Teğet trigonometri formülü. Trigonometrik denklemler - formüller, çözümler, örnekler

Trigonometride en çok kullanılan formüller hakkındaki sohbetimize devam ediyoruz. Bunlardan en önemlileri toplama formülleridir.

Tanım 1

Toplama formülleri, iki açının farkının veya toplamının fonksiyonlarını, bu açıların trigonometrik fonksiyonlarını kullanarak ifade etmenize olanak sağlar.

Başlangıç olarak, toplama formüllerinin tam bir listesini vereceğiz, sonra bunları kanıtlayacağız ve birkaç açıklayıcı örneği analiz edeceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Trigonometride temel toplama formülleri

Sekiz temel formül vardır: iki açının toplamının sinüsü ve farkının sinüsü, toplamın ve farkın kosinüsleri, toplam ve farkın sırasıyla teğetleri ve kotanjantları. Aşağıda standart formülasyonları ve hesaplamaları verilmiştir.

1. İki açının toplamının sinüsü şu şekilde elde edilebilir:

Birinci açının sinüsü ile ikincinin kosinüsünün çarpımını hesaplıyoruz;

Birinci açının kosinüsünü birincinin sinüsüyle çarpın;

Ortaya çıkan değerleri toplayın.

Formülün grafiksel yazımı şu şekildedir: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Farkın sinüsü hemen hemen aynı şekilde hesaplanır, yalnızca elde edilen ürünler toplanmamalı, birbirinden çıkarılmalıdır. Böylece birinci açının sinüsünün ikincinin kosinüsüyle ve birinci açının kosinüsünün ikincinin sinüsüyle çarpımını hesaplayıp farklarını buluyoruz. Formül şu şekilde yazılır: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Toplamın kosinüsü. Bunun için sırasıyla birinci açının kosinüsünün ikincinin kosinüsüyle ve birinci açının sinüsünün ikincinin sinüsüyle çarpımını buluruz ve farklarını buluruz: cos (α + β) = cos α · çünkü β - günah α · günah β

4. Farkın kosinüsü: daha önce olduğu gibi bu açıların sinüs ve kosinüslerinin çarpımını hesaplayın ve bunları ekleyin. Formül: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Toplamın tanjantı. Bu formül, payı gerekli açıların teğetlerinin toplamı olan bir kesir olarak ifade edilir ve payda, istenen açıların teğetlerinin çarpımının çıkarıldığı bir birimdir. Grafik gösteriminde her şey açıktır: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Farkın tanjantı. Bu açıların teğetlerinin farkı ve çarpımının değerlerini hesaplayıp benzer şekilde ilerliyoruz. Paydada bire ekliyoruz ve bunun tersini yapmıyoruz: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Toplamın kotanjantı. Bu formülü kullanarak hesaplama yapmak için bu açıların çarpımına ve kotanjantlarının toplamına ihtiyacımız olacak ve bunu şu şekilde yapacağız: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. Farkın kotanjantı . Formül öncekine benzer, ancak pay ve payda eksidir, artı değil c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

Muhtemelen bu formüllerin çiftler halinde benzer olduğunu fark etmişsinizdir. ± (artı-eksi) ve ∓ (eksi-artı) işaretlerini kullanarak kayıt kolaylığı için bunları gruplandırabiliriz:

günah (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

Buna göre, her değerin toplamı ve farkı için bir kayıt formülümüz var, sadece bir durumda üst işarete, diğerinde alt işarete dikkat ediyoruz.

Tanım 2

Herhangi bir α ve β açısını alabiliriz ve kosinüs ve sinüs için toplama formülleri onlar için işe yarayacaktır. Bu açıların teğet ve kotanjantlarının değerlerini doğru olarak belirleyebilirsek, o zaman teğet ve kotanjant toplama formülleri onlar için de geçerli olacaktır.

Cebirdeki çoğu kavram gibi toplama formülleri de kanıtlanabilir. Kanıtlayacağımız ilk formül fark kosinüs formülüdür. Kanıtın geri kalanı bundan kolaylıkla çıkarılabilir.

Temel kavramları açıklayalım. Birim çembere ihtiyacımız olacak. Belirli bir A noktasını alırsak ve α ve β açılarını merkezin (O noktası) etrafında döndürürsek işe yarayacaktır. O zaman O A 1 → ve O A → 2 vektörleri arasındaki açı (α - β) + 2 π · z veya 2 π - (α - β) + 2 π · z'ye eşit olacaktır (z herhangi bir tam sayıdır). Ortaya çıkan vektörler, α - β veya 2 π - (α - β) değerine eşit bir açı oluşturur veya bu değerlerden tam sayıda tam devirle farklı olabilir. Resme bir göz atın:

İndirgeme formüllerini kullandık ve aşağıdaki sonuçları elde ettik:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Sonuç: O A 1 → ve O A 2 → vektörleri arasındaki açının kosinüsü, α - β açısının kosinüsüne eşittir, bu nedenle cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Sinüs ve kosinüs tanımlarını hatırlayalım: sinüs, karşı açının ayağının hipotenüse oranına eşit olan açının bir fonksiyonudur, kosinüs ise tamamlayıcı açının sinüsüdür. Bu nedenle noktalar 1 Ve bir 2 koordinatları vardır (cos α, sin α) ve (cos β, sin β).

Aşağıdakileri alıyoruz:

O A 1 → = (cos α, sin α) ve O A 2 → = (cos β, sin β)

Anlaşılmıyorsa vektörlerin başında ve sonunda bulunan noktaların koordinatlarına bakın.

Vektörlerin uzunlukları 1'e eşittir çünkü Birim çemberimiz var.

Şimdi O A 1 → ve O A 2 → vektörlerinin skaler çarpımını analiz edelim. Koordinatlarda şöyle görünür:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · günah β

Buradan eşitliği çıkarabiliriz:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Böylece fark kosinüs formülü kanıtlanmış olur.

Şimdi aşağıdaki formülü kanıtlayacağız - toplamın kosinüsü. Bu daha kolaydır çünkü önceki hesaplamaları kullanabiliriz. α + β = α - (- β) gösterimini alalım. Sahibiz:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Bu kosinüs toplamı formülünün kanıtıdır. Son satır, zıt açıların sinüs ve kosinüs özelliğini kullanır.

Bir toplamın sinüsü formülü, bir farkın kosinüsü formülünden türetilebilir. Bunun için indirgeme formülünü ele alalım:

sin (α + β) = cos (π 2 (α + β) formundadır. Bu yüzden
sin (α + β) = çünkü (π 2 (α + β)) = çünkü ((π 2 - α) - β) = = çünkü (π 2 - α) çünkü β + günah (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

Ve işte fark sinüs formülünün kanıtı:

günah (α - β) = günah (α + (- β)) = günah α cos (- β) + cos α günah (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Son hesaplamada zıt açıların sinüs ve kosinüs özelliklerinin kullanıldığına dikkat edin.

Daha sonra teğet ve kotanjant için toplama formüllerinin kanıtlarına ihtiyacımız var. Temel tanımları hatırlayalım (tanjant sinüsün kosinüse oranıdır ve kotanjant bunun tersidir) ve önceden türetilmiş formülleri alalım. Başardık:

t g (α + β) = günah (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Karmaşık bir kesirimiz var. Daha sonra, cos α ≠ 0 ve cos β ≠ 0 olduğu göz önüne alındığında, pay ve paydasını cos α · cos β'ya bölmemiz gerekir, şunu elde ederiz:
günah α · cos β + çünkü α · günah β çünkü α · çünkü β çünkü α · çünkü β - günah α · günah β çünkü α · cos β = günah α · cos β çünkü α · cos β + cos α · günah β çünkü α · çünkü β çünkü α · çünkü β çünkü α · çünkü β - günah α · günah β çünkü α · çünkü β

Şimdi kesirleri azaltıp aşağıdaki formülü elde ederiz: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s ben n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β elde ettik. Bu, teğet toplama formülünün kanıtıdır.

Kanıtlayacağımız bir sonraki formül fark formülünün tanjantıdır. Hesaplamalarda her şey açıkça gösterilmiştir:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Kotanjant formülleri benzer şekilde kanıtlanır:
c t g (α + β) = cos (α + β) günah (α + β) = cos α · cos β - sin α · günah β sin α · cos β + cos α · günah β = = cos α · cos β - günah α · günah β günah α · günah β günah α · çünkü β + çünkü α · günah β günah α · günah β = çünkü α · çünkü β günah α · günah β - 1 günah α · çünkü β günah α · günah β + çünkü α · günah β günah α · günah β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Daha öte:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β

Bir noktada ortalanmış A.
α - radyan cinsinden ifade edilen açı.

Tanım
Sinüs (sin α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısına bağlı olan ve karşı kenarın uzunluğunun oranına eşit olan |BC| hipotenüs uzunluğuna |AC|.

Kosinüs (cos α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısına bağlı olan ve bitişik kenarı |AB|'nin uzunluğunun oranına eşit olan trigonometrik bir fonksiyondur. hipotenüs uzunluğuna |AC|.

Kabul edilen gösterimler

;
;
.

Sinüs fonksiyonunun grafiği, y = sin x

Kosinüs fonksiyonunun grafiği, y = cos x

Sinüs ve kosinüsün özellikleri

Periyodiklik

Fonksiyonlar y = günah x ve y = çünkü x dönemli periyodik 2π.

Parite

Sinüs fonksiyonu tektir. Kosinüs fonksiyonu çifttir.

Tanım ve değerler alanı, ekstrema, artış, azalma

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları kendi tanım alanlarında, yani tüm x'ler için süreklidir (bkz. süreklilik kanıtı). Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır (n - tamsayı).

	y= günah x	y= çünkü x
Kapsam ve süreklilik	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Değer aralığı	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Artan
Azalan
Maksimum, y = 1
Minimum, y = - 1
Sıfırlar, y = 0
Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = 0	y= 0	y= 1

Temel formüller

Sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı

Toplam ve farktan sinüs ve kosinüs formülleri

;
;

Sinüs ve kosinüslerin çarpımı için formüller

Toplam ve fark formülleri

Sinüsün kosinüsle ifade edilmesi

;
;
;
.

Kosinüsün sinüs yoluyla ifade edilmesi

;
;
;
.

Teğet yoluyla ifade

; .

Ne zaman elimizde:
; .

Şurada:
; .

Sinüs ve kosinüs, teğet ve kotanjant tablosu

Bu tablo, argümanın belirli değerleri için sinüs ve kosinüs değerlerini gösterir.

Karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler

;

Euler'in formülü

Hiperbolik fonksiyonlar aracılığıyla ifadeler

;
;

Türevler

; . Formüllerin türetilmesi > > >

N'inci dereceden türevler:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Ters fonksiyonlar

Sinüs ve kosinüsün ters fonksiyonları sırasıyla arksinüs ve arkkosinus'tur.

Arsin, arksin

Arkosinüs, arkkos

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

Temel trigonometri formülleri, temel trigonometrik fonksiyonlar arasında bağlantı kuran formüllerdir. Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant birçok ilişkiyle birbirine bağlıdır. Aşağıda ana trigonometrik formülleri sunuyoruz ve kolaylık olması açısından bunları amaçlarına göre gruplandıracağız. Bu formülleri kullanarak standart bir trigonometri kursundaki hemen hemen her problemi çözebilirsiniz. Aşağıda, ayrı makalelerde tartışılacak olan sonuçların değil, yalnızca formüllerin kendilerinin olduğunu hemen not edelim.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Trigonometrinin temel kimlikleri

Trigonometrik kimlikler bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasında bir ilişki sağlayarak bir fonksiyonun diğerine göre ifade edilmesine olanak tanır.

Trigonometrik kimlikler

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 a

Bu kimlikler doğrudan birim çemberin sinüs (sin), kosinüs (cos), tanjant (tg) ve kotanjant (ctg) tanımlarından kaynaklanır.

Azaltma formülleri

Azaltma formülleri, keyfi ve keyfi olarak büyük açılarla çalışmaktan 0 ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçmenize olanak tanır.

Azaltma formülleri

sin α + 2 π z = sin α , çünkü α + 2 π z = çünkü α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , çünkü - α + 2 π z = çünkü α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - çünkü α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - çünkü α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - çünkü α , çünkü 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

İndirgeme formülleri trigonometrik fonksiyonların periyodikliğinin bir sonucudur.

Trigonometrik toplama formülleri

Trigonometrideki toplama formülleri, açıların toplamının veya farkının trigonometrik fonksiyonunu bu açıların trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade etmenizi sağlar.

Trigonometrik toplama formülleri

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Toplama formüllerine dayanarak çoklu açılar için trigonometrik formüller türetilir.

Çoklu açı formülleri: ikili, üçlü vb.

Çift ve üçlü açı formülleri

günah 2 α = 2 · sin α · çünkü α çünkü 2 α = cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α = 2 çünkü 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α ile t g 2 α = ile t g 2 α - 1 2 · ile t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α çünkü 3 α = çünkü 3 α - 3 günah 2 α · çünkü α , çünkü 3 α = - 3 çünkü α + 4 çünkü 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Yarım açı formülleri

Trigonometrideki yarım açı formülleri, çift açı formüllerinin bir sonucudur ve bir yarım açının temel fonksiyonları ile bir tam açının kosinüsü arasındaki ilişkiyi ifade eder.

Yarım açı formülleri

günah 2 α 2 = 1 - çünkü α 2 çünkü 2 α 2 = 1 + çünkü α 2 t g 2 α 2 = 1 - çünkü α 1 + çünkü α c t g 2 α 2 = 1 + çünkü α 1 - çünkü α

Derece azaltma formülleri

günah 2 α = 1 - çünkü 2 α 2 çünkü 2 α = 1 + çünkü 2 α 2 günah 3 α = 3 günah α - günah 3 α 4 çünkü 3 α = 3 çünkü α + cos 3 α 4 günah 4 α = 3 - 4 çünkü 2 α + çünkü 4 α 8 çünkü 4 α = 3 + 4 çünkü 2 α + çünkü 4 α 8

Hesaplamalar yaparken hantal güçlerle çalışmak çoğu zaman sakıncalıdır. Derece azaltma formülleri, bir trigonometrik fonksiyonun derecesini keyfi derecede büyükten birinciye azaltmanıza olanak tanır. İşte genel görüşleri:

Derece azaltma formüllerine genel bakış

n için bile

günah n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · çünkü ((n - 2 k) α) çünkü n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n çünkü ((n - 2 k) α)

tek n için

günah n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) çünkü n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n çünkü ((n - 2 k) α)

Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı

Trigonometrik fonksiyonların farkı ve toplamı bir ürün olarak gösterilebilir. Sinüs ve kosinüs farklarını çarpanlarına ayırmak, trigonometrik denklemleri çözerken ve ifadeleri basitleştirirken kullanmak için çok uygundur.

Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 çünkü α - β 2 günah α - günah β = 2 sin α - β 2 çünkü α + β 2 çünkü α + cos β = 2 çünkü α + β 2 çünkü α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Trigonometrik fonksiyonların çarpımı

Fonksiyonların toplamına ve farkına ilişkin formüller çarpımlarına gitmeye izin veriyorsa, trigonometrik fonksiyonların çarpımına ilişkin formüller çarpımdan toplama doğru ters geçişi gerçekleştirir. Sinüslerin, kosinüslerin ve sinüsün kosinüs çarpımına ilişkin formüller dikkate alınır.

Trigonometrik fonksiyonların çarpımı için formüller

günah α · günah β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) çünkü cos α · çünkü β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Evrensel trigonometrik ikame

Tüm temel trigonometrik fonksiyonlar - sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant - yarım açının tanjantı cinsinden ifade edilebilir.

Evrensel trigonometrik ikame

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 çünkü α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

“A Alın” video kursu matematikte Birleşik Devlet Sınavını 60-65 puanla başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Birleşik Devlet Sınavının hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

Okumak faydalı olabilir: