یک حادثه خنده دار از زندگی. هندسه کروی خواص دایره اعداد

من یک بار شاهد گفتگو بین دو متقاضی بودم:

- چه زمانی باید 2πn اضافه کنید و چه زمانی باید πn اضافه کنید؟ فقط یادم نمی آید!

- و من هم همین مشکل را دارم.

فقط می خواستم به آنها بگویم: "نیازی به حفظ کردن ندارید، اما درک کنید!"

این مقاله در درجه اول به دانش آموزان دبیرستانی می پردازد و امیدوارم به آنها کمک کند ساده ترین معادلات مثلثاتی را با "درک" حل کنند:

دایره اعداد

در کنار مفهوم خط عددی، مفهوم دایره عددی نیز وجود دارد. همانطور که می دانیم، در یک سیستم مختصات مستطیلی، دایره ای با مرکز در نقطه (0;0) و شعاع 1 دایره واحد نامیده می شود.بیایید خط عددی را به عنوان یک نخ نازک تصور کنیم و آن را به دور این دایره بپیچانیم: مبدا (نقطه 0) را به نقطه "راست" دایره واحد وصل می کنیم، نیم محور مثبت را در خلاف جهت عقربه های ساعت و نیمه منفی را می پیچیم. -محور در جهت (شکل 1). چنین دایره واحدی دایره عددی نامیده می شود.

خواص دایره اعداد

هر عدد واقعی در یک نقطه از دایره اعداد قرار دارد.
در هر نقطه از دایره اعداد بی نهایت تعداد واقعی وجود دارد. از آنجایی که طول دایره واحد 2π است، اختلاف بین هر دو عدد در یک نقطه از دایره برابر با یکی از اعداد ± 2π است. ± 4π ; ± 6π ; ...

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد نقطه A می توانیم تمام اعداد نقطه A را پیدا کنیم.

بیایید قطر AC را رسم کنیم (شکل 2). از آنجایی که x_0 یکی از اعداد نقطه A است، پس اعداد x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... و فقط آنها اعداد نقطه C خواهند بود. بیایید یکی از این اعداد را انتخاب کنیم، مثلا x_0+π، و از آن برای نوشتن تمام اعداد نقطه C استفاده کنیم: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ ز. توجه داشته باشید که اعداد در نقاط A و C را می توان در یک فرمول ترکیب کرد: x_(A ; C)=x_0+πk,k∈Z (برای k = 0; ±2; ±4; ... ما اعداد نقطه A، و برای k = ± 3 ... - اعداد نقطه C).

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا C قطر AC، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم.

دو عدد متضاد در نقاطی از دایره قرار دارند که نسبت به محور آبسیسا متقارن هستند.

بیایید یک وتر عمودی AB رسم کنیم (شکل 2). از آنجایی که نقاط A و B در مورد محور Ox متقارن هستند، عدد -x_0 در نقطه B قرار دارد و بنابراین، تمام اعداد نقطه B با فرمول: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z داده می‌شوند. اعداد را در نقاط A و B با استفاده از یک فرمول می نویسیم: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. بگذارید نتیجه بگیریم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا B وتر عمودی AB، می‌توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم. بیایید وتر افقی AD را در نظر بگیریم و اعداد نقطه D را پیدا کنیم (شکل 2). از آنجایی که BD یک قطر است و عدد -x_0 متعلق به نقطه B است، پس -x_0 + π یکی از اعداد نقطه D است و بنابراین، تمام اعداد این نقطه با فرمول x_D=-x_0+π+ به دست می‌آیند. 2πk،k∈Z. اعداد در نقاط A و D را می توان با استفاده از یک فرمول نوشت: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk,k∈Z. (برای k= 0؛ ± 2؛ ± 4؛ … اعداد نقطه A و برای k = 1±؛ ± 3؛ ± 5؛ … – اعداد نقطه D را بدست می آوریم).

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا D وتر افقی AD، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم.

شانزده نقطه اصلی دایره اعداد

در عمل، حل بیشتر ساده ترین معادلات مثلثاتی شامل شانزده نقطه روی یک دایره است (شکل 3). این نقطه ها چیست؟ نقاط قرمز، آبی و سبز دایره را به 12 قسمت مساوی تقسیم می کنند. از آنجایی که طول نیم دایره π است، پس طول قوس A1A2 π/2، طول قوس A1B1 π/6 و طول قوس A1C1 π/3 است.

اکنون می توانیم هر بار یک عدد را نشان دهیم:

π/3 در C1 و

رئوس مربع نارنجی وسط کمان های هر یک چهارم هستند، بنابراین طول کمان A1D1 برابر با π/4 است و بنابراین، π/4 یکی از اعداد نقطه D1 است. با استفاده از ویژگی های دایره اعداد، می توانیم از فرمول ها برای نوشتن تمام اعداد در تمام نقاط علامت گذاری شده دایره خود استفاده کنیم. مختصات این نقاط نیز در شکل مشخص شده است (از شرح اکتساب آنها صرف نظر می کنیم).

با تسلط بر موارد فوق، اکنون آمادگی کافی برای حل موارد خاص (برای نه مقدار از عدد) داریم آ)ساده ترین معادلات

حل معادلات

1)sinx=1⁄(2).

- چه چیزی از ما خواسته می شود؟

– تمام اعداد x را که سینوس آنها برابر با 1/2 است را پیدا کنید.

بیایید تعریف سینوس را به خاطر بسپاریم: sinx - ترتیب نقطه روی دایره عددی که عدد x روی آن قرار دارد. دو نقطه روی دایره ای داریم که مختصات آنها برابر با 1/2 است. اینها انتهای وتر افقی B1B2 هستند. این بدان معناست که شرط «حل معادله sinx=1⁄2» معادل شرط «همه اعداد در نقطه B1 و همه اعداد در نقطه B2 را بیابید» است.

2)sinx=-√3⁄2 .

ما باید تمام اعداد را در نقاط C4 و C3 پیدا کنیم.

3) sinx=1. روی دایره فقط یک نقطه با مختص 1 داریم - نقطه A2 و بنابراین، فقط باید تمام اعداد این نقطه را پیدا کنیم.

پاسخ: x=π/2+2πk، k∈Z.

4)sinx=-1 .

فقط نقطه A_4 دارای 1- است. تمام اعداد این نقطه، اسب های معادله خواهند بود.

پاسخ: x=-π/2+2πk، k∈Z.

5) sinx=0 .

روی دایره دو نقطه با مختصات 0 داریم - نقاط A1 و A3. می توانید اعداد را در هر یک از نقاط به طور جداگانه نشان دهید، اما با توجه به اینکه این نقاط به طور قطری مخالف هستند، بهتر است آنها را در یک فرمول ترکیب کنید: x=πk,k∈Z.

پاسخ: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

بیایید تعریف کسینوس را به خاطر بسپاریم: cosx ابسیسا نقطه روی دایره عددی است که عدد x روی آن قرار دارد.روی دایره دو نقطه با آبسیسا √2⁄2 داریم - انتهای وتر افقی D1D4. ما باید تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم. بیایید آنها را بنویسیم و آنها را در یک فرمول ترکیب کنیم.

پاسخ: x=±π/4+2πk، k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

باید اعداد را در نقاط C_2 و C_3 پیدا کنیم.

پاسخ: x=±2π/3+2πk، k∈Z .

10) cosx=0 .

فقط نقاط A2 و A4 دارای ابسیسا 0 هستند، به این معنی که تمام اعداد در هر یک از این نقاط حل معادله خواهند بود.
.

راه حل های معادله سیستم اعداد در نقاط B_3 و B_4 برای نابرابری cosx هستند<0 удовлетворяют только числа b_3
پاسخ: x=-5π/6+2πk، k∈Z.

توجه داشته باشید که برای هر مقدار مجاز x، عامل دوم مثبت است و بنابراین، معادله معادل سیستم است.

راه حل های معادله سیستم تعداد نقاط D_2 و D_3 است. اعداد نقطه D_2 نابرابری sinx≤0.5 را برآورده نمی کنند، اما اعداد نقطه D_3 را برآورده می کنند.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

+ - 0; 2 P; 4 P. - 2 P; -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P P -3 P -2 P - P - P - P - P - P P 2 5 P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P; 3 P ; ص. -5 P;-3 P;- ص. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y X 5 P,14 -P-P ± P 2P 2 ± P P k، k Z (-1) k P 4P 4 + P g، g Z P 3P 3 ± + 2 P n، n Z P 6P 6 + P 3P 3 m , m Z نقاط مربوط به اعداد زیر را بیابید

0 y X - P +2 P k، k Z P 3P P n، n Z P m، m Z P (+ m)، m Z 2P 32P P P n، n Z P 2P 2 P P n، n Z 1 3 P (+2 l ), l Z نقاط مربوط به اعداد زیر را بیابید

1. نقطه الف اول متعلق به کدام یک از دایره اعداد است؟ ب. دوم. V. سوم. G. چهارم. 2. نقطه الف اول متعلق به کدام یک از دایره اعداد است؟ ب. دوم. V. سوم. G. چهارم. 3. علائم اعداد a و b را در صورتی مشخص کنید که: A. a>0، b>0. B. a 0. B. a>0، b0، b 0"> 0، b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1. کدام چهارم دایره عددی نقطه A را نشان می دهد. اول. B. ثانیاً ج. چهارمین ربع دایره الف > 0."> title="1. نقطه الف اول متعلق به کدام یک از دایره اعداد است؟ ب. دوم. V. سوم. G. چهارم. 2. نقطه الف اول متعلق به کدام یک از دایره اعداد است؟ ب. دوم. V. سوم. G. چهارم. 3. علائم اعداد a و b را مشخص کنید اگر: A. a>0"> !}

ظاهراً اولین توسل بشر به چیزی که بعدها هندسه کروی نامیده شد، نظریه سیاره ای ریاضیدان یونانی ائودکسوس (حدود 408-355)، یکی از شرکت کنندگان در آکادمی افلاطون بود. این تلاشی بود برای توضیح حرکت سیارات به دور زمین با کمک چهار کره متحدالمرکز در حال چرخش، که هر یک دارای یک محور چرخش خاص با انتهای ثابت بر روی کره محصور بود، که به نوبه خود، ستارگان به آن متصل بودند. "میخکوب شده." به این ترتیب، مسیرهای پیچیده سیارات توضیح داده شد (ترجمه شده از یونانی، "سیاره" به معنای سرگردان است). به لطف این مدل بود که دانشمندان یونان باستان توانستند حرکت سیارات را کاملاً دقیق توصیف و پیش بینی کنند. این لازم بود، به عنوان مثال، در ناوبری، و همچنین در بسیاری از کارهای "زمینی" دیگر، جایی که لازم بود در نظر بگیریم که زمین یک پنکیک صاف نیست که بر روی سه نهنگ قرار دارد. کمک های قابل توجهی به هندسه کروی توسط منلائوس اسکندریه (حدود 100 پس از میلاد) انجام شد. کارش کروی هااوج دستاوردهای یونان در این زمینه شد. که در اسفریکمثلث های کروی در نظر گرفته می شوند - موضوعی که در اقلیدس یافت نمی شود. منلائوس نظریه اقلیدسی مثلث های مسطح را به کره منتقل کرد و از جمله به شرایطی دست یافت که در آن سه نقطه در اضلاع یک مثلث کروی یا امتداد آنها روی یک خط مستقیم قرار می گیرند. قضیه مربوط به هواپیما قبلاً در آن زمان به طور گسترده شناخته شده بود، اما دقیقاً به عنوان قضیه منلائوس وارد تاریخ هندسه شد و برخلاف بطلمیوس (حدود 150) که محاسبات زیادی در آثار خود داشت، رساله منلئوس چنین است. هندسی کاملاً مطابق با روح سنت اقلیدسی.

اصول اولیه هندسه کروی.

هر صفحه ای که یک کره را قطع کند یک دایره در مقطع ایجاد می کند. اگر صفحه از مرکز کره عبور کند، سطح مقطع به یک دایره بزرگ تبدیل می شود. از طریق هر دو نقطه روی یک کره، به جز آنهایی که به طور قطری مخالف یکدیگر هستند، می توان یک دایره بزرگ منفرد رسم کرد. (روی کره زمین، مثالی از یک دایره بزرگ، استوا و تمام نصف النهارها است.) تعداد نامتناهی دایره بزرگ از نقاط کاملاً متضاد عبور می کنند. قوس کوچکتر AmB(شکل 1) دایره بزرگ کوتاه ترین خطوط روی کره ای است که نقاط داده شده را به هم متصل می کند. این خط نامیده می شود ژئودتیک. خطوط ژئودزیک همان نقشی را بر روی کره ایفا می کنند که خطوط مستقیم در پلان سنجی انجام می دهند. بسیاری از مفاد هندسه در صفحه روی کره نیز معتبر است، اما، بر خلاف صفحه، دو خط کروی در دو نقطه کاملاً مخالف یکدیگر را قطع می کنند. بنابراین، مفهوم موازی بودن به سادگی در هندسه کروی وجود ندارد. تفاوت دیگر این است که خط کروی بسته است، یعنی. با حرکت در امتداد آن در همان جهت، به نقطه شروع باز خواهیم گشت. و یکی دیگر از واقعیت های شگفت انگیز از دیدگاه پلان سنجی این است که یک مثلث روی یک کره می تواند هر سه زاویه قائمه داشته باشد.

خطوط، پاره ها، فواصل و زوایا روی یک کره.

دایره های بزرگ روی یک کره به عنوان خطوط مستقیم در نظر گرفته می شوند. اگر دو نقطه به یک دایره بزرگ تعلق داشته باشند، طول کمان کوچکتر که این نقاط را به هم متصل می کند به صورت زیر تعریف می شود. فاصله کرویبین این نقاط، و خود قوس مانند یک بخش کروی است. نقاط متضاد قطری توسط تعداد بی نهایت بخش کروی - نیم دایره های بزرگ - به هم متصل می شوند. طول یک قطعه کروی از طریق اندازه گیری رادیان زاویه مرکزی a و شعاع کره تعیین می شود. آر(شکل 2)، با توجه به فرمول طول قوس برابر است با آرآ. هر نقطه ای بابخش کروی ABآن را به دو قسمت تقسیم می کند و مجموع طول های کروی آنها، مانند پلان سنجی، برابر است با طول کل قطعه، یعنی. آر AOC+ آر جغد= پ AOB. برای هر نقطه Dخارج از بخش ABیک "نابرابری مثلث کروی" وجود دارد: مجموع فواصل کروی از Dقبل از آو از Dقبل از که دربیشتر AB، یعنی آر AOD+ آر DOB> آر AOB, – مطابقت کامل بین هندسه های کروی و مسطح. نابرابری مثلث یکی از موارد اساسی در هندسه کروی است که از آن نتیجه می شود که، مانند پلان سنجی، یک قطعه کروی از هر خط شکسته کروی کوتاهتر است و بنابراین هر منحنی روی کره ای که انتهای آن را به هم متصل می کند.

به همین ترتیب، بسیاری از مفاهیم دیگر پلان سنجی را می توان به کره منتقل کرد، به ویژه آنهایی که می توانند از طریق فاصله بیان شوند. مثلا، دایره کروی- مجموعه ای از نقاط روی کره با فاصله مساوی از یک نقطه مشخص آر. به راحتی می توان نشان داد که دایره در صفحه ای عمود بر قطر کره قرار دارد RR` (شکل 3)، یعنی. این یک دایره مسطح معمولی با یک مرکز روی قطر است RR`. اما دارای دو مرکز کروی است: آرو آر`. این مراکز معمولا نامیده می شوند قطب ها. اگر به کره زمین بپردازیم، می بینیم که در مورد دایره هایی مانند موازی ها صحبت می کنیم و مراکز کروی همه موازی ها، قطب شمال و جنوب است. اگر قطر r یک دایره کروی برابر با p/2 باشد، دایره کروی به یک خط مستقیم کروی تبدیل می شود. (روی کره زمین استوا وجود دارد). در این مورد، چنین دایره ای نامیده می شود قطبیهر یک از نقاط آرو پ`.

یکی از مفاهیم مهم در هندسه تساوی ارقام است. اگر بتوان یکی از آنها را به گونه ای (با چرخش و ترجمه) روی دیگری نمایش داد که فاصله ها حفظ شود، ارقام برابر در نظر گرفته می شوند. این در مورد هندسه کروی نیز صادق است.

زوایای یک کره به صورت زیر تعریف می شوند. وقتی دو خط کروی قطع می شوند آو بچهار بیگون کروی روی کره تشکیل می شود، درست همانطور که دو خط متقاطع روی یک صفحه آن را به چهار زاویه صفحه تقسیم می کنند (شکل 4). هر یک از مورب ها مربوط به یک زاویه دو وجهی است که توسط صفحات قطری شامل آو ب. و زاویه بین خطوط مستقیم کروی برابر با کوچکتر از زوایای قطرهایی است که تشکیل می دهند.

همچنین توجه می کنیم که زاویه P ABC، که روی یک کره توسط دو کمان دایره بزرگ تشکیل شده است، با زاویه P اندازه گیری می شود آ`قبل از میلاد مسیح.` بین مماس ها بر کمان های مربوطه در یک نقطه که در(شکل 5) یا یک زاویه دو وجهی تشکیل شده توسط صفحات قطری حاوی قطعات کروی ABو آفتاب.

همانطور که در استریومتری، هر نقطه روی کره با پرتویی همراه است که از مرکز کره به این نقطه کشیده شده است و هر شکل روی کره با اتحاد همه پرتوهایی که آن را قطع می کنند همراه است. بنابراین، یک خط مستقیم کروی مربوط به صفحه قطری حاوی آن، یک قطعه کروی مربوط به یک زاویه صفحه، یک دیگون مربوط به یک زاویه دو وجهی، و یک دایره کروی مربوط به یک سطح مخروطی است که محور آن از قطب های دایره می گذرد.

یک زاویه چند وجهی با یک راس در مرکز کره، کره را در امتداد یک چندضلعی کروی قطع می کند. (شکل 6). این ناحیه روی یک کره است که توسط یک خط شکسته از قطعات کروی محدود شده است. پیوندهای خط شکسته اضلاع یک چندضلعی کروی هستند. طول آنها برابر با مقادیر زوایای صفحه مربوط به زاویه چند وجهی و مقدار زاویه در هر رأس است. آبرابر با زاویه دو وجهی در لبه است OA.

مثلث کروی.

در میان همه چند ضلعی های کروی، مثلث کروی بیشترین توجه را دارد. سه دایره بزرگ که به صورت جفت در دو نقطه متقاطع می شوند، هشت مثلث کروی را روی کره تشکیل می دهند. با دانستن عناصر (اضلاع و زوایای) یکی از آنها، می توان عناصر همه را تعیین کرد، بنابراین روابط بین عناصر یکی از آنها را در نظر می گیریم، عنصری که تمام اضلاع آن کمتر از نصف بزرگ است. دایره. اضلاع یک مثلث با زوایای صفحه زاویه سه وجهی اندازه گیری می شود OABC، زوایای مثلث زوایای دو وجهی همان زاویه سه وجهی هستند (شکل 7).

بسیاری از خواص یک مثلث کروی (و همچنین خواص زوایای سه وجهی هستند) تقریباً به طور کامل خواص یک مثلث معمولی را تکرار می کنند. از جمله آنها نابرابری مثلثی است که در زبان زوایای سه وجهی بیان می کند که هر زاویه صفحه ای از یک زاویه سه وجهی کمتر از مجموع دو زاویه دیگر است. یا مثلا سه علامت تساوی مثلث ها. تمامی پیامدهای پلان سنجی قضایای مذکور به همراه براهین آنها بر روی کره باقی می ماند. بنابراین، مجموعه نقاط مساوی از انتهای قطعه نیز روی کره عمود بر آن خواهد بود، خطی مستقیم از وسط آن می گذرد، که از آن نتیجه می شود که نیمسازها بر اضلاع یک مثلث کروی عمود هستند. ABCیک نقطه مشترک یا بهتر بگوییم دو نقطه مشترک کاملا متضاد دارند آرو آرکه قطب های تنها دایره محصور آن هستند (شکل 8). در استریومتری، این بدان معنی است که یک مخروط را می توان در اطراف هر زاویه سه وجهی توصیف کرد. به راحتی می توان این قضیه را به کره منتقل کرد که نیمسازهای یک مثلث در مرکز دایره آن را قطع می کنند.

قضایای مربوط به تقاطع ارتفاعات و میانه ها نیز صادق هستند، اما برهان های معمول آنها در پلان سنجی به طور مستقیم یا غیرمستقیم از موازی سازی استفاده می کنند که در یک کره وجود ندارد و بنابراین اثبات دوباره آنها به زبان کلیشه سنجی آسان تر است. برنج. شکل 9 اثبات قضیه میانه کروی را نشان می دهد: صفحات حاوی وسط یک مثلث کروی ABC، یک مثلث صفحه را با رئوس یکسان در امتداد میانه های معمول آن قطع می کنند، بنابراین، همه آنها شامل شعاع کره ای هستند که از نقطه تقاطع میانه های صفحه می گذرد. انتهای شعاع نقطه مشترک سه میانه "کروی" خواهد بود.

خواص مثلث های کروی از بسیاری جهات با خواص مثلث های روی یک صفحه متفاوت است. بنابراین، به سه مورد شناخته شده برابری مثلث های مستطیل، مورد چهارم اضافه می شود: دو مثلث. ABCو А`В`Сاگر سه زاویه P به ترتیب برابر باشند، برابر هستند آ= پ آ`, آر که در= پ که در`, آر با= پ با`. بنابراین، هیچ مثلث مشابهی بر روی کره وجود ندارد، علاوه بر این، در هندسه کروی مفهوم شباهت وجود ندارد، زیرا هیچ تبدیلی وجود ندارد که تمام فواصل را با تعداد یکسان (نه برابر 1) تغییر دهد. این ویژگی ها با نقض اصل اقلیدسی خطوط موازی همراه است و در هندسه لوباچفسکی نیز ذاتی است. مثلث هایی که دارای عناصر مساوی و جهت های متفاوت هستند را متقارن می نامند مانند مثلث AC`باو VSS(شکل 10).

مجموع زوایای هر مثلث کروی همیشه بزرگتر از 180 درجه است. تفاوت P آ+ص که در+ص با -پ = d (با رادیان اندازه گیری می شود) یک کمیت مثبت است و به آن اضافه کروی می گویند یک مثلث کروی داده شده مساحت مثلث کروی: S = R 2 د کجا آرشعاع کره است و d مازاد کروی است. این فرمول اولین بار توسط هلندی A. Girard در سال 1629 منتشر شد و به نام او نامگذاری شد.

اگر قطری را با زاویه a در نظر بگیریم، آنگاه در 226 = 2p/ n (n -عدد صحیح) می توان کره را دقیقاً به آن برش داد پکپی از چنین مورب، و مساحت کره 4 است nR 2 = 4p در آر= 1، بنابراین مساحت قطر 4p/ n= 2a. این فرمول برای a نیز صادق است = 2p t/nو بنابراین برای همه صادق است. اگر اضلاع یک مثلث کروی را ادامه دهیم ABCو مساحت کره را از طریق نواحی بیگون های حاصل با زاویه بیان می کند آ,که در,باو مساحت خود را، سپس می توانیم به فرمول Girard بالا برسیم.

مختصات در حوزه.

هر نقطه روی کره با تعیین دو عدد کاملاً مشخص می شود. این اعداد ( مختصات) به شرح زیر تعیین می شوند (شکل 11). مقداری دایره بزرگ ثابت است QQ` (استوا) یکی از دو نقطه تقاطع قطر کره PPبه عنوان مثال، عمود بر صفحه استوایی، با سطح یک کره آر (قطب) و یکی از نیم دایره های بزرگ PAPبیرون آمدن از قطب ( نصف النهار اول). نیم دایره های بزرگ بیرون می آیند پ، به نام نصف النهار، دایره های کوچک موازی با خط استوا، مانند LL"، - موازی ها. به عنوان یکی از مختصات نقطه مروی کره زاویه q گرفته می شود = POM (ارتفاع نقطه) به عنوان دومین – زاویه j = AONبین نصف النهار اول و نصف النهار که از نقطه عبور می کند م (طول جغرافیایینقاط، در خلاف جهت عقربه های ساعت شمارش می شود).

در جغرافیا (روی کره زمین)، مرسوم است که از نصف النهار گرینویچ به عنوان اولین نصف النهار استفاده شود، با عبور از سالن اصلی رصدخانه گرینویچ (گرینویچ یک منطقه لندن است)، زمین را به ترتیب به نیمکره شرقی و غربی تقسیم می کند. و طول جغرافیایی شرقی یا غربی است و از 0 تا 180 درجه در هر دو جهت از گرینویچ اندازه گیری می شود. و به جای ارتفاع یک نقطه در جغرافیا، مرسوم است که از عرض جغرافیایی استفاده شود در، یعنی گوشه NOM = 90 درجه - q، از خط استوا اندازه گیری می شود. زیرا از آنجایی که استوا زمین را به نیمکره شمالی و جنوبی تقسیم می کند، عرض جغرافیایی یا شمالی یا جنوبی است و از 0 تا 90 درجه متغیر است.

مارینا فدوسوا

کار نهایی در ریاضیات
پایه 10
28 آوریل 2017
گزینه MA00602
(سطح پایه)
تکمیل شده توسط: نام و نام خانوادگی__________________________ کلاس ______
دستورالعمل انجام کار
90 دقیقه به شما فرصت داده می شود تا کار ریاضی نهایی را انجام دهید. کار
شامل 15 کار و از دو بخش تشکیل شده است.
پاسخ در وظایف قسمت اول (1-10) یک عدد صحیح است،
کسر اعشاری یا دنباله ای از اعداد. پاسخ خود را در فیلد بنویسید
در متن اثر پاسخ دهید.
در کار 11 قسمت دوم باید پاسخ را در قسمت ویژه یادداشت کنید
زمینه اختصاص داده شده برای این کار
در وظایف 12-14 قسمت دوم باید راه حل را یادداشت کنید و پاسخ دهید
در زمینه ای که برای این منظور در نظر گرفته شده است. پاسخ تکلیف 15 این است
نمودار تابع
هر یک از وظایف 5 و 11 در دو نسخه ارائه شده است که از آنها می باشد
فقط باید یکی را انتخاب و اجرا کنید.
هنگام انجام کار، نمی توانید از کتاب های درسی استفاده کنید، کار کنید
نوت بوک، کتاب مرجع، ماشین حساب.
در صورت لزوم، می توانید از پیش نویس استفاده کنید. آثار در پیش نویس بررسی یا درجه بندی نخواهند شد.
شما می توانید وظایف را به هر ترتیبی انجام دهید، نکته اصلی این است که آن را به درستی انجام دهید
تا آنجا که ممکن است وظایف را حل کنید. ما به شما توصیه می کنیم در زمان خود صرفه جویی کنید
کاری را که نمی توان فوراً تکمیل کرد رد کرد و ادامه داد
بعدی. اگر بعد از اتمام تمام کارها هنوز وقت دارید،
شما می توانید به کارهای از دست رفته بازگردید.
برای شما آرزوی موفقیت داریم!

قسمت 1
در وظایف 1-10، پاسخ خود را به صورت یک عدد کامل، کسری اعشاری یا
دنباله ای از اعداد پاسخ خود را در قسمت پاسخ در متن بنویسید
کار کردن
1

قیمت کتری برقی 10 درصد افزایش یافت و به مبلغ
1980 روبل. قیمت کتری قبل از افزایش قیمت چند روبل بود؟

اولگ و تولیا همزمان مدرسه را ترک کردند و در همان زمان به خانه رفتند
گران. پسرها در یک خانه زندگی می کنند. شکل یک نمودار را نشان می دهد
حرکات هر کدام: اولگ - با یک خط ثابت، تولیا - با یک خط نقطه چین. توسط
محور عمودی فاصله را نشان می دهد (بر حسب متر)، محور افقی فاصله را نشان می دهد
زمان سفر برای هر یک در دقیقه

با استفاده از نمودار، عبارات صحیح را انتخاب کنید.
1)
2)
3)

اولگ قبل از تولیا به خانه آمد.
سه دقیقه پس از ترک مدرسه، اولگ با تولیا برخورد کرد.
در تمام طول سفر، فاصله بین پسرها کمتر بود
100 متر.
4) در شش دقیقه اول، پسران همان مسافت را طی کردند.

پاسخ: ___________________________

معنی عبارت را پیدا کنید

π
π
- 2 گناه 2.
8
8

پاسخ: ___________________________
StatGrad 2016-2017 سال تحصیلی. انتشار آنلاین یا چاپی
بدون رضایت کتبی StatGrad ممنوع است

ریاضیات. پایه 10. گزینه 00602 (سطح پایه)

دو مورد روی دایره واحد مشخص شده است
نقطه‌های متضاد Pa α و
Pβ مربوط به چرخش در زوایای α و
β (شکل را ببینید).
آیا می توان گفت که:
1) α  β  0
2) cosα  cosβ
3) α  β  2π
4) sin α  sin β  0

در پاسخ خود اعداد عبارات صحیح را بدون فاصله، کاما و
شخصیت های اضافی دیگر
پاسخ: ___________________________
تنها یکی از وظایف 5.1 یا 5.2 را انتخاب و تکمیل کنید.
5.1

شکل یک نمودار را نشان می دهد
تابع y  f (x) در بازه   3;11 تعریف شده است.
کوچکترین مقدار را پیدا کنید
توابع در بخش  1؛ 5.

پاسخ: ___________________________
5.2

معادله 2 4 x5  6 را حل کنید.

پاسخ: ___________________________

StatGrad 2016-2017 سال تحصیلی. انتشار آنلاین یا چاپی
بدون رضایت کتبی StatGrad ممنوع است

ریاضیات. پایه 10. گزینه 00602 (سطح پایه)

صفحه ای که از نقاط A، B و C می گذرد (نگاه کنید به.
شکل)، مکعب را به دو چند وجهی تقسیم می کند. یکی از
چهار طرف دارد دومی چند صورت دارد؟

پاسخ: ___________________________
7

اعداد عبارات صحیح را انتخاب کنید.
1)
2)
3)
4)

در فضا، از طریق نقطه ای که روی یک خط معین قرار ندارد، می توانید
صفحه ای را رسم کنید که یک خط معین را قطع نمی کند، و علاوه بر این، فقط
یکی
یک خط مایل که به یک صفحه کشیده شده است همان زاویه را تشکیل می دهد
تمام خطوط مستقیمی که در این صفحه قرار دارند.
یک صفحه را می توان از میان هر دو خط متقاطع رسم کرد.
از طریق نقطه ای در فضا که روی یک خط معین قرار ندارد، می توان
دو خط مستقیم بکشید که یک خط معین را قطع نمی کنند.

در پاسخ خود اعداد عبارات صحیح را بدون فاصله، کاما و
شخصیت های اضافی دیگر
پاسخ: ___________________________
8

در مرغداری فقط جوجه و اردک وجود دارد و تعداد جوجه ها 7 برابر بیشتر است
اردک ها احتمال اینکه یک مزرعه به طور تصادفی انتخاب شده را بیابید
پرنده معلوم شد اردک است.
پاسخ: ___________________________

سقف کانکس با زاویه 14 قرار دارد
به سمت افقی فاصله بین دو تکیه گاه
400 سانتی متر است. با استفاده از جدول،
تعیین کنید که یک تکیه چند سانتی متر است
طولانی تر از دیگری
α
13
14
15
16
17
18
19

گناه α
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

Cos α
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

Tg α
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

پاسخ: ___________________________
StatGrad 2016-2017 سال تحصیلی. انتشار آنلاین یا چاپی
بدون رضایت کتبی StatGrad ممنوع است

ریاضیات. پایه 10. گزینه 00602 (سطح پایه)

کوچکترین عدد هفت رقمی طبیعی که بر 3 بخش پذیر است را پیدا کنید.
اما بر 6 بخش پذیر نیست و هر رقم آن با شروع از دومی کمتر است
قبلی.
پاسخ: ___________________________
قسمت 2
در تکلیف 11، پاسخ خود را در جای مشخص شده بنویسید. در وظایف
12-14 باید راه حل را یادداشت کنید و در فضای مشخص شده پاسخ دهید
برای این رشته پاسخ تکلیف 15 نمودار تابع است.
فقط یکی از کارها را انتخاب و تکمیل کنید: 11.1 یا 11.2.

2
. سه مقدار ممکن مختلف را بنویسید
2
چنین زوایایی پاسخ خود را به رادیان بگویید.

کوچکترین عدد طبیعی را که بزرگتر از log 7 80 است بیابید.

کسینوس زاویه  است

StatGrad 2016-2017 سال تحصیلی. انتشار آنلاین یا چاپی
بدون رضایت کتبی StatGrad ممنوع است

ریاضیات. پایه 10. گزینه 00602 (سطح پایه)

در مثلث ABC اضلاع AB و BC مشخص شده اند
نقاط M و K به ترتیب به طوری که BM: AB  1: 2، و
BK: BC  2:3. مساحت مثلث ABC چند برابر است؟
بزرگتر از مساحت مثلث MVK؟

چند جفت از اعداد a و b را طوری انتخاب کنید که محور نامساوی  b  0 باشد.
دقیقاً سه نقطه از پنج نقطه مشخص شده در شکل را برآورده کرد.
-1

StatGrad 2016-2017 سال تحصیلی. انتشار آنلاین یا چاپی
بدون رضایت کتبی StatGrad ممنوع است

ریاضیات. پایه 10. گزینه 00602 (سطح پایه)

قیمت آهن دو برابر با همین درصد افزایش یافت. بر
قیمت آهن هر بار چند درصد افزایش پیدا کرد
هزینه اولیه 2000 روبل است و هزینه نهایی 3380 روبل است؟

StatGrad 2016-2017 سال تحصیلی. انتشار آنلاین یا چاپی
بدون رضایت کتبی StatGrad ممنوع است

ریاضیات. پایه 10. گزینه 00602 (سطح پایه)

تابع y  f (x) دارای ویژگی های زیر است:
1) f (x)  3 x  4 در 2  x  1;
2) f (x)  x  2 در 1  x  0;
3) f (x)  2  2 x در 0  x  2;
4) تابع y  f (x) تناوبی با دوره 4 است.
نمودار این تابع را روی قطعه  6;4 رسم کنید.
y

StatGrad 2016-2017 سال تحصیلی. انتشار آنلاین یا چاپی
بدون رضایت کتبی StatGrad ممنوع است

شاید خواندن آن مفید باشد: