آنچه در مفهوم عدد گنجانده شده است. بزرگترین مقسوم علیه مشترک چندگانه و کمترین مقسوم علیه مشترک

در این مقاله شروع به مطالعه می کنیم اعداد گویا. در اینجا تعریف خواهیم کرد اعداد گویا، توضیحات لازم را داده و از اعداد گویا مثال هایی بیاورید. پس از آن، ما بر روی چگونگی تعیین اینکه آیا یک عدد معین گویا است یا خیر تمرکز خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعریف و مثال هایی از اعداد گویا

در این بخش تعاریف متعددی از اعداد گویا ارائه می کنیم. با وجود تفاوت در کلمات، همه این تعاریف معنی یکسانی دارند: اعداد گویا اعداد صحیح و اعداد کسری را با هم متحد می کنند، همانطور که اعداد صحیح اعداد طبیعی، اعداد متضاد آنها و عدد صفر را با هم متحد می کنند. به عبارت دیگر اعداد گویا اعداد صحیح و را تعمیم می دهند اعداد کسری.

بیا شروع کنیم با تعاریف اعداد گویاکه به عنوان طبیعی ترین تلقی می شود.

از تعریف به دست آمده چنین استنباط می شود که یک عدد گویا عبارت است از:

• هر عدد طبیعی n در واقع، هر عدد طبیعی را می توان به عنوان یک کسر معمولی نشان داد، برای مثال، 3=3/1.
• هر عدد صحیح، به ویژه عدد صفر. در واقع، هر عدد صحیح را می توان به صورت مثبت نوشت کسر مشترک، یا به عنوان کسر مشترک منفی یا به صورت صفر. به عنوان مثال، 26=26/1، .
• هر کسر معمولی (مثبت یا منفی). این به طور مستقیم با تعریف داده شده از اعداد گویا بیان می شود.
• هر عدد مختلط در واقع، همیشه می توان یک عدد مختلط را به عنوان یک کسر مشترک نامناسب نشان داد. به عنوان مثال، و .
• هر کسری متناهی اعشاری یا نامتناهی. این به این دلیل است که کسرهای اعشاری مشخص شده به کسرهای معمولی تبدیل می شوند. برای مثال، و 0،(3)=1/3.

همچنین واضح است که هر نامتناهی غیر تناوبی اعشاریاین یک عدد گویا نیست زیرا نمی توان آن را به صورت کسری نشان داد.

حالا به راحتی می توانیم بیاوریم نمونه هایی از اعداد گویا. اعداد 4، 903، 100،321 اعداد گویا هستند، زیرا اعداد طبیعی هستند. اعداد صحیح 58 , −72 , 0 , −833 333 333 نیز نمونه هایی از اعداد گویا هستند. کسرهای معمولی 4/9 و 99/3 نیز نمونه هایی از اعداد گویا هستند. اعداد گویا نیز اعداد هستند.

مثال های بالا نشان می دهد که هم اعداد گویا مثبت و هم منفی وجود دارد و عدد گویا صفر نه مثبت است و نه منفی.

تعریف فوق از اعداد گویا را می توان به شکل کوتاه تری فرموله کرد.

تعریف.

اعداد گویااعدادی را که می توان به صورت کسری z/n نوشت که z یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است.

اجازه دهید ثابت کنیم که این تعریف از اعداد گویا معادل تعریف قبلی است. می دانیم که می توان میله کسری را نشانه تقسیم در نظر گرفت، سپس از خواص تقسیم اعداد صحیح و قوانین تقسیم اعداد صحیح، برابری های زیر را دنبال می کنیم و . بنابراین، که دلیل است.

اجازه دهید مثال هایی از اعداد گویا را بر اساس این تعریف. اعداد -5، 0، 3 و اعداد گویا هستند، زیرا می توان آنها را به صورت کسری با یک عدد صحیح و یک مخرج طبیعی شکل و به ترتیب نوشت.

تعریف اعداد گویا را نیز می توان در فرمول زیر ارائه کرد.

تعریف.

اعداد گویااعدادی هستند که می توان آنها را به صورت یک کسر اعشاری متناهی یا نامتناهی نوشت.

این تعریف نیز معادل تعریف اول است، زیرا هر کسری معمولی با کسری اعشاری متناهی یا تناوبی مطابقت دارد و بالعکس، و هر عدد صحیحی را می توان با کسری اعشاری با صفرهای بعد از اعشار مرتبط کرد.

به عنوان مثال، اعداد 5، 0، −13، نمونه هایی از اعداد گویا هستند زیرا می توان آنها را به صورت اعشار زیر نوشت: 5.0، 0.0، −13.0، 0.8 و −7، (18).

تئوری این بخش را با عبارات زیر به پایان می بریم:

• اعداد صحیح و کسری (مثبت و منفی) مجموعه اعداد گویا را تشکیل می دهند.
• هر عدد گویا را می توان به صورت کسری با یک عدد صحیح و یک مخرج طبیعی نشان داد و هر کسری از این قبیل یک عدد گویا است.
• هر عدد گویا را می توان به صورت یک کسر اعشاری متناهی یا نامتناهی نشان داد و هر کسری از این قبیل تعدادی اعداد گویا را نشان می دهد.

آیا این عدد منطقی است؟

در پاراگراف قبل متوجه شدیم که هر عدد طبیعی، هر عدد صحیح، هر کسری معمولی، هر عدد مختلط، هر کسری اعشاری نهایی و همچنین هر کسری اعشاری تناوبی یک عدد گویا است. این دانش به ما اجازه می دهد تا اعداد گویا را از مجموعه اعداد نوشته شده «تشخیص» کنیم.

اما اگر عدد به صورت مقداری یا به عنوان و غیره داده شود چگونه می توان به این سوال پاسخ داد که آیا عدد داده شده گویا است؟ در بسیاری از موارد، پاسخ به آن بسیار دشوار است. اجازه دهید به چند جهت برای سیر اندیشه اشاره کنیم.

اگر عددی به عنوان یک عبارت عددی مشخص شود که فقط شامل اعداد گویا و علامت های حسابی (+، −، · و:) باشد، مقدار این عبارت یک عدد گویا است. این از چگونگی تعریف عملیات روی اعداد گویا به دست می آید. به عنوان مثال، پس از انجام تمام عملیات در عبارت، ما یک عدد گویا 18 به دست می آوریم.

گاهی اوقات، پس از ساده سازی عبارات و شکل پیچیده تر، می توان تعیین کرد که آیا یک عدد معین گویا است یا خیر.

بیایید جلوتر برویم. عدد 2 یک عدد گویا است، زیرا هر عدد طبیعی گویا است. در مورد شماره چطور؟ آیا عقلانی است؟ معلوم می شود که نه - این یک عدد گویا نیست، یک عدد غیر منطقی است (اثبات این واقعیت با تناقض در کتاب درسی جبر برای کلاس 8 آورده شده است که در زیر در فهرست منابع نشان داده شده است). همچنین ثابت شده است که جذر یک عدد طبیعی تنها در مواردی که ریشه عددی است که مجذور کامل یک عدد طبیعی باشد، عدد گویا است. به عنوان مثال، و اعداد گویا هستند، زیرا 81=9 2 و 1 024=32 2، و اعداد و گویا نیستند، زیرا اعداد 7 و 199 مربع کامل نیستند. اعداد طبیعی.

آیا عدد منطقی است یا خیر؟ که در این موردبه راحتی می توان فهمید که، بنابراین، این عدد منطقی است. آیا عدد منطقی است؟ ثابت شده است که ریشه k ام یک عدد صحیح تنها در صورتی یک عدد گویا است که عدد زیر علامت ریشه، k ام توان یک عدد صحیح باشد. بنابراین، این یک عدد گویا نیست، زیرا هیچ عدد صحیحی وجود ندارد که توان پنجم آن 121 باشد.

روش تضاد به ما امکان می دهد ثابت کنیم که لگاریتم برخی اعداد به دلایلی اعداد گویا نیستند. به عنوان مثال، اجازه دهید ثابت کنیم که - یک عدد گویا نیست.

برعکس را فرض کنید، یعنی فرض کنید که یک عدد گویا است و می توان آن را به صورت کسری معمولی m/n نوشت. سپس برابری های زیر را بدهید: . آخرین برابری غیرممکن است، زیرا در سمت چپ آن وجود دارد عدد فرد 5 n و در سمت راست عدد زوج 2 متر وجود دارد. بنابراین، فرض ما اشتباه است، بنابراین یک عدد گویا نیست.

در خاتمه، شایان ذکر است که هنگام روشن شدن عقلانیت یا غیرمنطقی بودن اعداد، باید از نتیجه گیری های ناگهانی خودداری شود.

به عنوان مثال، نباید فوراً ادعا کرد که حاصل ضرب اعداد غیرمنطقی π و e یک عدد غیر منطقی است، این "گویی واضح است"، اما ثابت نشده است. این سؤال را ایجاد می کند: "چرا محصول یک عدد گویا است"؟ و چرا نه، زیرا می توانید مثالی از اعداد غیر منطقی بزنید که حاصل ضرب آنها یک عدد گویا می دهد:.

همچنین معلوم نیست اعداد و بسیاری اعداد دیگر گویا هستند یا خیر. مثلاً اعداد غیر منطقی هستند که توان غیر منطقی آنها یک عدد گویا است. برای نشان دادن، اجازه دهید درجه ای از شکل را بدهیم، پایه این درجه و توان اعداد گویا نیستند، بلکه 3 یک عدد گویا است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ریاضیات.کلاس ششم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [ن. Ya. Vilenkin و دیگران]. - چاپ بیست و دوم، کشیش. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. شابک 978-5-346-00897-2.
• جبر:کتاب درسی برای 8 سلول آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م : آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.
• گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (دستورالعملی برای متقاضیان دانشکده های فنی): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 p., ill.

همزیستی مدرن فیزیک و ریاضیات همچنین منجر به تجدید نظر اساسی در مفاهیم اساسی مورد استفاده در ریاضیات می شود که در میان آنها این مفهوم از اساسی ترین اهمیت برخوردار است.

آنچه در مفهوم عدد گنجانده شده است

عدد موضوع اساسی دانش فیزیکی است. فیزیک اعداد را مطالعه می کند. فیزیک اثرات ناشی از وجود یک عدد را مطالعه می کند. عدد شکلی از وجود زمان در طبیعت است. عدد یک شی واقعی فیزیک است. عدد همزمان موج و ذره است. عدد یک شیء واقعی، یک عنصر زمان، یک چیز، یک شیء زمان است که از نظر محقق، هم موج است و هم ذره. بنابراین، عدد شیئی است که فرآیندهای نوسانی و موجی را اجرا می کند. عدد تابش می کند.

شکل وجود یک عدد نوسان است - نوسانات هارمونیک، نوسانات هارمونیک مکانیکی، نوسانات هارمونیک آزاد در یک مدار نوسانی الکتریکی، نوسانات میرایی و اجباری.

مفهوم عدد. فیزیک کوانتومی بیش از همه شاخه های دیگر فیزیک به موضوع واقعی، اما نه صریح فیزیک مدرن - به عدد - نزدیک شده است. هدف واقعی فیزیک یک عدد است.

فضا از اعداد تشکیل شده است. یکی از بی نهایت واقعی سری اعداد (بی نهایت قابل شمارش) خود فضا است.

یکی از بی نهایت واقعی سری اعداد "فیلد" است. سری عددی نامتناهی قوام «طبیعت» است، فرآیند زمان به عنوان امر هر تحقق است. عدد، جهانی و ملموس، واقعیتی است که در مکانیک کلاسیک تحت نام «بدن» پنهان شده است. فقط شماره است. روابط درونی سری اعداد فضای شفاف فیزیک را تشکیل می دهد.

V. I. Shilov

"سرعت"، "شتاب"، "ممنتوم"، "اینرسی"، "انرژی"، "حرکت حرارتی"، "کار"، "نوسانات"، "میدان الکتریکی"، " شارژ الکتریکی«جریان الکتریکی»، «دی الکتریک»، «نیمه هادی»، «پلاسما»، «میدان مغناطیسی»، «اتم»، «القایی»، «جریان الکتریکی»، «نوسانات»، «امواج»، «تابش حرارتی»، "فوتون"، "رادیواکتیویته"، "برهم کنش های اساسی ذرات بنیادی" - و همه اینها با یک عدد اندازه گیری می شود.

بنابراین، عدد موضوع اصلی فیزیک است که با ماهیت ریاضیات همزمان است. همه آزمایش‌های فیزیکی آزمایش‌هایی «داخل» یک سری اعداد هستند، آزمایش‌هایی با اعداد خاص، آزمایش‌هایی در زمینه تعامل اعداد، آزمایش‌هایی بر اساس بی‌نهایت واقعی یک سری اعداد، اما واقعاً موجود.

تفاوت اصلی بین انواع اعداد، واقعیت فیزیکی واقعی فرآیندهای فیزیکی است که در بخش های فیزیک مدرن ارائه شده است. تفاوت بین انواع اعداد شکل واقعی تفاوت بین فعل و انفعالات فیزیکی و انواع ماده فیزیکی است.

انواع اعداد منعکس کننده کل تنوع فرآیندهای فیزیکی هستند و شکل مورد مطالعه این تنوع هستند. بنابراین:

تقسیم پذیری یک عدد جوهر فیزیکی عینی یک فرآیند فیزیکی است.

عدد اول تقسیم ناپذیر آخرین شیء واقعی فیزیک است.

ساده ترین عدد است عدد طبیعی. در استفاده می شوند زندگی روزمرهبرای شمارش موارد، یعنی برای محاسبه تعداد و ترتیب آنها.

عدد طبیعی چیست: اعداد طبیعیاعداد مورد استفاده را نام ببرید شمارش اقلام یا نشان دادن شماره سریال هر مورد از همه همگنموارد.

اعداد صحیحاعدادی هستند که از یک شروع می شوند. آنها به طور طبیعی هنگام شمارش تشکیل می شوند.به عنوان مثال، 1،2،3،4،5 ... -اولین اعداد طبیعی

کوچکترین عدد طبیعی- یکی بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد. هنگام شمارش عدد صفر استفاده نمی شود، بنابراین صفر یک عدد طبیعی است.

سری طبیعی اعداددنباله تمام اعداد طبیعی است. اعداد طبیعی را بنویسید:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

در اعداد طبیعی هر عدد یک عدد بیشتر از عدد قبلی است.

در سری طبیعی چند عدد وجود دارد؟ سری طبیعی بی نهایت است، بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد.

اعشاری، زیرا 10 واحد از هر دسته، 1 واحد از بالاترین مرتبه را تشکیل می دهند. موضعی بنابراین چگونه مقدار یک رقم به جای آن در عدد بستگی دارد، یعنی. از دسته ای که در آن ثبت شده است.

طبقات اعداد طبیعی

هر عدد طبیعی را می توان با استفاده از 10 عدد عربی نوشت:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

برای خواندن اعداد طبیعی، آنها را از سمت راست به گروه های 3 رقمی تقسیم می کنند. 3 اول اعداد سمت راست کلاس واحدها هستند، 3 عدد بعدی کلاس هزاران، سپس کلاس های میلیون ها، میلیاردها وو غیره. به هر یک از ارقام کلاس آن می گویندتخلیه.

مقایسه اعداد طبیعی

از 2 عدد طبیعی، عددی که در شمارش زودتر خوانده می شود، کمتر است. مثلا، عدد 7 کمتر 11 (اینطور نوشته شده:7 < 11 ). وقتی یک عدد بیش از یک ثانیه، به این صورت نوشته شده است:386 > 99 .

جدول ارقام و طبقات اعداد.

واحد درجه 1	رقم 1 واحد رتبه دوم ده رتبه 3 صدها
درجه 2 هزار	واحدهای رقمی 1 هزار رقم دوم ده ها هزار رتبه 3 صدها هزار
کلاس سوم میلیونی	واحد رقم 1 میلیون رقم دوم ده ها میلیون رقم سوم صدها میلیون
پایه چهارم میلیاردی	واحد رقمی یکم میلیارد رقم دوم ده ها میلیارد رقم سوم صدها میلیارد

اعداد کلاس پنجم به بالا مراجعه کنید اعداد بزرگ. واحدهای کلاس 5 - تریلیون ها، 6 کلاس - کوادریلیون‌ها، کلاس هفتم - کوئینتیلیون‌ها، کلاس هشتم - شش‌تیلیون‌ها، کلاس نهم -اپتیلیون ها ویژگی های اساسی اعداد طبیعی جابجایی جمع . a + b = b + a جابجایی ضرب. ab=ba تداعی افزودن. (a + b) + c = a + (b + c) تداعی ضرب. توزیع ضرب با توجه به جمع: اقدامات روی اعداد طبیعی 4. تقسیم اعداد طبیعی یک عمل معکوس ضرب است. اگر b ∙ c \u003d a، آن فرمول های تقسیم بندی: a: 1 = a a: a = 1، a ≠ 0 0: a = 0، a ≠ 0 (آ∙ ب) : c = (a:c) ∙ b (آ∙ ب) : c = (b:c) ∙ a عبارات عددی و برابری های عددی. نمادی که در آن اعداد با علائم عمل به هم متصل می شوند بیان عددی. به عنوان مثال، 10∙3+4; (60-2∙5):10. ورودی هایی که علامت تساوی 2 عبارت عددی را به هم متصل می کند برابری های عددی . مساوات یک سمت چپ و یک سمت راست دارد. ترتیب انجام عملیات حسابی. جمع و تفریق اعداد عملیات درجه اول و ضرب و تقسیم عملیات درجه دوم هستند. هنگامی که یک عبارت عددی فقط از اقدامات یک درجه تشکیل شده باشد، آنگاه آنها به صورت متوالی انجام می شونداز چپ به راست. وقتی عبارات فقط از اعمال درجه اول و دوم تشکیل شده باشند، ابتدا اقدامات انجام می شود درجه دوم، و سپس - اقدامات درجه اول. هنگامی که در عبارت پرانتز وجود دارد، ابتدا اقدامات داخل پرانتز انجام می شود. برای مثال 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

برای اینکه زندگی خود را بسیار ساده کنید، زمانی که نیاز به محاسبه چیزی دارید، برای بدست آوردن زمان گرانبها در OGE یا USE، برای انجام اشتباهات احمقانه کمتر - این بخش را بخوانید!

در اینجا چیزی است که یاد خواهید گرفت:

• نحوه محاسبه سریعتر، آسان تر و دقیق تر با استفاده ازگروه بندی اعدادهنگام جمع و تفریق،
• چگونه به سرعت ضرب و تقسیم بدون خطا با استفاده از قوانین ضرب و معیارهای تقسیم پذیری,
• چگونه به طور قابل توجهی سرعت محاسبات را با استفاده از کمترین مضرب مشترک(NOC) و بزرگترین مقسوم علیه مشترک(GCD).

در اختیار داشتن تکنیک های این بخش می تواند کفه ترازو را به یک سمت و سوی دیگر منحرف کند ... چه وارد دانشگاه رویاهای خود شوید یا نه، شما یا والدینتان باید هزینه زیادی برای تحصیل بپردازید یا وارد بودجه می شوید. .

بیایید شیرجه بزنیم... (بریم!)

P.S. آخرین توصیه ارزشمند...

یادداشت مهم!اگر به‌جای فرمول‌ها حرف‌های بیهوده می‌بینید، حافظه پنهان خود را پاک کنید. برای انجام این کار، CTRL+F5 (در ویندوز) یا فشار دهید Cmd+R (در مک)

یک دسته از اعداد صحیحاز 3 قسمت تشکیل شده است:

1. اعداد صحیح(در ادامه آنها را با جزئیات بیشتر در نظر خواهیم گرفت)
2. اعداد مخالف اعداد طبیعی(به محض اینکه بدانید اعداد طبیعی چیست، همه چیز در جای خود قرار می گیرد).
3. صفر - " " (بدون آن کجا؟)

حرف Z

اعداد صحیح

«خدا اعداد طبیعی را آفرید، بقیه چیزها کار دست انسان است» (ج) ریاضیدان آلمانی کرونکر.

اعداد طبیعی هستنداعدادی که ما برای شمارش اشیاء استفاده می کنیم و تاریخچه وقوع آنها بر این اساس است - نیاز به شمارش فلش ها، پوسته ها و غیره.

1، 2، 3، 4...n

حرف N

بر این اساس، این تعریف شامل (آیا نمی توانید آنچه را که وجود ندارد را بشمارید؟) و علاوه بر این، شامل نمی شود مقادیر منفی(سیب وجود دارد؟).

علاوه بر این، همه اعداد کسری گنجانده نشده اند (نمی توانیم بگوییم "من لپ تاپ دارم" یا "ماشین فروختم")

هر عدد طبیعیمی توان با استفاده از 10 رقم نوشت:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

پس 14 عددی نیست. این یک عدد است. از چه اعدادی تشکیل شده است؟ درست است، از اعداد و.

اضافه گروه بندی هنگام اضافه کردن برای شمارش سریعتر و اشتباهات کمتر

در مورد این روش چه چیزهای جالبی می توانید بگویید؟ البته اکنون پاسخ خواهید داد که "مقدار حاصل از تنظیم مجدد شرایط تغییر نمی کند." به نظر می رسد که یک قانون بدوی از کلاس اول آشنا است، اما هنگام حل مثال های بزرگ، آن را حل می کند فورا فراموش شد!

او را فراموش نکناز گروه بندی استفاده کنید، به منظور تسهیل در روند شمارش و کاهش احتمال خطا، زیرا ماشین حساب برای امتحان نخواهید داشت.

خودتان ببینید کدام عبارت برای اضافه کردن آسان تر است؟

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

البته دومی! اگرچه نتیجه یکسان است. ولی! با توجه به راه دوم، احتمال اشتباه شما کمتر است و هر کاری را سریعتر انجام خواهید داد!

بنابراین، در ذهن خود، اینگونه فکر می کنید:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

منها کردن. گروه بندی هنگام تفریق برای شمارش سریعتر و خطای کمتر

هنگام تفریق، می توانیم اعداد تفریق شده را نیز گروه بندی کنیم، به عنوان مثال:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

اگر در مثال تفریق با جمع ترکیب شود چه؟ شما هم میتونید گروه بندی کنید جواب میدید و درسته. فقط لطفاً علائم جلوی اعداد را فراموش نکنید، به عنوان مثال: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

به یاد داشته باشید: علائم نصب نادرست منجر به یک نتیجه اشتباه می شود.

ضرب. چگونه در ذهن خود تکثیر شویم

بدیهی است که ارزش محصول نیز با تغییر مکان عوامل تغییر نخواهد کرد:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

من به شما نمی گویم "هنگام حل مشکلات از این مورد استفاده کنید" (شما خود به این نکته پی بردید، درست است؟)، بلکه به شما می گویم چگونه به سرعت برخی از اعداد را در ذهن خود ضرب کنید. بنابراین، با دقت به جدول نگاه کنید:

و کمی بیشتر در مورد ضرب. البته، دو موقعیت خاص را به خاطر دارید... حدس بزنید منظورم چیست؟ در اینجا در مورد آن است:

اوه بله، بیایید نگاهی بیندازیم نشانه های تقسیم پذیری. در مجموع 7 قانون برای نشانه های تقسیم پذیری وجود دارد که 3 مورد اول را حتماً می دانید!

اما یادآوری بقیه چیزها اصلاً سخت نیست.

7 نشانه تقسیم پذیری اعداد که به شما کمک می کند به سرعت در ذهن خود بشمارید!

• البته شما سه قانون اول را می دانید.
• یادآوری چهارم و پنجم آسان است - هنگام تقسیم بر و ما به دنبال این هستیم که ببینیم آیا مجموع ارقامی که عدد را تشکیل می دهند بر این بخش پذیر است یا خیر.
• هنگام تقسیم بر، به دو رقم آخر عدد توجه می کنیم - آیا عددی که آنها می سازند بر آن بخش پذیر است؟
• هنگام تقسیم بر یک عدد باید همزمان بر و بر آن بخش پذیر باشد. این همه حکمت است.

آیا اکنون فکر می کنید - "چرا من به این همه نیاز دارم"؟

اول، امتحان است بدون ماشین حسابو این قوانین به شما کمک می کند تا در مثال ها پیمایش کنید.

و ثانیاً، وظایف مربوط به آن را شنیدید GCDو NOC? مخفف آشنا؟ بیایید شروع به یادآوری و درک کنیم.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک (gcd) - برای کاهش کسرها و محاسبات سریع مورد نیاز است

فرض کنید دو عدد دارید: و. چی بیشترین تعدادآیا هر دو عدد قابل تقسیم هستند؟ شما بدون تردید پاسخ خواهید داد، زیرا می دانید که:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

چه اعدادی در بسط مشترک هستند؟ درست است، 2 * 2 = 4. این پاسخ شما بود. با در نظر گرفتن این مثال ساده، الگوریتم یافتن را فراموش نخواهید کرد GCD. سعی کنید آن را در ذهن خود "بسازید". اتفاق افتاد؟

برای پیدا کردن NOD شما نیاز دارید:

1. اعداد را به فاکتورهای اول تجزیه کنید (به اعدادی که نمی توان آنها را به چیز دیگری جز خودش یا مثلاً با 3، 7، 11، 13 و غیره تقسیم کرد).
2. آنها را ضرب کنید.

آیا می‌دانید چرا به نشانه‌های تقسیم‌پذیری نیاز داشتیم؟ به طوری که به عدد نگاه می کنید و می توانید بدون باقی مانده تقسیم را شروع کنید.

به عنوان مثال، بیایید GCD اعداد 290 و 485 را پیدا کنیم

شماره اول - .

با نگاه کردن به آن، بلافاصله می توانید بگویید که بر چه چیزی تقسیم می شود، بیایید بنویسیم:

شما نمی توانید آن را به چیز دیگری تقسیم کنید، اما می توانید - و، ما دریافت می کنیم:

290 = 29 * 5 * 2

بیایید یک عدد دیگر بگیریم - 485.

با توجه به علائم تقسیم پذیری، باید بدون باقیمانده بر بخش پذیر باشد، زیرا به پایان می رسد. به اشتراک می گذاریم:

بیایید عدد اصلی را تجزیه و تحلیل کنیم.

• نمی توان آن را بر تقسیم کرد (آخرین رقم فرد است)
• - بر بخش پذیر نیست، بنابراین عدد نیز بر بخش پذیر نیست،
• همچنین بر و بخش پذیر نیست (مجموع ارقام عدد بر و بر بخش پذیر نیست)
• همچنین قابل تقسیم نیست، زیرا بر و قابل تقسیم نیست،
• همچنین بر و بخش پذیر نیست، زیرا بر و قابل تقسیم نیست.
• نمی توان به طور کامل تقسیم کرد

بنابراین عدد را فقط می توان به و تجزیه کرد.

و حالا بیایید پیدا کنیم GCDاین اعداد (و) این عدد چیست؟ درست، .

تمرین کنیم؟

کار شماره 1. GCD اعداد 6240 و 6800 را پیدا کنید

1) من فوراً بر آن تقسیم می کنم، زیرا هر دو عدد 100٪ بر:

کار شماره 2. GCD اعداد 345 و 324 را پیدا کنید

من نمی توانم به سرعت حداقل یک مقسوم علیه مشترک را در اینجا پیدا کنم، بنابراین فقط به عوامل اول (تا حد امکان کمتر) تجزیه می کنم:

حداقل مضرب مشترک (LCM) - باعث صرفه جویی در زمان، کمک به حل مشکلات خارج از جعبه

فرض کنید دو عدد دارید - و. کوچکترین عددی که بر آن بخش پذیر است چیست؟ بدون هیچ ردی(یعنی کاملاً)؟ تصورش سخته؟ در اینجا یک سرنخ بصری برای شما وجود دارد:

یادت هست معنی حرف چیه؟ درست است، فقط تمام اعداد.بنابراین کوچکترین عددی که با x مطابقت دارد کدام است؟ :

در این مورد.

از این یک مثال سادهچندین قانون پیروی می کند

قوانینی برای یافتن سریع NOC

قانون 1. اگر یکی از دو عدد طبیعی بر عدد دیگری بخش پذیر باشد، بزرگتر از این دو عدد کوچکترین مضرب مشترک آنهاست.

اعداد زیر را بیابید:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

البته شما به راحتی از عهده این کار برآمدید و به جواب رسیدید - و.

توجه داشته باشید که در قانون ما در مورد دو عدد صحبت می کنیم، اگر اعداد بیشتر باشد، قانون کار نمی کند.

برای مثال، LCM (7;14;21) برابر با 21 نیست، زیرا نمی توان آن را بدون باقیمانده بر تقسیم کرد.

قانون 2. اگر دو (یا بیش از دو) عدد هم اول باشند، کمترین مضرب مشترک برابر با حاصلضرب آنها است.

پیدا کردن NOCبرای شماره های زیر:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

حساب کردی؟ در اینجا پاسخ ها وجود دارد - , ; .

همانطور که می‌دانید، گرفتن و برداشتن همین x همیشه چندان آسان نیست، بنابراین برای اعداد کمی پیچیده‌تر الگوریتم زیر وجود دارد:

تمرین کنیم؟

کمترین مضرب مشترک را پیدا کنید - LCM (345; 234)

حداقل مضرب مشترک (LCM) را خودتان پیدا کنید

چه پاسخ هایی دریافت کردید؟

این چیزی است که برای من اتفاق افتاد:

چقدر طول کشید تا پیدا کردی NOC? زمان من 2 دقیقه است، من واقعا می دانم یک ترفند، که پیشنهاد میکنم همین الان بازش کنید!

اگر بسیار حواس تان باشد، احتمالا متوجه این موضوع شده اید اعداد داده شدهما قبلا جستجو کرده ایم GCDو شما می توانید فاکتورسازی این اعداد را از آن مثال بگیرید و در نتیجه کار خود را ساده کنید، اما این از همه چیز دور است.

به تصویر نگاه کنید، شاید افکار دیگری به ذهنتان خطور کند:

خوب؟ من به شما یک اشاره می کنم: سعی کنید ضرب کنید NOCو GCDبین خودشان و تمام عواملی که در هنگام ضرب خواهند بود را یادداشت کنید. توانستی مدیریت کنی؟ شما باید با یک زنجیره مانند این در پایان برسید:

نگاهی دقیق تر به آن بیندازید: عوامل را با چگونگی و تجزیه مقایسه کنید.

از این چه نتیجه ای می توانید بگیرید؟ درست! اگر مقادیر را ضرب کنیم NOCو GCDبین خودشان، سپس حاصلضرب این اعداد را بدست می آوریم.

بر این اساس داشتن اعداد و معنا GCD(یا NOC)، ما میتوانیم پیدا کنیم NOC(یا GCD) به روش زیر:

1. حاصل ضرب اعداد را بیابید:

2. محصول حاصل را بر ما تقسیم می کنیم GCD (6240; 6800) = 80:

همین.

بیایید قانون را به شکل کلی بنویسیم:

سعی کن پیدا کنی GCDاگر معلوم باشد که:

توانستی مدیریت کنی؟ .

اعداد منفی - "اعداد نادرست" و تشخیص آنها توسط بشر.

همانطور که قبلاً فهمیدید ، این اعداد مخالف اعداد طبیعی هستند ، یعنی:

اعداد منفی را می توان جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کرد - درست مانند اعداد طبیعی. به نظر می رسد که آنها خیلی خاص هستند؟ اما واقعیت این است که اعداد منفی دقیقاً تا قرن نوزدهم جایگاه واقعی خود را در ریاضیات "به دست آوردند" (تا آن لحظه اختلاف نظرهای زیادی وجود داشت که آیا وجود دارند یا نه).

خود عدد منفی به دلیل چنین عملیاتی با اعداد طبیعی به عنوان "تفریق" به وجود آمد. در واقع، از آن کم کنید - این یک عدد منفی است. به همین دلیل است که مجموعه اعداد منفی را اغلب "بسط مجموعه" می نامند اعداد طبیعی».

اعداد منفی برای مدت طولانی توسط مردم تشخیص داده نمی شد. بنابراین، مصر باستان، بابل و یونان باستان- چراغ های زمان خود، اعداد منفی را تشخیص نمی دادند و در صورت به دست آوردن ریشه های منفی در معادله (مثلاً همانطور که داریم)، ​​ریشه ها به عنوان غیرممکن رد شدند.

برای اولین بار اعداد منفی در چین و سپس در قرن هفتم در هند به حق خود رسیدند. نظر شما در مورد این اعتراف چیست؟ درست است ، اعداد منفی شروع به نشان دادن بدهی کردند (در غیر این صورت - کمبود). اعتقاد بر این بود که اعداد منفی یک مقدار موقتی هستند که در نتیجه به مثبت تغییر می کند (یعنی پول همچنان به طلبکار بازگردانده می شود). با این حال، براهماگوپتا، ریاضیدان هندی، قبلاً اعداد منفی را با اعداد مثبت یکسان در نظر می گرفت.

در اروپا، سودمندی اعداد منفی، و همچنین این واقعیت که آنها می توانند بدهی را نشان دهند، بسیار دیرتر، یعنی یک هزاره به وجود آمد. اولین اشاره در سال 1202 در "کتاب چرتکه" توسط لئونارد پیزا مشاهده شد (من بلافاصله می گویم که نویسنده کتاب هیچ ربطی به برج پیزا ندارد، اما اعداد فیبوناچی کار او هستند. نام مستعار لئوناردو پیزا فیبوناچی است)). علاوه بر این، اروپایی ها به این نتیجه رسیدند که اعداد منفی می تواند نه تنها به معنای بدهی، بلکه فقدان چیزی باشد، با این حال، همه این را تشخیص ندادند.

بنابراین، در قرن هفدهم، پاسکال معتقد بود که. به نظر شما او چگونه آن را توجیه کرد؟ درست است، "هیچ چیز نمی تواند کمتر از هیچ باشد". بازتاب آن زمان ها این واقعیت است که یک عدد منفی و عمل تفریق با یک نماد - منهای "-" نشان داده می شود. و درست: . آیا عدد " " مثبت است که از آن کم می شود یا منفی که به آن اضافه می شود؟ ... چیزی از سری "که اول می آید: مرغ یا تخم مرغ؟" در اینجا نوعی از این فلسفه ریاضی وجود دارد.

اعداد منفی با ظهور هندسه تحلیلی حق وجود خود را تضمین کردند، به عبارت دیگر، زمانی که ریاضیدانان چنین چیزی را به عنوان یک محور واقعی معرفی کردند.

از این لحظه بود که برابری به وجود آمد. با این حال، هنوز سوالات بیشتری نسبت به پاسخ وجود داشت، به عنوان مثال:

تناسب، قسمت

این نسبت پارادوکس آرنو نامیده می شود. در مورد آن فکر کنید، چه چیزی در آن مشکوک است؟

بیایید "" بیشتر از "" با هم صحبت کنیم درست است؟ بنابراین، طبق منطق، سمت چپ نسبت باید بزرگتر از سمت راست باشد، اما آنها با هم برابرند ... در اینجا تناقض است.

در نتیجه، ریاضیدانان موافقت کردند که کارل گاوس (بله، بله، این کسی است که مجموع (یا) اعداد را در نظر گرفت) در سال 1831 به آن پایان داد - او گفت که اعداد منفی دارای حقوق یکسانی با اعداد مثبت هستند. این واقعیت که آنها برای همه چیز صدق نمی کنند معنی ندارد، زیرا کسرها برای بسیاری از چیزها نیز صدق نمی کنند (این اتفاق نمی افتد که حفاری چاله ای حفر کند، شما نمی توانید بلیط سینما بخرید و غیره).

ریاضیدانان تنها در قرن 19 آرام شدند، زمانی که نظریه اعداد منفی توسط ویلیام همیلتون و هرمان گراسمن ایجاد شد.

آنها چقدر بحث برانگیز هستند، این اعداد منفی.

ظهور «پوچی» یا بیوگرافی صفر.

در ریاضیات، یک عدد خاص. در نگاه اول، این چیزی نیست: اضافه کنید، تفریق کنید - هیچ چیز تغییر نخواهد کرد، اما فقط باید آن را به سمت راست "" نسبت دهید، و عدد حاصل چندین برابر بیشتر از عدد اصلی خواهد بود. با ضرب در صفر همه چیز را به هیچ تبدیل می کنیم، اما نمی توانیم بر «هیچ» تقسیم کنیم. در یک کلام، عدد جادویی)

تاریخ صفر طولانی و پیچیده است. ردی از صفر در نوشته های چینی ها در سال 2000 میلادی یافت می شود. و حتی قبل از آن با مایاها. اولین استفاده از نماد صفر، مانند امروز، در میان ستاره شناسان یونانی دیده شد.

نسخه های زیادی وجود دارد که چرا چنین نامگذاری "هیچ" انتخاب شده است. برخی از مورخان تمایل دارند بر این باورند که این یک Omicron است، یعنی. حرف اول کلمه یونانی برای هیچ، اودن است. بر اساس نسخه دیگری، کلمه "obol" (سکه تقریباً بدون ارزش) به نماد صفر زندگی می بخشد.

صفر (یا تهی) به عنوان نماد ریاضیاولین بار در میان سرخپوستان ظاهر می شود (توجه داشته باشید که اعداد منفی در آنجا شروع به "توسعه" کردند). اولین شواهد قابل اعتماد برای نوشتن صفر به 876 برمی گردد و در آنها "" جزء عدد است.

صفر نیز با تأخیر به اروپا آمد - فقط در سال 1600، و درست مانند اعداد منفی، با مقاومت روبرو شد (چه می توانید انجام دهید، آنها اروپایی هستند).

چارلز سیف، ریاضیدان آمریکایی، می نویسد: «صفر اغلب از زمان های بسیار قدیم مورد نفرت، ترس و یا حتی ممنوعیت بوده است. بنابراین سلطان عبدالحمید دوم ترکیه در پایان قرن نوزدهم. به سانسورچی های خود دستور داد که فرمول آب H2O را از تمام کتاب های درسی شیمی حذف کنند، حرف "O" را صفر در نظر بگیرند و نخواستند حروف اول او به دلیل نزدیکی به صفر نفرت انگیز بدنام شود.

در اینترنت می توانید این عبارت را پیدا کنید: "صفر قدرتمندترین نیرو در جهان است، هر کاری می تواند انجام دهد! صفر باعث ایجاد نظم در ریاضیات می شود و همچنین باعث هرج و مرج در آن می شود. نکته کاملا درسته :)

خلاصه بخش و فرمول های پایه

مجموعه اعداد صحیح از 3 قسمت تشکیل شده است:

• اعداد طبیعی (در زیر آنها را با جزئیات بیشتری در نظر خواهیم گرفت)؛
• اعداد مخالف اعداد طبیعی؛
• صفر - ""

مجموعه اعداد صحیح نشان داده می شود حرف Z

1. اعداد طبیعی

اعداد طبیعی اعدادی هستند که برای شمارش اجسام از آنها استفاده می کنیم.

مجموعه اعداد طبیعی نشان داده می شود حرف N

در عملیات با اعداد صحیح، به توانایی یافتن GCD و LCM نیاز دارید.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD)

برای پیدا کردن NOD شما نیاز دارید:

1. اعداد را به فاکتورهای اول تجزیه کنید (به اعدادی که نمی توان آنها را به چیز دیگری غیر از خودش یا مثلاً با و غیره تقسیم کرد).
2. عواملی که جزء هر دو عدد هستند را بنویسید.
3. آنها را ضرب کنید.

کمترین مضرب مشترک (LCM)

برای پیدا کردن NOC شما نیاز دارید:

1. اعداد را به فاکتورهای اول فاکتورسازی کنید (شما از قبل می دانید که چگونه این کار را به خوبی انجام دهید).
2. فاکتورهای موجود در گسترش یکی از اعداد را بنویسید (بهتر است طولانی ترین زنجیره را بگیرید).
3. عوامل گمشده از بسط اعداد باقیمانده را به آنها اضافه کنید.
4. حاصل ضرب عوامل حاصل را بیابید.

2. اعداد منفی

اینها اعدادی هستند که مخالف اعداد طبیعی هستند، یعنی:

حالا میخوام ازت بشنوم...

امیدوارم از "ترفندهای" فوق العاده مفید این بخش قدردانی کرده باشید و درک کرده باشید که چگونه آنها در امتحان به شما کمک می کنند.

و مهمتر از آن در زندگی. من در مورد آن صحبت نمی کنم، اما باور کنید، این یکی است. توانایی شمارش سریع و بدون خطا در بسیاری از موقعیت‌های زندگی موجب صرفه‌جویی می‌شود.

حالا نوبت شماست!

بنویسید آیا از روش های گروه بندی، معیارهای تقسیم پذیری، GCD و LCM در محاسبات استفاده خواهید کرد؟

شاید قبلا از آنها استفاده کرده باشید؟ کجا و چگونه؟

شاید شما سوالاتی داشته باشید. یا پیشنهادات

در نظرات بنویسید که چگونه مقاله را دوست دارید.

و در امتحانات خود موفق باشید!

خب موضوع تموم شد اگر در حال خواندن این خطوط هستید، پس خیلی باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا آخر خوانده باشید، در 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه ای را در مورد این موضوع کشف کرده اید. و، تکرار می‌کنم، این ... فقط فوق‌العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل این است که ممکن است این کافی نباشد ...

برای چی؟

برای موفقیت قبولی در امتحان، برای پذیرش در موسسه با بودجه و مهمتر از همه برای مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز می گویم ...

افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری در مقابل آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در امتحان بهتر از دیگران باشید و در نهایت ... شادتر باشید؟

دست خود را پر کنید و مشکلات مربوط به این موضوع را حل کنید.

در امتحان از شما تئوری پرسیده نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت مشکلات را به موقع حل کنید.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (بسیار!)، قطعاً در جایی مرتکب یک اشتباه احمقانه خواهید شد یا به سادگی آن را به موقع مرتکب نخواهید شد.

مثل ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید چندین بار تکرار کنید.

مجموعه ای را در هر جایی که می خواهید پیدا کنید لزوما با راه حل ها، تجزیه و تحلیل دقیقو تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (لازم نیست) استفاده کنید و ما مطمئناً آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه به کمک وظایف ما دست پیدا کنید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

1. قفل دسترسی به تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید - خرید یک مقاله - 299 روبل
2. باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف مخفی در تمام 99 مقاله آموزش - خرید کتاب درسی - 499 روبل

بله، ما 99 مقاله از این دست در کتاب درسی داریم و دسترسی به تمام کارها و تمام متون پنهان در آنها را می توان بلافاصله باز کرد.

دسترسی به تمام کارهای مخفی برای کل طول عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط به تئوری بسنده نکنید.

"فهمیده" و "من می دانم چگونه حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و حل کنید!

منبع پذیرش: GOST 111 90: ورق شیشه. مشخصات فنیسند اصلی همچنین به اصطلاحات مرتبط نگاه کنید: 109. تعداد نوسانات بتاترون ...

فعل، nsv.، استفاده کنید. مقایسه غالباً مورفولوژی: من وارد می شوم، شما وارد می شوید، او / او وارد می شود، ما وارد می شوید، شما وارد می شوید، وارد می شوند، وارد می شوند، وارد می شوند، وارد می شوند، وارد می شوند، وارد می شوند، وارد می شوند، وارد می شوند، وارد می شوند، وارد می شوند. ن.، متر ورودی ... فرهنگ لغتدیمیتریوا

تعداد ضربه های کویل پک- 9. تعداد ضربه های بسته سیم پیچ تعداد گروه های سیم پیچ های متصل به سری، که با جهت حرکت مشترک نسبت به محیط اطراف مشخص می شود. محیط داخلیتوجه داشته باشید. آنها با تعداد حرکات، به عنوان مثال، یک طرفه، ... ... را تشخیص می دهند. فرهنگ لغت - کتاب مرجع شرایط اسناد هنجاری و فنی

نوع خاصی از فعالیت های شناختی با هدف توسعه دانش عینی، منظم و سازمان یافته و مستدل در مورد جهان. با انواع دیگر فعالیت های شناختی تعامل دارد: روزمره، هنری، مذهبی، اسطوره ای ... دایره المعارف فلسفی

مطالب: 1) تعریف ج. 2) منشأ ج. 3) ویژگی های عمومیج. 4) سازمان ج. 5) ساختار اقتصادی ج. 6) نقش سیاسی ج. 7) تحول سازمان صنفی قرون وسطی. 8) زوال ج 9) ادبیات. 1) تعریف C. ...... فرهنگ لغت دایره المعارفیاف. بروکهاوس و I.A. افرون

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به تقویم انقلابی مراجعه کنید. تقویم داده های تقویم نوع تقویم شمسی، قمری، قمری شمسی عصر تقویم درج سال های کبیسه ... ویکی پدیا

این مقاله فاقد پیوند به منابع اطلاعاتی است. اطلاعات باید قابل تایید باشد، در غیر این صورت ممکن است مورد سوال قرار گیرد و حذف شود. شما می توانید ... ویکی پدیا

اورانوس ... ویکی پدیا

اورانوس عکس اورانوس از وویجر 2. اطلاعات در مورد کشف تاریخ افتتاح 13 مارس 1781 کاشف ... ویکی پدیا

دنی فانتوم ... ویکی پدیا

کتاب ها

• کیهان ریتم در تاریخ امپراتوری روسیه (1671-1918)، V. I. Vasiliev. این کتاب یک روش اصلی برای محاسبه روابط سیاره ای بین تاریخ های مختلف در تاریخ ارائه می دهد. واحدهای زمانی مورد استفاده در همه جا دلبخواه هستند، آنها به ...
• 13 دروازه باطنی. تاریخ آموزه های باطنی از آدم تا امروز، اوگنی کولسوف. این کتاب بر اساس یک دوره از سخنرانی های نویسنده در سال 1994-1995 پدید آمده است. در دانشگاه تاریخ فرهنگی نویسنده از مدت ها قبل این ایده را داشته است که سعی کند داستان را به طور منسجم و عینی ارائه کند ...

 

شاید خواندن آن مفید باشد:

• چگونه بفهمیم عقرب چه چیزی را دوست دارد;
• آخرالزمان زامبی آنلاین با دوستان;
• بازی آنلاین آخرالزمان زامبی بازی;
• مشکل در راه اندازی بازی فیفا;
• درمان در خارج از کشور نترس درمان در خارج از کشور - جهت های اصلی گردشگری پزشکی درمان در خارج از کشور که در آن بهتر است;
• من یک سوال دارم: چگونه از استرس خلاص شویم؟;
• تراژدی های اصلی در زندگی رومینا پاور آلبانو کاریسی کودکان چه می کنند;
• اگر کودک نمی خواهد در مهد کودک دوست باشد چه باید کرد؟;