Віднімання в стовпчик п'ятизначних чисел із нулями. Віднімання стовпчиком

Зручно проводити особливим методом, який отримав назву віднімання стовпчикомабо віднімання в стовпчик. Цей спосіб віднімання виправдовує свою назву, так як зменшується, віднімається і різниця записуються в стовпчик. Проміжні обчислення також проводять у стовпчиках, відповідних розрядам чисел.

Зручність віднімання натуральних чиселстовпчиком полягає у простоті обчислень. Обчислення зводяться до використання таблиці додавання та застосування властивостей віднімання.

Давайте розберемося, як виконується віднімання стовпчиком. Процес віднімання розглядатимемо разом із рішенням прикладів. Так буде зрозуміліше.

Навігація на сторінці.

Що потрібно знати для віднімання стовпчиком?

Для віднімання натуральних чисел стовпчиком необхідно знати, по-перше, як виконується віднімання за допомогою таблиці складання.

Зрештою, не завадить повторити визначення розряду натуральних чисел.

Віднімання стовпчиком на прикладах.

Почнемо із запису. Спочатку записується зменшення. Під зменшуваним розташовується віднімається. Причому робиться це так, що цифри виявляються одна під одною, починаючи праворуч. Ліворуч від записаних чисел ставиться знак мінус, а внизу проводиться горизонтальна лінія, під якою буде записано результат після проведення необхідних дій.

Наведемо кілька прикладів правильних записів при відніманні стовпчиком. Запишемо в стовпчик різницю 56−9 , Різниця 3 004−1 670 , а так само 203 604 500−56 777 .

Отже, із записом розібралися.

Переходимо до опису процесу віднімання стовпчиком. Його суть полягає у послідовному відніманні значень відповідних розрядів. Спочатку віднімаються значення розряду одиниць, далі значення розряду десятків, далі значення розряду сотень і т.д. Результати записуються під горизонтальною лінією відповідних місцях. Число, що утворюється під лінією після завершення процесу, є результатом віднімання двох вихідних натуральних чисел.

Представимо схему, що ілюструє процес віднімання стовпчиком натуральних чисел.

Наведена схема дає загальну картину віднімання натуральних чисел стовпчиком, проте вона не відображає всіх тонкощів. З цими тонкощами розберемося під час вирішення прикладів. Почнемо з найпростіших випадків, а далі поступово просуватимемося до складніших випадків, поки не розберемося з усіма нюансами, які можуть зустрітися при відніманні стовпчиком.

приклад.

Для початку віднімемо стовпчиком з числа 74 805 число 24 003 .

Рішення.

Запишемо ці числа так, як цього вимагає метод віднімання стовпчиком:

Починаємо з віднімання значень розрядів одиниць, тобто віднімаємо з числа 5 число 3 . З таблиці складання маємо 5−3=2 . Записуємо отримані результати під горизонтальну межу в цьому ж стовпчику, в якому знаходяться числа 5 і 3 :

Тепер віднімаємо значення розряду десятків (у нашому прикладі вони дорівнюють нулю). Маємо 0−0=0 (Цю властивість віднімання ми згадували в попередньому пункті). Записуємо отриманий нуль під лінію у тому стовпчику:

Ідемо далі. Віднімаємо значення розряду сотень: 8−0=8 (за якістю віднімання, озвученим у попередньому пункті). Тепер наш запис набуде наступного вигляду:

Переходимо до віднімання значень розряду тисяч: 4−4=0 (це властивостей віднімання рівних натуральних чисел). Маємо:

Залишилося відняти значення розряду десятків тисяч: 7−2=5 . Записуємо отримане число під межу на потрібне місце:

На цьому віднімання стовпчиком завершено. Число 50 802 , що вийшло внизу, є результатом віднімання вихідних натуральних чисел 74 805 і 24 003 .

Розглянемо наступний приклад.

приклад.

Віднімемо стовпчиком від числа 5 777 число 5 751 .

Рішення.

Робимо так само, як у попередньому прикладі – віднімаємо значення відповідних розрядів. Після завершення всіх кроків запис набуде наступного вигляду:

Під рисою отримали число, у запису якого зліва знаходяться цифри 0 . Якщо ці цифри 0 відкинути, то отримаємо результат віднімання вихідних натуральних чисел. У нашому випадку відкидаємо дві цифри 0 , що вийшли зліва. Маємо: різницю 5 777−5 751 дорівнює 26 .

До цього моменту ми віднімали натуральні числа, записи яких складаються з однакової кількості знаків. Зараз на прикладі розберемося, як віднімаються стовпчиком натуральні числа, коли в записі зменшуваного більше знаків, ніж у записі віднімається.

приклад.

Віднімемо з числа 502 864 число 2 330 .

Рішення.

Записуємо зменшуване і віднімається в стовпчик:

По черзі віднімаємо значення розряду одиниць: 4−0=4 ; далі – десятків: 6−3=3 ; далі – сотень: 8−3=5 ; далі – тисяч: 2−2=0 . Отримуємо:

Тепер, щоб завершити віднімання стовпчиком, нам ще потрібно відняти значення розряду десятків тисяч, а далі значення розряду сотень тисяч. Але зі значень цих розрядів (у прикладі з чисел 0 і 5 ) нам віднімати нічого (оскільки віднімається число 2 330 не має цифр у цих розрядах). Як же бути? Дуже просто значення цих розрядів просто переписуються під горизонтальну лінію:

На цьому віднімання стовпчиком натуральних чисел 502 864 і 2 330 завершено. Різниця дорівнює 500 534 .

Залишилося розглянути випадки, коли на деякому кроці віднімання стовпчиком значення розряду меншого числа менше, ніж значення відповідного розряду віднімається. У таких випадках доводиться «займати» зі старших розрядів. Давайте розберемося з цим на прикладах.

приклад.

Віднімемо стовпчиком з числа 534 число 71 .

Рішення.

На першому кроці віднімаємо з 4 число 1 , отримуємо 3 . Маємо:

На наступному кроці нам потрібно віднімати значення розряду десятків, тобто з числа 3 треба відняти число 7 . Оскільки 3<7 , то ми не можемо виконати віднімання цих натуральних чисел (віднімання натуральних чисел визначається лише коли віднімається не більше, ніж зменшуване). Що робити? У цьому випадку ми беремо 1 одиницю зі старшого розряду та «розмінюємо» її. У нашому прикладі «розмінюємо» 1 сотню на 10 десятків. Щоб наочно відобразити наші дії, поставимо жирну крапку над числом у розряді сотень, а над числом у розряді десятків запишемо число 10 за допомогою іншого кольору. Запис набуде наступного вигляду:

Додаємо отримані після «розміну» 10 десятків до 3 наявним десяткам: 3+10=13 , і з цього числа віднімаємо 7 . Маємо 13−7=6 . Це число 6 записуємо під горизонтальною межею на своє місце:

Переходимо до віднімання значень розряду сотень. Тут бачимо над числом 5 точку, що означає, що з цього числа ми брали одиницю «розмін». Тобто зараз ми маємо не 5 , а 5−1=4 . Від числа 4 більше нічого віднімати не потрібно (оскільки вихідне віднімається число 71 не містить цифр у розряді сотень). Таким чином, під горизонтальну межу записуємо число 4 :

Отже, різниця 534−71 дорівнює 463 .

Іноді при відніманні стовпчиком «розмінювати» одиниці зі старших розрядів доводиться кілька разів. На підтвердження цих слів розберемо рішення наступного прикладу.

приклад.

Віднімемо від натурального числа 1 632 число 947 стовпчиком.

Рішення.

На першому ж кроці нам потрібно відняти з числа 2 число 7 . Оскільки 2<7 ,то відразу доводиться «розмінювати» 1 десяток на 10 одиниць. Після цього із суми 10+2 віднімаємо число 7 отримуємо (10+2)−7=12−7=5 :

На наступному кроці нам потрібно відняти значення розряду десятків. Ми бачимо, що над числом 3 стоїть крапка, тобто, ми маємо не 3 , а 3−1=2 . І від цього числа 2 нам потрібно забрати число 4 . Оскільки 2<4 , то знову доводиться вдаватися до «розміну». Але зараз уже розмінюємо 1 сотню на 10 десятків. При цьому маємо (10+2)−4=12−4=8:

Тепер віднімаємо значення розряду сотень. Серед 6 була зайнята одиниця на попередньому кроці, тому маємо 6−1=5 . Від цього числа нам потрібно відібрати число 9 . Оскільки 5<9 , то нам потрібно «розміняти» 1 тисячу на 10 сотень. Отримуємо (10+5)−9=15−9=6:

Залишився останній крок. З одиниці у розряді тисяч ми займали на попередньому кроці, тому маємо 1−1=0 . Від отриманого числа нам нічого більше забирати не потрібно. Це число і записуємо під горизонтальну межу:

Щоб знайти різницю методом « віднімання стовпчиком» (іншими словами, як рахувати в стовпчик або стовпчиком віднімання), необхідно слідувати таким крокам:

  • помістити віднімається під зменшуване, записати одиниці під одиницями, десятки під десятками і т.д.
  • відняти порозрядно.
  • якщо необхідно зайняти десяток із більшого розряду, то над розрядом, у якому зайняли, поставити крапку. Над розрядом, для якого зайняли, поставити десять.
  • якщо в розряді, в якому зайняли, стоїть 0, тоді займаємо з наступного зменшуваного розряду і над ним ставимо крапку. Над розрядом, котрій зайняли, поставити 9, т.к. один десяток зайнятий.

Нижче розглянуті приклади покажуть вам як відбувається віднімання двозначних, тризначних та будь-яких багатозначних чисел стовпчиком.

Віднімання чисел у стовпчикдуже допомагає при відніманні великих чисел ( як і додавання в стовпчик). Найкраще навчитися на прикладі.

Необхідно записати числа одне під іншим таким чином, щоб крайня права цифра 1 числа стала під крайньою правою цифрою 2 числа. Число, яке більше (зменшується) записуємо зверху. Ліворуч між числами ставимо знак дії, тут це «-» (віднімання).

2 - 1 = 1 . Те, що у нас виходить пишемо під межею:

10 + 3 = 13.

З 13 віднімемо дев'ять.

13 - 9 = 4.

Оскільки ми зайняли десяток у четвірки, то вона поменшала на 1. Для того, щоб не забути про це у нас і стоїть крапка.

4 - 1 = 3.

Результат:

Віднімання стовпчиком з чисел, що містять нулі.

Знову ж таки, розберемо на прикладі:

Записуємо числа до стовпчика. Яке більше – зверху. Починаємо віднімання праворуч наліво за однією цифрою. 9 - 3 = 6.

Від нуля відняти 2 не вийде, тоді знову займаємо у цифри зліва. Це нуль. Ставимо над нулем крапку. І знову, у нуля зайняти не вийде, тоді рухаємось далі до наступної цифри. Займаємо в одиниці. Ставимо над нею крапку.

Зверніть увагу:коли у відніманні стовпчиком над 0 є точка, нуль стає дев'яткою.

Над нашим нулем є крапка, отже, він став дев'яткою. Віднімаємо з неї 4. 9 - 4 = 5 . Над одиницею є точка, тобто зменшується на 1. 1 - 1 = 0. Отриманий нуль не потрібно записувати.

Існує зручний метод знаходження різниці двох натуральних чисел - віднімання в стовпчик, або віднімання стовпчиком. Цей спосіб бере свою назву від методу запису зменшуваного та різниці один під одним. Так можна провести і основні, і проміжні обчислення відповідно до потрібних розрядів чисел.

Цим методом зручно користуватися, оскільки це дуже просто, швидко та наочно. Усі складні здавалося б підрахунки можна звести до складання і віднімання простих чисел.

Нижче ми розглянемо, як користуватися цим методом. Наші міркування будуть підкріплені прикладами для більшої наочності.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що потрібно повторити перед вивченням віднімання стовпчиком?

Метод ґрунтується на деяких простих діях, які ми вже розбирали раніше. Необхідно повторити, як правильно віднімати з допомогою таблиці складання. Також бажано знати основну властивість віднімання рівних натуральних чисел (у буквеному вигляді воно записується як a − a = 0). Нам знадобляться такі з нього рівності a − 0 = a і 0 − 0 = 0 , де a – будь-яке довільно взяте натуральне число (якщо потрібно, перегляньте основні властивості знаходження різниці цілих чисел).

З іншого боку, важливо знати, як визначати розряд натуральних чисел.

Головне першому етапі – правильно записати вихідні дані. Для початку записуємо перше число, з якого вичитатимемо. Під ним маємо віднімання. Цифри мають бути розташовані строго одна під одною з урахуванням розряду: десятки під десятками, сотні під сотнями, одиниці під одиницями. Запис читається праворуч наліво. Далі ставимо мінус з лівого боку від стовпчика і підводимо межу під обома числами. Під нею записуватиметься кінцевий результат.

Приклад 1

Покажемо на прикладі, який запис підрахунку є правильним:

За допомогою першої ми можемо знайти скільки буде 56 − 9 , за допомогою другої – 3 004 − 1 670 , третьої – 203 604 500 − 56 777 .

Як видно, за допомогою цього методу можна проводити обчислення різної складності.

Далі розглянемо процес знаходження різниці. Для цього виконуємо почергове віднімання значень розрядів: спочатку віднімаємо одиниці з одиниць, потім десятки з десятків, потім сотні з сотень і т.д. Значення записуємо під межею, що відокремлює вихідні дані від результату. У результаті має вийти число, що й буде правильною відповіддю завдання, тобто. різницею вихідних чисел.

Як саме виконуються підрахунки, можна побачити на цій схемі:

Із загальною картиною запису та підрахунку ми розібралися. Однак у методі є й деякі моменти, які потребують уточнення. Для цього ми наведемо конкретні приклади та пояснимо їх. Почнемо з найпростіших завдань і поступово нарощуватимемо складність, поки нарешті не розберемо всі нюанси.

Радимо уважно прочитати всі приклади, бо кожен із них ілюструє окремі незрозумілі моменти. Якщо ви дійдете до кінця і запам'ятаєте всі пояснення, то підрахунок різниці натуральних чисел надалі не викликатиме у вас жодних труднощів.

Приклад 2

Умова:знайдемо різницю 74 805 - 24 003 за допомогою віднімання стовпчиком.

Рішення:

Запишемо ці числа одне під одним, правильно розташувавши розряди один під одним, і підкреслимо їх:

Віднімання починається праворуч наліво, тобто з одиниць. Вважаємо: 5 - 3 = 2 (якщо потрібно, повторіть таблиці додавання натуральних чисел). Підсумок запишемо під межею там, де вказані одиниці:

Віднімаємо десятки. Обидва значення в нашому стовпчику нульові, а віднімання нуля з нуля завжди дає нуль (як ви пам'ятаєте, ми згадували, що нам надалі буде потрібна ця властивість віднімання). Результат записуємо у потрібне місце:

Наступний крок – знаходження значення різниці тисяч: 4 − 4 = 0 . Нуль, що вийшов, записуємо на належне йому місце і отримуємо в результаті:

У нас вийшло 50 802 , яке і буде правильною відповіддю для вказаного вище прикладу. На цьому обчислення завершено.

Відповідь: 50 802 .

Візьмемо інший приклад:

Приклад 3

Умова: підрахуємо, скільки буде 5777 - 5751 за допомогою методу знаходження різниці стовпчиком.

Рішення:

Кроки, які нам потрібно зробити, ми вже наводили вище. Виконуємо їх послідовно для нових чисел та отримуємо в результаті:

На початку результату коштує два нулі. Т.к. вони стоять першими, то можна сміливо їх відкинути і отримати у відповіді 26 . Це число і буде правильною відповіддю нашого прикладу.

Відповідь: 26 .

Якщо подивитися на умови двох прикладів, наведених вище, легко помітити, що до цих пір ми брали лише числа, рівні за кількістю символів. Але метод стовпчика можна використовувати і тоді, коли зменшуване включає більше знаків, ніж віднімається.

Приклад 4

Умова:знайдемо різницю 502 864 число 2 330 .

Рішення

Запишемо числа один під одним, дотримуючись необхідної співвіднесеності розрядів. Це буде виглядати так:

Тепер по черзі обчислюємо значення:

– одиниць: 4 − 0 = 4;

– десятків: 6 − 3 = 3;

– сотень: 8 − 3 = 5;

- Тисяч: 2 − 2 = 0 .

Запишемо, що в нас вийшло:

Віднімання має значення в місці десятків і сотень тисяч, а ось що зменшується немає. Що робити? Згадаймо, що порожнеча у математичних прикладах рівнозначна нулю. Отже, нам треба відняти нулі з вихідних значень. Віднімання нуля з натурального числа завжди дає нуль, отже, все, що нам залишається, – це переписати вихідні значення розрядів у відповідь:

Наші підрахунки завершено. Ми отримали результат: 502 864 - 2 330 = 500 534 .

Відповідь: 500 534 .

У прикладах значення розрядів відніманого завжди виявлялися менше, ніж значення зменшуваного, тому жодних труднощів за підрахунку це викликало. Що робити, якщо від значення верхнього рядка не можна відняти значення нижнього, не пішовши при цьому в мінус? Тоді нам потрібно "взяти в борг" значення більш старших розрядів. Візьмемо конкретний приклад.

Приклад 5

Умова:знайдіть різницю 534 - 71 .

Пишемо вже звичний нам стовпчик і робимо перший крок обчислень: 4 – 1 = 3 . Отримуємо:

Далі нам треба перейти до підрахунку десятків. Для цього нам треба з 3 відняти 7 . Цю дію з натуральними числами виконати не можна, адже вона має сенс тільки при такому зменшуваному, яке більше віднімається. Тому в цьому прикладі нам потрібно "зайняти" одиницю зі старшого розряду і тим самим "розміняти" його. Тобто 100 ми хіба що міняємо на 10 десяток і беремо одну з них. Щоб не забути про це, відзначимо потрібний розряд крапкою, а в десятках запишемо 10 іншим кольором. У нас вийшов запис наступного виду:

Результат, що вийшов, пишемо на потрібному місці під межею:

Нам лишилося закінчити підрахунок, обчисливши сотні. Ми маємо крапку над числом 5: це означає, що ми звідси брали десяток для попереднього розряду. Тоді 5 − 1 = 4 . Від четвірки нічого віднімати не потрібно, оскільки віднімається в розряді сотень значень не має. Записуємо 4 на місце та отримуємо відповідь:

Відповідь: 463 .

Найчастіше виконувати дію "розміну" у межах одного прикладу доводиться кілька разів. Розберемо таке завдання.

Приклад 6

Умова:скільки буде 1 632 - 947?

Рішення

У першому етапі підрахунку треба відняти двійку з сімки, отже відразу " займаємо " десятку для розміну на 10 одиниць. Зазначаємо цю дію точкою і вважаємо 10 + 2 - 7 = 5 . Ось як виглядає наш запис із позначками:

Далі нам треба підрахувати десятки. Зазначена точка означає, що для обчислень ми беремо в цьому розряді число на одиницю менше: 3 − 1 = 2 . З двійки нам доведеться віднімати четвірку, тож "розмінюємо" сотні. У нас виходить (10 + 2) − 4 = 12 − 4 = 8 .

Рухаємось далі до підрахунку сотень. З шістки ми вже займали одиницю, тому 6 − 1 = 5 . З п'ятірки віднімаємо дев'ятку, для чого беремо тисячу, що є у нас, і "розмінюємо" її на 10 сотень. Таким чином, (10 + 5) − 9 = 15 − 9 = 6 . Тепер наш запис із примітками виглядає так:

Нам залишилося зробити підрахунки у тисячному розряді. Одну одиницю звідси ми вже займали, тому 1 − 1 = 0 . Пишемо результат під підсумкову межу і дивимося, що вийшло:

На цьому обчислення закінчено. Нуль спочатку можна відкинути. Значить, 1632 − 947 = 685 .

Відповідь: 685 .

Візьмемо ще складніший приклад.

Приклад 7

Умова:відніміть 907 з 8 002 .

Для того щоб відняти одне число з іншого, помістимо віднімаємо під зменшуваним, таким чином: одиниці під одиницями, десятки під десятками. Для прикладу, як зменшуваний візьмемо двозначне число, а як віднімається – однозначне.

7 – 5 = 2 результат пишемо під одиницями.

Тепер віднімаємо десятки з десятків, але у віднімається немає десятків, тому опускаємо десяток зменшуваного у відповідь.

27 – 5 = 22

Тепер візьмемо обидва числа двоцифрових:

Віднімаємо одиниці віднімається з одиниць зменшуваного:

6 – 4 = 2 результат пишемо під одиницями

Тепер віднімаємо десятки віднімається з десятків зменшуваного:

8 – 3 = 5 результат пишемо під десятками.

В результаті отримуємо різницю:

86 – 34 = 52

Віднімання з переходом через десяток

Давайте спробуємо знайти різницю наступних чисел:

Віднімаємо одиниці. З 7 відняти 9 не можна, займаємо один десяток з десятків зменшуваного. Щоб не забути ставимо крапку над десятками.

17 – 9 = 8

Тепер віднімаємо десятки з десятків. У віднімає немає десятків, але ми займали один десяток у зменшуваного:

2 десятки - 1 десяток = 1 десяток

В результаті отримуємо різницю:

27 – 9 = 18

Тепер для прикладу візьмемо трицифрові числа:

Віднімаємо одиниці. 2 менше 8 тому займаємо один десяток з десятків зменшуваного: 2 + 10 = 12 (пишемо 10 над одиницями). Щоб не забути ставимо крапку над десятками.

12 – 8 = 4 результат пишемо під одиницями.

Ми займали один десяток з десятків для одиниць, отже, в зменшуваному вже не три десятки, а два ( 3 десятки – 1 десяток = 2 десятки).

Два десятки менше ніж шість, займаємо одну сотню або 10 десятків із сотень ( 2 десятки + 10 десятків = 12 десятківпишемо 10 над десятками зменшуваного), а щоб не забути ставимо крапку над сотнями. Віднімаємо десятки:

12 десятків – 6 десятків = 6 десятків результат пишемо під десятками.

Ми займали одну сотню із сотень зменшуваного для десятків, значить у нас не 9 сотень, а 8 сотень ( 9 сотень – 1 сотня = 8 сотень). Віднімаємо сотні:

8 сотень – 7 сотень = 1 сотня . Результат пишемо під сотнями.

В результаті отримуємо:

932 – 768 = 164

Ускладнимо завдання. Що робити, якщо в розряді, з якого треба зайняти десяток, дорівнює нулю? Наприклад:

Починаємо з одиниць. 2 менше 8 тобто треба зайняти з десятків. Але у зменшуваного у десятках 0 , Отже, для десятків треба займати у сотень. У розряді сотень у зменшуваному теж 0 займаємо з тисяч. Щоб не забути, ставимо над тисячами крапку.

У сотнях зменшуваного залишається 9 , тому що ми займаємо одну сотню для десятків: 10 – 1 = 9 пишемо 9 над сотнями.

У десятках теж залишається 9 тому що ми зайняли один десяток для одиниць: 10 – 1 = 9 пишемо 9 над десятками, а над одиницями пишемо 10 .

Вважаємо одиниці:

12 – 8 = 4 пишемо результат під одиницями.

У десятках зменшуваного залишилося 9 , вважаємо:

9 – 6 = 3 пишемо результат під десятками.

У сотнях зменшуваного залишилося 9 , у віднімається сотень немає, опускаємо 9 у відповідь під сотні.

У розряді тисяч зменшуваного була 1 , Ми її займали (крапка над тисячами), значить тисяч більше не залишилося. В результаті отримуємо:

1002 – 68 = 934

Отже, підіб'ємо підсумок.

Для того щоб знайти різницю двох чисел (віднімання стовпчиком) :

  1. поміщаємо віднімаємо під зменшуваним, пишемо одиниці під одиницями, десятки під десятками і так далі.
  2. Віднімаємо порозрядно.
  3. Якщо треба зайняти десяток із наступного розряду, то над розрядом, з якого займали, ставимо крапку. Над розрядом, якого займаємо, ставимо 10.
  4. Якщо у розряді, з якого займаємо, стоїть 0, то для нього займаємо з наступного розряду зменшуваного, над яким ставимо крапку. Над розрядом, для якого займали, ставимо 9, тому що один десяток зайняли.


 

Можливо, буде корисно почитати: