Kök ortalama kare nasıl hesaplanır? Microsoft Excel'de standart sapmanın hesaplanması

Dağılım her bir nitelik değerinin genel ortalamadan sapmalarının karelerinin aritmetik ortalamasıdır. Varyansa genellikle sapmaların ortalama karesi denir. Kaynak verilere bağlı olarak varyans, basit veya ağırlıklı aritmetik ortalama kullanılarak hesaplanabilir:

Gruplandırılmamış veriler için σ 2 =,

Varyasyon serisi için σ 2 =
.

Ortalama kare sapma varyansın kareköküdür:

Gruplandırılmamış veriler için σ =
,

Değişim serisi için σ =
.

Standart sapma, bir özelliğin toplamdaki değişiminin mutlak boyutunun genel bir özelliğidir. Nitelik ile aynı ölçü birimleriyle (metre, ton, yüzde, hektar vb.) ifade edilir.

Standart sapmanın hesaplanmasından önce varyansın hesaplanması gerekir.

Bireysel değerlerden varyans ve standart sapmanın belirlenmesi

Hesaplama prosedürü:

    basit aritmetik ortalama karakteristik değerlere göre hesaplanır

;


Görev 3.İki takım örneğini kullanarak (görev 1), emek verimliliğinin dağılımını ve standart sapmasını belirleyin.

Çözüm yöntemi:

Kesikli ve aralıklı dağılım serilerinde dağılım ve standart sapmanın belirlenmesi

Hesaplama prosedürü:

Görev 4. Tipik bir problemin verilerinden varyansı ve standart sapmayı hesaplayın. Bir sonuç çıkarın.

1 işçi tarafından üretilen ürünler, adet. (x seçenek)

Çalışan sayısı

Çözüm yöntemi:

Kaynak veriler bir aralık dağılım serisi şeklinde sunuluyorsa, önce özelliğin ayrık değerini belirlemeniz, ardından yukarıda açıklanan yöntemin aynısını uygulamanız gerekir.

Görev 5.Çiftlikte ekilen alanın buğday verimine göre dağılımına dayalı olarak aralık serisinin dağılımını ve standart sapmasını hesaplayın:

Buğday verimi, c\ha

Ekilen alan, ha

Çözüm yöntemi:

Basitleştirilmiş bir şekilde varyansın hesaplanması.

Göstergenin özünü iyi yansıtmasına rağmen, varyansı hesaplamak için yukarıdaki formülü kullanmak her zaman uygun değildir. Bu nedenle, yukarıdakilerden kaynaklanan basitleştirilmiş bir hesaplama yöntemi için başka bir formülün bilinmesi gerekir:

,

Nerede - seçeneklerin karelerinin ortalama değeri;

- aritmetik ortalamanın karesi.

Hesaplama prosedürü (veriler gruplandırılmamışsa):

Görev 6.İşçilerin verimliliğine ilişkin veriler var. Varyansı basitleştirilmiş bir şekilde hesaplayın.

İşçi No.

Vardiya başına üretilen ürünler, adet.

Çözüm yöntemi:

Hesaplama prosedürü (eğer veriler gruplanmışsa):

Görev 7. Tarımsal işletmelerin sabit varlıkların mevcudiyetine göre dağılımına ilişkin veriler bulunmaktadır. Varyansı basitleştirilmiş bir şekilde hesaplayın.

Sabit varlıkların mevcudiyetine göre işletme grupları, milyon ruble.

İşletme sayısı

Çözüm tekniği.

Beklenti ve varyans

Rasgele bir değişkeni ölçelim N kez örneğin rüzgar hızını on kez ölçüyoruz ve ortalama değeri bulmak istiyoruz. Ortalama değerin dağılım fonksiyonuyla ilişkisi nedir?

Zarları çok sayıda atacağız. Her atışta zar üzerinde görünecek puanların sayısı rastgele bir değişkendir ve 1'den 6'ya kadar herhangi bir doğal değeri alabilir. Tüm zar atışları için hesaplanan düşen puanların aritmetik ortalaması da bir rastgele değişkendir, ancak büyükler için Nçok spesifik bir sayıya yönelir - matematiksel beklenti M x. Bu durumda M x = 3,5.

Bu değeri nasıl elde ettiniz? Bırak girsin N Testler, 1 puan aldığınızda, 2 puan aldığınızda vb. Sonra ne zaman N→ ∞ Bir puanın atıldığı sonuçların sayısı, Benzer şekilde, Dolayısıyla

Modeli 4.5. Zar

Şimdi rastgele değişkenin dağılım yasasını bildiğimizi varsayalım. X yani rastgele değişkenin olduğunu biliyoruz. X değer alabilir X 1 , X 2 , ..., xk olasılıklarla P 1 , P 2 , ..., pk.

Beklenen değer M x rastgele değişken X eşittir:

Cevap. 2,8.

Matematiksel beklenti her zaman bazı rastgele değişkenlerin makul bir tahmini değildir. Bu nedenle, ortalama maaşı tahmin etmek için medyan kavramını, yani maaş alan kişi sayısının medyandan daha düşük ve daha büyük olduğu bir değeri kullanmak daha mantıklı olacaktır.

Medyan rastgele değişkene sayı denir X 1/2 öyle ki P (X < X 1/2) = 1/2.

Başka bir deyişle olasılık P 1 rastgele değişken X daha küçük olacak X 1/2 ve olasılık P 2 rastgele değişken X daha büyük olacak X 1/2 özdeştir ve 1/2'ye eşittir. Medyan tüm dağılımlar için benzersiz olarak belirlenmemektedir.

Rastgele değişkene dönelim X değer alabilen X 1 , X 2 , ..., xk olasılıklarla P 1 , P 2 , ..., pk.

Varyans rastgele değişken X Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden karesel sapmasının ortalama değerine denir:

Örnek 2

Önceki örneğin koşulları altında rastgele değişkenin varyansını ve standart sapmasını hesaplayın X.

Cevap. 0,16, 0,4.

Modeli 4.6. Bir hedefe ateş etmek

Örnek 3

Zarın ilk atışında elde edilen puan sayısı, medyan, matematiksel beklenti, varyans ve standart sapmanın olasılık dağılımını bulun.

Herhangi bir kenarın düşme olasılığı eşit olduğundan dağılım şöyle görünecektir:

Standart sapma Değerin ortalama değerden sapmasının çok büyük olduğu görülmektedir.

Matematiksel beklentinin özellikleri:

  • Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

Örnek 4

İki zarda atılan puanların toplamı ve çarpımının matematiksel beklentisini bulun.

Örnek 3'te bir küp için şunu bulduk: M (X) = 3,5. Yani iki küp için

Dispersiyon özellikleri:

  • Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyansların toplamına eşittir:

Dx + sen = Dx + Dy.

izin ver N atılan zarların üzerinde yuvarlanır sen puan. Daha sonra

Bu sonuç yalnızca zar atışları için geçerli değildir. Çoğu durumda matematiksel beklentinin ampirik olarak ölçülmesinin doğruluğunu belirler. Artan ölçüm sayısıyla birlikte görüleceği üzere N değerlerin ortalama etrafında yayılması yani standart sapma orantılı olarak azalır

Bir rastgele değişkenin varyansı, bu rastgele değişkenin karesinin matematiksel beklentisiyle aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:

Bu eşitliğin her iki tarafının matematiksel beklentilerini bulalım. A-tarikatı,

Matematiksel beklentilerin özelliğine göre eşitliğin sağ tarafının matematiksel beklentisi şuna eşittir:

Standart sapma

Standart sapma varyansın kareköküne eşittir:
İncelenen popülasyonun yeterince büyük bir hacmi için (n > 30) standart sapmayı belirlerken aşağıdaki formüller kullanılır:

Birincil tanımlayıcı istatistikler, deneklerin test edilmesi sırasında elde edilen psikolojik verileri tanımlamak için kullanılabilecek en basit özelliklerdir.

Psikolojideki derslerde ve tezlerde en sık kullanılan tanımlayıcı istatistikler şunları içerir:

  • ortalama değer;
  • standart sapma.

Ortalama değer

Bir psikoloji öğrencisinin diploma yazarken uzmanlaşması gereken en basit matematiksel prosedür ortalama değeri hesaplamaktır.

Ortalama değer veya aritmetik ortalama, birkaç göstergenin toplamının bu göstergelerin sayısına bölünmesiyle elde edilen bir sayıdır. Örneğin test sonucunda 10 kişilik bir grupta kaygı göstergeleri elde edildi. Grubun ortalama kaygı değerini elde etmek için tüm deneklerin puanlarını toplamanız ve elde edilen toplamı 10'a bölmeniz gerekir.

Ortalama değer grubu bir bütün olarak karakterize eder. Ortalamayı bilerek her konunun performansını diğerlerine göre değerlendirebilirsiniz. Örneğin yukarıdaki örnekte ölçülen kaygı 1 ila 5 puan arasında değişebilir. Grubun ortalama kaygısının 3,5 puan olmasına izin verin. O halde bir deneğin 4 puanlık puanı nispeten yüksek, 2 puanlık puanı ise nispeten düşük sayılabilir.

Ortalama değer, merkezi eğilim göstergelerini ifade eder ve göstergenin gruptaki ifade derecesini yansıtır. Standart sapma, bir gruptaki bir özelliğin değişkenlik derecesini yansıtır, ancak bunun hakkında daha sonra konuşacağız.

Herhangi bir göstergenin ortalama değeri, grubu bir bütün olarak karakterize eder ve diğer gruplarla karşılaştırılmasına olanak tanır. Örneğin, bir grup erkek ve kadında empati düzeyinin tanısı gerçekleştirildi. Cinsiyetin empati yeteneğinizi etkileyip etkilemediğini nasıl anlarsınız? Bunun bir yolu, bu göstergenin kadın ve erkek gruplarında ortalama düzeyini bulmaktır. Örneğin kadın grubunda ortalama empati düzeyi 23,5 puan, erkek grubunda ise 17,7 puandır. Gördüğünüz gibi ortalama olarak kadınların empati yeteneği erkeklerden daha yüksektir.

Ortalama değerin sadece bir sayı değil, özel bir prosedür sonucunda elde edilen istatistiksel bir değer olduğuna dikkat etmek önemlidir. Bu nedenle ortalama değerleri sıradan rakamlarla karşılaştırmak imkansızdır. Ortalama değerleri karşılaştırmak için ek prosedürler kullanılır - istatistiksel kriterlerin hesaplanması. Örneğin, Mann-Whitney U testi veya Öğrenci t testi .

Ortalama, bir gruptaki bir değişkenin ciddiyetini yansıtan tek istatistiksel gösterge değildir. Mod ve medyan benzer bir işlevi yerine getirir. Ancak psikoloji derecelerinde nadiren kullanılırlar.

Psikolojide bir ders veya diplomadaki psikolojik göstergelerin ciddiyetinin ortalama değerleri tablolar ve diyagramlar şeklinde sunulmaktadır. Tablolarda ortalama “M” harfi ile gösterilmektedir.

Standart sapma

Aritmetik ortalama, göstergenin gruptaki ciddiyetini yansıtıyorsa, standart sapma (standart sapma), verilerin dağılımını veya değişkenliğini gösterir. Standart sapma ne kadar büyük olursa, denek grubundaki göstergelerin yayılması da o kadar büyük olur.

Örneğin, bir grup erkek çocuk, göstergeleri 1 ila 10 arasında değişen benmerkezcilik düzeyini belirlemeye yönelik bir yöntem kullanılarak test edildi. Ortalamanın hesaplanması M = 6,5 ve standart sapma σ = 3 (standart sapma: "sigma" harfiyle gösterilir). Bu veriler, erkek çocukların benmerkezcilik göstergelerinin büyük çoğunluğunun 3,5 ila 9,5 (ortalama artı/eksi standart sapma - M ± σ) aralığında olduğunu söylememize olanak tanıyor.

Bir grup kızı test ederken ortalama değer M = 5 ve standart sapma σ = 1 ise, bu gruptaki deneklerin çoğunda benmerkezcilik 4 ila 6 (5 ± 1) aralığındadır.

Psikoloji diplomasındaki bu tür veriler incelendiğinde, erkeklerde ortalama benmerkezcilik düzeyinin kızlardan daha yüksek olduğu söylenebilir. Aynı zamanda erkeklerde benmerkezcilik göstergelerinin yayılımı da kızlardan daha fazladır, yani erkek grupta ortalamaya göre çok düşük ve çok yüksek göstergeleri olan konular vardır. Kızlarda göstergeler ortalamaya göre daha az "dağınıktır".

Ortalama ve standart sapmanın hesaplanması

Ortalamayı hesaplama formülü çok basittir ve bu parametre manuel olarak hesaplanabilir.

Ortalama hesaplama örneği

Tabloda 64 denekteki yalnızlık düzeyinin teşhisine yönelik testten elde edilen göstergeler gösterilmektedir.

Hayır. isp.

Yalnızlık seviyesi

Gruptaki ortalama yalnızlık düzeyini bulalım.

М=(13 + 14+ 5+ 11+ 17+ 9+ 18+ 6+ 9+ 15+ 14+ 7+ 9+ 8+ 13+ 12+ 14+ 19+ 15+ 11+ 15+ 6+ 8+ 8 + 8+ 5+ 20+ 5+ 9+ 7+ 7+ 11+ 15+ 7+ 7+ 9+ 8+ 11+ 17+ 10+ 18+ 15+ 14+ 15+ 4+8+15+17+14 +4+8+18+14+14+9+1+7+11+4+14+11+6+17) / 64=10,92

Gördüğümüz gibi, eğer çok fazla konu varsa, ortalamanın manuel olarak hesaplanması emek yoğun bir iştir.

Daha da emek yoğun bir süreç ise standart sapmanın hesaplanmasıdır. Sizi formüllerle sıkmayacağım, sadece bu göstergenin hesaplanmasının göstergeler ile ortalama değer arasındaki farkın karelerinin toplanmasından ibaret olduğunu söyleyeceğim. Bu toplam daha sonra gösterge sayısına bölünür ve elde edilen sayıdan karekök alınır. Bu tür hesaplamaların manuel olarak yapılması zahmetli ve gereksizdir.

Çoğu zaman ortalama ve standart sapma hesaplamaları istatistiksel programlarda yapılabilir. İSTATİSTİK, SPSS ve elektronik tablolar Ex el.

Umarım bu makale kendi başınıza bir psikoloji makalesi yazmanıza yardımcı olur. Yardıma ihtiyacınız varsa lütfen bizimle iletişime geçin (psikolojideki her türlü çalışma; istatistiksel hesaplamalar).

Standart sapma(eş anlamlı: standart sapma, standart sapma, kare sapma; ilgili terimler: standart sapma, standart yayılma) -V olasılık teorisi Ve İstatistik değer dağılımının en yaygın göstergesi rastgele değişken onunla ilgili matematiksel beklenti. Sınırlı değer örnekleri dizileri için bunun yerine matematiksel beklenti kullanılır ortalama numune popülasyonu.

Ansiklopedik YouTube

  • 1 / 5

    Standart sapma şu şekilde ölçülür: ölçü birimleri en rastgele değişkendir ve hesaplamada kullanılır standart hata aritmetik ortalama, inşa ederken güvenilirlik aralığı istatistiksel olarak hipotez testi, ölçerken Doğrusal ilişki rastgele değişkenler arasında. Olarak tanımlandı Kare kök itibaren rastgele bir değişkenin varyansı.

    Standart sapma:

    s = n n - 1 σ 2 = 1 n - 1 ∑ ben = 1 n (x ben - x¯) 2 ; (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac (n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac (1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right)^(2)));)
    • Not: Çoğu zaman MSD (Kök Ortalama Kare Sapma) ve STD (Standart Sapma) adlarında formülleriyle arasında farklılıklar vardır. Örneğin Python programlama dilinin numPy modülünde std() fonksiyonu "standart sapma" olarak tanımlanırken formül standart sapmayı (örnekliğin köküne bölünmesi) yansıtır. Excel'de STANDARDDEVAL() işlevi farklıdır (n-1'in köküne göre bölme).

    Standart sapma(rastgele bir değişkenin standart sapmasının tahmini X dayalı matematiksel beklentiyle ilgili tarafsız tahmin onun varyansı) s (\displaystyle s):

    σ = 1 n ∑ ben = 1 n (x ben - x ¯) 2 . (\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right) ^(2))))

    Nerede σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2)) - dağılım ; x ben (\displaystyle x_(i)) - Ben seçimin inci unsuru; n (\displaystyle n)- örnek boyut; - ortalamaörnekler:

    x ¯ = 1 n ∑ ben = 1 n x ben = 1 n (x 1 + … + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\ldots +x_(n))).)

    Her iki tahminin de taraflı olduğunu belirtmek gerekir. Genel olarak tarafsız tahmin inşa etmek imkansızdır. Ancak, tarafsız varyans tahminine dayanan tahmin zengin.

    GOST R 8.736-2011 uyarınca standart sapma bu bölümün ikinci formülü kullanılarak hesaplanır. Lütfen sonuçları kontrol edin.

    Üç sigma kuralı

    Üç sigma kuralı (3 σ (\displaystyle 3\sigma )) - neredeyse tüm değerler normal dağılım rastgele değişkenler aralıkta yer alır (x ¯ − 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \right)). Daha kesin olarak - yaklaşık olarak 0,9973 değerinde bir olasılıkla normal dağılım Rastgele değişken belirtilen aralıkta yer alır (değerin x¯ (\displaystyle (\bar (x))) doğrudur ve numune işleme sonucunda elde edilmemiştir).

    Gerçek değer ise x¯ (\displaystyle (\bar (x))) bilinmiyorsa kullanmamalısınız σ (\displaystyle \sigma), A S. Böylece üç sigma kuralı üç kuralına dönüştürülür. S .

    Standart sapma değerinin yorumlanması

    Daha büyük bir standart sapma değeri, sunulan setteki değerlerin, setin ortalama değeri ile daha büyük bir yayılımını gösterir; buna göre daha küçük bir değer, kümedeki değerlerin ortalama değer etrafında gruplandığını gösterir.

    Örneğin üç sayı kümemiz var: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) ve (6, 6, 8, 8). Her üç kümenin de ortalama değerleri 7'ye ve standart sapmaları sırasıyla 7, 5 ve 1'e eşittir. Son kümenin küçük bir standart sapması vardır, çünkü kümedeki değerler ortalama değer etrafında gruplandırılmıştır; ilk set en büyük standart sapma değerine sahiptir - setin içindeki değerler ortalama değerden büyük ölçüde farklıdır.

    Genel anlamda standart sapma bir belirsizlik ölçüsü olarak düşünülebilir. Örneğin fizikte standart sapma belirlemek için kullanılır. hatalar herhangi bir miktarın bir dizi ardışık ölçümü. Bu değer, teori tarafından tahmin edilen değerle karşılaştırıldığında incelenen olgunun makullüğünü belirlemek için çok önemlidir: ölçümlerin ortalama değeri teorinin tahmin ettiği değerlerden büyük ölçüde farklıysa (büyük standart sapma), daha sonra elde edilen değerler veya bunları elde etme yöntemi yeniden kontrol edilmelidir. Ile tanımlanan risk portföy.

    İklim

    Diyelim ki aynı ortalama maksimum günlük sıcaklığa sahip iki şehir var, ancak biri sahilde, diğeri ise ovada bulunuyor. Kıyıda yer alan şehirlerin birçok farklı maksimum gündüz sıcaklığına sahip olduğu ve iç kesimlerde bulunan şehirlerden daha düşük olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, bu değerin ortalama değeri aynı olmasına rağmen, bir kıyı kenti için maksimum günlük sıcaklıkların standart sapması, ikinci şehre göre daha az olacaktır; bu, pratikte maksimum hava sıcaklığının aynı bölgede olma ihtimali anlamına gelir. yılın herhangi bir gününde ortalama değerden farklı olarak iç kesimlerde bulunan bir şehir için daha yüksek olacaktır.

    Spor

    Atılan ve yenen gol sayısı, gol şansı vb. gibi bazı parametrelere göre derecelendirilen birkaç futbol takımının olduğunu varsayalım. Bu gruptaki en iyi takımın daha iyi değerlere sahip olması muhtemeldir. daha fazla parametre üzerinde. Sunulan parametrelerin her biri için takımın standart sapması ne kadar küçük olursa, takımın sonucu o kadar öngörülebilir olur; bu tür takımlar dengelidir. Öte yandan, standart sapması büyük olan bir takımın sonucunu tahmin etmek zordur ve bu da dengesizlikle açıklanır; örneğin güçlü bir savunma ama zayıf bir atak.

    Takım parametrelerinin standart sapmasını kullanmak, iki takım arasındaki bir maçın sonucunu bir dereceye kadar tahmin etmeyi, takımların güçlü ve zayıf yönlerini ve dolayısıyla seçilen dövüş yöntemlerini değerlendirmeyi mümkün kılar.



     

    Okumak faydalı olabilir: