Progressiv farq nima? Arifmetik progressiyani qanday topish mumkin? Yechimli arifmetik progressiya misollari

Ko'pchilik arifmetik progressiya haqida eshitgan, ammo bu nima ekanligini hamma ham yaxshi bilmaydi. Ushbu maqolada biz tegishli ta'rifni beramiz, shuningdek, arifmetik progressiyaning farqini qanday topish masalasini ko'rib chiqamiz va bir qator misollar keltiramiz.

Matematik ta'rif

Shunday qilib, agar biz arifmetik yoki algebraik progressiya haqida gapiradigan bo'lsak (bu tushunchalar bir xil narsani belgilaydi), demak, bu quyidagi qonunni qondiradigan qandaydir sonlar qatori mavjudligini bildiradi: qatordagi har ikki qo'shni son bir xil qiymat bilan farqlanadi. Matematik jihatdan bu shunday yozilgan:

Bu erda n ketma-ketlikdagi a n elementining sonini, d soni esa progressiyaning farqini bildiradi (uning nomi taqdim etilgan formuladan kelib chiqadi).

d farqini bilish nimani anglatadi? Qo'shni raqamlar bir-biridan qanchalik uzoqda ekanligi haqida. Biroq, d ni bilish butun progressiyani aniqlash (tiklash) uchun zarur, ammo etarli shart emas. Siz ko'rib chiqilayotgan seriyaning mutlaqo istalgan elementi bo'lishi mumkin bo'lgan yana bitta raqamni bilishingiz kerak, masalan, 4, a10, lekin, qoida tariqasida, birinchi raqam, ya'ni 1 ishlatiladi.

Progressiya elementlarini aniqlash formulalari

Umuman olganda, yuqoridagi ma'lumotlar muayyan muammolarni hal qilishga o'tish uchun etarli. Shunga qaramay, arifmetik progressiya berilgunga qadar va uning farqini topish kerak bo'ladi, biz bir nechta foydali formulalarni keltiramiz va shu bilan muammolarni hal qilishning keyingi jarayonini osonlashtiramiz.

n sonli ketma-ketlikning istalgan elementini quyidagicha topish mumkinligini ko'rsatish oson:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Darhaqiqat, har bir kishi bu formulani oddiy sanab o'tish orqali tekshirishi mumkin: agar biz n = 1 ni almashtirsak, birinchi elementni olamiz, agar n = 2 ni almashtirsak, u holda ifoda birinchi raqam va farqning yig'indisini beradi va hokazo.

Ko'pgina masalalarning shartlari shunday tuzilganki, raqamlari ham ketma-ketlikda berilgan ma'lum juft raqamlar uchun butun sonlar qatorini tiklash kerak bo'ladi (farq va birinchi elementni toping). Endi biz bu muammoni umumiy tarzda hal qilamiz.

Deylik, bizga n va m sonli ikkita element berildi. Yuqorida olingan formuladan foydalanib, biz ikkita tenglama tizimini tuzishimiz mumkin:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Noma'lum miqdorlarni topish uchun biz bunday tizimni yechishning mashhur oddiy usulidan foydalanamiz: chap va o'ng qismlarni juft-juft qilib ayiramiz, shu bilan birga tenglik o'z kuchida qoladi. Bizda ... bor:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Shunday qilib, biz bitta noma'lum (a 1) ni yo'q qildik. Endi d ni aniqlash uchun yakuniy ifodani yozishimiz mumkin:

d = (a n - a m) / (n - m), bu erda n > m

Biz juda oddiy formulani oldik: muammoning shartlariga muvofiq d farqini hisoblash uchun faqat elementlarning o'zlari va ularning seriya raqamlari o'rtasidagi farqlarning nisbatini olish kerak. Bir muhim nuqtaga e'tibor qaratish lozim: farqlar "katta" va "kichik" a'zolar o'rtasida olinadi, ya'ni n\u003e m ("katta" - ketma-ketlikning boshidan uzoqroq turishni anglatadi, uning mutlaq qiymati mumkin ko'proq yoki kamroq "yoshroq" element bo'ling).

Progressiyaning d ayirmasi ifodasi birinchi hadning qiymatini olish uchun masalani yechish boshida istalgan tenglamaga almashtirilishi kerak.

Kompyuter texnologiyalari rivojlangan asrimizda ko'plab maktab o'quvchilari Internetda o'z vazifalarini hal qilishga harakat qilishadi, shuning uchun ko'pincha bunday turdagi savollar tug'iladi: onlayn arifmetik progressiyaning farqini toping. Bunday so'rov bo'yicha qidiruv tizimi bir nechta veb-sahifalarni ko'rsatadi, ularga o'tish orqali siz shartdan ma'lum bo'lgan ma'lumotlarni kiritishingiz kerak bo'ladi (bu progressiyaning ikkita a'zosi yoki ularning ba'zilarining yig'indisi bo'lishi mumkin) ) va darhol javob oling. Shunga qaramay, muammoni hal qilishda bunday yondashuv talabaning rivojlanishi va unga yuklangan vazifaning mohiyatini tushunish nuqtai nazaridan samarasizdir.

Formulalardan foydalanmasdan yechim

Keling, birinchi masalani hal qilaylik, shu bilan birga biz yuqoridagi formulalardan hech birini ishlatmaymiz. Seriya elementlari berilgan bo‘lsin: a6 = 3, a9 = 18. Arifmetik progressiyaning ayirmasini toping.

Ma'lum elementlar ketma-ket bir-biriga yaqin joylashgan. Eng kattasini olish uchun d farqini eng kichigiga necha marta qo'shish kerak? Uch marta (birinchi marta d ni qo'shsak, biz 7-elementni olamiz, ikkinchi marta - sakkizinchi, nihoyat, uchinchi marta - to'qqizinchi). 18 ni olish uchun qaysi sonni uch marta uch marta qo'shish kerak? Bu beshinchi raqam. Haqiqatan ham:

Shunday qilib, noma'lum farq d = ​​5 ga teng.

Albatta, yechim tegishli formula yordamida amalga oshirilishi mumkin, ammo bu ataylab qilinmagan. Muammoning yechimini batafsil tushuntirish arifmetik progressiya nima ekanligiga aniq va yorqin misol bo'lishi kerak.

Oldingi vazifaga o'xshash vazifa

Keling, shunga o'xshash muammoni hal qilaylik, lekin kirish ma'lumotlarini o'zgartiramiz. Shunday qilib, a3 = 2, a9 = 19 ekanligini topishingiz kerak.

Albatta, siz yana "peshonada" hal qilish usuliga murojaat qilishingiz mumkin. Ammo bir-biridan nisbatan uzoqroq bo'lgan ketma-ketlik elementlari berilganligi sababli, bunday usul juda qulay bo'lmaydi. Ammo olingan formuladan foydalanish bizni tezda javobga olib keladi:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2,83

Bu erda biz yakuniy raqamni yaxlitladik. Ushbu yaxlitlash qanchalik xatoga olib kelganligini natijani tekshirish orqali aniqlash mumkin:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Bu natija shartda berilgan qiymatdan atigi 0,1% farq qiladi. Shuning uchun, ishlatiladigan yuzdan birgacha yaxlitlash yaxshi tanlov deb hisoblanishi mumkin.

A'zo uchun formulani qo'llash bo'yicha vazifalar

Noma'lum d ni aniqlash masalasiga klassik misolni ko'rib chiqamiz: a1 = 12, a5 = 40 bo'lsa, arifmetik progressiyaning ayirmasini toping.

Noma'lum algebraik ketma-ketlikning ikkita raqami berilganda va ulardan biri element a 1 bo'lsa, unda siz uzoq o'ylashingiz shart emas, lekin darhol a n a'zosi uchun formulani qo'llashingiz kerak. Bu holda bizda:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Biz bo'lishda aniq raqamni oldik, shuning uchun oldingi xatboshida bo'lgani kabi, hisoblangan natijaning to'g'riligini tekshirishning ma'nosi yo'q.

Keling, yana bir shunga o'xshash masalani hal qilaylik: a1 = 16, a8 = 37 bo'lsa, arifmetik progressiyaning farqini topishimiz kerak.

Biz avvalgisiga o'xshash yondashuvdan foydalanamiz va quyidagilarni olamiz:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Arifmetik progressiya haqida yana nimani bilishingiz kerak

Noma'lum ayirma yoki alohida elementlarni topish masalalaridan tashqari, ko'pincha ketma-ketlikning birinchi hadlari yig'indisiga doir masalalarni yechish kerak bo'ladi. Ushbu muammolarni ko'rib chiqish maqola mavzusi doirasidan tashqarida, ammo ma'lumotlarning to'liqligi uchun biz seriyaning n soni yig'indisi uchun umumiy formulani taqdim etamiz:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2


Masalan, ketma-ketlik \(2\); \(5\); \(8\); \(o'n bir\); \(14\)… arifmetik progressiyadir, chunki har bir keyingi element oldingisidan uchga farq qiladi (oldingi elementdan uchta qoʻshish orqali olinishi mumkin):

Ushbu progressiyada \(d\) farq ijobiy (\(3\) ga teng) va shuning uchun har bir keyingi had oldingisidan kattaroqdir. Bunday progressiyalar deyiladi ortib boradi.

Biroq, \(d\) manfiy son ham bo'lishi mumkin. Masalan, arifmetik progressiyada \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progressiya farqi \(d\) minus oltiga teng.

Va bu holda, har bir keyingi element avvalgisidan kamroq bo'ladi. Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda.

Arifmetik progressiya belgilari

Progression kichik lotin harfi bilan belgilanadi.

Progressiya hosil qiluvchi sonlar deyiladi a'zolari(yoki elementlar).

Ular arifmetik progressiya bilan bir xil harf bilan, lekin tartibdagi element raqamiga teng sonli indeks bilan belgilanadi.

Masalan, arifmetik progressiya \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) \(a_1=2\) elementlaridan iborat; \(a_2=5\); \(a_3=8\) va boshqalar.

Boshqacha qilib aytganda, progressiya uchun \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\o'ng\)\)

Arifmetik progressiyaga oid masalalar yechish

Aslida, yuqoridagi ma'lumotlar arifmetik progressiya bo'yicha deyarli har qanday muammoni hal qilish uchun etarli (shu jumladan OGEda taklif qilinganlar).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(b_1=7; d=4\) shartlar bilan beriladi. \(b_5\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_5=23\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan: \(62; 49; 36…\) Bu progressiyaning birinchi manfiy hadining qiymatini toping.
Yechim:

Bizga ketma-ketlikning birinchi elementlari berilgan va bu arifmetik progressiya ekanligini bilamiz. Ya'ni, har bir element qo'shnisidan bir xil raqam bilan farq qiladi. Keyingi elementdan oldingisini ayirish orqali qaysi biri ekanligini aniqlang: \(d=49-62=-13\).

Endi biz kerakli (birinchi salbiy) elementga o'tishimizni tiklashimiz mumkin.

Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(-3\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket elementlari berilgan: \(...5; x; 10; 12,5...\) \(x\) harfi bilan belgilangan elementning qiymatini toping.
Yechim:


\(x\) ni topish uchun keyingi element oldingisidan qanchalik farq qilishini, boshqacha aytganda progressiya farqini bilishimiz kerak. Uni ikkita ma'lum qo'shni elementlardan topamiz: \(d=12,5-10=2,5\).

Va endi biz izlayotgan narsani muammosiz topamiz: \(x=5+2,5=7,5\).


Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(7,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu progressiyaning dastlabki olti hadining yig‘indisini toping.
Yechim:

Progressiyaning dastlabki olti hadining yig'indisini topishimiz kerak. Lekin biz ularning ma'nolarini bilmaymiz, bizga faqat birinchi element berilgan. Shuning uchun, biz birinchi navbatda bizga berilgan qiymatlardan foydalanib, qiymatlarni hisoblaymiz:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Va bizga kerak bo'lgan oltita elementni hisoblab, ularning yig'indisini topamiz.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Soʻralgan miqdor topildi.

Javob: \(S_6=9\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiyada \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu progressiyaning farqini toping.
Yechim:

Javob: \(d=7\).

Muhim arifmetik progressiya formulalari

Ko'rib turganingizdek, ko'plab arifmetik progressiya masalalarini oddiygina asosiy narsani tushunish orqali hal qilish mumkin - arifmetik progressiya raqamlar zanjiri va bu zanjirning har bir keyingi elementi oldingisiga bir xil sonni qo'shish orqali olinadi (farq progressiyaning).

Biroq, ba'zida "peshonada" hal qilish juda noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Misol uchun, tasavvur qiling-a, birinchi misolda biz beshinchi elementni \(b_5\) emas, balki uch yuz sakson oltinchi \(b_(386)\) ni topishimiz kerak. Bu nima, biz \ (385 \) marta to'rtta qo'shamiz? Yoki tasavvur qiling-a, oxirgi misolda siz birinchi yetmish uchta elementning yig'indisini topishingiz kerak. Hisoblash chalkash...

Shuning uchun, bunday hollarda, ular "peshonada" hal qilmaydi, balki arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalanadi. Eng asosiylari esa progressiyaning n-chi hadi formulasi va birinchi hadlar yig’indisi \(n\) formulasidir.

\(n\)-chi a'zo uchun formula: \(a_n=a_1+(n-1)d\), bu erda \(a_1\) progressiyaning birinchi a'zosi;
\(n\) - kerakli elementning soni;
\(a_n\) - \(n\) sonli progressiyaning a'zosi.


Bu formula bizga faqat birinchi va progressiya farqini bilgan holda kamida uch yuzinchi, hatto millioninchi elementni tezda topishga imkon beradi.

Misol. Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_(246)=1850\).

Birinchi n ta hadning yig'indisi formulasi: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), bu erda



\(a_n\) - oxirgi yig'ilgan atama;


Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(a_n=3,4n-0,6\) shartlar bilan berilgan. Bu progressiyaning birinchi \(25\) hadlarining yig‘indisini toping.
Yechim:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

Birinchi yigirma besh elementning yig'indisini hisoblash uchun biz birinchi va yigirma beshinchi muddatning qiymatini bilishimiz kerak.
Bizning progressiyamiz uning soniga qarab n-sonning formulasi bilan beriladi (batafsilroq qarang). Birinchi elementni \(n\) ni bitta bilan almashtirib hisoblaymiz.

\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)

Endi \(n\) o'rniga yigirma beshni qo'yib, yigirma beshinchi hadni topamiz.

\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)

Xo'sh, endi biz kerakli miqdorni hech qanday muammosiz hisoblaymiz.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Javob tayyor.

Javob: \(S_(25)=1090\).

Birinchi shartlarning \(n\) yig'indisi uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: shunchaki \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) oʻrniga \(a_n\) formulasini qoʻying \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz olamiz:

Birinchi n ta atamalar yig'indisi formulasi: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), bu yerda

\(S_n\) - birinchi elementlarning kerakli summasi \(n\);
\(a_1\) - yig'iladigan birinchi atama;
\(d\) – progressiya farqi;
\(n\) - yig'indidagi elementlar soni.

Misol. Arifmetik progressiyaning birinchi \(33\)-ex hadlari yig'indisini toping: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Yechim:

Javob: \(S_(33)=-231\).

Murakkab arifmetik progressiya masalalari

Endi siz deyarli har qanday arifmetik progressiya masalasini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarga egasiz. Keling, mavzuni nafaqat formulalarni qo'llash, balki biroz o'ylash kerak bo'lgan muammolarni ko'rib chiqaylik (matematikada bu foydali bo'lishi mumkin ☺)

Misol (OGE). Progressiyaning barcha manfiy hadlari yig'indisini toping: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Yechim:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Vazifa avvalgisiga juda o'xshash. Biz ham xuddi shunday yechishni boshlaymiz: avval \(d\) ni topamiz.

\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)

Endi biz yig'indining formulasiga \(d\) ni qo'yamiz ... va bu erda kichik nuance paydo bo'ladi - biz \(n\) ni bilmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz qancha atama qo'shish kerakligini bilmaymiz. Qanday aniqlash mumkin? Keling, o'ylab ko'raylik. Birinchi ijobiy elementga kelganimizda elementlarni qo'shishni to'xtatamiz. Ya'ni, siz ushbu elementning sonini topishingiz kerak. Qanaqasiga? Arifmetik progressiyaning istalgan elementini hisoblash formulasini yozamiz: bizning holatimiz uchun \(a_n=a_1+(n-1)d\).

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)

Bizga \(a_n\) noldan katta bo'lishi kerak. Keling, \(n\) nima bo'lishini bilib olaylik.

\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)

\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)

Tengsizlikning ikkala tomonini \(0,3\) ga ajratamiz.

\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)

Biz minus birini o'tkazamiz, belgilarni o'zgartirishni unutmaymiz

\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)

Hisoblash...

\(n>65,333…\)

...va birinchi musbat element \(66\) raqamiga ega bo'ladi. Shunga ko'ra, oxirgi salbiy \(n=65\) ga ega. Har holda, keling, buni tekshirib ko'ramiz.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)

Shunday qilib, biz birinchi \(65\) elementlarni qo'shishimiz kerak.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)

Javob tayyor.

Javob: \(S_(65)=-630,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-chi elementdan \(42\) gacha boʻlgan summani toping.
Yechim:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

Bu masalada siz elementlarning yig'indisini ham topishingiz kerak, lekin birinchisidan emas, balki \(26\)-dan boshlab. Bizda buning formulasi yo'q. Qanday qaror qilish kerak?
Oson - \(26\)-dan \(42\)-gacha bo'lgan yig'indini olish uchun avval \(1\)-dan \(42\)gacha bo'lgan summani topib, so'ngra undan yig'indini ayirish kerak. birinchidan \ (25 \) th (rasmga qarang).


Bizning progressiyamiz \(a_1=-33\) va farq \(d=4\) uchun (oxir-oqibat, keyingi elementni topish uchun oldingi elementga to'rtta qo'shamiz). Buni bilib, birinchi \(42\)-uh elementlarning yig'indisini topamiz.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Endi birinchi \(25\)-chi elementlarning yig'indisi.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

Va nihoyat, biz javobni hisoblaymiz.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Javob: \(S=1683\).

Arifmetik progressiya uchun yana bir nechta formulalar mavjudki, biz ushbu maqolada ularning amaliy foydasi pastligi sababli ko'rib chiqmadik. Biroq, siz ularni osongina topishingiz mumkin.

Arifmetik progressiya yig‘indisi.

Arifmetik progressiyaning yig'indisi oddiy narsadir. Ham ma'noda, ham formulada. Ammo bu mavzu bo'yicha har xil vazifalar mavjud. Boshlang'ichdan ancha mustahkamgacha.

Birinchidan, yig'indining ma'nosi va formulasi bilan shug'ullanamiz. Va keyin biz qaror qilamiz. O'z zavqingiz uchun.) Yig'maning ma'nosi pastga tushirish kabi oddiy. Arifmetik progressiyaning yig'indisini topish uchun uning barcha a'zolarini diqqat bilan qo'shish kifoya. Agar bu shartlar oz bo'lsa, siz formulalarsiz qo'shishingiz mumkin. Lekin ko'p bo'lsa yoki ko'p bo'lsa ... qo'shish bezovta qiladi.) Bu holda, formula saqlaydi.

Yig'indi formulasi oddiy:

Keling, formulaga qanday harflar kiritilganligini aniqlaylik. Bu ko'p narsani aniqlaydi.

S n arifmetik progressiya yig‘indisidir. Qo'shish natijasi hammasi a'zolari, bilan birinchi tomonidan oxirgi. Bu muhim. Aniq qo'shing Hammasi a'zolar ketma-ket, bo'shliqlar va sakrashlarsiz. Va, aniq, dan boshlab birinchi. Uchinchi va sakkizinchi hadlar yig'indisini yoki beshdan yigirmanchi hadlar yig'indisini topish kabi masalalarda formulani to'g'ridan-to'g'ri qo'llash umidsizlikka olib keladi.)

a 1 - birinchi progressiyaning a'zosi. Bu erda hamma narsa aniq, oddiy birinchi qator raqami.

a n- oxirgi progressiyaning a'zosi. Qatorning oxirgi raqami. Juda tanish nom emas, lekin miqdorga qo'llanilganda, u juda mos keladi. Keyin o'zingiz ko'rasiz.

n oxirgi a'zoning raqami. Formulada bu raqamni tushunish muhimdir qo'shilgan atamalar soniga to'g'ri keladi.

Keling, kontseptsiyani aniqlaylik oxirgi a'zosi a n. To'ldiruvchi savol: qanday a'zo bo'ladi oxirgi, berilgan bo'lsa cheksiz arifmetik progressiya?

Ishonchli javob olish uchun siz arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini tushunishingiz kerak va ... topshiriqni diqqat bilan o'qing!)

Arifmetik progressiya yig'indisini topish vazifasida har doim oxirgi had paydo bo'ladi (to'g'ridan-to'g'ri yoki bilvosita), qaysi chegaralanishi kerak. Aks holda, cheklangan, aniq miqdor shunchaki mavjud emas. Yechim uchun qanday progressiya berilganligi muhim emas: chekli yoki cheksiz. Qanday qilib berilganligi muhim emas: sonlar qatori yoki n-a'zoning formulasi bilan.

Eng muhimi, formulaning progressiyaning birinchi hadidan boshlab raqam bilan atamagacha ishlashini tushunishdir n. Aslida, formulaning to'liq nomi quyidagicha ko'rinadi: arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi. Bu birinchi a'zolarning soni, ya'ni. n, faqat vazifa bilan belgilanadi. Vazifada bu barcha qimmatli ma'lumotlar ko'pincha shifrlangan, ha ... Lekin hech narsa, quyidagi misollarda biz bu sirlarni ochib beramiz.)

Arifmetik progressiya yig‘indisi uchun topshiriqlarga misollar.

Birinchidan, foydali ma'lumotlar:

Arifmetik progressiya yig'indisi uchun topshiriqlardagi asosiy qiyinchilik formula elementlarini to'g'ri aniqlashdir.

Topshiriqlar mualliflari aynan shu elementlarni cheksiz tasavvur bilan shifrlaydilar.) Bu erda asosiy narsa qo'rqmaslikdir. Elementlarning mohiyatini tushunish uchun ularni faqat shifrlash kifoya. Keling, bir nechta misollarni batafsil ko'rib chiqaylik. Haqiqiy GIAga asoslangan vazifa bilan boshlaylik.

1. Arifmetik progressiya shart bilan berilgan: a n = 2n-3,5. Birinchi 10 ta hadning yig‘indisini toping.

Yaxshi bajarilgan ish. Oson.) Formula bo'yicha miqdorni aniqlash uchun biz nimani bilishimiz kerak? Birinchi a'zo a 1, oxirgi muddat a n, ha oxirgi muddatning raqami n.

Oxirgi a'zo raqamini qayerdan olish mumkin n? Ha, o'sha joyda, ahvolda! Bu summani toping, deyiladi birinchi 10 a'zo. Xo'sh, bu qanday raqam bo'ladi oxirgi, o'ninchi a'zo?) Ishonmaysiz, uning soni o'ninchi!) Shuning uchun, o'rniga a n formulaga almashtiramiz a 10, lekin o'rniga n- o'n. Shunga qaramay, oxirgi a'zoning soni a'zolar soni bilan bir xil.

Buni aniqlash kerak a 1 Va a 10. Bu masala bayonida berilgan n-sonning formulasi bilan osonlik bilan hisoblanadi. Buni qanday qilishni bilmayapsizmi? Oldingi darsga tashrif buyuring, busiz - hech narsa.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Biz arifmetik progressiya yig'indisi formulasining barcha elementlarining ma'nosini bilib oldik. Ularni almashtirish va hisoblash qoladi:

Hammasi shu. Javob: 75.

GIAga asoslangan yana bir vazifa. Biroz murakkabroq:

2. Ayirmasi 3,7 ga teng arifmetik progressiya (a n) berilgan; a 1 \u003d 2.3. Dastlabki 15 ta hadning yig‘indisini toping.

Biz darhol yig'indi formulasini yozamiz:

Ushbu formula har qanday a'zoning qiymatini uning soni bo'yicha topishga imkon beradi. Biz oddiy almashtirishni qidiramiz:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Formuladagi barcha elementlarni arifmetik progressiya yig'indisiga almashtirish va javobni hisoblash qoladi:

Javob: 423.

Aytgancha, o'rniga yig'indisi formulada bo'lsa a n n-sonning formulasini almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Biz shunga o'xshashlarni beramiz, arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi uchun yangi formulani olamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu erda n-son shart emas. a n. Ba'zi vazifalarda bu formula juda ko'p yordam beradi, ha ... Bu formulani eslab qolishingiz mumkin. Va bu erda bo'lgani kabi, uni kerakli vaqtda olib qo'yishingiz mumkin. Oxir oqibat, yig'indi formulasi va n-sonli formulani har tomonlama eslab qolish kerak.)

Endi vazifa qisqa shifrlash shaklida):

3. Uchga karrali barcha musbat ikki xonali sonlar yig‘indisini toping.

Qanaqasiga! Birinchi a'zo yo'q, oxirgi a'zo yo'q, umuman progress yo'q... Qanday yashash kerak!?

Siz boshingiz bilan o'ylashingiz va shartdan arifmetik progressiya yig'indisining barcha elementlarini chiqarib olishingiz kerak bo'ladi. Ikki xonali raqamlar nima - biz bilamiz. Ular ikkita sondan iborat.) Qaysi ikki xonali son bo'ladi birinchi? 10, ehtimol.) oxirgi narsa ikki xonali raqam? 99, albatta! Uch xonalilar unga ergashadi ...

Uchning karralari... Hm... Bular uchga teng bo‘linadigan sonlar, mana! O'n uchga bo'linmaydi, 11 bo'linmaydi... 12... bo'linadi! Shunday qilib, nimadir paydo bo'ladi. Siz allaqachon muammoning holatiga ko'ra qator yozishingiz mumkin:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu qator arifmetik progressiya bo'ladimi? Albatta! Har bir atama oldingisidan uchdan keskin farq qiladi. Agar atamaga 2 yoki 4 qo'shilsa, aytaylik, natija, ya'ni. yangi raqam endi 3 ga bo'linmaydi. Uyumga arifmetik progressiyaning farqini darhol aniqlashingiz mumkin: d = 3. Foydali!)

Shunday qilib, biz ba'zi progressiv parametrlarni xavfsiz yozishimiz mumkin:

Raqam qanday bo'ladi n oxirgi a'zo? 99 deb o'ylagan har bir kishi halokatli adashadi ... Raqamlar - ular doimo ketma-ket ketadi va bizning a'zolarimiz kuchli uchlikdan o'tishadi. Ular mos kelmaydi.

Bu erda ikkita yechim bor. Bir yo'l - o'ta mehnatkashlar uchun. Siz progressiyani, raqamlarning butun qatorini bo'yashingiz va barmoqlaringiz bilan atamalar sonini hisoblashingiz mumkin.) Ikkinchi yo'l - o'ylanganlar uchun. Siz n-son uchun formulani eslab qolishingiz kerak. Agar formula bizning muammomizga qo'llanilsa, biz 99 progressiyaning o'ttizinchi a'zosi ekanligini olamiz. Bular. n = 30.

Arifmetik progressiya yig‘indisi formulasini ko‘rib chiqamiz:

Biz qaraymiz va xursand bo'lamiz.) Biz muammoning holatidan miqdorni hisoblash uchun zarur bo'lgan hamma narsani chiqardik:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Qolgan narsa elementar arifmetika. Formuladagi raqamlarni almashtiring va hisoblang:

Javob: 1665

Mashhur jumboqlarning yana bir turi:

4. Arifmetik progressiya berilgan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Yigirmanchidan o‘ttiz to‘rtinchigacha bo‘lgan hadlar yig‘indisini toping.

Biz yig'indi formulasiga qaraymiz va ... biz xafa bo'lamiz.) Formula, eslatib o'taman, yig'indini hisoblab chiqadi. birinchidan a'zosi. Va muammoda siz summani hisoblashingiz kerak yigirmanchi yildan beri ... Formula ishlamaydi.

Albatta, siz butun progressiyani ketma-ket bo'yashingiz va a'zolarni 20 dan 34 gacha qo'yishingiz mumkin.

Yana oqlangan yechim bor. Keling, seriyamizni ikki qismga ajratamiz. Birinchi qism bo'ladi birinchi davrdan to o'n to'qqizinchi muddatgacha. Ikkinchi qism - yigirma o'ttiz to'rt. Agar birinchi qism shartlarining yig'indisini hisoblasak, aniq S 1-19, uni ikkinchi qism a'zolari yig'indisiga qo'shamiz S 20-34, biz birinchi haddan o'ttiz to'rtinchigacha progressiyaning yig'indisini olamiz S 1-34. Mana bunday:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Bu yig'indini topish kerakligini ko'rsatadi S 20-34 oddiy ayirish orqali amalga oshirilishi mumkin

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

O'ng tomondagi ikkala summa ham hisobga olinadi birinchidan a'zosi, ya'ni. standart yig'indi formulasi ular uchun juda mos keladi. Biz boshlayapmizmi?

Vazifa holatidan progressivlik parametrlarini chiqaramiz:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Birinchi 19 va birinchi 34 ta shartning yig'indisini hisoblash uchun bizga 19 va 34-shartlar kerak bo'ladi. Biz ularni 2-masaladagi kabi n-sonning formulasi bo'yicha hisoblaymiz:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Hech narsa qolmadi. 34 ta hadning yig‘indisidan 19 ta hadning yig‘indisini ayirish:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Javob: 262.5

Bitta muhim eslatma! Ushbu muammoni hal qilishda juda foydali xususiyat mavjud. To'g'ridan-to'g'ri hisoblash o'rniga sizga kerak bo'lgan narsa (S 20-34), hisobladik nima kerak emasga o'xshaydi - S 1-19. Va keyin ular qaror qilishdi S 20-34, to'liq natijadan keraksizlarni olib tashlash. Bunday "quloq bilan hiyla" ko'pincha yomon jumboqlarda saqlaydi.)

Ushbu darsda biz arifmetik progressiya yig'indisining ma'nosini tushunish uchun etarli bo'lgan muammolarni ko'rib chiqdik. Xo'sh, siz bir nechta formulalarni bilishingiz kerak.)

Amaliy maslahat:

Arifmetik progressiya yig'indisi uchun har qanday muammoni hal qilishda men darhol ushbu mavzuning ikkita asosiy formulasini yozishni tavsiya qilaman.

n-sonning formulasi:

Ushbu formulalar sizga muammoni hal qilish uchun nimani izlash, qaysi yo'nalishda o'ylash kerakligini darhol aytib beradi. Yordam beradi.

Va endi mustaqil hal qilish uchun vazifalar.

5. Uchga boʻlinmaydigan barcha ikki xonali sonlar yigʻindisini toping.

Ajoyib?) Maslahat 4-muammoga eslatmada yashiringan. Xo'sh, 3-muammo yordam beradi.

6. Arifmetik progressiya shart bilan beriladi: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Birinchi 24 ta hadning yig‘indisini toping.

Noodatiymi?) Bu takrorlanuvchi formula. Bu haqda oldingi darsda o'qishingiz mumkin. Havolani e'tiborsiz qoldirmang, bunday jumboqlar ko'pincha GIAda topiladi.

7. Vasya bayram uchun pul yig'di. 4550 rublgacha! Va men eng sevimli odamga (o'zimga) bir necha kun baxt berishga qaror qildim). O'zingizdan hech narsani inkor etmasdan go'zal yashang. Birinchi kunida 500 rubl sarflang va har bir keyingi kuni oldingisiga qaraganda 50 rubl ko'proq sarflang! Pul tugamaguncha. Vasya necha kun baxtga erishdi?

Bu qiyinmi?) 2-topshiriqdan qo'shimcha formula yordam beradi.

Javoblar (tartibsiz): 7, 3240, 6.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." bo'lganlar uchun.
Va "juda ko'p ..." bo'lganlar uchun)

Arifmetik progressiya - bu har bir raqam oldingisidan bir xil miqdorda katta (yoki kamroq) bo'lgan raqamlar qatoridir.

Bu mavzu ko'pincha qiyin va tushunarsiz. Harf indekslari, progressiyaning n-chi hadi, progressiyaning farqi - bularning barchasi qandaydir chalkash, ha ... Keling, arifmetik progressiyaning ma'nosini aniqlaylik va hamma narsa darhol amalga oshadi.)

Arifmetik progressiya haqida tushuncha.

Arifmetik progressiya juda oddiy va tushunarli tushunchadir. Shubha? Bekorga.) O'zingiz ko'ring.

Men tugallanmagan raqamlar qatorini yozaman:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bu qatorni uzaytira olasizmi? Qaysi raqamlar beshdan keyin keladi? Hamma ... uh ..., qisqasi, har bir kishi 6, 7, 8, 9 va hokazo raqamlarning oldinga borishini aniqlaydi.

Keling, vazifani murakkablashtiramiz. Men tugallanmagan raqamlar qatorini beraman:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Siz naqshni ushlashingiz, seriyani kengaytirishingiz va nomlashingiz mumkin yettinchi qator raqami?

Agar siz bu raqam 20 ekanligini bilsangiz - sizni tabriklayman! Siz nafaqat his qildingiz arifmetik progressiyaning asosiy nuqtalari; lekin ularni biznesda ham muvaffaqiyatli ishlatgan! Agar tushunmasangiz, o'qing.

Endi sezgilardan asosiy fikrlarni matematikaga aylantiramiz.)

Birinchi asosiy nuqta.

Arifmetik progressiya raqamlar qatori bilan bog'liq. Bu birinchi navbatda chalkash. Biz tenglamalarni echishga, grafiklar tuzishga va shunga o'rganib qolganmiz ... Va keyin qatorni kengaytiring, qatorlar sonini toping ...

Hammasi joyida; shu bo'ladi. Shunchaki progressiyalar matematikaning yangi bo‘limi bilan birinchi tanishuvdir. Bo'lim "Seriya" deb nomlanadi va raqamlar va ifodalar qatori bilan ishlaydi. Bunga ko'nik.)

Ikkinchi asosiy nuqta.

Arifmetik progressiyada har qanday son oldingisidan farq qiladi bir xil miqdorda.

Birinchi misolda bu farq bitta. Qaysi raqamni olsangiz, oldingisidan bitta ko'p. Ikkinchisida - uchta. Har qanday raqam avvalgisidan uch baravar ko'p. Aslida, aynan shu daqiqa bizga naqshni ushlash va keyingi raqamlarni hisoblash imkoniyatini beradi.

Uchinchi asosiy nuqta.

Bu daqiqa hayratlanarli emas, ha ... Lekin juda, juda muhim. Mana u: Har bir progressiya soni o'z o'rnida. Birinchi raqam bor, yettinchi bor, qirq beshinchi bor va hokazo. Agar siz ularni tasodifan aralashtirib yuborsangiz, naqsh yo'qoladi. Arifmetik progressiya ham yo'qoladi. Bu shunchaki raqamlar qatori.

Hamma gap shunda.

Albatta, yangi mavzuda yangi atamalar va belgilar paydo bo'ladi. Ular bilishlari kerak. Aks holda, siz vazifani tushunolmaysiz. Masalan, siz shunday qaror qabul qilishingiz kerak:

a 2 = 5, d = -2,5 bo'lsa, arifmetik progressiyaning (a n) birinchi oltita hadini yozing.

Bu ilhomlantiradimi?) Harflar, ba'zi indekslar ... Va vazifa, aytmoqchi, osonroq bo'lishi mumkin emas. Siz faqat atamalar va belgilarning ma'nosini tushunishingiz kerak. Endi biz bu masalani o'zlashtiramiz va vazifaga qaytamiz.

Shartlar va belgilar.

Arifmetik progressiya har bir raqam oldingisidan farq qiladigan raqamlar qatoridir bir xil miqdorda.

Bu qiymat deyiladi . Keling, ushbu kontseptsiyani batafsil ko'rib chiqaylik.

Arifmetik progressiya farqi.

Arifmetik progressiya farqi har qanday progressiya sonining miqdori Ko'proq oldingi.

Bir muhim nuqta. Iltimos, so'zga e'tibor bering "Ko'proq". Matematik jihatdan bu har bir progressiya soni olinganligini bildiradi qo'shish arifmetik progressiyaning oldingi songa farqi.

Hisoblash uchun, aytaylik ikkinchi qator raqamlari, buni qilish kerak birinchi raqam qo'shish arifmetik progressiyaning aynan shu farqi. Hisoblash uchun beshinchi- farq kerak qo'shish Kimga to'rtinchi yaxshi va boshqalar.

Arifmetik progressiya farqi balkim ijobiy keyin seriyaning har bir raqami haqiqiy bo'lib chiqadi oldingisidan ko'proq. Ushbu progressiya deyiladi ortib boradi. Masalan:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Bu erda har bir raqam qo'shish ijobiy raqam, oldingisiga +5.

Farqi bo'lishi mumkin salbiy keyin seriyadagi har bir raqam bo'ladi oldingisidan kamroq. Bu rivojlanish deyiladi (siz bunga ishonmaysiz!) kamaymoqda.

Masalan:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Bu erda har bir raqam ham olinadi qo'shish oldingi, lekin allaqachon salbiy raqamga -5.

Aytgancha, progressiya bilan ishlashda uning tabiatini darhol aniqlash juda foydali - u ortib bormoqda yoki kamaymoqda. Bu qaror qabul qilishda o'z nuqtai nazaringizni topishga, xatolaringizni aniqlashga va kech bo'lmasdan ularni tuzatishga yordam beradi.

Arifmetik progressiya farqi odatda harf bilan belgilanadi d.

Qanday topish mumkin d? Juda oddiy. Seriyaning istalgan sonidan ayirish kerak oldingi raqam. Ayirmoq. Aytgancha, ayirish natijasi "farq" deb ataladi.)

Keling, masalan, aniqlaymiz d ortib borayotgan arifmetik progressiya uchun:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Biz qatorning istalgan raqamini olamiz, masalan, 11. Undan ayirish oldingi raqam bular. 8:

Bu to'g'ri javob. Bu arifmetik progressiya uchun farq uchga teng.

Siz shunchaki olishingiz mumkin har qanday miqdordagi progressiya, chunki Muayyan rivojlanish uchun d-har doim bir xil. Hech bo'lmaganda qatorning boshida, hech bo'lmaganda o'rtada, hech bo'lmaganda har qanday joyda. Siz faqat birinchi raqamni ololmaysiz. Faqat birinchi raqam, chunki oldingisi yo'q.)

Aytgancha, buni bilish d=3, bu progressiyaning ettinchi raqamini topish juda oddiy. Biz beshinchi raqamga 3 qo'shamiz - oltinchini olamiz, u 17 bo'ladi. Oltinchi raqamga uchta qo'shamiz, ettinchi raqamni olamiz - yigirma.

Keling, aniqlaymiz d kamayuvchi arifmetik progressiya uchun:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Shuni eslatib o'tamanki, belgilardan qat'i nazar, aniqlash uchun d istalgan raqamdan kerak oldingisini olib tashlang. Biz progressiyaning istalgan sonini tanlaymiz, masalan -7. Uning oldingi raqami -2. Keyin:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Arifmetik progressiyaning farqi har qanday son bo'lishi mumkin: butun, kasr, irratsional, har qanday.

Boshqa atamalar va belgilar.

Seriyadagi har bir raqam chaqiriladi arifmetik progressiyaning a'zosi.

Taraqqiyotning har bir a'zosi uning raqami bor. Raqamlar qat'iy tartibda, hech qanday hiyla-nayranglarsiz. Birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi va boshqalar. Masalan, progressiyada 2, 5, 8, 11, 14, ... ikkita birinchi a'zo, beshta ikkinchi, o'n bir to'rtinchi, yaxshi, tushunasiz ...) Iltimos, aniq tushuning - raqamlarning o'zi mutlaqo har qanday, butun, kasr, salbiy, nima bo'lishidan qat'i nazar, lekin bo'lishi mumkin raqamlash- qat'iy tartibda!

Progressiyani umumiy shaklda qanday yozish kerak? Hammasi joyida! Seriyadagi har bir raqam harf sifatida yozilgan. Arifmetik progressiyani belgilash uchun, qoida tariqasida, harf ishlatiladi a. A'zo raqami pastki o'ngdagi indeks bilan ko'rsatilgan. A'zolar vergul (yoki nuqta vergul) bilan quyidagicha yoziladi:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 birinchi raqam hisoblanadi a 3- uchinchi va boshqalar. Hech qanday qiyin narsa yo'q. Siz ushbu seriyani quyidagicha qisqacha yozishingiz mumkin: (a n).

Rivojlanishlar mavjud chekli va cheksiz.

yakuniy progressiya a'zolarining cheklangan soniga ega. Besh, o'ttiz sakkiz, nima bo'lishidan qat'iy nazar. Lekin bu chekli raqam.

Cheksiz progressiya - siz taxmin qilganingizdek, cheksiz sonli a'zolarga ega.)

Siz yakuniy progressni shunday qator orqali yozishingiz mumkin, barcha a'zolar va oxirida nuqta:

a 1, 2, 3, 4, 5.

Yoki shunga o'xshash, agar a'zolar ko'p bo'lsa:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Qisqa yozuvda siz a'zolar sonini qo'shimcha ravishda ko'rsatishingiz kerak bo'ladi. Misol uchun (yigirma a'zo uchun) quyidagicha:

(a n), n = 20

Cheksiz progressiyani ushbu darsdagi misollardagi kabi qator oxiridagi ellips bilan tanib olish mumkin.

Endi siz allaqachon vazifalarni hal qilishingiz mumkin. Vazifalar oddiy, faqat arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun.

Arifmetik progressiya uchun topshiriqlarga misollar.

Keling, yuqoridagi vazifani batafsil ko'rib chiqaylik:

1. Arifmetik progressiyaning dastlabki olti a'zosini (a n) yozing, agar a 2 = 5, d = -2,5.

Vazifani tushunarli tilga tarjima qilamiz. Cheksiz arifmetik progressiya berilgan. Ushbu progressiyaning ikkinchi soni ma'lum: a 2 = 5. Ma'lum progressiv farq: d = -2,5. Ushbu progressiyaning birinchi, uchinchi, to'rtinchi, beshinchi va oltinchi a'zolarini topishimiz kerak.

Aniqlik uchun men muammoning holatiga qarab ketma-ket yozaman. Birinchi olti a'zo, ikkinchi a'zo besh bo'lsa:

a 1, 5, a 3, bir 4, bir 5, bir 6,....

a 3 = a 2 + d

Biz ifodada almashtiramiz a 2 = 5 Va d=-2,5. Minusni unutmang!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Uchinchi muddat ikkinchidan kamroq. Hammasi mantiqiy. Agar raqam avvalgisidan katta bo'lsa salbiy qiymat, shuning uchun raqamning o'zi avvalgisidan kamroq bo'ladi. Rivojlanish pasayib bormoqda. Xo'sh, buni hisobga olamiz.) Biz seriyamizning to'rtinchi a'zosini ko'rib chiqamiz:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Shunday qilib, uchinchidan oltinchigacha bo'lgan muddatlar hisoblab chiqilgan. Natijada bir qator paydo bo'ldi:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Birinchi atamani topish qoladi a 1 taniqli ikkinchisiga ko'ra. Bu boshqa yo'nalishdagi qadam, chapga.) Demak, arifmetik progressiyaning farqi d ga qo'shilmasligi kerak a 2, A olib ketish:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Hammasi shu. Vazifaga javob:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

O'tayotganda shuni ta'kidlaymanki, biz bu vazifani hal qildik takrorlanuvchi yo'l. Bu dahshatli so'z faqat progressiyaning a'zosini qidirishni anglatadi oldingi (qo'shni) raqam bo'yicha. Progressiya bilan ishlashning boshqa usullari keyinroq muhokama qilinadi.

Ushbu oddiy vazifadan bitta muhim xulosa chiqarish mumkin.

Eslab qoling:

Agar arifmetik progressiyaning kamida bitta a’zosi va ayirmasini bilsak, bu progressiyaning istalgan a’zosini topishimiz mumkin.

Esingizdami? Ushbu oddiy xulosa ushbu mavzu bo'yicha maktab kursining aksariyat muammolarini hal qilishga imkon beradi. Barcha vazifalar uchta asosiy parametr atrofida aylanadi: arifmetik progressiyaning a'zosi, progressiyaning ayirmasi, progressiyaning a'zosi soni. Hammasi.

Albatta, oldingi barcha algebra bekor qilinmaydi.) Progressiyaga tengsizliklar, tenglamalar va boshqa narsalar biriktiriladi. Lekin taraqqiyotga ko'ra- hamma narsa uchta parametr atrofida aylanadi.

Misol uchun, ushbu mavzu bo'yicha ba'zi mashhur vazifalarni ko'rib chiqing.

2. Agar n=5, d=0,4 va a 1=3,6 bo‘lsa, yakuniy arifmetik progressiyani ketma-ket yozing.

Bu erda hamma narsa oddiy. Hammasi allaqachon berilgan. Arifmetik progressiyaning a'zolari qanday hisoblanganini, hisoblashini va yozishni eslab qolishingiz kerak. Vazifa shartidagi so'zlarni o'tkazib yubormaslik tavsiya etiladi: "yakuniy" va " n=5". To'liq ko'karib qolmaguningizcha hisoblamaslik uchun.) Bu progressiyada faqat 5 (besh) a'zo bor:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Javobni yozish qoladi:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Boshqa vazifa:

3. 7 soni arifmetik progressiyaning (a n) a’zosi bo‘ladimi yoki yo‘qligini aniqlang, agar a 1 \u003d 4.1; d = 1,2.

Hmm... Kim biladi? Biror narsani qanday aniqlash mumkin?

Qanday-qanday... Ha, ketma-ket ketma-ketlikda progressiyani yozing va yettilik bo'ladimi yoki yo'qmi! Ishonamizki:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Endi biz bor-yo'g'i yettida ekanligimiz aniq ko'rinib turibdi sirg'alib o'tdi 6,5 dan 7,7 gacha! Yettilik bizning raqamlar qatorimizga kirmadi va shuning uchun ettitasi berilgan progressiyaning a'zosi bo'lmaydi.

Javob: yo'q.

Va bu erda GIA ning haqiqiy versiyasiga asoslangan vazifa:

4. Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket a'zolari yoziladi:

...; 15; X; 9; 6; ...

Mana oxiri va boshi bo'lmagan seriya. A'zolar raqamlari yo'q, farq yo'q d. Hammasi joyida; shu bo'ladi. Muammoni hal qilish uchun arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish kifoya. Keling, nima qila olishimizni ko'rib chiqaylik bilmoq bu qatordan? Uchta asosiy parametrlar qanday?

A'zolar raqamlari? Bu erda bitta raqam yo'q.

Ammo uchta raqam bor va - diqqat! - so'z "ketma-ket" holatda. Bu raqamlar qat'iy tartibda, bo'shliqlarsiz ekanligini anglatadi. Bu qatorda ikkitasi bormi? qo'shni ma'lum raqamlar? Ha bor! Bular 9 va 6. Shunday qilib, biz arifmetik progressiyaning farqini hisoblay olamiz! Biz oltitadan ayiramiz oldingi raqam, ya'ni. to'qqiz:

Bo'sh joylar qoldi. X uchun oldingi qaysi raqam bo'ladi? O'n besh. Shunday qilib, x ni oddiy qo'shish orqali osongina topish mumkin. 15 ga arifmetik progressiyaning farqini qo'shing:

Ana xolos. Javob: x=12

Quyidagi muammolarni o'zimiz hal qilamiz. Eslatma: bu jumboqlar formulalar uchun emas. Faqat arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun.) Biz shunchaki bir qator raqamlar-harflarni yozamiz, qaraymiz va o'ylaymiz.

5. a 5 = -3 bo'lsa, arifmetik progressiyaning birinchi musbat hadini toping; d = 1,1.

6. Ma'lumki, 5,5 soni arifmetik progressiyaning (a n) a'zosi bo'lib, bu erda a 1 = 1,6; d = 1,3. Ushbu atamaning n sonini aniqlang.

7. Ma'lumki, arifmetik progressiyada a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. 3 ni toping.

8. Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket a'zolari yoziladi:

...; 15,6; X; 3.4; ...

X harfi bilan belgilangan progressiyaning hadini toping.

9. Poyezd stansiyadan harakatlana boshladi, asta-sekin tezligini daqiqasiga 30 metrga oshirdi. Besh daqiqada poezdning tezligi qanday bo'ladi? Javobingizni km/soatda bering.

10. Ma'lumki, arifmetik progressiyada a 2 = 5; a 6 = -5. 1 ni toping.

Javoblar (tartibsiz): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Hammasi chiqdimi? Ajoyib! Quyidagi darslarda arifmetik progressiyani yuqori darajada o‘rganishingiz mumkin.

Hammasi amalga oshmadimi? Hammasi joyida. 555-sonli maxsus bo'limda bu jumboqlarning barchasi parcha-parcha bo'linadi.) Va, albatta, bunday vazifalarni hal qilishni darhol kaftingizdagi kabi aniq, aniq ta'kidlaydigan oddiy amaliy texnika tasvirlangan!

Aytgancha, poezd haqidagi jumboqda odamlar tez-tez qoqilib ketadigan ikkita muammo bor. Biri - faqat progressiya bilan, ikkinchisi - matematika va fizikadagi har qanday vazifalar uchun umumiydir. Bu o'lchamlarning biridan ikkinchisiga tarjimasi. Bu muammolarni qanday hal qilish kerakligini ko'rsatadi.

Ushbu darsda biz arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini va uning asosiy parametrlarini ko'rib chiqdik. Bu mavzu bo'yicha deyarli barcha muammolarni hal qilish uchun etarli. Qo'shish d raqamlarga, ketma-ket yozing, hamma narsa hal qilinadi.

Barmoq eritmasi ushbu darsdagi misollarda bo'lgani kabi, seriyaning juda qisqa qismlari uchun yaxshi ishlaydi. Agar seriya uzunroq bo'lsa, hisob-kitoblar qiyinlashadi. Misol uchun, agar savolda 9-muammoda bo'lsa, o'zgartiring "besh daqiqa" yoqilgan "o'ttiz besh daqiqa" muammo yanada yomonlashadi.)

Bundan tashqari, mohiyatiga ko'ra oddiy, ammo hisob-kitoblar nuqtai nazaridan mutlaqo absurd bo'lgan vazifalar mavjud, masalan:

Arifmetik progressiya (a n) berilgan. a 1 =3 va d=1/6 bo'lsa, 121 ni toping.

Va nima, biz 1/6 ni ko'p marta qo'shamiz?! O'z joniga qasd qilish mumkinmi!?

Mumkin.) Agar siz bunday vazifalarni bir daqiqada hal qilishingiz mumkin bo'lgan oddiy formulani bilmasangiz. Ushbu formula keyingi darsda bo'ladi. Va bu muammo o'sha erda hal qilinadi. Bir daqiqada.)

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va siz xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular). Qancha son yozmaylik, ularning qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi ekanligini va shunga o'xshash oxirgisini aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:

Raqamli ketma-ketlik
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam faqat bitta tartib raqamiga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (-chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi.
Raqamli raqam ketma-ketlikning --chi a'zosi deyiladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf deb ataymiz (masalan,), va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi - bu a'zoning soniga teng indeksli bir xil harf: .

Bizning holatda:

Aytaylik, bizda qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlik mavjud.
Masalan:

va hokazo.
Bunday sonli ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi.
“Progressiya” atamasi 6-asrdayoq Rim muallifi Boethius tomonidan kiritilgan va kengroq maʼnoda cheksiz sonli ketma-ketlik sifatida tushunilgan. "Arifmetika" nomi qadimgi yunonlar shug'ullangan uzluksiz nisbatlar nazariyasidan olingan.

Bu har bir a'zosi oldingisiga teng bo'lgan, bir xil raqam bilan qo'shilgan raqamli ketma-ketlikdir. Bu son arifmetik progressiyaning ayirmasi deyiladi va belgilanadi.

Qaysi raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini va qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:

a)
b)
c)
d)

Tushundim? Javoblarimizni solishtiring:
Bu arifmetik progressiya - b, c.
Emas arifmetik progressiya - a, d.

Keling, berilgan progressiyaga () qaytaylik va uning th a'zosining qiymatini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki uni topish usuli.

1. Usul

Progressiya sonining oldingi qiymatiga progressiyaning uchinchi qismiga yetguncha qo'shishimiz mumkin. Xulosa qilish uchun ko'p narsa yo'qligi yaxshi - faqat uchta qiymat:

Demak, tasvirlangan arifmetik progressiyaning --chi a'zosi ga teng.

2. Yo'l

Agar progressiyaning uchinchi hadining qiymatini topish kerak bo'lsa-chi? Xulosa qilish bizni bir soatdan ko'proq vaqt talab qilgan bo'lardi va raqamlarni qo'shishda xato qilmaganimiz haqiqat emas.
Albatta, matematiklar arifmetik progressiyaning farqini oldingi qiymatga qo'shishning hojati bo'lmagan usulni o'ylab topishdi. Chizilgan rasmga diqqat bilan qarang ... Albatta, siz allaqachon ma'lum bir naqshni payqadingiz, xususan:

Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning --chi a'zosining qiymati nimadan iboratligini ko'rib chiqamiz:


Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Ushbu arifmetik progressiya a'zosining qiymatini shu tarzda mustaqil ravishda topishga harakat qiling.

Hisoblanganmi? Yozuvlaringizni javob bilan solishtiring:

E'tibor bering, biz oldingi qiymatga arifmetik progressiya a'zolarini ketma-ket qo'shganimizda, oldingi usulda bo'lgani kabi bir xil raqamga ega bo'ldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxsiylashtirishga" harakat qilaylik - biz uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:

Arifmetik progressiya tenglamasi.

Arifmetik progressiyalar ortib boradi yoki kamayadi.

Ortib bormoqda- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan katta bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Pastga- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kichik bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Olingan formuladan arifmetik progressiyaning o'sish va kamayuvchi hadlaridagi hadlarni hisoblashda foydalaniladi.
Keling, buni amalda tekshirib ko'ramiz.
Bizga quyidagi raqamlardan iborat arifmetik progressiya berilgan:


O'shandan beri:

Shunday qilib, biz formulaning arifmetik progressiyani kamaytirishda ham, oshirishda ham ishlashiga amin bo'ldik.
Ushbu arifmetik progressiyaning --chi va --chi a'zolarini o'zingiz topishga harakat qiling.

Keling, natijalarni taqqoslaylik:

Arifmetik progressiya xossasi

Vazifani murakkablashtiramiz - arifmetik progressiyaning xossasini olamiz.
Aytaylik, bizga quyidagi shart berilgan:
- arifmetik progressiya, qiymatini toping.
Bu oson, deysiz va siz allaqachon bilgan formula bo'yicha hisoblashni boshlaysiz:

Keling, a, keyin:

Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shamiz va biz izlayotgan narsamizni olamiz. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, lekin agar bizga shartlarda raqamlar berilsa nima bo'ladi? Qabul qiling, hisob-kitoblarda xato qilish ehtimoli bor.
Endi o'ylab ko'ring, har qanday formula yordamida bu masalani bir bosqichda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va biz hozir uni chiqarishga harakat qilamiz.

Arifmetik progressiyaning kerakli atamasini quyidagicha belgilaymiz, biz uni topish formulasini bilamiz - bu biz boshida olingan formuladir:
, Keyin:

  • progressiyaning oldingi a'zosi:
  • progressiyaning keyingi muddati:

Progressiyaning oldingi va keyingi a'zolarini jamlaymiz:

Ma’lum bo‘lishicha, progressiyaning oldingi va keyingi a’zolari yig‘indisi ular orasida joylashgan progressiya a’zosining qiymatidan ikki barobarga teng. Boshqacha aytganda, oldingi va ketma-ket qiymatlari ma'lum bo'lgan progressiya a'zosining qiymatini topish uchun ularni qo'shish va bo'lish kerak.

To'g'ri, bizda bir xil raqam bor. Keling, materialni tuzatamiz. Progressiya qiymatini o'zingiz hisoblang, chunki bu umuman qiyin emas.

Juda qoyil! Siz taraqqiyot haqida deyarli hamma narsani bilasiz! Afsonaga ko'ra, barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" - Karl Gauss o'zi uchun osonlikcha aniqlagan bitta formulani topish qoladi ...

Karl Gauss 9 yoshga to'lganda, o'qituvchi boshqa sinf o'quvchilarining ishlarini tekshirish bilan mashg'ul bo'lib, darsda quyidagi vazifani qo'ydi: "Barcha natural sonlar yig'indisini (boshqa manbalarga ko'ra) inklyuzivgacha hisoblang. " Bir daqiqadan so'ng uning shogirdlaridan biri (bu Karl Gauss edi) topshiriqga to'g'ri javob berganida, o'qituvchini hayratda qoldirdi, ammo jasur sinfdoshlarining ko'pchiligi uzoq hisob-kitoblardan so'ng noto'g'ri natija olishdi ...

Yosh Karl Gauss siz osongina sezishingiz mumkin bo'lgan naqshni payqadi.
Aytaylik, bizda -ti a'zolaridan iborat arifmetik progressiya bor: Arifmetik progressiyaning berilgan a'zolari yig'indisini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qiymatlarni qo'lda yig'ishimiz mumkin, ammo Gauss izlayotganidek, topshiriqda uning shartlari yig'indisini topish kerak bo'lsa-chi?

Keling, bizga berilgan taraqqiyotni tasvirlaylik. Belgilangan raqamlarga diqqat bilan qarang va ular bilan turli matematik amallarni bajarishga harakat qiling.


Sinab ko'rdingizmi? Nimani sezdingiz? To'g'ri! Ularning miqdori teng


Endi javob bering, bizga berilgan progressiyada shunday juftliklar nechta bo'ladi? Albatta, barcha raqamlarning to'liq yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikkita hadining yig'indisi teng va shunga o'xshash teng juftliklarga asoslanib, biz umumiy yig'indiga teng ekanligini olamiz:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisi formulasi:

Ba'zi masalalarda biz th atamani bilmaymiz, lekin biz progressiv farqni bilamiz. Yig'indi formulasida th a'zosining formulasini qo'yishga harakat qiling.
Nima oldingiz?

Juda qoyil! Endi Karl Gaussga berilgan masalaga qaytaylik: o'zingiz hisoblab ko'ring --dan boshlanadigan sonlar yig'indisi va --dan boshlanadigan sonlar yig'indisi.

Qancha oldingiz?
Gauss hadlar yig'indisi teng va hadlar yig'indisi ekanligini aniqladi. Siz shunday qaror qildingizmi?

Darhaqiqat, arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi formulasini qadimgi yunon olimi Diofant 3-asrda isbotlagan va shu vaqt davomida zukkolar arifmetik progressiyaning xususiyatlaridan kuch va asosiy bilan foydalanganlar.
Misol uchun, Qadimgi Misr va o'sha davrdagi eng yirik qurilish maydonchasi - piramida qurilishini tasavvur qiling ... Rasmda uning bir tomoni ko'rsatilgan.

Bu yerda taraqqiyot qayerda deysiz? Ehtiyotkorlik bilan qarang va piramida devorining har bir qatoridagi qum bloklari sonidagi naqshni toping.


Nega arifmetik progressiya emas? Agar poydevorga blokli g'isht qo'yilgan bo'lsa, bitta devor qurish uchun qancha blok kerakligini hisoblang. Umid qilamanki, barmog'ingizni monitor bo'ylab harakatlantirib hisoblamaysiz, oxirgi formulani va arifmetik progressiya haqida aytgan hamma narsani eslaysizmi?

Bunday holda, jarayon quyidagicha ko'rinadi:
Arifmetik progressiya farqi.
Arifmetik progressiyaning a'zolari soni.
Keling, ma'lumotlarimizni oxirgi formulalarga almashtiramiz (biz bloklar sonini 2 usulda hisoblaymiz).

1-usul.

2-usul.

Va endi siz monitorda ham hisoblashingiz mumkin: olingan qiymatlarni bizning piramidamizdagi bloklar soni bilan solishtiring. Bu rozi bo'ldimi? Yaxshi, siz arifmetik progressiyaning uchinchi hadlari yig'indisini o'zlashtirdingiz.
Albatta, siz poydevordagi bloklardan piramida qura olmaysiz, lekin undanmi? Ushbu shart bilan devor qurish uchun qancha qum g'ishtlari kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi?
To'g'ri javob bloklar:

Trening

Vazifalar:

  1. Masha yoz uchun formaga tushmoqda. Har kuni u chayqalishlar sonini ko'paytiradi. Agar Masha birinchi mashg'ulotda chayqalsa, haftada necha marta cho'kadi.
  2. Tarkibidagi barcha toq raqamlarning yig'indisi nimaga teng.
  3. Jurnallarni saqlashda yog'och ishlab chiqaruvchilar ularni shunday qilib yig'adilarki, har bir yuqori qatlam oldingisiga qaraganda bitta kamroq logni o'z ichiga oladi. Agar toshning asosi loglar bo'lsa, bitta devorda qancha log bor.

Javoblar:

  1. Arifmetik progressiyaning parametrlarini aniqlaylik. Ushbu holatda
    (hafta = kunlar).

    Javob: Ikki hafta ichida Masha kuniga bir marta chayqalishi kerak.

  2. Birinchi toq raqam, oxirgi raqam.
    Arifmetik progressiya farqi.
    Toq sonlar soni - yarmida, ammo bu faktni arifmetik progressiyaning --chi a'zosini topish formulasi yordamida tekshiring:

    Raqamlar toq raqamlarni o'z ichiga oladi.
    Biz mavjud ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

    Javob: Tarkibidagi barcha toq sonlar yig'indisi ga teng.

  3. Piramidalar haqidagi muammoni eslang. Bizning holatlarimiz uchun a , har bir yuqori qatlam bir log bilan qisqartirilganligi sababli, faqat bir guruh qatlamlar mavjud, ya'ni.
    Formuladagi ma'lumotlarni almashtiring:

    Javob: Duvarcılıkda loglar mavjud.

Xulosa qilish

  1. - qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlik. U ortib bormoqda va kamaymoqda.
  2. Formulani topish arifmetik progressiyaning a'zosi - formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
  3. Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi- - bu yerda - progressiyadagi sonlar soni.
  4. Arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi ikki shaklda topish mumkin:

    , bu yerda qiymatlar soni.

ARIFMETIK PROGRESSIYA. O'RTACHA DARAJASI

Raqamli ketma-ketlik

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:

Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin. Lekin siz har doim ulardan qaysi biri birinchi, qaysi ikkinchi va hokazo, ya'ni biz ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol.

Raqamli ketma-ketlik raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir natural son bilan bog'lanishi mumkin va faqat bitta. Va biz bu raqamni ushbu to'plamdagi boshqa raqamga tayinlamaymiz.

Raqamli raqam ketma-ketlikning --chi a'zosi deyiladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf deb ataymiz (masalan,), va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi - bu a'zoning soniga teng indeksli bir xil harf: .

Ketma-ketlikning --chi a'zosi qandaydir formula bilan berilishi juda qulay. Masalan, formula

ketma-ketlikni belgilaydi:

Va formula quyidagi ketma-ketlikda:

Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi had teng va farq). Yoki (, farq).

n-sonli formula

Biz takroriy formulani chaqiramiz, unda --chi atamani bilish uchun siz oldingi yoki bir nechta oldingilarini bilishingiz kerak:

Masalan, bunday formuladan foydalanib, progressiyaning uchinchi hadini topish uchun biz oldingi to'qqiztasini hisoblashimiz kerak. Masalan, keling. Keyin:

Xo'sh, endi formula nima ekanligi aniqmi?

Har bir satrda biz qo'shamiz, ba'zi bir raqamga ko'paytiramiz. Nima uchun? Juda oddiy: bu joriy a'zoning soni minus:

Hozir ancha qulayroq, to'g'rimi? Biz tekshiramiz:

O'zingiz qaror qiling:

Arifmetik progressiyada n-hashning formulasini toping va yuzinchi hadni toping.

Yechim:

Birinchi a'zo teng. Va qanday farq bor? Va mana nima:

(Axir u progressiyaning ketma-ket a'zolari ayirmasiga teng bo'lgani uchun farq deyiladi).

Shunday qilib, formula:

Keyin yuzinchi had:

dan gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisi nechaga teng?

Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss 9 yoshli bolaligida bu miqdorni bir necha daqiqada hisoblab chiqdi. U birinchi va oxirgi sonning yig'indisi teng ekanligini, ikkinchi va oxirgi sonning yig'indisi bir xil ekanligini, oxiridan uchinchi va uchinchi sonlarning yig'indisi bir xil ekanligini va hokazo. Bunday juftliklar nechta? To'g'ri, barcha raqamlarning yarmi soni, ya'ni. Shunday qilib,

Har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisining umumiy formulasi quyidagicha bo'ladi:

Misol:
Barcha ikki xonali koʻpaytmalar yigʻindisini toping.

Yechim:

Birinchi bunday raqam bu. Har bir keyingi raqam oldingisiga raqam qo'shish orqali olinadi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan raqamlar birinchi had va farq bilan arifmetik progressiya hosil qiladi.

Bu progressiyaning uchinchi hadi formulasi:

Progressiyada nechta had bor, agar ularning hammasi ikki xonali bo‘lishi kerak?

Juda oson: .

Progressiyaning oxirgi muddati teng bo'ladi. Keyin summa:

Javob: .

Endi o'zingiz qaror qiling:

  1. Har kuni sportchi oldingi kunga qaraganda 1 m ko'proq yuguradi. Agar birinchi kuni km m ga yugursa, u haftada necha kilometr yuguradi?
  2. Velosipedchi har kuni oldingisiga qaraganda ko'proq mil yuradi. Birinchi kuni u km yo'l bosib o'tdi. Bir kilometrni bosib o‘tish uchun u necha kun yurishi kerak? Sayohatning oxirgi kunida u necha kilometr yuradi?
  3. Do'kondagi muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda arzonlashadi. Agar sotuvga rublga qo'yilgan bo'lsa, olti yildan so'ng u rublga sotilgan bo'lsa, muzlatgich narxi har yili qanchaga tushganini aniqlang.

Javoblar:

  1. Bu erda eng muhim narsa arifmetik progressiyani tanib olish va uning parametrlarini aniqlashdir. Bunday holda, (hafta = kunlar). Ushbu progressiyaning birinchi shartlari yig'indisini aniqlashingiz kerak:
    .
    Javob:
  2. Bu erda berilgan:, topish kerak.
    Shubhasiz, oldingi muammodagi kabi bir xil yig'indi formulasidan foydalanishingiz kerak:
    .
    Qiymatlarni almashtiring:

    Ildiz aniq mos kelmaydi, shuning uchun javob.
    Oxirgi kun davomida bosib o‘tgan masofani --chi a’zo formulasi yordamida hisoblaymiz:
    (km).
    Javob:

  3. Berilgan: . Toping: .
    Bu osonlashmaydi:
    (rub).
    Javob:

ARIFMETIK PROGRESSIYA. ASOSIY HAQIDA QISQA

Bu qo'shni raqamlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlikdir.

Arifmetik progressiya ortib bormoqda () va kamaymoqda ().

Masalan:

Arifmetik progressiyaning n-azosini topish formulasi

formula sifatida yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.

Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi

Bu progressiyaning a'zosini topishni osonlashtiradi, agar uning qo'shni a'zolari ma'lum bo'lsa - progressiyadagi sonlar soni qayerda.

Arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi

Yig'indini topishning ikki yo'li mavjud:

Qaerda qiymatlar soni.

Qaerda qiymatlar soni.

QOGAN 2/3 MAQOLALAR FAQAT SIZLARGA MUMKIN!

YouClever talabasi bo'ling,

OGE ga tayyorlaning yoki matematikada "oyiga bir chashka qahva" narxida foydalaning,

Shuningdek, "YouClever" darsligi, "100gia" o'quv dasturi (yechimlar kitobi), cheksiz sinov USE va OGE, echimlar tahlili bilan 6000 ta topshiriq va boshqa YouClever va 100gia xizmatlaridan cheksiz foydalanish imkoniyatiga ega bo'ling.

 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: