Die Zufallsvariable x wird durch die Verteilungsdichtefunktion angegeben. Numerische Eigenschaften einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Erwarteter Wert

Streuung kontinuierliche Zufallsvariable X, deren mögliche Werte zur gesamten Ox-Achse gehören, wird durch die Gleichheit bestimmt:

Zweck des Dienstes. Der Online-Rechner soll Probleme lösen, bei denen entweder Verteilungsdichte f(x) oder Verteilungsfunktion F(x) (siehe Beispiel). Normalerweise müssen Sie bei solchen Aufgaben etwas finden mathematischer Erwartungswert, Standardabweichung, Plotfunktionen f(x) und F(x).

Anweisungen. Wählen Sie den Typ der Quelldaten aus: Verteilungsdichte f(x) oder Verteilungsfunktion F(x).

Die Verteilungsdichte f(x) ist gegeben:

Die Verteilungsfunktion F(x) ist gegeben:

Eine kontinuierliche Zufallsvariable wird durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte angegeben
(Rayleigh-Verteilungsgesetz – verwendet in der Funktechnik). Finden Sie M(x) , D(x) .

Die Zufallsvariable X wird aufgerufen kontinuierlich , wenn seine Verteilungsfunktion F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Mithilfe der Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, mit der eine Zufallsvariable in ein bestimmtes Intervall fällt:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Darüber hinaus spielt es für eine kontinuierliche Zufallsvariable keine Rolle, ob ihre Grenzen in diesem Intervall enthalten sind oder nicht:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Verteilungsdichte Eine kontinuierliche Zufallsvariable wird Funktion genannt
f(x)=F’(x) , Ableitung der Verteilungsfunktion.

Eigenschaften der Verteilungsdichte

1. Die Verteilungsdichte der Zufallsvariablen ist für alle Werte von x nicht negativ (f(x) ≥ 0).
2. Normalisierungsbedingung:

Die geometrische Bedeutung der Normalisierungsbedingung: Die Fläche unter der Verteilungsdichtekurve ist gleich Eins.
3. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X in das Intervall von α bis β fällt, lässt sich mit der Formel berechnen

Geometrisch gesehen ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable X in das Intervall (α, β) fällt, gleich der Fläche des krummlinigen Trapezes unter der Verteilungsdichtekurve basierend auf diesem Intervall.
4. Die Verteilungsfunktion wird als Dichte wie folgt ausgedrückt:

Der Wert der Verteilungsdichte am Punkt x ist nicht gleich der Wahrscheinlichkeit, diesen Wert anzunehmen; für eine kontinuierliche Zufallsvariable können wir nur über die Wahrscheinlichkeit sprechen, in ein bestimmtes Intervall zu fallen. Lassen :

die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable vorliegt X nimmt jeden Wert aus dem Intervall [ A; B], ist gleich einem bestimmten Integral seiner Wahrscheinlichkeitsdichte im Bereich von A Vor B:

In diesem Fall die allgemeine Formel der Funktion F(X) Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen, die verwendet werden kann, wenn die Dichtefunktion bekannt ist F(X) :

Der Wahrscheinlichkeitsdichtegraph einer kontinuierlichen Zufallsvariablen wird als Verteilungskurve bezeichnet (Abbildung unten).

Fläche einer Figur (in der Abbildung schattiert), begrenzt durch eine Kurve, gerade Linien, die aus Punkten gezogen werden A Und B senkrecht zur x-Achse und zur Achse Oh, zeigt grafisch die Wahrscheinlichkeit an, dass der Wert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist X liegt im Bereich von A Vor B.

Eigenschaften der Weiner kontinuierlichen Zufallsvariablen

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen beliebigen Wert aus dem Intervall (und der Fläche der Zahl, die durch den Graphen der Funktion begrenzt wird) annimmt F(X) und Achse Oh) ist gleich eins:

2. Die Wkann keine negativen Werte annehmen:

und außerhalb der Existenz der Verteilung ist ihr Wert Null

Verteilungsdichte F(X) sowie die Verteilungsfunktion F(X) ist eine der Formen des Verteilungsgesetzes, aber im Gegensatz zur Verteilungsfunktion ist es nicht universell: Die Verteilungsdichte existiert nur für kontinuierliche Zufallsvariablen.

Erwähnen wir die beiden in der Praxis wichtigsten Verteilungsarten einer kontinuierlichen Zufallsvariablen.

Wenn die Verteilungsdichtefunktion F(X) kontinuierliche Zufallsvariable in einem endlichen Intervall [ A; B] nimmt einen konstanten Wert an C, und außerhalb des Intervalls einen Wert gleich Null annimmt, dann dies die Verteilung heißt gleichmäßig .

Wenn der Graph der Verteilungsdichtefunktion symmetrisch zum Zentrum ist, konzentrieren sich die Durchschnittswerte in der Nähe des Zentrums, und wenn man sich vom Zentrum entfernt, werden diejenigen gesammelt, die stärker vom Durchschnitt abweichen (der Graph der Funktion ähnelt einem Abschnitt von a Glocke), dann das Die Verteilung heißt Normalverteilung .

Beispiel 1. Die Wahrsceiner kontinuierlichen Zufallsvariablen ist bekannt:

Funktion finden F(X) Wahrscheinlichkeitsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen. Konstruieren Sie Graphen beider Funktionen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen beliebigen Wert im Intervall von 4 bis 8 annimmt: .

Lösung. Wir erhalten die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, indem wir die Ableitung der Wahrscermitteln:

Graph einer Funktion F(X) - Parabel:

Graph einer Funktion F(X) - gerade:

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen Wert im Bereich von 4 bis 8 annimmt:

Beispiel 2. Die Weiner kontinuierlichen Zufallsvariablen wird wie folgt angegeben:

Koeffizient berechnen C. Funktion finden F(X) Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen. Konstruieren Sie Graphen beider Funktionen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen beliebigen Wert im Bereich von 0 bis 5 annimmt: .

Lösung. Koeffizient C Wir finden unter Verwendung der Eigenschaft 1 der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

Somit ist die Weiner kontinuierlichen Zufallsvariablen:

Durch Integration finden wir die Funktion F(X) Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Wenn X < 0 , то F(X) = 0 . Wenn 0< X < 10 , то

X> 10 also F(X) = 1 .

Somit lautet der vollständige Datensatz der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion:

Graph einer Funktion F(X) :

Graph einer Funktion F(X) :

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen Wert im Bereich von 0 bis 5 annimmt:

Beispiel 3. Wahrscheinlichkeitsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X ist gegeben durch die Gleichheit , und . Finden Sie den Koeffizienten A, die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable X nimmt jeden Wert aus dem Intervall ]0, 5[, der Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen, an X.

Lösung. Durch die Bedingung gelangen wir zur Gleichheit

Daher , von wo . Also,

Jetzt ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine kontinuierliche Zufallsvariable handelt X nimmt jeden Wert aus dem Intervall ]0, 5[ an:

Jetzt erhalten wir die Verteilungsfunktion dieser Zufallsvariablen:

Beispiel 4. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X, das nur nichtnegative Werte annimmt, und seine Verteilungsfunktion .

Beispiele zur Lösung von Problemen zum Thema „Zufallsvariablen“.

Aufgabe 1 . Für die Lotterie werden 100 Lose ausgegeben. Es wurde ein Gewinn von 50 USD ausgelost. und zehn Gewinne im Wert von jeweils 10 USD. Finden Sie das Verteilungsgesetz des Wertes X – der Kosten möglicher Gewinne.

Lösung. Mögliche Werte für X: x 1 = 0; X 2 = 10 und x 3 = 50. Da es 89 „leere“ Tickets gibt, dann p 1 = 0,89, Gewinnwahrscheinlichkeit 10 $. (10 Tickets) – S 2 = 0,10 und um 50 USD zu gewinnen -P 3 = 0,01. Auf diese Weise:


	0,89	0,10	0,01

Einfach zu kontrollieren: .

Aufgabe 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Käufer die Produktwerbung vorab gelesen hat, beträgt 0,6 (p = 0,6). Die selektive Kontrolle der Werbequalität erfolgt durch die Befragung von Käufern vor dem ersten, der die Werbung vorab studiert hat. Erstellen Sie eine Verteilungsreihe für die Anzahl der befragten Käufer.

Lösung. Gemäß den Bedingungen des Problems ist p = 0,6. Von: q=1 -p = 0,4. Wenn wir diese Werte ersetzen, erhalten wir: und konstruieren Sie eine Verteilungsreihe:


p i		0,24

Aufgabe 3. Ein Computer besteht aus drei unabhängig voneinander arbeitenden Elementen: der Systemeinheit, dem Monitor und der Tastatur. Bei einem einzigen starken Spannungsanstieg beträgt die Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Elements 0,1. Erstellen Sie auf der Grundlage der Bernoulli-Verteilung ein Verteilungsgesetz für die Anzahl ausgefallener Elemente während eines Stromstoßes im Netzwerk.

Lösung. Lassen Sie uns überlegen Bernoulli-Verteilung(oder Binomial): die Wahrscheinlichkeit, dass N Tests, Ereignis A wird genau angezeigt k einmal: , oder:


	Q N					P N

IN Kehren wir zur Aufgabe zurück.

Mögliche Werte für X (Anzahl der Ausfälle):

x 0 =0 – keines der Elemente ist fehlgeschlagen;

x 1 =1 – Ausfall eines Elements;

x 2 =2 – Ausfall zweier Elemente;

x 3 =3 – Ausfall aller Elemente.

Da gemäß der Bedingung p = 0,1 gilt, gilt q = 1 – p = 0,9. Mit der Formel von Bernoulli erhalten wir

, ,

, .

Kontrolle: .

Daher ist das erforderliche Verteilungsgesetz:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Problem 4. 5000 Schuss produziert. Wahrscheinlichkeit, dass eine Patrone defekt ist . Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in der gesamten Charge genau 3 defekte Patronen gibt?

Lösung. Anwendbar Poisson-Verteilung: Diese Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, die sehr groß ist

Anzahl der Tests (Massentests), bei denen die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A jeweils sehr klein ist, Ereignis A wird k-mal auftreten: , Wo .

Hier ist n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Wir finden dann die gewünschte Wahrscheinlichkeit: .

Problem 5. Beim Schießen bis zum ersten Treffer mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,6 beim Schießen müssen Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass beim dritten Schuss ein Treffer erfolgt.

Lösung. Wenden wir eine geometrische Verteilung an: Es werden unabhängige Versuche durchgeführt, bei denen Ereignis A jeweils eine Eintrittswahrscheinlichkeit p (und Nichteintrittswahrscheinlichkeit q = 1 – p) hat. Der Test endet, sobald Ereignis A eintritt.

Unter solchen Bedingungen wird die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A beim k-ten Versuch eintritt, durch die Formel bestimmt: . Hier ist p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Daher ist .

Problem 6. Das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X sei gegeben:

Finden Sie die mathematische Erwartung.

Lösung. .

Beachten Sie, dass die probabilistische Bedeutung der mathematischen Erwartung der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen ist.

Problem 7. Finden Sie die Varianz der Zufallsvariablen X mit dem folgenden Verteilungsgesetz:

Lösung. Hier .

Verteilungsgesetz für den quadrierten Wert von X 2 :

X 2

Erforderliche Varianz: .

Dispersion charakterisiert das Maß der Abweichung (Streuung) einer Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert.

Aufgabe 8. Eine Zufallsvariable sei durch die Verteilung gegeben:

			10m

Finden Sie seine numerischen Eigenschaften.

Lösung: m, m 2 ,

M 2 , M.

Über die Zufallsvariable X können wir Folgendes sagen: Ihr mathematischer Erwartungswert beträgt 6,4 m mit einer Varianz von 13,04 m 2 , oder – seine mathematische Erwartung beträgt 6,4 m mit einer Abweichung von m. Die zweite Formulierung ist offensichtlich klarer.

Aufgabe 9. Zufälliger Wert X gegeben durch die Verteilungsfunktion:
.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert X als Ergebnis des Tests den im Intervall enthaltenen Wert annimmt .

Lösung. Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert aus einem bestimmten Intervall annimmt, ist gleich dem Inkrement der Integralfunktion in diesem Intervall, d.h. . In unserem Fall und daher

Aufgabe 10. Diskrete Zufallsvariable X ist durch das Verteilungsgesetz gegeben:

Finden Sie die Verteilungsfunktion F(x ) und plotte es.

Lösung. Da die Verteilungsfunktion

Für , Das

bei ;

Relevantes Diagramm:

Aufgabe 11. Kontinuierliche Zufallsvariable X gegeben durch die Differentialverteilungsfunktion: .

Finden Sie die Trefferwahrscheinlichkeit X pro Intervall

Lösung. Beachten Sie, dass dies ein Sonderfall des Exponentialverteilungsgesetzes ist.

Verwenden wir die Formel: .

Aufgabe 12. Finden Sie die numerischen Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen X, die durch das Verteilungsgesetz angegeben wird:

–5

X2:

X 2

. , Wo – Laplace-Funktion.

Die Werte dieser Funktion werden anhand einer Tabelle ermittelt.

In unserem Fall: .

Aus der Tabelle finden wir: , also:

Konzepte der mathematischen Erwartung M(X) und Varianz D(X), das zuvor für eine diskrete Zufallsvariable eingeführt wurde, kann auf kontinuierliche Zufallsvariablen erweitert werden.

· Mathematische Erwartung M(X) kontinuierliche Zufallsvariable X wird durch die Gleichheit bestimmt:

vorausgesetzt, dass dieses Integral konvergiert.

· Varianz D(X) kontinuierliche Zufallsvariable X wird durch die Gleichheit bestimmt:

· Standardabweichungσ( X) Kontinuierliche Zufallsvariable wird durch die Gleichheit bestimmt:

Alle zuvor für diskrete Zufallsvariablen diskutierten Eigenschaften des mathematischen Erwartungswerts und der Dispersion gelten auch für kontinuierliche.

Aufgabe 5.3. Zufälliger Wert X gegeben durch eine Differentialfunktion F(X):

Finden M(X), D(X), σ( X), und auch P(1 < X< 5).

Lösung:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Aufgaben

5.1. X

F(X), und auch

R(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Kontinuierliche Zufallsvariable X gegeben durch die Verteilungsfunktion:

Finden Sie die Differentialverteilungsfunktion F(X), und auch

R(2π /9< X< π /2).

5.3. Kontinuierliche Zufallsvariable X

Finden Sie: a) Nummer Mit; B) M(X), D(X).

5.4. Kontinuierliche Zufallsvariable X gegeben durch die Verteilungsdichte:

Finden Sie: a) Nummer Mit; B) M(X), D(X).

5.5. X:

Finde einen) F(X) und erstellen Sie seinen Graphen; B) M(X), D(X), σ( X); c) die Wahrscheinlichkeit, dass in vier unabhängigen Versuchen der Wert erreicht wird X nimmt genau das Zweifache des zum Intervall (1;4) gehörenden Werts an.

5.6. Gegeben ist die Wahreiner kontinuierlichen Zufallsvariablen X:

Finde einen) F(X) und erstellen Sie seinen Graphen; B) M(X), D(X), σ( X); c) die Wahrscheinlichkeit, dass in drei unabhängigen Versuchen der Wert X wird genau das Zweifache des zum Segment gehörenden Werts annehmen.

5.7. Funktion F(X) wird in der Form angegeben:

Mit X; b) Verteilungsfunktion F(X).

5.8. Funktion F(X) wird in der Form angegeben:

Finden Sie: a) den Wert der Konstante Mit, wobei die Funktion die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen ist X; b) Verteilungsfunktion F(X).

5.9. Zufälliger Wert X, konzentriert auf das Intervall (3;7), wird durch die Verteilungsfunktion angegeben F(X)= X nimmt den Wert an: a) kleiner als 5, b) nicht kleiner als 7.

5.10. Zufälliger Wert X, zentriert auf dem Intervall (-1;4), wird durch die Verteilungsfunktion angegeben F(X)= . Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable vorliegt X nimmt den Wert an: a) kleiner als 2, b) kleiner als 4.

5.11.

Finden Sie: a) Nummer Mit; B) M(X); c) Wahrscheinlichkeit R(X > M(X)).

5.12. Die Zufallsvariable wird durch die Differentialverteilungsfunktion angegeben:

Finde einen) M(X); b) Wahrscheinlichkeit R(X ≤ M(X)).

5.13. Die Rem-Verteilung wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben:

Beweise das F(X) ist tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

5.14. Gegeben ist die Wahreiner kontinuierlichen Zufallsvariablen X:

Finden Sie die Nummer Mit.

5.15. Zufälliger Wert X nach dem Simpsonschen Gesetz (gleichschenkliges Dreieck) auf der Strecke [-2;2] verteilt (Abb. 5.4). Finden Sie einen analytischen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeitsdichte F(X) auf dem gesamten Zahlenstrahl.

Reis. 5.4 Abb. 5.5

5.16. Zufälliger Wert X nach dem Gesetz des „rechtwinkligen Dreiecks“ im Intervall (0;4) verteilt (Abb. 5.5). Finden Sie einen analytischen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeitsdichte F(X) auf dem gesamten Zahlenstrahl.

Antworten

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

P(2π /9<X< π /2)=1/2.

5.3. A) Mit=1/6, b) M(X)=3 , c) D(X)=26/81.

5.4. A) Mit=3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.

B) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.

B) M(X)=2 , D(X)= 3 , σ( X)= 1,893.

5.7. a) c = ; B)

5.8. A) Mit=1/2; B)

5.9. a)1/4; b) 0.

5.10. a)3/5; b) 1.

5.11. A) Mit= 2; B) M(X)= 2; in 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. A) M(X)= π /2; b) 1/2

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