دسته ای از هواپیماها در فضا مداد خطوط، معادله مداد خطوط

در این مقاله ما تعریفی از مداد صفحات ارائه می دهیم، معادله ای را برای یک مداد صفحات با توجه به یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص به دست می آوریم، و راه حل های مربوط به مسائل مشخصه مربوط به مفهوم مداد صفحات را با جزئیات در نظر می گیریم.

پیمایش صفحه.

بسته ای از هواپیماها - تعریف.

از بدیهیات هندسه چنین استنباط می شود که در فضای سه بعدی یک صفحه منفرد از یک خط مستقیم عبور می کند و نقطه ای روی آن قرار ندارد. و از این بیان نتیجه می گیرد که بی نهایت صفحات حاوی یک خط مستقیم از پیش تعیین شده وجود دارد. بیایید این را توجیه کنیم.

اجازه دهید یک خط مستقیم به ما داده شود. نقطه M 1 را در نظر بگیرید که روی خط a قرار ندارد. سپس از طریق خط مستقیم a و نقطه M 1 می توانیم یک صفحه رسم کنیم، آن هم فقط یک. بیایید آن را نشان دهیم. حال بیایید یک نقطه M 2 را در نظر بگیریم که در هواپیما قرار ندارد. تنها یک صفحه از خط مستقیم a و نقطه M2 عبور می کند. اگر نقطه M 3 را در نظر بگیریم که نه در صفحه و نه در صفحه قرار دارد، می توانیم صفحه ای بسازیم که از خط a و نقطه M 3 می گذرد. بدیهی است که این فرآیند ساخت صفحاتی که از یک خط معین a عبور می کنند را می توان به طور نامحدود ادامه داد.

اینگونه است که به تعریف یک بسته هواپیما می رسیم.

تعریف.

دسته ای از هواپیمامجموعه ای از تمام صفحات در فضای سه بعدی است که از یک خط معین عبور می کنند.

خط مستقیمی که همه صفحات یک بسته شامل آن هستند مرکز این دسته از صفحات نامیده می شود. بنابراین، عبارت "بسته ای از صفحات با مرکز a" صادق است.

یک بسته خاص از صفحات را می توان با نشان دادن مرکز آن یا با نشان دادن هر دو صفحه از این بسته مشخص کرد که در اصل یک چیز است. از سوی دیگر، هر دو صفحه متقاطع، دسته خاصی از صفحات را تعریف می کنند.

معادله یک دسته از هواپیما - حل مسائل.

برای مقاصد عملی، این دسته از هواپیماها در تصویر هندسی آن نیست که مورد توجه است.

بیایید بلافاصله به این سؤال منطقی پاسخ دهیم: "معادله یک دسته از هواپیماها چیست"؟

برای این کار فرض می‌کنیم که Oxyz در فضای سه‌بعدی معرفی می‌شود و با تعیین دو صفحه و از آن، یک دسته از هواپیماها مشخص می‌شود. اجازه دهید هواپیما با معادله کلی صفحه فرم مطابقت داشته باشد و صفحه با فرم مطابقت داشته باشد. پس معادله یک دسته از هواپیماها معادله ای است که معادلات همه صفحات این دسته را مشخص می کند.

سوال منطقی زیر مطرح می شود: "معادله دسته ای از صفحات در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz به چه شکل است؟"

شکل معادله مداد صفحات با قضیه زیر به دست می آید.

قضیه.

یک صفحه متعلق به مدادی از صفحات است که با دو صفحه متقاطع تعریف می شوند و به ترتیب با معادلات و . شرط معادل نابرابری است).

اثبات

برای اثبات کفایت باید نشان دهید:

بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم. معادله حاصل یک معادله صفحه کلی است اگر عبارات و در یک زمان برابر با صفر نیستند.

اجازه دهید ثابت کنیم که آنها واقعاً همزمان با تضاد ناپدید نمی شوند. بیایید وانمود کنیم که سپس، اگر، پس، اگر، پس. برابری های حاصل به این معنی است که بردارها و با روابط یا (در صورت لزوم، مقاله را ببینید)، بنابراین، و . از آنجایی که بردار معمولی هواپیما است، - بردار نرمال صفحه، و بردارها و خطی هستند، سپس صفحات و موازی یا منطبق هستند (به مقاله شرط موازی بودن دو صفحه مراجعه کنید). اما این نمی تواند باشد، زیرا هواپیماها دسته ای از صفحات را تعریف می کنند، و بنابراین، متقاطع می شوند.

بنابراین معادله در واقع یک معادله کلی از هواپیما است. اجازه دهید نشان دهیم که صفحه تعریف شده توسط این معادله از خط تقاطع صفحات و .

اگر واقعاً چنین باشد، پس سیستم معادلات فرم دارای بی نهایت جواب است. (اگر سیستم معادلات مکتوب دارای یک راه حل منحصر به فرد باشد، در آن صورت صفحاتی که سیستم از آنها تشکیل شده است دارای یک نقطه مشترک واحد هستند، بنابراین، صفحه خطی را که توسط صفحات متقاطع تعریف شده است قطع می کند. اگر سیستم معادلات مکتوب هیچ جوابی نداشته باشد. ، پس هیچ نقطه ای وجود ندارد که به طور همزمان متعلق به هر سه صفحه باشد، بنابراین، صفحه موازی با خطی است که توسط صفحات متقاطع و ) تعریف شده است.

از آنجایی که معادله اول سیستم مکتوب معادلات ترکیبی خطی از معادلات دوم و سوم است، زائد است و بدون عواقب می توان آن را از سیستم حذف کرد (در این مورد در مقاله صحبت کردیم). یعنی سیستم معادلات اولیه معادل یک سیستم معادلات شکل است . و این سیستم تعداد بی نهایت راه حل دارد، زیرا صفحات به دلیل تلاقی آنها بی نهایت نقاط مشترک دارند.

کفایت ثابت شده است.

به سراغ اثبات وجوب برویم.

برای اثبات ضرورت باید نشان داد که هر صفحه از پیش تعیین شده ای که از خط تقاطع صفحات عبور کند و با معادله مقادیر معینی از پارامترها و .

هواپیمایی را بگیرید که از نقطه عبور می کند و از طریق خط تقاطع صفحات و (M 0 روی خط تقاطع این صفحات قرار نمی گیرد). اجازه دهید نشان دهیم که همیشه امکان انتخاب چنین مقادیری از پارامترها وجود دارد و مختصات نقطه M 0 معادله را برآورده می کند، یعنی برابری درست خواهد بود. این کفایت را ثابت می کند.

بیایید مختصات نقطه M 0 را در معادله جایگزین کنیم: . از آنجایی که هواپیماها و به طور همزمان از نقطه M 0 عبور نمی کنند (در غیر این صورت این صفحات منطبق می شوند)، حداقل یکی از عبارات یا با صفر متفاوت است. اگر، معادله را می توان با توجه به پارامتر as حل کرد و با دادن مقدار دلخواه غیر صفر به پارامتر، محاسبه می کنیم. اگر، سپس با دادن مقدار دلخواه غیر صفر به پارامتر، محاسبه می کنیم .

قضیه کاملاً ثابت شده است.

بنابراین، به نظر می رسد. تمام سطوح پرتو را مشخص می کند. اگر چند جفت مقدار را در نظر بگیریم و آنها را در معادله یک دسته از هواپیماها جایگزین کنید، سپس معادله کلی یک صفحه را از این دسته بدست می آوریم.

از آنجایی که در معادله یک دسته از صفحات، پارامترها و همزمان برابر با صفر نیستند، می توان آن را به صورت , if , و به صورت , if نوشت.

با این حال، این معادلات معادل معادله یک دسته از صفحات فرم نیستند، زیرا برای هر مقداری نمی توان معادله یک صفحه فرم را از معادله به دست آورد و از معادله برای هر مقداری، معادله صفحه ای از فرم را نمی توان به دست آورد.

بیایید به سراغ حل مثال ها برویم.

مثال.

معادله یک مداد از صفحات را بنویسید که در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz با دو صفحه متقاطع تعریف شده است. و .

راه حل.

معادله صفحه داده شده در قطعات معادل معادله صفحه کلی فرم است. اکنون می توانیم معادله مورد نیاز برای یک دسته از هواپیماها را بنویسیم: .

پاسخ:

مثال.

آیا هواپیما به دسته هواپیماهای با مرکز تعلق دارد؟

راه حل.

اگر صفحه ای متعلق به یک تیر باشد، خط مستقیم که مرکز پرتو است در این صفحه قرار دارد. بنابراین، شما می توانید دو نقطه مختلف در یک خط را بگیرید و بررسی کنید که آیا آنها در هواپیما قرار دارند یا خیر. اگر بله، آنگاه هواپیما متعلق به دسته هواپیماهای مشخص شده است.

معادلات پارامتریک یک خط در فضا، تعیین مختصات نقاط قرار گرفته بر روی آن را آسان می کند. بیایید دو مقدار پارامتر (به عنوان مثال و ) را در نظر بگیریم و مختصات دو نقطه M 1 و M 2 از خط مستقیم را محاسبه کنیم:

مداد مناسب هواپیما مجموعه ای از تمام صفحاتی است که از یک خط عبور می کنند.

مداد هواپیماهای نامناسب مجموعه ای از صفحات است که همگی موازی یکدیگر هستند.

قضیه 1.به منظور سه صفحه تعریف شده توسط معادلات کلی

نسبت به دستگاه مختصات دکارتی عمومی، متعلق به یک مداد، مناسب یا نامناسب، لازم و کافی است که رتبه ماتریس

برابر با دو یا یک بود.

اثبات ضرورت. بگذارید سه صفحه (1) به یک بسته تعلق داشته باشد. اثبات آن لازم است

اجازه دهید ابتدا فرض کنیم که سه صفحه داده شده به بسته نرم افزاری خودشان تعلق دارند. سپس سیستم (1) دارای تعداد نامتناهی راه حل است (زیرا با تعریف یک مداد مناسب: اگر از یک خط مستقیم عبور کنند سه صفحه متعلق به مداد هستند). این اگر و تنها در صورتی خواهد بود که، زیرا if، آنگاه سیستم (1) یا یک راه حل منحصر به فرد دارد یا ناسازگار است، بسته به اینکه تعیین کننده، متشکل از ضرایب مجهولات، متفاوت از صفر یا برابر با صفر باشد.

اگر سه صفحه داده شده متعلق به یک مداد نامناسب باشد، رتبه ماتریس است

برابر با 1 است که به معنای رتبه ماتریس است مبرابر با دو یا یک

اثبات کفایت. داده شده: لازم است ثابت شود که سه هواپیمای داده شده متعلق به یک بسته است.

اگر، پس و. بگذار باشد. سپس سیستم (1) سازگار است، تعداد بی‌نهایت راه‌حل دارد و در بین این صفحه‌ها موارد متقاطع وجود دارد (چون اگر صفحات متقاطع وجود نداشت، همه آنها موازی بودند و رتبه ماتریس برابر با 1 بود). بنابراین، سه صفحه داده شده متعلق به بسته نرم افزاری خود هستند.

اگر؛ ، پس همه صفحات هم خط هستند (دو مورد از آنها قطعاً موازی هستند و سومی ممکن است با یکی از صفحات موازی منطبق باشد).

اگر، پس و، و همه هواپیماها منطبق هستند.

قضیه 2. اجازه دهید دو صفحه مختلف در یک سیستم مختصات دکارتی و معادلات کلی داده شود: ; .

به منظور صفحه سوم، همچنین با معادله کلی تعریف شده است

نسبت به همان سیستم مختصات، متعلق به مداد تعریف شده توسط صفحات است و لازم و کافی است که سمت چپ معادله هواپیما ترکیبی خطی از سمت چپ معادلات صفحات باشد. و

اثبات ضرورت. با توجه به: هواپیما متعلق به دسته ای از صفحات است که توسط صفحات و. لازم است ثابت شود که اعداد وجود دارند و به گونه ای که هویت برای همه مقادیر وجود دارد ایکس, در, z:

در واقع، اگر سه هواپیما به یک بسته تعلق دارند، پس کجا

دو سطر اول این ماتریس به صورت خطی مستقل هستند (از آنجایی که صفحه ها متفاوت هستند) و از آنجایی که ردیف سوم ترکیبی خطی از دو مورد اول است. اعداد و مواردی از این دست وجود دارد

ضرب دو طرف تساوی اول در ایکس، هر دو قسمت از دوم در در، هر دو قسمت سوم در zو با اضافه کردن تساوی ها و برابری های حاصل به صورت ترم، هویت در حال اثبات را به دست می آوریم.

اثبات کفایت.اجازه دهید هویت

برای همه مقادیر معتبر است ایکس, درو z. لازم است ثابت شود که هواپیما متعلق به مداد تعریف شده توسط هواپیماها و.

از این هویت روابط زیر حاصل می شود:

بنابراین ردیف سوم ماتریس مترکیبی خطی از دو مورد اول وجود دارد و بنابراین. و غیره.

معادله ای که در آن و در آن واحد برابر با صفر نباشند، معادله یک مداد صفحه نامیده می شود که با دو صفحه متفاوت تعریف می شود و معادلات آن در دستگاه مختصات دکارتی عمومی به شرح زیر است:

همانطور که ثابت شد، معادله هر صفحه یک تیر که با صفحات مختلف تعریف می شود و می تواند به شکل نوشته شود.

برعکس، اگر معادله ای که در آن حداقل یکی از اعداد و برابر با صفر نباشد، معادله ای درجه یک باشد، آنگاه معادله ای از صفحه ای است که متعلق به مداد تعریف شده توسط صفحات و. در واقع، ردیف سوم ماتریس م، از ضرایب معادلات تشکیل شده و دارای فرم است

آن ها بنابراین ترکیبی خطی از دو مورد دیگر است.

اگر صفحات و هم‌زمان همدیگر را قطع کنند و و برابر با صفر نباشند، تمام ضرایب برای ایکس, در, zدر معادله نمی تواند برابر با صفر باشد، زیرا اگر روابط صورت می گرفت

در این صورت هواپیماها بر خلاف فرضیه خطی خواهند بود.

اما اگر صفحات موازی باشند، آنگاه اعدادی وجود دارند که در بین آنها حداقل یک برابر با صفر نیست و به گونه ای که در معادله تمام ضرایب برای ایکس, درو zبرابر با صفر هستند. اما پس از آن یک بسته نرم افزاری نامناسب خواهد بود، و همانطور که در مورد یک بسته از خطوط مستقیم، در اینجا باید بسیار مراقب باشید.

اول از همه می گوییم که هواپیما

یک ترکیب خطی از صفحات وجود دارد

اگر معادله (1) ترکیبی خطی از معادلات (2) و (3) باشد، یعنی اگر چنین و وجود داشته باشد، آنگاه هویت برقرار است.

از هویت (4) نتیجه می شود که هر نقطه ای که هر دو معادله (2) و (3) را برآورده کند، معادله (1) را نیز برآورده می کند - هر نقطه متعلق به هر دو صفحه (2) و (3) نیز به صفحه (1) تعلق دارد. به عبارت دیگر:

صفحه ای که ترکیبی خطی از دو صفحه متقاطع داده شده (2) و (3) است از خط تقاطع این صفحات می گذرد. اجازه دهید ثابت کنیم که برعکس، هر صفحه (1) که از خط تقاطع d دو صفحه داده شده (2) و (3) می گذرد، ترکیبی معمولی از این صفحات است.

بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که صفحه (1) با هیچ یک از صفحات (2) و (3) منطبق نیست. اثبات دقیقاً همان است که در مورد خطوط مستقیم وجود دارد (فصل پنجم، بند 5).

صفحه ای که از خط d می گذرد کاملاً مشخص می شود اگر نقطه ای از آن را نشان دهیم (شکل 122) که روی خط d قرار ندارد.

بیایید چنین نقطه ای را در صفحه خود (1) بگیریم و معادله ای با دو مجهول بنویسیم و:

از آنجایی که بر اساس فرض، نقطه روی خط d قرار نمی گیرد، حداقل یکی از پرانتزهای سمت چپ معادله (5) با صفر متفاوت است. از این معادله (5) رابطه

اکنون اجازه دهید اعدادی داشته باشیم که نسبت (6) را برآورده می کنند. سپس برابری (5) نیز برآورده می شود، به این معنی که نقطه در صفحه قرار دارد

اما این صفحه که ترکیبی خطی از صفحات (2) و (3) است، از خط d می گذرد و حاوی یک نقطه متعلق به صفحه ( - یعنی صفحه (1) با صفحه (7) منطبق است و خطی است. ترکیبی از صفحات (2) و (3). این بیانیه ثابت شده است.

بنابراین برای اینکه صفحه (1) از خط مستقیم تقاطع دو صفحه (2) و (3) عبور کند، لازم و کافی است که رابطه (1) ترکیبی خطی از معادلات (2) و (3) باشد. ).

اکنون صفحات (2) و (3) موازی باشند. دقیقاً مانند § 5 از فصل V، ما متقاعد شده ایم که هر صفحه ای که ترکیب خطی از صفحات (2) و (3) باشد با آنها موازی خواهد بود و برعکس، هر صفحه موازی با دو (موازی با هر یک) دیگر) صفحات (2) و (3)، ترکیب خطی آنها است.

بیایید مجموعه تمام صفحاتی را که از یک خط معین عبور می کنند، مداد مناسبی از صفحات با یک محور بنامیم. در نهایت، اجازه دهید مجموعه ای از تمام صفحات را که ترکیب خطی دو صفحه هستند و یک منیفولد یک بعدی از صفحات ایجاد شده توسط دو عنصر و . ما ثابت کرده‌ایم که هر مداد صفحه (مناسب یا نامناسب) یک منیفولد تک بعدی است که توسط هر دو عنصر آن ایجاد می‌شود.

برعکس، هر منیفولد یک بعدی از صفحات (تولید شده توسط دو صفحه و 62) یک دسته از صفحات است - اگر صفحات و 62 با هم قطع شوند مناسب است، اگر موازی باشند نامناسب.

در فصل بیست و سوم از این سخنرانی‌ها، فضای تصویری را با تکمیل فضای معمولی با نقاط بی‌نهایت دور (نامناسب) به‌گونه‌ای می‌سازیم که مجموعه این نقاط بی‌نهایت دور، صفحه‌ای بی‌نهایت دور (نامناسب) را تشکیل دهد.

تمام خطوطی که در این هواپیما قرار دارند نیز بی نهایت دور یا نامناسب نامیده می شوند. هر صفحه "مناسب" (یعنی معمولی) از فضا با یک صفحه نامناسب در امتداد یک خط نامناسب - در امتداد تنها خط نامناسب یک صفحه مناسب معین قطع می شود. معلوم می شود که دو صفحه مناسب موازی هستند اگر و فقط در صورتی که در امتداد خط مستقیم (مشترک خود) در بی نهایت همدیگر را قطع کنند. بنابراین، در فضای تصویری، تمایز بین مدادهای مناسب و نامناسب صفحات ناپدید می شود: مداد نامناسب، مدادی از صفحات است که محور آن یکی از خطوط نامناسب فضای تصویری است.

سخنرانی در مورد جبر و هندسه. ترم 1.

سخنرانی 14. معادلات یک مداد از خطوط در یک هواپیما، یک مداد از هواپیما و یک دسته از هواپیما.

فصل 14. معادلات یک مداد از خطوط در یک هواپیما، یک مداد از هواپیما و یک دسته از هواپیما.

بند 1. معادله یک مداد از خطوط در یک هواپیما.

تعریف. مداد خطوط روی یک صفحه، مجموعه تمام خطوط یک صفحه معین است که دارای یک نقطه مشترک هستند که به آن مرکز مداد می گویند.

در شکل 1 نقطه
– مرکز پرتو

قضیه. اجازه دهید

- دو خط مستقیم در صفحه مختصات Oxy که در یک نقطه قطع می شوند
. سپس معادله

جایی که
- اعداد واقعی دلخواه که در آن واحد برابر با صفر نیستند، معادله ای از یک مداد از خطوط با مرکز مداد در نقطه وجود دارد.
.

اثبات

فرض کنید L یک خط مستقیم دلخواه از این تیر با مرکز پرتو در نقطه باشد
و بردار نرمال آن است. سپس معادله برداری خط L به شکل زیر است:

, (2)

جایی که - بردار شعاع یک نقطه
, - بردار شعاع جریان، یعنی. بردار شعاع نقطه فعلی
.

از آنجایی که مستقیم و
با فرض قطع شدن قضیه، بردارهای نرمال آنها خطی نیستند و در نتیجه مبنایی را تشکیل می دهند.

سپس بردار بر این اساس می توان گسترش داد:

,

جایی که
– ضرایب این بسط همزمان با صفر برابر نیست، زیرا طبق تعریف یک بردار معمولی
. با جایگزینی به (2) یا می گیریم

ولی
و
- معادلات برداری خطوط و
، یعنی ،

با جایگزینی (3)، برابری (1) را بدست می آوریم.

بنابراین، ما ثابت کردیم که معادله هر خط از یک مداد داده شده شکل (1) دارد.

در مقابل، ما ثابت می کنیم که برای هر
که به طور همزمان برابر با صفر نیستند، معادله (1) معادله یک خط مستقیم از یک مداد است.

در واقع، از یک طرف، برای هر
که به طور همزمان برابر با صفر نیستند، معادله (1) معادله کلی خط مستقیم است.

از طرف دیگر، معادله (1) را وارد کنید.
اعداد حقیقی دلخواه هستند که در همان زمان برابر با صفر نیستند و اجازه دهید
- مختصات مرکز پرتو. زیرا
و
، سپس مختصات مرکز پرتو معادلات خطوط مستقیم را برآورده می کند و
:

سپس مختصات نقطه را جایگزین کنید
به معادله (1) می رسیم

آن ها معادله (1) معادله خطی است که از یک نقطه می گذرد
، یعنی خط متعلق به این باندل و غیره است.

قضیه ثابت شده است.

اظهار نظر. اگر در (1)

. اگر
، سپس معادله (1) معادله خط مستقیم است . بنابراین، اگر معادله (1) بر
، سپس معادله هر خطی را از مداد داده شده به جز خط بدست می آوریم
:

مثال. معادله یک خط دلخواه را که از یک نقطه مشخص می گذرد بنویسید
.

راه حل. خط مستقیم مورد نیاز یک خط مستقیم از یک دسته از خطوط مستقیم است که مرکز بسته در نقطه است.
. بدیهی است که دو خط زیر متعلق به این بسته است:

و

یا
,
. سپس معادله هر خط از این مداد به شکل است

اگر حروف یونانی را در این معادله با حروف لاتین جایگزین کنیم، به دست می آید

- معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه معین می گذرد
. به ویژه، زمانی که
، معادله یک مداد از خطوط مستقیم را با مرکز مداد در مبدا به دست می آوریم:
.

تقسیم معادله (5) بر
، معادله یک خط مستقیم را با ضریب زاویه ای که از یک نقطه معین می گذرد به دست می آوریم
:

, (6)

و وقتی که
معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای که از مبدا مختصات می گذرد به دست می آوریم:

.

به عبارت دیگر، معادله
، جایی که
، معادله یک مداد از خطوط با مرکز مداد در مبدا است.

بند 2. معادله یک دسته از هواپیما.

تعریف. دسته صفحات به مجموعه تمام صفحاتی گفته می شود که دارای یک نقطه مشترک هستند که به آن مرکز دسته می گویند.

قضیه. اجازه دهید ، ،

- سه هواپیما در PDSC Oxyz که یک نقطه مشترک دارند
. سپس معادله (7)

جایی که
- اعداد حقیقی دلخواه که همزمان با صفر برابر نیستند، معادله ای برای دسته ای از هواپیماها وجود دارد که مرکز دسته در نقطه است.
.

اثبات عملاً اثبات قضیه قبلی در مورد معادله مداد خطوط را تکرار می کند.

مثال. معادله یک دسته از صفحات را با مرکز دسته در یک نقطه پیدا کنید
.

راه حل. واضح است که سه صفحه زیر در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند
:

,
,
.

سپس معادله

جایی که
و در عین حال برابر با صفر نیست، معادله مورد نیاز وجود دارد.

به ویژه، اگر
، سپس معادله

(9)

معادله دسته ای از صفحات با مرکز دسته در مبدا است.

بند 3. معادله یک دسته از هواپیما.

تعریف. یک دسته از صفحات مجموعه ای از تمام صفحاتی است که در امتداد یک خط مستقیم قطع می شوند که به آن محور دسته می گویند.

قضیه. اجازه دهید

دو صفحه هستند که در امتداد خط مستقیم L قطع می شوند. سپس معادله

جایی که
– اعداد حقیقی دلخواه که در آن واحد برابر با صفر نیستند، معادله یک پرتو از صفحات با محور پرتو L است.

اثبات شبیه اثبات قضیه معادله مداد خطوط است و به خواننده واگذار می شود.

مثال. معادله یک مداد از صفحاتی که محور آن محور x است را بیابید.

راه حل. بدیهی است که هواپیماهای مختصات

و
در امتداد محور Ox تقاطع می کنند.

سپس معادله (10) در این حالت شکل می گیرد

. با جایگزینی حروف یونانی با حروف لاتین، دریافت می کنیم

, (11)

جایی که
– اعداد حقیقی دلخواه که در آن واحد برابر با صفر نیستند. معادله (11) معادله مورد نظر برای تیری از صفحات با محور تیر Ox است.

به همین ترتیب، معادله

, (12)

معادله دسته ای از صفحات با محور پرتو Oy است و معادله

(13)

معادله یک پرتو صفحه با محور پرتو Oz است.

بند 4. مشکلات اساسی در خطوط و هواپیما.

مسئله 1. معادله خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد را بیابید
و
.

ما قبلاً این مشکل را حل کرده ایم، به سخنرانی 11، بند 4، وظیفه 1 مراجعه کنید:

.

مسئله 2. زاویه بین دو خط مستقیم را پیدا کنید

و
.

این مشکل در سخنرانی 11، بند 4 حل شد:

زاویه مورد نیاز برابر است با زاویه بین بردارهای جهت آنها

یا
.

مسئله 3. اگر مختصات بردار نرمال آن صفحه مشخص باشد، معادله کلی آن را بیابید
و مختصات نقطه
، در یک هواپیمای مشخص دراز کشیده است.

راه حل. یک راه حل برای این مشکل در بند 2، فرمول (8) آورده شده است.

همین معادله را می توان به روش دیگری به دست آورد. معادله کلی هواپیما است

جایی که
مختصات بردار نرمال آن است. برای یافتن ضریب D باقی مانده است. برای این منظور، اجازه دهید مختصات نقطه را در معادله جایگزین کنیم.
: ، جایی که .

با جایگزینی در معادله بدست می آوریم:

– معادله مورد نیاز هواپیما.

مسئله 4. معادله صفحه ای را که از سه نقطه داده شده عبور می کند بیابید
,
و
.

همانطور که در مسئله 3 دیدیم، برای ایجاد معادله کلی یک صفحه کافی است مختصات بردار نرمال آن را بدانیم. و مختصات هر نقطه ای که در یک صفحه معین قرار دارد.

به عنوان یک بردار معمولی صفحه، می توانیم حاصلضرب بردار را بگیریم
به بردار
، و به عنوان یک نقطه در هواپیما می توانیم نقطه را بگیریم
. ما گرفتیم

معادله صفحه مورد نیاز را می توان به شکل دیگری به دست آورد. معادله صفحه به صورت برداری است

,

.

مسئله 5. زاویه بین دو صفحه را پیدا کنید.

راه حل. از هندسه می دانیم که زاویه دو وجهی بین دو صفحه با زاویه خطی اندازه گیری می شود (شکل 12 را ببینید).

به راحتی می توان دید که زاویه خطی است ، اندازه گیری زاویه دو وجهی بین دو صفحه برابر با زاویه است
بین بردارهای عادی این صفحات یا برابر است با
. در اینجا از علامت برابری زوایا با اضلاع عمود بر یکدیگر استفاده شده است.

یا
.

بنابراین، مشکل محاسبه زاویه بین صفحات به مسئله محاسبه زاویه بین بردارها کاهش می یابد.

مسئله 6. فاصله یک نقطه معین را پیدا کنید
به یک هواپیمای معین

راه حل. بیایید یک نقطه دلخواه را انتخاب کنیم
، در یک هواپیمای مشخص دراز کشیده است. توجه داشته باشید که اگر
، سپس مبدأ مختصات در صفحه قرار دارد و می توان آن را به عنوان یک نقطه در نظر گرفت
. اگر
، پس به عنوان چنین نقطه ای می توانیم نقطه تلاقی صفحه را با یکی از محورهای مختصات در نظر بگیریم. از آنجایی که یک صفحه نمی تواند با هر سه محور مختصات موازی باشد، حداقل یک محور مختصات این صفحه را قطع می کند.

اجازه دهید، برای مثال،
– نقطه تلاقی صفحه با محور مختصات Ox. اینجا
، اگر
.

پس بیایید نقطه گذاری کنیم
انتخاب شده در یک راه، سپس فاصله
از یک نقطه معین
به یک هواپیمای معین برابر مدول طرح ریزی بردار
به بردار معمولی هواپیما :

.

از آنجایی که می توان این فرمول را به شکل نوشت

. (14)

تعریف. اجازه دهید یک معادله صفحه عمومی دلخواه و یک نقطه دلخواه در فضا داده شود
. عدد

اختلاف نقطه نامیده می شود
نسبت به هواپیما .

با استفاده از مفهوم معرفی شده باقیمانده، فرمول فاصله از یک نقطه تا یک صفحه را می توان به صورت زیر نوشت:

.

تعریف. اندازه

(15)

انحراف نقطه نامیده می شود
از هواپیما .

از آخرین تعریف چنین بر می آید که فاصله از یک نقطه
خط بالا برابر مدول انحراف نقطه
از هواپیما :

از فرمول (21) مشخص می شود که انحراف و اختلاف علامت یکسانی دارند.

اظهار نظر. فرمول های (14) - (16) را می توان به شکل دیگری نوشت. اجازه دهید این معادله هواپیما را به حالت عادی برسانیم:

و منهای در غیر این صورت.

اکنون فرمول (14) برای فاصله از یک نقطه تا یک صفحه به شکل زیر است:

- انحراف نقطه
از هواپیما .

مسئله 7. فاصله یک نقطه معین را پیدا کنید
به این خط
.

راه حل. مشکل مشابه قبلی حل شده است.

. زیرا
، آن

.

مفاهیم اختلاف یک نقطه نسبت به یک خط مستقیم و انحراف یک نقطه از یک خط مستقیم به همین ترتیب معرفی شده است.

تعریف. اجازه دهید یک معادله کلی دلخواه از یک خط داده شود
و یک نقطه دلخواه در هواپیما
. عدد

اختلاف نقطه نامیده می شود
نسبت به خط مستقیم L.

تعریف. اندازه

انحراف نقطه نامیده می شود
از هواپیما .

اگر معادله یک خط مستقیم را به حالت عادی برسانیم:

,

، و علامت مثبت در موردی گرفته می شود که
و منهای، در غیر این صورت، فرمول فاصله از یک نقطه تا یک خط به شکل زیر است:

- انحراف نقطه
از خط مستقیم L.

مسئله 8. فاصله بین دو صفحه موازی را پیدا کنید.

راه حل. روش 1. یک نقطه دلخواه را در یک صفحه پیدا کنید و فاصله آن تا صفحه دوم را پیدا کنید، یعنی. این مشکل را به مشکل 6 کاهش دهید.

روش دوم اجازه دهید هر دو معادله صفحات موازی را به شکل عادی برسانیم:

جایی که
و
- بردارهای معمولی هواپیماها و
به ترتیب،
,
– فواصل مبدأ تا هواپیماها و
به ترتیب.

از آنجایی که بردارهای عادی و از مبدا مختصات به هواپیما هدایت می شوند، سپس 2 مورد ممکن است:

آ)
. شکل زیر به صورت شماتیک دو صفحه موازی را نشان می دهد و
و بردارهای نرمال واحد آنها از مبدأ O رسم شده است.

اینجا،
,
- فواصل از مبدأ مختصات تا صفحات مربوطه. از آنجایی که مشخص نیست کدام صفحه به مبدأ مختصات نزدیکتر است، فاصله بین هواپیماها

ب)
. از آنجایی که بردارهای عادی و از مبدأ مختصات به صفحه ها هدایت می شوند و مخالف هستند، سپس مبدا مختصات بین صفحات است، به شکل زیر مراجعه کنید.

در اینجا، مانند مورد قبلی،
,
- فواصل از مبدأ مختصات تا صفحات مربوطه. از آن نتیجه می شود که فاصله بین هواپیماها

مسئله 9. فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنید.

 

شاید خواندن آن مفید باشد:

• نشانه های عامیانه در مورد کودکان;
• ساختار و فعالیت حیاتی مژک داران با استفاده از مثال مژک دار دمپایی;
• اسقف اعظم جاناتان (التسکی): در خاستگاه تولد کلیسای ارتدکس اوکراین;
• مقامات منطقه کورگان به پایتخت منطقه پرداخت نمی کنند. فرماندار اوسیپوف دستورالعمل های فدرال را برای شفافیت انتخابات انجام می دهد.;
• سالاد با کلم چینی و چوب خرچنگ سالاد با کلم چینی، ذرت و خرچنگ;
• لوکوما - توضیحات میوه و خواص آن به همراه عکس استفاده در آشپزی;
• دستور العمل برای سوپ ارزن با پیچ و تاب تاریخی از ماهی، گوشت، بدون چربی;
• کتاب رویای Tsvetkov چه می گوید؟;