چرا میرایی نوسانی رخ می دهد؟ نوسانات میرا شده

اطلاعات عمومی

نوساناتحرکات یا فرآیندهایی که با تکرارپذیری خاصی در طول زمان مشخص می شوند نامیده می شوند. نوسانات نامیده می شود رایگان، اگر آنها به دلیل انرژی ارسال شده اولیه در غیاب بعدی تأثیرات خارجی بر روی سیستم نوسانی رخ دهند. ساده ترین نوع نوسانات نوسانات هارمونیک هستند - نوساناتی که در آن کمیت نوسانی در طول زمان مطابق با قانون سینوس یا کسینوس تغییر می کند.

معادله دیفرانسیل نوسانات هارمونیک به شکل زیر است:

که در آن کمیت نوسانی و فرکانس چرخه ای است.

راه حل این معادله است. در اینجا دامنه و فاز اولیه است.

فاز نوسان.

دامنه حداکثر مقدار یک کمیت نوسانی است.

دوره نوسان دوره زمانی است که حرکت بدن در طی آن تکرار می شود. مرحله نوسان در طول دوره افزایش می یابد. . ، - تعداد نوسانات.

فرکانس نوسان تعداد نوسانات کامل انجام شده در واحد زمان است. . . بر حسب هرتز (هرتز) اندازه گیری می شود.

فرکانس چرخه ای تعداد نوسانات انجام شده در ثانیه است. . واحد اندازه گیری

فاز نوسان کمیتی است که در زیر علامت کسینوس قرار دارد و وضعیت سیستم نوسانی را در هر زمان مشخص می کند.

مرحله اولیه - مرحله نوسانات در لحظه اولیه زمان. فاز و فاز اولیه با رادیان () اندازه گیری می شود.

نوسانات میرایی آزاد- نوساناتی که دامنه آنها در طول زمان به دلیل تلفات انرژی توسط سیستم نوسانی واقعی کاهش می یابد. ساده ترین مکانیسم برای کاهش انرژی ارتعاشی تبدیل آن به گرما در اثر اصطکاک در سیستم های نوسانی مکانیکی و همچنین تلفات اهمی و تابش انرژی الکترومغناطیسی در سیستم های نوسانی الکتریکی است.

- کاهش میرایی لگاریتمی.

بزرگی N eتعداد نوسانات انجام شده در طول زمان کاهش دامنه است هیک بار کاهش میرایی لگاریتمی یک مقدار ثابت برای یک سیستم نوسانی معین است.

برای توصیف یک سیستم نوسانی، از مفهوم فاکتور کیفیت استفاده می شود س، که برای مقادیر کوچک کاهش لگاریتمی برابر است با

ضریب کیفیت متناسب با تعداد نوسانات انجام شده توسط سیستم در زمان استراحت است.

تعیین ضریب اصطکاک با استفاده از آونگ درونی

اثبات نظری روش تعیین ضریب اصطکاک

آونگ مایل توپی است که از یک نخ بلند آویزان شده و روی صفحه شیبدار قرار دارد.

اگر توپ از موقعیت تعادل خود (محور O.O. 1) در زاویه a، و سپس رها کنید، سپس آونگ نوسان می کند. در این حالت، توپ در امتداد یک صفحه شیبدار نزدیک به موقعیت تعادل می غلتد (شکل 1، a). بین توپ و صفحه شیبدار نیروی اصطکاک غلتشی وجود خواهد داشت. در نتیجه نوسانات آونگ به تدریج محو می شود، یعنی کاهش دامنه نوسانات در طول زمان مشاهده می شود.

می توان فرض کرد که نیروی اصطکاک و ضریب اصطکاک غلتشی را می توان از روی میزان میرایی ارتعاش تعیین کرد.

اجازه دهید فرمولی را استخراج کنیم که کاهش دامنه نوسان را با ضریب اصطکاک غلتشی m مرتبط می کند. این کار انرژی کل توپ را کاهش می دهد. انرژی کل از انرژی های جنبشی و پتانسیل تشکیل شده است. در موقعیت هایی که آونگ حداکثر از موقعیت تعادل منحرف می شود، سرعت آن و در نتیجه انرژی جنبشی آن صفر است.

به این نقاط نقاط عطف می گویند. در آنها آونگ متوقف می شود، می چرخد و به عقب حرکت می کند. در لحظه چرخش، انرژی آونگ برابر با انرژی پتانسیل است، بنابراین، کاهش انرژی پتانسیل آونگ هنگام حرکت از یک نقطه عطف به نقطه دیگر برابر با کار نیروی اصطکاک در مسیر است. بین نقاط عطف

اجازه دهید الف- نقطه عطف (شکل 1، a). در این حالت، نخ آونگ با محور یک زاویه ایجاد می کند O.O. 1. اگر اصطکاک وجود نداشت، پس از نیمی از دوره، آونگ در نقطه قرار می گرفت ن، و زاویه انحراف برابر با a خواهد بود. اما به دلیل اصطکاک، توپ کمی به نقطه نمی رسد نو در نقطه ای متوقف می شود دراین نقطه عطف جدید خواهد بود. در این نقطه زاویه نخ بامحور O.O. 1 برابر خواهد بود. در طول نیمی از دوره، زاویه چرخش آونگ کاهش یافت. نقطه درکمی پایین تر از نقطه قرار دارد الف،و بنابراین انرژی پتانسیل آونگ در نقطه درکمتر از نقطه الفدر نتیجه، آونگ هنگام حرکت از نقطه، ارتفاع خود را از دست داد الفبه نقطه در.

بیایید ارتباط بین کاهش زاویه و کاهش ارتفاع را پیدا کنیم. برای این کار، نقاط را طرح ریزی می کنیم الفو بدر هر محور O.O. 1 (نگاه کنید به شکل 1، a). این نقطه ها خواهند بود الف 1 و ب 1 به ترتیب. بدیهی است که طول بخش الف 1 در 1

طول نخ کجاست

از آنجایی که محور O.O. 1 در یک زاویه نسبت به عمودی متمایل است، طرح ریزی بخش بر روی محور عمودی از دست دادن ارتفاع است (شکل 1، b):

در این حالت، تغییر در انرژی پتانسیل آونگ هنگام حرکت از موقعیت الفبه موقعیت دربرابر است با:

, (3)

کجا متر- جرم توپ؛

g- شتاب سقوط آزاد

بیایید کار انجام شده توسط نیروی اصطکاک را محاسبه کنیم.

نیروی اصطکاک با فرمول تعیین می شود:

مسیر طی شده توسط توپ در طول نیمی از دوره نوسان آونگ برابر با طول قوس است. AB:

کار انجام شده توسط نیروی اصطکاک در مسیر:

اما، بنابراین، با در نظر گرفتن معادلات (2)، (3)، (4) معلوم می شود

. (6)

بیان (6) با در نظر گرفتن این واقعیت که زاویه بسیار کوچک است (حدود 10-2 رادیان) به طور قابل توجهی ساده شده است. بنابراین، . اما به همین دلیل است.

بنابراین، فرمول (6) به شکل زیر است:

. (7)

از فرمول (7) مشخص می شود که از دست دادن زاویه در نیم دوره با ضریب اصطکاک m و زاویه a تعیین می شود. با این حال، می توان شرایطی را یافت که تحت آن a به زاویه بستگی ندارد. اجازه دهید در نظر بگیریم که ضریب اصطکاک نورد کوچک است (حدود 10 -3). اگر دامنه های نوسان آونگ a به اندازه کافی بزرگ را در نظر بگیریم، به طوری که سپس عبارت در مخرج فرمول (7) را می توان نادیده گرفت و سپس:

از طرف دیگر، اجازه دهید زاویه a آنقدر کوچک باشد که بتوانیم آن را فرض کنیم. سپس از دست دادن زاویه برای نیمی از دوره نوسان با فرمول تعیین می شود:

. (8)

فرمول (8) در صورتی معتبر است که:

. (9)

با توجه به اینکه m از مرتبه 2-10 است، نابرابری (9) با زوایای a از مرتبه 1-10-10-10-2 رادیان برآورده می شود.

بنابراین، در طول یک نوسان کامل، از دست دادن زاویه خواهد بود:

و برای nنوسانات - .

فرمول (10) می دهد راه راحتتعیین ضریب اصطکاک نورد. اندازه گیری کاهش زاویه Da ضروری است nبرای 10-15 نوسان، و سپس m را با استفاده از فرمول (10) محاسبه کنید.

در فرمول (10) مقدار Da بر حسب رادیان بیان می شود. برای استفاده از مقادیر Da در درجه، فرمول (10) باید اصلاح شود:

. (11)

بیایید معنای فیزیکی ضریب اصطکاک غلتشی را دریابیم. اجازه دهید ابتدا یک مشکل کلی تر را در نظر بگیریم. جرم توپ مترو ممان اینرسی من جنسبت به محوری که از مرکز جرم عبور می کند، در امتداد حرکت می کند سطح صاف(شکل 2).

برنج. 2

به سمت مرکز جرم سینیروی اعمال شده در امتداد محور گاو نرو تابعی از مختصات است x. نیروی اصطکاک از سطح روی بدن وارد می شود اف TR. اجازه دهید ممان اصطکاک حول محوری که از مرکز می گذرد، وارد شود سیتوپ، مساوی م TR.

معادلات حرکت توپ در این حالت به شکل زیر است:

; (12)

, (13)

کجا - سرعت مرکز جرم؛

w - سرعت زاویه ای.

در معادلات (12) و (13) چهار مجهول وجود دارد: ، w اف TR، م TR . به طور کلی، تکلیف تعریف نشده است.

بیایید فرض کنیم که:

1) بدن بدون لیز خوردن می غلتد. سپس:

کجا R-شعاع توپ؛

2) بدنه و صفحه کاملاً صلب هستند، یعنی. بدن تغییر شکل نمی دهد، اما در یک نقطه هواپیما را لمس می کند در مورد(تماس نقطه ای)، پس بین لحظه نیروی اصطکاک و نیروی اصطکاک رابطه وجود دارد:

. (15)

با در نظر گرفتن فرمول (14) و (15) از معادلات (12) و (13) عبارت نیروی اصطکاک را به دست می آوریم:

. (16)

عبارت (16) حاوی ضریب اصطکاک m نیست که تعیین می شود خواص فیزیکیسطوح تماس توپ و صفحه، مانند زبری، یا نوع موادی که توپ و صفحه از آن ساخته شده اند. این نتیجه نتیجه مستقیم ایده آل سازی پذیرفته شده منعکس شده توسط پیوندهای (14) و (15) است. علاوه بر این، به راحتی می توان نشان داد که در مدل اتخاذ شده، نیروی اصطکاک کار نمی کند. در واقع، اجازه دهید معادله (12) را در ضرب کنیم ، و معادله (13) - روی w. با توجه به اینکه

و با اضافه کردن عبارات (12) و (13)، به دست می آوریم

کجا دبلیو(x) - انرژی پتانسیل توپ در میدان نیرو اف(x). لازم به ذکر است که

اگر فرمول های (14) و (15) را در نظر بگیریم، سمت راست برابری (17) صفر می شود. در سمت چپ برابری (17) مشتق زمانی کل انرژی سیستم است که از انرژی جنبشی حرکت انتقالی توپ تشکیل شده است. , انرژی جنبشی حرکت چرخشی و انرژی بالقوه دبلیو(X). این بدان معنی است که انرژی کل سیستم یک مقدار ثابت است، یعنی. نیروی اصطکاک کار نمی کند.

بدیهی است که این نتیجه تا حدی عجیب نیز پیامد آرمان سازی پذیرفته شده است. این نشان می دهد که ایده آل سازی پذیرفته شده با واقعیت فیزیکی مطابقت ندارد. در واقع، همانطور که توپ حرکت می کند، با هواپیما تعامل می کند، بنابراین انرژی مکانیکی آن باید کاهش یابد، به این معنی که اتصالات (14) و (15) تنها تا حدی می توانند صادق باشند که بتوان از اتلاف انرژی صرف نظر کرد.

کاملاً واضح است که در در این موردچنین ایده آل سازی را نمی توان پذیرفت، زیرا هدف ما تعیین ضریب اصطکاک از تغییر انرژی آونگ است. بنابراین فرض صلبیت مطلق توپ و سطح را منصفانه و در نتیجه اتصال (15) را منصفانه می دانیم. با این حال، اجازه دهید این فرض را که توپ بدون لغزش حرکت می کند، کنار بگذاریم. لغزش جزئی را در نظر می گیریم.

اجازه دهید سرعت نقاط تماس (نقطه O در شکل 2) توپ (سرعت لغزش):

. (19)

سپس به جای معادله (17) و با در نظر گرفتن شرایط (15) و (20) به معادله می رسیم:

, (21)

که از آن مشخص است که سرعت اتلاف انرژی برابر با قدرت نیروی اصطکاک است. نتیجه کاملا طبیعی است، زیرا ... یک جسم با سرعت در امتداد یک سطح می لغزد و،یک نیروی اصطکاک بر روی آن وارد می شود و کار انجام می دهد که در نتیجه انرژی کل سیستم کاهش می یابد.

با انجام تمایز در رابطه (21) و با در نظر گرفتن رابطه (18)، معادله حرکت مرکز جرم توپ را بدست می آوریم:

. (22)

شبیه معادله حرکت یک نقطه مادی با جرم است:

, (23)

تحت تأثیر نیروی خارجی افو نیروهای اصطکاک غلتشی:

علاوه بر این، اف TP نیروی اصطکاک لغزشی معمول است. در نتیجه، هنگامی که یک توپ می غلتد، نیروی اصطکاک مؤثر، که نیروی اصطکاک غلتشی نامیده می شود، صرفاً نیروی اصطکاک لغزشی معمولی ضرب در نسبت سرعت لغزش به سرعت مرکز جرم بدن است. در عمل، اغلب موردی مشاهده می شود که نیروی اصطکاک غلتشی به سرعت بدنه بستگی ندارد.

ظاهرا، در این مورد نرخ لغزش ومتناسب با سرعت بدن:

در سیستم های نوسانی واقعی، علاوه بر نیروهای شبه الاستیک، نیروهای مقاومتی محیط نیز وجود دارد. وجود نیروهای اصطکاک منجر به اتلاف انرژی و کاهش دامنه ارتعاشات می شود. با کاهش سرعت حرکت، نیروهای اصطکاک دوره را افزایش می دهند، یعنی. فرکانس نوسان را کاهش می دهد. چنین نوساناتی هارمونیک نخواهند بود.

نوسانات با دامنه کاهش پیوسته در طول زمان به دلیل اتلاف انرژی نامیده می شوند محو شدن . در سرعت های به اندازه کافی کم، نیروی اصطکاک متناسب با سرعت بدن است و بر خلاف حرکت است.

که r ضریب اصطکاک است، بسته به خواص محیط، شکل و اندازه جسم متحرک. معادله دیفرانسیل نوسانات میرا در حضور نیروهای اصطکاک به شکل زیر خواهد بود:

یا
(21)

کجا
- ضریب تضعیف،

- فرکانس دایره ای طبیعی ارتعاشات آزاد در غیاب نیروهای اصطکاک.

حل کلی معادله (21) در مورد میرایی های کوچک (
) است:

تفاوت آن با هارمونیک (8) در این است که دامنه نوسانات:

(23)

تابع کاهشی زمان و فرکانس دایره ای است مربوط به فرکانس طبیعی و ضریب تضعیف نسبت:

. (24)

دوره نوسانات میرا برابر است با:

. (25)

وابستگی جابجایی X به نوسانات میرا در شکل 4 نشان داده شده است.

سی درجه کاهش دامنه توسط ضریب تضعیف تعیین می شود .

در طول زمان
دامنه (23) 2.72 برابر e ≈ کاهش می یابد. وقت آن است میرایی طبیعی نامیده می شود زمان استراحت. بنابراین، ضریب میرایی متقابل زمان آرامش است:

.(26)

نرخ کاهش در دامنه نوسانات مشخص می شود کاهش میرایی لگاریتمی. فرض کنید A(t) و A(t+T) دامنه دو نوسان متوالی متناظر با لحظه هایی در زمان باشد که یک دوره با هم تفاوت دارند. سپس رابطه:

(27)

تماس گرفت کاهش میرایی، که نشان می دهد که دامنه نوسانات در یک زمان برابر با دوره چند بار کاهش می یابد. لگاریتم طبیعی این نسبت:

(28)

کاهش میرایی لگاریتمی نامیده می شود. در اینجا، N e تعداد نوسانات انجام شده در طول زمانی است که دامنه به میزان e بار کاهش می یابد، یعنی. در زمان استراحت

بنابراین، کاهش میرایی لگاریتمی، متقابل تعداد نوسانات است، پس از آن دامنه نوسانات با ضریب e کاهش می یابد.

میزان کاهش انرژی سیستم نوسانی با ضریب کیفیت Q مشخص می شود. فاکتور کیفیت سیستم نوسانی- مقداری متناسب با نسبت کل انرژی E(t) سیستم نوسانی به انرژی (- E)، از دست رفته در دوره T:

(29)

انرژی کل سیستم نوسانی در یک لحظه دلخواه از زمان و برای هر مقدار X به شکل زیر است:

(30)

از آنجایی که انرژی با مجذور دامنه متناسب است، انرژی نوسانات میرا شده متناسب با قدر کاهش می یابد.
، می توانید بنویسید:

. (31)

سپس طبق تعریف، عبارت ضریب کیفیت سیستم نوسانی به صورت زیر خواهد بود:

در اینجا در نظر گرفته شده است که برای میرایی های کوچک (1): 1 -2   2.

در نتیجه، ضریب کیفیت متناسب با تعداد نوسانات N e انجام شده توسط سیستم در طول زمان آرامش است.

ضریب کیفیت سیستم های نوسانی می تواند بسیار متفاوت باشد، به عنوان مثال، ضریب کیفیت یک آونگ فیزیکی Q~ 10 2 است و ضریب کیفیت یک اتم، که یک سیستم نوسانی نیز هست، به Q~ 10 8 می رسد.

در نتیجه، توجه می کنیم که با ضریب میرایی β = ω 0، دوره بی نهایت T = ∞ (میرایی بحرانی) می شود. با افزایش بیشتر β، دوره T خیالی می شود و تضعیف حرکت بدون نوسان، همانطور که می گویند، به صورت دوره ای اتفاق می افتد. این حالت حرکت در شکل 5 نشان داده شده است. تضعیف بحرانی (آرامش) پس از آن رخ می دهد حداقل زمانو در ابزارهای اندازه گیری مانند گالوانومترهای بالستیک مهم است .

در اجبارینوسانات و طنین

اگر بر جسمی با جرم m نیروی الاستیک F y = -kX وارد شود، نیروی اصطکاک
و نیروی تناوبی خارجی
، سپس نوسانات اجباری را انجام می دهد. در این حالت معادله دیفرانسیل حرکت به شکل زیر است:

کجا
,
- ضریب تضعیف،
- فرکانس طبیعی نوسانات آزاد نشده بدن، F 0 - دامنه، ω - فرکانس نیروی تناوبی.

در لحظه اولیه زمان، کار نیروی خارجی بیش از انرژی است که صرف اصطکاک می شود (شکل 6). انرژی و دامنه ارتعاشات بدن افزایش می یابد تا زمانی که تمام انرژی وارد شده توسط نیروی خارجی به طور کامل صرف غلبه بر اصطکاک شود که متناسب با سرعت است. بنابراین تعادلی برقرار می شود که در آن مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل ثابت است. این وضعیت وضعیت ثابت سیستم را مشخص می کند.

در این حالت حرکت جسم با فرکانس معادل فرکانس تحریک خارجی هارمونیک خواهد بود، اما به دلیل اینرسی جسم، نوسانات آن نسبت به مقدار لحظه ای تناوبی خارجی در فاز جابه جا می شود. زور:

X = ACos (ωt + φ). (34)

برخلاف نوسانات آزاد، دامنه A و فاز  نوسانات اجباری به شرایط اولیه حرکت بستگی ندارد، بلکه تنها با ویژگی های سیستم نوسان، دامنه و فرکانس نیروی محرکه تعیین می شود:

, (35)

. (36)

مشاهده می شود که دامنه و تغییر فاز به فرکانس نیروی محرکه بستگی دارد (شکل 7، 8).

ویژگی مشخصه نوسانات اجباری وجود تشدید است. پدیده افزایش شدید دامنه نوسانات اجباری با نزدیک شدن فرکانس نیروی محرکه به فرکانس طبیعی نوسانات بدون میرای آزاد بدن ω 0 نامیده می شود. رزونانس مکانیکی . دامنه نوسانات بدن در فرکانس تشدید
به حداکثر مقدار خود می رسد:

(37)

در مورد منحنی های تشدید (نگاه کنید به شکل 7)، ما نظرات زیر را بیان می کنیم. اگر ω← 0 باشد، تمام منحنی ها (نگاه کنید به (35)) به یک مقدار حدی غیر صفر می رسند.
، به اصطلاح انحراف آماری. اگر ω→ ∞، تمام منحنی ها به طور مجانبی به سمت صفر میل می کنند.

در شرایط میرایی کم (β 2 ‹‹ω 0 2)، دامنه تشدید (نگاه کنید به (37))

(37a)

تحت این شرایط، نسبت جابجایی رزونانس به انحراف استاتیک را در نظر می گیریم:

که از آن واضح است که افزایش نسبی در دامنه نوسانات در رزونانس توسط فاکتور کیفیت سیستم نوسانی تعیین می شود. در اینجا، عامل کیفیت، در اصل، عامل افزایش پاسخ است
سیستم ها و با میرایی کم می توانند به مقادیر زیادی برسند.

این شرایط اهمیت بسیار زیاد پدیده رزونانس را در فیزیک و فناوری تعیین می کند. اگر بخواهند ارتعاشات را تقویت کنند، به عنوان مثال، در آکوستیک - برای تقویت صدای آلات موسیقی، در مهندسی رادیو - برای جدا کردن سیگنال مورد نظر از بسیاری دیگر که در فرکانس متفاوت هستند، استفاده می شود. اگر رزونانس می تواند منجر به افزایش نامطلوب در نوسانات شود، از سیستمی با ضریب کیفیت پایین استفاده کنید.

نوسانات مرتبط

منبع نیروی تناوبی خارجی می تواند یک سیستم نوسانی دوم باشد که به طور الاستیک به سیستم اول متصل است. هر دو سیستم نوسانی می توانند بر روی یکدیگر عمل کنند. بنابراین، برای مثال، مورد دو آونگ متصل (شکل 9).

این سیستم می تواند هم نوسانات درون فاز (شکل 9b) و هم نوسانات ضد فاز (شکل 9c) را انجام دهد. این گونه نوسانات نوع نرمال یا حالت عادی نوسانات نامیده می شود و با فرکانس نرمال خود مشخص می شوند. با نوسانات درون فاز، جابجایی آونگ ها در همه زمان ها X 1 = X 2 و فرکانس ω 1 دقیقاً مشابه فرکانس یک آونگ منفرد است.
. این با این واقعیت توضیح داده می شود که فنر نور در حالت آزاد است و هیچ تأثیری در حرکت ندارد. با نوسانات ضد فاز در همه زمان ها - X 1 = X 2. فرکانس این گونه نوسانات بیشتر و برابر است
، از آنجایی که فنر که دارای سختی k است و اتصال را انجام می دهد، همیشه در حالت کشیده یا فشرده است.

L
هر حالتی از سیستم جفت شده ما، از جمله جابجایی اولیه X (شکل 9a)، می تواند به صورت برهم نهی از دو حالت عادی نمایش داده شود:

اگر سیستم را از حالت اولیه X 1 = 0 در حرکت قرار دهید،
، X 2 = 2A،
,

سپس جابجایی آونگ ها با عبارات زیر توضیح داده می شود:

در شکل شکل 10 تغییر در جابجایی تک تک آونگ ها را در طول زمان نشان می دهد.

فرکانس نوسان آونگ ها برابر است با فرکانس متوسط دو حالت عادی:

, (39)

و دامنه آنها مطابق قانون یک سینوسی یا مخروط با فرکانس کمتر برابر با نصف اختلاف فرکانس حالت های عادی تغییر می کند:

. (40)

تغییر آهسته دامنه با فرکانس برابر با نصف اختلاف فرکانس حالت های معمولی نامیده می شود. “ می زند ” دو نوسان با فرکانس تقریباً یکسان. فرکانس "ضربه" برابر است با اختلاف فرکانس ω 1 - ω 2 (و نه نیمی از این تفاوت)، زیرا حداکثر دامنه 2A دو بار در طول دوره مربوط به فرکانس به دست می آید.

بنابراین دوره ضرب برابر است با:

(41)

هنگام ضرب و شتم، انرژی بین آونگ ها مبادله می شود. با این حال، تبادل کامل انرژی تنها زمانی امکان پذیر است که هر دو جرم یکسان باشند و نسبت (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) برابر با یک عدد صحیح باشد. یک نکته قابل توجه است نکته مهم: اگرچه آونگ های منفرد می توانند انرژی تبادل کنند، اما بین حالت های عادی تبادل انرژی وجود ندارد.

وجود چنین سیستم های نوسانی که با یکدیگر تعامل دارند و قادر به انتقال انرژی خود به یکدیگر هستند، اساس حرکت موج را تشکیل می دهد.

یک جسم نوسانی که در یک محیط الاستیک قرار می گیرد، ذرات محیط مجاور خود را با خود حمل می کند و به حرکت نوسانی می پردازد. به دلیل وجود پیوندهای الاستیک بین ذرات، ارتعاشات با سرعت مشخصه یک محیط معین در سراسر محیط منتشر می شوند.

فرآیند انتشار ارتعاشات در یک محیط الاستیک نامیده می شود موج .

دو نوع اصلی امواج وجود دارد: طولی و عرضی. در امواج طولیذرات محیط در جهت انتشار موج در نوسان هستند و در عرضی- عمود بر جهت انتشار موج. انتشار موج عرضی در هر محیط کشسان امکان پذیر نیست. موج الاستیک عرضی فقط در محیط هایی که تغییر شکل برشی الاستیک در آن رخ می دهد امکان پذیر است. به عنوان مثال، تنها امواج الاستیک طولی (صوت) در گازها و مایعات منتشر می شوند.

مکان هندسی نقاطی در محیطی که نوسان در یک نقطه زمانی معین به آن رسیده است نامیده می شود. جبهه موج . جبهه موج بخشی از فضا را که قبلاً درگیر فرآیند موج است از ناحیه ای که در آن نوسانات هنوز رخ نداده است جدا می کند. بسته به شکل جلو، امواج به صفحه، کروی، استوانه ای و غیره تقسیم می شوند.

معادله یک موج مسطح که بدون تلفات در یک محیط همگن منتشر می شود به شکل زیر است:
, (42)

جایی که ξ(X,t) جابجایی ذرات محیط با مختصات X از موقعیت تعادل در زمان t است، A دامنه است،
- فاز موج،
- فرکانس دایره ای نوسان ذرات محیط، v - سرعت انتشار موج.

طول موج λ فاصله بین نقاط در حال نوسان با اختلاف فاز 2π است، به عبارت دیگر، طول موج مسیری است که هر فاز از موج در طول یک دوره نوسان طی می کند:

سرعت فاز، یعنی سرعت انتشار این فاز:

λ/T (44)

عدد موج - تعداد طول موج هایی که در طول 2π واحد قرار می گیرند:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

جایگزینی این نمادها در (42)، معادله هواپیما در حال حرکت موج تک رنگرا می توان به صورت زیر نشان داد:

(46)

توجه داشته باشید که معادله موج (46) تناوب دوگانه را در مختصات و زمان نشان می دهد. در واقع، زمانی که مختصات با λ تغییر می کند و زمانی که زمان بر اساس دوره T تغییر می کند، مراحل نوسانات منطبق می شوند. بنابراین، به تصویر کشیدن یک موج در یک صفحه غیرممکن است. اغلب زمان t ثبت می شود و وابستگی جابجایی ξ به مختصات X در نمودار ارائه می شود، یعنی. توزیع لحظه ای جابجایی ذرات متوسط در جهت انتشار موج (شکل 11). اختلاف فاز Δφ نوسانات نقاط در محیط به فاصله ΔХ = Х 2 – Х 1 بین این نقاط بستگی دارد:

(47)

اگر موج بر خلاف جهت X منتشر شود، معادله موج عقب به صورت زیر نوشته می شود:

ξ (X,t) = АCos(ωt + kX). (48)

امواج ایستاده نتیجه است نوع خاصتداخل موج آنها از برهم نهی دو موج سیار که به سمت یکدیگر با فرکانس ها و دامنه های یکسان منتشر می شوند تشکیل می شوند.

معادلات دو موج مسطح که در امتداد محور X در جهت مخالف منتشر می شوند عبارتند از:

ξ 1 =ASos(ωt – kX)

ξ 2 = ACos(ωt + kX). (49)

با جمع کردن این معادلات با استفاده از فرمول مجموع کسینوس ها و با در نظر گرفتن k = 2π / λ، معادله موج ایستاده به دست می آید:

. (50)

ضریب Cos ωt نشان می دهد که در نقاطی از محیط، نوسانی با همان فرکانس ω با دامنه رخ می دهد.
بسته به مختصات X نقطه مورد نظر. در نقاطی از محیط که:
, (51)

دامنه نوسانات به حداکثر مقدار 2A می رسد. این نقاط نامیده می شوند آنتی گره ها.

از عبارت (51) می توانید مختصات آنتی گره ها را پیدا کنید:
(52)

در نقاطی که
(53) دامنه نوسانات صفر می شود. این نقاط نامیده می شوند گره ها.

مختصات گره:
. (54)

آر فاصله بین آنتی گره های همسایه و گره های همسایه یکسان و برابر λ/2 است. فاصله بین یک گره و یک آنتی گره مجاور λ / 4 است. هنگام عبور از یک گره، ضریب
تغییر علامت می دهد، بنابراین فازهای نوسانات در طرف مقابل گره با π متفاوت است، یعنی. نقاطی که در طرف مقابل گره قرار دارند در پادفاز نوسان می کنند. نقاط بین دو گره مجاور با دامنه های مختلف، اما با فازهای یکسان، نوسان می کنند.

توزیع گره ها و پادگره ها در یک موج ایستاده بستگی به شرایطی دارد که در سطح مشترک بین دو محیطی که بازتاب از آن رخ می دهد، رخ می دهد. اگر موج از محیط متراکم تری منعکس شود، فاز نوسانات در محل انعکاس موج به سمت مخالف تغییر می کند یا به قول خودشان نیمی از موج از بین می رود. بنابراین، در نتیجه اضافه شدن نوسانات در جهت مخالف، جابجایی در مرز صفر است، یعنی. یک گره رخ می دهد (شکل 12). هنگامی که یک موج از مرز یک محیط کمتر چگال منعکس می شود، فاز نوسانات در محل بازتاب بدون تغییر باقی می ماند و نوسانات با همان فازها در مرز جمع می شوند - یک پادگره به دست می آید.

در موج ایستاده نه حرکت فاز، نه انتشار موج، نه انتقال انرژی وجود دارد، به همین دلیل نام این نوع موج تداعی می شود.

1.21. نوسانات 3 میرایی، اجباری

معادله دیفرانسیل نوسانات میرا شده و حل آن. ضریب تضعیف. عرشه لگاریتمیزمان میراییفاکتور کیفیت نوسانسیستم بدنفرآیند غیر پریودیک معادله دیفرانسیل نوسانات اجباری و حل آن.دامنه و فاز نوسانات اجباری. فرآیند ایجاد نوسانات. مورد رزونانس.نوسانات خود

میرایی نوسانات، کاهش تدریجی دامنه نوسانات در طول زمان، به دلیل از دست دادن انرژی توسط سیستم نوسانی است.

نوسانات طبیعی بدون میرایی یک ایده آل سازی است. دلایل کاهش ممکن است متفاوت باشد. در یک سیستم مکانیکی، ارتعاشات با وجود اصطکاک میرا می شوند. وقتی تمام انرژی ذخیره شده در سیستم نوسانی تمام شود، نوسانات متوقف می شوند. بنابراین دامنه نوسانات میرا شده کاهش می یابد تا مساوی صفر شود.

نوسانات میرایی، مانند نوسانات طبیعی، در سیستم هایی که ماهیت متفاوتی دارند، می توانند از یک دیدگاه واحد در نظر گرفته شوند - ویژگی های مشترک. با این حال، چنین ویژگی هایی مانند دامنه و دوره نیاز به تعریف مجدد دارند، و سایر ویژگی ها در مقایسه با ویژگی های مشابه برای نوسانات بدون میر طبیعی نیاز به اضافه و شفاف سازی دارند. ویژگی ها و مفاهیم کلی نوسانات میرا به شرح زیر است:

معادله دیفرانسیل باید با در نظر گرفتن کاهش انرژی ارتعاشی در طول فرآیند نوسان به دست آید.

معادله نوسان حل معادله دیفرانسیل است.

دامنه نوسانات میرایی به زمان بستگی دارد.

فرکانس و دوره به درجه تضعیف نوسانات بستگی دارد.

فاز و فاز اولیه همان معنای نوسانات پیوسته را دارند.

نوسانات میرایی مکانیکی.

سیستم مکانیکی : آونگ فنری با در نظر گرفتن نیروهای اصطکاک.

نیروهایی که بر روی یک آونگ عمل می کنند :

نیروی الاستیک.، جایی که k ضریب سختی فنر است، x جابجایی آونگ از موقعیت تعادل است.

نیروی مقاومت. اجازه دهید نیروی مقاومت را متناسب با سرعت v حرکت در نظر بگیریم (این وابستگی معمولی است کلاس بزرگنیروهای مقاومت): . علامت منفی نشان می دهد که جهت نیروی مقاومت مخالف جهت سرعت بدنه است. ضریب پسا r از نظر عددی برابر با نیروی پسا است که در سرعت واحد حرکت بدن ایجاد می شود:

قانون حرکت آونگ فنری - این قانون دوم نیوتن است:

متر الف = افسابق + افمقاومت

با توجه به اینکه هر دو ، قانون دوم نیوتن را به شکل زیر می نویسیم:

. (21.1)

تقسیم تمام عبارات معادله بر m، انتقال همه آنها به سمت راست، دریافت می کنیم معادله دیفرانسیل نوسانات میرا:

اجازه دهید مشخص کنیم کجا β – ضریب میرایی ، ، کجا ω 0 - فراوانی نوسانات آزاد بدون میرا در غیاب تلفات انرژی در سیستم نوسانی.

در نماد جدید، معادله دیفرانسیل نوسانات میرا به شکل زیر است:

. (21.2)

این یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم است.

این معادله دیفرانسیل خطی با تغییر متغیرها حل می شود. اجازه دهید تابع x را بسته به زمان t به شکل زیر نمایش دهیم:

بیایید مشتق اول و دوم این تابع را به عنوان تابعی از زمان پیدا کنیم، با توجه به اینکه تابع z نیز تابعی از زمان است:

, .

بیایید عبارات را در معادله دیفرانسیل جایگزین کنیم:

بیایید عبارات مشابه را در معادله ارائه کنیم و هر جمله را کاهش دهیم، معادله را بدست می آوریم:

اجازه دهید مقدار را نشان دهیم .

حل معادله توابع هستند، .

با بازگشت به متغیر x، فرمول های معادلات نوسانات میرایی را به دست می آوریم:

بنابراین ، معادله نوسانات میرا شدهراه حلی برای معادله دیفرانسیل (21.2) است:

فرکانس میرایی :

(بنابراین فقط ریشه واقعی معنای فیزیکی دارد).

دوره نوسانات میرا شده :

(21.5)

معنایی که در مفهوم دوره برای نوسانات بدون میرا قرار داده شده است برای نوسانات میرا مناسب نیست، زیرا سیستم نوسانی به دلیل از دست دادن انرژی نوسانی هرگز به حالت اولیه خود باز نمی گردد. در صورت وجود اصطکاک، ارتعاشات کندتر می شوند: .

دوره نوسانات میرا شده حداقل دوره زمانی است که در طی آن سیستم دو بار در یک جهت از موقعیت تعادل عبور می کند.

برای سیستم مکانیکی آونگ فنری داریم:

, .

دامنه نوسانات میرا شده :

برای آونگ فنری.

دامنه نوسانات میرایی یک مقدار ثابت نیست، اما در طول زمان تغییر می کند، هر چه ضریب β بزرگتر باشد. بنابراین، تعریف دامنه، که قبلاً برای نوسانات آزاد بدون میرا ارائه شد، باید برای نوسانات میرا تغییر یابد.

برای تضعیف های کوچک دامنه نوسانات میرا شده بزرگترین انحراف از موقعیت تعادل در یک دوره نامیده می شود.

نمودارها نمودارهای جابجایی در مقابل زمان و دامنه در برابر زمان در شکل های 21.1 و 21.2 ارائه شده است.

شکل 21.1 - وابستگی جابجایی به زمان برای نوسانات میرا شده.

شکل 21.2 - وابستگی دامنه به زمان برای نوسانات میرا شده

ویژگی های نوسانات میرا شده.

1. ضریب تضعیف β .

دامنه نوسانات میرایی طبق قانون نمایی تغییر می کند:

بگذارید دامنه نوسان در طول زمان τ «e» بار کاهش یابد («e» پایه لگاریتم طبیعی است، e ≈ 2.718). سپس، از یک سو، ، و از طرف دیگر با توصیف دامنه های A zat. (t) و A zat. (t+τ)، داریم . از این روابط آن را به دنبال βτ = 1، از این رو.

تایم لپس τ ، که در طی آن دامنه به میزان "e" کاهش می یابد، زمان آرامش نامیده می شود.

ضریب تضعیف β - مقداری که با زمان استراحت نسبت معکوس دارد.

2. کاهش میرایی لگاریتمی δ - یک کمیت فیزیکی از نظر عددی برابر با لگاریتم طبیعی نسبت دو دامنه متوالی که در زمان با یک دوره از هم جدا شده اند.

اگر تضعیف کوچک باشد، یعنی. مقدار β کوچک است، سپس دامنه کمی در طول دوره تغییر می کند، و کاهش لگاریتمی را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

زات کجاست (t) و A zat. (t + NT) - دامنه نوسانات در زمان e و بعد از دوره N، یعنی در زمان (t + NT).

3. فاکتور کیفیت س سیستم نوسانی - یک کمیت فیزیکی بدون بعد برابر با حاصل ضرب کمیت (2π) ν و نسبت انرژی W(t) سیستم در یک لحظه دلخواه از زمان به اتلاف انرژی در یک دوره نوسانات میرا شده:

از آنجایی که انرژی با مربع دامنه متناسب است، پس

برای مقادیر کوچک کاهش لگاریتمی δ، ضریب کیفیت سیستم نوسانی برابر است با

که در آن N e تعداد نوساناتی است که در طی آن دامنه به اندازه "e" بار کاهش می یابد.

بنابراین، ضریب کیفیت یک آونگ فنری هر چه ضریب کیفیت سیستم نوسانی بیشتر باشد، میرایی کمتر، روند دوره ای در چنین سیستمی طولانی تر خواهد بود. فاکتور کیفیت سیستم نوسانی -یک کمیت بدون بعد که مشخصه اتلاف انرژی در طول زمان است.

4. با افزایش ضریب β، فرکانس نوسانات میرا کاهش یافته و دوره افزایش می یابد. در ω 0 = β، فرکانس نوسانات میرا برابر با صفر ω zat می شود. = 0 و T zat. = ∞. در این حالت نوسانات شخصیت تناوبی خود را از دست می دهند و فراخوانی می شوند

غیر پریودیک در ω 0 = β، پارامترهای سیستم مسئول کاهش انرژی ارتعاشی مقادیری به نام . انتقادی برای آونگ فنری، شرط ω 0 = β به صورت زیر نوشته می شود: از آنجا مقدار را پیدا می کنیم.

ضریب مقاومت بحرانی:

برنج. 21.3. وابستگی دامنه نوسانات متناوب به زمان

ارتعاشات اجباری

تمام نوسانات واقعی میرا می شوند. برای اینکه نوسانات واقعی به اندازه کافی طولانی اتفاق بیفتند، لازم است که انرژی سیستم نوسانی را به طور دوره ای با اعمال یک نیروی خارجی در حال تغییر دوره ای دوباره پر کنید. اجازه دهید پدیده نوسانات را در صورت خارجی در نظر بگیریم (اجبار کردن) طبق قانون هارمونیک نیرو با گذشت زمان تغییر می کند. در این حالت، نوساناتی در سیستم ها به وجود می آید که ماهیت آنها به یک درجه یا دیگری ماهیت نیروی محرکه را تکرار می کند. چنین نوساناتی نامیده می شود .

مجبور شد

علائم کلی ارتعاشات مکانیکی اجباری (1. اجازه دهید نوسانات مکانیکی اجباری یک آونگ فنری را در نظر بگیریم که توسط یک دستگاه خارجی بر روی آن اثر می گذارد. ) قانع کننده نیروی دوره ای

قانون حرکت . نیروهایی که روی آونگ وارد می شوند، پس از حذف از موقعیت تعادلی آن، در خود سیستم نوسانی ایجاد می شوند. اینها نیروی الاستیک و نیروی مقاومت هستند.

(21.6)

بیایید هر دو طرف معادله را بر m تقسیم کنیم، آن را در نظر بگیریم و بدست آوریم معادله دیفرانسیل نوسانات اجباری:

بیایید نشان دهیم ( β – ضریب میرایی ) (ω 0 – فرکانس نوسانات آزاد بدون میرا)، نیروی وارد بر یک واحد جرم. در این نمادها معادله دیفرانسیل نوسانات اجباری به شکل زیر خواهد بود:

(21.7)

این یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با سمت راست غیر صفر است. راه حل چنین معادله ای از مجموع دو راه حل است

- حل کلی یک معادله دیفرانسیل همگن، یعنی. معادله دیفرانسیل بدون سمت راست وقتی که برابر با صفر باشد. ما چنین راه حلی را می دانیم - این معادله نوسانات میرا شده است که با دقت یک ثابت نوشته شده است که مقدار آن با شرایط اولیه سیستم نوسانی تعیین می شود:

قبلاً بحث کردیم که راه حل را می توان بر حسب توابع سینوسی نوشت.

اگر فرآیند نوسان آونگ را پس از مدت زمان کافی Δt پس از روشن کردن نیروی محرکه در نظر بگیریم (شکل 21.2)، نوسانات میرا در سیستم عملا متوقف می شوند. و سپس راه حل معادله دیفرانسیل با سمت راست راه حل خواهد بود.

راه حل یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل ناهمگن است، یعنی. معادلات با سمت راست از تئوری معادلات دیفرانسیل مشخص می شود که با تغییر سمت راست مطابق با قانون هارمونیک، جواب یک تابع هارمونیک (سین یا cos) با فرکانس تغییر متناظر با فرکانس Ω تغییر سمت راست خواهد بود. -سمت دست:

که در آن Ampl. - دامنه نوسانات اجباری، φ 0 - تغییر فاز , آن ها اختلاف فاز بین فاز نیروی محرکه و فاز نوسان اجباری. و دامنه Ampl. و تغییر فاز φ 0 به پارامترهای سیستم (β، ω 0) و فرکانس نیروی محرکه Ω بستگی دارد.

دوره نوسانات اجباری برابر است (21.9)

نمودار ارتعاشات اجباری در شکل 4.1.

شکل 21.3. نمودار نوسان اجباری

نوسانات اجباری حالت پایدار نیز هارمونیک هستند.

وابستگی دامنه نوسانات اجباری و تغییر فاز به فرکانس تأثیر خارجی. رزونانس.

1. اجازه دهید به سیستم مکانیکی یک آونگ فنری برگردیم که توسط یک نیروی خارجی که بر اساس یک قانون هارمونیک تغییر می کند، بر روی آن اثر می گذارد. برای چنین سیستمی معادله دیفرانسیل و حل آن به ترتیب به شکل زیر است:

, .

بیایید وابستگی دامنه نوسان و تغییر فاز را به فرکانس نیروی محرکه خارجی تجزیه و تحلیل کنیم، مشتقات اول و دوم x را پیدا کرده و آنها را در معادله دیفرانسیل جایگزین می کنیم.

بیایید از روش نمودار برداری استفاده کنیم. معادله نشان می دهد که مجموع سه ارتعاش سمت چپ معادله (شکل 4.1) باید برابر با ارتعاش سمت راست باشد. نمودار برداری برای یک لحظه دلخواه از زمان t ساخته شده است. از آن می توانید تعیین کنید.

شکل 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

با در نظر گرفتن مقدار،، فرمول هایی برای φ 0 و Ampl به دست می آوریم. سیستم مکانیکی:

2. ما وابستگی دامنه نوسانات اجباری را به فرکانس نیروی محرکه و بزرگی نیروی مقاومت در یک سیستم مکانیکی نوسانی مطالعه می کنیم، با استفاده از این داده ها یک نمودار می سازیم. . نتایج مطالعه در شکل 21.5 منعکس شده است که نشان می دهد در یک فرکانس نیروی محرکه معین دامنه نوسانات به شدت افزایش می یابد. و این افزایش بیشتر است، هر چه ضریب تضعیف β کمتر باشد. وقتی دامنه نوسانات بی نهایت زیاد شود.

پدیده افزایش شدید دامنه نوسانات اجباری در فرکانس نیروی محرکه برابر با ، رزونانس نامیده می شود.

(21.12)

منحنی های شکل 21.5 رابطه را نشان می دهند و نامیده می شوند منحنی های تشدید دامنه .

شکل 21.5 - نمودارهای وابستگی دامنه نوسانات اجباری به فرکانس نیروی محرکه.

دامنه نوسانات تشدید به شکل زیر خواهد بود:

ارتعاشات اجباری هستند میر نشدهنوسانات تلفات انرژی اجتناب ناپذیر ناشی از اصطکاک با تامین انرژی از یک منبع خارجی نیروی عمل کننده دوره ای جبران می شود. سیستم هایی وجود دارند که در آنها نوسانات بدون میرا نه به دلیل تأثیرات خارجی دوره ای، بلکه در نتیجه توانایی چنین سیستم هایی برای تنظیم تأمین انرژی از یک منبع ثابت ایجاد می شود. چنین سیستم هایی نامیده می شوند خود نوسانی، و فرآیند نوسانات بدون میرا در چنین سیستم هایی است خود نوسانات.

در یک سیستم خود نوسانی، سه عنصر مشخصه قابل تشخیص است - یک سیستم نوسانی، یک منبع انرژی و یک دستگاه بازخورد بین سیستم نوسانی و منبع. هر سیستم مکانیکی که بتواند نوسانات میرایی خود را انجام دهد (مثلاً آونگ ساعت دیواری) می تواند به عنوان یک سیستم نوسانی استفاده شود.

منبع انرژی می تواند انرژی تغییر شکل یک فنر یا انرژی پتانسیل یک بار در یک میدان گرانشی باشد. دستگاه بازخورد مکانیزمی است که توسط آن یک سیستم خود نوسانی جریان انرژی از یک منبع را تنظیم می کند. در شکل شکل 21.6 نموداری از تعامل عناصر مختلف یک سیستم خود نوسانی را نشان می دهد.

نمونه ای از سیستم های مکانیکی خود نوسان ساز مکانیزم ساعت با لنگرپیشرفت (شکل 21.7.). چرخ در حال اجرا با دندانه های مورب به سختی به یک درام دندانه دار متصل شده است که از طریق آن یک زنجیر با وزنه پرتاب می شود. در انتهای بالایی آونگ یک لنگر (لنگر) با دو صفحه از مواد سخت وجود دارد که در امتداد یک قوس دایره‌ای با مرکز روی محور آونگ خم شده است. در ساعت مچیوزن با یک فنر جایگزین می شود و آونگ با یک متعادل کننده جایگزین می شود - یک چرخ دستی که به یک فنر مارپیچی متصل است.

شکل 21.7. مکانیسم ساعت با آونگ.

متعادل کننده ارتعاشات پیچشی حول محور خود انجام می دهد. سیستم نوسانی در ساعت یک آونگ یا متعادل کننده است. منبع انرژی یک وزنه برآمده یا فنر زخمی است. وسیله ای که برای ارائه بازخورد استفاده می شود یک لنگر است که به چرخ دونده اجازه می دهد یک دندان را در یک نیم چرخه بچرخاند.

بازخورد توسط تعامل لنگر با چرخ در حال اجرا ارائه می شود. با هر نوسان آونگ، یک دندانه از چرخ در حال حرکت، چنگال لنگر را در جهت حرکت آونگ فشار می دهد و بخش معینی از انرژی را به آن منتقل می کند که تلفات انرژی ناشی از اصطکاک را جبران می کند. بنابراین، انرژی پتانسیل وزنه (یا فنر پیچ خورده) به تدریج، در بخش های جداگانه، به آونگ منتقل می شود.

سیستم های مکانیکی خود نوسانی در زندگی اطراف ما و در فناوری گسترده هستند. خود نوسانی در موتورهای بخار، موتورهای احتراق داخلی، زنگ‌های برقی، سیم‌های آلات موسیقی آرشه‌دار، ستون‌های هوا در لوله‌های سازهای بادی، تارهای صوتی هنگام صحبت یا آواز خواندن و غیره رخ می‌دهد.

در واقع، ارتعاشات آزاد تحت عمل نیروهای مقاومت رخ می دهد. نیروهای اتلافی منجر به کاهش دامنه نوسانات می شود. نوساناتی که دامنه آنها به مرور زمان در اثر اتلاف انرژی کوچکتر می شود، میرا نامیده می شوند.

ارتعاشات مکانیکی میرا شده

تعریف

کمیت فیزیکی که میزان تضعیف نوسانات را مشخص می کند نامیده می شود ضریب تضعیف. ضریب تضعیف را می توان به روش های مختلف نشان داد: و غیره. مشروط بر اینکه نیروهای اصطکاک متناسب با سرعت جسم باشد:

جایی که ضریب اصطکاک تعمیم یافته است، ضریب میرایی برابر با:

جایی که جرم بدن در حال نوسان است.

معادله دیفرانسیل نوسانات در حضور میرایی به شکل زیر خواهد بود:

- فرکانس چرخه ای ارتعاشات آزاد سیستم در غیاب اصطکاک.

معادله نوسانات میرا شده:

کجا - فرکانس نوسانات میرا، - دامنه نوسانات میرایی. - یک مقدار ثابت که به انتخاب نقطه مرجع زمانی بستگی دارد.

ضریب تضعیف را می توان به عنوان متقابل زمان () تعریف کرد که در طی آن دامنه (A) با e بار کاهش می یابد:

زمان استراحت کجاست یعنی می توانید بنویسید:

دوره نوسانات میرا برابر است با:

با مقاومت ناچیز محیط، اگر نابرابری برآورده شود: دوره نوسان را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

با افزایش ضریب میرایی، دوره نوسان افزایش می یابد. لازم به ذکر است که مفهوم دوره نوسانات میرا شده با مفهوم نوسانات بدون میرا منطبق نیست، زیرا سیستم در صورت وجود میرایی هرگز به حالت اولیه خود باز نمی گردد. دوره نوسانات میرایی حداقل دوره زمانی است که در طی آن سیستم دو بار در یک جهت از موقعیت تعادل عبور می کند.

با افزایش ضریب میرایی نوسان، فرکانس نوسان کاهش می یابد. اگر، فرکانس نوسانات میرایی صفر می شود، در حالی که دوره تا بی نهایت افزایش می یابد. این گونه نوسانات دوره تناوب خود را از دست می دهند و نامنظم نامیده می شوند. هنگامی که ضریب میرایی برابر با فرکانس طبیعی نوسانات باشد، پارامترهای سیستم بحرانی نامیده می شوند.

ضریب میرایی نوسان با عبارت زیر به کاهش میرایی لگاریتمی () مربوط می شود:

نوسانات الکتریکی میرا شده

هر مدار الکتریکی که در واقعیت وجود دارد دارای مقاومت فعال است، بنابراین انرژی ذخیره شده در آن در طول زمان صرف این مقاومت می شود، زیرا گرم می شود.

در این حالت، ضریب تضعیف مدار الکتریکی به صورت زیر محاسبه می شود:

جایی که R مقاومت است، L اندوکتانس مدار است.

فرکانس در مدار الکترومغناطیسی با فرمول نشان داده می شود:

برای یک مدار RLC، مقاومت بحرانی () که در آن نوسانات متناوب می شوند، مقاومتی برابر با:

یافت شده در

واحدهای ضریب میرایی ارتعاش

واحد اصلی ضریب میرایی SI عبارت است از:

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1

ورزش کنید

اگر دامنه نوسانات آونگ در طول زمان t=10 s باشد، ضریب میرایی چقدر است. 4 برابر کاهش می یابد؟

راه حل

اجازه دهید معادله نوسانات میرا یک آونگ را بنویسیم:

طبق یکی از تعاریف ضریب تضعیف:

بیایید محاسبات را انجام دهیم:

پاسخ دهید

مثال 2

ورزش کنید	مدار نوسانی از یک سلف L، یک خازن C و یک مقاومت R تشکیل شده است (شکل 1). پس از چند نوسان کامل (N) دامنه جریان در مدار به اندازه e برابر کاهش می یابد؟
راه حل	اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: - مقدار اولیه دامنه جریان، - دامنه جریان از طریق نوسانات N، سپس می توانیم بنویسیم:

اطلاعات عمومی

نوساناتحرکات یا فرآیندهایی که با تکرارپذیری خاصی در طول زمان مشخص می شوند نامیده می شوند. نوسانات نامیده می شود رایگان، اگر آنها به دلیل انرژی ارسال شده اولیه در غیاب بعدی تأثیرات خارجی بر روی سیستم نوسانی رخ دهند. ساده ترین نوع نوسانات هستند ارتعاشات هارمونیک- نوساناتی که در آن کمیت نوسانی در طول زمان طبق قانون سینوس یا کسینوس تغییر می کند.

معادله دیفرانسیل نوسانات هارمونیک شکل دارد

که در آن کمیت نوسانی و فرکانس چرخه ای است.

راه حل این معادله است. در اینجا دامنه و فاز اولیه است.

فاز نوسان.

دامنه حداکثر مقدار یک کمیت نوسانی است.

فرکانس نوسان تعداد نوسانات کامل انجام شده در واحد زمان است. . . بر حسب هرتز (هرتز) اندازه گیری می شود.

فرکانس چرخه ای تعداد نوسانات انجام شده در ثانیه است. . واحد اندازه گیری

فاز نوسان کمیتی است که در زیر علامت کسینوس قرار دارد و وضعیت سیستم نوسانی را در هر زمان مشخص می کند.

مرحله اولیه - مرحله نوسانات در لحظه اولیه زمان. فاز و فاز اولیه با رادیان () اندازه گیری می شود.

معادله دیفرانسیل نوسانات میرا آزاد شکل دارد

, (1)

حل معادله (1) در مورد میرایی کوچک (d 2<< ) имеет вид

دوره زمانی که در طی آن دامنه کاهش می یابد هبارها، نامیده می شود زمان استراحت.

میرایی تناوب نوسانات را می شکند، بنابراین نوسانات میرا دوره ای نیستند. با این حال، اگر تضعیف کوچک باشد، می‌توانیم به صورت مشروط از مفهوم دوره به عنوان فاصله زمانی بین دو ماکزیمم (یا حداقل) متوالی یک کمیت در نوسان استفاده کنیم. سپس دوره نوسانات میرایی با استفاده از فرمول محاسبه می شود

اگر الف(تی) و الف(t+T) دامنه دو نوسان متوالی متناظر با لحظه هایی از زمان است که با یک دوره متفاوت هستند، سپس نسبت

تماس گرفت کاهش میراییو لگاریتم آن

– کاهش میرایی لگاریتمی.

برای توصیف یک سیستم نوسانی، از این مفهوم استفاده می شود فاکتور کیفیت س، که برای مقادیر کوچک کاهش لگاریتمی برابر است با

شاید خواندن آن مفید باشد: