Геометричні перетворення графіків тригонометричних функцій. Графіки тригонометричних функцій, перетворення графіків

Т Е М А: Перетворення графіків тригонометричних функцій із модулем.

ЦІЛЬ: Розгляд одержання графіків тригонометричних функцій виду

y= f(|x|);y = | f(x)| .

Розвивати математичну логіку та увагу.

Х О Д У Р О К А:

Орг. момент: Оголошення теми, цілей та завдань уроку.

Вчитель: Сьогодні ми маємо навчитися будувати графіки функцій y = sin |x|; y = cos | x |

Y = | A sin x + b | ; Y = | A cos x + b | використовуючи наші знання про перетворення трансцендентних функцій виду y = f(|x|) та y = |f(x)| . Ви запитаєте: «Для чого це потрібно?» Справа в тому, що властивості функцій в цьому випадку змінюються, а ось як, це найкраще простежується, як ви знаєте, на графіку.

Давайте пригадаємо, як запишуться дані функції з використанням визначення

Діти: f(|x|) =

|f(x)| =

Вчитель: Отже, щоб побудувати графік функції у =f(|x|), якщо відомий графік функції

у =f{ x), потрібно залишити на місці ту частину графіка функції у =f(x), яка

відповідає невід'ємній частині області визначення функції у =f(x). Відобразивши цю

частина симетрично щодо осі у, отримаємо іншу частину графіка, відповідну

негативної частини області визначення

Т. е. на графіку це виглядає наступним чином: y = f (x)

(Дані графіки будуються на дошці. Діти у зошитах)

Тепер з цього побудуємо графік функцій y = sin | x |; Y = | sin x | ; Y = | 2 sin x + 2 |

Рис 1. Y = sin x

Рис 2. Y = sin | x |

Тепер збудуємо графіки функцій Y = | sin x | та Y = |2 sin x + 2|

Щоб побудувати графік функції у = \f(x)\, якщо відомий графік функції у =f(x), потрібно залишити на місці ту його частину, деf(x) > О, і симетрично відобразити щодо осі х іншу його частину, деf(x) < 0.

Конспект уроку алгебри та початки аналізував 10 класі

на тему: «Перетворення графіків тригонометричних функцій»

Мета уроку: систематизувати знання на тему «Властивості та графіки тригонометричних функцій у = sin (x), у = cos (x)».

Завдання уроку:

повторити властивості тригонометричних функцій у = sin (x), у = cos (x);
повторити формули наведення;
перетворення графіків тригонометричних функцій;
розвивати увагу, пам'ять, логічне мислення; активізувати розумову діяльність, уміння аналізувати, узагальнювати та міркувати;
виховання працьовитості, старанності у досягненні мети, інтерес до предмета.

Обладнання уроку: ікт

Тип уроку: вивчення нового

Хід уроку

Перед уроком 2 учні на дошці будують графіки із домашнього завдання.

Організаційний момент:

Здрастуйте, хлопці!

Сьогодні на уроці ми будемо перетворювати графіки тригонометричних функцій у = sin (x), у = cos (x).

Усна робота:

Перевірка домашнього завдання.

розгадування ребусів.

Вивчення нового матеріалу

Усі перетворення графіків функцій є універсальними - вони придатні всім функцій, зокрема і тригонометрических. Тут же обмежимося коротким нагадуванням основних перетворень графіків.

Перетворення графіків функцій.

Дана функція у = f(x). Усі графіки починаємо будувати з графіка цієї функції, потім робимо з ним дії.

Функція

Що робити з графіком

y = f(x) + a

Усі точки першого графіка піднімаємо на одиниць вгору.

y = f(x) - a

Усі точки першого графіка опускаємо на одиниць вниз.

y = f(x + a)

Усі точки першого графіка зрушуємо на одиниць вліво.

y = f (x – a)

Усі точки першого графіка зрушуємо на одиниць вправо.

y = a * f (x), a> 1

Закріплюємо нулі на місці, верхні точки зрушуємо вище в раз, нижні - опускаємо нижче в раз.

Графік «витягнеться» вгору й униз, нулі залишаються дома.

y = a * f (x), a<1

Закріплюємо нулі, верхні точки опустяться вниз в раз, нижні - піднімуться в раз. Графік «стиснеться» до осі абсцис.

y = -f (x)

Дзеркально відобразити перший графік щодо осі абсцис.

y = f(ax), a<1

Закріпити крапку на осі ординат. Кожен відрізок на осі абсцис збільшити в раз. Графік розтягнеться від осі ординат у різні боки.

y = f (ax ), a >1

Закріпити крапку на осі ординат, кожен відрізок на осі абсцис зменшити в раз. Графік «стиснеться» до осі ординат з обох боків.

у = | f(x)|

Частини графіка розташовані під віссю абсцис дзеркально відобразити. Весь графік буде розташований у верхній півплощині.

Схеми розв'язання.

1)y = sin x +2.

Будуємо графік у = sin x. Кожну точку графіка піднімаємо нагору на 2 одиниці (нулі теж).

2)y = cos x - 3.

Будуємо графік y = cos x. Кожну точку графіки опускаємо вниз на 3 одиниці.

3)y = cos (x - /2)

Будуємо графік y = cos x. Усі точки зрушуємо на п/2 праворуч.

4) у = 2 sin x.

Будуємо графік у = sin x. Нулі залишаємо на місці, верхні точки піднімаємо у 2 рази, нижні опускаємо на стільки ж.

ПРАКТИЧНА РОБОТА Побудова графіків тригонометричних функцій за допомогою програми Advanced Grapher.

Побудуємо графік функції у = -cos 3x + 2.

Побудуємо графік функції у = cos x.
Відобразимо його щодо осі абсцис.
Цей графік треба стиснути втричі вздовж осі абсцис.
Нарешті, такий графік треба підняти нагору на три одиниці вздовж осі ординат.

y = 0,5 sin x.

y = 0,2 cos x-2

у = 5cos 0 ,5 x

y=-3sin(x+π).

2) Знайди помилку та виправ її.

V. Історичний матеріал. Повідомлення про Ейлера.

Леонард Ейлер – найбільший математик 18 століття. Народився у Швейцарії. Довгі роки жив і працював у Росії, член Петербурзької академії.

Чому ж ми повинні знати та пам'ятати ім'я цього вченого?

На початку 18 століття тригонометрія була недостатньо розроблена: був умовних позначень, формули записувалися словами, засвоювати їх було важко, незрозумілим було й питання знаках тригонометричних функцій у різних чвертях кола, під аргументом тригонометричної функції розуміли лише кути чи дуги. Лише у працях Ейлера тригонометрія набула сучасного вигляду. Саме став розглядати тригонометричну функцію числа, тобто. під аргументом стали розуміти як дуги чи градуси, а й числа. Ейлер вивів усі тригонометричні формули з кількох основних, упорядкував питання про знаки тригонометричної функції у різних чвертях кола. Для позначення тригонометричних функцій він запровадив символіку: sin x, cos x, tg x, ctg x.

На порозі 18-го століття у розвитку тригонометрії виник новий напрямок – аналітичний. Якщо раніше головною метою тригонометрії вважалося рішення трикутників, то Ейлер розглядав тригонометрію як науку про тригонометричні функції. Перша частина: вчення про функцію - частина загального вчення про функції, що вивчається в математичному аналізі. Друга частина: розв'язання трикутників – глава геометрії. Такі нововведення були зроблені Ейлером.

VI. Повторення

Самостійна робота "Допиши формулу".

VII. Підсумки уроку:

1) Що нового ви дізналися сьогодні на уроці?

2) Що ще ви хочете дізнатися?

3) Виставлення оцінок.

Урок 24. Перетворення графіків тригонометричних функцій

09.07.2015 5528 0

Ціль: розглянути найпоширеніші перетворення графіків тригонометричних функцій.

I. Повідомлення теми та мети уроку

ІІ. Повторення та закріплення пройденого матеріалу

1. Відповіді на запитання щодо домашнього завдання (розбір невирішених завдань).

2. Контроль засвоєння матеріалу (письмовий опитування).

Варіант 1

sin х.

2. Знайдіть основний період функції:

3. Побудуйте графік функції

Варіант 2

1. Основні властивості та графік функції у = cos х.

2. Знайдіть основний період функції:

3. Побудуйте графік функції

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

Усі перетворення графіків функцій, викладені докладно розділ 1, є універсальними - вони придатні всім функцій, зокрема і тригонометрических. Тому рекомендуємо повторити цю тему. Тут же обмежимося коротким нагадуванням основних перетворень графіків.

1. Для побудови графіка функції у = f(x) + b треба перенести графік функції на | b | одиниць вздовж осі ординат - вгору при b > 0 і вниз при b< 0.

2. Для побудови графіка функції y = mf (x) (де m > 0) треба розтягнути графік функції у = f (x ) в m разів уздовж осі ординат. Причому для m > 1 відбувається дійсно розтяг у m разів, для 0< m < 1 - сжатие в 1/ m раз.

3. Для побудови графіка функції у = f(x+a ) треба перенести графік функції на | a | одиниць уздовж осі абсцис - вправо при а< 0 и влево при а > 0.

4. Для побудови графіка функції у = f (kx ) (Де до > 0) треба стиснути графік функції у = f (x ) до k разів уздовж осі абсцис. Причому для k > 1 відбувається дійсно стиснення в раз, для 0< k < 1 – растяжение в 1/ разів.

5. Для побудови графіка функції у = - f (x ) треба графік функції y = f(x ) відобразити щодо осі абсцис (це перетворення - окремий випадок перетворення 2 для m = -1).

6. Для побудови графіка функції у = f (-х) треба графік функції y = f(x ) відобразити щодо осі ординат (це перетворення - окремий випадок перетворення 4 для k = -1).

Приклад 1

Побудуємо графік функції у = - cos 3 х + 2.

Відповідно до правила 5 треба графік функції у = cos x відобразити щодо осі абсцис. За правилом 3 цей графік треба стиснути втричі вздовж осі абсцис. Нарешті, такий графік за правилом 1 треба підняти нагору на три одиниці вздовж осі ординат.

Корисно також нагадати правила перетворення графіків із модулями.

1. Для побудови графіка функції y = | f (х) | треба зберегти частину графіка функції у = f (x ), для якої у ≥ 0. Ту частину графіка у = f (x ), для якої у< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2. Для побудови графіка функції у = f (|х|) треба зберегти частину графіка функції у = f (x ), для якої х ≥ 0. Крім того, цю частину треба симетрично відобразити вліво щодо осі ординат.

3. Для побудови графіка рівняння |у| = f (х) треба зберегти частину графіка функції у = f (x ), для якої ≥ 0. Крім того, цю частину треба симетрично відобразити вниз щодо осі абсцис.

Приклад 2

Побудуємо графік рівняння |у| = sin | х |.

Побудуємо графік функції у = sin x для x ≥ 0. Цей графік за правилом 2 відобразимо вліво щодо осі ординат. Збережемо частини такого графіка, для яких ≥ 0. За правилом 3 ці частини симетрично відобразимо вниз щодо осі абсцис.

У складніших випадках знаки модуля необхідно розкривати.

Приклад 3

Побудуємо графік складної функції у = cos (2 x + | x |).

Нагадаємо, що аргумент функції косинуса є функцією змінної х, і тому дана функція є складною. Розкриємо знак модуля та отримаємо:Для двох таких проміжків збудуємо графік функції y (x ). Врахуємо, що за х ≥ 0 графік функції у = cos 3 x виходить із графіка функції у = cos х стиском в 3 рази вздовж осі абсцис.

Приклад 4

Побудуємо графік функції

Використовуючи формулу квадрата різниці, запишемо функцію у виглядіГрафік функції і двох частин. При х > 0 треба побудувати графік функції у = 1 - cos х. Він виходить із графіка функції у = cos x відображенням щодо осі абсцис та зміщенням на 1 одиницю вгору вздовж осі ординат.

При х ≥ 0 будуємо графік функції у = ( x -1) 2 - 1. Він виходить з графіка функції у = x 2 зміщенням на 1 одиницю вправо вздовж осі абсцис і 1 одиницю вгору вздовж осі ординат.

IV. Контрольні питання(Фронтальне опитування)

1. Правила перетворень графіків функций.

2. Перетворення графіків із модулями.

V. Завдання на уроці

§ 13, № 2 (а, б); 3; 5; 7 (в, г); 8 (а, б); 9(а); 10 (б); 11 (а, б); 13 (в, г); 14; 17 (а, б); 19 (б); 20 (а, в).

VI. Завдання додому

§ 13, № 2 (в, г); 4; 6; 7 (а, б); 8 (в, г); 9 (б); 10 (а); 11 (в, г); 13 (а, б); 15; 17 (в, г); 19 (а); 20 (б, г).

VII. Творче завдання

Побудуйте графік функції, рівняння, нерівності:

VIII. Підбиття підсумків уроку

Графіки тригонометричних функцій

Функція у = sin x, її властивості

Перетворення графіків тригонометричних функцій шляхом паралельного перенесення
Перетворення графіків тригонометричних функцій шляхом стиснення та розширення

Для допитливих…
Автор

Графіком функції у = sin x є синусоїда

y = sin x

Властивості функції :

D(y) = R 2. Періодична (Т=2  )

3. Непарна ( sin(-x)=-sin x) 4. Нулі функції:

у=0, sin x=0 при х =  n, n  Z

0 при х  (0+2  n ;  +2  n) , n  Z у при x   (-  +2  n ; 0+2  n), n  Z" width="6 "

Властивості функції у = sin x

y = sin x

5. Проміжки знакостійності :

у 0 при х   (0+2  n ;  +2  n ) , n  Z

у при x   ( -  +2  n ; 0+2  n), n  Z

Властивості функції у = sin x

6. Проміжки монотонності :

функція зростає на проміжках

виду:  -  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  Z

Властивості функції у = sin x

Проміжки монотонності:

функція зменшується на проміжках

виду:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  Z

Властивості функції у = sin x

x min

x max

7 . Крапки екстремуму :

x мах =  / 2 +2  n , n  Z

x м in = -  / 2 +2  n , n  Z

Властивості функції у = sin x

8 . Область значень :

Е(у) =  -1;1 

Перетворення графіків тригонометричних функцій

Графік функції у = f (x +в) виходить із графіка функції у = f(x) паралельним перенесенням на (-в) одиниць уздовж осі абсцис
Графік функції у = f (x )+а виходить із графіка функції у = f(x) паралельним перенесенням на (а) одиниць вздовж осі ординат

Побудуйте графік

Функції у = sin(x+  /4 )

y = sin x

згадати

правила

Побудуйте графік

функції: y=sin (x -  /6)

y = sin (x+  /4 )

Побудуйте графік

функції:

y = sin x + 

y = sin (x -  /6 )

y= sin x + 

Побудуйте графік

функції: y=sin (x +  /2)

згадати

правила

Графіком функції у = cos x є косінусоїда

sin(x+  /2) = cos x

Перерахуйте властивості

функції у = cos x