Hayotdan kulgili voqea. Sferik geometriya Sonlar doirasining xossalari

Bir marta ikki abituriyent o'rtasidagi suhbatning guvohi bo'ldim:

– Qachon 2pn qo‘shish kerak va qachon pn qo‘shish kerak? Men shunchaki eslay olmayman!

- Menda ham xuddi shunday muammo bor.

Men ularga shunchaki aytmoqchi edim: "Siz yodlashingiz shart emas, lekin tushuning!"

Ushbu maqola birinchi navbatda o'rta maktab o'quvchilariga qaratilgan va umid qilamanki, ularga eng oddiy trigonometrik tenglamalarni "tushunish" bilan hal qilishga yordam beradi:

Raqamli doira

Son qatori tushunchasi bilan bir qatorda son doirasi tushunchasi ham mavjud. Biz bilganimizdek, to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida markazi (0;0) nuqtada va radiusi 1 bo'lgan aylana birlik aylana deyiladi. Raqam chizig'ini ingichka ip sifatida tasavvur qilaylik va uni shu aylana bo'ylab aylantiramiz: biz boshni (0 nuqta) birlik doirasining "o'ng" nuqtasiga biriktiramiz, musbat yarim o'qni soat miliga teskari yo'nalishda va salbiy yarim o'qni o'rab olamiz. -yo'nalishdagi o'q (1-rasm). Bunday birlik aylana sonli aylana deyiladi.

Raqamlar doirasining xossalari

Har bir haqiqiy son sonlar aylanasining bir nuqtasida yotadi.
Raqamlar aylanasining har bir nuqtasida cheksiz sonli haqiqiy sonlar mavjud. Birlik aylana uzunligi 2p bo‘lgani uchun aylananing bir nuqtasidagi har qanday ikkita son orasidagi farq ±2p sonlardan biriga teng; ±4p; ±6p; ...

Xulosa qilaylik: A nuqtaning raqamlaridan birini bilib, biz A nuqtaning barcha raqamlarini topishimiz mumkin.

AC diametrini chizamiz (2-rasm). x_0 A nuqta sonlaridan biri bo'lganligi sababli, u holda x_0±p sonlari; x_0±3p; x_0±5p; ... va faqat ular C nuqtaning raqamlari bo'ladi. Keling, bu raqamlardan birini tanlaymiz, masalan, x_0+p va C nuqtaning barcha raqamlarini yozish uchun foydalanamiz: x_C=x_0+p+2pk ,k∈ Z. E'tibor bering, A va C nuqtalardagi raqamlarni bitta formulaga birlashtirish mumkin: x_(A ; C)=x_0+pk ,k∈Z (k = 0; ±2; ±4; ... uchun raqamlarni olamiz. nuqta A, va k = ± 1 uchun … – C nuqtalarining raqamlari;

Xulosa qilaylik: AC diametrining A yoki C nuqtalaridan biridagi raqamlardan birini bilib, biz ushbu nuqtalardagi barcha raqamlarni topishimiz mumkin.

Ikki qarama-qarshi son aylananing abtsissa o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtalarida joylashgan.

AB vertikal akkordasini chizamiz (2-rasm). A va B nuqtalar Ox o'qiga nisbatan simmetrik bo'lganligi uchun -x_0 soni B nuqtada joylashgan va shuning uchun B nuqtaning barcha raqamlari quyidagi formula bilan berilgan: x_B=-x_0+2pk ,k∈Z. A va B nuqtalardagi raqamlarni bitta formuladan foydalanib yozamiz: x_(A ; B)=±x_0+2pk ,k∈Z. Xulosa qilaylik: AB vertikal akkordning A yoki B nuqtalaridan biridagi raqamlardan birini bilib, biz ushbu nuqtalardagi barcha raqamlarni topishimiz mumkin. AD gorizontal akkordasini ko'rib chiqamiz va D nuqta raqamlarini topamiz (2-rasm). BD diametr va -x_0 soni B nuqtaga tegishli ekan, u holda -x_0 + p D nuqta raqamlaridan biridir va shuning uchun bu nuqtaning barcha raqamlari x_D=-x_0+p+ formulasi bilan berilgan. 2pk ,k∈Z. A va D nuqtalardagi raqamlarni bitta formula yordamida yozish mumkin: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+pk ,k∈Z . (k= 0; ±2; ±4; … uchun biz A nuqta raqamlarini va k = ±1; ±3; ±5; … D nuqta raqamlarini olamiz).

Xulosa qilaylik: AD gorizontal akkordning A yoki D nuqtalaridan biridagi raqamlardan birini bilib, biz ushbu nuqtalardagi barcha raqamlarni topishimiz mumkin.

Raqamlar doirasining o'n oltita asosiy nuqtasi

Amalda, eng oddiy trigonometrik tenglamalarning ko'pchiligini yechish aylanadagi o'n olti nuqtani o'z ichiga oladi (3-rasm). Bu qanday nuqtalar? Qizil, ko'k va yashil nuqtalar doirani 12 ta teng qismga ajratadi. Yarim doira uzunligi p bo'lgani uchun, u holda A1A2 yoyi uzunligi p/2, A1B1 yoyi uzunligi p/6, A1C1 yoyi uzunligi p/3 ga teng.

Endi biz bir vaqtning o'zida bitta raqamni ko'rsatishimiz mumkin:

C1 da p/3 va

To'q sariq kvadratning uchlari har chorak yoylarining o'rta nuqtalari, shuning uchun A1D1 yoyi uzunligi p/4 ga teng va shuning uchun p/4 D1 nuqta raqamlaridan biridir. Raqamlar doirasining xossalaridan foydalanib, biz doiramizning barcha belgilangan nuqtalaridagi barcha raqamlarni yozish uchun formulalardan foydalanishimiz mumkin. Ushbu nuqtalarning koordinatalari rasmda ham belgilangan (biz ularni sotib olish tavsifini o'tkazib yuboramiz).

Yuqoridagilarni o'rganganimizdan so'ng, bizda maxsus holatlarni hal qilish uchun etarli tayyorgarlik bor (raqamning to'qqizta qiymati uchun). a) eng oddiy tenglamalar.

Tenglamalarni yechish

1)sinx=1⁄(2).

- Bizdan nima talab qilinadi?

– Sinusi 1/2 bo'lgan barcha x sonlarni toping.

Keling, sinusning ta'rifini eslaylik: sinx – son doirasidagi x soni joylashgan nuqtaning ordinatasi. Bizda aylanada ordinatasi 1/2 ga teng bo'lgan ikkita nuqta bor. Bular B1B2 gorizontal akkordning uchlari. Demak, “sinx=1⁄2 tenglamani yechish” talabi “B1 nuqtadagi barcha raqamlarni va B2 nuqtadagi barcha raqamlarni toping” talabiga teng.

2)sinx=-√3⁄2 .

Biz C4 va C3 nuqtalarida barcha raqamlarni topishimiz kerak.

3) sinx=1. Doirada bizda ordinatasi 1 bo'lgan faqat bitta nuqta bor - A2 nuqtasi va shuning uchun biz ushbu nuqtaning faqat barcha raqamlarini topishimiz kerak.

Javob: x=p/2+2pk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Faqat A_4 nuqtaning ordinatasi -1 ga teng. Bu nuqtaning barcha raqamlari tenglamaning otlari bo'ladi.

Javob: x=-p/2+2pk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Doirada bizda ordinatasi 0 bo'lgan ikkita nuqta bor - A1 va A3 nuqtalari. Har bir nuqtada raqamlarni alohida ko'rsatishingiz mumkin, lekin bu nuqtalar diametrik ravishda qarama-qarshi ekanligini hisobga olsak, ularni bitta formulaga birlashtirish yaxshiroqdir: x=pk,k∈Z.

Javob: x=pk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Keling, kosinusning ta'rifini eslaylik: cosx - son aylanasidagi x soni joylashgan nuqtaning abssissasi. Aylanada bizda abscissa √2⁄2 bo'lgan ikkita nuqta bor - D1D4 gorizontal akkordning uchlari. Biz ushbu nuqtalardagi barcha raqamlarni topishimiz kerak. Keling, ularni bitta formulaga birlashtirgan holda yozamiz.

Javob: x=±p/4+2pk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Biz C_2 va C_3 nuqtalaridagi raqamlarni topishimiz kerak.

Javob: x=±2p/3+2pk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Faqat A2 va A4 nuqtalarida abssissa 0 ga teng, ya'ni bu nuqtalarning har biridagi barcha raqamlar tenglamaning yechimi bo'ladi.
.

Tizim tenglamasining yechimlari kosx tengsizligining B_3 va B_4 nuqtalaridagi raqamlardir<0 удовлетворяют только числа b_3
Javob: x=-5p/6+2pk, k∈Z.

E'tibor bering, x ning har qanday ruxsat etilgan qiymati uchun ikkinchi omil ijobiydir va shuning uchun tenglama tizimga ekvivalentdir.

Tizim tenglamasining yechimlari D_2 va D_3 nuqtalar sonidir. D_2 nuqta raqamlari sinx≤0,5 tengsizlikni qanoatlantirmaydi, lekin D_3 nuqta raqamlari mos keladi.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

+ – 0;2 P; 4 P. - 2 P; -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P P -3 P P -2 P P - P P - P P - P P 2 5 P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P;3 P; P. -5 P;-3 P;- B. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y X 5 P,14 -P-P ± P 2P 2 ± P P k, k Z (-1) k P 4P 4 + P g, g Z P 3P 3 ± + 2 P n, n Z P 6P 6 + P 3P 3 m , m Z Quyidagi sonlarga mos nuqtalarni toping

0 y X - P +2 P k, k Z P 3P P n, n Z P m, m Z P (+ m), m Z 2P 32P P n, n Z P 2P 2 P P n, n Z 1 3 P (+2 l) ), l Z Quyidagi raqamlarga mos nuqtalarni toping

1. A nuqta birinchi raqam doirasining qaysi choragiga tegishli? B. Ikkinchi. V. Uchinchi. G. Toʻrtinchi. 2.A nuqtasi birinchi navbatda son aylanasining qaysi choragiga tegishli? B. Ikkinchi. V. Uchinchi. G. Toʻrtinchi. 3. a va b sonlarining belgilarini aniqlang, agar: A. a>0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1. Raqamli aylananing qaysi choragi A nuqtaga to'g'ri keladi. Birinchi. B. Ikkinchidan C. D. To‘rtinchidan >0."> title="1. A nuqta birinchi raqam doirasining qaysi choragiga tegishli? B. Ikkinchi. V. Uchinchi. G. Toʻrtinchi. 2.A nuqta birinchi sonli aylananing qaysi choragiga tegishli? B. Ikkinchi. V. Uchinchi. G. Toʻrtinchi. 3. a va b sonlarining belgilarini aniqlang, agar: A. a>0"> !}

Ko‘rinib turibdiki, keyinchalik sferik geometriya deb ataladigan narsaga insoniyatning birinchi murojaati Platon akademiyasining ishtirokchilaridan biri bo‘lgan yunon matematigi Evdoksning (taxminan 408–355) sayyoralar nazariyasi bo‘lgan. Bu sayyoralarning Yer atrofidagi harakatini to'rtta aylanadigan konsentrik sharlar yordamida tushuntirishga urinish edi, ularning har biri maxsus aylanish o'qiga ega bo'lib, o'z navbatida yulduzlar "mixlangan" edi. ” Shu tarzda sayyoralarning murakkab traektoriyalari tushuntirildi (yunon tilidan tarjima qilingan "sayyora" sargardon degan ma'noni anglatadi). Aynan shu model tufayli qadimgi yunon olimlari sayyoralar harakatini aniq tasvirlab, bashorat qila olishgan. Bu, masalan, navigatsiyada, shuningdek, boshqa ko'plab "yerdagi" vazifalarda zarur edi, bu erda Yer uchta ustun ustida joylashgan tekis krep emasligini hisobga olish kerak edi. Sferik geometriyaga katta hissa qo'shgan Menelaus Iskandariyalik (taxminan miloddan avvalgi 100-yil). Uning ishi Sferiklar bu sohadagi yunon yutuqlarining cho'qqisiga aylandi. IN Sferike sferik uchburchaklar ko'rib chiqiladi - Evklidda uchramaydigan mavzu. Menelaus yassi uchburchaklar haqidagi Evklid nazariyasini sferaga o'tkazdi va boshqa narsalar qatorida, sferik uchburchakning yon tomonlaridagi uchta nuqta yoki ularning kengaytmalari bir xil to'g'ri chiziqda yotadigan shartni oldi. Samolyot uchun tegishli teorema o'sha davrda allaqachon keng ma'lum edi, lekin u geometriya tarixiga aynan Menelaus teoremasi sifatida kirdi va o'z asarlarida ko'plab hisob-kitoblarga ega bo'lgan Ptolemeydan (taxminan 150-yil) farqli o'laroq, Menelaus risolasi geometrik qat'iy Evklid an'anasi ruhida.

Sferik geometriyaning asosiy tamoyillari.

Sfera bilan kesishgan har qanday tekislik kesmada aylana hosil qiladi. Agar tekislik sharning markazidan o'tsa, u holda kesma katta doira deb ataladigan narsaga olib keladi. Sferadagi har qanday ikkita nuqta orqali, diametral qarama-qarshi bo'lgan nuqtalardan tashqari, bitta katta doira chizish mumkin. (Globusda katta doiraga misol sifatida ekvator va barcha meridianlarni keltirish mumkin.) Cheksiz sonli katta doiralar diametral qarama-qarshi nuqtalardan o'tadi. Kichikroq yoy AmB(1-rasm) katta aylana - berilgan nuqtalarni tutashtiruvchi shardagi barcha chiziqlarning eng qisqasi. Bu qator deyiladi geodezik. Geodeziya chiziqlari to'g'ri chiziqlar planimetriyada qanday rol o'ynasa, sharda ham xuddi shunday rol o'ynaydi. Tekislikdagi geometriyaning ko'plab qoidalari sharda ham amal qiladi, lekin tekislikdan farqli o'laroq, ikkita sharsimon chiziq ikkita diametral qarama-qarshi nuqtada kesishadi. Shunday qilib, sferik geometriyada parallellik tushunchasi oddiygina mavjud emas. Yana bir farq shundaki, sferik chiziq yopiq, ya'ni. u bo'ylab bir xil yo'nalishda harakatlansak, biz boshlang'ich nuqtaga qaytamiz, nuqta chiziqni ikki qismga ajratmaydi; Planimetriya nuqtai nazaridan yana bir hayratlanarli fakt shundaki, shardagi uchburchak uchta to'g'ri burchakka ega bo'lishi mumkin.

Sferadagi chiziqlar, segmentlar, masofalar va burchaklar.

Sferadagi katta doiralar to'g'ri chiziqlar deb hisoblanadi. Agar ikkita nuqta katta aylanaga tegishli bo'lsa, u holda bu nuqtalarni bog'laydigan yoylarning kichikroq uzunligi quyidagicha aniqlanadi. sharsimon masofa bu nuqtalar orasida va yoyning o'zi sferik segmentga o'xshaydi. Diametrik qarama-qarshi nuqtalar cheksiz ko'p sferik segmentlar - katta yarim doiralar bilan bog'langan. Sferik segmentning uzunligi a markaziy burchakning radian o'lchovi va sharning radiusi orqali aniqlanadi. R(2-rasm), yoy uzunligi formulasiga ko'ra u teng R a. Har qanday nuqta BILAN sferik segment AB uni ikkiga bo'ladi va ularning sferik uzunliklarining yig'indisi, planimetriyada bo'lgani kabi, butun segment uzunligiga teng, ya'ni. R AOC+ R boyqush= P AOB. Har qanday nuqta uchun D segmentdan tashqarida AB"sferik uchburchak tengsizligi" mavjud: dan sharsimon masofalar yig'indisi D oldin A va dan D oldin IN Ko'proq AB, ya'ni. R AOD+ R DOB> R AOB, – sferik va tekis geometriyalar o'rtasidagi to'liq yozishmalar. Uchburchak tengsizligi sferik geometriyaning asosiylaridan biri hisoblanadi; shundan kelib chiqadiki, planimetriyada bo'lgani kabi, sferik segment har qanday sferik siniq chiziqdan va shuning uchun uning uchlarini bog'laydigan shardagi har qanday egri chiziqdan qisqaroqdir.

Xuddi shu tarzda, planimetriyaning boshqa ko'plab tushunchalari, xususan, masofalar orqali ifodalanishi mumkin bo'lgan sferaga o'tkazilishi mumkin. Masalan, sharsimon doira– berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan shardagi nuqtalar to‘plami R. Doira sharning diametriga perpendikulyar tekislikda yotishini ko'rsatish oson RR` (3-rasm), ya'ni. bu diametri bo'yicha markazi bo'lgan oddiy tekis doira RR`. Ammo uning ikkita sharsimon markazlari bor: R Va R`. Bunday markazlar odatda deyiladi qutblar. Agar biz globusga murojaat qilsak, gap parallellar kabi doiralar haqida ketayotganini va barcha parallellarning sharsimon markazlari Shimoliy va Janubiy qutblar ekanligini ko'rishimiz mumkin. Agar sharsimon doiraning diametri r p/2 ga teng bo'lsa, u holda sferik aylana sharsimon to'g'ri chiziqqa aylanadi. (Globusda ekvator bor). Bunday holda, bunday doira deyiladi qutbli nuqtalarning har biri R Va P`.

Geometriyadagi eng muhim tushunchalardan biri bu raqamlar tengligidir. Raqamlar, agar masofalar saqlanib qoladigan tarzda (aylantirish va tarjima qilish yo'li bilan) ikkinchisining ustiga ko'rsatilsa, teng deb hisoblanadi. Bu sferik geometriya uchun ham amal qiladi.

Sferadagi burchaklar quyidagicha aniqlanadi. Ikki sharsimon chiziq kesishganda a Va b Sferada to'rtta sferik bigon hosil bo'ladi, xuddi tekislikdagi ikkita kesishuvchi chiziq uni to'rtta tekis burchakka ajratganidek (4-rasm). Diagonallarning har biri o'z ichiga olgan diametrik tekisliklardan hosil bo'lgan dihedral burchakka mos keladi a Va b. Va sferik to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak ular hosil qilgan diagonalar burchaklarining kichikrog'iga teng.

Biz P burchagini ham ta'kidlaymiz ABC, sharda katta aylananing ikkita yoyi bilan hosil qilingan, P burchak bilan o'lchanadi A`Miloddan avvalgi` bir nuqtada mos keladigan yoylarga tegishlar orasidagi IN(5-rasm) yoki sferik segmentlarni o'z ichiga olgan diametrik tekisliklardan hosil bo'lgan dihedral burchak AB Va Quyosh.

Xuddi stereometriyada bo'lgani kabi, sharning har bir nuqtasi sharning markazidan shu nuqtaga tushirilgan nur bilan bog'langan va shardagi har qanday figura uni kesib o'tuvchi barcha nurlarning birlashishi bilan bog'langan. Shunday qilib, sferik to'g'ri chiziq uni o'z ichiga olgan diametrik tekislikka, sferik segment tekis burchakka, digon ikki burchakli burchakka va sferik aylana o'qi aylananing qutblaridan o'tadigan konusning yuzasiga mos keladi.

Sfera markazida tepasi bo'lgan ko'pburchak burchak sharni sferik ko'pburchak bo'ylab kesib o'tadi. (6-rasm). Bu sferik segmentlarning siniq chizig'i bilan chegaralangan sharning maydoni. Singan chiziqning bo'g'inlari sferik ko'pburchakning tomonlari hisoblanadi. Ularning uzunliklari ko'pburchak burchakning tegishli tekis burchaklarining qiymatlariga va har qanday cho'qqidagi burchakning qiymatiga teng. A chetidagi dihedral burchakka teng O.A.

Sferik uchburchak.

Barcha sferik ko'pburchaklar orasida sferik uchburchak eng katta qiziqish uyg'otadi. Ikki nuqtada juft bo'lib kesishgan uchta katta doira sharda sakkizta sharsimon uchburchak hosil qiladi. Ulardan birining elementlarini (tomonlari va burchaklari) bilib, qolgan barcha elementlarning elementlarini aniqlash mumkin, shuning uchun biz ulardan birining elementlari o'rtasidagi munosabatlarni ko'rib chiqamiz, uning barcha tomonlari kattasining yarmidan kam bo'ladi. doira. Uchburchakning tomonlari uchburchak burchakning tekis burchaklari bilan o'lchanadi OABC, uchburchakning burchaklari bir xil uchburchak burchakning dihedral burchaklaridir (7-rasm).

Sferik uchburchakning ko'pgina xususiyatlari (va ular ham uchburchak burchaklarning xususiyatlari) oddiy uchburchakning xususiyatlarini deyarli to'liq takrorlaydi. Ular orasida uchburchak tengsizligi bor, bu uchburchak burchaklar tilida uchburchak burchakning istalgan tekis burchagi qolgan ikkitasining yig'indisidan kichik ekanligini bildiradi. Yoki, masalan, uchburchaklar tengligining uchta belgisi. Qayd etilgan teoremalarning barcha planimetrik natijalari ularning isbotlari bilan birgalikda sferada o'z kuchini saqlab qoladi. Shunday qilib, segmentning uchlaridan teng masofada joylashgan nuqtalar to'plami ham unga perpendikulyar bo'lgan sharda bo'ladi, uning o'rtasidan o'tadigan to'g'ri chiziq bo'ladi, bundan bissektrisalar sferik uchburchakning tomonlariga perpendikulyar degan xulosaga keladi. ABC umumiy nuqtaga, toʻgʻrirogʻi, ikkita diametral qarama-qarshi umumiy nuqtaga ega R Va R`, bular uning yagona chegaralangan doirasining qutblaridir (8-rasm). Stereometriyada bu konusni har qanday uchburchak burchak atrofida tasvirlash mumkinligini anglatadi. Uchburchakning bissektrisalari uning aylana markazida kesishishi haqidagi teoremani sharga o'tkazish oson.

Balandlik va medianalarning kesishishi haqidagi teoremalar ham to‘g‘ri bo‘lib qoladi, lekin ularning planimetriyadagi odatiy isbotlari to‘g‘ridan-to‘g‘ri yoki bilvosita sharda mavjud bo‘lmagan parallelizmdan foydalanadi va shuning uchun ularni stereometriya tilida yana isbotlash osonroq. Guruch. 9-rasmda sferik mediana teoremasining isboti ko'rsatilgan: sferik uchburchakning medianalarini o'z ichiga olgan tekisliklar. ABC, tekis uchburchakni odatdagi medianalari bo'ylab bir xil uchlari bilan kesishadi, shuning uchun ularning barchasi tekislik medianalarining kesishish nuqtasidan o'tadigan sharning radiusini o'z ichiga oladi. Radiusning oxiri uchta "sferik" mediananing umumiy nuqtasi bo'ladi.

Sferik uchburchaklarning xossalari ko'p jihatdan tekislikdagi uchburchaklarning xossalaridan farq qiladi. Shunday qilib, to'g'ri chiziqli uchburchaklar tengligining ma'lum uchta holatiga to'rtinchisi qo'shiladi: ikkita uchburchak ABC Va A`V`S` teng bo'ladi, agar uchta P burchak mos ravishda teng bo'lsa A= P A`, R IN= P IN`, R BILAN= P BILAN`. Shunday qilib, sharda o'xshash uchburchaklar mavjud emas, bundan tashqari, sferik geometriyada o'xshashlik tushunchasi yo'q; Barcha masofalarni bir xil (1 ga teng emas) marta o'zgartiradigan transformatsiyalar mavjud emas. Bu xususiyatlar parallel chiziqlarning Evklid aksiomasining buzilishi bilan bog'liq va Lobachevskiy geometriyasiga ham xosdir. Teng elementlar va turli yo'nalishlarga ega bo'lgan uchburchaklar simmetrik deyiladi, masalan, uchburchaklar AC`BILAN Va VSS` (10-rasm).

Har qanday sferik uchburchakning burchaklarining yig'indisi har doim 180 ° dan katta. Farqi P A+P IN+P BILAN - p = d (radianlarda o'lchanadi) - musbat miqdor va sferik ortiqcha deb ataladi berilgan sharsimon uchburchakning. Sferik uchburchakning maydoni: S = R 2 d qaerda R sharning radiusi, d - sharsimon ortiqcha. Bu formula birinchi marta 1629 yilda gollandiyalik A. Girard tomonidan nashr etilgan va uning nomi bilan atalgan.

Agar biz a burchakli diagonani ko'rib chiqsak, u holda 226 = 2p/ n (n - tamsayı) sharni aniq kesib olish mumkin P bunday diagonaning nusxalari va sharning maydoni 4 ga teng nR 2 = 4p da R= 1, shuning uchun diagonaning maydoni 4p / ga teng n= 2a. Bu formula a uchun ham amal qiladi = 2p t/n va shuning uchun hamma uchun to'g'ri a. Sferik uchburchakning tomonlarini davom ettirsak ABC va burchaklar bilan hosil bo'lgan kattakonlarning maydonlari orqali sharning maydonini ifodalang A,IN,BILAN va uning o'z maydoni bo'lsa, biz yuqoridagi Jirard formulasiga kela olamiz.

Sferadagi koordinatalar.

Sferadagi har bir nuqta ikkita raqamni ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadi; bu raqamlar ( koordinatalar) quyidagicha aniqlanadi (11-rasm). Ba'zi katta doira mahkamlangan QQ` (ekvator), sharning diametrining kesishgan ikkita nuqtasidan biri PP`, ekvator tekisligiga perpendikulyar, masalan, shar yuzasi bilan R (qutb) va katta yarim doiralardan biri PAP` ustundan chiqish ( birinchi meridian). Katta yarim doiralar chiqadi P, meridianlar deb ataladi, ekvatorga parallel kichik doiralar, masalan LL`, – parallellar. Nuqta koordinatalaridan biri sifatida M sharda q burchak olinadi = POM (nuqta balandligi), ikkinchisi sifatida - j burchak = AON birinchi meridian va nuqtadan o'tuvchi meridian o'rtasida M (uzunlik nuqtalar, soat miliga teskari hisoblangan).

Geografiyada (globusda) birinchi meridian sifatida Grinvich meridianidan foydalanish odatiy holdir, u Grinvich rasadxonasining asosiy zalidan (Grinvich - London tumani) o'tadi, u Yerni mos ravishda Sharqiy va G'arbiy yarim sharlarga ajratadi. , va uzunlik sharqiy yoki g'arbiy bo'lib, Grinvichdan har ikki yo'nalishda 0 dan 180 ° gacha o'lchanadi. Va geografiyada nuqta balandligi o'rniga kenglikdan foydalanish odatiy holdir da, ya'ni. burchak NOM = 90° – q, ekvatordan o'lchanadi. Chunki Ekvator Yerni Shimoliy va Janubiy yarim sharlarga ajratganligi sababli, kenglik shimoliy yoki janubiy bo'lib, 0 dan 90 ° gacha o'zgarib turadi.

Marina Fedosova

MATEMATIKA fanidan yakuniy ish
10-sinf
2017 yil 28 aprel
Variant MA00602
(asosiy daraja)
To‘ldiruvchi: To‘liq ismi _______________________________________ sinf ______
Ishni bajarish bo'yicha ko'rsatmalar
Yakuniy matematik ishni bajarish uchun sizga 90 daqiqa vaqt beriladi. Ish
15 ta vazifani o'z ichiga oladi va ikki qismdan iborat.
Birinchi qismning (1-10) topshiriqlaridagi javob butun son,
o'nlik kasr yoki sonlar ketma-ketligi. Javobingizni maydonga yozing
ish matnida javob bering.
Ikkinchi qismning 11-topshirig'ida siz javobni maxsus tarzda yozishingiz kerak
Buning uchun ajratilgan maydon.
Ikkinchi qismning 12-14-topshiriqlarida siz yechim va javobni yozishingiz kerak
shu maqsadda taqdim etilgan sohada. 15-topshiriqning javobi
funksiya grafigi.
5 va 11-topshiriqlarning har biri ikkita versiyada taqdim etilgan, shulardan
Siz faqat bittasini tanlashingiz va bajarishingiz kerak.
Ishni bajarayotganda siz darsliklardan foydalana olmaysiz, ishlaysiz
daftarlar, ma'lumotnomalar, kalkulyator.
Agar kerak bo'lsa, siz qoralamadan foydalanishingiz mumkin. Loyihadagi yozuvlar ko'rib chiqilmaydi yoki baholanmaydi.
Siz topshiriqlarni istalgan tartibda bajarishingiz mumkin, asosiysi uni to'g'ri bajarishdir
iloji boricha ko'proq vazifalarni hal qiling. Vaqtni tejashni maslahat beramiz
darhol bajarib bo'lmaydigan vazifani o'tkazib yuboring va davom eting
keyingisiga. Agar barcha ishni tugatgandan keyin hali vaqtingiz bo'lsa,
Siz o'tkazib yuborilgan vazifalarga qaytishingiz mumkin.
Sizga muvaffaqiyatlar tilaymiz!

1-qism
1-10-topshiriqlarda javobingizni butun son, kasr yoki kasr shaklida bering
raqamlar ketma-ketligi. Javobingizni matndagi javob maydoniga yozing
ish.
1

Elektr choynak narxi 10 foizga oshirildi va uni tashkil etdi
1980 rubl. Narx oshishidan oldin choynak necha rublga tushdi?

Oleg va Tolya bir vaqtning o'zida maktabni tark etishdi va bir vaqtning o'zida uyga ketishdi
Qimmat. Bolalar bir uyda yashaydi. Rasmda grafik ko'rsatilgan
har birining harakatlari: Oleg - qattiq chiziq bilan, Tolya - nuqta chiziq bilan. tomonidan
vertikal o'q masofani (metrda), gorizontal o'q masofani ko'rsatadi
har biri uchun sayohat vaqti daqiqalarda.

Grafikdan foydalanib, to'g'ri bayonotlarni tanlang.
1)
2)
3)

Oleg uyga Tolyadan oldin keldi.
Maktabdan uch daqiqa o'tgach, Oleg Tolya bilan uchrashdi.
Butun sayohat davomida o'g'il bolalar orasidagi masofa kamroq edi
100 metr.
4) Dastlabki olti daqiqada o‘g‘il bolalar bir xil masofani bosib o‘tishdi.

Javob: ___________________________

Ifodaning ma'nosini toping

π
π
- 2 gunoh 2.
8
8

Javob: ___________________________
StatGrad 2016−2017 o‘quv yili. Onlayn yoki bosma shaklda nashr qilish
StatGradning yozma roziligisiz taqiqlanadi

Matematika. 10-sinf. Variant 00602 (asosiy daraja)

Birlik aylanasida ikkita belgi bor
diametrik qarama-qarshi nuqtalar Pa va
a va burchaklar orqali aylanishlarga mos keladigan Pb
b (rasmga qarang).
Buni aytish mumkinmi:
1) a  b  0
2) cosa  cosb
3) a  b  2p
4) sin a  sin b  0

Javobingizda bo'sh joy, vergul va to'g'ri gaplarning raqamlarini ko'rsating
boshqa qo'shimcha belgilar.
Javob: ___________________________
5.1 yoki 5.2 vazifalaridan faqat BIRTANI tanlang va bajaring.
5.1

Rasmda grafik ko'rsatilgan
y  f (x) funksiya   3;11 oraliqda aniqlangan.
Eng kichik qiymatni toping
1 segmentidagi funksiyalar; 5.

Javob: ___________________________
5.2

log 2 4 x5  6 tenglamani yeching.

Javob: ___________________________

StatGrad 2016−2017 o‘quv yili. Onlayn yoki bosma shaklda nashr qilish
StatGradning yozma roziligisiz taqiqlanadi

Matematika. 10-sinf. Variant 00602 (asosiy daraja)

A, B va C nuqtalaridan o'tuvchi tekislik (qarang.
rasm), kubni ikkita ko'pburchakga ajratadi. Biri
uning to'rt tomoni bor. Ikkinchisining nechta yuzi bor?

Javob: ___________________________
7

To'g'ri bayonotlarning raqamlarini tanlang.
1)
2)
3)
4)

Kosmosda, berilgan chiziqda yotmagan nuqta orqali, siz mumkin
berilgan chiziqni kesib o'tmaydigan tekislikni chizish va bundan tashqari, faqat
bitta.
Tekislikka chizilgan qiya chiziq bilan bir xil burchak hosil qiladi
bu tekislikda yotgan barcha to'g'ri chiziqlar.
Har qanday ikkita kesishuvchi chiziq orqali tekislik o'tkazish mumkin.
Kosmosning ma'lum bir chiziqda yotmaydigan nuqtasi orqali, mumkin
Berilgan chiziqni kesib o‘tmaydigan ikkita to‘g‘ri chiziq chizing.

Javobingizda bo'sh joy, vergul va to'g'ri gaplarning raqamlarini ko'rsating
boshqa qo'shimcha belgilar.
Javob: ___________________________
8

Parrandachilik fermasida faqat tovuq va o'rdak bor, tovuqlar esa 7 baravar ko'p
o'rdaklar Tasodifiy tanlangan fermaning ehtimolini toping
qush o'rdak bo'lib chiqadi.
Javob: ___________________________

Kanopning tomi 14 burchak ostida joylashgan
gorizontalga. Ikki tayanch orasidagi masofa
400 santimetrga teng. Jadvaldan foydalanib,
bir tayanchning necha santimetr ekanligini aniqlang
boshqasidan uzunroq.
α
13
14
15
16
17
18
19

Sin a
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

Cos a
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

Tg a
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

Javob: ___________________________
StatGrad 2016−2017 o‘quv yili. Onlayn yoki bosma shaklda nashr qilish
StatGradning yozma roziligisiz taqiqlanadi

Matematika. 10-sinf. Variant 00602 (asosiy daraja)

3 ga bo'linadigan eng kichik tabiiy etti xonali sonni toping,
lekin 6 ga bo'linmaydi va ikkinchisidan boshlab har bir raqami kamroq bo'ladi
oldingi.
Javob: ___________________________
2-qism
11-topshiriqda javobingizni berilgan joyga yozing. Vazifalarda
12-14 maxsus ajratilgan joyga yechim va javob yozishingiz kerak
bu soha uchun. 15-topshiriqning javobi funksiya grafigi.
Vazifalardan faqat BIRTAsini tanlang va bajaring: 11.1 yoki 11.2.

2
. Uch xil mumkin bo'lgan qiymatlarni yozing
2
bunday burchaklar. Javobingizni radianda bering.

Log 7 80 dan katta bo‘lgan eng kichik natural sonni toping.

Burchakning kosinusu  ga teng

StatGrad 2016−2017 o‘quv yili. Onlayn yoki bosma shaklda nashr qilish
StatGradning yozma roziligisiz taqiqlanadi

Matematika. 10-sinf. Variant 00602 (asosiy daraja)

ABC uchburchagida AB va BC tomonlari belgilangan
mos ravishda M va K nuqtalari, shuning uchun BM: AB  1: 2, va
BK: BC  2:3. ABC uchburchagining maydoni necha marta?
MVK uchburchakning maydonidan kattaroqmi?

a va b son juftligini tanlang, ax  b  0 tengsizlik.
rasmda ko'rsatilgan besh nuqtadan uchtasini to'liq qondirdi.
-1

StatGrad 2016−2017 o‘quv yili. Onlayn yoki bosma shaklda nashr qilish
StatGradning yozma roziligisiz taqiqlanadi

Matematika. 10-sinf. Variant 00602 (asosiy daraja)

Dazmolning narxi bir xil foizga ikki baravar oshirildi. Yoniq
temirning narxi har safar necha foizga oshgan bo'lsa
boshlang'ich qiymati 2000 rubl, yakuniy qiymati esa 3380 rublmi?

StatGrad 2016−2017 o‘quv yili. Onlayn yoki bosma shaklda nashr qilish
StatGradning yozma roziligisiz taqiqlanadi

Matematika. 10-sinf. Variant 00602 (asosiy daraja)

y  f (x) funksiyasi quyidagi xossalarga ega:
1) f (x)  3 x  4 da 2  x  1;
2) f (x)  x  2 da 1  x  0;
3) f (x)  2  2 x 0  x  2 da;
4) y  f (x) funksiya 4 davrli davriydir.
6;4 segmentida bu funksiyaning grafigini chizing.
y

StatGrad 2016−2017 o‘quv yili. Onlayn yoki bosma shaklda nashr qilish
StatGradning yozma roziligisiz taqiqlanadi

O'qish foydali bo'lishi mumkin: