Care este diferența de progresie? Cum să găsiți o progresie aritmetică? Exemple de progresie aritmetică cu soluție

Mulți au auzit de o progresie aritmetică, dar nu toată lumea este conștientă de ce este aceasta. În acest articol, vom oferi definiția corespunzătoare și vom lua în considerare, de asemenea, întrebarea cum să găsim diferența unei progresii aritmetice și vom oferi o serie de exemple.

Definiție matematică

Deci, dacă vorbim despre o progresie aritmetică sau algebrică (aceste concepte definesc același lucru), atunci aceasta înseamnă că există o serie de numere care îndeplinește următoarea lege: fiecare două numere adiacente din serie diferă cu aceeași valoare. Din punct de vedere matematic, aceasta este scrisă astfel:

Aici n înseamnă numărul elementului a n din succesiune, iar numărul d este diferența de progresie (denumirea acestuia decurge din formula prezentată).

Ce înseamnă a cunoaște diferența d? Cam cât de departe sunt numerele adiacente. Cu toate acestea, cunoașterea lui d este o condiție necesară, dar nu suficientă pentru determinarea (restaurarea) întregii progresii. Trebuie să știți încă un număr, care poate fi absolut orice element al seriei luate în considerare, de exemplu, un 4, a10, dar, de regulă, se folosește primul număr, adică un 1.

Formule pentru determinarea elementelor progresiei

În general, informațiile de mai sus sunt deja suficiente pentru a trece la rezolvarea unor probleme specifice. Cu toate acestea, înainte de a se da o progresie aritmetică și va fi necesar să găsim diferența acesteia, prezentăm câteva formule utile, facilitând astfel procesul ulterior de rezolvare a problemelor.

Este ușor de arătat că orice element al șirului cu număr n poate fi găsit după cum urmează:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Într-adevăr, toată lumea poate verifica această formulă prin simplă enumerare: dacă înlocuim n = 1, atunci obținem primul element, dacă înlocuim n = 2, atunci expresia dă suma primului număr și diferența și așa mai departe.

Condițiile multor probleme sunt compilate în așa fel încât pentru o pereche cunoscută de numere, ale căror numere sunt și ele date în succesiune, este necesar să se restabilească întreaga serie de numere (găsiți diferența și primul element). Acum vom rezolva această problemă într-un mod general.

Deci, să presupunem că ni se dau două elemente cu numere n și m. Folosind formula obținută mai sus, putem compune un sistem de două ecuații:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Pentru a găsi cantități necunoscute, folosim o metodă simplă binecunoscută pentru rezolvarea unui astfel de sistem: scădem părțile din stânga și din dreapta în perechi, în timp ce egalitatea rămâne valabilă. Avem:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Astfel, am eliminat o necunoscută (a 1). Acum putem scrie expresia finală pentru determinarea d:

d = (a n - a m) / (n - m), unde n > m

Am obținut o formulă foarte simplă: pentru a calcula diferența d în conformitate cu condițiile problemei, este necesar doar să luăm raportul dintre diferențele dintre elementele în sine și numerele lor de serie. Ar trebui acordată atenție unui punct important: diferențele sunt luate între membrii „senior” și „junior”, adică n\u003e m („senior” - adică stând mai departe de începutul secvenței, valoarea sa absolută poate fi fie mai mult sau mai puțin element „mai tânăr”).

Expresia diferenței d a progresiei ar trebui înlocuită în oricare dintre ecuațiile de la începutul soluției problemei pentru a obține valoarea primului termen.

În epoca noastră a dezvoltării tehnologiei informatice, mulți școlari încearcă să găsească soluții pentru sarcinile lor pe Internet, așa că apar adesea întrebări de acest tip: găsiți diferența unei progresii aritmetice online. La o astfel de solicitare, motorul de cautare va afisa un numar de pagini web, accesand la care, va trebui sa introduceti datele cunoscute din conditie (pot fi fie doi membri ai progresiei, fie suma unora dintre ei). ) și obțineți instantaneu un răspuns. Cu toate acestea, o astfel de abordare a rezolvării problemei este neproductivă în ceea ce privește dezvoltarea elevului și înțelegerea esenței sarcinii care i-a fost atribuită.

Soluție fără a folosi formule

Să rezolvăm prima problemă, în timp ce nu vom folosi niciuna dintre formulele de mai sus. Să fie date elementele seriei: a6 = 3, a9 = 18. Aflați diferența progresiei aritmetice.

Elementele cunoscute sunt apropiate unele de altele la rând. De câte ori trebuie adăugată diferența d la cea mai mică pentru a obține cea mai mare? De trei ori (prima oară adăugând d, obținem al 7-lea element, a doua oară - a opta, în sfârșit, a treia oară - a noua). Ce număr trebuie adăugat la trei de trei ori pentru a obține 18? Acesta este numărul cinci. Într-adevăr:

Astfel, diferența necunoscută este d = 5.

Desigur, soluția se putea face folosind formula adecvată, dar acest lucru nu a fost făcut intenționat. O explicație detaliată a soluției problemei ar trebui să devină un exemplu clar și viu a ceea ce este o progresie aritmetică.

O sarcină similară celei anterioare

Acum să rezolvăm o problemă similară, dar să schimbăm datele de intrare. Deci, ar trebui să aflați dacă a3 = 2, a9 = 19.

Desigur, puteți recurge din nou la metoda de rezolvare „pe frunte”. Dar, deoarece sunt date elementele seriei, care sunt relativ îndepărtate, o astfel de metodă nu devine foarte convenabilă. Dar folosirea formulei rezultate ne va conduce rapid la răspuns:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Aici am rotunjit numărul final. Cât de mult a condus această rotunjire la o eroare poate fi judecat verificând rezultatul:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Acest rezultat diferă doar cu 0,1% de valoarea dată în condiție. Prin urmare, rotunjirea la sutimile utilizate poate fi considerată o alegere bună.

Sarcini pentru aplicarea formulei pentru un membru

Să luăm în considerare un exemplu clasic al problemei determinării necunoscutului d: găsiți diferența progresiei aritmetice dacă a1 = 12, a5 = 40.

Când sunt date două numere dintr-o secvență algebrică necunoscută, iar unul dintre ele este elementul a 1 , atunci nu trebuie să vă gândiți mult, dar ar trebui să aplicați imediat formula pentru un membru. În acest caz avem:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Am obținut numărul exact la împărțire, așa că nu are rost să verificăm acuratețea rezultatului calculat, așa cum sa făcut în paragraful anterior.

Să rezolvăm o altă problemă similară: ar trebui să găsim diferența progresiei aritmetice dacă a1 = 16, a8 = 37.

Folosim o abordare similară cu cea anterioară și obținem:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Ce altceva ar trebui să știi despre progresia aritmetică

Pe lângă problemele de găsire a unei diferențe necunoscute sau a elementelor individuale, este adesea necesar să se rezolve problemele sumei primilor termeni ai unei secvențe. Luarea în considerare a acestor probleme depășește domeniul de aplicare al subiectului articolului, cu toate acestea, pentru caracterul complet al informațiilor, prezentăm o formulă generală pentru suma de n numere ale seriei:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2


De exemplu, secvența \(2\); \(5\); \(8\); \(unsprezece\); \(14\)... este o progresie aritmetică, deoarece fiecare element următor diferă de cel anterior cu trei (se poate obține de la precedentul prin adăugarea a trei):

În această progresie, diferența \(d\) este pozitivă (egală cu \(3\)) și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât cel anterior. Se numesc astfel de progresii crescând.

Totuși, \(d\) poate fi și un număr negativ. De exemplu, în progresie aritmetică \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... diferența de progresie \(d\) este egală cu minus șase.

Și în acest caz, fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. Aceste progresii se numesc in scadere.

Notarea progresiei aritmetice

Progresia este indicată de o literă latină mică.

Numerele care formează o progresie se numesc membrii(sau elemente).

Ele sunt notate cu aceeași literă ca și progresia aritmetică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.

De exemplu, progresia aritmetică \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) constă din elementele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, pentru progresia \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rezolvarea problemelor pe o progresie aritmetică

În principiu, informațiile de mai sus sunt deja suficiente pentru a rezolva aproape orice problemă pe o progresie aritmetică (inclusiv cele oferite la OGE).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este dată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).
Soluţie:

Răspuns: \(b_5=23\)

Exemplu (OGE). Primii trei termeni ai unei progresii aritmetice sunt dați: \(62; 49; 36…\) Aflați valoarea primului termen negativ al acestei progresii..
Soluţie:

Ni se oferă primele elemente ale secvenței și știm că este o progresie aritmetică. Adică fiecare element diferă de cel vecin prin același număr. Aflați care dintre ele scăzând pe cel precedent din următorul element: \(d=49-62=-13\).

Acum ne putem restabili progresul la elementul dorit (primul negativ).

Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(-3\)

Exemplu (OGE). Sunt date mai multe elemente succesive ale unei progresii aritmetice: \(...5; x; 10; 12,5...\) Aflați valoarea elementului notat cu litera \(x\).
Soluţie:


Pentru a găsi \(x\), trebuie să știm cât de mult diferă următorul element față de cel anterior, cu alte cuvinte, diferența de progresie. Să o găsim din două elemente învecinate cunoscute: \(d=12,5-10=2,5\).

Și acum găsim fără probleme ceea ce căutăm: \(x=5+2.5=7.5\).


Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(7,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este data de urmatoarele conditii: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

Trebuie să găsim suma primilor șase termeni ai progresiei. Dar nu le cunoaștem semnificațiile, ni se dă doar primul element. Prin urmare, mai întâi calculăm valorile pe rând, folosindu-ne:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Și după ce am calculat cele șase elemente de care avem nevoie, găsim suma lor.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Suma solicitată a fost găsită.

Răspuns: \(S_6=9\).

Exemplu (OGE). În progresie aritmetică \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Găsiți diferența acestei progresii.
Soluţie:

Răspuns: \(d=7\).

Formule importante de progresie aritmetică

După cum puteți vedea, multe probleme de progresie aritmetică pot fi rezolvate pur și simplu prin înțelegerea principalului lucru - că o progresie aritmetică este un lanț de numere și fiecare element următor din acest lanț se obține prin adăugarea aceluiași număr la cel precedent (diferența a progresiei).

Cu toate acestea, uneori există situații când este foarte incomod să rezolvi „pe frunte”. De exemplu, imaginați-vă că în primul exemplu, trebuie să găsim nu al cincilea element \(b_5\), ci al trei sute optzeci și șase \(b_(386)\). Ce este, \ (385 \) ori să adunăm patru? Sau imaginați-vă că, în penultimul exemplu, trebuie să găsiți suma primelor șaptezeci și trei de elemente. Numărarea este confuză...

Prin urmare, în astfel de cazuri, ei nu rezolvă „pe frunte”, ci folosesc formule speciale derivate pentru progresia aritmetică. Iar cele principale sunt formula pentru al n-lea termen al progresiei și formula pentru suma \(n\) a primilor termeni.

Formula pentru \(n\)-lea membru: \(a_n=a_1+(n-1)d\), unde \(a_1\) este primul membru al progresiei;
\(n\) – numărul elementului solicitat;
\(a_n\) este un membru al progresiei cu numărul \(n\).


Această formulă ne permite să găsim rapid cel puțin elementul trei sute, chiar milionul, cunoscând doar primul și diferența de progresie.

Exemplu. Progresia aritmetica este data de conditiile: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Găsiți \(b_(246)\).
Soluţie:

Răspuns: \(b_(246)=1850\).

Formula pentru suma primilor n termeni este: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), unde



\(a_n\) este ultimul termen însumat;


Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este dată de condițiile \(a_n=3.4n-0.6\). Aflați suma primilor \(25\) termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

Pentru a calcula suma primelor douăzeci și cinci de elemente, trebuie să cunoaștem valoarea primului și a douăzeci și cinci de termeni.
Progresia noastră este dată de formula celui de-al n-lea termen în funcție de numărul acestuia (vezi detalii). Să calculăm primul element înlocuind \(n\) cu unul.

\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)

Acum să găsim al douăzeci și cincilea termen înlocuind douăzeci și cinci în loc de \(n\).

\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)

Ei bine, acum calculăm suma necesară fără probleme.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(25)=1090\).

Pentru suma \(n\) primilor termeni, puteți obține o altă formulă: trebuie doar să \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) în loc de \(a_n\) înlocuiți formula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Primim:

Formula pentru suma primilor n termeni este: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), unde

\(S_n\) – suma necesară \(n\) a primelor elemente;
\(a_1\) este primul termen care trebuie însumat;
\(d\) – diferență de progresie;
\(n\) - numărul de elemente din sumă.

Exemplu. Aflați suma primilor \(33\)-ex termeni ai progresiei aritmetice: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Soluţie:

Răspuns: \(S_(33)=-231\).

Probleme de progresie aritmetică mai complexe

Acum aveți toate informațiile de care aveți nevoie pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică. Să încheiem subiectul luând în considerare problemele în care trebuie nu numai să aplici formule, ci și să te gândești puțin (la matematică, acest lucru poate fi util ☺)

Exemplu (OGE). Aflați suma tuturor termenilor negativi ai progresiei: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Soluţie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Sarcina este foarte asemănătoare cu cea anterioară. Începem să rezolvăm la fel: mai întâi găsim \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)

Acum am înlocui \(d\) în formula pentru suma ... și aici apare o mică nuanță - nu știm \(n\). Cu alte cuvinte, nu știm câți termeni vor trebui adăugați. Cum să aflu? Să ne gândim. Vom înceta să mai adăugăm elemente când ajungem la primul element pozitiv. Adică, trebuie să aflați numărul acestui element. Cum? Să notăm formula pentru calcularea oricărui element al unei progresii aritmetice: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pentru cazul nostru.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)

Avem nevoie ca \(a_n\) să fie mai mare decât zero. Să aflăm pentru ce \(n\) se va întâmpla asta.

\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)

\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)

Împărțim ambele părți ale inegalității la \(0,3\).

\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)

Transferăm minus unu, fără a uita să schimbăm semnele

\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)

Tehnica de calcul...

\(n>65.333…\)

…și se dovedește că primul element pozitiv va avea numărul \(66\). În consecință, ultimul negativ are \(n=65\). Pentru orice eventualitate, hai să verificăm.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)

Astfel, trebuie să adăugăm primele \(65\) elemente.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)

Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(65)=-630,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este data de conditiile: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Găsiți suma de la elementul \(26\)-lea la \(42\) inclusiv.
Soluţie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

În această problemă, trebuie să găsiți și suma elementelor, dar începând nu de la primul, ci de la \(26\)-lea. Nu avem o formulă pentru asta. Cum să decizi?
Ușor - pentru a obține suma de la \(26\)th la \(42\)th, trebuie mai întâi să găsiți suma de la \(1\)th la \(42\)th, apoi scădeți din ea suma din primul la \ (25 \) al-lea (vezi poza).


Pentru progresia noastră \(a_1=-33\) și diferența \(d=4\) (la urma urmei, adăugăm patru la elementul anterior pentru a găsi următorul). Știind acest lucru, găsim suma primelor elemente \(42\)-uh.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Acum suma primelor \(25\)-ele elemente.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

Și în sfârșit, calculăm răspunsul.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Răspuns: \(S=1683\).

Pentru o progresie aritmetică, există mai multe formule pe care nu le-am luat în considerare în acest articol din cauza utilităţii lor practice reduse. Cu toate acestea, le puteți găsi cu ușurință.

Suma unei progresii aritmetice.

Suma unei progresii aritmetice este un lucru simplu. Atât în ​​sens, cât și în formulă. Dar există tot felul de sarcini pe această temă. De la elementar la destul de solid.

În primul rând, să ne ocupăm de sensul și formula sumei. Și atunci vom decide. Pentru plăcerea ta.) Sensul sumei este la fel de simplu ca și joasă. Pentru a găsi suma unei progresii aritmetice, trebuie doar să adăugați cu atenție toți membrii acesteia. Dacă acești termeni sunt puțini, puteți adăuga fără formule. Dar dacă există mult, sau mult... adăugarea este enervantă.) În acest caz, formula salvează.

Formula sumei este simplă:

Să ne dăm seama ce fel de litere sunt incluse în formulă. Acest lucru se va clarifica foarte mult.

S n este suma unei progresii aritmetice. Rezultat adaos toate membri, cu primul De ultimul. Este important. Adunați exact Toate membri la rând, fără goluri și sărituri. Și, exact, pornind de la primul.În probleme precum găsirea sumei termenilor al treilea și al optulea sau a sumei termenilor cinci până la al douăzecilea, aplicarea directă a formulei va fi dezamăgitoare.)

a 1 - primul membru al progresiei. Totul este clar aici, e simplu primul numărul rândului.

un n- ultimul membru al progresiei. Ultimul număr al rândului. Nu este un nume foarte familiar, dar, atunci când este aplicat sumei, este foarte potrivit. Atunci vei vedea singur.

n este numărul ultimului membru. Este important să înțelegeți că în formulă acest număr coincide cu numarul de membri adaugati.

Să definim conceptul ultimul membru un n. Întrebare de completare: ce fel de membru va ultimul, dacă este dat fără sfârşit progresie aritmetica?

Pentru un răspuns sigur, trebuie să înțelegeți semnificația elementară a unei progresii aritmetice și... citiți cu atenție tema!)

În sarcina de a găsi suma unei progresii aritmetice, ultimul termen apare întotdeauna (direct sau indirect), care ar trebui limitată.În caz contrar, o sumă finită, specifică pur si simplu nu exista. Pentru soluție, nu contează ce fel de progresie este dată: finită sau infinită. Nu contează cum este dat: printr-o serie de numere sau prin formula celui de-al n-lea membru.

Cel mai important este să înțelegeți că formula funcționează de la primul termen al progresiei până la termenul cu numărul n. De fapt, numele complet al formulei arată astfel: suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. Numărul acestor primi membri, adică n, este determinată exclusiv de sarcină. În sarcină, toate aceste informații valoroase sunt adesea criptate, da ... Dar nimic, în exemplele de mai jos vom dezvălui aceste secrete.)

Exemple de sarcini pentru suma unei progresii aritmetice.

In primul rand informatii utile:

Principala dificultate în sarcinile pentru suma unei progresii aritmetice este determinarea corectă a elementelor formulei.

Autorii sarcinilor criptează aceste elemente cu o imaginație nemărginită.) Principalul lucru aici este să nu vă fie frică. Înțelegând esența elementelor, este suficient doar să le descifrem. Să aruncăm o privire la câteva exemple în detaliu. Să începem cu o sarcină bazată pe un GIA real.

1. Progresia aritmetică este dată de condiția: a n = 2n-3.5. Aflați suma primilor 10 termeni.

Loc de muncă bun. Ușor.) Pentru a determina cantitatea conform formulei, ce trebuie să știm? Primul membru a 1, ultimul termen un n, da numarul ultimului termen n.

De unde să obțineți ultimul număr de membru n? Da, în același loc, în stare! Spune găsiți suma primii 10 membri. Ei bine, ce număr va fi ultimul, al zecelea membru?) Nu veți crede, numărul lui este al zecelea!) Prin urmare, în loc de un n vom înlocui în formulă un 10, dar în schimb n- zece. Din nou, numărul ultimului membru este același cu numărul membrilor.

Rămâne de stabilit a 1Și un 10. Acest lucru este ușor de calculat prin formula celui de-al n-lea termen, care este dată în enunțul problemei. Nu știi cum să o faci? Vizitați lecția anterioară, fără aceasta - nimic.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Am aflat semnificația tuturor elementelor formulei pentru suma unei progresii aritmetice. Rămâne să le înlocuim și să numărăm:

Cam despre asta e. Raspuns: 75.

O altă sarcină bazată pe GIA. Puțin mai complicat:

2. Având în vedere o progresie aritmetică (a n), a cărei diferență este 3,7; a 1 \u003d 2.3. Aflați suma primilor 15 termeni.

Scriem imediat formula sumei:

Această formulă ne permite să găsim valoarea oricărui membru după numărul său. Căutăm o înlocuire simplă:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Rămâne să înlocuiți toate elementele din formulă pentru suma unei progresii aritmetice și să calculați răspunsul:

Răspuns: 423.

Apropo, dacă în formula sumei în loc de un n doar înlocuiți formula celui de-al n-lea termen, obținem:

Dăm altele similare, obținem o nouă formulă pentru suma membrilor unei progresii aritmetice:

După cum puteți vedea, al n-lea termen nu este necesar aici. un n. În unele sarcini, această formulă ajută foarte mult, da... Vă puteți aminti această formulă. Și îl puteți retrage pur și simplu la momentul potrivit, ca aici. La urma urmei, formula pentru sumă și formula pentru al n-lea termen trebuie amintite în orice fel.)

Acum sarcina sub forma unei criptări scurte):

3. Aflați suma tuturor numerelor pozitive din două cifre care sunt multipli de trei.

Cum! Nici primul membru, nici ultimul, nicio progresie... Cum să trăiești!?

Va trebui să gândești cu capul și să scoți din condiție toate elementele sumei unei progresii aritmetice. Ce sunt numerele din două cifre - știm. Ele constau din două numere.) Ce număr de două cifre va primul? 10, probabil.) ultimul lucru număr de două cifre? 99, desigur! Cei din trei cifre îl vor urma...

Multipli de trei... Hm... Acestea sunt numere care sunt divizibile egal cu trei, aici! Zece nu este divizibil cu trei, 11 nu este divizibil... 12... este divizibil! Deci, ceva iese la iveală. Puteți deja să scrieți o serie în funcție de starea problemei:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Va fi această serie o progresie aritmetică? Cu siguranță! Fiecare termen diferă de cel precedent strict cu trei. Dacă la termen se adaugă 2 sau 4, să zicem rezultatul, adică. un număr nou nu va mai fi împărțit la 3. Puteți determina imediat diferența progresiei aritmetice către grămada: d = 3. Util!)

Deci, putem nota în siguranță câțiva parametri de progresie:

Care va fi numărul n ultimul membru? Oricine crede că 99 se înșală fatal... Numerele - merg mereu la rând, iar membrii noștri sar peste primii trei. Nu se potrivesc.

Există două soluții aici. O modalitate este pentru cei super muncitori. Puteți picta progresia, întreaga serie de numere și puteți număra numărul de termeni cu degetul.) A doua cale este pentru cei gânditori. Trebuie să vă amintiți formula pentru al n-lea termen. Dacă formula se aplică problemei noastre, obținem că 99 este al treizecilea membru al progresiei. Acestea. n = 30.

Ne uităm la formula pentru suma unei progresii aritmetice:

Ne uităm și ne bucurăm.) Am scos tot ce era necesar pentru calcularea sumei din starea problemei:

a 1= 12.

un 30= 99.

S n = S 30.

Ceea ce rămâne este aritmetica elementară. Înlocuiți numerele din formulă și calculați:

Răspuns: 1665

Un alt tip de puzzle-uri populare:

4. Se dă o progresie aritmetică:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Găsiți suma termenilor de la al douăzecilea la al treizeci și patrulea.

Ne uităm la formula sumei și... suntem supărați.) Formula, permiteți-mi să vă reamintesc, calculează suma din prima membru. Și în problemă trebuie să calculați suma din al XX-lea... Formula nu va funcționa.

Puteți, desigur, să pictați întreaga progresie la rând și să puneți membrii de la 20 la 34. Dar ... cumva se dovedește prostesc și pentru mult timp, nu?)

Există o soluție mai elegantă. Să împărțim seria noastră în două părți. Prima parte va de la primul termen până la al nouăsprezecelea. A doua parte - douăzeci până la treizeci şi patru. Este clar că dacă calculăm suma termenilor primei părți S 1-19, să-l adăugăm la suma membrilor din partea a doua S 20-34, obținem suma progresiei de la primul termen la al treizeci și patrulea S 1-34. Ca aceasta:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Aceasta arată că pentru a găsi suma S 20-34 se poate face prin simpla scădere

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Sunt luate în considerare ambele sume din partea dreaptă din prima membru, adică formula sumei standard le este destul de aplicabilă. Începem?

Extragem parametrii de progresie din condiția sarcinii:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Pentru a calcula sumele primilor 19 și primilor 34 de termeni, vom avea nevoie de al 19-lea și al 34-lea termen. Le numărăm după formula celui de-al n-lea termen, ca în problema 2:

un 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

un 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nu a mai ramas nimic. Scădeți suma a 19 termeni din suma a 34 de termeni:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Răspuns: 262,5

O notă importantă! Există o caracteristică foarte utilă în rezolvarea acestei probleme. În loc de calcul direct de ce ai nevoie (S 20-34), am numărat ceea ce, s-ar părea, nu este necesar - S 1-19.Și atunci s-au hotărât S 20-34, eliminând ceea ce nu este necesar din rezultatul complet. O astfel de „făcătură cu urechile” salvează adesea în puzzle-uri rele.)

În această lecție, am examinat probleme pentru care este suficient să înțelegem sensul sumei unei progresii aritmetice. Ei bine, trebuie să știți câteva formule.)

Sfaturi practice:

Când rezolvați orice problemă pentru suma unei progresii aritmetice, vă recomand să scrieți imediat cele două formule principale din acest subiect.

Formula celui de-al n-lea termen:

Aceste formule vă vor spune imediat ce să căutați, în ce direcție să gândiți pentru a rezolva problema. Ajută.

Și acum sarcinile pentru o soluție independentă.

5. Aflați suma tuturor numerelor de două cifre care nu sunt divizibile cu trei.

Cool?) Sugestia este ascunsă în nota la problema 4. Ei bine, problema 3 va ajuta.

6. Progresia aritmetică este dată de condiția: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Aflați suma primilor 24 de termeni.

Neobișnuit?) Aceasta este o formulă recurentă. Puteți citi despre asta în lecția anterioară. Nu ignora linkul, astfel de puzzle-uri se găsesc adesea în GIA.

7. Vasya a făcut economii pentru Sărbători. Cât de mult 4550 de ruble! Și am decis să-i ofer celei mai iubite persoane (mie) câteva zile de fericire). Trăiește frumos fără a te nega nimic. Cheltuiește 500 de ruble în prima zi și cheltuiește cu 50 de ruble mai mult în fiecare zi următoare decât în ​​ziua anterioară! Până se epuizează banii. Câte zile de fericire a avut Vasya?

Este dificil?) O formulă suplimentară din sarcina 2 va ajuta.

Răspunsuri (în dezordine): 7, 3240, 6.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Atenţie!
Există suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

O progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât cel anterior cu aceeași cantitate.

Acest subiect este adesea dificil și de neînțeles. Indicii literelor, al n-lea termen al progresiei, diferența progresiei - toate acestea sunt oarecum confuze, da ... Să ne dăm seama care este semnificația progresiei aritmetice și totul se va rezolva imediat.)

Conceptul de progresie aritmetică.

Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Îndoială? Degeaba.) Vezi singur.

Voi scrie o serie neterminată de numere:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Poți extinde această linie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că numerele 6, 7, 8, 9 etc. vor merge mai departe.

Să complicăm sarcina. Dau o serie neterminată de numere:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Puteți să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți al șaptelea numărul rândului?

Dacă v-ați dat seama că acest număr este 20 - vă felicit! Nu numai că ai simțit puncte cheie ale unei progresii aritmetice, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu înțelegi, citește mai departe.

Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)

Primul punct cheie.

Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să construim grafice și toate astea... Și apoi extindem seria, găsim numărul seriei...

E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)

Al doilea punct cheie.

Într-o progresie aritmetică, orice număr diferă de cel precedent cu aceeași sumă.

În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este de trei ori mai mare decât precedentul. De fapt, acest moment este cel care ne oferă posibilitatea de a surprinde tiparul și de a calcula numerele ulterioare.

Al treilea punct cheie.

Acest moment nu este izbitor, da... Dar foarte, foarte important. Aici era: fiecare număr de progresie este la locul său. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cincilea și așa mai departe. Dacă le confundați la întâmplare, modelul va dispărea. Va dispărea și progresia aritmetică. Este doar o serie de numere.

Asta e toată ideea.

Desigur, în noul subiect apar termeni și notații noi. Ei trebuie să știe. Altfel, nu vei înțelege sarcina. De exemplu, trebuie să decideți ceva de genul:

Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n) dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Inspiră?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, de altfel, nu putea fi mai ușoară. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a notației. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.

Termeni și denumiri.

Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

Această valoare este numită . Să ne ocupăm de acest concept mai detaliat.

Diferența de progresie aritmetică.

Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult cel precedent.

Un punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că se obține fiecare număr de progresie adăugând diferența unei progresii aritmetice față de numărul anterior.

Pentru a calcula, să zicem al doilea numerele rândului, este necesar să primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul a cincea- diferenta este necesara adăuga La Al patrulea bine, etc.

Diferența de progresie aritmetică Pot fi pozitiv atunci fiecare număr al seriei se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aici este fiecare număr adăugând număr pozitiv, +5 față de cel precedent.

Diferența poate fi negativ atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) in scadere.

De exemplu:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aici se obține și fiecare număr adăugând la numărul anterior, dar deja negativ, -5.

Apropo, atunci când lucrați cu o progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Ajută foarte mult să-ți găsești orientarea în decizie, să-ți detectezi greșelile și să le corectezi înainte de a fi prea târziu.

Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.

Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr al seriei anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)

Să definim, de exemplu, d pentru o progresie aritmetică crescătoare:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Luăm orice număr din rând pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior acestea. 8:

Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.

Poți doar să iei orice număr de progresii, deoarece pentru o anumită progresie d-întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Doar pentru că primul număr nici anterior.)

Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.

Să definim d pentru o progresie aritmetică descrescătoare:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d necesare din orice număr ia-l pe cel precedent. Alegem orice număr de progresie, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice.

Alți termeni și denumiri.

Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.

Fiecare membru al progresiei are numărul lui. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul membru, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți ...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotare- strict în ordine!

Cum se scrie o progresie în formă generală? Nici o problemă! Fiecare număr din serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, de regulă, se folosește litera A. Numărul membrului este indicat de indexul din dreapta jos. Membrii se scriu separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 este primul număr a 3- al treilea etc. Nimic complicat. Puteți scrie această serie pe scurt astfel: (un n).

Sunt progresii finit și infinit.

final progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.

Fără sfârşit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)

Puteți scrie o progresie finală printr-o serie ca aceasta, toți membrii și un punct la sfârșit:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Sau așa, dacă sunt mulți membri:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Într-o scurtă intrare, va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:

(a n), n = 20

O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.

Acum puteți rezolva deja sarcini. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea sensului progresiei aritmetice.

Exemple de sarcini pentru progresia aritmetică.

Să aruncăm o privire mai atentă la sarcina de mai sus:

1. Notează primii șase membri ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Traducem sarcina într-un limbaj ușor de înțeles. Având în vedere o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea membru al acestei progresii.

Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de starea problemei. Primii șase membri, unde al doilea membru este de cinci:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + d

Inlocuim in expresie a 2 = 5Și d=-2,5. Nu uita de minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Al treilea termen este mai mic decât al doilea. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, astfel încât numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Considerăm al patrulea membru al seriei noastre:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Deci, termenii de la al treilea la al șaselea au fost calculati. Aceasta a rezultat într-o serie:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Rămâne de găsit primul termen a 1 conform binecunoscutei secunde. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) De aici, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, A la pachet:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Cam despre asta e. Răspuns la sarcină:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

În treacăt, observ că am rezolvat această sarcină recurent cale. Acest cuvânt groaznic înseamnă, doar, căutarea unui membru al progresiei după numărul anterior (adiacent). Alte modalități de a lucra cu progresia vor fi discutate mai târziu.

Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.

Tine minte:

Dacă cunoaștem cel puțin un membru și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice membru al acestei progresii.

Tine minte? Această concluzie simplă ne permite să rezolvăm majoritatea problemelor cursului școlar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul a trei parametri principali: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al unei progresii. Toate.

Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei- totul se învârte în jurul a trei parametri.

De exemplu, luați în considerare câteva sarcini populare pe acest subiect.

2. Scrieți progresia aritmetică finală ca o serie dacă n=5, d=0,4 și a 1=3,6.

Totul este simplu aici. Totul este deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt calculați, numărați și scrieți membrii unei progresii aritmetice. Este recomandabil să nu săriți peste cuvintele din condiția sarcinii: „final” și „ n=5". Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Rămâne să scrieți răspunsul:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

O altă sarcină:

3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al unei progresii aritmetice (a n) dacă a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Cine știe? Cum să definești ceva?

Cum-cum... Da, notează progresia sub formă de serie și vezi dacă va fi un șapte sau nu! Noi credem:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Cei șapte nu au intrat în seria noastră de numere și, prin urmare, cei șapte nu vor fi membri ai progresiei date.

Răspuns: nu.

Și iată o sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:

4. Se notează mai multe membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15; X; 9; 6; ...

Iată o serie fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să vedem și să vedem ce putem a sti din linia asta? Care sunt parametrii celor trei principali?

Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.

Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consecutiv" in conditie. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da, am! Acestea sunt 9 și 6. Deci putem calcula diferența unei progresii aritmetice! Scădem din cele șase anterior număr, adică nouă:

Au rămas spații goale. Ce număr va fi cel anterior pentru x? Cincisprezece. Deci x poate fi găsit cu ușurință prin simplă adăugare. La 15 adăugați diferența unei progresii aritmetice:

Asta e tot. Răspuns: x=12

Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste puzzle-uri nu sunt pentru formule. Pur și simplu pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de cifre-litere, privim și gândim.

5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.

6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui termen.

7. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Găsiți un 3.

8. Se notează mai mulți membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Găsiți termenul progresiei, notat cu litera x.

9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescându-și treptat viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului în cinci minute? Dati raspunsul in km/h.

10. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.

Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

S-a rezolvat totul? Uimitor! Puteți învăța progresia aritmetică la un nivel superior în următoarele lecții.

Nu a mers totul? Nici o problemă. În Secțiunea Specială 555, toate aceste puzzle-uri sunt defalcate piesă cu piesă.) Și, desigur, este descrisă o tehnică practică simplă care evidențiază imediat rezolvarea unor astfel de sarcini clar, clar, ca în palma mâinii tale!

Apropo, în puzzle-ul despre tren există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul - doar prin progresie, iar al doilea - comun tuturor sarcinilor din matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.

În această lecție, am examinat semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va decide.

Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte din serie, ca în exemplele din această lecție. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai dificile. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare, înlocuiți "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava.)

Și există și sarcini simple în esență, dar absolut absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:

Având în vedere o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Și ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Este posibil să te sinucizi!?

Poți.) Dacă nu cunoști o formulă simplă prin care poți rezolva astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acea problemă este rezolvată acolo. Intr-un minut.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Așa că hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți (în cazul nostru, ele). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care dintre ele este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Succesiunea numerică
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr de secvență. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu numărul se numește --lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe - aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

În cazul nostru:

Să presupunem că avem o succesiune numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
O astfel de succesiune numerică se numește progresie aritmetică.
Termenul de „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius încă din secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un sens mai larg ca o secvență numerică nesfârșită. Numele „aritmetică” a fost transferat din teoria proporțiilor continue, în care s-au implicat grecii antici.

Aceasta este o secvență numerică, fiecare membru al căruia este egal cu cel precedent, adăugat cu același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și se notează.

Încercați să determinați care secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:

A)
b)
c)
d)

Am înţeles? Comparați răspunsurile noastre:
Este progresie aritmetică - b, c.
Nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al-lea membru al acesteia. Există Două mod de a-l găsi.

1. Metoda

Putem adăuga la valoarea anterioară a numărului de progresie până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:

Deci, al-lea membru al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

Ce se întâmplă dacă ar trebui să găsim valoarea celui de-al treilea termen al progresiei? Însumarea ne-ar fi luat mai mult de o oră și nu este un fapt că nu am fi făcut greșeli la adunarea numerelor.
Desigur, matematicienii au venit cu o modalitate prin care nu trebuie să adăugați diferența unei progresii aritmetice la valoarea anterioară. Priviți cu atenție imaginea desenată ... Cu siguranță ați observat deja un anumit model, și anume:

De exemplu, să vedem ce formează valoarea celui de-al-lea membru al acestei progresii aritmetice:


Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți în mod independent în acest fel valoarea unui membru al acestei progresii aritmetice.

Calculat? Comparați intrările dvs. cu răspunsul:

Atenție că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am adăugat succesiv membrii unei progresii aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - o aducem într-o formă generală și obținem:

Ecuația de progresie aritmetică.

Progresiile aritmetice sunt fie în creștere, fie în scădere.

Crescând- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendentă- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:

Formula derivată este utilizată în calculul termenilor atât în ​​termeni crescanți, cât și în termeni descrescători ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm în practică.
Ni se oferă o progresie aritmetică constând din următoarele numere:


De atunci:

Astfel, eram convinși că formula funcționează atât în ​​progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singuri membrii --lea și --lea din această progresie aritmetică.

Să comparăm rezultatele:

Proprietatea progresiei aritmetice

Să complicăm sarcina - derivăm proprietatea unei progresii aritmetice.
Să presupunem că ni se oferă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
E ușor, zici tu, și începeți să numărați după formula pe care o cunoașteți deja:

Fie, a, atunci:

Absolut corect. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în stare? De acord, există posibilitatea de a face greșeli în calcule.
Acum gândiți-vă, este posibil să rezolvați această problemă într-un singur pas folosind orice formulă? Desigur, da, și vom încerca să-l scoatem acum.

Să notăm termenul dorit al progresiei aritmetice, deoarece știm formula pentru a-l găsi - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, Apoi:

  • membrul anterior al progresiei este:
  • următorul termen al progresiei este:

Să însumăm membrii anteriori și următori ai progresiei:

Rezultă că suma membrilor anteriori și următori ai progresiei este de două ori valoarea membrului progresiei situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui membru de progresie cu valori anterioare și succesive cunoscute, este necesar să le adunăm și să le împărțim la.

Așa e, avem același număr. Să reparăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, pentru că nu este deloc dificil.

Bine făcut! Știi aproape totul despre progres! Rămâne să aflăm o singură formulă, pe care, potrivit legendei, unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, „regele matematicienilor” - Karl Gauss, a dedus-o cu ușurință pentru el însuși...

Când Carl Gauss avea 9 ani, profesorul, ocupat să verifice munca elevilor din alte clase, a cerut următoarea sarcină la lecție: „Calculează suma tuturor numerelor naturale de la până la (după alte surse până la) inclusiv. " Care a fost surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (era Karl Gauss) după un minut a dat răspunsul corect la sarcină, în timp ce majoritatea colegilor de clasă ai temerului după calcule lungi au primit rezultatul greșit...

Tânărul Carl Gauss a observat un model pe care îl puteți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică constând din membri -ti: Trebuie să găsim suma membrilor dați ai progresiei aritmetice. Desigur, putem să însumăm manual toate valorile, dar ce se întâmplă dacă trebuie să găsim suma termenilor săi în sarcină, așa cum căuta Gauss?

Să descriem progresul care ni s-a dat. Priviți cu atenție numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele.


Încercat? Ce ai observat? Dreapta! Sumele lor sunt egale


Acum răspunde, câte astfel de perechi vor fi în progresia dată nouă? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi termeni ai unei progresii aritmetice este egală și perechi egale similare, obținem că suma totală este egală cu:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

În unele probleme, nu cunoaștem al treilea termen, dar cunoaștem diferența de progresie. Încercați să înlocuiți în formula sumei, formula celui de-al-lea membru.
Ce ai primit?

Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost dată lui Carl Gauss: calculați singuri care este suma numerelor care încep de la -th și suma numerelor începând de la -th.

Cât ai primit?
Gauss a dovedit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asa te-ai hotarat?

De fapt, formula pentru suma membrilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de omul de știință grec antic Diophantus încă din secolul al III-lea și, în tot acest timp, oamenii plini de spirit au folosit proprietățile unei progresii aritmetice cu putere și principal.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul Antic și cel mai mare șantier de construcție din acea vreme - construcția unei piramide ... Figura arată o parte a acesteia.

Unde este progresia aici spui tu? Privește cu atenție și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei.


De ce nu o progresie aritmetică? Numărați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizi bloc sunt plasate în bază. Sper că nu vei număra mișcând degetul pe monitor, îți amintești ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?

În acest caz, progresia arată astfel:
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de membri ai unei progresii aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (numărăm numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum puteți calcula și pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. A fost de acord? Bravo, ai stăpânit suma celor trei termeni ai unei progresii aritmetice.
Desigur, nu poți construi o piramidă din blocurile de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un zid cu această condiție.
Ai reușit?
Răspunsul corect este blocurile:

Instruire

Sarcini:

  1. Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori se va ghemui Masha în săptămâni dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament.
  2. Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
  3. Când depozitează buștenii, tăietorii de lemne le stivuiesc în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un buștean mai puțin decât cel anterior. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă baza zidăriei este bușteni.

Raspunsuri:

  1. Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
    (săptămâni = zile).

    Răspuns:În două săptămâni, Masha ar trebui să se ghemuiască o dată pe zi.

  2. Primul număr impar, ultimul număr.
    Diferența de progresie aritmetică.
    Cu toate acestea, numărul de numere impare din - jumătate, verificați acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al-lea membru al unei progresii aritmetice:

    Numerele conțin numere impare.
    Înlocuim datele disponibile în formula:

    Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală cu.

  3. Amintiți-vă problema despre piramide. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, există doar o grămadă de straturi, adică.
    Înlocuiți datele din formula:

    Răspuns: Sunt bușteni în zidărie.

Rezumând

  1. - o succesiune numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Este în creștere și în scădere.
  2. Găsirea formulei Al-lea membru al unei progresii aritmetice se scrie prin formula - , unde este numărul de numere din progresie.
  3. Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde - numărul de numere din progresie.
  4. Suma membrilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:

    , unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU

Succesiunea numerică

Să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți. Dar poți spune întotdeauna care dintre ele este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem număra. Acesta este un exemplu de succesiune de numere.

Succesiunea numerică este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și doar unul. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu numărul se numește --lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe - aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

Este foarte convenabil dacă al-lea membru al secvenței poate fi dat printr-o formulă. De exemplu, formula

stabilește secvența:

Și formula este următoarea succesiune:

De exemplu, o progresie aritmetică este o secvență (primul termen aici este egal și diferența). Sau (, diferență).

al n-lea termen formulă

Numim recurentă o formulă în care, pentru a afla cel de-al treilea termen, trebuie să-l cunoști pe anterior sau pe mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, cel de-al treilea termen al progresiei folosind o astfel de formulă, trebuie să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa. Apoi:

Ei bine, acum e clar care este formula?

În fiecare linie, adunăm la, înmulțit cu un anumit număr. Pentru ce? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:

Mult mai confortabil acum, nu? Verificăm:

Decide pentru tine:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.

Soluţie:

Primul termen este egal. Și care este diferența? Și iată ce:

(la urma urmei, se numește diferență deoarece este egală cu diferența membrilor succesivi ai progresiei).

Deci formula este:

Atunci al sutelea termen este:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?

Potrivit legendei, marele matematician Carl Gauss, fiind un băiețel de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. A observat că suma primului și ultimului număr este egală, suma celui de-al doilea și penultimul este aceeași, suma celui de-al treilea și a celui de-al 3-lea de la sfârșit este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi există? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor numerelor, adică. Asa de,

Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

Exemplu:
Aflați suma tuturor multiplilor de două cifre.

Soluţie:

Primul astfel de număr este acesta. Fiecare următor se obține prin adăugarea unui număr celui precedent. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.

Formula pentru al treilea termen pentru această progresie este:

Câți termeni sunt în progresie dacă toți trebuie să fie de două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Răspuns: .

Acum decideți singuri:

  1. În fiecare zi, sportivul aleargă cu 1 m mai mult decât în ​​ziua precedentă. Câți kilometri va alerga în săptămâni dacă a alergat km m în prima zi?
  2. Un biciclist parcurge mai multe mile în fiecare zi decât precedentul. În prima zi a parcurs km. Câte zile trebuie să conducă pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi de călătorie?
  3. Prețul unui frigider în magazin este redus cu aceeași sumă în fiecare an. Stabiliți cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Raspunsuri:

  1. Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
    .
    Răspuns:
  2. Aici este dat:, este necesar să se găsească.
    Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
    .
    Înlocuiți valorile:

    Rădăcina evident nu se potrivește, deci răspunsul.
    Să calculăm distanța parcursă în ultima zi folosind formula celui de-al treilea termen:
    (km).
    Răspuns:

  3. Dat: . Găsi: .
    Nu devine mai ușor:
    (freca).
    Răspuns:

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Aceasta este o succesiune numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică este în creștere () și în scădere ().

De exemplu:

Formula pentru găsirea celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice

se scrie sub formă de formulă, unde este numărul de numere din progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Ușurează găsirea unui membru al progresiei dacă membrii săi vecini sunt cunoscuți - unde este numărul de numere din progresie.

Suma membrilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.

Unde este numărul de valori.

RĂMĂSUL DE 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!

Deveniți student la YouClever,

Pregătește-te pentru OGE sau USE în matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,

De asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, programul de instruire „100gia” (cartea de soluții), USE și OGE de probă nelimitat, 6000 de sarcini cu analiza soluțiilor și alte servicii YouClever și 100gia.

 

Ar putea fi util să citiți: