Tangenten-Trigonometrie-Formel. Trigonometrische Gleichungen – Formeln, Lösungen, Beispiele

Wir setzen unser Gespräch über die am häufigsten verwendeten Formeln in der Trigonometrie fort. Die wichtigsten davon sind Additionsformeln.

Definition 1

Mit Additionsformeln können Sie Funktionen der Differenz oder Summe zweier Winkel mithilfe trigonometrischer Funktionen dieser Winkel ausdrücken.

Zunächst geben wir eine vollständige Liste der Additionsformeln, beweisen sie dann und analysieren einige anschauliche Beispiele.

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Grundlegende Additionsformeln in der Trigonometrie

Es gibt acht Grundformeln: Sinus der Summe und Sinus der Differenz zweier Winkel, Kosinus der Summe und Differenz, Tangens und Kotangens der Summe und Differenz. Nachfolgend finden Sie ihre Standardformulierungen und Berechnungen.

1. Der Sinus der Summe zweier Winkel kann wie folgt ermittelt werden:

Wir berechnen das Produkt aus dem Sinus des ersten Winkels und dem Cosinus des zweiten;

Multiplizieren Sie den Kosinus des ersten Winkels mit dem Sinus des ersten;

Addieren Sie die resultierenden Werte.

Die grafische Darstellung der Formel sieht folgendermaßen aus: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Der Sinus der Differenz wird fast auf die gleiche Weise berechnet, nur dass die resultierenden Produkte nicht addiert, sondern voneinander subtrahiert werden müssen. Wir berechnen also die Produkte des Sinus des ersten Winkels mit dem Cosinus des zweiten und des Cosinus des ersten Winkels mit dem Sinus des zweiten und ermitteln deren Differenz. Die Formel lautet wie folgt: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Kosinus der Summe. Dafür ermitteln wir die Produkte des Kosinus des ersten Winkels mit dem Kosinus des zweiten bzw. des Sinus des ersten Winkels mit dem Sinus des zweiten und ermitteln deren Differenz: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. Kosinus der Differenz: Berechnen Sie wie zuvor die Produkte aus Sinus und Kosinus dieser Winkel und addieren Sie sie. Formel: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangens der Summe. Diese Formel wird als Bruch ausgedrückt, dessen Zähler die Summe der Tangenten der erforderlichen Winkel ist und dessen Nenner eine Einheit ist, von der das Produkt der Tangenten der gewünschten Winkel subtrahiert wird. Aus der grafischen Notation geht alles klar hervor: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Tangens der Differenz. Wir berechnen die Werte der Differenz und des Produkts der Tangenten dieser Winkel und gehen damit auf ähnliche Weise vor. Im Nenner addieren wir zu eins und nicht umgekehrt: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Kotangens der Summe. Um mit dieser Formel zu rechnen, benötigen wir das Produkt und die Summe der Kotangenten dieser Winkel, wobei wir wie folgt vorgehen: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. Kotangens der Differenz . Die Formel ähnelt der vorherigen, aber Zähler und Nenner sind minus und nicht plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass diese Formeln paarweise ähnlich sind. Mithilfe der Vorzeichen ± (Plus-Minus) und ∓ (Minus-Plus) können wir sie zur Vereinfachung der Aufzeichnung gruppieren:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

Dementsprechend haben wir eine Formel zur Aufzeichnung der Summe und Differenz jedes Wertes, nur achten wir in einem Fall auf das obere Vorzeichen, im anderen auf das untere.

Definition 2

Wir können beliebige Winkel α und β annehmen und die Additionsformeln für Kosinus und Sinus funktionieren für sie. Wenn wir die Werte der Tangenten und Kotangens dieser Winkel richtig bestimmen können, gelten für sie auch die Additionsformeln für Tangens und Kotangens.

Wie die meisten Konzepte in der Algebra können Additionsformeln bewiesen werden. Die erste Formel, die wir beweisen werden, ist die Differenzkosinusformel. Der Rest der Beweise lässt sich dann leicht daraus ableiten.

Lassen Sie uns die Grundkonzepte klären. Wir brauchen einen Einheitskreis. Es funktioniert, wenn wir einen bestimmten Punkt A nehmen und die Winkel α und β um den Mittelpunkt (Punkt O) drehen. Dann ist der Winkel zwischen den Vektoren O A 1 → und O A → 2 gleich (α - β) + 2 π · z oder 2 π - (α - β) + 2 π · z (z ist eine beliebige ganze Zahl). Die resultierenden Vektoren bilden einen Winkel, der gleich α – β oder 2 π – (α – β) ist, oder er kann von diesen Werten um eine ganzzahlige Anzahl voller Umdrehungen abweichen. Schauen Sie sich das Bild an:

Wir haben die Reduktionsformeln verwendet und folgende Ergebnisse erhalten:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Ergebnis: Der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren O A 1 → und O A 2 → ist gleich dem Kosinus des Winkels α - β, daher gilt cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Erinnern wir uns an die Definitionen von Sinus und Cosinus: Sinus ist eine Funktion des Winkels, gleich dem Verhältnis des Schenkels des Gegenwinkels zur Hypotenuse, Cosinus ist der Sinus des Komplementärwinkels. Daher die Punkte Eine 1 Und Eine 2 haben die Koordinaten (cos α, sin α) und (cos β, sin β).

Wir erhalten Folgendes:

O A 1 → = (cos α, sin α) und O A 2 → = (cos β, sin β)

Wenn es nicht klar ist, schauen Sie sich die Koordinaten der Punkte an, die sich am Anfang und Ende der Vektoren befinden.

Die Längen der Vektoren sind gleich 1, weil Wir haben einen Einheitskreis.

Analysieren wir nun das Skalarprodukt der Vektoren O A 1 → und O A 2 → . In Koordinaten sieht es so aus:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

Daraus können wir die Gleichheit ableiten:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Damit ist die Differenzkosinusformel bewiesen.

Jetzt beweisen wir die folgende Formel – den Kosinus der Summe. Dies ist einfacher, da wir die vorherigen Berechnungen verwenden können. Nehmen wir die Darstellung α + β = α - (- β) . Wir haben:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Dies ist der Beweis der Kosinussummenformel. Die letzte Zeile nutzt die Eigenschaft von Sinus und Cosinus entgegengesetzter Winkel.

Die Formel für den Sinus einer Summe lässt sich aus der Formel für den Kosinus einer Differenz ableiten. Nehmen wir hierfür die Reduktionsformel:

der Form sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Also
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

Und hier ist der Beweis der Differenzsinusformel:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Beachten Sie die Verwendung der Sinus- und Kosinuseigenschaften entgegengesetzter Winkel in der letzten Berechnung.

Als nächstes benötigen wir Beweise für die Additionsformeln für Tangens und Kotangens. Erinnern wir uns an die grundlegenden Definitionen (Tangens ist das Verhältnis von Sinus zu Cosinus und Kotangens ist umgekehrt) und nehmen wir die bereits abgeleiteten Formeln im Voraus. Wir haben es geschafft:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Wir haben einen komplexen Bruch. Als nächstes müssen wir seinen Zähler und Nenner durch cos α · cos β dividieren. Vorausgesetzt, dass cos α ≠ 0 und cos β ≠ 0, erhalten wir:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Jetzt reduzieren wir die Brüche und erhalten die folgende Formel: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Wir erhalten t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Dies ist der Beweis der Tangentenadditionsformel.

Die nächste Formel, die wir beweisen werden, ist der Tangens der Differenzenformel. In den Berechnungen wird alles klar dargestellt:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Formeln für den Kotangens werden auf ähnliche Weise bewiesen:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Weiter:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β

An einem Punkt zentriert A.
α - Winkel ausgedrückt im Bogenmaß.

Definition
Sinus (sin α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| entspricht zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Kosinus (cos α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Akzeptierte Notationen

;
;
.

Diagramm der Sinusfunktion, y = sin x

Diagramm der Kosinusfunktion, y = cos x

Eigenschaften von Sinus und Cosinus

Periodizität

Funktionen y = Sünde x und y = weil x periodisch mit Punkt 2π.

Parität

Die Sinusfunktion ist ungerade. Die Kosinusfunktion ist gerade.

Definitions- und Wertebereich, Extrema, Zunahme, Abnahme

Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig, also für alle x (siehe Beweis der Kontinuität). Ihre Haupteigenschaften sind in der Tabelle aufgeführt (n - ganze Zahl).

	y = Sünde x	y = weil x
Umfang und Kontinuität	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Wertebereich	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Zunehmend
Absteigend
Maxima, y = 1
Minima, y = - 1
Nullen, y = 0
Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0	y = 0	y = 1

Grundformeln

Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus

Formeln für Sinus und Cosinus aus Summe und Differenz

;
;

Formeln für das Produkt von Sinus und Cosinus

Summen- und Differenzformeln

Sinus durch Kosinus ausdrücken

;
;
;
.

Kosinus durch Sinus ausdrücken

;
;
;
.

Ausdruck durch Tangente

; .

Wenn wir haben:
; .

Bei :
; .

Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte, Tangens und Kotangens

Diese Tabelle zeigt die Werte von Sinus und Cosinus für bestimmte Werte des Arguments.

Ausdrücke durch komplexe Variablen

;

Eulers Formel

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; . Formeln ableiten > > >

Ableitungen n-ter Ordnung:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekante, Kosekans

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen von Sinus und Kosinus sind Arkussinus bzw. Arkuskosinus.

Arkussinus, Arkussinus

Arccosinus, arccos

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Grundlegende trigonometrische Formeln sind Formeln, die Verbindungen zwischen grundlegenden trigonometrischen Funktionen herstellen. Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind durch viele Beziehungen miteinander verbunden. Im Folgenden stellen wir die wichtigsten trigonometrischen Formeln vor und gruppieren sie der Einfachheit halber nach Zweck. Mit diesen Formeln können Sie fast jedes Problem aus einem Standard-Trigonometriekurs lösen. Wir möchten sofort darauf hinweisen, dass im Folgenden nur die Formeln selbst und nicht deren Schlussfolgerung aufgeführt sind, die in separaten Artikeln besprochen wird.

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Grundlegende Identitäten der Trigonometrie

Trigonometrische Identitäten stellen eine Beziehung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels bereit und ermöglichen es, eine Funktion durch eine andere auszudrücken.

Trigonometrische Identitäten

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Diese Identitäten ergeben sich direkt aus den Definitionen des Einheitskreises Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tg) und Kotangens (ctg).

Reduktionsformeln

Mit Reduktionsformeln können Sie von der Arbeit mit beliebigen und beliebig großen Winkeln zur Arbeit mit Winkeln im Bereich von 0 bis 90 Grad übergehen.

Reduktionsformeln

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Reduktionsformeln sind eine Folge der Periodizität trigonometrischer Funktionen.

Trigonometrische Additionsformeln

Additionsformeln in der Trigonometrie ermöglichen es Ihnen, die trigonometrische Funktion der Summe oder Differenz von Winkeln durch trigonometrische Funktionen dieser Winkel auszudrücken.

Trigonometrische Additionsformeln

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Basierend auf Additionsformeln werden trigonometrische Formeln für mehrere Winkel abgeleitet.

Formeln für mehrere Winkel: doppelt, dreifach usw.

Doppel- und Dreifachwinkelformeln

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α mit t g 2 α = mit t g 2 α - 1 2 · mit t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Halbwinkelformeln

Halbwinkelformeln in der Trigonometrie sind eine Folge von Doppelwinkelformeln und drücken den Zusammenhang zwischen den Grundfunktionen eines Halbwinkels und dem Kosinus eines ganzen Winkels aus.

Halbwinkelformeln

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Formeln zur Gradreduzierung

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Bei Berechnungen ist es oft unbequem, mit umständlichen Befugnissen zu arbeiten. Mit Gradreduktionsformeln können Sie den Grad einer trigonometrischen Funktion von beliebig groß auf den ersten Grad reduzieren. Hier ist ihre allgemeine Meinung:

Gesamtansicht der Gradreduktionsformeln

für gerade n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

für ungerades n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen

Differenz und Summe trigonometrischer Funktionen können als Produkt dargestellt werden. Die Faktorisierung von Sinus- und Kosinusdifferenzen ist sehr praktisch, wenn es um die Lösung trigonometrischer Gleichungen und die Vereinfachung von Ausdrücken geht.

Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Produkt trigonometrischer Funktionen

Erlauben die Formeln für Summe und Differenz von Funktionen den Übergang zu ihrem Produkt, so vollziehen die Formeln für das Produkt trigonometrischer Funktionen den umgekehrten Übergang – vom Produkt zur Summe. Berücksichtigt werden Formeln für das Produkt aus Sinus, Cosinus und Sinus zu Cosinus.

Formeln für das Produkt trigonometrischer Funktionen

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Universelle trigonometrische Substitution

Alle grundlegenden trigonometrischen Funktionen – Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens – können durch den Tangens eines halben Winkels ausgedrückt werden.

Universelle trigonometrische Substitution

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

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