اعداد طبیعی و صفر چیست؟ اعداد صحیح

اعداد صحیحیکی از قدیمی ترین مفاهیم ریاضی است.

در گذشته های دور، مردم اعداد را نمی دانستند و زمانی که نیاز به شمارش اشیا (حیوانات، ماهی ها و غیره) داشتند، این کار را متفاوت از ما اکنون انجام می دادند.

تعداد اشیاء را با اعضای بدن مثلاً با انگشتان دست مقایسه کردند و گفتند: به اندازه انگشتان دست، آجیل دارم.

با گذشت زمان، مردم متوجه شدند که پنج آجیل، پنج بز و پنج خرگوش دارایی مشترک دارند - تعداد آنها پنج است.

یاد آوردن!

اعداد صحیحاعدادی هستند که با 1 شروع می شوند و هنگام شمارش اشیا به دست می آیند.

1, 2, 3, 4, 5…

کوچکترین عدد طبیعی — 1 .

بزرگترین عدد طبیعیوجود ندارد.

هنگام شمارش از عدد صفر استفاده نمی شود. بنابراین، صفر یک عدد طبیعی محسوب نمی شود.

مردم نوشتن اعداد را خیلی دیرتر از شمارش یاد گرفتند. اول از همه، آنها شروع به نشان دادن واحد با یک چوب، سپس با دو چوب - شماره 2، با سه - شماره 3 کردند.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

سپس علائم ویژه ای برای تعیین اعداد ظاهر شد - پیشگامان اعداد مدرن. اعدادی که ما برای نوشتن اعداد استفاده می کنیم در حدود 1500 سال پیش در هند سرچشمه گرفته اند. اعراب آنها را به اروپا آوردند، بنابراین نامیده می شوند اعداد عربی.

در مجموع ده رقم وجود دارد: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. از این اعداد می توان برای نوشتن هر عدد طبیعی استفاده کرد.

یاد آوردن!

سریال طبیعیدنباله همه اعداد طبیعی است:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

در سری طبیعی هر عدد از عدد قبلی 1 بزرگتر است.

سری طبیعی بی نهایت است، بزرگترین عدد طبیعی در آن وجود ندارد.

سیستم شمارشی که ما استفاده می کنیم نامیده می شود اعشاری موقعیتی.

اعشاری زیرا 10 واحد از هر رقم، 1 واحد از مهمترین رقم را تشکیل می دهد. موقعیتی زیرا مقدار یک رقم به جای آن در نماد یک عدد، یعنی به رقمی که در آن نوشته شده است، بستگی دارد.

مهم!

طبقات پس از میلیارد بر اساس نام لاتین اعداد نامگذاری می شوند. هر واحد بعدی شامل هزار واحد قبلی است.

  • 1,000 میلیارد = 1,000,000,000,000 = 1 تریلیون («سه» لاتین به معنای «سه» است)
  • 1,000 تریلیون = 1,000,000,000,000,000 = 1 کوادریلیون ("quadra" لاتین به معنای "چهار" است)
  • 1,000 کوادریلیون = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 کوینتیلیون ("quinta" لاتین به معنی "پنج" است)

با این حال، فیزیکدانان عددی را یافته اند که از تعداد همه اتم ها بیشتر است ( کوچکترین ذراتماده) در سراسر جهان.

این شماره یک نام خاص دارد - گوگول. گوگول عددی است که 100 صفر دارد.

"تابع درجه دوم" - ویژگی ها: - فواصل یکنواختی برای a > 0 برای a< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Квадратичные функции используются уже много лет.

"تابع قدرت درجه 9" - ما با توابع آشنا هستیم. تابع توان. U. 0. معلم کلاس 9 Ladoshkina I.A. Y \u003d x2، y \u003d x4، y \u003d x6، y \u003d x8، ... نشانگر یک عدد طبیعی زوج است (2n). Y = x. سهمی. سهمی مکعبی. تابع y=x2n زوج است، زیرا (–x)2n = x2n.

"تابع درجه دوم کلاس 8" - 1) قسمت بالای سهمی را بسازید. -1. تابع را رسم کنید. 2) محور تقارن x=-1 را بسازید. y جبر پایه هشتم معلم 496 مدرسه بووینا تلویزیون ساخت نمودار تابع درجه دوم. ایکس. -7. نقشه ساخت.

"نمودار تابع Y X" - نمودار تابع y=x2 + n سهمی است با راس در نقطه (0؛ n). نمودار تابع y=(x - m)2 سهمی است با راس در نقطه (m; 0). برای دیدن نمودارها کلیک کنید صفحه با کلیک نمایش داده می شود. از مطالب فوق چنین استنباط می شود که نمودار تابع y=(x - m)2 + n سهمی است با راس در نقطه (m; n).

"لگاریتم طبیعی" - 0.1. "دارت لگاریتمی". 0.04. 121. لگاریتم های طبیعی. 7.4.

"تابع درجه دوم و نمودار آن" - نویسنده: ایلیا گرانوف. حل مسئله: تصمیم. y \u003d 4x A (0.5: 1) 1 \u003d 1 A- متعلق است. 4. آیا نمودار تابع y=4x نقطه: A(0.5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0.1:0.4) است؟ وقتی a=1 فرمول y=ax شکل می گیرد.

در مجموع 25 ارائه در این موضوع وجود دارد

دو رویکرد برای تعریف اعداد طبیعی وجود دارد:

  • شمارش (شماره)موارد ( اولین, دومین, سوم, چهارم, پنجم…);
  • اعداد طبیعی - اعدادی که وقتی بوجود می آیند تعیین مقدارموارد ( 0 مورد, 1 مورد, 2 مورد, 3 مورد, 4 مورد, 5 مورد…).

در مورد اول، سری اعداد طبیعی از یک شروع می شود، در مورد دوم - از صفر. در مورد ترجیح رویکرد اول یا دوم (یعنی صفر به عنوان یک عدد طبیعی در نظر گرفته شود یا خیر) نظر مشترکی برای اکثر ریاضیدانان وجود ندارد. اکثریت قریب به اتفاق منابع روسی به طور سنتی رویکرد اول را اتخاذ کرده اند. برای مثال از رویکرد دوم در آثار استفاده شده است نیکلاس بورباکی، که در آن اعداد طبیعی به صورت تعریف می شوند قدرت مجموعه های محدود.

واقعیت اساسی این است که این بدیهیات اساساً به طور منحصر به فرد اعداد طبیعی را تعیین می کنند (ماهیت طبقه بندی سیستم بدیهیات Peano). یعنی می توان ثابت کرد (نگاه کنید به و همچنین یک دلیل کوتاه) که اگر (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))و (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))دو مدل برای سیستم بدیهیات Peano هستند، پس باید باشند هم شکل، یعنی یک نقشه برداری معکوس وجود دارد ( دوجکشن) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N))))به طوری که f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))و f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)))برای همه x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N)).

بنابراین، کافی است به عنوان یک مدل خاص مجموعه اعداد طبیعی را ثابت کنیم.

صفر به عنوان یک عدد طبیعی

گاه، به ویژه در ادبیات خارجی و ترجمه، بدیهیات اول و سوم پیانو جای صفر را می گیرد. در این حالت صفر یک عدد طبیعی در نظر گرفته می شود. هنگامی که بر حسب طبقات مجموعه های معادل تعریف می شود، صفر طبق تعریف یک عدد طبیعی است. دور انداختن آن به طور خاص غیرطبیعی خواهد بود. علاوه بر این، این امر ساخت و کاربرد بیشتر نظریه را به طور قابل توجهی پیچیده می کند، زیرا در اکثر ساختارها صفر، مانند مجموعه خالی، چیزی جدا شده نیست. مزیت دیگر در نظر گرفتن صفر به عنوان یک عدد طبیعی این است که N (\displaystyle \mathbb (N))تشکیل می دهد مونوئید.

در ادبیات روسی، صفر معمولاً از تعداد اعداد طبیعی حذف می شود. 0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N))) و مجموعه اعداد طبیعی با صفر نشان داده می شود N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)). اگر در تعریف اعداد طبیعی صفر گنجانده شود، مجموعه اعداد طبیعی به صورت نوشته می شود N (\displaystyle \mathbb (N))، و بدون صفر - به عنوان N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*)).

در ادبیات بین المللی ریاضی با توجه به موارد فوق و به منظور جلوگیری از ابهامات، مجموعه ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \))معمولاً مجموعه اعداد صحیح مثبت نامیده می شود و نشان داده می شود Z + (\displaystyle \mathbb (Z) _(+)). یک دسته از ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \))اغلب به مجموعه اعداد صحیح غیر منفی گفته می شود و نشان داده می شود Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(\geqslant 0)).

بنابراین، اعداد طبیعی نیز بر اساس مفهوم مجموعه، طبق دو قاعده معرفی می شوند:

اعداد داده شده در این روش نامیده می شوند ترتیبی.

اجازه دهید چند اعداد ترتیبی اول و اعداد طبیعی مربوط به آنها را شرح دهیم:

مقدار مجموعه اعداد طبیعی

ارزش یک مجموعه بی نهایت با مفهوم " مشخص می شود. اصلی بودن مجموعه"، که تعمیم تعداد عناصر یک مجموعه محدود به مجموعه های نامتناهی است. در اندازه (یعنی توان)، مجموعه اعداد طبیعی بزرگتر از هر مجموعه متناهی است، اما کمتر از هر بازه ای است، برای مثال، بازه (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). مجموعه اعداد طبیعی همان کاردینالیتی مجموعه را دارد اعداد گویا. به مجموعه ای با همان کاردینالیته مجموعه اعداد طبیعی گفته می شود مجموعه قابل شمارش. بنابراین، مجموعه ای از اعضای هر دنباله هاشمردنی. در همان زمان، دنباله ای وجود دارد که در آن هر عدد طبیعی بی نهایت بار رخ می دهد، زیرا مجموعه اعداد طبیعی را می توان به صورت قابل شمارش نشان داد. اتحاد. اتصالمجموعه های قابل شمارش غیر متقاطع (به عنوان مثال، N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

عملیات روی اعداد طبیعی

به عملیات بسته(عملیاتی که از مجموعه اعداد طبیعی نتیجه نمی گیرند) روی اعداد طبیعی شامل عملیات حسابی زیر می باشد:

علاوه بر این، دو عملیات دیگر نیز در نظر گرفته شده است (از دیدگاه رسمی، آنها عملیات روی اعداد طبیعی نیستند، زیرا برای آنها تعریف نشده اند. همهجفت اعداد (گاهی وجود دارند، گاهی اوقات وجود ندارند)):

لازم به ذکر است که عملیات جمع و ضرب بنیادی هستند. به خصوص، حلقه اعداد صحیحدقیقاً از طریق تعیین می شود عملیات باینریجمع و ضرب

خواص اساسی

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).
  • جابجایی ضرب:
a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a). (a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).
  • ارتباط ضرب:
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)). a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end (موارد))).

ساختار جبری

جمع مجموعه اعداد طبیعی را تبدیل می کند نیمه گروهیبا یک واحد، نقش واحد توسط 0 . ضرب همچنین مجموعه اعداد طبیعی را به یک نیمه گروه با واحد تبدیل می کند، در حالی که عنصر هویت است 1 . با استفاده از بسته شدنبا توجه به عملیات جمع- تفریق و ضرب- تقسیم، گروه هایی از اعداد صحیح به دست می آیند Z (\displaystyle \mathbb (Z))و اعداد مثبت گویا Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*))به ترتیب.

تعاریف نظری مجموعه ها

ما از تعریف اعداد طبیعی به عنوان استفاده می کنیم کلاس های هم ارزیمجموعه های محدود اگر کلاس هم ارزی یک مجموعه را نشان دهیم آتولید شده توسط bijections، با کمک براکت های مربع: [آ]، عملیات حسابی اساسی به شرح زیر تعریف می شود:

می توان نشان داد که عملیات به دست آمده روی کلاس ها به درستی معرفی شده اند، یعنی به انتخاب عناصر کلاس بستگی ندارند و با تعاریف استقرایی مطابقت دارند.

همچنین ببینید

یادداشت

ادبیات

  • ویگودسکی ام. یا. کتاب راهنمای ریاضیات ابتدایی. - M.: Nauka، 1978.
    • انتشار مجدد: M.: AST، 2006،

ریاضیات در حدود قرن ششم قبل از میلاد از فلسفه عمومی پدید آمد. e.، و از همان لحظه راهپیمایی پیروزمندانه او در سراسر جهان آغاز شد. هر مرحله از توسعه چیز جدیدی را معرفی کرد - شمارش ابتدایی تکامل یافت، به حساب دیفرانسیل و انتگرال تبدیل شد، قرن ها تغییر کرد، فرمول ها بیشتر و بیشتر گیج کننده شدند و لحظه ای فرا رسید که "پیچیده ترین ریاضیات آغاز شد - همه اعداد از آن ناپدید شدند." اما اساس چه بود؟

آغاز زمان

اعداد طبیعی همراه با اولین عملیات ریاضی ظاهر شدند. یک بار یک ستون فقرات، دو خار، سه خار ... آنها به لطف دانشمندان هندی ظاهر شدند که اولین موقعیت را استنباط کردند.

کلمه "موقعیت" به این معنی است که مکان هر رقم در یک عدد کاملاً مشخص است و با دسته آن مطابقت دارد. به عنوان مثال، اعداد 784 و 487 یکسان هستند، اما اعداد معادل نیستند، زیرا اولی شامل 7 صدها است، در حالی که دومی فقط 4 را شامل می شود. که اکنون می دانیم

در زمان های قدیم اعداد داده می شد معنای عرفانیفیثاغورث معتقد بود که این عدد به همراه عناصر اساسی - آتش، آب، خاک، هوا، زمینه ساز خلقت جهان است. اگر همه چیز را فقط از جنبه ریاضی در نظر بگیریم، پس یک عدد طبیعی چیست؟ میدان اعداد طبیعی با N نشان داده می شود و یک سری نامتناهی از اعداد صحیح و مثبت است: 1، 2، 3، … + ∞. صفر مستثنی شده است. عمدتاً برای شمارش اقلام و نشان دادن ترتیب استفاده می شود.

در ریاضیات چیست؟ بدیهیات پیانو

فیلد N میدان پایه ای است که ریاضیات ابتدایی بر آن تکیه دارد. با گذشت زمان، زمینه های اعداد صحیح، منطقی،

کار ریاضیدان ایتالیایی جوزپه پیانو ساختار بیشتر حساب را ممکن کرد، به رسمیت آن دست یافت و راه را برای نتیجه گیری های بیشتر که فراتر از میدان N بود، هموار کرد.

یک عدد طبیعی چیست، قبلاً مشخص شد زبان ساده، تعریف ریاضی بر اساس بدیهیات Peano در زیر مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

  • یک عدد طبیعی در نظر گرفته می شود.
  • عددی که بعد از یک عدد طبیعی می آید یک عدد طبیعی است.
  • قبل از یک عدد طبیعی وجود ندارد.
  • اگر عدد b هم بعد از عدد c و هم از عدد d باشد، c=d.
  • اصل استقرا، که به نوبه خود نشان می دهد که یک عدد طبیعی چیست: اگر گزاره ای که به یک پارامتر بستگی دارد برای عدد 1 صادق باشد، آنگاه فرض می کنیم که برای عدد n از میدان اعداد طبیعی N نیز کار می کند. این عبارت برای n=1 از فیلد اعداد طبیعی N درست است.

عملیات اساسی برای حوزه اعداد طبیعی

از آنجایی که فیلد N اولین مورد برای محاسبات ریاضی شد، هر دو حوزه تعریف و محدوده مقادیر تعدادی از عملیات زیر به آن اشاره دارند. آنها بسته هستند و نه. تفاوت اصلی این است که عملیات بسته تضمین شده است که نتیجه ای را در مجموعه N باقی می گذارد، صرف نظر از اینکه چه اعدادی درگیر می شوند. همین که طبیعی باشند کافی است. نتیجه فعل و انفعالات عددی باقیمانده دیگر چندان واضح نیست و مستقیماً به نوع اعدادی که در عبارت دخیل هستند بستگی دارد، زیرا ممکن است با تعریف اصلی در تضاد باشد. بنابراین، عملیات بسته:

  • جمع - x + y = z، که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
  • ضرب - x * y = z، که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
  • توان - x y، که در آن x، y در فیلد N گنجانده شده است.

عملیات باقی مانده که ممکن است نتیجه آنها در چارچوب تعریف "عدد طبیعی چیست" وجود نداشته باشد، به شرح زیر است:


خواص اعداد متعلق به فیلد N

تمام استدلال‌های ریاضی بعدی بر اساس ویژگی‌های زیر خواهد بود که بی‌اهمیت‌ترین، اما نه کم‌اهمیت‌تر هستند.

  • خاصیت جابجایی جمع x + y = y + x است که در آن اعداد x، y در فیلد N گنجانده شده است.
  • خاصیت جابجایی ضرب x * y = y * x است که اعداد x و y در فیلد N قرار می گیرند.
  • خاصیت انجمنی جمع (x + y) + z = x + (y + z) است که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
  • خاصیت تداعی ضرب (x * y) * z = x * (y * z) است که اعداد x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
  • ویژگی توزیع - x (y + z) = x * y + x * z، که در آن اعداد x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.

جدول فیثاغورثی

یکی از اولین گام‌ها در دانش دانش‌آموزان از کل ساختار ریاضیات ابتدایی، پس از اینکه خودشان فهمیدند کدام اعداد طبیعی نامیده می‌شوند، جدول فیثاغورث است. می توان آن را نه تنها از نظر علمی، بلکه به عنوان یک اثر علمی ارزشمند به شمار آورد.

این جدول ضرب در طول زمان دستخوش تغییراتی شده است: صفر از آن حذف شده است و اعداد از 1 تا 10 بدون در نظر گرفتن ترتیب (صدها، هزاران ...) خود را نشان می دهند. جدولی است که عناوین سطرها و ستونها اعداد است و محتویات خانه های محل تقاطع آنها برابر حاصلضرب آنهاست.

در عمل تدریس در دهه های اخیر، نیاز به حفظ جدول فیثاغورثی «به ترتیب» وجود داشته است، یعنی اول حفظ بوده است. ضرب در 1 حذف شد زیرا نتیجه 1 یا بیشتر بود. در همین حال، در جدول با چشم غیر مسلح، می توانید یک الگو را ببینید: حاصل ضرب اعداد یک پله رشد می کند که برابر با عنوان خط است. بنابراین، عامل دوم به ما نشان می دهد که برای به دست آوردن محصول مورد نظر، چند بار باید اولین مورد را مصرف کنیم. این سیستم بسیار راحت‌تر از سیستمی است که در قرون وسطی انجام می‌شد: حتی با درک اینکه یک عدد طبیعی چیست و چقدر بی‌اهمیت است، مردم موفق شدند شمارش روزمره خود را با استفاده از یک سیستم مبتنی بر توان دو پیچیده کنند.

زیر مجموعه به عنوان مهد ریاضیات

بر این لحظهمیدان اعداد طبیعی N تنها به عنوان یکی از زیرمجموعه های اعداد مختلط در نظر گرفته می شود، اما این باعث نمی شود ارزش آنها در علم کم شود. عدد طبیعی اولین چیزی است که کودک با مطالعه خودش و جهان. یک انگشت، دو انگشت ... به لطف او، یک فرد شکل می گیرد تفکر منطقیو همچنین توانایی تعیین علت و استنباط معلول، راه را برای اکتشافات بزرگ هموار می کند.



 

شاید خواندن آن مفید باشد: