Entegrasyon yöntemleri. Belirsiz integralleri çözme yöntemleri

Ders 12

1 . Doğrudan entegrasyon – basit integraller tablosu, integral kuralları ve belirsiz integrallerin özellikleri kullanılarak integrallerin hesaplanması.

örnek 1. +İLE .

Kullanılan trigonometri formülü: .

Örnek2.

burada integralin bariz bir dönüşümü gerçekleştirilir ve entegrasyon değişkeni yerine X kabul edilen ifade (a–bx), bu değişkene göre tablo şeklinde bir integral elde edilir. Bu tekniğe bazen " denir sürme » bazı ifadelerin diferansiyel işareti altında.

Gerçekten mi: .


2 . Değişken Değiştirme Yöntemi . İkame yöntemi .

İzin vermek sen=f(x),xX . Yeni bir değişken tanıtalım T , koyarak X=(T) , t T, Daha sonra sen=f(x)=f((t)) ;dx=(t)dt Ve

Son ifadenin integralini aldıktan sonra sonuç olarak eski değişkene gitmeniz gerekiyor.

Bu yöntem, integral karmaşık bir fonksiyon olduğunda kullanılır.

Örnek. İntegrali bulun : .

Çözüm.

1. Değişken değişimi: x=t/4 , Daha sonra dx=dt/4.

Değiştirme X Ve dx orijinal integrale girersek şunu elde ederiz:

= .

2. Oyuncu değişikliği: 4x = T , Daha sonra dx = dt/4 . Aynı cevabı alıyoruz.


3. "Parçalara göre" entegrasyon yöntemi .

Araya girsin X sürekli türevlenebilen iki fonksiyon verilmiştir sen(x) Ve v(x) .

Çarpımlarının diferansiyeli için ifadeyi yazalım:

Ortaya çıkan ifadenin sol ve sağ taraflarını entegre edelim:

Bu bize parçalara göre entegrasyon formülünü verir:


Parçalara göre entegrasyon yöntemi, tüm bir integral sınıfı için kullanılır; örneğin, integral şunları içerdiğinde:

1) Basit integraller tablosunda yer almayan herhangi bir fonksiyon:

veya bir polinomla çarpımı P(x) :

, .

Bu durumda, sen sırasıyla vb. almak ve dv - ifade P(X)dx ., yani antiderivatiflerden biri v kolayca tanımlanabilir: ,

(burada entegrasyon sırasında keyfi sabit çıkarılmalıdır);


2) bir polinomun trigonometrik bir fonksiyon veya bir üstel ile çarpımı: .

Bu durumda, sen kabul edilmeli P(x) , ve için dv- integralin geri kalanı: exdx, günah xdx, vesaire.

Parçalara göre entegrasyon işlemi birçok kez kullanılabilir ve bu bazen sorunu çözmenize olanak tanır.


örnek 1. İntegrali bulun .

Çözüm.

Hadi koyalım x olarak = sen , dx =dv (Burada P(X) =1 ).

Daha sonra du = D(x olarak) =, v = =X - orijinallerden biri.

Parçalara göre entegrasyon formülünü kullanarak,

şunu elde ederiz:

=xlnx – =x ln x – =x ln x – X +C = X(x olarak – 1 ) +C .

Örnek 2.

İntegrali bulun .

Çözüm.

İzin vermek X =sen (P(x) =X ), =dvdu = , v =.

Parçalara göre entegrasyon formülünü kullanarak şunu elde ederiz:



=x günah x – = x günah x + çünkü x +C .

Örnek 3. İntegrali bulun .

Çözüm.

Hadi koyalım X =sen , e x dx =dv .

Daha sonra du =dx , v =eski .

=xe x–=xe x – e x= eski (x – 1) +İLE.


Örnek 4. İntegrali bulun .

Çözüm.

Hadi koyalım X 2 =sen , e x dx =dv .

Daha sonra du =2xdx , v =eski .

Parçalara göre entegrasyon formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

=X 2 ∙e x –2 .

Entegrasyonu tekrar parçalara göre uygulayalım (bkz. örnek 3):

x 2 e x–2 = x 2 e X– 2(xe X- eski)+C=

= e x (x 2–2 kere+2) +C .


4.Belirsiz katsayı yöntemi

Rasyonel fonksiyonları entegre etmek için kullanılır

burada ve polinomlardır ve payın derecesi paydanın derecesinden daha küçüktür (doğru kesir), uygun olmayan bir kesir, bir polinomu bir polinoma bölerek belirli bir polinomun ve uygun bir kesrin toplamına indirgenebilir.


Cebirden gelen bir teoreme göre, her derece polinomu N baş katsayısı bire eşit olan, gerçek farklı köklere sahip x 1 ,x 2 , ..., xn , şu şekilde temsil edilebilir:

Q(X )=(x – x 1 )(x – x 2 )(x – xn ).

Daha sonra uygun kesir daha basit kesirlere ayrıştırılabilir ve yazılabilir:

Nerede 1 ,bir 2 , ...,Bir – bazı sayılar (tanımlanmamış katsayılar).


İfadenin sağ tarafını ortak bir paydaya indirgemek ve ardından katsayıları aynı kuvvetlere eşitlemek X sol ve sağ tarafların payında bilinmeyen katsayıları belirlemek için bir denklem sistemi elde ederiz 1,bir 2, ...,Bir .

Bundan sonra rasyonel fonksiyonun entegrasyonu bulmaya indirgenir. N formun integralleri:


Örnek. İntegrali bulun .

Çözüm. İntegral bir düzgün kesirdir, hadi onu daha basit kesirlere ayıralım.

Paydanın gerçek, farklı kökleri vardır: x 1= 0 ,x 2 =2 ,x 3= –2 . Buradan , x3–4x= X(x–2)(X+2 ) ,

Karmaşık integraller

Bu makale belirsiz integraller konusunu sonlandırıyor ve oldukça karmaşık bulduğum integralleri içeriyor. Ders, sitede daha zor örneklerin incelenmesini istediklerini ifade eden ziyaretçilerin tekrarlanan talepleri üzerine oluşturuldu.

Bu metnin okuyucusunun iyi hazırlanmış olduğu ve temel entegrasyon tekniklerini nasıl uygulayacağını bildiği varsayılmaktadır. İntegraller konusunda kendine pek güvenmeyenler ve aptallar ilk derse başvurmalıdır - Belirsiz integral. Çözüm örnekleri, konuya neredeyse sıfırdan hakim olabileceğiniz yer. Daha deneyimli öğrenciler, makalelerimde henüz karşılaşılmayan entegrasyon teknik ve yöntemlerine aşina olabilirler.

Hangi integraller dikkate alınacak?

Öncelikle çözümü için art arda kullandığımız köklü integralleri ele alacağız. değişken değiştirme Ve Parçalara göre entegrasyon. Yani bir örnekte iki teknik aynı anda birleştirilmiştir. Ve daha da fazlası.

O zaman ilginç ve orijinal şeylerle tanışacağız İntegrali kendine indirgeme yöntemi. Pek çok integral bu şekilde çözülür.

Programın üçüncü sayısı, önceki makalelerde kasanın önünden geçen karmaşık kesirlerden integraller olacak.

Dördüncü olarak trigonometrik fonksiyonlardan ek integraller analiz edilecektir. Özellikle zaman alıcı evrensel trigonometrik ikameyi önleyen yöntemler vardır.

(2) İntegral fonksiyonunda payı paydaya terime böleriz.

(3) Belirsiz integralin doğrusallık özelliğini kullanıyoruz. Hemen son integralde fonksiyonu diferansiyel işaretinin altına koyun.

(4) Kalan integralleri alıyoruz. Logaritmada modül yerine parantez kullanabileceğinizi unutmayın, çünkü .

(5) Doğrudan değiştirmeden “te”yi ifade ederek ters değiştirme işlemi yaparız:

Mazoşist öğrenciler, az önce yaptığım gibi, cevabı ayırt edebilir ve orijinal integrand'ı elde edebilirler. Hayır, hayır, kontrolü doğru anlamda yaptım =)

Gördüğünüz gibi, çözüm sırasında ikiden fazla çözüm yöntemi kullanmak zorunda kaldık, bu tür integrallerle başa çıkmak için kendinize güvenen entegrasyon becerilerine ve oldukça fazla deneyime ihtiyacınız var.

Pratikte elbette karekök daha yaygındır; işte bunu kendiniz çözmeniz için üç örnek:

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun

Örnek 3

Belirsiz integrali bulun

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun

Bu örnekler aynı türde olduğundan makalenin sonundaki tam çözüm yalnızca Örnek 2 için olacaktır; Örnek 3-4 aynı cevaplara sahiptir. Kararların başında hangi ikamenin kullanılacağının açık olduğunu düşünüyorum. Neden aynı türden örnekleri seçtim? Genellikle rollerinde bulunurlar. Daha sık, belki de şöyle bir şey .

Ancak her zaman değil, arktanjant, sinüs, kosinüs, üstel ve diğer fonksiyonlar altında doğrusal bir fonksiyonun kökü olduğunda, aynı anda birkaç yöntem kullanmanız gerekir. Bazı durumlarda "kolayca kurtulmak" mümkündür, yani değiştirmeden hemen sonra kolayca alınabilecek basit bir integral elde edilir. Yukarıda önerilen görevlerin en kolayı, değiştirme sonrasında nispeten basit bir integralin elde edildiği Örnek 4'tür.

İntegrali kendine indirgeyerek

Esprili ve güzel bir yöntem. Türün klasiklerine bir göz atalım:

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun

Kökün altında ikinci dereceden bir binom vardır ve bu örneği entegre etmeye çalışmak, çaydanlığın saatlerce baş ağrısına neden olabilir. Böyle bir integral parçalara ayrılarak kendisine indirgenir. Prensip olarak zor değil. Nasıl olduğunu biliyorsan.

Söz konusu integrali Latin harfiyle gösterelim ve çözüme başlayalım:

Parçalara göre integral alalım:

(1) Dönem dönem bölünme için integrand fonksiyonunu hazırlayın.

(2) İntegral fonksiyon terimini terime bölüyoruz. Herkes için net olmayabilir, ancak daha ayrıntılı olarak anlatacağım:

(3) Belirsiz integralin doğrusallık özelliğini kullanıyoruz.

(4) Son integrali alın ("uzun" logaritma).

Şimdi çözümün en başına bakalım:

Ve sonuna kadar:

Ne oldu? Yaptığımız manipülasyonlar sonucunda integral kendine indirgendi!

Başlangıç ​​ve bitişi eşitleyelim:

Burç değişikliği ile sol tarafa geçin:

Ve ikisini sağ tarafa kaydırıyoruz. Sonuç olarak:

Kesin olarak konuşursak, sabitin daha önce eklenmesi gerekirdi, ancak sonunda ekledim. Buradaki titizliğin ne olduğunu okumanızı şiddetle tavsiye ederim:

Not: Daha doğrusu çözümün son aşaması şöyle görünür:

Böylece:

Sabit ile yeniden tasarlanabilir. Neden yeniden tasarlanabilir? Çünkü hala kabul ediyor herhangi değerler ve bu anlamda sabitler arasında bir fark yoktur.
Sonuç olarak:

Sürekli yeniden açıklama içeren benzer bir numara yaygın olarak kullanılmaktadır. diferansiyel denklemler. Ve orada katı olacağım. Ve burada böyle bir özgürlüğe yalnızca gereksiz şeylerle kafanızı karıştırmamak ve dikkati tam olarak entegrasyon yönteminin kendisine odaklamak için izin veriyorum.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun

Bağımsız çözüm için başka bir tipik integral. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Önceki örnekteki cevapta bir fark olacak!

Karekökün altında bir kare trinomial varsa, o zaman çözüm her durumda analiz edilen iki örneğe iner.

Örneğin integrali düşünün . İlk önce yapmanız gereken tek şey tam bir kare seç:
.
Daha sonra, "herhangi bir sonuç olmadan" yapılan doğrusal bir değiştirme gerçekleştirilir:
, integralle sonuçlanır . Tanıdık bir şey, değil mi?

Veya ikinci dereceden binomlu bu örnek:
Tam bir kare seçin:
Ve doğrusal değiştirmeden sonra, daha önce tartışılan algoritma kullanılarak çözülen integrali elde ederiz.

Bir integralin kendisine nasıl indirgeneceğine ilişkin iki tipik örneğe daha bakalım:
– üstel çarpımın sinüs ile integrali;
– üstel sayının kosinüs ile çarpımının integrali.

Parçalara göre listelenen integrallerde iki kez integral almanız gerekecektir:

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun

İntegral üstel sayının sinüsle çarpımıdır.

Parçalara göre iki kere integral alırız ve integrali kendisine indirgeriz:


Parçalara göre çift integrasyon sonucunda integral kendine indirgenmiştir. Çözümün başlangıcını ve sonunu eşitliyoruz:

İşaret değişikliği ile sola kaydırıp integralimizi ifade ediyoruz:

Hazır. Aynı zamanda sağ tarafı da taramanız tavsiye edilir, yani. Üssü parantezlerden çıkarın ve sinüs ve kosinüsü parantezlere "güzel" bir sırayla yerleştirin.

Şimdi örneğin başlangıcına, daha doğrusu parçalara göre entegrasyona geri dönelim:

Üssü olarak belirledik. Şu soru ortaya çıkıyor: Her zaman ile gösterilmesi gereken üs mü? Gerekli değil. Aslında, ele alınan integralde temelde önemli değil, ne demek istiyoruz, diğer tarafa da gidebilirdik:

Bu neden mümkün? Üstel kendisine dönüştüğü için (hem türev alma hem de integral alma sırasında), sinüs ve kosinüs karşılıklı olarak birbirine dönüşür (yine hem türev alma hem de integral alma sırasında).

Yani trigonometrik bir fonksiyonu da gösterebiliriz. Ancak ele alınan örnekte kesirler ortaya çıkacağından bu daha az rasyoneldir. Dilerseniz bu örneği ikinci yöntemle çözmeyi deneyebilirsiniz; cevapların eşleşmesi gerekir.

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Karar vermeden önce, bu durumda üstel fonksiyon olarak mı yoksa trigonometrik fonksiyon olarak neyin daha avantajlı olduğunu düşünün. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Ve elbette, bu dersteki cevapların çoğunun farklılaştırma yoluyla kontrol edilmesinin oldukça kolay olduğunu unutmayın!

Ele alınan örnekler en karmaşık örnekler değildi. Uygulamada, sabitin hem üste hem de trigonometrik fonksiyonun argümanında olduğu durumlarda integraller daha yaygındır, örneğin: . Birçok insanın böyle bir integral konusunda kafası karışacaktır ve ben de sıklıkla kafamı karıştırıyorum. Gerçek şu ki, çözümde kesirlerin ortaya çıkma olasılığı yüksektir ve dikkatsizlik nedeniyle bir şeyi kaybetmek çok kolaydır. Ayrıca işaretlerde hata olasılığı yüksektir; üssün eksi işaretine sahip olduğunu ve bunun da ek zorluk yarattığını unutmayın.

Son aşamada sonuç genellikle şöyle olur:

Çözümün sonunda bile son derece dikkatli olmalı ve kesirleri doğru anlamalısınız:

Karmaşık Kesirlerin İntegrallenmesi

Yavaş yavaş dersin ekvatoruna yaklaşıyoruz ve kesirlerin integrallerini düşünmeye başlıyoruz. Tekrar ediyorum, hepsi çok karmaşık değil; sadece şu ya da bu nedenle diğer makalelerdeki örnekler biraz "konu dışı"ydı.

Kökler temasına devam ediliyor

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun

Kökün altındaki paydada ikinci dereceden bir üç terimli artı kökün dışında "X" şeklinde bir "ek" vardır. Bu türden bir integral, standart bir ikame kullanılarak çözülebilir.

Biz karar veriyoruz:

Buradaki değişim basittir:

Değişimden sonraki hayata bakalım:

(1) Yer değiştirme işleminden sonra kök altındaki terimleri ortak bir paydaya indiririz.
(2) Onu kökün altından çıkarıyoruz.
(3) Pay ve payda azaltılır. Aynı zamanda kök altında terimleri uygun bir sıraya göre yeniden düzenledim. Biraz tecrübeyle, yorumlanan eylemleri sözlü olarak gerçekleştirerek (1), (2) adımları atlanabilir.
(4) Sonuçta ortaya çıkan integral, dersten hatırladığınız gibi Bazı Kesirlerin İntegrali, karar veriliyor tam kare çıkarma yöntemi. Tam bir kare seçin.
(5) İntegral yoluyla sıradan bir "uzun" logaritma elde ederiz.
(6) Ters değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz. Başlangıçta ise, sonra geri: .
(7) Son eylem, sonucu düzeltmeyi amaçlamaktadır: kök altında terimleri tekrar ortak bir paydaya getiriyoruz ve kökün altından çıkarıyoruz.

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Burada tek "X"e bir sabit eklenir ve değiştirme neredeyse aynıdır:

Ek olarak yapmanız gereken tek şey, gerçekleştirilen değiştirme işlemindeki "x" i ifade etmektir:

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Bazen böyle bir integralin kökü altında ikinci dereceden bir binom olabilir, bu çözüm yöntemini değiştirmez, hatta daha basit olacaktır. Farkı Hisset:

Örnek 11

Belirsiz integrali bulun

Örnek 12

Belirsiz integrali bulun

Dersin sonunda kısa çözümler ve cevaplar. Örnek 11'in tam olarak aynı olduğuna dikkat edilmelidir. binom integraliÇözüm yöntemi sınıfta tartışılan İrrasyonel fonksiyonların integralleri.

2. dereceden ayrıştırılamaz bir polinomun üssüne integrali

(paydadaki polinom)

Daha nadir görülen bir integral türü, ancak yine de pratik örneklerde karşımıza çıkıyor.

Örnek 13

Belirsiz integrali bulun

Ama şanslı sayı 13 ile olan örneğe dönelim (dürüst olmak gerekirse doğru tahmin etmedim). Bu integral aynı zamanda nasıl çözeceğinizi bilmiyorsanız oldukça sinir bozucu olabilecek integrallerden biridir.

Çözüm yapay bir dönüşümle başlar:

Sanırım herkes payın payda terimine göre nasıl bölüneceğini zaten anlıyor.

Ortaya çıkan integral parçalar halinde alınır:

( – doğal sayı) formunun bir integrali için türetiyoruz tekrarlayan azaltma formülü:
, Nerede – daha düşük bir derecenin integrali.

Çözülmüş integral için bu formülün geçerliliğini doğrulayalım.
Bu durumda: , , formülü kullanırız:

Gördüğünüz gibi cevaplar aynı.

Örnek 14

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Örnek çözüm yukarıdaki formülü art arda iki kez kullanır.

Derecenin altında ise bölünmez kare trinomial, daha sonra çözüm, mükemmel kareyi izole ederek bir binoma indirgenir, örneğin:

Payda ek bir polinom varsa ne olur? Bu durumda belirsiz katsayılar yöntemi kullanılır ve integral fonksiyonu kesirlerin toplamına genişletilir. Ama benim uygulamamda böyle bir örnek var hiç tanışmadık, bu yüzden makalede bu vakayı kaçırdım Kesirli-rasyonel fonksiyonların integralleri, şimdi bunu atlayacağım. Hala böyle bir integralle karşılaşırsanız, ders kitabına bakın - orada her şey basit. Karşılaşma olasılığı sıfıra yaklaşan materyali (basit olanları bile) dahil etmenin uygun olduğunu düşünmüyorum.

Karmaşık trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu

Çoğu örnek için "karmaşık" sıfatı yine büyük ölçüde koşulludur. Yüksek kuvvetlerdeki teğetler ve kotanjantlarla başlayalım. Kullanılan çözme yöntemleri açısından bakıldığında, teğet ve kotanjant hemen hemen aynı şeydir, bu yüzden teğet hakkında daha fazla konuşacağım, bu da integrali çözmek için gösterilen yöntemin kotanjant için de geçerli olduğunu ima ediyor.

Yukarıdaki derste inceledik evrensel trigonometrik ikame Trigonometrik fonksiyonların belirli türdeki integrallerini çözmek için. Evrensel trigonometrik ikamenin dezavantajı, kullanımının çoğu zaman zor hesaplamalara sahip hantal integrallerle sonuçlanmasıdır. Ve bazı durumlarda evrensel trigonometrik ikameden kaçınılabilir!

Başka bir kanonik örneği ele alalım: Birin integralinin sinüse bölümü:

Örnek 17

Belirsiz integrali bulun

Burada evrensel trigonometrik ikameyi kullanabilir ve cevaba ulaşabilirsiniz, ancak daha rasyonel bir yol var. Her adım için yorumlarla birlikte eksiksiz bir çözüm sunacağım:

(1) Çift açının sinüsü için trigonometrik formülü kullanırız.
(2) Yapay bir dönüşüm gerçekleştiriyoruz: Paydayı bölüp ile çarpıyoruz.
(3) Paydadaki iyi bilinen formülü kullanarak kesri teğete dönüştürürüz.
(4) Fonksiyonu diferansiyel işaretin altına getiriyoruz.
(5) İntegrali alın.

Kendi başınıza çözebileceğiniz birkaç basit örnek:

Örnek 18

Belirsiz integrali bulun

Not: İlk adım indirgeme formülünü kullanmak olmalıdır. ve önceki örneğe benzer eylemleri dikkatlice gerçekleştirin.

Örnek 19

Belirsiz integrali bulun

Aslında bu çok basit bir örnek.

Dersin sonunda çözümleri ve cevapları tamamlayın.

Artık kimsenin integrallerle sorunu olmayacağını düşünüyorum:
ve benzeri.

Yöntemin fikri nedir? Buradaki fikir, yalnızca teğetleri ve teğet türevini integral halinde düzenlemek için dönüşümleri ve trigonometrik formülleri kullanmaktır. Yani, değiştirmekten bahsediyoruz: . Örnek 17-19'da aslında bu değiştirmeyi kullandık, ancak integraller o kadar basitti ki eşdeğer bir eylemle - fonksiyonu diferansiyel işaretin altına alarak - başardık.

Daha önce de belirttiğim gibi benzer bir mantık kotanjant için de yapılabilir.

Yukarıdaki değişikliğin uygulanması için resmi bir önkoşul da vardır:

Kosinüs ve sinüsün kuvvetlerinin toplamı negatif bir tamsayı ÇİFT sayıdır, Örneğin:

integral için – negatif bir tamsayı ÇİFT sayı.

! Not : eğer integral YALNIZCA bir sinüs veya YALNIZCA bir kosinüs içeriyorsa, o zaman integral aynı zamanda negatif tek derece olarak da alınır (en basit durumlar Örnekler No. 17, 18'dedir).

Bu kurala dayanarak birkaç daha anlamlı göreve bakalım:

Örnek 20

Belirsiz integrali bulun

Sinüs ve kosinüs kuvvetlerinin toplamı: 2 – 6 = –4, negatif bir tamsayı ÇİFT sayıdır; bu, integralin teğetlere ve onun türevine indirgenebileceği anlamına gelir:

(1) Paydayı dönüştürelim.
(2) İyi bilinen formülü kullanarak şunu elde ederiz:
(3) Paydayı dönüştürelim.
(4) Formülü kullanıyoruz .
(5) Fonksiyonu diferansiyel işaretin altına getiriyoruz.
(6) Değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz. Daha deneyimli öğrenciler değiştirme işlemini gerçekleştiremeyebilir, ancak yine de teğeti bir harfle değiştirmek daha iyidir - kafanın karışma riski daha azdır.

Örnek 21

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Orada bekleyin, şampiyonluk turları başlamak üzere =)

Çoğu zaman integrand bir "karmaşık nokta" içerir:

Örnek 22

Belirsiz integrali bulun

Bu integral başlangıçta bir teğet içerir ve bu da hemen zaten tanıdık bir düşünceye yol açar:

Her şey yukarıda tartışıldığı için yapay dönüşümü en başta ve geri kalan adımları yorumsuz bırakacağım.

Kendi çözümünüz için birkaç yaratıcı örnek:

Örnek 23

Belirsiz integrali bulun

Örnek 24

Belirsiz integrali bulun

Evet, elbette sinüs ve kosinüsün güçlerini düşürebilir ve evrensel bir trigonometrik ikame kullanabilirsiniz, ancak çözüm teğetler aracılığıyla gerçekleştirilirse çok daha verimli ve daha kısa olacaktır. Dersin sonunda tam çözüm ve cevaplar

Belirli bir X aralığında türevi alınabilen bir F(x) fonksiyonuna denir fonksiyonun antiderivatifi f(x) veya f(x)'in integrali, eğer her x ∈X için aşağıdaki eşitlik geçerliyse:

F" (x) = f(x).(8.1)

Belirli bir fonksiyonun tüm antiderivatiflerini bulmaya fonksiyonun adı verilir. entegrasyon. Belirsiz integral fonksiyonu belirli bir X aralığında f(x), f(x) fonksiyonu için tüm antiderivatif fonksiyonların kümesidir; atama -

Eğer F(x), f(x) fonksiyonunun bir terstürevi ise, o zaman ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

burada C keyfi bir sabittir.

İntegral tablosu

Doğrudan tanımdan belirsiz integralin ana özelliklerini ve tablo halindeki integrallerin bir listesini elde ederiz:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=sabit)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Tablosal integrallerin listesi

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arktan x + C

8. = yaysin x + C

10. = - ctg x + C

Bir değişkeni değiştirme

Birçok işlevi entegre etmek için değişken değiştirme yöntemini kullanın veya oyuncu değişikliği,İntegralleri tablo biçimine indirmenize olanak tanır.

Eğer f(z) fonksiyonu [α,β] üzerinde sürekli ise, z =g(x) fonksiyonunun sürekli bir türevi vardır ve α ≤ g(x) ≤ β, o zaman

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Ayrıca sağ taraftaki entegrasyondan sonra z=g(x) yerine koyma işlemi yapılmalıdır.

Bunu kanıtlamak için orijinal integrali şu şekilde yazmak yeterlidir:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Örneğin:

Parçalara göre entegrasyon yöntemi

u = f(x) ve v = g(x) sürekli olan fonksiyonlar olsun. Daha sonra çalışmaya göre;

d(uv))= udv + vdu veya udv = d(uv) - vdu.

d(uv) ifadesinin terstürevi açıkça uv olacaktır, dolayısıyla formül geçerlidir:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Bu formül kuralı ifade eder Parçalara göre entegrasyon. udv=uv"dx ifadesinin entegrasyonunu vdu=vu"dx ifadesinin entegrasyonuna yönlendirir.

Örneğin ∫xcosx dx'i bulmak istiyorsunuz. u = x, dv = cosxdx koyalım, yani du=dx, v=sinx. Daha sonra

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Parçalara göre entegrasyon kuralı, değişkenlerin ikamesinden daha sınırlı bir kapsama sahiptir. Fakat integrallerin bütün sınıfları vardır, örneğin,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax ve diğerleri, parçalara göre entegrasyon kullanılarak tam olarak hesaplanır.

Kesin integral

Belirli bir integral kavramı aşağıdaki şekilde tanıtılmaktadır. Bir f(x) fonksiyonunun bir aralıkta tanımlı olduğunu varsayalım. [a,b] parçasını bölelim N noktalara göre parçalar a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x ben =x ben - x i-1. f(ξ i)Δ x i formunun toplamı denir integral toplamıλ = maxΔx i → 0'daki limiti, eğer mevcutsa ve sonluysa denir. kesin integral f(x) fonksiyonları Aönce B ve belirlenmiştir:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Bu durumda f(x) fonksiyonu çağrılır aralıkta integrallenebilir a ve b sayıları çağrılır integralin alt ve üst limitleri.

Belirli bir integral için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

4), (k = sabit, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Son özellik denir ortalama değer teoremi.

f(x) 'in üzerinde sürekli olsun. O zaman bu segmentte belirsiz bir integral var

∫f(x)dx = F(x) + C

ve gerçekleşir Newton-Leibniz formülü belirli integrali belirsiz integrale bağlamak:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometrik yorum: belirli integral, yukarıdan y=f(x) eğrisi, x = a ve x = b düz çizgileri ve eksenin bir parçası ile sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanıdır Öküz.

Uygun olmayan integraller

Sonsuz limitli integrallere ve süreksiz (sınırsız) fonksiyonların integrallerine ne ad verilir? senin değil. Birinci türden uygunsuz integraller - Bunlar aşağıdaki gibi tanımlanan sonsuz bir aralıktaki integrallerdir:

(8.7)

Bu limit mevcut ve sonlu ise buna denir. f(x)'in yakınsak uygunsuz integrali[a,+ ∞) aralığındadır ve f(x) fonksiyonu çağrılır sonsuz bir aralıkta integrallenebilir[a,+ ∞). Aksi halde integrale denir. mevcut değil veya farklılaşıyor.

(-∞,b] ve (-∞, + ∞) aralıklarındaki uygun olmayan integraller benzer şekilde tanımlanır:

Sınırsız bir fonksiyonun integrali kavramını tanımlayalım. Eğer f(x) tüm değerler için sürekli ise X f(x)'in sonsuz bir süreksizliğe sahip olduğu c noktası hariç, segment ikinci türde uygunsuz integral f(x) a'dan b'ye kadar değişen miktar denir:

eğer bu sınırlar mevcutsa ve sonluysa. Tanım:

İntegral hesaplama örnekleri

Örnek 3.30.∫dx/(x+2)'yi hesaplayın.

Çözüm. t = x+2 olsun, o zaman dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Örnek 3.31. ∫ tgxdx'i bulun.

Çözüm.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. t=cosx olsun, o zaman ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Örnek3.32 . ∫dx/sinx'i bulun

Çözüm.

Örnek3.33. Bulmak .

Çözüm. = .

Örnek3.34 . ∫arctgxdx'i bulun.

Çözüm. Parçalara göre integral alalım. u=arctgx, dv=dx'i gösterelim. O zaman du = dx/(x 2 +1), v=x, dolayısıyla ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; Çünkü
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Örnek3.35 . ∫lnxdx'i hesaplayın.

Çözüm. Parçalara göre entegrasyon formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. O halde ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Örnek3.36 . ∫e x sinxdx'i hesaplayın.

Çözüm. u = e x, dv = sinxdx diyelim, o zaman du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Ayrıca ∫e x cosxdx integralini parçalara göre entegre ederiz: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Sahibiz:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx ilişkisini elde ettik, buradan 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Örnek 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x'i hesaplayın.

Çözüm. dx/x = dlnx olduğundan J= ∫cos(lnx)d(lnx) olur. lnx'i t ile değiştirerek J = ∫ maliyetdt = sint + C = sin(lnx) + C integral tablosuna ulaşırız.

Örnek 3.38 . J ='yi hesaplayın.

Çözüm.= d(lnx) olduğunu düşünürsek, lnx = t yerine koyarız. O halde J = .

Örnek 3.39 . J = integralini hesaplayın .

Çözüm. Sahibiz: . Bu nedenle =
=
=. şu şekilde girilir: sqrt(tan(x/2)).

Sonuç penceresinde sağ üst köşedeki Adımları göster seçeneğine tıklarsanız ayrıntılı bir çözüm elde edersiniz.

Bu integrali hesaplamak için, mümkünse şu veya bu yöntemi kullanarak onu tablo halindeki bir integrale indirgemeli ve böylece istenen sonucu bulmalıyız. Kursumuzda en yaygın entegrasyon tekniklerinden yalnızca bazılarını ele alacağız ve bunların uygulamalarını en basit örneklerle göstereceğiz.

En önemli entegrasyon yöntemleri şunlardır:
1) doğrudan entegrasyon yöntemi (genişletme yöntemi),
2) ikame yöntemi (yeni bir değişken ekleme yöntemi),
3) parçalara göre entegrasyon yöntemi.

I. Doğrudan entegrasyon yöntemi

Birçok fonksiyonun belirsiz integrallerini bulma problemi, bunları tablo integrallerinden birine indirgeyerek çözülür.

∫(1-√x) 2 dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=

Örnek 3. ∫sin 2 xdx

sin 2 x=(1-cos2x) olduğundan, o zaman
∫sin 2 xdx=(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xd(2x)=x-sin2x+C

Örnek 4. ∫sinxcos3xdx

sinxcos3x=(sin4x-sin2x) olduğundan, elimizde
∫sinxcos3xdx=∫(sin4x-sin2x)dx=∫sin4xd(4x)-∫sin2xd(2x)=-cos4x+cos2x+C

Örnek 5. Belirsiz integrali bulun: ∫cos(7x-3)dx

∫cos(7x-3)=∫cos(7x-3)d(7x-3)=sin(7x-3)+C

Örnek 6.

II. İkame yöntemi (değişken değişikliğiyle entegrasyon)

Eğer x=φ(t) fonksiyonunun sürekli bir türevi varsa, o zaman belirli bir ∫f(x)dx belirsiz integralinde aşağıdaki formülü kullanarak her zaman yeni bir t değişkenine gidebilirsiniz

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

Daha sonra sağ taraftan integrali bulun ve orijinal değişkene dönün. Bu durumda eşitliğin sağ tarafındaki integral, bu eşitliğin sol tarafındaki integralden daha basit, hatta tablo halinde çıkabilir. İntegrali bulmanın bu yöntemine değişkenlerin değişimi yöntemi denir.

Örnek 7. ∫x√x-5dx

Kökten kurtulmak için √x-5=t değerini ayarladık. Dolayısıyla x=t 2 +5 ve dolayısıyla dx=2tdt. Değişikliği yaparken sürekli olarak aşağıdakilere sahibiz:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

Örnek 8.

O zamandan beri elimizde

Örnek 9.

Örnek 10. ∫e -x 3 x 2 dx

-x 3 =t değişimini kullanalım. O zaman elimizde -3x 2 dx=dt ve ∫e -x 3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x 3 +C bulunur

Örnek 11.

1+sinx=t yerine koymayı uygulayalım, ardından cosxdx=dt ve

III. Parçalara göre entegrasyon yöntemi

Parçalara göre entegrasyon yöntemi aşağıdaki formüle dayanmaktadır:

∫udv=uv-∫vdu

burada u(x),v(x) sürekli türevlenebilir fonksiyonlardır. Formüle parçalara göre entegrasyon formülü denir. Bu formül, ∫udv integralinin ∫vdu integraline yol açtığını gösterir; bunun orijinalinden daha basit, hatta tablo şeklinde olduğu ortaya çıkabilir.

Örnek 12. ∫xe -2x dx belirsiz integralini bulun

Doğrudan entegrasyon

Temel entegrasyon formülleri

1. C – sabit 1*.
2. , n ≠ –1
3.+C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Basit integraller tablosunun ve belirsiz integrallerin temel özelliklerinin doğrudan kullanılmasıyla integrallerin hesaplanmasına denir. doğrudan entegrasyon.

Örnek 1.

Örnek 2.

Örnek 3.

Bu, integralin başka bir entegrasyon değişkenine taşınarak dönüştürülmesini içeren, karmaşık bir fonksiyonun integralini almanın en yaygın yöntemidir.

Temel dönüşümleri kullanarak integrali tablo haline getirmek zorsa, bu durumda ikame yöntemi kullanılır. Bu yöntemin özü, yeni bir değişken ekleyerek bu integrali, doğrudan alınması nispeten kolay olan yeni bir integrale indirgemenin mümkün olmasıdır.

İkame yöntemiyle entegrasyon için çözüm şemasını kullanın:

2) her iki yedek parçanın diferansiyelini bulun;

3) integralin tamamını yeni bir değişken aracılığıyla ifade edin (bundan sonra bir tablo integrali elde edilmelidir);

4) ortaya çıkan tablo integralini bulun;

5) ters değiştirme işlemini gerçekleştirin.

İntegralleri bulun:

örnek 1 . İkame:cosx=t,-sinxdx=dt,

Çözüm:

Örnek 2.∫e -x3 x 2 dx İkame:-x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Çözüm:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

Örnek 3.İkame: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,

Çözüm: .

BÖLÜM 1.5. Belirli integral, hesaplama yöntemleri.

Madde 1 Belirli İntegral Kavramı

Görev. Bir fonksiyonun ters türevi olan bir fonksiyonun artışını bulun f(x), argümanı aktarırken X değerden A değer vermek B.

Çözüm. Entegrasyonun şunu bulduğunu varsayalım: ∫ (x)dx = F(x)+C.

Daha sonra F(x)+C 1, Nerede C1- verilen herhangi bir sayı, bu fonksiyonun antiderivatif fonksiyonlarından biri olacaktır f(x). Argüman değerden uzaklaştığında artışını bulalım A değer vermek B. Şunu elde ederiz:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

Gördüğümüz gibi antiderivatif fonksiyonun artış ifadesinde F(x)+C 1 sabit değer yok C1. Ve altından beri C1 Herhangi bir sayı ima edilmişse, elde edilen sonuç aşağıdaki sonuca götürür: argüman geçişi hakkında X değerden x=a değer vermek x=b tüm işlevler F(x)+C, belirli bir fonksiyon için antiderivatifler f(x), aynı artışa eşit F(b)-F(a).



Bu artışa genellikle belirli integral denir. ve sembolüyle gösterilir: ve okundu: integrali Aönce B f(x) bölü dх fonksiyonundan veya kısacası integralinden Aönce B f(x)dx'ten.

Sayı A isminde alt sınır entegrasyon, sayı B - tepe; a segmenti ≤ x ≤ b – entegrasyon segmenti.İntegral fonksiyonunun olduğu varsayılmaktadır. f(x) tüm değerler için sürekli X, koşulları karşılayan: AXB

Tanım. Antiderivatif fonksiyonların arttırılması F(x)+C argüman geçişi hakkında X değerden x=a değer vermek x=b, farka eşit F(b)-F(a), belirli bir integral olarak adlandırılır ve şu sembolle gösterilir: yani eğer ∫ (x)dx = F(x)+C ise = F(b)-F(a) - verildi eşitliğe Newton-Leibniz formülü denir.

madde 2 Belirli integralin temel özellikleri

Tüm özellikler, söz konusu fonksiyonların karşılık gelen aralıklarda entegre edilebileceği önermesiyle formüle edilir.

Madde 3 Belirli integralin doğrudan hesaplanması

Belirli integrali hesaplamak için karşılık gelen belirsiz integrali bulduğunuzda Newton-Leibniz formülünü kullanın.

onlar. Belirli bir integral, herhangi bir antiderivatif fonksiyonun üst ve alt entegrasyon limitlerindeki değerleri arasındaki farka eşittir.

Bu formül belirli bir integralin hesaplanmasına ilişkin prosedürü gösterir:

1) bu fonksiyonun belirsiz integralini bulun;

2) ortaya çıkan antitürevde argüman yerine integralin önce üst, sonra alt limitini değiştirin;

3) alt limitin değiştirilmesinin sonucunu üst limitin değiştirilmesinin sonucundan çıkarın.

Örnek 1:İntegrali hesaplayın:

Örnek 2:İntegrali hesaplayın:

s.4 Belirli bir integralin ikame yöntemiyle hesaplanması

Belirli integralin ikame yöntemiyle hesaplanması şu şekildedir:

1) integralin bir kısmını yeni bir değişkenle değiştirin;

2) belirli integralin yeni limitlerini bulun;

3) her iki yedek parçanın diferansiyelini bulun;

4) integralin tamamını yeni bir değişken aracılığıyla ifade edin (bundan sonra bir tablo integrali elde edilmelidir); 5) Ortaya çıkan belirli integrali hesaplar.

Örnek 1:İntegrali hesaplayın:

İkame: 1+cosx=t,-sinxdx=dt,

BÖLÜM 1.6. Belirli bir integralin geometrik anlamı.

Kavisli bir yamuğun alanı:

Bir segment üzerindeki belirli bir integralin, f(x) fonksiyonunun grafiğiyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanını temsil ettiği bilinmektedir.

Belirli çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanı, bu doğruların denklemleri biliniyorsa belirli integraller kullanılarak bulunabilir.

[a; b] sürekli bir fonksiyon veriliyor y = ƒ(x) ≥ 0. Bu yamuğun alanını bulalım.

Şeklin alanı 0 ekseniyle sınırlanmıştır X, iki dikey düz çizgi x = a, x = b ve y = ƒ(x) (şekil) fonksiyonunun grafiği, aşağıdaki formülle belirlenir:

Belirli integralin geometrik anlamı budur.

Örnek 1: Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın: y=x2.+2, y=0, x= -2, x=1.

Çözüm: Çizimi çizelim (y=0 denkleminin Ox eksenini tanımladığını unutmayın).

Cevap: S = 9 birim 2

Örnek 2: Şeklin çizgileriyle sınırlanan alanını hesaplayın: y= - e x, x=1 ve koordinat eksenleri.

Çözüm: Bir çizim yapalım.
Kavisli bir yamuk ise tamamen Ox ekseninin altında yer alıyor ise alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bu durumda:

Dikkat! Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

BÖLÜM 1.7. Belirli integralin uygulanması

s.1 Dönen cismin hacminin hesaplanması

Eğri bir yamuk Ox eksenine bitişikse ve y=a, y=b düz çizgileri ve fonksiyonun grafiği y= F(x) (Şekil 1), o zaman dönel cismin hacmi, bir integral içeren bir formülle belirlenir.

Devrim gövdesinin hacmi şuna eşittir:

Örnek:

Doğrunun Ox ekseni etrafında 0≤ x ≤4'teki dönme yüzeyiyle sınırlı olan cismin hacmini bulun.

Çözüm: V

birimler 3. Cevap: ünite 3.

BÖLÜM 3.1. Adi diferansiyel denklemler

Madde 1 Diferansiyel denklem kavramı

Tanım. Diferansiyel denklem bir dizi değişkenin ve türevlerinin bir fonksiyonunu içeren bir denklemdir.

Böyle bir denklemin genel biçimi =0'dır; burada F, sabit bir alanda belirtilen bağımsız değişkenlerinin bilinen bir fonksiyonudur; x - bağımsız değişken (kendisine göre farklılaştırılan değişken); y - bağımlı değişken (türevlerin alındığı ve belirlenecek olan); - bağımlı değişken y'nin bağımsız değişken x'e göre türevi.

Madde 2 Diferansiyel denklemin temel kavramları

Sırayla Bir diferansiyel denklemin içerdiği en yüksek türevin mertebesine denir.

Örneğin:

İkinci dereceden bir denklem birinci dereceden bir denklemdir.

Değişkenleri birbirine bağlayan ve diferansiyel denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren herhangi bir fonksiyona denir. karar diferansiyel denklem.

Genel çözüm birinci dereceden bir diferansiyel denklemin bir fonksiyonu ve bu denklemi 'de bir kimliğe dönüştüren keyfi bir sabit C'dir.

Kapalı form =0 ile yazılan genel çözüme denir. genel integral.

Özel karar denklem =0, sabit bir değer (sabit bir sayı) için genel çözümden elde edilen bir çözümdür.

N'inci dereceden (n= 1,2,3,...) bir diferansiyel denkleme, formun başlangıç ​​koşullarını karşılayan özel bir çözüm bulma problemi

isminde Cauchy sorunu.

Madde 3 Ayrılabilir Değişkenli Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler

Birinci dereceden bir diferansiyel denklem, şeklinde yeniden yazılabildiği gibi temsil edilebiliyorsa ayrılabilir denklem olarak adlandırılır. Eğer . İntegral alalım: .

Bu tür bir denklemi çözmek için ihtiyacınız olan:

1. Ayrı değişkenler;

2. Denklemin ayrı değişkenlerle integralini alarak bu denklemin genel çözümünü bulun;

3. Başlangıç ​​koşullarını (eğer verilmişse) karşılayan özel bir çözüm bulun.

Örnek 1. Denklemi çözün. x=-2'de y=4 koşulunu karşılayan özel bir çözüm bulun.

Çözüm: Bu ayrılmış değişkenli bir denklemdir. İntegral alarak denklemin genel çözümünü buluruz: . Daha basit bir genel çözüm elde etmek için sabit terimi sağ tarafta C/2 formunda temsil ediyoruz. Genel bir çözümümüz var veya var. Genel çözümde y=4 ve x=-2 değerlerini yerine koyarsak 16=4+C elde ederiz, buradan C=12 olur.

Dolayısıyla denklemin bu koşulu sağlayan özel bir çözümü şu şekildedir:

Örnek 2. Aşağıdaki durumlarda denklemin belirli bir çözümünü bulun: .

Çözüm:, , , , , ortak karar.

X ve y'nin değerlerini özel çözüme koyarız: , , özel çözüm.

Örnek 3. Denklemin genel çözümünü bulun . Çözüm: ,, , - ortak karar.

Madde 4 Birinciden daha yüksek mertebeye sahip diferansiyel denklemler

Veya biçimindeki bir denklem çift integralle çözülür: , , buradan . Bu fonksiyonu entegre ettikten sonra, F(x) ile gösterdiğimiz yeni bir f(x) fonksiyonu elde ederiz. Böylece, ; . Tekrar integral alalım: veya y=Ф(x). İki keyfi sabit ve içeren denklemin genel bir çözümünü elde ettik.

Örnek 1. Denklemi çözün.

Çözüm:, , ,

Örnek 2. Denklemi çözün . Çözüm: , , .

BÖLÜM 3.2. Sayı serisi, üyeleri

Tanım 1.Sayı serisi++…++… formunun bir ifadesi denir, (1)

Nerede , , …, , … - Belirli bir sayı sistemine ait sayılar.

Böylece gerçek dizilerden bahsedebiliriz. R, karmaşık seriler hakkında C, ben= 1, 2, …, N, ... = =.

Bölüm 3.3. Olasılık teorisinin ve matematiksel istatistiğin temelleri



 

Şunu okumak yararlı olabilir: