متغیر تصادفی x با تابع چگالی توزیع مشخص می شود. ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی پیوسته

ارزش مورد انتظار

پراکندگیمتغیر تصادفی پیوسته X که مقادیر ممکن آن به کل محور Ox تعلق دارد با برابری تعیین می شود:

هدف از خدمات. ماشین حساب آنلاین برای حل مسائلی طراحی شده است که در آن ها یا چگالی توزیع f(x) یا تابع توزیع F(x) (به مثال مراجعه کنید). معمولاً در چنین کارهایی باید پیدا کنید انتظارات ریاضی، انحراف معیار، نمودارهای رسم توابع f(x) و F(x).

دستورالعمل ها. نوع داده منبع را انتخاب کنید: چگالی توزیع f(x) یا تابع توزیع F(x).

چگالی توزیع f(x) داده می شود:

تابع توزیع F(x) داده می شود:

یک متغیر تصادفی پیوسته با چگالی احتمال مشخص می شود
(قانون توزیع رایلی - مورد استفاده در مهندسی رادیو). M(x)، D(x) را پیدا کنید.

متغیر تصادفی X نامیده می شود مداوم ، اگر تابع توزیع آن F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته برای محاسبه احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در یک بازه معین استفاده می شود:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
علاوه بر این، برای یک متغیر تصادفی پیوسته، مهم نیست که مرزهای آن در این بازه گنجانده شود یا خیر:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته تابع نامیده می شود
f(x)=F’(x)، مشتق تابع توزیع.

ویژگی های چگالی توزیع

1. چگالی توزیع متغیر تصادفی غیر منفی است (f(x) ≥ 0) برای همه مقادیر x.
2. شرایط عادی سازی:

معنای هندسی شرط نرمال سازی: مساحت زیر منحنی چگالی توزیع برابر با واحد است.
3. احتمال سقوط یک متغیر تصادفی X در بازه α تا β را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد.

از نظر هندسی، احتمال سقوط یک متغیر تصادفی پیوسته X در بازه (α، β) برابر با مساحت ذوزنقه منحنی زیر منحنی چگالی توزیع بر اساس این بازه است.
4. تابع توزیع بر حسب چگالی به صورت زیر بیان می شود:

مقدار چگالی توزیع در نقطه x برابر با احتمال گرفتن این مقدار برای یک متغیر تصادفی پیوسته نیست، ما فقط می توانیم در مورد احتمال سقوط در یک بازه معین صحبت کنیم. اجازه دهید :

احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته باشد ایکسهر مقدار را از بازه [ می گیرد آ; ب]، برابر است با انتگرال معینی از چگالی احتمال آن در محدوده از آقبل از ب:

.

در این حالت فرمول کلی تابع اف(ایکس) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته که در صورت مشخص بودن تابع چگالی می توان از آن استفاده کرد f(ایکس) :

.

نمودار چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته منحنی توزیع آن نامیده می شود (شکل زیر).

مساحت یک شکل (در شکل سایه دار) محدود شده توسط یک منحنی، خطوط مستقیم ترسیم شده از نقاط آو بعمود بر محور x و محور اوه، به صورت گرافیکی احتمال مقدار یک متغیر تصادفی پیوسته را نشان می دهد ایکسدر محدوده است آقبل از ب.

ویژگی های تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته

1. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی هر مقدار را از بازه (و مساحت شکلی که توسط نمودار تابع محدود شده است) بگیرد. f(ایکس) و محور اوه) برابر با یک است:

2. تابع چگالی احتمال نمی تواند مقادیر منفی بگیرد:

و خارج از وجود توزیع مقدار آن صفر است

چگالی توزیع f(ایکس) و همچنین تابع توزیع اف(ایکس)، یکی از اشکال قانون توزیع است، اما بر خلاف تابع توزیع، جهانی نیست: چگالی توزیع فقط برای متغیرهای تصادفی پیوسته وجود دارد.

اجازه دهید در عمل به دو نوع مهم توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته اشاره کنیم.

اگر تابع چگالی توزیع f(ایکس) متغیر تصادفی پیوسته در یک بازه محدود [ آ; ب] یک مقدار ثابت می گیرد سی، و خارج از بازه مقداری برابر با صفر می گیرد، سپس این توزیع یکنواخت نامیده می شود .

اگر نمودار تابع چگالی توزیع نسبت به مرکز متقارن باشد، مقادیر میانگین در نزدیکی مرکز متمرکز می‌شوند، و هنگام دور شدن از مرکز، مقادیر متفاوت‌تر از میانگین جمع‌آوری می‌شوند (گراف تابع شبیه به بخشی از یک زنگ)، سپس این توزیع نرمال نامیده می شود .

مثال 1.تابع توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته شناخته شده است:

یافتن تابع f(ایکس) چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته. نمودارهای هر دو تابع را بسازید. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته هر مقدار را در بازه 4 تا 8 بگیرد را پیدا کنید: .

راه حل. تابع چگالی احتمال را با یافتن مشتق تابع توزیع احتمال بدست می آوریم:

نمودار یک تابع اف(ایکس) - سهمی:

نمودار یک تابع f(ایکس) - سر راست:

بیایید این احتمال را پیدا کنیم که یک متغیر تصادفی پیوسته هر مقداری را در محدوده 4 تا 8 بگیرد:

مثال 2.تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته به صورت زیر است:

محاسبه ضریب سی. یافتن تابع اف(ایکس) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته. نمودارهای هر دو تابع را بسازید. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته هر مقداری در محدوده 0 تا 5 بگیرد را پیدا کنید: .

راه حل. ضریب سیما با استفاده از خاصیت 1 تابع چگالی احتمال پیدا می کنیم:

بنابراین، تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته به صورت زیر است:

با ادغام، تابع را پیدا می کنیم اف(ایکس) توزیع های احتمال. اگر ایکس < 0 , то اف(ایکس) = 0. اگر 0< ایکس < 10 , то

.

ایکس> 10، پس اف(ایکس) = 1 .

بنابراین، رکورد کامل تابع توزیع احتمال به صورت زیر است:

نمودار یک تابع f(ایکس) :

نمودار یک تابع اف(ایکس) :

بیایید این احتمال را پیدا کنیم که یک متغیر تصادفی پیوسته هر مقداری را در محدوده 0 تا 5 بگیرد:

مثال 3.چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته ایکسبا برابری داده می شود و . ضریب را پیدا کنید آ، احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته باشد ایکسهر مقدار را از بازه ]0، 5[، تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته می گیرد ایکس.

راه حل. با شرط به برابری می رسیم

بنابراین، از کجا. بنابراین،

.

اکنون احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را پیدا می کنیم ایکسهر مقدار را از بازه ]0، 5[ می گیرد:

اکنون تابع توزیع این متغیر تصادفی را دریافت می کنیم:

مثال 4.چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را بیابید ایکس، که فقط مقادیر غیر منفی و تابع توزیع آن را می گیرد .

نمونه هایی از حل مسائل با موضوع "متغیرهای تصادفی".

وظیفه 1 . 100 بلیط برای قرعه کشی صادر شده است. یک برنده 50 دلاری قرعه کشی شد. و ده برد هر کدام 10 دلار. قانون توزیع مقدار X - هزینه بردهای احتمالی را پیدا کنید.

راه حل. مقادیر ممکن برای X: x 1 = 0; ایکس 2 = 10 و x 3 = 50. از آنجایی که 89 بلیط «خالی» وجود دارد، پس ص 1 = 0.89، احتمال برنده شدن 10 دلار. (10 بلیط) - ص 2 = 0.10 و برنده شدن 50 دلار -پ 3 = 0.01. بدین ترتیب:

	0,89	0,10	0,01

کنترل آسان: .

وظیفه 2. احتمال اینکه خریدار آگهی محصول را از قبل خوانده باشد 0.6 است (p = 0.6). کنترل انتخابی کیفیت تبلیغات توسط نظرسنجی از خریداران قبل از اولین کسی که تبلیغات را از قبل مطالعه کرده است انجام می شود. یک سری توزیع برای تعداد خریداران مورد بررسی تهیه کنید.

راه حل. با توجه به شرایط مسئله، p = 0.6. از: q=1 -p = 0.4. با جایگزینی این مقادیر، دریافت می کنیم:و یک سری توزیع بسازید:

p i		0,24

وظیفه 3. یک کامپیوتر از سه عنصر مستقل تشکیل شده است: واحد سیستم، مانیتور و صفحه کلید. با یک افزایش شدید ولتاژ، احتمال خرابی هر عنصر 0.1 است. بر اساس توزیع برنولی، یک قانون توزیع برای تعداد عناصر خراب در طول موج برق در شبکه ترسیم کنید.

راه حل. در نظر بگیریم توزیع برنولی(یا دو جمله ای): احتمال اینکه n تست ها، رویداد A دقیقا ظاهر می شودک یک بار: ، یا:

	q n					پ n

که در به وظیفه برگردیم.

مقادیر ممکن برای X (تعداد خرابی):

x 0 = 0 - هیچ یک از عناصر شکست خورد.

x 1 = 1 - شکست یک عنصر.

x 2 = 2 - شکست دو عنصر.

x 3 = 3 - خرابی همه عناصر.

از آنجایی که، با شرط، p = 0.1، سپس q = 1 - p = 0.9. با استفاده از فرمول برنولی به دست می آوریم

, ,

, .

کنترل: .

بنابراین، قانون توزیع لازم:

	0,729	0,243	0,027	0,001

مشکل 4. 5000 گلوله تولید شده احتمال اینکه یک کارتریج معیوب باشد . احتمال اینکه دقیقاً 3 کارتریج معیوب در کل دسته وجود داشته باشد چقدر است؟

راه حل. مناسب توزیع پواسون: این توزیع برای تعیین احتمال بسیار بزرگ استفاده می شود

تعداد تست ها (آزمون های انبوه)، که در هر یک از آنها احتمال رویداد A بسیار کم است، رویداد A k بار رخ می دهد: ، جایی که .

در اینجا n = 5000، p = 0.0002، k = 3. ما پیدا می کنیم، سپس احتمال مورد نظر: .

مشکل 5. هنگام شلیک تا اولین ضربه با احتمال ضربه p = 0.6 هنگام شلیک، باید احتمال وقوع ضربه در شلیک سوم را پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید یک توزیع هندسی اعمال کنیم: اجازه دهید آزمایش‌های مستقلی انجام شود، که در هر یک از آنها رویداد A احتمال وقوع p را دارد (و عدم وقوع q = 1 - p). آزمایش به محض وقوع رویداد A پایان می یابد.

در چنین شرایطی، احتمال وقوع رویداد A در آزمایش k با فرمول تعیین می شود: در اینجا p = 0.6; q = 1 – 0.6 = 0.4;k = 3. بنابراین، .

مشکل 6. اجازه دهید قانون توزیع یک متغیر تصادفی X داده شود:

انتظارات ریاضی را پیدا کنید.

راه حل. .

توجه داشته باشید که معنای احتمالی انتظار ریاضی، مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی است.

مسئله 7. واریانس متغیر تصادفی X را با قانون توزیع زیر بیابید:

راه حل. اینجا .

قانون توزیع برای مقدار مجذور X 2 :

ایکس 2

واریانس مورد نیاز: .

پراکندگی اندازه گیری انحراف (پراکندگی) یک متغیر تصادفی را از انتظارات ریاضی آن مشخص می کند.

مسئله 8. اجازه دهید یک متغیر تصادفی با توزیع داده شود:

			10 متر

مشخصه های عددی آن را بیابید.

راه حل: m, m 2 ,

م 2 ، م.

در مورد متغیر تصادفی X می توان گفت: انتظار ریاضی آن 6.4 متر با واریانس 13.04 متر است. 2 ، یا - انتظار ریاضی آن 6.4 متر با انحراف m است. فرمول دوم واضح تر است.

وظیفه 9. مقدار تصادفیایکس توسط تابع توزیع داده شده است:
.

این احتمال را پیدا کنید که در نتیجه آزمایش، مقدار X مقدار موجود در بازه را بگیرد .

راه حل. احتمال اینکه X از یک بازه معین مقداری بگیرد برابر است با افزایش تابع انتگرال در این بازه، یعنی. . در مورد ما و بنابراین

.

وظیفه 10. متغیر تصادفی گسستهایکس توسط قانون توزیع آمده است:

تابع توزیع را پیدا کنید F(x ) و آن را ترسیم کنید.

راه حل. از آنجایی که تابع توزیع،

برای ، آن

در ;

در ;

در ;

در ;

نمودار مربوطه:

مسئله 11.متغیر تصادفی پیوستهایکس توسط تابع توزیع دیفرانسیل ارائه شده است: .

احتمال ضربه را پیدا کنید X در هر بازه

راه حل. توجه داشته باشید که این یک مورد خاص از قانون توزیع نمایی است.

بیایید از فرمول استفاده کنیم: .

وظیفه 12. مشخصه های عددی یک متغیر تصادفی گسسته X که توسط قانون توزیع مشخص شده است را بیابید:

	–5
	X2: X 2 . , جایی که – تابع لاپلاس. مقادیر این تابع با استفاده از جدول پیدا می شود. در مورد ما: . از جدول پیدا می کنیم: , بنابراین:

مفاهیم انتظارات ریاضی م(ایکس) و واریانس D(ایکس) که قبلا برای یک متغیر تصادفی گسسته معرفی شد، می تواند به متغیرهای تصادفی پیوسته گسترش یابد.

· انتظارات ریاضی M(ایکس) متغیر تصادفی پیوسته X با برابری تعیین می شود:

به شرطی که این انتگرال همگرا شود.

· واریانس D(ایکس) متغیر تصادفی پیوسته ایکسبا برابری تعیین می شود:

· انحراف معیارσ( ایکس) متغیر تصادفی پیوسته با برابری تعیین می شود:

تمام ویژگی‌های انتظار و پراکندگی ریاضی که قبلاً برای متغیرهای تصادفی گسسته بحث شد، برای متغیرهای پیوسته نیز معتبر هستند.

مشکل 5.3.مقدار تصادفی ایکستوسط یک تابع دیفرانسیل داده می شود f(ایکس):

پیدا کردن م(ایکس)، دی(ایکس), σ( ایکس), و پ(1 < ایکس< 5).

راه حل:

م(ایکس)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(ایکس)=

= = /

پ 1 =

وظایف

5.1. ایکس

f(ایکس), و

آر(‒1/2 < ایکس< 1/2).

5.2. متغیر تصادفی پیوسته ایکستوسط تابع توزیع داده شده است:

تابع توزیع دیفرانسیل را پیدا کنید f(ایکس), و

آر(2π /9< ایکس< π /2).

5.3. متغیر تصادفی پیوسته ایکس

پیدا کنید: الف) عدد با; ب) م(ایکس)، دی(ایکس).

5.4. متغیر تصادفی پیوسته ایکسبا چگالی توزیع داده می شود:

پیدا کنید: الف) عدد با; ب) م(ایکس)، دی(ایکس).

5.5. ایکس:

پیدا کردن یک) اف(ایکس) و نمودار آن را بسازید. ب) م(ایکس)، دی(ایکس), σ( ایکس); ج) احتمال اینکه در چهار آزمایش مستقل مقدار ایکسدقیقاً 2 برابر مقدار متعلق به بازه (1;4) خواهد بود.

5.6. چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته داده شده است ایکس:

پیدا کردن یک) اف(ایکس) و نمودار آن را بسازید. ب) م(ایکس)، دی(ایکس), σ( ایکس); ج) احتمال اینکه در سه آزمایش مستقل مقدار ایکسدقیقاً 2 برابر مقدار متعلق به بخش خواهد بود.

5.7. تابع f(ایکس) به شکل زیر آورده شده است:

با ایکس; ب) تابع توزیع اف(ایکس).

5.8. تابع f(ایکس) به شکل زیر آورده شده است:

پیدا کنید: الف) مقدار ثابت با، که در آن تابع چگالی احتمال برخی از متغیرهای تصادفی خواهد بود ایکس; ب) تابع توزیع اف(ایکس).

5.9. مقدار تصادفی ایکس، متمرکز بر بازه (3;7)، توسط تابع توزیع مشخص می شود اف(ایکس)= ایکسمقدار: الف) کمتر از 5، ب) کمتر از 7 را خواهد گرفت.

5.10. مقدار تصادفی ایکس، در مرکز بازه (-1;4)، توسط تابع توزیع مشخص می شود اف(ایکس)= . احتمال وجود متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکسمقدار: الف) کمتر از 2، ب) کمتر از 4 را خواهد گرفت.

5.11.

پیدا کنید: الف) عدد با; ب) م(ایکس); ج) احتمال آر(X > M(ایکس)).

5.12. متغیر تصادفی با تابع توزیع دیفرانسیل مشخص می شود:

پیدا کردن یک) م(ایکس); ب) احتمال آر(X ≤ M(ایکس)).

5.13. توزیع Rem با چگالی احتمال داده می شود:

ثابت کنیم که f(ایکس) در واقع یک تابع چگالی احتمال است.

5.14. چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته داده شده است ایکس:

شماره را پیدا کنید با.

5.15. مقدار تصادفی ایکسبر اساس قانون سیمپسون (مثلث متساوی الساقین) روی قطعه [-2;2] توزیع می شود (شکل 5.4). یک عبارت تحلیلی برای چگالی احتمال پیدا کنید f(ایکس) در کل خط اعداد.

برنج. 5.4 شکل. 5.5

5.16. مقدار تصادفی ایکسبر اساس قانون "مثلث قائم الزاویه" در بازه (0;4) توزیع شده است (شکل 5.5). یک عبارت تحلیلی برای چگالی احتمال پیدا کنید f(ایکس) در کل خط اعداد.

پاسخ ها

پ (-1/2<ایکس<1/2)=2/3.

پ(2π /9<ایکس< π /2)=1/2.

5.3. آ) با= 1/6، ب) م(ایکس)=3، ج) D(ایکس)=26/81.

5.4. آ) با=3/2، ب) م(ایکس)=3/5، ج) D(ایکس)=12/175.

ب) م(ایکس)= 3 , D(ایکس)= 2/9، σ( ایکس)= /3.

ب) م(ایکس)=2 , D(ایکس)= 3، σ( ایکس)= 1,893.

5.7. الف) c = ; ب)

5.8. آ) با=1/2; ب)

5.9. الف) 1/4؛ ب) 0.

5.10. الف) 3/5؛ ب) 1.

5.11. آ) با= 2; ب) م(ایکس)= 2 در 1- لوگاریتم 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. آ) م(ایکس)= π /2; ب) 1/2

 

شاید خواندن آن مفید باشد:

• مقامات منطقه کورگان به پایتخت منطقه پرداخت نمی کنند. فرماندار اوسیپوف دستورالعمل های فدرال را برای شفافیت انتخابات انجام می دهد.;
• سالاد با کلم چینی و چوب خرچنگ سالاد با کلم چینی، ذرت و خرچنگ;
• لوکوما - توضیحات میوه و خواص آن به همراه عکس استفاده در آشپزی;
• دستور العمل برای سوپ ارزن با پیچ و تاب تاریخی از ماهی، گوشت، بدون چربی;
• کتاب رویای Tsvetkov چه می گوید؟;
• سازگاری مار و میمون;
• تورگنف، تجزیه و تحلیل کار مومو، طرح;
• اشغال قلمرو اتحاد جماهیر شوروی توسط نیروهای رایش سوم در عکس های سربازان ورماخت;