III. نمونه هایی از مشکلات با راه حل ها

کلاس: 11

ارائه برای درس

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

هدف درس:

ترویج توسعه مهارت در تقسیم یک چند جمله ای به یک چند جمله ای و استفاده از طرح هورنر.
مهارت های خود را در صفحات گسترده کالک OpenOffice.org تقویت کنید.
سازماندهی فعالیت های دانش آموزان برای درک، درک و در ابتدا به خاطر سپردن دانش جدید؛
تجزیه و تحلیل و اثبات قضیه بزوت هنگام حل یک موقعیت مسئله: آیا می توان یک چند جمله ای درجه سوم را فاکتور گرفت؟
استفاده از قضیه بزوت را برای حل معادلات درجه بالاتر در نظر بگیرید.
توسعه را ترویج کنند تفکر منطقی، توجه، گفتار و توانایی کار مستقل.

نوع درس:درس معرفی مطالب جدید

تجهیزات:پروژکتور چند رسانه ای، ارائه درس، کلاس کامپیوتر.

"برای بهبود ذهن، بیشتر از حفظ کردن نیاز به استدلال دارید."
دکارت (1596 -1650). ریاضیدان، فیزیکدان، فیلسوف، فیلسوف فرانسوی.

پیشرفت درس

من. لحظه سازمانی

وظیفه امروز ما این است فعالیت های مشترکسخنان دکارت را تایید کنید (اسلاید 1). موضوع درس ما (اسلاید 2) "قضیه بزوت" آنقدر مهم است که حتی در تکالیف آزمون دولتی واحدو المپیادهای مختلف قضیه بزوت حل بسیاری از مسائل حاوی معادلات درجات بالاتر را تسهیل می کند. متاسفانه فقط در سطح پروفایل مطالعه می شود.

II. ظهور یک وضعیت مشکل ساز

در این درس نحوه حل معادلات درجات بالاتر را یاد می گیریم و الگوریتم حل را خودمان استخراج می کنیم.

معادله را حل کنید: x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0(اسلاید 3). مشکلی پیش می‌آید: می‌دانیم که نمایش سمت چپ معادله به‌عنوان یک حاصلضرب راحت است، و از آنجایی که حاصلضرب برابر با صفر است، پس هر عامل را با صفر برابر کنید. برای این کار باید چند جمله ای درجه سوم را فاکتور بگیرید. اما چگونه؟آیا می توان عامل مشترک را در مورد ما گروه بندی کرد یا براکت گذاشت؟ (نه).

III. به روز رسانی دانش مرجع

بیایید به یاد بیاوریم که چگونه چند جمله ای x 2 - 5x - 6 را فاکتور کنیم؟ (اسلاید 4).

(طبق فرمول فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم:

ax 2 + bx + c = a (x – x 1) (x-x 2)، که در آن x 1 و x 2 ریشه های سه جمله ای هستند.

ریشه های سه جمله ای را به دو صورت پیدا کنید. کدومشون؟

(با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم و قضیه ویتا).

یک دانش آموز از هر گروه روی تخته حل می کند. بقیه دانش آموزان در دفترچه هایشان هستند. ما دریافت کردیم: x 2 - 5x - 6 = (x - 6) (x + 1).

این به این معنی است که سه جمله ای بر هر یک از دو جمله ای تقسیم می شود: x – 6 و x + 1.

به جمله آزاد سه جمله ای خود توجه کنید و مقسوم علیه های آن (±1، ±2، ±3، ±6) را پیدا کنید.

ریشه های سه جمله ای کدام مقسوم علیه هستند؟ (-1 و 6)

چه نتیجه ای می توان گرفت؟ (ریشه های سه جمله ای مقسوم علیه جمله آزاد هستند).

IV. ارائه یک فرضیه

بنابراین کدام یک جمله به شما کمک می کند تا ریشه های یک چند جمله ای را پیدا کنید؟

P(x) = x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0?

(عضو رایگان).

مقسوم علیه های آن را بنویسید: ±1; ± 2; ± 4.

مقادیر چند جمله ای را برای هر مقسوم علیه پیدا کنید. استفاده از صفحات گسترده و مستقیم:

گروه اول در یک نوت بوک محاسبه می کند، گروه دوم در رایانه های OpenOffice.org Calc.

P(1)= -3
Р(-1)=7
Р(2)=-8
Р(-2)=0
Р(4)=12
Р(-4)=-68

(هنگام محاسبه در صفحات گسترده، در سلول B2، دانش آموزان فرمول را وارد می کنند: =A1^3-2*A1^2-6*A1+4. با استفاده از نشانگر تکمیل خودکار، مقادیر چند جمله ای را در کل ستون به دست می آورند. ).

ریشه چند جمله ای کدام مقسوم علیه است؟ (-2)

بنابراین، یکی از عوامل در گسترش x-(-2) = x + 2 خواهد بود.

چگونه ضریب های دیگر را پیدا کنیم؟

(«در یک ستون» را بر دو جمله ای تقسیم کنید x + 2)

دیگر چگونه ممکن است؟ (طبق طرح هورنر). (اسلاید 5)

طرح هورنر چیست؟ ( طرح هورنر الگوریتمی برای تقسیم چندجمله‌ای است که برای حالت خاصی نوشته می‌شود که مقسوم‌کننده برابر با دوجمله‌ای باشد. x–a).

ما تقسیم را انجام می دهیم: گروه اول "در یک ستون" است، دوم - طبق طرح هورنر.

بدون هیچ اثری تقسیم شد.

بیایید به معادله برگردیم: x 3 - 2x 2 - 6x + 4 = (x 2 -4x+2) (x+ 2)=0

x 2 -2x+2=0 - معادله درجه دوم. حلش کن:

D 1 = 4 – 2 = 2;

پاسخ: -2، .

آیا هنگام تقسیم ممکن است باقی مانده باشد؟در ادامه به این سوال پاسخ خواهیم داد. اکنون مقدار چند جمله ای را در x = - 2 نام ببرید. (مقدار صفر است).

لطفاً توجه داشته باشید که x = - 2 ریشه چند جمله ای است و باقیمانده هنگام تقسیم چند جمله ای بر x-(-2) 0 است.

x = 1 را در نظر بگیرید - ریشه معادله نیست.

بیایید سعی کنیم چند جمله ای را بر تقسیم کنیم x-1. گروه دوم تقسیم طولانی را انجام می دهند. اولین مورد، طبق طرح هورنر، جدول را با یک خط دیگر تکمیل می کند.

بنابراین، x 3 - 2x 2 - 6x + 4 = (x – 1)∙(x2 - x – 7) – 3.

توجه داشته باشید که x=1 ریشه چند جمله ای نیست و باقیمانده هنگام تقسیم چند جمله ای بر (x-1) برابر است با مقدار چند جمله ای در x=1.

در اینجا پاسخ به سؤال در مورد باقی مانده است. بله، باقیمانده برای مقدار x به دست آمد که ریشه چند جمله ای نیست.

بیایید طرح هورنر را برای مقسوم‌گیرنده‌های باقی‌مانده عبارت آزاد ادامه دهیم. حالا اجازه دهید گروه اول در رایانه و گروه دوم در نوت بوک محاسبه کنند.

V. اثبات فرضیه

(اسلاید 6) شما متوجه الگویی در مورد بقیه شده اید. کدام یک؟ (باقیمانده برای مقدار x به دست می آید که ریشه چند جمله ای نیست).

بیایید این الگو را در آن بنویسیم نمای کلی.

فرض کنید P(x) یک چند جمله ای و a یک عدد باشد.

بیایید این جمله را ثابت کنیم: باقیمانده وقتی P(x) بر (x - a) تقسیم شود برابر با P(a) است.

اثبات P(x) را با باقی مانده بر (x - a) تقسیم کنید.

ما P(x)= (x - a)Q(x) + R را دریافت می کنیم. با تعریف باقیمانده، چند جمله ای r یا برابر با 0 است یا درجه ای کمتر از درجه (x - a) دارد، یعنی. کمتر از 1. اما درجه یک چند جمله ای تنها زمانی کمتر از 1 است که برابر با 0 باشد، و بنابراین در هر دو مورد R در واقع یک عدد است - صفر یا غیر صفر.

حالا با جایگزینی مقدار x = a به برابری P(x)= (x - a)Q(x) + R، P(a)= (a - a)Q(x) + R, P(a) را دریافت می کنیم. = R، بنابراین در واقع R = P(a).

این الگو توسط ریاضیدان بزوت نیز مورد توجه قرار گرفت.

پیام دانش آموز

(اسلاید 7) اتین بزو - ریاضیدان فرانسوی، عضو آکادمی علوم پاریس (از سال 1758)، در 31 مارس 1730 در نمور متولد شد و در 27 سپتامبر 1783 درگذشت. از سال 1763، بزو ریاضیات را در مدرسه میانی و از سال 1768 در سپاه توپخانه سلطنتی تدریس کرد.

آثار اصلی اتین بزو مربوط به جبر عالی است.

در تئوری حل سیستم ها معادلات خطیاو به پیدایش نظریه تعیین کننده ها کمک کرد، نظریه حذف مجهولات را از سیستم های معادلات درجات بالاتر توسعه داد و این قضیه را ثابت کرد (برای اولین بار توسط مکلارین فرموله شد) که دو منحنی مرتبه m و n در حداکثر نقاط mn قطع می شوند.

در فرانسه و خارج از کشور، تا سال 1848، شش جلدی او "دوره ریاضیات" که توسط او در 1764-1769 نوشته شده بود، بسیار محبوب بود.

بزوت روش ضریب های نامعین را توسعه داد. در جبر ابتدایی روشی برای حل سیستم معادلات بر اساس این روش به نام او نامگذاری شده است.

بخشی از آثار بزوت به بالستیک خارجی اختصاص دارد.

یکی از قضایای اساسی جبر به نام دانشمند نامگذاری شده است.

نتیجه

برای اینکه چند جمله ای P(x) بر دو جمله ای (x – a) بخش پذیر باشد، باقیمانده چقدر باید باشد؟ (برابر 0).

از قضیه بزوت نتیجه ای به دست می آوریم: برای اینکه چند جمله ای P(x) بر یک دو جمله ای (x – a) بخش پذیر باشد، لازم و کافی است که برابری P(a) = 0 برآورده شود.

VI. تلفیق آموخته ها

(اسلاید 8) معادله را حل کنید: x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 = 0.

ریشه های صحیح چند جمله ای P(x) = x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 باید مقسوم علیه جمله آزاد باشند، بنابراین می توانند اعداد -1، 1، 3، -3 باشند.

بیایید یک ریشه را مطابق با طرح هورنر انتخاب کنیم:

VII. نتیجه:

بنابراین، قضیه بزوت چه چیزی به ما می دهد؟ (اسلاید 9)

قضیه بزوت، با یافتن یک ریشه از یک چند جمله ای، جستجوی بیشتر برای ریشه های چند جمله ای که درجه آن 1 کمتر است، امکان پذیر می کند: اگر P(a) = 0، آنگاه P(x)= (x - a)Q( x)، و تنها چیزی که باقی می ماند حل معادله Q (x) = 0 است. گاهی اوقات با استفاده از این تکنیک - که به آن کاهش درجه می گویند - می توانید تمام ریشه های یک چند جمله ای را پیدا کنید.

قبلاً مفهوم چند جمله ای به عنوان مجموع جبری تک جمله ها تعریف می شد. اگر همه تک جمله های مشابه یک چند جمله ای به ترتیب نزولی درجه متغیر داده شده و مرتب شوند، رکورد حاصل نامیده می شود. نماد متعارفچند جمله ای

تعریف.بیان فرم

کجا x– تعدادی متغیر، اعداد حقیقی و، فراخوانی می شود چند جمله ای درجه n از متغیر x . مدرکیک چند جمله ای بزرگترین توان متغیر در نماد متعارف آن است. اگر متغیر در نماد چند جمله ای ظاهر نشود، به عنوان مثال. چند جمله ای برابر با یک ثابت است، درجه آن برابر با 0 در نظر گرفته می شود. حالتی که چند جمله ای باید جداگانه در نظر گرفته شود. در این صورت عموماً پذیرفته شده است که مدرک آن مشخص نیست.

نمونه هاچند جمله ای درجه دوم،

چند جمله ای درجه پنجم

تعریف.دو چند جمله ای برابراگر و فقط در صورتی که ضرایب یکسانی در اشکال متعارف خود در همان قدرت ها داشته باشند.

تعریف. شماره تماس گرفته می شود ریشه چند جمله ای، اگر هنگام تنظیم این عدد به جای آن xچند جمله ای مقدار 0 را می گیرد، یعنی.

به عبارت دیگر، ریشه معادله خواهد بود

بنابراین، مشکل یافتن تمام ریشه های یک چند جمله ای و ریشه های یک معادله گویا یک مسئله است.

معادلات گویا درجه اول و دوم با استفاده از الگوریتم های شناخته شده حل می شوند. همچنین فرمول هایی برای ریشه یابی چند جمله ای های درجه سوم و چهارم (فرمول کاردانو و فراری) وجود دارد که به دلیل دست و پا گیر بودن در درس ریاضیات ابتدایی قرار نمی گیرند.

ایده کلی برای یافتن ریشه های چندجمله ای های درجه بالاتر این است که چند جمله ای را فاکتورگیری کنیم و معادله را با مجموعه معادلات با درجه پایین تر جایگزین کنیم.

با این حال، روش گروه‌بندی ماهیت الگوریتمی ندارد، بنابراین اعمال آن برای چند جمله‌ای با درجات بزرگ دشوار است. اجازه دهید چند جمله‌ای با درجات بالاتر را فاکتور بگیریم.

قضیه تقسیم با باقیماندهاجازه دهید چند جمله ای داده شود، و درجه متفاوت از 0 است، و درجه بزرگتر از درجه است. سپس چند جمله‌ای وجود دارد که برابری می‌کند

علاوه بر این، درجه ای کمتر از یک درجه، چند جمله ای نامیده می شود قابل تقسیم، چند جمله ای تقسیم کننده،چند جمله ای خصوصی ناقص، و چند جمله ای باقی مانده .

اگر باقیمانده تقسیم 0 باشد، آن را می گوییم سهامدر به طور کامل، و برابری به شکل زیر است:

الگوریتم تقسیم چند جمله ای بر چند جمله ای مشابه الگوریتم تقسیم عدد بر عدد بر یک ستون یا گوشه است. اجازه دهید مراحل الگوریتم را شرح دهیم.

سود سهام را روی یک خط بنویسید، شامل تمام توان های متغیر (آنهایی را که گم شده اند را با ضریب 0 بنویسید).

سود تقسیمی را در "گوشه" بنویسید، شامل تمام توان های متغیر.

برای یافتن جمله اول (تک جمله) در یک ضریب ناقص، باید تک جمله اول تقسیم را بر تک جمله اول تقسیم کننده تقسیم کنید.

جمله اول حاصل از ضریب را در کل مقسوم علیه ضرب کنید و نتیجه را زیر سود تقسیمی بنویسید و همان توان های متغیر را زیر یکدیگر بنویسید.

محصول حاصل را از سود سهام کم کنید.

با شروع از نقطه 1، الگوریتم را روی باقی مانده به دست آمده اعمال کنید.

الگوریتم زمانی تکمیل می شود که اختلاف حاصل از درجه ای کمتر از درجه مقسوم علیه داشته باشد. این باقی مانده است.

مثال. چند جمله ای را بر تقسیم کنید.

نوشتن سود و تقسیم کننده

روش را تکرار کنید

درجه از درجه مقسوم کمتر است. پس این باقی مانده است. نتیجه تقسیم به صورت زیر نوشته می شود:

طرح هورنراگر مقسوم‌کننده چند جمله‌ای درجه اول باشد، می‌توان روش تقسیم را ساده کرد. الگوریتم تقسیم چند جمله ای بر دو جمله ای را در نظر بگیرید.

مثال. چند جمله ای را بر طرح هورنر تقسیم کنید. در این مورد الف=2. اجازه دهید نتایج اجرای الگوریتم را مرحله به مرحله یادداشت کنیم.

مرحله یک

مرحله دو

مرحله سوم

مرحله چهارم

بنابراین نتیجه تقسیم را به صورت زیر می نویسیم

نظر دهید.اگر نیاز به تقسیم بر دوجمله ای دارید

سپس به فرم تبدیل می شود. از این جا مشخص می شود که با تقسیم بر طرح هورنر، نصاب مورد نظر را با تقسیم بر بدست می آوریم الف. بقیه به همان شکل باقی می ماند.

قضیه بزوت. باقیمانده هنگام تقسیم یک چند جمله ای بر مقدار چند جمله ای در آن نقطه است x = الف، یعنی . یک چند جمله ای بدون باقیمانده اگر و فقط اگر قابل تقسیم است x = الفریشه چند جمله ای است.

بنابراین، با پیدا کردن یک ریشه از چند جمله ای الف ، می توانید با انتخاب عاملی که یک درجه کمتر از درجه دارد آن را فاکتورسازی کنید. این عامل را می توان با استفاده از طرح هورنر یا با تقسیم با یک گوشه یافت.

مسئله یافتن ریشه یا با انتخاب یا با استفاده از قضیه ریشه های گویا یک چند جمله ای حل می شود.

قضیه.اجازه دهید چند جمله ای دارای ضرایب صحیح اگر کسری تقلیل ناپذیر ریشه یک چند جمله ای باشد، پس از آن صورت آن است صمقسوم علیه جمله آزاد و مخرج است qمقسوم علیه ضریب پیشرو است.

این قضیه زیربنای آن است الگوریتم یافتن ریشه های منطقیچند جمله ای (در صورت وجود).

تجزیه یک کسر جبری به مجموع کسرهای ساده

تعریفکسری که صورت و مخرج آن دارای چند جمله ای باشد نامیده می شود کسر جبری .

بیایید کسرهای جبری یک متغیر را در نظر بگیریم. آنها را می توان به صورت کلی به صورت زیر نوشت: ، که در آن صورت شمار شامل یک چند جمله ای درجه است n، مخرج چند جمله ای درجه است ک. اگر کسری فراخوانی می شود درست است .

به کسرهای جبری سادهدو نوع کسر مناسب وجود دارد:

قضیه.هر کسری جبری را می توان به صورت مجموع ساده ترین کسرهای جبری نشان داد.

الگوریتمی برای تجزیه کسر جبری به مجموع کسرهای ساده.

مخرج را فاکتور بگیرید.

تعداد کسرهای مناسب و نوع مخرج آنها را تعیین کنید.

تساوی را بنویسید که در سمت چپ آن کسر اصلی و در سمت راست مجموع ساده ترین کسرها با ضرایب نامشخص است.

کسرهای سمت راست را به مخرج مشترک کاهش دهید.

چند جمله ای ها را در شمارنده کسرها برابر کنید.

با استفاده از تعریف برابری چندجمله ای ها، سیستمی از معادلات خطی ایجاد کنید و با یافتن ضرایب نامشخص آن را حل کنید.قضیه بزوت با وجود سادگی و بدیهی ظاهری، یکی از قضایای اساسی نظریه چند جمله ای است. در این قضیه، ویژگی های جبری چند جمله ای ها (آنها به شما اجازه می دهند با چند جمله ای ها به صورت اعداد صحیح کار کنید) با آنها مرتبط است.ویژگی های عملکردی

با استفاده از تعریف برابری چندجمله ای ها، سیستمی از معادلات خطی ایجاد کنید و با یافتن ضرایب نامشخص آن را حل کنید.(که اجازه می دهد چند جمله ای ها به عنوان توابع در نظر گرفته شوند).

بیان می کند که باقیمانده هنگام تقسیم یک چند جمله ای بر یک چند جمله ای است.

ضرایب چند جمله ای در یک حلقه جابجایی با وحدت قرار دارد (مثلاً در میدان اعداد حقیقی یا مختلط).

قضیه بزوت - اثبات. چند جمله ای را با باقی مانده تقسیم کنید P(x) به یک چند جمله ای:

(x-a) بر اساس این واقعیت که< deg (x-a) = 1 درجه R(x) .

- چند جمله ای درجه ای که بالاتر از صفر نباشد. ما جایگزین می کنیم، از زمانی که می گیریم

اما این قضیه مهم نیست، بلکه نتیجه قضیه بزوت است: چند جمله ای را با باقی مانده تقسیم کنیدآن وقت و تنها زمانی که چند جمله ای را با باقی مانده تقسیم کنیدقابل تقسیم بر یک دوجمله ای بدون باقیمانده x-a.

بر این اساس، مجموعه ریشه های چند جمله ای چند جمله ای را با باقی مانده تقسیم کنیدبا مجموعه ریشه های معادله مربوطه یکسان است x-a.

2. جمله آزاد یک چند جمله ای بر هر ریشه صحیح یک چند جمله ای با ضرایب صحیح تقسیم می شود (زمانی که ضریب پیشرو برابر با یک باشد، همه ریشه های گویا عدد صحیح هستند).

3. فرض کنید که ریشه صحیح چند جمله ای کاهش یافته است چند جمله ای را با باقی مانده تقسیم کنیدبا ضرایب صحیح این بدان معنی است که برای هر عدد صحیح، عدد بر اعداد بخش پذیر است.

قضیه بزوت با یافتن یک ریشه از یک چند جمله ای، این امکان را فراهم می کند که ریشه های چند جمله ای را که درجه آن از قبل 1 کمتر است جستجو کنیم: اگر، پس این چند جمله ای چند جمله ای را با باقی مانده تقسیم کنیدبه این صورت خواهد بود:

مثال های قضیه بزوت:

هنگام تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای باقیمانده را پیدا کنید.

مثال‌های قضیه‌ی بزوت از راه‌حل‌ها:

بر اساس قضیه بزوت، باقیمانده مورد نیاز با مقدار چند جمله ای در نقطه مطابقت دارد. سپس خواهیم یافت , برای این ما مقدار را به جای عبارت چند جمله ای جایگزین می کنیم. دریافت می کنیم:

پاسخ دهید: باقیمانده = 5.

طرح هورنر

طرح هورنرالگوریتمی برای تقسیم (تقسیم بر اساس طرح هورنر) چندجمله‌ای است که برای حالت خاص نوشته شده است اگر ضریب برابر با یک دوجمله‌ای باشد.

بیایید این الگوریتم را بسازیم:

بیایید فرض کنیم که سود سهام است

ضریب (درجه آن احتمالاً یک کمتر خواهد بود) r- باقی مانده (از آنجایی که تقسیم توسط یک چند جمله ای انجام می شود 1درجه، سپس درجه باقیمانده یک کمتر خواهد بود، یعنی. صفر، پس باقیمانده ثابت است).

با تعریف تقسیم با باقی مانده P(x) = Q(x) (x-a) + r. پس از جایگزینی عبارات چند جمله ای به دست می آید:

پرانتزها را باز می کنیم و ضرایب را در همان توان ها برابر می کنیم و پس از آن ضرایب ضرایب را از طریق ضرایب سود تقسیمی و مقسوم علیه بیان می کنیم:

خلاصه کردن محاسبات در جدول زیر راحت است:

سلول هایی را که محتویات آنها در محاسبات در مرحله بعد نقش دارند را برجسته می کند.

نمونه های طرح هورنر:

فرض کنید باید یک چند جمله ای را بر یک دو جمله ای تقسیم کنیم x-2.

یک جدول با دو ردیف ایجاد می کنیم. در 1 خط ضرایب چند جمله ای خود را می نویسیم. در خط دوم ضرایب ضریب ناقص را طبق طرح زیر به دست می آوریم: ابتدا ضریب پیشرو این چند جمله ای را بازنویسی می کنیم، سپس برای به دست آوردن ضریب بعدی، آخرین ضریب پیدا شده را در ضرب می کنیم. a=2و با ضریب متناظر چند جمله ای جمع کنید F(x). آخرین ضریب باقیمانده و همه ضرایب قبلی ضرایب ضریب ناقص خواهند بود.

یک عدد ریشه یک چند جمله ای است اگر و فقط اگر بر آن بخش پذیر باشد

اجازه دهید _ ریشه چند جمله ای باشد، i.e. بیایید تقسیم بر، جایی که درجه کمتر از درجه است، که برابر است، بنابراین، درجه برابر است، i.e. . به معنی، . از آنجایی که از آخرین برابری بر می آید که i.e. .

برعکس، بگذارید تقسیم کند، یعنی. . سپس.

نتیجه.باقيمانده هنگام تقسيم چند جمله اي برابر است.

چند جمله ای های درجه یک را چند جمله ای خطی می گویند. قضیه بزوت نشان می دهد که یافتن ریشه های یک چند جمله ای معادل یافتن مقسوم علیه های خطی آن با ضریب پیشرو 1 است.

یک چند جمله ای را می توان با استفاده از الگوریتم تقسیم با باقیمانده به چند جمله ای خطی تقسیم کرد، اما موارد بیشتری وجود دارد. راه راحتتقسیم، معروف به طرح هورنر.

بگذار و بگذار، کجا. مقایسه ضرایب برای همان درجات مجهول با سمت چپ و قطعات سمت راستآخرین برابری، داریم:

اگر عددی تقسیم شود اما دیگر تقسیم نشود، ریشه تعدد چند جمله ای نامیده می شود.

برای بررسی اینکه آیا یک عدد ریشه یک چند جمله ای خواهد بود و چند جمله ای آن چقدر است، می توانید از طرح هورنر استفاده کنید. ابتدا بر تقسیم می شود، سپس اگر باقیمانده صفر باشد، ضریب حاصل تقسیم بر و غیره می شود. تا زمانی که تعادل غیر صفر به دست آید.

تعداد ریشه های مختلف یک چند جمله ای از درجه آن تجاوز نمی کند.

قضیه اصلی زیر از اهمیت بالایی برخوردار است.

قضیه اصلی. هر چند جمله ای با ضرایب عددی درجه غیر صفر حداقل یک ریشه دارد (می تواند مختلط باشد).

نتیجه. هر چند جمله ای درجه در C (مجموعه اعداد مختلط) به اندازه درجه خود ریشه دارد و هر ریشه را به اندازه چند برابر آن می شماریم.

جایی که _ ریشه ها، یعنی. در مجموعه C، هر چند جمله ای به حاصلضرب عوامل خطی تجزیه می شود. اگر عوامل یکسان در کنار هم قرار گیرند، آنگاه:

جایی که قبلاً ریشه های مختلف وجود دارد، _ تعدد ریشه.

اگر چند جمله ای با ضرایب واقعی یک ریشه داشته باشد، آنگاه آن عدد نیز یک ریشه است

این بدان معنی است که یک چند جمله ای با ضرایب واقعی دارای ریشه های پیچیده در جفت است.

نتیجه.چند جمله ای با ضرایب واقعی درجه فرد دارای تعداد فرد ریشه واقعی است.

Let and roots سپس بر و اما از y و no تقسیم می شود تقسیم کننده های مشترک، سپس به محصول تقسیم می شود.

بیانیه 2.یک چند جمله ای با ضرایب درجه واقعی همیشه بر روی مجموعه اعداد واقعی به حاصل ضرب چند جمله ای های خطی مربوط به ریشه های واقعی آن و چند جمله ای های درجه 2 مربوط به یک جفت ریشه مختلط مزدوج تجزیه می شود.

هنگام محاسبه انتگرال توابع گویا، باید یک کسر گویا را به عنوان مجموع ساده ترین ها نشان دهیم.

کسر گویا کسری است که در آن چند جمله‌ای با ضرایب واقعی و چند جمله‌ای هستند. کسری گویا را در صورتی که درجه صورت از درجه مخرج کمتر باشد، مناسب می نامند. اگر کسری گویا کسر مناسبی نباشد، با تقسیم صورت بر مخرج طبق قاعده تقسیم چندجمله‌ای، می‌توان آن را به شکلی که چند جمله‌ای هستند و چند جمله‌ای هستند نشان داد و کسر گویا مناسبی است.

لم 1.اگر کسر گویا مناسبی است و عدد ریشه واقعی تعدد چند جمله ای است، یعنی. و سپس یک عدد واقعی و یک چند جمله ای با ضرایب واقعی وجود دارد به طوری که کجا نیز یک کسری مناسب است.

در این مورد، به راحتی می توان نشان داد که عبارت حاصل یک کسری گویا با ضرایب واقعی است.

لم 2.اگر کسر گویا مناسبی است و عدد (و واقعی هستند) ریشه کثرت چند جمله ای است، یعنی. و، و اگر، پس اعداد حقیقی و و چند جمله ای با ضرایب واقعی وجود دارد به طوری که کجا نیز کسر مناسبی باشد.

کسرهای گویا، _ سه جمله ای با ضرایب حقیقی که ریشه واقعی ندارد، کسرهای ساده (یا ابتدایی) نامیده می شوند.

هر کسر گویا مناسب را می توان به روشی منحصر به فرد به عنوان مجموع کسرهای ساده نشان داد.

هنگام به دست آوردن چنین گسترشی در عمل، به اصطلاح روش ضرایب نامشخص راحت است. از موارد زیر تشکیل شده است:

· برای یک کسر معین، یک بسط نوشته می شود که در آن ضرایب مجهول در نظر گرفته می شوند.
· پس از این، هر دو طرف تساوی به یک مخرج مشترک تقلیل یافته و ضرایب چندجمله‌ای حاصل در صورت‌گر برابر می‌شوند.

علاوه بر این، اگر درجه چند جمله ای برابر باشد، پس از تقلیل به مخرج مشترک، چند جمله ای درجه به دست می آید، یعنی. چند جمله ای با ضرایب

تعداد مجهولات نیز برابر است با: .

بنابراین، سیستمی از معادلات با مجهولات به دست می آید. وجود یک راه حل برای این سیستم از قضیه فوق حاصل می شود.

شاید خواندن آن مفید باشد: