erhalten wir die Formeln für die Gleichungen gedämpfter Schwingungen:

Auf diese Weise , Gleichung gedämpfter Schwingungen ist eine Lösung der Differentialgleichung (21.2):

Gedämpfte Schwingfrequenz :

(Daher hat nur die echte Wurzel eine physikalische Bedeutung).

Zeitraum gedämpfter Schwingungen :

(21.5)

Die Bedeutung, die dem Begriff der Periode für ungedämpfte Schwingungen gegeben wurde, ist für gedämpfte Schwingungen nicht geeignet, da das Schwingsystem durch den Verlust an Schwingungsenergie nie wieder in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehrt. Bei Reibung sind die Schwingungen langsamer: .

Die Periode gedämpfter Schwingungen nennt man das minimale Zeitintervall, in dem das System das Doppelte der Gleichgewichtslage in der gleichen Richtung durchläuft.

Für das mechanische System des Federpendels gilt:

, .

Amplitude gedämpfter Schwingungen :

Für Federpendel.

Die Amplitude gedämpfter Schwingungen ist kein konstanter Wert, sondern ändert sich mit der Zeit umso schneller, je größer der Koeffizient β ist. Daher muss die Definition der Amplitude, die zuvor für ungedämpfte freie Schwingungen gegeben wurde, für gedämpfte Schwingungen geändert werden.

Für kleine Dämpfung Amplitude gedämpfter Schwingungen bezeichnet die größte Abweichung von der Gleichgewichtslage für den Zeitraum.

Grafiken Die Offset-Zeit- und Amplitude-Zeit-Kurven sind in den Abbildungen 21.1 und 21.2 dargestellt.

Abbildung 21.1 – Die Abhängigkeit der Verschiebung von der Zeit für gedämpfte Schwingungen.

Abbildung 21.2 – Abhängigkeiten der Amplitude von der Zeit für gedämpfte Schwingungen

Eigenschaften gedämpfter Schwingungen.

1. Dämpfungsfaktor β .

Die Änderung der Amplitude gedämpfter Schwingungen erfolgt nach dem Exponentialgesetz:

Die Schwingungsamplitude soll mit der Zeit τ um das „e“-fache abnehmen („e“ ist die Basis des natürlichen Logarithmus, e ≈ 2,718). Dann einerseits , und andererseits, nachdem ich die Amplituden und Zat gemalt habe. (t) und A bei. (t+τ), wir haben . Diese Beziehungen implizieren βτ = 1, also .

Zeitintervall τ , bei der die Amplitude um das „e“-fache abnimmt, wird Relaxationszeit genannt.

Dämpfungsfaktor β ist ein Wert, der umgekehrt proportional zur Relaxationszeit ist.

2. Logarithmisches Dämpfungsdekrement δ - eine physikalische Größe, die numerisch dem natürlichen Logarithmus des Verhältnisses zweier aufeinanderfolgender Amplituden entspricht, die zeitlich durch eine Periode getrennt sind.

Wenn die Dämpfung gering ist, d.h. Ist der Wert von β klein, ändert sich die Amplitude über die Periode leicht und das logarithmische Dekrement kann wie folgt definiert werden:

wo A bei. (t) und A bei. (t + NT) – Schwingungsamplituden zum Zeitpunkt e und nach N Perioden, d. h. zum Zeitpunkt (t + NT).

3. Qualitätsfaktor Q Schwingsystem ist eine dimensionslose physikalische Größe, die dem Produkt des Wertes (2π) νa entspricht, dem Verhältnis der Energie W(t) des Systems zu einem beliebigen Zeitpunkt zum Energieverlust über eine Periode gedämpfter Schwingungen:

Da die Energie also proportional zum Quadrat der Amplitude ist

Für kleine Werte des logarithmischen Dekrements δ ist der Gütefaktor des Schwingsystems gleich

wobei N e die Anzahl der Schwingungen ist, bei denen die Amplitude um das „e“-fache abnimmt.

Der Gütefaktor eines Federpendels ist also: Je größer der Gütefaktor eines schwingungsfähigen Systems, desto geringer die Dämpfung, desto länger dauert der periodische Prozess in einem solchen System. Qualitätsfaktor des Schwingsystems - dimensionslose Größe, die die zeitliche Dissipation von Energie charakterisiert.

4. Mit zunehmendem Koeffizienten β nimmt die Frequenz gedämpfter Schwingungen ab und die Periode nimmt zu. Bei ω 0 = β wird die Frequenz gedämpfter Schwingungen gleich Null ω zat. = 0 und T zat. = ∞. In diesem Fall verlieren die Schwingungen ihren periodischen Charakter und werden aufgerufen aperiodisch.

Bei ω 0 = β nehmen die für die Abnahme der Schwingungsenergie verantwortlichen Systemparameter sogenannte Werte an kritisch . Für ein Federpendel wird die Bedingung ω 0 = β geschrieben als:, woraus wir den Wert ermitteln Kritischer Luftwiderstandsbeiwert:

Reis. 21.3. Die Abhängigkeit der Amplitude aperiodischer Schwingungen von der Zeit

Erzwungene Vibrationen.

Alle realen Schwingungen werden gedämpft. Damit über einen ausreichend langen Zeitraum reale Schwingungen auftreten, ist es notwendig, die Energie des Schwingsystems periodisch wieder aufzufüllen, indem eine äußere, sich periodisch ändernde Kraft auf das Schwingsystem einwirkt

Betrachten Sie das Phänomen der Schwingungen im Außenbereich (zwingen) Kraft variiert mit der Zeit gemäß dem harmonischen Gesetz. In diesem Fall treten in den Systemen Schwingungen auf, deren Natur in gewissem Maße die Natur der treibenden Kraft wiederholt. Solche Schwankungen nennt man gezwungen .

Allgemeine Anzeichen erzwungener mechanischer Vibrationen.

1. Betrachten wir die erzwungenen mechanischen Schwingungen eines Federpendels, auf das von außen eingewirkt wird (zwingend ) periodische Kraft . Die Kräfte, die auf ein aus dem Gleichgewicht geratenes Pendel wirken, entwickeln sich im Schwingsystem selbst. Dies sind die elastische Kraft und die Widerstandskraft.

Bewegungsgesetz (Newtons zweites Gesetz) lautet wie folgt:

(21.6)

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch m, berücksichtigen Sie das und erhalten Sie Differentialgleichung erzwungene Vibrationen:

Bezeichnen ( β – Dämpfungsfaktor ), (ω 0 ist die Frequenz ungedämpfter freier Schwingungen), die pro Masseneinheit wirkende Kraft. In diesen Notationen Differentialgleichung erzwungene Schwingungen nehmen die Form an:

(21.7)

Dies ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einer rechten Seite ungleich Null. Die Lösung einer solchen Gleichung ist die Summe zweier Lösungen

ist die allgemeine Lösung einer homogenen Differentialgleichung, d.h. Differentialgleichung ohne rechte Seite, wenn sie gleich Null ist. Wir kennen eine solche Lösung - das ist die Gleichung gedämpfter Schwingungen, geschrieben auf eine Konstante, deren Wert durch die Anfangsbedingungen des Schwingungssystems bestimmt wird:

Wir haben zuvor besprochen, dass die Lösung in Form von Sinusfunktionen geschrieben werden kann.

Betrachtet man den Vorgang der Pendelschwingungen nach einer ausreichend langen Zeitspanne Δt nach dem Einschalten der Antriebskraft (Abbildung 21.2), so kommen die gedämpften Schwingungen im System praktisch zum Stillstand. Und dann ist die Lösung der Differentialgleichung mit der rechten Seite die Lösung.

Eine Lösung ist eine bestimmte Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung, d.h. Gleichungen mit der rechten Seite. Aus der Theorie der Differentialgleichungen ist bekannt, dass bei einer Änderung der rechten Seite gemäß dem harmonischen Gesetz die Lösung eine harmonische Funktion (sin oder cos) mit einer Änderungsfrequenz sein wird, die der Änderungsfrequenz Ω der rechten Seite entspricht:

wo A ampl. – Amplitude der erzwungenen Schwingungen, φ 0 – Phasenverschiebung , diese. Phasendifferenz zwischen der Phase der Antriebskraft und der Phase erzwungener Schwingungen. Und Amplitude A Ampl. , und die Phasenverschiebung φ 0 hängen von den Parametern des Systems (β, ω 0) und von der Frequenz der Antriebskraft Ω ab.

Erzwungene Schwingungsperiode gleicht (21.9)

Diagramm der erzwungenen Schwingungen in Abbildung 4.1.

Abb.21.3. Zeitplan der erzwungenen Schwingungen

Auch die stetigen erzwungenen Schwingungen sind harmonisch.

Abhängigkeiten der Amplitude erzwungener Schwingungen und Phasenverschiebung von der Frequenz der äußeren Einwirkung. Resonanz.

1. Kehren wir zum mechanischen System eines Federpendels zurück, das durch eine äußere Kraft beeinflusst wird, die sich nach einem harmonischen Gesetz ändert. Für ein solches System haben die Differentialgleichung bzw. ihre Lösung die Form:

, .

Analysieren wir die Abhängigkeit der Schwingungsamplitude und Phasenverschiebung von der Frequenz der äußeren Antriebskraft, ermitteln wir dazu die erste und zweite Ableitung von x und setzen sie in die Differentialgleichung ein.

Lassen Sie uns die Vektordiagrammmethode verwenden. Aus der Gleichung ist ersichtlich, dass die Summe der drei Schwankungen auf der linken Seite der Gleichung (Abbildung 4.1) gleich der Schwankung auf der rechten Seite sein sollte. Das Vektordiagramm wird für eine beliebige Zeit t erstellt. Es lässt sich daraus ermitteln.

Abbildung 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Unter Berücksichtigung des Wertes , , erhalten wir Formeln für φ 0 und A ampl. Mechanisches System:

2. Wir untersuchen die Abhängigkeit der Amplitude erzwungener Schwingungen von der Frequenz der Antriebskraft und der Größe der Widerstandskraft in einem schwingenden mechanischen System und erstellen anhand dieser Daten ein Diagramm . Die Ergebnisse der Studie sind in Abbildung 21.5 dargestellt. Sie zeigen, dass bei einer bestimmten Frequenz die Antriebskraft auftritt die Amplitude der Schwingungen nimmt stark zu. Und dieser Anstieg ist umso größer, je kleiner der Schwächungskoeffizient β ist. Bei wird die Schwingungsamplitude unendlich groß.

Das Phänomen eines starken Anstiegs der Amplitude erzwungene Schwingungen mit einer Frequenz der Antriebskraft gleich nennt man Resonanz.

(21.12)

Die Kurven in Abbildung 21.5 spiegeln den Zusammenhang wider und heißen Amplitudenresonanzkurven .

Abbildung 21.5 – Diagramme der Abhängigkeit der Amplitude erzwungener Schwingungen von der Frequenz der Antriebskraft.

Die Amplitude resonanter Schwingungen nimmt die Form an:

Erzwungene Vibrationen sind ungedämpft Schwankungen. Die unvermeidlichen Energieverluste durch Reibung werden durch Energiezufuhr aus einer externen Quelle einer periodisch wirkenden Kraft ausgeglichen. Es gibt Systeme, bei denen ungedämpfte Schwingungen nicht durch periodische äußere Einflüsse entstehen, sondern durch die Fähigkeit solcher Systeme, den Energiefluss aus einer konstanten Quelle zu regulieren. Solche Systeme heißen selbstoszillierend, und der Prozess ungedämpfter Schwingungen in solchen Systemen ist Selbstschwingungen.

In einem selbstoszillierenden System können drei charakteristische Elemente unterschieden werden – ein oszillierendes System, eine Energiequelle und eine Rückkopplungsvorrichtung zwischen dem oszillierenden System und der Quelle. Als schwingungsfähiges System kann jedes mechanische System verwendet werden, das in der Lage ist, eigene gedämpfte Schwingungen auszuführen (z. B. ein Pendel einer Wanduhr).

Als Energiequelle kann die Verformungsenergie der Feder oder die potentielle Energie der Last im Gravitationsfeld dienen. Das Rückkopplungsgerät ist ein Mechanismus, mit dem das selbstoszillierende System den Energiefluss von der Quelle reguliert. Auf Abb. In Abb. 21.6 zeigt ein Diagramm des Zusammenspiels verschiedener Elemente eines selbstschwingenden Systems.

Ein Beispiel für ein mechanisches selbstschwingendes System ist ein Uhrwerk mit Anker bewegen (Abb. 21.7.). Ein Laufrad mit schrägen Zähnen ist starr an einer Zahntrommel befestigt, durch die eine Kette mit einem Gewicht geworfen wird. Am oberen Ende des Pendels ist ein Anker (Anker) mit zwei Platten aus hartem Material befestigt, die entlang eines Kreisbogens gebogen sind, der auf der Achse des Pendels zentriert ist. Bei einer Armbanduhr wird das Gewicht durch eine Feder und das Pendel durch einen Balancer ersetzt – ein Handrad, das an einer Spiralfeder befestigt ist.

Abbildung 21.7. Uhrwerk mit Pendel.

Der Balancer führt Drehschwingungen um seine Achse aus. Das Schwingsystem der Uhr ist ein Pendel oder Balancer. Die Energiequelle ist ein hochgehobenes Gewicht oder eine aufgezogene Feder. Das Rückkopplungsgerät ist ein Anker, der es dem Laufrad ermöglicht, sich in einem Halbzyklus um einen Zahn zu drehen.

Die Rückmeldung erfolgt durch die Interaktion des Ankers mit dem Laufrad. Bei jeder Schwingung des Pendels schiebt der Zahn des Laufrads die Ankergabel in Richtung der Pendelbewegung und überträgt auf diese einen bestimmten Energieanteil, der die Energieverluste durch Reibung ausgleicht. Somit wird die potentielle Energie des Gewichts (oder der verdrehten Feder) nach und nach in einzelnen Portionen auf das Pendel übertragen.

Mechanische selbstschwingende Systeme sind im Leben um uns herum und in der Technik weit verbreitet. Selbstschwingungen werden durch Dampfmaschinen, Verbrennungsmotoren, elektrische Glocken, Saiten von Streichinstrumenten, Luftsäulen in den Pfeifen von Blasinstrumenten, Stimmbänder beim Sprechen oder Singen usw. erzeugt.

In Wirklichkeit entstehen freie Schwingungen unter Einwirkung von Widerstandskräften. Dissipative Kräfte führen zu einer Verringerung der Schwingungsamplitude. Schwingungen, deren Amplitude durch Energieverluste mit der Zeit kleiner wird, nennt man gedämpft.

Gedämpfte mechanische Schwingungen

DEFINITION

Die physikalische Größe, die die Dämpfungsrate von Schwingungen charakterisiert, heißt Dämpfungsfaktor. Der Dämpfungskoeffizient kann auf verschiedene Arten bezeichnet werden: usw. Unter der Voraussetzung, dass die Reibungskräfte proportional zur Geschwindigkeit des Körpers sind:

wobei - der verallgemeinerte Reibungskoeffizient ist, der Dämpfungskoeffizient wird als gleich angesehen:

Wo ist die Masse des Körpers, der schwingt?

Die Differentialgleichung der Schwingungen bei Vorhandensein einer Dämpfung hat die Form:

ist die zyklische Frequenz der freien Schwingungen des Systems ohne Reibung.

Gleichung der gedämpften Schwingung:

Wo ist die Frequenz gedämpfter Schwingungen, ist die Amplitude gedämpfter Schwingungen. ist ein konstanter Wert, der von der Wahl des Zeitbezugspunkts abhängt.

Der Dämpfungskoeffizient kann als Kehrwert der Zeit () definiert werden, in der die Amplituden (A) um das e-fache abnehmen:

Wo ist die Entspannungszeit? Das heißt, Sie können schreiben:

Die Periode gedämpfter Schwingungen beträgt:

bei unbedeutendem Widerstand des Mediums, wenn die Ungleichung erfüllt ist: Die Schwingungsdauer kann nach folgender Formel berechnet werden:

Mit zunehmendem Dämpfungsfaktor nimmt die Schwingungsdauer zu. Es ist zu beachten, dass das Konzept der Periode gedämpfter Schwingungen nicht mit dem Konzept ungedämpfter Schwingungen übereinstimmt, da das System bei Vorhandensein einer Dämpfung niemals in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehrt. Die Periode gedämpfter Schwingungen ist die minimale Zeitspanne, in der das System die Gleichgewichtslage zweimal in die gleiche Richtung durchläuft.

Mit zunehmendem Dämpfungskoeffizienten von Schwingungen nimmt die Schwingungsfrequenz ab. Wenn , dann wird die Frequenz der gedämpften Schwingungen gleich Null, während die Periode bis ins Unendliche ansteigt. Solche Schwingungen verlieren ihre Periodizität und werden als aperiodisch bezeichnet. Wenn der Dämpfungskoeffizient gleich der Eigenfrequenz der Schwingungen ist, werden die Parameter des Systems als kritisch bezeichnet.

Der Schwingungsdämpfungskoeffizient hängt mit dem logarithmischen Dämpfungsdekrement () durch den Ausdruck zusammen:

Gedämpfte elektrische Schwingungen

Jeder tatsächlich existierende Stromkreis verfügt über einen aktiven Widerstand, daher wird die im Laufe der Zeit darin gespeicherte Energie für diesen Widerstand aufgewendet, da er erhitzt wird.

In diesem Fall wird der Dämpfungskoeffizient für den Stromkreis wie folgt berechnet:

Dabei ist R der Widerstand und L die Induktivität des Stromkreises.

Die Frequenz im elektromagnetischen Kreis wird durch die Formel dargestellt:

Für eine RLC-Schaltung ist der kritische Widerstand (), bei dem die Schwingungen aperiodisch werden, der Widerstand gleich:

finden Sie unter

Einheiten des Dämpfungsverhältnisses

Die grundlegende Maßeinheit des Schwächungskoeffizienten im SI-System ist:

Beispiele für Problemlösungen

BEISPIEL 1

Übung

Wie groß ist der Dämpfungskoeffizient, wenn die Amplitude der Pendelschwingungen während der Zeit t=10 s ist? um das Vierfache verringert?

Lösung

Schreiben wir die Gleichung der gedämpften Schwingungen des Pendels auf:

Nach einer der Definitionen des Schwächungskoeffizienten:

Machen wir die Berechnungen:

Antworten

BEISPIEL 2

Übung	Der Schwingkreis besteht aus einer Induktivität L, einem Kondensator C und einem Widerstand R (Abb. 1). Nach wie vielen Vollschwingungen (N) nimmt die Amplitude des Stroms im Stromkreis um den Faktor e ab?
Lösung	Wir führen die folgende Notation ein: - der Anfangswert der Amplitude der Stromstärke, - die Amplitude der Stromstärke durch N Schwingungen, dann können wir schreiben:

ALLGEMEINE INFORMATIONEN

Schwankungen bezeichnet Bewegungen oder Vorgänge, die durch eine bestimmte zeitliche Wiederholung gekennzeichnet sind. Die Schwankungen werden aufgerufen frei, wenn sie auf Kosten der zunächst übertragenen Energie durchgeführt werden und anschließend keine äußeren Einflüsse auf das Schwingsystem einwirken. Die einfachste Art von Vibrationen sind harmonische Schwingungen- Schwankungen, bei denen sich der Schwingwert zeitlich nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz ändert.

Die Differentialgleichung harmonischer Schwingungen hat die Form

wo ist der oszillierende Wert, ist die zyklische Frequenz.

ist die Lösung dieser Gleichung. Hier - Amplitude, - Anfangsphase.

Oszillationsphase.

Amplitude – der Maximalwert einer schwankenden Größe.

Die Schwingungsdauer ist die Zeitspanne, nach der sich die Bewegung des Körpers wiederholt. Die Schwingungsphase für die Periode erhält ein Inkrement. . ist die Anzahl der Schwingungen.

Die Schwingungsfrequenz ist die Anzahl der vollständigen Schwingungen pro Zeiteinheit. . . Sie wird in Hertz (Hz) gemessen.

Die Zyklenfrequenz ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde. . Maßeinheit .

Die Schwingungsphase ist ein Wert unter dem Kosinuszeichen und charakterisiert den Zustand des Schwingungssystems zu jedem Zeitpunkt.

Anfangsphase – die Phase der Schwingungen im Anfangszeitpunkt. Phase und Anfangsphase werden im Bogenmaß () gemessen.

Frei gedämpfte Vibrationen– Schwingungen, deren Amplitude aufgrund von Energieverlusten eines realen Schwingungssystems mit der Zeit abnimmt. Der einfachste Mechanismus zur Reduzierung der Energie von Schwingungen ist deren Umwandlung in Wärme aufgrund von Reibung in mechanischen Schwingsystemen sowie ohmscher Verluste und Strahlung elektromagnetischer Energie in elektrischen Schwingsystemen.

Die Differentialgleichung frei gedämpfter Schwingungen hat die Form

, (1)

Die Lösung von Gleichung (1) bei geringer Dämpfung (d 2<< ) имеет вид

Das Zeitintervall, in dem die Amplitude abnimmt e mal, heißt Entspannungs Zeit.

Durch die Dämpfung wird die Periodizität von Schwingungen verletzt, sodass gedämpfte Schwingungen nicht periodisch sind. Wenn die Dämpfung jedoch gering ist, kann man bedingt den Begriff einer Periode als Zeitintervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima (oder Minima) einer oszillierenden Größe verwenden. Dann wird die Periode der gedämpften Schwingungen nach der Formel berechnet

Wenn A(T) Und A(t+T) sind die Amplituden zweier aufeinanderfolgender Schwingungen, die Zeiten entsprechen, die sich um eine Periode unterscheiden, dann das Verhältnis

genannt Dämpfungsdekrement und sein Logarithmus

– logarithmisches Dämpfungsdekrement.

Wert N e ist die Anzahl der Schwingungen, die während der Abnahme der Amplitude in erzeugt werden e einmal. Das logarithmische Dämpfungsdekrement ist für ein gegebenes Schwingungssystem ein konstanter Wert.

Zur Charakterisierung eines schwingungsfähigen Systems wird das Konzept verwendet Qualitätsfaktor Q, was für kleine Werte des logarithmischen Dekrements gleich ist

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